Primitivação
A primitivação é a operação inversa da derivação.
Definição: Seja f uma função definida num intervalo I.
Qualquer função F definida e diferenciável em I tal que
F ′ x = fx, para todo o x ∈ I,
diz-se uma primitiva de f em I.
f diz-se primitivável em I se admitir uma primitiva em I.
Naturalmente, se F for uma primitiva de f, também F + C (em
que C é uma constante) é uma primitiva de f.
Mais, num intervalo, todas as primitivas de uma dada função
diferem de uma constante:
Proposição: Sejam F e G duas primitivas de f num intervalo I.
Então, F e G diferem de uma constante.
Notação: P x fx, Pfx e ∫ fxdx representam (em geral) todas
as primitivas de f.
Questões:
•
•
P x fx ′ = ?
P x f ′ x = ?
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
Primitivas 1
Propriedades das Primitivas
Proposição: Sejam f e g funções primitiváveis no intervalo I e
α ∈ R. Então, nesse intervalo, tem-se que:
1. Pfx + gx = Pfx + Pgx;
2. Pαfx = αPfx;
Atenção: a primitiva do produto não é o produto
das primitivas!!!
Proposição: Se f é uma função contínua num intervalo, então f é
primitivável nesse intervalo.
Mais:
Proposição: Se f é uma função contínua no intervalo I, para
cada x 0 ∈ I e y 0 ∈ R, existe uma e uma só primitiva F de f em I
tal que
Fx 0  = y 0 .
Fx 0  = y 0 → condição inicial do problema
A esta questão, de determinar a (única!) primitiva que verifica
uma certa condição inicial, chama-se Problema de valores
iniciais ou Problema de Cauchy.
Exemplo: Sabendo que a velocidade de uma partícula é dada por
vt = e 2t , determine a lei do movimento, considerando que no
instante inicial se encontra na origem.
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
Primitivas 2
Recordemos algumas regras de derivação:
Sendo u e v funções deriváveis e α ∈ R :
•
•
•
•
•
•
•
α ′ = 0;
•
•
•
•
e u  ′ = u ′ e u ;
u + v ′ = u ′ + v ′ ;
αu ′ = αu ′ ;
u. v ′ = u ′ v + uv ′ ;
u ′ v−uv ′
, se
v2
′ α−1
 uv  ′ =
u α  ′ = αu u
′
nn
u n−1
, c/ n ∈ N; ← resulta tb. do ant. c/ α =
1
n
a u  ′ = u ′ a u ln a, c/ a > 0; ← resulta do anterior
u′
u
ln u ′ =
′
log a u =
;
1 u′
ln a u
, c/ a > 0;
′
portanto, log 10 u =
•
•
•
•
•
•
•
′
em particular,  1v  = − vv2
;
u′
n u  =
′
v ≠ 0;
′
sen u
← resulta do anterior
u′
u ln 10
= u ′ cos u;
cos u ′ = −u ′ sen u;
tg u
′
cotg u
arctg u
= u ′ sec 2 u
′
recorde-se que sec x =
= −u ′ cosec 2 u
′
arccotg u
=
′
u′
1+u 2
′
u′
1−u 2
recorde-se que cosec x =
1
senx
;
← resulta do anterior
;
•
arccos u ′ = −
•
sec u ′ = u ′ sec u tg u;
u′
1−u 2
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
;
;
u
= − 1+u
;
2
arcsin u ′ =
1
cos x
;
← resulta do anterior
∙ cosec u
′
= −u ′ cosec u cotg u.
Primitivas 3
Separando - Propriedades: se f e g são funções diferenciáveis
•
•
•
•
•
f + g ′ t = f ′ t + g ′ t;
αf ′ t = αf ′ t, c/ α ∈ R;
f. g ′ t = f ′ tgt + ftg ′ t;
f
g
′
f ′ t ′ gt−ftg ′ t
g 2 t
t =
, se gt ≠ 0;
fgt ′ = g ′ tf ′ gt
→ derivação da composta
Derivadas conhecidas:
•
•
•
α ′ = 0;
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
e x  ′ = e x ;
•
arccos x ′ = −
•
sec x ′ = sec x tg x;
x α  ′ = αx α−1 ;
′
n x  =
, c/ n ∈ N; ← resulta tb. do ant. c/ α =
1
nn
x n−1
a x  ′ = a x ln a, c/ a > 0;
ln x ′ =
1
x
′
log a x =
′
sen x
1
n
← resulta do anterior
;
1
x ln a
, c/ a > 0;
← resulta do anterior
= cos x;
cos x ′ = −sen x;
tg x
′
cotg x
arctg x
= sec 2 x
′
recorde-se que sec x =
= −cosec 2 x
′
arccotg x
=
′
1
1+x 2
1
senx
;
;
1
1−x 2
← resulta do anterior
;
1
1−x 2
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
;
recorde-se que cosec x =
1
= − 1+x
;
2
arcsin x ′ =
1
cos x
;
← resulta do anterior
∙ cosec x
′
= −cosec x cotg x.
Primitivas 4
Algumas primitivas imediatas
Função
Primitiva
sin x
− cos x + C
cos x
sin x + C
x α , α ≠ −1, x > 0
x α+1
α+1
+C
1
x
ln|x| + C
1
1+x 2
1
arctan x + C
1−x 2
arcsin x + C
Uma tabela de primitivas, é uma tabela de derivadas apresentada
ao contrário!
Nota: Pela regra de derivação da função composta,
Fϕx ′ = ϕ ′ xF ′ ϕx.
Assim, se F é uma primitiva de f, então Fϕx é uma primitiva
de ϕ ′ xfϕx.
A versão mais geral da tabela anterior é:
Função
Primitiva
ϕ ′ x sin ϕx
− cos ϕx + C
ϕ ′ x cos ϕx
sin ϕx + C
α
′
ϕ xϕx , α ≠ −1, ϕx > 0
ϕ ′ x
ϕx
ϕ ′ x
1+ϕx 2
ϕ ′ x
1−ϕx 2
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
ϕx α+1
α+1
+C
ln|ϕx| + C
arctan ϕx + C
arcsin ϕx + C
Primitivas 5
Primitivas imediatas FUNDAMENTAIS:
Sendo u função derivável e α ∈ R :
•
•
•
•
•
•
•
•
Pu ′ u α  =
•
•
Pu ′ sec 2 u = tg u + C;
u α+1
α+1
u
+ C se α ≠ −1;
Pu ′ e u  = e + C;
Pu ′ a u  =
P
u′
u
au
ln a
+ C, c/ a > 0; ← dispensável, vem da ant.
= ln|u| + C;
P u ′ senu
= − cos u + C;
Pu ′ cos u = senu + C;
P
P
u′
1+u 2
= arctg u + C;
u′
= arcsenu + C;
1−u 2
2
P u ′ cosec u
= −cotg u + C.
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
Primitivas 6
Técnicas de Primitivação
Primitivação por partes
Proposição: Sejam f e g são funções com derivada contínua no
intervalo a, b.
Então, neste mesmo intervalo,
Pf ′ xgx = fxgx − Pfxg ′ x.
Primitivação por mudança de variável (ou substituição)
Notação: para representar fgt usa-se também a notação:
fgt = fx| x=gt .
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo I e
ϕ : J → I uma aplicação cuja derivada é contínua e não se
anula em J.
Então,
P x fx = P t fϕtϕ ′ t| t=ϕ −1 x .
Observação 1: prova-se que uma função definida num intervalo
com derivada não nula é invertível.
Observação 2: existem versões da primitivação por substituição
com hipóteses ligeiramente diferentes, por ex.- “f uma função
primitivável no intervalo I e ϕ : J → I uma aplicação bijectiva
com derivada contínua”.
Uma das principais dificuldades na primitivação por substituição
reside na escolha da mudança de variável adequada!
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
Primitivas 7
Algumas substituições aconselhadas
Sendo f uma função racional dos argumentos indicados,
Primitiva
Substituição
Pfe x 
x = ln t
Pfln x
x = et
p
r
x = t m , m = m.m.c.q, s, . . . 
Pf x, x q , x s , . . .
p
•
r
Pf x, ax + b q , ax + b s , . . .
ax + b = t m , m = m.m.c.q, s, . . . 
P a2 − b2x2
x=
sen t
Pf x, ax 2 + bx + c , a > 0
ax 2 + bx + c = t + a x
Pf x, ax 2 + bx + c , c > 0
ax 2 + bx + c = tx + c
Pf x, ax 2 + bx + c ,
ax 2 + bx + c = x − αt,
com b 2 − 4ac > 0
com α raiz de ax 2 + bx + c
função racional de senx e cosx → substituição: t = tg
então: x = 2arctg t senx =
•
a
b
2t
1+t 2
cos x =
1−t 2
1+t 2
tg x =
x
2
2t
1−t 2
.
Nota: há casos particulares em que funcionam melhor outras
substituições. Por exemplo:
c/ funções rac. de sen 2 x, cos 2 x e tg x, a substituição
t = tg x normalmente funciona melhor.
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
Primitivas 8
Primitivação de funções racionais (por decomposição)
Definição: Chama-se função racional a qualquer função que se
Px
possa escrever na forma Qx , com P e Q polinómios de
coeficientes reais.
A função racional diz-se própria se grPx < grQx e
imprópria caso contrário.
Fase 1: Para primitivar devemos sempre trabalhar com funções
racionais próprias!
•
Qualquer função racional imprópria
Px
Qx
pode escrever-se
na forma
polinómio + f. rac. própria.
Basta fazer a divisão de Px por Qx.
Proposição (Regra da divisão):
Sendo Px um polinómio e Qx um polinómio de grau ≥ 1,
existem sempre polinómios Cx e Rx, univocamente
determinados, tais que
Px = Qx. Cx +

cociente
Rx , com grRx < grQx.

Resto da div.
Então
Px
Qx
Rx
= Cx + Qx


poli.
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
f. rac. própria
Primitivas 9
Resta-nos ver como primitivar funções racionais próprias.
Seja
Px
Qx
uma função racional própria.
Fase 2: decompõem-se Qx tanto quanto possível como
produto de parcelas mais simples, isto é, de:
- constantes;
- parcelas da forma x − r l , c/ l ∈N→
parcelas corresp.
às raízes reais
parcelas corresp.
- parc. da forma x 2 + bx + c k , c/ k ∈N→ a pares de raízes
sem raízes reais
compl. conjugadas
aglomerando as parcelas correspondentes às mesmas raízes → l é
a multiplicidade da raíz real r e k a multiplicidade das raízes de
x 2 + bx + c (2 complexos conjugados).
Então Qx fica escrito na forma
Qx=
a ×

constante
x − r 1  l 1 × ⋯
× x2 + b1 x + c1
k1
parcelas corresp.
parcelas corresp.
às raízes reais
a pares de raízes
×⋯
compl. conjugadas
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
Primitivas 10
Fase 3: Determinar uma expressão da forma
A1
A2
Al
x − r + x − r 2 + ⋯ + x − r l →
nº de parcelas = l =
= multipl. da raíz real r
para cada factor x − r l
e uma expressão da forma
D1 + E1x + D2 + E2x + ⋯ + Dk + Ek x
2
k
x 2 + bx + c
x 2 + bx + c
x 2 + bx + c
↓
nº de parc. = k = multip. das raízes complexas
associadas a x 2 + bx + c
para cada factor x 2 + bx + c k
de tal modo que
•
Px
Qx
seja soma de todas estas parcelas.
Chamam-se fracções elementares (ou fracções simples) às
funções racionais da forma
A
D + Ex
ou
n
m .
2
x − r
x + bx + c
sem raízes reais
Proposição: Toda a f. rac. própria pode ser decomposta numa
soma de fracções simples nas condições acima inicadas.
A decomposição anterior pode ser feita pelo método dos
coeficientes indeterminados.
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
Primitivas 11
Fase 4 (e última!): Determinar as primitivas das fracções
simples.
A ln|x − r| + C, se k = 1
•
P
A
x−r k
=
P Ax − r −k
=A
x−r −k+1
−k+1
+ C, se k > 1
com C constante real.
•
D+Ex
x 2 +bx+c
Parcelas da forma
:
Não tendo raízes reais, o polinómio x 2 + bx + c pode
escrever-se na forma
x − α 2 + β 2 ,
sendo α ± βi as suas raízes.
Fazendo directamente as contas
(que dão sempre situações de logaritmo e/ou arctg) ou com a
mudança de variável
x − α = βt
conclui-se que
P
D+Ex
x−α 2 +β 2
=
E
2
ln x − α 2 + β 2 +
Eα+D
β
arctg
x−α
β
+C
Nota: se E = 0 obtém-se sempre um arctg; se E ≠ 0 ou se obtém
só um logaritmo ou se obtém uma soma de um logaritmo e um
arctg.
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Primitivas 12
•
Parcelas da forma
D+Ex
k
x 2 +bx+c
, c/ k > 1:
Decompondo o polinómio como no caso anterior e com a
mesma mudança de variável, reduz-se esta situação ao cálculo
de uma primitiva imediata e da primitiva
P
1
k
1 + t 2 
.
Esta primitiva (c/ k > 1 determina-se por partes, fazendo
1
1 + t2 − t2 =
1
t2
=
−
k
k
k−1
k
1 + t 2 
1 + t 2 
1 + t 2 
1 + t 2 
1
1
2t
=
−
t
.
k−1
2  1 + t 2  k
1 + t 2 
f
g′
e baixando sucessivamente o grau do denominador.
Assim, por exemplo:
P
1
2
1 + t 2 
=P
1
1 + t2
2t
− 1 P t .
 =
 1 + t 2  2
2
f
g′
=P
pois
g= −1+t 2 
−1
1
1 + t2
1
= 1P
2
1 + t2
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)
1
− 1 −t 1 2 + P
2
1+t
1 + t2
=
t
t
+ 1
= 1 arctgt + 1
2
2 1+t
2
2 1 + t2
Primitivas 13