Análise Matemática I - 2006/2007
2.5.2- Derivada da função composta, derivada da função
inversa, derivada da função implícita e derivada de funções
definidas parametricamente.
Teorema 2.31 Derivada da Função Composta
Suponha-se que g: A → ℜ é diferenciável no ponto a e que f:
D → ℜ é diferenciável no ponto b=g(a). Então fog é diferenciável
no ponto a e tem-se :
( fog )′( a ) = f ′( g ( a ) )g ′( a )
Utilizando outra notação:
dh dz dy
=
dx dy dx
Exemplos: Calcule a derivada dos seguintes exercícios utilizando
o conceito de derivada da função composta.
h = fog e z=f(y) e
(1)
(2)
y=g(x) então
( )
Sendo z = sen(y) e y=x 4 , calcule a derivada de h= sen x 4
dh
h = ln u(x) calcule
?
dx
O teorema anterior permite estabelecer as fórmulas das derivadas
das funções elementares:
Seja: u=u(x)
sen′(u) = u ′cos(u )
cos′(u) = −u ′sen(u )
tg ′(u) = u ′sec 2 (u )
cotg ′(u) = −u′cosec 2 (u)
′
α
u
= αu α −1u ′ , α (constante ∈ ℜ )
′
u′
(loga u )′ =
a u =u ′a u ln (a)
u ln a
( )
( )
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Função implícita e sua derivada
Seja F(x,y)=0 uma condição e y=f(x) uma função definida
implicitamente pela condição. Então a derivada y ′ = f ′(x) da
função implícita obtém-se derivando em ordem a x ambos os
membros da condição.
Exemplo
Derive a função implícita: x 2 + y 2 = 4
Teorema 2.32 Derivada da Função Inversa
Seja f: I ⊂ D uma função injectiva e contínua, e g: J=f(I) a sua
inversa. Então se f é diferenciável no ponto a com f ′(a ) ≠ 0 e g
diferenciável em b=f(a):
g ′(b) =
1
1
=
f ′(a) f ′( g (b))
y=arctg(x)
y
x
x=tg(y)
(arctg ( x) )′ =
=
1
cos 2 ( y )
2
= cos ( y ) =
=
′
(tg ( y ))
1
cos 2 ( y )
cos 2 ( y ) + sen 2 ( y )
=
1
1 + tg 2 ( y )
=
1
1 + x2
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(arccotg(x))′ =
(arccos(x))′ =
−1
1 + x2
−1
(arcsen(x))′ =
1
1 − x2
1 − x2
Derivada de uma função dada sob a forma paramétrica
Obs.
- A circunferência pode definir-se por duas expressões com o
auxilio de um parâmetro t:
x = r cos t
, 0 ≤ t < 2π equações paramétricas da circunferência
y = r sent
- A elipse pode definir-se por duas expressões com o auxilio de
um parâmetro t:
x = a cos t
, 0 ≤ t < 2π equações paramétricas da elipse
y = b sent
Por serem duas equações num parâmetro dizem-se equações
paramétricas.
Como se calcula a derivada de uma função dada sob a forma
paramétrica?
Seja y =f(x) uma função definida pelas equações paramétricas.
x = ϕ (t )
, t 0 ≤ t ≤ t1
y = ψ (t )
Se ϕ
e ψ são diferenciáveis em cada t 0 < t < t1 e para além
dy
dy dt
disso ϕ admite inversa diferenciável, então :
=
dx dx
dt
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Exemplo: Seja y=f(x) dada pelas equações paramétricas
x = a cos t
, 0 ≤ t ≤π
y = a sent
calcule y ′
2.6 Estudo do gráfico de uma função
Para desenhar o gráfico deve:
(1)
Determinar o domínio da função;
(2)
Determinar os zeros da função;
(3)
Analisar a função quanto à continuidade e identificar os
pontos de descontinuidade;
(4)
Procurar assimptotas;
(5)
Com a primeira derivada de f(x), determinar :
- Pontos de estacionaridade e pontos de descontinuidade da
1ª derivada;
- Máximos e mínimos;
- Monotonia (crescimento e decrescimento de f(x)).
(6)
Com a segunda derivada de f(x), determinar :
- Os pontos de inflexão
- Concavidades (convexas
e côncavas )
(7)
Esboçar o gráfico tendo em consideração os pontos
"notáveis", nomeadamente:
- zeros da função;
- extremos;
- pontos de inflexão;
- e as assimptotas.
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Algumas Definições e Teoremas úteis ao estudo do gráfico de
funções.
Def.2.33 Zeros de uma função
Seja f: D → R uma função, as soluções da equação f(x)=0
chamam-se zeros da função.
Def. 2.34 Assimptotas
Seja f: D → R uma função;
(1)
Se a∉D
a∈ D ′ e
e
lim f ( x) = ∞ então a função tem
x→a
uma assimptota vertical de equação x=a.
(2)
Se
lim f ( x) = b
x → +∞
ou
lim f ( x) = b , f tem uma
x → −∞
assimptota horizontal de equação y=b.
(3)
Se
lim f ( x) = ∞
x →∞
f tem uma assimptota oblíqua y=mx+b se existir e for finito
f ( x)
lim
;
x →∞ x
f ( x)
x →∞ x
neste caso: m = lim
e
b = lim ( f ( x) − mx )
x →∞
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Algumas definições e teoremas importantes para o cálculo de
extremos e da monotonia.
Def. 2.35 Seja f: D → R uma função e a∈D um ponto, diz-se
que:
(1)
(2)
f(x) tem máximo local em a se existir ε > o tal que
∀ x∈Vε ( a ) f ( x) ≤ f (a)
f(x) tem mínimo local em a se existir ε > o tal que
∀ x∈Vε ( a ) f ( x) ≥ f (a)
(3) f(x) tem um extremo local em a se f(x) tiver um máximo ou
um mínimo em a
- Os máximos e mínimos locais procuram-se nos pontos de
estacionaridade ( f ′ (x)=0) e nos pontos onde a função está
definida e a derivada não.
Teorema de Rolle 2.36
Seja f: I ⊂ D ,(I= [a, b]) uma função
contínua e diferenciável em ]a, b[ ; se f(a)=f(b), existe c∈ ]a, b[ tal
que f ′(c ) = 0 .
Corolário 2.37 Entre dois zeros de uma função existe um zero
da sua derivada.
Corolário 2.38 Entre dois zeros consecutivos da derivada não
pode haver mais de um zero da função.
Teorema 2.39 Se para ∀ x∈I, f ′( x ) > 0 , f é crescente em I e se
f ′( x ) < 0 , f é decrescente em I.
Algumas definições e teoremas importantes para o cálculo dos
pontos de inflexão e das concavidades.
- pontos de inflexão são os pontos onde a função f muda de
concavidade e obtêm-se igualando a zero a segunda derivada.
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Teorema 2.40 Seja f uma função. Se f ′′( x) < 0 ∀ x∈]a, b[ a
função é convexa ( ) nesse intervalo e se f ′′( x) > 0 ∀ x∈]a, b[ a
função é côncava ( ) nesse intervalo.
2.7 - Diferencial e diferenças finitas
Consideremos uma função f: D → ℜ , e a um ponto interior ao
domínio D, e h um n.º real tal que (a+h)∈ D .
- Chama-se acréscimo da função f,
correspondente ao
incremento de h da variável x ( dado a partir do ponto a), à
diferença : f(a+h)-f(a)
∆ a f (h) = f (a + h) − f (a ) acréscimo da função f
- Chama-se diferencial da função f no ponto a ao produto
f ′( a ) × h e designaremos por d a f (h) ou simplesmente por :
d a f = f ′(a ) × h ou se y = f(x),
dy = f ′( x ) h
- Note que d a f ≅ ∆ a f (h)
Exercício: Determine o acréscimo e o diferencial da função:
y = 2 x 2 − x para x = 1, e h = 0.01
Geometricamente
f(a+h)
da f
f(a)
∆ a f (h )
h
a
a+h
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