Tópico 4. Derivadas (Parte 1)
4.1. A reta tangente
Para círculos, a tangencia é natural? Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da
circunferência até tocá-la num único ponto.
Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P.
Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas:
Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como
na figura 4.
Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados.
Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas:
Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da
circunferência (fig. 4). Elas “cortam”, “penetram” as curvas.
4.1.1 Obtendo uma reta tangente a um dado ponto de um gráfico de uma função
Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu
domínio.
Seja y = f (x) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P( xo, yo) , sendo yo
= f(xo) , um ponto fixo e Q(x, y) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f.
Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s. Seja t
a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t.
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Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como
Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s
se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg(β) se aproximará
da tg(α). Usando a notação de limites, é fácil perceber que
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onde h = Δx = x – x0.
Exemplo: Coeficiente angular e tangente para y = 1/x.
Solução:
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4.2. Taxa de variação: A derivada de uma função num ponto
Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto.
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Exemplo: Dada a função f(x)= x2 − x + 1, determine por definição f '(2).
Onde h = Δx.
Observação: a derivada é uma operação que transforma uma função numa outra função.
𝑑𝑦
Dada a função: y = f(x)  operação  Dada derivada: 𝑦 ′ = 𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
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4.3 Representando graficamente a derivada de uma função y = f(x)
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Figura anterior:
4.4. Regras de derivação
Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem
recorrer a definição.
1. Derivada de uma função constante
Se f (x) = c , c é uma constante real, então f ’ (x) = 0 .
Exemplo: Calcule as derivadas das funções abaixo:
a) f(x) = 5  f ’ (x) = 0
b) f(x) = ½  f ’ (x) = 0
2. Derivada da função potência
Exemplo. Calcule as derivadas das funções abaixo:
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3. Derivada do produto de uma constante por uma função
Exemplo:
4. Derivada de uma soma de funções
Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)+ g(x) tem derivada dada por
h' (x) = f ' (x)+ g' (x).
Exemplo: Se f (x) = 4x3 + 3x2 − x + 5 então f ' (x) = 12x2 + 6 x − 1 .
5. Derivada de um produto de funções
Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)⋅ g(x) tem derivada dada por
h' (x) = f ' (x)⋅ g(x)+ f (x)⋅ g' (x).
Exemplo 1: Se f (x) =
(x3 − x)(2 − x)
então f ' (x) =
(3x2 − 1)(2 − x)+ (x3 −
x)(0 − 1) = −4x3 + −6 x2 + 2x − 2 .
Exemplo 2:
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 OBS. Em geral, se o gráfico de uma função tem um ´bico´, não há tangente
nesse ponto e f não é derivável nesse ponto. Então ser derivável é uma condição
de ´suavidade´.
6. Derivada de um quociente de funções
Exercícios:
4.5 Regra da derivação da função composta (Regra da Cadeia)
Como veremos nas aulas seguintes, várias aplicações do cálculo na engenharia envolvem a
busca de uma função com alguma derivada. Às vezes identificamos este tipo de função
imediatamente. Por exemplo, sabemos que cosx é a derivada de senx ou que 2x é a derivada de x 2 e
que a soma cosx + 2x é a derivada de senx + x2. Mas e se utilizarmos o produto de duas derivadas
em vez da soma? Sabemos que o resultado não vem do produto das funções derivadas porque a
derivada de seus produtos não é o produto de suas derivadas.
Então de onde vem o produto de derivadas? A resposta está em uma regra para derivação de
funções compostas, chamada Regra da Cadeia. Esta seção descreverá essa regra, mostrando como
usá-la.
 Derivada de uma função composta
Começaremos com exemplos,
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Exercício: Dados y = f(u) e u = g(x), determine dy/dx = f’(g(x))g’(x).
4.6 Potências racionais de funções deriváveis
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4.7 Derivada de funções elementares (parte 1)
Vamos agora apresentar as derivadas das funções elementares do cálculo. São elas as funções
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas (As duas últimas serão
abordadas no próximo tópico).
1. Derivada da função exponencial
O mesmo é válido quando a base a ≠ e.
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2. Derivada da função logarítmica
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4.8 Derivadas sucessivas
Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função y = f (x)
for derivável, isto é, existe f´(x), podemos pensar na derivada de f´(x) e assim sucessivamente.
Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função y = f (x) de acordo com a tabela
abaixo:
Exemplo:
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Exercício:
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
a) y = 3x4 − 2x − 9, n = 4.
b) y = ax3 + bx2 + cx+d, n = 3.
Referências
1. Apostila Limites e Derivadas, site: http://pt.scribd.com/doc/65521769/211220100802-CalculoDiferencial-e-Integral-1-Engenharia-Civil, acessado em 01/05/2013.
2. Apostila Prof. Sérgio Pilling, http://www1.univap.br/spilling/C1/C1.htm (acesso em 01/03/2013).
3. Fleming, Diva Maria; Gonçalves, Mirian Buss, “Cálculo A”, 6a Edição,
Pearson Prantice Hall, 2009.
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