UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
SANDRA REGINA FIRMINO DA SILVA
UM ESTUDO DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
NOS GUIAS DE PLANEJAMENTO E ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS DO
PROGRAMA LER E ESCREVER
SÃO PAULO
2010
SANDRA REGINA FIRMINO DA SILVA
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UM ESTUDO DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
NOS GUIAS DE PLANEJAMENTO E ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS DO
PROGRAMA LER E ESCREVER
Dissertação submetida à banca examinadora
da Universidade Bandeirante de São Paulo,
como exigência parcial para a obtenção do
título de Mestre em Educação Matemática.
Orientadora: Prof. Drª Tânia Maria Mendonça
Campos e Co-Orientadora: Prof. Drª Marlene
Alves Dias.
SÃO PAULO
2010
Silva, Sandra Regina Firmino da Silva
Um estudo das estruturas multiplicativas nos Guias de Planejamento e
Orientações Didáticas do Programa Ler e Escrever/ Sandra Regina Firmino
da Silva. São Paulo: [s.n.], 2010.
XX f. 216 il. ; 30 cm.
Dissertação de Mestrado para a obtenção do título de Mestre em
Educação Matemática. Programa de Pós Graduação em Educação
Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo.
Orientadora: Prof. Drª Tânia Maria Mendonça Campos e Co-Orientadora:
Prof. Dr. Marlene Alves Dias.
1. Estruturas Multiplicativas. 2. Ensino Fundamental.
3. Campos
Conceituais 4. Tecnologia. 5. Educação Matemática. I. Título
Aos meus amados pais PEDRO FIRMINO
DA SILVA e NAIR ANGELICA DA SILVA. E ao
meu esposo JAMIL CARLOS DA SILVA. Em
todas as minhas realizações, sempre
presentes.
Aos meus filhos MARINA e JARDEL, com
amor.
AGRADECIMENTOS
As PROFESSORAS DOUTORA TÂNIA MARIA MENDONÇA CAMPOS e PROFESSORA
DOUTORA MARLENE ALVES DIAS, pelo carinho e dedicação com os quais orientou esta
pesquisa. O apoio que delas recebi transcende os limites deste trabalho acadêmico.
Essa ajuda foi muito importante nos fez ter coragem para continuar e de acreditar
que as pesquisas são caminhos para novas conquistas na Educação. Muito
obrigada por tudo.
A todos os professores do programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo, por todo o aprendizado e
experiência que proporcionaram.
A todos os funcionários do programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo, que foram sempre muito
atenciosos e nos auxiliou em todos os encaminhamentos burocráticos que envolvem
um trabalho científico.
A todos os colegas do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo, em especial, para a primeira turma que
compartilhamos inseguranças, anseios foram verdadeiros companheiros de
caminhada com quem muito aprendi.
A todos os colegas da Diretoria de Ensino Guarulhos Norte que nos apoiaram,
alguns nem se encontram mais conosco, mas nos incentivaram, um agradecimento
especial a Dirigente dessa instituição Professora Vera Lúcia de Jesus Curriel, pela
paciência, compreensão, apoio. Posso dizer que senti como um “braço forte” nesse
percurso.
Aos meus pais, PEDRO FIRMINO DA SILVA e NAIR ANGELICA DA SILVA, mestres de toda a
vida. Pela sua dedicação e amor incondicionais. Sem seus ensinamentos, este
trabalho jamais seria realizado.
Ao meu esposo JAMIL, pela compreensão ao longo desta jornada que empreendi.
"Jamais considere seus estudos como uma
obrigação, mas como uma oportunidade
invejável para aprender a conhecer a
influência libertadora da beleza do reino do
espírito, para seu próprio prazer pessoal e
para proveito da comunidade à qual seu
futuro trabalho pertencer."
Albert Einstein(1879-1955)
RESUMO
SILVA, S. R. F. Um estudo das estruturas multiplicativas nos Guias de
Planejamento e Orientações Didáticas do Programa Ler e Escrever, 2010. 216 f.
Dissertação de Mestrado – Pós Graduação Stritu Senso Educação Matemática,
Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2010.
O objetivo deste trabalho de pesquisa foi a realização de um estudo diagnóstico das
estruturas multiplicativas nas séries iniciais da Educação Básica a partir do
Programa Ler e Escrever da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. Mais
precisamente, o trabalho foi realizado com trinta crianças da 3ª série de uma escola
da rede pública estadual de São Paulo. Para realização deste estudo foi realizada
uma sondagem inicial, considerando as orientações disponíveis no Guia de
Orientações do Programa Ler e Escrever da Secretaria de Educação, para
diagnosticar os tipos de dificuldades dos alunos ao resolverem problemas relativos a
estruturas multiplicativas. A partir desses dados coletados foi construído um
inventário de diferentes esquemas em ação que possibilitasse potencializar as
situações propostas, em diferentes níveis de dificuldade, como recurso de
intervenção para a construção do raciocínio multiplicativo, com o auxílio do software
livre ClicMat. Um mês após a intervenção, foi aplicada a sondagem final proposta no
Programa Ler e Escrever. Os resultados encontrados, em relação a sondagem
inicial, indicam que houve significativo avanço no sucesso do desempenho das
crianças ao resolverem problemas envolvendo o raciocínio multiplicativo. No
entanto, nem toda amostra conseguiu escolher a operação necessária para a
solução do problema, nem mesmo disponibilizar os esquemas próprios da estrutura
multiplicativa. Vale registrar que dos tipos de problemas trabalhados: Combinatória,
Configuração Retangular, Proporcionalidade e Comparação aqueles que tiveram
maior sucesso (56,7%) foram os de Combinatória e os que tiveram menor sucesso
foram os de Proporcionalidade (26,7%) na sondagem final. Esses resultados
encontrados na 3ª série reforçam uma das proposições da Teoria dos Campos
Conceituais de que um conceito não se forma a partir de uma única situação e que é
apreendido ao longo do tempo, Vergnaud (1983).
Palavras-chave: Estruturas Multiplicativas,
conceituais, Tecnologia, Educação Matemática.
Ensino
Fundamental,
Campos
ABSTRACT
SILVA, S. R. F. A study of multiplicative structures in the Planning Guides and
Guidelines Didactic Program Reading and Writing, 2010. 216 f. Master Thesis Graduate Stritu Sense Mathematics Education, Bandeirante University of São Paulo,
São Paulo, 2010.
The objective of this research was to carry out a diagnostic study of multiplicative
structures in the early grades of Basic Education based on São Paulo State
Department Education Program “Ler e Escrever”. The research was carried out
among thirty children in the 3rd grade of elementary school at a public school in the
state of Sao Paulo. For the accomplishment of this study it was carried out an initial
survey taking into consideration the available orientation in the Guide of the
Education Department Program “Ler e Escrever”, in order to diagnose the many
types of students' difficulties when solving problems related to multiplicative
structures. From these data collected it was built an inventory of different schemes in
action that would enable to power the situations proposed at different levels of
difficulty as a resource of assistance to the construction of multiplicative reasoning
with the help of a free software “ClicMat”. A month after the intervention, it was
applied the final survey proposed in the program “Ler e Escrever”. The results found
in relation to the initial survey, indicated that there was a significant advance in the
successful performance of the children to solve problems involving multiplicative
reasoning. However, not every sample could select the necessary operation to the
solution of the problem, not even provide the multiplicative structure of the schemes
themselves. It is worth to note that from the types of problems worked,
Combinatorics, Configuration Rectangular, Proportionality and Comparison, the ones
that obtained greater success (56.7%) were about Combinatorics and the ones that
were less successful were about Proportionality (26.7%) at the final survey . The
results found in the 3rd grade, reinforce one of the propositions of the Conceptual
Field Theory that a concept is not formed from a single situation and that it is learned
along the time, Vergnaud (1983).
Keywords: Multiplicative structures, Elementary Education, Technology, Mathematic
Education.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Representações de estruturas multiplicativas por meio de figuras....... 25
Figura 2: Amostra de resolução de problemas de estrutura multiplicativa por
meio da contagem disponível nos documento PMSP ................................... 35
Figura 3: Amostra de resolução de problemas de estrutura multiplicativa por
meio da representação de diagrama de árvore disponível nos documento
PMSP.................. ........................................................................................... 35
Figura 4: Amostra de resolução de problemas de estrutura multiplicativa por
representação de esquemas como suporte para relação com o algoritmo ... 36
Figura 5: Mapa conceitual dos diferentes tipos de cálculo e suas relações
(cálculo com respostas exatas e aproximadas) ........................................... 36
Figura 6: Representação da multiplicação por feixes de semi-retas............. ........... 44
Figura 7: Um modelagem do processo de construção de competencia segundo
Coulet (2005).................................................................................................. 63
Figura 8: Esquema de transformação de conceito. ........................................... 65
Figura 9: Esquema de raciocínio escalar ................................................ .......... 77
Figura 10: Esquema de correspondencia um-a-muitos da situação 1 da
sondagem inicial............................................................................................ 116
Figura 11: Esquema de correspondencia em coordenação com a contagem na
sondagem final .............................................................................................. 117
Figura 12: Esquema de coeficiente de proporcionalidade................ ..................... 117
Figura 13: Atividade de proporcionalidade dupla (configuração retangular) no
software......................................................................................................... 124
Figura 14: Atividade de produto cartesiano (combinatória) no software............ ... 126
Figura 15: Atividade de multiplicação comparativa no software ............................ 129
Figura 16: Compreensão de idéias de estruturas multiplicativas sondagem
inicial............ ................................................................................................. 191
Figura 17: Compreensão de idéias de estruturas multiplicativas da sondagem
final................................................................................................................. 192
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Quadro de Orientações Curriculares dos campos conceituais aditivo
e multiplicativo da Prefeitura Municipal de São Paulo segundo a Teoria dos
Campos Conceituais pra Ensino fundamental Ciclo I..........................................
34
Tabela 2: Representação da divisão por feixe de semi-retas..............................
46
Tabela 3: Quadro que envolve o campo conceitual das Estruturas
Multiplicativas......................................................................................................
78
Tabela 4: Quadro de Tipologia de problemas de estrutura Multiplicativa............
Tabela 5: Quadro de problemas da categoria de comparação Multiplicativa de
grandezas.............................................................................................................
81
Tabela 6: Quadro de problemas da categoria de proporcionalidade simples......
83
Tabela 7: Quadro de problemas de proporcionalidade simples composta..........
84
Tabela 8: Quadro de problemas de proporcionalidade dupla ou múltipla............
86
Tabela 9: Quadro de exemplos das categorias de Vergnaud..............................
Tabela 10: Classificação dos problemas da sondagem inicial segundo as
categorias de Estruturas Multiplicativas...............................................................
Tabela 11: Classificação dos problemas da sondagem final segundo as
categorias de Estruturas Multiplicativas...............................................................
Tabela 12: Classificação do problema 1 da sondagem inicial segundo a
estrutura Matemática............................................................................................
Tabela 13: Classificação do problema 2 da sondagem inicial segundo a
estrutura Matemática............................................................................................
Tabela 14: Classificação do problema 3 da sondagem inicial segundo a
Estrutura Matemática...........................................................................................
Tabela 15: Classificação do problema da sondagem inicial segundo a
Estrutura Matemática...........................................................................................
Tabela 16: Esquemas esperados para as situações de estruturas
multiplicativas.......................................................................................................
Tabela 17: Lista dos animais e seus respectivos pesos (massa) disponível no
software................................................................................................................
Tabela 18: Enunciado de problemas de Estrutura Aditiva ou Multiplicativa
elaborada pelos alunos........................................................................................
Tabela 19: Análise comparativo individual das relações das estruturas
multiplicativas.......................................................................................................
Tabela 20: Codificação dos tipos de cálculos (relacional, cognitivo e
numérico).............................................................................................................
87
82
103
105
111
112
113
114
118
128
131
168
173
Tabela 21: Tabulação da compreensão dos conceitos de estruturas
multiplicativas na sondagem inicial...................................................................... 191
Tabela 22: Tabulação da compreensão dos conceitos de estruturas
multiplicativas no final.......................................................................................... 192
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................
14
1 PANORAMA ATUAL DAS PESQUISAS E DAS PROPOSTAS PARA O ENSINO
E APRENDIZAGEM SOBRE ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS..............
19
1.1 ALGUMAS PESQUISAS SOBRE ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS...
20
1.2 PROGRAMA LER E ESCREVER NA PREFEITURA DE SÃO PAULO..
30
1.3 O PROGRAMA LER E ESCREVER NA SECRETÁRIA DE
EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO ......... ..............................
31
1.4 ORIENTAÇÕES CURRICULARES DA PREFEITURA MUNICIPAL EM
RELAÇÃO AO ENSINO DE ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS,
SEGUNDO O PROGRAMA LER E ESCREVER ....................................
33
1.5 ORIENTAÇÕES CURRICULARES DA SECRETARIA DE ESTADO DA
EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO EM RELAÇÃO AO
ENSINO DE ESTRUTURA MULTIPLICATIVAS, SEGUNDO
O
PROGRAMA LER E ESCREVER ...........................................................
37
1.6 ORIENTAÇÕES
CURRICULARES
DOS
PARÂMETROS
CURRÍCULARES NACIONAIS (PARÂMETROS CURRÍCULARES
NACIONAIS) EM RELAÇÃO AO ENSINO DE ESTRUTURA
MULTIPLICATIVA ..................................................................................
39
2 PANORAMA MATEMÁTICO DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS .....
43
2.1 NOTAÇÃO E TERMINOLOGIA .............................................................
47
2.2 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO ...............................................
52
2.3 DIFERENTES FORMAS PARA A MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS ....
54
3 REFERENCIAL TEORICO DE PESQUISA...................................................
58
3.1 CAMPOS CONCEITUAIS .......................................................................
59
3.2 CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS.........
70
3.3 AS CATEGORIAS DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS.................
79
3.3.1 Categoria de Problemas de "Comparação Multiplicativa de
Grandezas" .................................................................................
81
3.3.2 Categoria de Problemas de "Proporcionalidade Simples"...........
82
3.3.3 Categoria de Problemas de "Proporcionalidade Simples
Composta" ..................................................................................
84
3.3.4 Categoria de Problemas de "Proporcionalidade Dupla ou
Multipla" ......................................................................................
84
3.4 OS ESQUEMAS DE NUNES E BRYANT ..............................................
90
3.5 AS CATEGORIAS APRESENTADAS NOS PCN(1997) .........................
91
3.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .....................................................................
93
4 METODOLOGIA ............................................................................................
95
4.1 OBJETIVOS ...........................................................................................
95
4.2 METODOLOGIA DA PESQUISA ............................................................
96
4.3 A ESCOLHA DOS SUJEITOS ................................................................
97
4.4 A SELEÇÃO DA ESCOLA ......................................................................
98
4.5 MATERIAIS E AMBIENTE DE TRABALHO ...........................................
99
4.6 PROPOSTA INICIAL DO DESIGN ......................................................... 100
4.7 PROCEDIMENTO ESPECÍFICOS PARA A COLETA DE DADOS NAS
FASES .................................................................................................... 101
5 ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ......................... 107
5.1 ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI FASE 1 ..................................... 107
5.2 ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI FASE 2 ..................................... 108
5.3 ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI FASE 3 ..................................... 118
5.4 ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI FASE 4 ..................................... 132
6 ANÁLISE COMPARATIVO DAS SOLUÇÕES DADAS AOS ALUNOS ...... 134
6.1 ANÁLISE DO DESENVOLVIMENTODOS ESQUEMAS DOS ALUNOS
136
6.2 ANÁLISE DOS TIPOS DE CÁLCULOS APRESENTADOS PELOS
ALUNOS ................................................................................................. 171
6.3 ANÁLISE DAS DIFICULDADES POR CATEGORIA DE PROBLEMAS . 190
CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS ............................ 196
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................................................. 203
ANEXOS............................................................................................................. 215
ANEXO A – ATIVIDADE APLICADA NA INTERVENÇÃO COM O USO DO
SOFTWARE COLETIVO ........................................................................ 215
ANEXO B – ATIVIDADE APLICADA NA SAI COM INTERVENÇÃO COM O
USO DO SOFTWARE INDIVIDUAL ....................................................... 216
19
1
PANORAMA ATUAL DAS PESQUISAS E DAS PROPOSTAS
PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM SOBRE ESTRUTURAS
MULTIPLICATIVAS
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Neste capítulo pretendemos mostrar o panorama atual das pesquisas e das
propostas de ensino e
aprendizagem sobre
as
estruturas multiplicativas,
considerando particularmente, as situações propostas nas metodologias recentes de
pesquisa, analisando as escolhas sugeridas pelo Programa Ler e Escrever e,
finalmente, comparando essa proposta com as dos Parâmetros Curriculares
Nacionais para o ensino do campo conceitual associado às estruturas multiplicativas
para o Ciclo I do Ensino Fundamental.
Iniciamos
os
trabalhos
considerando
algumas
pesquisas
que
são
mencionadas no Programa da Prefeitura e no Estado de São Paulo, bem como nos
Parâmetros Curriculares Nacionais para, em seguida, apresentarmos uma breve
descrição do funcionamento do Programa Ler e Escrever desenvolvido na rede
municipal de ensino de São Paulo desde 2005, onde teve sua origem, tendo sido
aderido pela rede de Ensino do Estado de São Paulo após dois anos, sendo
consideradas também as indicações do programa nesta rede discorremos sobre as
orientações curriculares para o ensino de estruturas multiplicativas da prefeitura do
Estado de São Paulo e da rede estadual de ensino de São Paulo, em relação aos
outros estados, estudamos apenas a proposta nacional.
Finalmente, identificamos as regularidades e diferenças entre essas
propostas, lembrando que os Parâmetros Curriculares Nacionais foram introduzidos
em 1997 e, por conseguinte, a proposta da prefeitura de São Paulo (2005) e a do
Estado de São Paulo (2008).
É relevante ressaltar que no próprio Estado de São Paulo outras propostas
podem estar sendo utilizadas por diferentes prefeituras.
20
1.1
Algumas pesquisas sobre estruturas Multiplicativas
Partimos da pesquisa de Campos, Nunes, Bryant et Magina (2002), que,
atualmente corresponde ao estudo mais abrangente sobre as possibilidades de
trabalho com as estruturas multiplicativas com alunos das séries iniciais do Ensino
Fundamental no Brasil.
No livro Introdução à Educação Matemática – Os números e as operações
numéricas as autoras analisaram o desempenho de crianças das séries iniciais,
quando se propunha a resolução de problemas que envolviam situações de adição,
subtração, multiplicação e divisão à luz da teoria dos campos conceituais de
Vergnaud (1983, 1987, 1990, 1991).
Nessa obra, as autoras descrevem nas considerações finais que uma das
suas aspirações é que este material seja útil na formação de professores e ofereça
a oportunidade para que os mesmos reflitam sobre os conceitos, no âmbito da
teoria e da pratica. Elas propõem que o professor se torne um pesquisador do
raciocínio de seus alunos, e ainda, [...] ―procure cumprir o currículo a partir de onde
os alunos estão para levá-los a alcançar novos níveis de raciocínio‖ (CAMPOS et
al., 2002, p.190).
Não é possível saber a extensão desse trabalho junto aos professores, mas o
estudo do Programa Ler e Escrever permite considerar que as autoras, ao menos,
conquistaram um espaço para a sua utilização, pois esse programa prevê as ações
de sondagem e elaboração de atividades por meio das perspectivas didáticas
propostas em suas obras.
Observamos ainda que Magina e Campos (2004) consideram que as
crianças normalmente constroem um campo conceitual por meio da experiência na
vida diária e escolar. Dessa forma, a importância de um estudo diagnóstico é
fornecer ao professor subsídios que lhe permita saber em que nível de
desenvolvimento seus alunos se encontram, isto é, com esse estudo os professores
são capazes de identificar quais classes de problemas são mais facilmente
entendidas, quais procedimentos são mais naturalmente utilizados por cada grupo
de alunos e qual a influencia da vida diária e escolar sobre os conhecimentos
apresentados por esses alunos nas obras de “Introdução à Educação Matemática -
21
Os números e as operações numéricas; Repensando Adição e Subtração Contribuições da Teoria dos Campos Conceituais” (2001).
A partir dos resultados encontrados é que se propõem um trabalho gradativo
com novas classes de problemas, que demandam raciocínios mais sofisticados e
permitem assim, que esses alunos ao revisitar seus conhecimentos prévios possam
utilizá-los de forma a resolver novas classes de problemas, ampliando, desta forma,
o campo conceitual que envolve a estrutura multiplicativa.
Isso reforça a afirmação de Vergnaud (1991 p.153) ―um conceito não pode
ser reduzido a sua definição, pelo menos quando nos interessamos pela sua
aprendizagem e pelo seu ensino‖.
Além disso, permite considerar a ênfase dada por Nunes (2003) para a noção
de proporcionalidade, que segundo seu ponto de vista é um conceito central da
Matemática, consideradas também pelas propostas curriculares atuais da rede
publica do estado, e essencial para o ensino das operações, atendendo também os
conceitos de frações e multiplicação, pois essa noção consiste em um recurso para
resolver situações, em geral, encontradas em todas as ciências ou mesmo no
cotidiano. Observando ainda que esse conceito tenha origem bastante simples, pois
se trata da relação entre duas variáveis.
Apesar das pesquisas indicarem uma necessidade em considerar a
experiência de vida escolar das crianças e de existir uma noção matemática que
permite tratar de forma geral casos particulares, Nunes (2003)1 lembra que para
compreender a noção de proporcionalidade, “fazemos uma relação com a
multiplicação, mas a escola não. Lá no início da escolarização, as primeiras noções
de proporção deveriam aparecer junto com os conceitos de multiplicação‖.
Algumas pesquisas atuais sobre as estruturas multiplicativas mostram que
muitos professores ensinam essa operação básica apenas como uma "adição
repetida" de parcelas, não fazendo relação com a noção de proporção, isto é, a
estrutura multiplicativa é vista apenas como uma relação ternária2, o que é contrario
ao estudo proposto por Vergnaud (1983b).
1
Nunes, T. (2003) em entrevista para a revista on-line Nova Escola
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/hora-ensinar-proporcao-fala-mestreterezinha-nunes-428131.shtml.
2
Relação ternária: Uma relação ternária R (a, b, c) é uma relação entre os elementos a,b,c. Onde R
tem uma relação ternária R sobre três universos A, B e C (não necessariamente diferentes) é definida
22
Lembramos que a adição repetida de parcelas não mostra o sentido de
proporção que existe por trás dessa operação, portanto os alunos só terão
oportunidade de tratar da proporcionalidade nas séries subsequentes, num capítulo
isolado. Esse trabalho compartimentado dificulta a articulação das diferentes
noções matemática isolando o conceito e, logo, não admitindo a existência de um
campo conceitual que pode ser revisitada em diferentes momentos auxiliando os
alunos a ampliar seus conhecimentos e perceberem a relação existente entre as
diferentes noções matemática podendo assim trabalhar de forma flexível utilizando
os conhecimentos prévios.
Documentos oficiais como Parâmetros Curriculares Nacionais, por exemplo,
também nos alerta para a dificuldade que pode gerar com a persistência em
trabalhar a multiplicação somente como soma de parcelas iguais, que é justificada
por meio de exemplos conforme mostra o texto abaixo:
Por exemplo: — Tenho que tomar 4 comprimidos por dia, durante 5
dias. Quantos comprimidos preciso comprar? A essa situação
associa-se a escrita 5 x 4, na qual o 4 é interpretado como o número
que se repete e o 5 como o número que indica a quantidade de
repetições. Ou seja, tal escrita apresenta-se como uma forma
abreviada da escrita 4 + 4 + 4 + 4 + 4. A partir dessa interpretação,
definem-se papéis diferentes para o multiplicando (o número que se
repete) e para o multiplicador (o número de repetições), não sendo
possível tomar um pelo outro. No exemplo dado, não se pode tomar
o número de comprimidos pelo número de dias. Saber distinguir o
valor que se repete do número de repetições é um aspecto
importante para a resolução de situações como esta. (BRASIL, 1997.
p.71)
Apesar dos trabalhos de pesquisa que vem sendo realizados e das
observações e exemplos que aparecem nas diferentes documentos oficiais ainda se
têm um longo caminho a percorrer.
Outra questão importante para o trabalho que estamos desenvolvendo não
descarta considerar as estratégias pessoais de cálculo para resolução de
problemas em situações reais que, de acordo com Rocha et Menino (2009), tem
sido recomendada na literatura internacional e que já fazem parte das propostas
por
acima se estende em
b, c) ∈ R.
Ou seja, R é um subconjunto do produto cartesiano entre A, B e C. A definição
onde R(a, b, c) será verdadeira se (a,
23
brasileiras. Como exemplo, citamos os Parâmetros Curriculares Nacionais, que
afirma que os professores devem fazer intervenções para socializar as idéias, de
todos os tipos de soluções encontradas, pois essa abordagem pode ampliar as
reflexões dos alunos sobre sua idéia inicial, fazendo circular as informações
possibilitando compartilhar conhecimento. (BRASIL, 1997, p.45)
Desse modo o professor torna-se responsável por selecionar as tarefas e
organizar as atividades na sala de aula analisando e acompanhando os avanços e
os conhecimentos disponíveis para propor situações difíceis, porém possíveis.
Nesse momento é evidente a importância do ―topos‖3 (Palavra grega que significa
―lugar‖. O ―topos‖ do aluno é o lugar onde ele opera com relativa autonomia, e em
relação ao professor é o papel que lhe é próprio na realização de uma tarefa
didática. Este trabalho que reúne professor e aluno exige uma ação orquestrada, em
que ambos são chamados a desempenhar seu papel em fases cooperativas.
(CHEVALLARD e GRENIER, 1997, p.186, tradução nossa). do aluno e do professor,
que deveria ser melhor explicitado tanto nos documentos oficiais como nos cursos
de formação.
Além dos pontos acima descritos temos um contexto bem conhecido no
ensino das operações que é a introdução prematura dos algoritmos. Segundo a
definição apresentada por Vergnaud (1991), o algoritmo é um conjunto de regras
que permite, para todo problema de uma classe dada anteriormente, conduzir a uma
solução, se existe uma, ou, se for o caso, mostrar que não há solução.
Nesse aspecto Rocha e Menino (2009 p. 104) dizem que o professor pode
encorajar os alunos a refletir sobre as idéias matemáticas e sobre os processos
usados na resolução de problemas garantindo a aquisição de conhecimentos sobre
os números e sobre as operações, necessários para operar ao nível da abstração.
O trabalho com os esquemas 4, como proposto por Vergnaud (1997) tende a
iluminar essa prática prematura, mas exige uma mudança de comportamento por
3
Topos: Palavra grega que significa ―lugar‖. O ―topos‖ do aluno é o lugar onde ele opera com relativa
autonomia em relação ao professor o papel que lhe é próprio na realização de uma tarefa didática.
Este trabalho que reúne professor e aluno exige uma ação orquestrada, em que ambos são
chamados a desempenhar seu papel em fases cooperativas. (CHEVALLARD e GRENIER, 1997,
p.186, tradução nossa).
4
Esquema: O conceito de esquema é particularmente bem adaptado para designar e analisar
classes de situação para as quais o sujeito dispõe em seu repertório, a um momento dado de seu
desenvolvimento e sob certas circunstâncias, de competências necessárias ao tratamento
relativamente imediato da situação. Mas ele é igualmente valido para a descoberta e invenção em
24
parte dos alunos e do professor dentro de um patamar superior dependendo de um
trabalho árduo de pesquisa e organização matemática, além da didática que pode
ser considerada, por meio de leitura de textos e proposta a partir de identificada em
documentos como os Parâmetros Curriculares Nacionais.
Outra situação que se vê descrita nos Parâmetros Curriculares Nacionais
refere-se ao ensino por meio de resoluções de problemas. Isso nos interessa à
medida que entendemos que a proposta de trabalho do programa que estamos
analisando ―Programa Ler e Escrever‖, pretende que a metodologia para subsidiar o
ensino de matemática seja por meio de resolução de classes de problemas que
possam ser representados por determinados esquemas e inseridos num campo
conceitual. Acrescenta ainda que esse trabalho permite revisitar idéias que
pertencem ao mesmo campo conceitual.
Porém, nos Parâmetros Curriculares Nacionais, temos que a pratica dessa
metodologia aparece no contexto escolar
ainda com algumas distorções
considerando, na melhor das hipóteses, que os problemas tem sido aplicados sem
desempenhar o papel reflexivo do responsável pela resolução, e, sim como ―forma
de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos‖. (BRASIL,
1997, p.32)
A identificação dos diferentes esquemas de Vergnaud no trabalho dos alunos
e sua discussão pode contribuir para que os alunos trabalhem de forma autônoma
utilizando seus conhecimentos prévios, suas próprias maneiras de resolver
problemas e situações que lhe são propostas. Isso permite que os alunos criem
seus próprios meio de controle dos resultados encontrados podendo defender,
quando necessário, a solução proposta, ou seja, com autonomia e confiança.
Importante ressaltar que considerar o tipo de problema a ser trabalhado e a
interpretação do mesmo tem o mesmo ―peso‖ para o ensino e aprendizagem que as
estratégias que os alunos podem usar para resolver problemas. Assim, Cavalcanti
(2001 p. 132) valida nossas hipóteses afirmando que esse é um percurso que
contribui para a ação de investigação, permitindo que o aluno se dispusesse a
ajustar seus conhecimentos para resolver os problemas.
situação de resolução de problemas. Muitos esquemas são evocados sucessivamente e mesmo
simultaneamente em uma situação nova para o sujeito (VERGNAUD, 1995, p.176).
25
Ainda, segundo Cavalcanti (2001 p. 122) o fato do aluno resolver de um jeito
que o não esperado pelo professor (por exemplo: por meio de desenhos, figuras ou
outras que não por meio do algoritmo) resulta em certo desconforto para muitos
professores, pois algumas formas incomuns que as crianças usam para resolver
problema não correspondem às convencionais e tradicionalmente trabalhadas e
consideras pela escola como corretas.
Como exemplo que auxilia a refletir sobre uma forma não escolar de resolver
problemas proposta por Cavalcanti (2001 p. 121) foi à seguinte: ―Clovis é um
colecionador muito estranho. Ele tem 2 caixas. Em cada caixa há 4 aranhas. Cada
aranha tem 8 patas. Se Clóvis tivesse que comprar meias no inverno para as suas
aranhas, quantas meias compraria?‖
A figura abaixo mostra as respostas propostas pelas crianças:
Figura 1 - Representações de estruturas multiplicativas por meio de figuras.
Fonte: Smole&Diniz (2001, p. 122).
Nestas representações vemos que as ações das crianças diante da tarefa de
procurar a solução do problema foram com a não utilização de algoritmos, mas que
26
não sendo capaz de desenvolvê-lo, chegam à solução por meio de representações
que surgem espontaneamente como forma de solução para a situação proposta.
Cavalcanti (2001 p. 122) justifica a expectativa do uso do algoritmo e o
espanto por parte dos professores com as soluções apresentadas, as quais não
correspondem com o trabalho desenvolvido em aula, mostrando que os alunos são
capazes de criar seus próprios esquemas para a solução do problema proposto,
desenvolvendo suas idéias, revisitando conceitos e apreensões que estão
disponíveis e lançando supostas respostas que encontram como teoremas em
ação5, que podem ser ou não verdadeiros.
Cavalcanti (2001 p. 123) explica que o problema que apresentamos surgiu de
uma introdução da multiplicação para saber se as crianças compreenderam e
usaram a multiplicação na forma canônica. A autora diz que ―acreditava-se que elas
precisam dominar técnicas operatórias para resolver problemas tendo um mínimo
de linguagem matemática adquirida para expressar suas resoluções”. Notamos que
não ocorreu o que era esperado.
Desse modo, podemos entender que mesmo trabalhando com situações
problemas não se garante o avanço na aprendizagem das crianças se as situações
propostas não se traduzem num momento de reflexão e autonomia do aluno para
expressar seu significado como mostra o texto abaixo, procurando soluções com
estratégias próprias, em que elas revisitam os seus saberes.
Destacamos a seguir alguns princípios colocados por documentos oficiais.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais defendem que a atividade Matemática deve
ser trabalhada por meio de situações problemas os quais permitam que o aluno
explore seu campo de conhecimento Matemático e, a partir das dificuldades
encontradas, procurem novos conceitos e formas de tratamento para essas
situações ampliando seu campo inicial tais como:

O ensino de matemática deve ser abordado mediante a
exploração de problemas, o foco não deve ser na definição, mas
essa deve ser procurada por meio de problemas de forma a permitir
que os conceitos, idéias e métodos matemáticos sejam resolvidos
por meio de estratégias pessoais;
5
Teoremas em ação: são definidos como relações matemáticas que são levadas em consideração
pelos alunos, quando estes escolhem uma operação, ou sequencia de operações, para resolver um
problema. Os Teoremas-em-ação não são teoremas no sentido convencional do termo, porque a
maioria deles não são explícitos. (CAMPOS et al, 2001, p.16)
27

Diferente de problema é o exercício mecânico, que impede
que o aluno seja levado a pensar, procurando estruturar uma
resposta para a questão proposta e, simplesmente precisa aplicar
uma fórmula da qual ele não compreende ou um processo
operatório do qual foi treinado;

Quando temos um certo tipo de problema temos que construir
justaposição consecutivas ao conceito, para que em outro momento
o aluno revisite seu conhecimento e resolve outros problemas,
exigindo antecipações, correções, ruptura, segundo um processo
idêntico das descobertas cientificas;

Um conceito matemático é construído por meio de articulações
com outros conceitos, e o aluno constrói um campo de conceitos que
tomam sentido num campo de problemas;

O problema precisa proporcionar o contexto, que serve como
orientação de aprendizagem de conceitos, procedimentos e atitudes
matemáticas. (BRASIL, 1997, p. 32-33).
Dessa forma, ao descrever os objetivos para o ensino fundamental do Ciclo I,
os Parâmetros Curriculares Nacionais colocam em evidência a importância do
desenvolvimento por parte do aluno e de um planejamento das situações que são
propostas para que possam ser executadas, justificadas e controladas, por meio de
resolução de problemas, ―validando estratégias e resultados, desenvolvendo formas de
raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando
conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis‖
(BRASIL, 1997. p.37).
Além desse texto, esse documento confirma o trabalho com as novas
tecnologias. Isso nos conduziu a propor uma situação de problema com a utilização
de um software livre de apoio às nossas intervenções, o software escolhido deve
auxiliar a validar nossa pesquisa.
Consideramos assim como Milani que a associação do ensino de matemática
com o uso da tecnologia da informática para as séries iniciais pode ser um
facilitador da aprendizagem. Ela reforça que o computador deve ser um instrumento
de uso habitual no contexto escolar pois, segundo a autora, a não utilização desse
recurso significa atualmente ―alienar o ambiente escolar‖ (MILANI 2001, p.175).
A autora não defende apenas o uso do computador na escola e salienta que
outras tecnologias como retroprojetor, projetor de slides, televisão, vídeo e
calculadora são instrumentos que fazem parte do contexto social, logo do contexto
escolar e que, portanto, é preciso não só o uso do recurso, mas a forma como os
mesmos são utilizados.
28
Em relação às tecnologias de informática, Milani acena para a qualidade na
utilização da tecnologia da informática para o ensino de matemática contribuindo
com a afirmação de que: ―é preciso saber como, quando, onde e por que utilizar o
computador, estabelecendo-se estratégias bem claras e definidas, distinguindo-se
as tarefas em que o seu uso é fundamental daquelas em que sua contribuição é
pequena e circunstancial‖ (MILANI, 2001, p.177).
Milani ressalta a importância de sua adequação ao trabalho a ser
desenvolvido e observando que sua importância no ensino está associada à
contribuição dessas ferramentas utilizadas.
A autora refere-se ainda a obra de Levy (1993, apud MILANI, 2001) para qual
o papel do computador no processo de ensino e aprendizagem na escola é
proposto da seguinte forma:
o uso criativo do computador, deslocando-se a preocupação do
objeto- computador, programas, módulos técnicos – para o projeto,
o ambiente cognitivo, a rede de relações humanas que se quer
instituir, as competências que serão desenvolvidas, as relações
entre diferentes áreas do conhecimento. O que se observa, porém, é
que o uso do computador como recurso didático ainda esta centrado
na máquina, como um recurso para armazenar informações, ou
automatizar cálculos, e não como parte de uma tecnologia
intelectual. (1993, apud. MILANI, 2001, p.177).
Os dois autores concordam com a importância de utilizar as ferramentas de
informática no desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem, mas esse
recurso deve ser indispensável para a execução da tarefa proposta e não servir
apenas como recurso de cálculo ou armazenamento de dados.
Outro trabalho estudado que contribui para a nossa investigação é o de
Guimarães (2004, p. 160) que, em sua tese de doutorado, investiga as relações
existentes entre os níveis de construção da noção de multiplicação e os níveis de
generalização, usando um pré-teste e pós-teste antes e depois dos alunos
submeterem a uma intervenção pedagógica, por meio de situações lúdicas do tipo
Jogos de Argola6.
A fundamentação teórica na Epistemologia Genética de Jean Piaget, cujo
pressuposto central é de que o conhecimento se constrói a partir das trocas do
6
Jogos de Argola: Composto por nove hastes de madeira coloridas fixadas em base quadrada,
indicando os pontos que variam de 1 a 9, conjunto de argolas, conjunto de fichas confeccionadas em
papel cartão com as respectivas cores das hastes.
29
sujeito com o meio. Frente a desequilíbrios e conflitos, o sujeito tende a reagir por
meio de regulações contínuas reorganizando suas estruturas cognitivas anteriores.
Além dessa, o estudo de Guimarães (2004, p. 5) pauta-se nos processos
cognitivos na construção do conhecimento Matemático, na equilibração majorante,
na abstração reflexiva no pré e no pós-teste da ―construção de múltiplos comuns‖
(PIAGET 1986, apud GUIMARÃES 2004 p. 4) e nos níveis de generalização
construtiva responsáveis pela construção do conhecimento lógico-matemático, por
meio de resolução de problemas. Neste trabalho a autora concluiu que após as
situações lúdicas os alunos de níveis mais elevados de construção desse campo
conceitual, foram melhores.
A partir dessas teorias que investigamos, procuramos fazer um trabalho com
o uso dos diversos recursos disponíveis no Programa Ler e Escrever, e
propusemos uma intervenção utilizando o software ClicMat 7 o que consideramos
como uma situação a-didática8, não pelo uso da tecnologia da informática, e sim por
que colocamos sob a responsabilidade do aluno a ―devolução‖9 de suas reflexões
sobre as investigações propostas por meio de narrativas utilizando os recursos de
organização, de compreensão da estratégia proposta, por meio da linguagem
matemática e do algoritmo da multiplicação ou divisão como uma estratégia mais
econômica para a solução da atividade.
Observamos que para Brousseau (1986) uma situação a-didática concerne à
parte de uma situação didática que o professor delega (devolve) ao estudante, se
esforçando para excluir suas intervenções relativas à solução. Assumindo, assim, o
risco e a responsabilidade de seus atos em condições incertas o que considera a
parte mais difícil do ato didático.
Para melhor compreender como as pesquisas acima têm sido utilizadas nas
novas propostas no Estado de São Paulo, vamos descrever o percurso do Programa
7
Software criado por quatro professores do Ensino Básico de Portugal com 32 atividades interativas
de matemática para as séries iniciais, em 2001.
8
Situações a-didáticas: segundo teoria das situações (teoria desenvolvidas na tese de doutorado:
La théorisation des phénomènes d'enseignement des mathématiques‟, de 1986: situação didática,
situação a-didática, contrato didático, devolução e milieu (antagonista e aliado) por Guy Brousseau, o
professor adia a emissão do conhecimento ou as possíveis correções até que as crianças consigam
chegar à regra e validá-la. Ele deve propor um problema para que elas possam agir, refletir, falar e
evoluir por iniciativa própria, criando assim condições para que tenham um papel ativo no processo
de aprendizagem. Brousseau chama essa situação de a-didática.
9 Devolução: Em Guy Brousseau nas Teorias das Situações - O ato pelo qual o professor obtém que
o aluno aceite e possa aceitar, agir em uma situação a-didática, assumindo o risco e a
responsabilidade de seus atos em condições incertas.
30
Ler e Escrever e as orientações que esses documentos trazem para o ensino das
estrutura multiplicativa.
1.2
Programa Ler e Escrever na Prefeitura de São Paulo
O Programa Ler e Escrever inicia na Prefeitura Municipal de São Paulo no
ano de 2005, para implantação em 2006 e, após dois anos, isto é, em 2008 a
Secretaria de Estado da Educação de São Paulo adere ao Programa.
Na Prefeitura de São Paulo, por intermédio da Secretaria Municipal de
Educação (SME), no ano letivo 2006 o Programa Ler e Escrever, é implementado
seu foco é melhorar a qualidade do ensino, para reverter o fato de grande parte dos
alunos dessa rede não dominam o sistema de escrita ao final do 1º ano do Ciclo I.
Sendo que essa competência é condição indispensável para que esses alunos
adquiram conhecimentos de todas as áreas e possa ter plena participação social.
Foram elaboradas Orientações Curriculares e Expectativas de Aprendizagens
que são acompanhadas pelas Orientações Didáticas para os Ciclos I do Ensino
Fundamental. Essas mudanças foram instituídas por meio de Portaria10 que leva em
conta todos os anos e turmas do Ciclo I do Ensino Fundamental. Sendo assim, todos
os alunos do ciclo I estão inseridos no Programa "Ler e Escrever", da rede Municipal.
Lembramos ainda, que esta rede trabalhou também com o Ciclo II do Ensino
fundamental o qual não consideramos neste trabalho uma vez que nosso foco são
as pesquisas que estão relacionadas especificamente com o Ciclo I.
O programa foi reorganizado11 em 2007, alterado apenas no pelo seu artigo
primeiro e a partir de então incluiu Escolas Municipais de Ensino Fundamental,
Escolas Municipais de Ensino Fundamental e Médio e Escolas Municipais de
Educação Especial.
O Programa passa a ser constituído pelos projetos que seguem: Projeto
"Toda Força ao 1º ano do Ciclo I, indicado pela sigla ―TOF"; Projeto Intensivo no
Ciclo I – indicado pela sigla PIC, 3º série; Projeto Intensivo no Ciclo I – indicado pela
sigla - PIC 4º série; Projeto "Ler e Escrever nos 2ª s, 3ªs e 4ª séries do Ciclo I";
10
Portaria SME 6.328, de 26/09/05 e o Comunicado SME 1.202, de 17/11/05.
Com suas atualizações SME nº 4.507, de 30/08/07; no anexo único da portaria nº 5403, de 16 de
novembro de 2007.
11
31
Projeto "Ler e Escrever em todas as Áreas de Conhecimento do Ciclo II e Projeto
"Compreensão e Produção da Linguagem Escrita por Alunos Surdos".
Sendo o cerne dos projetos acima destacados a aprendizagem das crianças,
o programa não se restringe apenas aos alunos, mas envolve os professores
coordenadores pedagógicos e professores de classe num processo cíclico de
formação continuada, compreendendo ainda a importância de envolver também os
pais, por meio de sua participação em atividades propostas a partir das perspectivas
do Programa, cuja intencionalidade de integrar os pais na escola e no auxílio do
desenvolvimento escolar dos alunos.
Após três anos, entre criação e implantação do projeto na cidade de São
Paulo, a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo adere e inicia a
implementação do Programa, conforme anunciaremos abaixo.
1.3
O Programa Ler e escrever na Secretaria de Educação do Estado de São
Paulo
No inicio de 2008 começa a adesão do Programa apoiada nas dificuldades
apresentadas pelos alunos do Ciclo I e expressas nos resultados do SARESP 2005
com intuito da efetiva melhoria na qualidade de ensino nos anos iniciais da
escolaridade. Desta forma, a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo,
instituiu: ―Segundo a Resolução SE 86, de 19-12-2007 institui, para o ano de 2008, o
Programa ―Ler e Escrever‖, no Ciclo I das Escolas Estaduais de Ensino Fundamental
das Diretorias de Ensino da Coordenadoria de Ensino da Região Metropolitana da
Grande São Paulo‖.
Com essas ações a Secretaria, no artigo primeiro desta Resolução,
estabelece que, a partir do ano de 2008, todos os alunos com idade de até oito anos
deverão estar alfabetizados até 2010 e devem ter recuperada a aprendizagem de
leitura e escrita, sendo pressuposto o avanço das aprendizagens das crianças nas
outras áreas de conhecimento tão essenciais quanto ler e escrever.
Para a implantação do Programa Ler e Escrever nas escolas da rede pública
estadual são feitas formações do ―trio‖ Gestor (Supervisor, Diretor e Professor
Coordenador) com encontros onde são discutidos conteúdos que ampliam as
possibilidades de compreenderem, apoiarem, acompanharem, avaliarem e tomarem
32
decisões visando à promoção da aprendizagem dos alunos e formação pedagógica
com o objetivo de aperfeiçoar a didática de alfabetização e formação dos
professores em suas escolas.
Em relação à aderência do Programa incidiu o acolhimento de projetos nas
salas de aula que incluem materiais diversos. A estruturação do Programa se deu
por meio de ações as quais relacionam os seguintes projetos:

Ler e Escrever na 1ª série do Ciclo I;

Ler e Escrever na 2ª série do Ciclo I;

Projeto Intensivo no Ciclo - 3ª série — PIC 3ª série;

Projeto Intensivo no Ciclo – 4ª série — PIC 4ª série
O Programa prevê ainda a inclusão de um aluno cursista de universidade, nas
áreas de Pedagogia ou Letras, como estagiário junto ao professor regente de classe.
Este aluno tem a função de assessorar o professor de classe da 1ª série do Ciclo I.
Dentro do contexto do Programa alega-se que esta ação é determinante para o
avanço do Programa, alertando que o projeto proferir material e formação
continuada articulada a pratica dos professores.
Essa formação acontece nas Unidades Escolares no contexto de trabalho, na
relação direta com os professores e seus colegas envolvidos no Programa para que
assim possam melhor formular suas questões e refletir sobre as suas práticas,
detectando problemas, estudando e buscando soluções e avanços.
Por isso, o Programa estabelece que a formação dos professores seja
praticada pelo Professor Coordenador da escola, no acompanhamento das salas de
aula e nas Horas de Trabalho Pedagógico Coletivo (HTPC), possibilitando o
atendimento às especificidades das séries. Para tanto, os professores que
anteriormente teriam duas horas de estudos e elaboração de suas rotinas semanais,
com a nova estruturação, os envolvidos nos projetos, passam a ter sua carga horária
ampliada em 4 horas semanais, ou seja, atualmente com 6 horas para estudo.
Tal proposta pretende romper com a cultura escolar que aceita o fato de que
os alunos percorrem os anos dos ciclos sem conseguir aprender a ler e a escrever.
A iniciativa pretende com esses projetos interferir diretamente no cotidiano da sala
de aula e na gestão da escola e revela ainda que o Programa vise reverter o quadro
de fracasso escolar dos alunos do ensino fundamental da rede pública estadual de
ensino.
33
Em 2007 ocorreram às primeiras investidas no Programa Ler e Escrever. Esta
primeira fase do Programa aconteceu nas escolas da capital paulista, com a adoção
da Bolsa Alfabetização, que é a inserção do estagiário nomeado como Professor
Regente.
A partir do segundo semestre de 2008, iniciaram as orientações técnicas dos
educadores, a distribuição de materiais e a formação dos professores de classe no
contra-turno à aula. As Oficinas Pedagógicas de cada região promoveram, de forma
conjugada, a elaboração de diretrizes, conceitos, formatos e materiais de apoio à
formação dos docentes das 1ªs., 2ªs, 3ªs e 4ªs séries ou, na atual legislação 2ºs,
3ºs, 4ºs e 5ºs anos do ensino fundamental.
Em 2009 incluíram-se, por meio de material didático, as 3ª e 4ª séries as
quais iniciaram as investigações das propostas de encaminhamentos do Programa
Ler e Escrever.
Essas duas redes publicam as orientações curriculares para alcançar as
expectativas de aprendizagens nas modalidades de ensino envolvidas no Programa,
conforme relatadas abaixo. Neste caso com foco nas expectativas de aprendizagem
referentes ao conceito de multiplicação, que é o campo conceitual que a nossa
pesquisa investiga.
1.4
Orientações curriculares da Prefeitura Municipal em relação ao ensino
de estrutura multiplicativas, segundo o Programa Ler e Escrever
Em relação às orientações propostas no Programa Ler e Escrever no
documento disponibilizado pela Prefeitura Municipal de São Paulo, as expectativas
de aprendizagem para o terceiro ano (2ª série) e em seguida para o quarto ano (3ª
série) em relação às estruturas multiplicativas são as que seguem:
No terceiro ano as expectativas de aprendizagem em relação ao ensino das
estruturas multiplicativas deve se compor as ações de ―Exploração dos contextos do
cotidiano, de outras áreas de conhecimento e da própria Matemática, por meio de
práticas que pode articular-se em projetos, seqüências didáticas, atividades
rotineiras e atividades ocasionais, para cada um dos blocos temáticos, espera-se
que o estudante possa:‖(SÃO PAULO, 2007, p. 73)
34
Analisar, interpretar e resolver situações-problema, compreendendo alguns
dos significados da multiplicação, utilizando estratégias pessoais, sem uso de
técnicas convencionais. (SÃO PAULO, 2007, p. 73)
Para o terceiro ano as expectativas de aprendizagem em relação ao ensino
das estruturas multiplicativas devem ser estudadas de forma a possibilitar o aluno a:
analisar e validar (ou não) resultados obtidos por estratégias pessoais de cálculo de
subtração utilizando a calculadora. Analisar, interpretar e resolver situaçõesproblema, compreendendo alguns dos significados da multiplicação. Calcular
resultados de multiplicação, por meio de estratégias pessoais. Determinar o
resultado da multiplicação de números de 0 a 9, por 2, 3, 4, 5, em situaçõesproblema e identificar regularidades que permitam sua memorização.( SÃO PAULO,
2007, p.74)
Utilizar sinais convencionais (+, –, x, : e =) na escrita de operações de
multiplicação e divisão. Analisar, interpretar, resolver e formular situações-problema,
compreendendo alguns dos significados da divisão, utilizando estratégias pessoais
(SÃO PAULO, 2007, p.74).
Observamos que existe no documento uma orientação que propõem o
estímulo à compreensão dos significados das operações destacando a teoria do
pesquisador Vergnaud (1990) como contribuição para a sala de aula. Os estudos
desse pesquisador sugerem o trabalho conjunto com os problemas de multiplicação
e divisão, pois fazem parte de uma mesma área conceitual. Em sua Teoria dos
Campos Conceituais, propondo trabalhar um conjunto de problemas que explorem a
adição e a subtração e também a multiplicação e a divisão, com base em um campo
mais amplo de significados do que têm sido usualmente realizado, como os que
aparecem no quadro abaixo:
Tabela 1 – Quadro de Orientações Curriculares dos campos conceituais aditivo e multiplicativo
Fonte: Programa Ler e Escrever da Prefeitura de São Paulo (2007, p. 140)
35
Encontramos, no material do Programa Ler e Escrever, alguns protocolos de
alunos das séries iniciais que, por meio de representações de desenhos, expressam
esquemas da estrutura multiplicativa:

o primeiro fez o desenho e respondeu, por meio da contagem, a quantidade
de pés das quatro galinhas.
Figura 2 – Amostra de resolução de problema estrutura multiplicativa por meio da contagem.
Fonte: São Paulo (2007, p.140).

A segunda amostra apresenta a solução de um problema de estrutura
multiplicativa associada à idéia de combinatória, por meio de representação
diagramas de árvore, até esgotar as possibilidades e, em seguida, por meio
da contagem solucionou o problema.
Figura 3 – Amostra de resolução de problema de estruturas multiplicativas por meio de
diagrama de árvore.
Fonte: São Paulo (2007, p. 140).

No último protocolo, o aluno fez a representação por meio da distribuição das
cadeiras na coluna e depois adicionou linha por linha e em seguida
expressou a solução por meio do algoritmo da multiplicação apoiado nos
36
esquemas elaborados inicialmente, o problema é de estrutura multiplicativa
associada à idéia de configuração retangular.
Figura 4 - Amostra de resolução de problema estrutura multiplicativa por meio da
correspondência com a coordenação com a contagem.
Fonte: São Paulo (2007, p. 141).
Além das questões de significado das operações, há ainda aquelas referentes
ao papel do cálculo na escola hoje e as articulações entre cálculos mentais e
escritos, bem como sobre a necessidade de explorar cálculos exatos ou
aproximados. Um esquema interessante dessas relações foi apresentado pelo
National Council of Teachers of Mathematics (1989):
Figura 5 – Mapa conceitual dos diferentes tipos de cálculo e suas
relações (cálculo com respostas exatas e aproximadas).
Fonte: São Paulo, (2007, p. 140).
37
Podemos ver no esquema representado no mapa conceitual acima uma das
recomendações do guia para a aprendizagem dos cálculos que mostra como ponto
de partida um problema, e precisa que a resposta seja exata ou aproximada. Assim
temos uma resposta exata, ―a depender da complexidade do cálculo, ela pode ser
obtida por cálculo mental, com papel e lápis, com calculadora ou computador, mas o
controle e a validação dessa resposta dependerão sempre da estimativa‖.
Mas se a resposta for aproximada, ―ela pode ser obtida por cálculo mental ou
diretamente por estimativa, sendo que o controle e a validação da resposta obtida
por cálculo mental dependerão também da estimativa‖. Em síntese esse trabalho
tem fundamental importância no processo de ensino e aprendizagem das
operações, que precisa ser promovido por meio da mediação do professor.
Em relação ao uso das tecnologias, o Programa coloca em sua proposta o
uso da calculadora e do computador como ferramenta pedagógica, no entanto,
algumas atividades com o uso da calculadora estão postas na prática; em relação ao
uso do computador, diferente da rede publica estadual que ainda não aderiu na
totalidade ao Programa inicial da Prefeitura, tem em sua proposta o uso das
Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) nas escolas, com apoio e incentivo
dos órgãos centrais. ―E esta vem criando espaços de participação interativa e
construção coletiva de projetos integrados com o uso de novas formas de
linguagem‖ (SÃO PAULO, 2007, p.13). Definindo como objetivo para a inclusão da
TIC na educação para a ―formação de usuários competentes e autônomos‖.
A seguir destacamos as Orientações Gerais da Rede Pública Estadual, por
meio do Guia de Orientações Curriculares do Programa Ler e Escrever sobre
situações que envolvem a estrutura multiplicativa.
1.5
Orientações Curriculares da Secretaria de Educação de Estado de São
Paulo em relação ao ensino de estrutura multiplicativas, segundo o
Programa Ler e Escrever
As Orientações Gerais para o Ensino de Matemática tem a intenção de
subsidiar o ensino dos conteúdos mais relevantes a ser garantidos ao longo das
quatro séries do Ciclo I do Ensino Fundamental. Para isso é proposto para os
38
processos de ensino e aprendizagem, considerar três variáveis fundamentais e
necessárias que são as relações que devem se estabelecer entre elas: aluno,
professor e conhecimento matemático, e este propósito pode encontrar suporte nas
teorias de Brousseau (1986).
O autor considera para os processos de ensino e aprendizagem a relação
professor, aluno e conhecimento matemático, que precisam ocorrer em sala de aula.
―Todo esse procedimento didático visa principalmente realizar uma educação
matemática mais significativa para o aluno‖. (BROUSSEAU, 1986, apud FREITAS,
2002. p.65)
Conforme as Orientações Curriculares da SEESP caberá ao professor ser o
mediador entre o conhecimento matemático e o aluno, e para isso ele precisará
necessariamente ter conhecimento dos conceitos matemáticos a ser ensinado e
conhecer os procedimentos da didática da Matemática, fazendo a transposição
didática de modo a ser compreendido pelos alunos.
E ―pautar-se pela concepção do conhecimento matemático como ciência viva,
aberta à incorporação de novos conhecimentos‖ (BRASIL,1997. p.3).
De acordo com os PCN, no decorrer do Ciclo I, os alunos devem se tornar
capazes de:
• Compreender que os conhecimentos matemáticos são meios para
entender a realidade.
• Utilizar os conhecimentos matemáticos para investigar e responder
a questões elaboradas a partir de sua própria curiosidade.
• Observar aspectos quantitativos e qualitativos presentes em
diferentes situações e estabelecer relações entre eles, utilizando
conhecimentos relacionados aos números, às operações, às
medidas, ao espaço e às formas, ao tratamento das informações.
• Resolver situações-problema, a partir da interpretação de
enunciados orais e escritos, desenvolvendo procedimentos para
planejar, executar e checar soluções (formular hipóteses, fazer
tentativas ou simulações), para comunicar resultados e compará-los
com outros, validando ou não os procedimentos e as soluções
encontradas.
• Comunicar-se matematicamente apresentando resultados precisos
e argumentar sobre suas hipóteses, fazendo uso da linguagem oral e
de representações matemáticas e estabelecendo relações entre elas.
• Sentir-se seguro para construir conhecimentos matemáticos,
incentivando sempre os alunos na busca de soluções.
• Interagir com seus pares de forma cooperativa na busca de
soluções para situações-problema, respeitando seus modos de
pensar e aprendendo com eles. (BRASIL,1997, p.3)
39
Assim, como nos Parâmetros Curriculares Nacionais, as orientações para o
ensino de matemática são divididas em quatro blocos de conteúdo - números e
operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da informação. Em
relação às expectativas de aprendizagem, o conteúdo sobre estrutura multiplicativa,
que é o nosso foco, vem posto da seguinte maneira:
Para 1ª série (2º ano) - Resolver situações-problema, compreendendo os
significados da multiplicação e da divisão, utilizando estratégias pessoais;
Para 2ª série (3º ano) - Interpretar e resolver situações-problema,
compreendendo os significados da multiplicação utilizando estratégias pessoais;
Calcular resultados de multiplicação por meio de estratégias pessoais; Construir
fatos básicos da multiplicação (por 2, por 3, por 4, por 5) a partir de situaçõesproblema para a constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo; Interpretar e
resolver situações-problema, compreendendo os significados da divisão e utilizando
estratégias pessoais.
Para a 3ª série (4º ano) Interpretar e resolver situações-problema
compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números
naturais;
• Construir fatos básicos da multiplicação (por 6, por 7, por 8, por 9) a
partir de situações-problema para a constituição de um repertório a
ser utilizado no cálculo;
• Utilizar a decomposição das escritas numéricas para a realização
de cálculos que envolvem a multiplicação;
• Utilizar a decomposição das escritas numéricas para a realização
de cálculos que envolvem a divisão;
• Calcular o resultado de operações com os números naturais por
meio de estratégias pessoais e pelo uso de técnicas operatórias
convencionais. (BRASIL, 1997, p.4)
Assim podemos concluir que as orientações para o ensino das estruturas
multiplicativas estão de acordo com os PCN, para tanto buscamos ainda algumas
orientações dos PCN que apresentamos a seguir.
1.6
Orientações Curriculares dos Parâmetros Curriculares Nacionais em
relação ao ensino de estrutura multiplicativas.
40
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, se faz necessário ampliar o
conceito de número. Para isso, precisamos propor situações problemas que
envolvam as quatro operações básicas incluindo a potenciação e radiciação, e à
medida que se depara com a diversidade de situações os alunos vão buscando
estratégias pessoais para resolver os problemas e esse processo possibilita o
desenvolvimento da autonomia. Os alunos devem propor suas hipóteses e as
validações para as respostas encontradas.
o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que
forem exploradas metodologias que priorizem a criação de
estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação,o espírito
crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa
pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na
própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios.(BRASIL, 1997,
p.26)
Colocado isso, nos interessa atentar-se à necessidade do aluno utilizar os
cálculos de multiplicação e divisão utilizando os recursos de estimativas para avaliar
a adequação de um resultado, o uso de calculadora para o desenvolvimento de
estratégias de verificação e de controle dos cálculos por meio de estratégias
pessoais.
Com base em um campo amplo de significados e a estreita relação entre as
operações, destaca-se a importância de um trabalho conjunto de problemas que
explorem a multiplicação e a divisão. Dentre as situações relacionadas à
multiplicação e à divisão a serem exploradas nestes dois ciclos, podem-se destacar,
para efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos: multiplicação
comparativa, comparação entre razões (idéia de proporcionalidade), configuração
retangular e as associadas à idéia de combinatória.
Ao investigar esse documento podemos afirmar que o Guia de Orientações do
Programa Ler e Escrever tem aporte nos Parâmetros Curriculares Nacional, visto
que as discussões são muito similares e se colocam, se assim podemos dizer, de
forma mais clara possível para que o professor possa trabalhar, em nosso caso com
as estruturas multiplicativas. Porém no estado vemos que ainda a muito que se
valorizar a aprendizagem em Matemática para as séries iniciais, apenas verificando
o documento de orientação da mesma rede.
41
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) pode-se concluir
que os problemas cumprem um importante papel no sentido de propiciar as
oportunidades para as crianças, propondo que assim possam interagir com os
diferentes significados das operações e que um único problema pode percorrer
caminhos diferentes para serem resolvidos levando-as a reconhecer que uma
mesma operação pode estar associada a diferentes problemas.
Esse documento oferece um repertório para desenvolver a habilidade de
calcular e sugere alguns pontos de apoio tais como: ―o domínio da contagem e das
combinações aritméticas, conhecidas por denominações diversas como tabuadas,
listas de fatos fundamentais, leis, repertório básico, etc‖. (BRASIL, 1997, p.74)
Evidentemente, a aprendizagem de um repertório básico de cálculos não se
dá pela simples memorização de fatos de uma dada operação, mas sim pela
realização de um trabalho que envolve a construção, a organização e, como
conseqüência, a memorização compreensiva desses fatos. A construção apóia-se
na resolução de problemas e conferem significados as escritas do tipo a + b = c, a x
b = c (BRASIL, 1997, p.74).
Ao construírem e organizarem um repertório básico, os alunos começam a
perceber, intuitivamente, algumas propriedades das operações, tais como a
associatividade e a comutatividade, na adição e multiplicação. A organização dessas
escritas e a observação de regularidades facilitam a memorização compreensiva.
Também algumas regularidades, presentes nas operações, começam a ser
percebidas, tais como: observar que, nas multiplicações por 2, todos os resultados
são pares; que, na tabuada do cinco, os resultados terminam em zero ou em cinco,
etc. o repertório está disponível nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,
1997, p.71-75).
A construção do repertório básico para o desenvolvimento do cálculo consiste
em identificar as estratégias pessoais utilizadas pelos alunos e fazer com que eles
explicitem oralmente suas análises e comparações evidencia sua compreensão.
No cálculo escrito, os alunos devem construir registros numéricos para
expressar os procedimentos do cálculo mental, por exemplo, se para multiplicar 14
por 7 o aluno faz 7 x 7 + 7 x 7 isso mostra que, nessa situação, ele recorre à
decomposição de um dos termos e usa a propriedade distributividade para encontrar
o resultado, de uma forma bastante simples.
42
Partindo desse raciocínio é possível fazer com que ele verifique que existe
outra forma de decompor o número que também leva à obtenção do resultado: 10 x
7 + 4 x 7. Esta forma de decomposição — nas unidades das diversas ordens que
compõem o número — é utilizada na técnica usual da multiplicação (BRASIL, 1997.
p.78).
O cálculo deve ser incentivado nas mais diferentes situações de
aprendizagem. O recurso às calculadoras é uma delas. Na elaboração de atividades
envolvendo o uso de calculadoras é importante que a criança seja colocada diante
de desafios e ser estimulada a explicitar verbalmente ou por escrito, os
procedimentos que utilizam.
Os números racionais em relação à multiplicação e a divisão são explorados
em diferentes situações como razão, comparação, configuração retangular. Apenas
o significado da multiplicação como procedimento combinatório não é extensivo aos
números racionais não-inteiros (BRASIL, 1997 p.80).
Contudo, notamos que nos documentos oficiais já estão colocadas as
situações para o ensino das operações, em nosso caso particularmente, das
estruturas multiplicativas. No entanto, essa prescrição não é suficiente para que os
professores revejam suas práticas em relação ao processo de ensino e
aprendizagem relacionada às estruturas multiplicativas.
Ao descrevermos as orientações e as expectativas de aprendizagens nos
documentos que orientam o currículo para esse Ciclo e analisando novas práticas,
nos deparamos com situações adversas entre a teoria propostas nos documentos
oficiais e a prática de ensino em matemática para esse conteúdo.
Para melhor diferenciar propostas e práticas consideramos um capítulo sobre
os conhecimentos matemáticos em jogo nas estruturas multiplicativas e suas
possibilidades de articulação com outros conceitos que serão desenvolvidos
posteriormente.
Sendo assim, a seguir fazemos uma breve retomada dos conceitos e
estruturas das operações aritméticas que envolvem esse campo conceitual e que
serão explicitadas por meio de problemas propostos, aplicados e analisados por
Vergnaud conforme discussão do referencial teórico dessa pesquisa desenvolvido
no capítulo 3.
43
2
PANORAMA
MATEMÁTICO
DAS
ESTRUTURAS
MULTIPLICATIVAS
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Neste capítulo apresentamos uma breve descrição das noções que
envolvem o campo conceitual da estrutura multiplicativa considerando a definição do
conceito, algumas de suas formas de representação, suas relações e suas
propriedades.
Iniciamos lembrando que a palavra multiplicação enquanto vocabulário da
Língua Portuguesa é derivada do latim multiplicatĭo, -ōnis (mŭl'tə-plĭ-kā'shən),
multiplicare, de 14 a.C. que se refere ao verbo multiplicar. Seu sentido matemático
foi atestado em 1390. No dicionário consta ainda, que se trata de uma palavra
feminina com a ação ou efeito de multiplicar ou multiplicar-se (dobrar, triplicar,
quadruplicar...), ou seja, aumentar, na matemática modelizado como uma estrutura
para operacionalizar.
Em Matemática, quando consideramos a estrutura de multiplicação,
observamos que ela consiste em uma lei de composição interna que por definição é
toda aplicação f: E X E  E, para um conjunto E dado. Ou seja, .: E X E  E é dada
por (x, y)  x.y.
A multiplicação é uma das quatro operações básicas de aritmética
elementar, que juntamente com a divisão forma a estrutura multiplicativa (sendo que
as outras, adição e subtração, formam a estrutura aditiva). Dessa forma, muitas
vezes a multiplicação é definida para os números naturais, em termos de adição
repetida, por exemplo, 3 multiplicado por 4 (que se lê "3 vezes 4"), podemos indicar
3 x 4 ou 4 x 3 e pode ser calculado somando 4 vezes o número 3: 3 x 4 = 3 + 3 + 3
+ 3 = 12 ou 3 vezes o número 4: 4 x 3 = 4 + 4 + 4 = 12. Além desses exemplos
vamos considerar as representações e exemplos a seguir:
44
3
4
Figura 6 – Representação da multiplicação por feixes de semi-retas
Fonte: PIERRO NETTO (1970, p. 40)
Para os números 3 e 4 podemos representar os numerais por feixes de
semi-reta e considerar suas intersecções, conforme a figura acima (PIERRO, 1970,
p. 40). Onde se vê que o feixe de 3 semi-retas intercepta o feixe de 4 semi-retas em
12 pontos, ou ainda o feixe de 4 semi-retas intercepta o feixe de 3 semi-retas 12
vezes, ou seja as intersecções representam o produto de “3 x 4 ou 4 x 3”, o que
genericamente corresponde:
a
b
Neb
N:
N, temos a x b = c x a = c ou a x b = b x a ou, de modo geral, para a,
a x b = b + b + b +....+ b ( a vezes) e b x a = a + a + a +....+ a (b vezes)
O exemplo acima pode ser considerado como um novo esquema que
corresponde a uma mudança do quadro numérico1 para o quadro geométrico
conforme definição de Douady (1983, 1992). Observamos então, que a
generalização está associada a uma passagem dos quadros anteriores para o
quadro algébrico.
1
Quadro e Mudança de quadro: [...] constituído de objetos de um ramo das matemáticas, das
relações entre os objetos, de suas formulações eventualmente diversas e das imagens mentais
associadas a essas relações. Essas imagens têm um papel essencial e funcionam como ferramentas
dos objetos do domínio. Dois quadros podem conter os mesmos objetos e diferir pelas imagens
mentais e problemáticas desenvolvidas. (notas de curso de Campos, T.M.M. 1990, Douady, 1983,
1992).
45
Quando a operação de multiplicação envolve números racionais e números
reais que definimos para as crianças, por meio da generalização sistemática da idéia
de adição de parcelas. Exemplo:
√2 +√2 +√2 = 3√2. Temos a multiplicação
associada à estrutura aditiva, conforme o exemplo acima.
Podemos vislumbrar ainda a multiplicação como sendo o número de
determinada unidade de medida contida em uma figura geométrica, por exemplo, em
um retângulo, ou por meio do cálculo da área quando se considera as dimensões de
uma figura geométrica (para números em geral). Nesse caso, trata-se da
multiplicação associada a unidades de medidas.
a x b = c (cm²)
a (cm)
b (cm)
Além disso, sabemos que a operação inversa da multiplicação é a divisão,
ou seja, os esquemas 3 x 4 = 12, ou 4 x 3 = 12, podem ser transformados para a
determinação da divisão e assim temos 12 divido por 3 é igual a 4, ou 12 divido por
4 é igual a 3. Podemos generalizar, dizendo que se a x b = c, então, c : a = b ou c :
b = a.
A representação por meio de feixes de retas permite evidenciar a conjectura
acima.
46
4
3
4
3
12 / 3 = 4
12 / 3 = 4
Nesta representação podemos ver Nesse caso, quando consideramos o
que o número total de pontos de feixe de 4 semi-retas temos três
intersecção
quando
considerados pontos
em
cada
semi-reta
que
sobre o feixe de 3 semi-retas se divide corresponde a “12 dividido em 4
em quatro pontos sobre cada semi- grupos dá 3 elementos em cada
retas, logo, “12 dividido em 3 grupos grupo, indicamos: 12 : 4 = 3.
dá 4 elementos em cada grupo,
indicamos: 12 : 3 = 4.
Tabela 2: Representação da divisão por feixes de semi-retas
Fonte: PIERRO NETTO (1970, p. 42)
No caso de divisão não exata podemos considerar o exemplo abaixo, que
também pode ser utilizado para o caso da divisão não exata.
A
4,00 cm
C
4,00 cm
B
9=4+4+1
1,00 cm
9 =2 x4 +1
D
Vemos que 9 não é divisível por 4 ou que 4 não divide exatamente o
número 9. Desse modo a igualdade 9 = 2 . 4 + 1 se define pelo algoritmo de
Euclides D= d . q + r, onde “D” é o dividendo, “d” é o divisor, “q” é o quociente e “r” é
o resto.
47
A generalização da multiplicação para os conjuntos dos números complexos
e das matrizes exige outros conhecimentos, novos esquemas, técnicas e
representações.
Para o caso dos conjuntos dos números complexos e das matrizes, a
multiplicação está associada a outros conceitos que dependem de conhecimentos
de álgebra linear para justificar os esquemas e as técnicas utilizados com os
estudantes. Em particular, a multiplicação de matrizes é definida por meio da
composição de duas transformações lineares o que também ocorre com a
multiplicação no conjunto dos números complexos que é isomorfo ao espaço
vetorial2 IR2 cujos elementos podem ser considerados como uma matriz do tipo 1 X
2 com coeficientes em R a aplicação linear, f: R2  M1x2 (R), definida por (x, y)  [
x
y ]
é um isomorfismo de espaços vetoriais, o que permite considerar as operações e
propriedades de IR² para as matrizes do tipo 1 x 2 e vice-versa.
Como vimos acima, a multiplicação só pode ser definida genericamente
quando se leva em conta explicitamente o conjunto em que a definimos. Isso conduz
à necessidade de lhe associar a uma determinada estrutura algébrica, sendo que
essa depende da representação dos elementos desse conjunto e das propriedades
associadas a essa estrutura. Além disso, é preciso estabelecer uma linguagem
específica onde se tenta padronizar as notações e terminologias como mostramos
abaixo.
2.1. NOTAÇÃO E TERMINOLOGIA
Podemos iniciar destacando os sinais utilizados para a multiplicação. A
multiplicação é muitas vezes escrita usando o sinal "×" entre os termos, e este
vemos o símbolo “x” ser usado até os dias de hoje, principalmente nas séries
iniciais. Logo podemos considerar o sinal
“x” como atual. O matemático inglês
Espaços Vetoriais Isomorfos: Quando uma transformação linear T : V  W for injetora e sobrejetora ao
mesmo tempo, dá-se o nome de ISOMORFISMO. Quando há tal transformação entre dois espaços vetoriais
dizemos que estes são ISOMORFOS. Espaços vetoriais isomorfos são, por assim dizer, idênticos. Em outras
palavras, quando a correspondência biunívoca entre dois espaços vetoriais preserva as operações de adição e
multiplicação por escalar, T(v + w) = T(v) + T(w) e T(kv) = k T(v), diz-se que esses espaços são isomorfos.
Temos assim para T : V  W , dim Ker(T) + dim Im(T) = dim V, onde dim Ker (T) = 0, ou seja, Ker(T) = {0 v } e dim
Im(T) = dim W. http://www.ceset.unicamp.br/~telmag/ST%20362/aula_ga_transf_linear.doc, acesso em
18/01/2010.
2
48
Oughtred3 empregou-o pela primeira vez no livro Clavis Matemática, publicado em
1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot4, para indicar também o produto a efetuar,
colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes limitava-se a escrever os
fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer, ou seja,
para elementos de um conjunto qualquer.
Na obra de Leibniz encontramos (:) o sinal para indicar multiplicação, esse
mesmo símbolo colocado de modo inverso (..) indicava a divisão. Em 1698, Leibniz
introduz o símbolo “.”, por meio de uma carta a John Bernoulli onde ele tenta
padronizar essa notação. As considerações acima mostram que a notação da
multiplicação pode ser representada de diferentes formas.
Na multiplicação o resultado é expresso com um sinal de igual.
Por
exemplo,
2 x 3 = 6 ( que se lê: “duas vezes três é igual a seis”);
3 x 4 = 12
2 x 3 x 5 = 6 x 5 = 30
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
Frequentemente relacionamos o produto entre duas quantidades por um
ponto “ . ” . Atualmente encontramos o ponto no centro entre os números (5 . 2) ou
3
Oughtred, Guilherme, formado em Teologia, foi vigário de Shalford, Inglaterra. Os historiadores
apresentam-no como o primeiro inventor da régua de cálculo. O seu primeiro trabalho intitula-se
“Arithmeticae in numeris et specibus institutio... quase clavis est”. No capitulo relativo à Aritmética
ele expõe uma multiplicação aproximada, que é conhecida pelo nome de regra de Oughtred. Nesse
mesmo trabalho, introduz a cruz de Santa Andrea (X) para indicar uma multiplicação.
http://euler.mat.ufrgs.br/~giacomo/curiosidades/Curiosidades-matematicas.doc
,
acesso
em
17/01/2010.
4 Harriot (Hariot), Thomas, nascido em Oxford, Inglaterra, em 1560 e falecido em 1621, em Londres,
foi renomado matemático e astrônomo e fundou a escola inglesa de álgebra. Em seu Artis Analyticae
Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas (1631) ele melhorou a teoria das equações,
percebendo uma importante relação entre coeficientes e raízes, detalhando a formação de equações
de raízes conhecidas e relevou que qualquer equação de enésimo grau e o produto de equações
lineares n são equivalentes. Ele também introduziu os sinais > (maior que), e < (menor que). Com
seus alunos fez o estudo da topografia lunar mas sua descrição só foi publicada em 1788, e seu
mapa da lua ficou inédito até 1965. COBRA,1997. (http://www.cobra.pages.nom.br/fm-harriot.html,
acesso em 13/01/2010.
49
alinhado entre os números (5 . 2), o ponto no meio é padrão nos Estados Unidos, no
Brasil e em outros países o ponto é alinhado com o número. Além disso,
observamos que no Reino Unido e em outros países o ponto alinhado é utilizado
para a representação decimal enquanto que no Brasil, na Grécia e em alguns
países, utiliza-se a vírgula para essa representação.
O asterisco no centro e entre os números (5 * 2) é frequentemente utilizado
em linguagens de programação 5, porque ele aparece nos teclados e é mais fácil de
ser visualizado em monitores mais antigos. Em álgebra, a multiplicação envolvendo
variáveis é freqüentemente escrita como uma justaposição, por exemplo, “xy” para
x . y vezes ou “5 x” para cinco vezes x. Esta notação também pode ser usada para
quantidades envolvidas por parênteses, por exemplo, 5 (2) ou (5) (2) para cinco
vezes dois.
No caso, por exemplo, da multiplicação de matrizes, lembrando que para o
conjunto das matrizes podemos definir uma lei de composição interna denominada
adição, que dá a esse conjunto a estrutura de grupo abeliano 6 e uma lei de
composição externa denominada produto por escalar que satisfaz as quatro
propriedades7. Dessa forma, o conjunto das matrizes com coeficientes em K munido
das operações de adição e da multiplicação por escalar (M mxn (K), +, . ), quando é
grupo abeliano para a adição e satisfaz as quatro propriedades da multiplicação por
escalar é denominado espaço-vetorial sobre o corpo dos escalares, ou seja, um
espaço vetorial sobre R. Como as matrizes aqui consideradas têm coeficientes em
Q, R ou C podemos dizer que (Mmxn (K), +, . ), onde a adição e a multiplicação por
escalas usuais, é respectivamente um Q, R ou C espaço vetorial, onde Q, R e C são
5
Asterisco no centro: teve origem na linguagem de programação FORTRAN.
Grupo abeliano: Dizemos que um grupo (G,*) é abeliano ou comutativo se, e somente se, a lei (x, y)
| x * z é comutativa, isto é, a * b = b * a,
a, b
G, satisfaz às propriedades: (G,*) é associativa;
(G,*) possui um elemento neutro;Cada elemento a
G possui um simétrico b
G com relação à
operação *.Se a aplicação * é a adição, o grupo (G,*) é aditivo e se a aplicação * é a multiplicação, o
grupo (G,*) é multiplicativo. (DOMINGUES E IEZZI, 1995 p.78).
7
Sejam um espaço vetorial sobre um corpo K, isto é, munido da lei de composição interna adição
indicado por (x, y)  x + y e um grupo abeliano e E munido da lei de composição externa, indicado
por, (α, x )  α, x, para α
k e x
E e denominada produto por escalar, satisfaz as quatro
propriedades: (1) x E, 1x = x; (2)
α, β K e
x
E, α(βx) = (α β)x (pseudo-associativa); (3)
α K e x, y
E, α(x + y) = αx + αy (1ª pseudo-distributiva); (4) α, β K e x E, (α+β) x =
αx + βx (2ª pseudo-distrbutiva), (ROGALSKI, 1992, p.4).
6
50
corpos, pois a multiplicação α x com α
Q, R ou C e x
C é um elemento de C,
lembrando que C pode ser um Q, R ou C - espaço vetorial e R um Q ou R- espaço
vetorial e Q somente um Q- espaço vetorial. Além disso, quando consideramos o
espaço vetorial das transformações lineares 8 podemos associar transformações
lineares e matrizes9 e por meio de um isomorfismo de espaços vetoriais e a partir
desse resultado definir a multiplicação de duas matrizes como a composta de duas
transformações lineares.
Para a multiplicação nos conjuntos numéricos dos Naturais N, inteiros Z,
racionais Q e reais R basta defini-las como uma lei de composição interna, por
exemplo, +: N X N  N tal que ( x, y)  x + y; .: N X N  N tal que ( x, y)  xy onde
xey
N, isto é as operações de adição e multiplicação usuais para o conjunto.
Observamos que (N, +) e (N, . ) não são grupos, (Z, +) é grupo abeliano e
(Z, . ) não é grupo e (Q, +), (Q, . ) e (R, +), (R, . ) são grupos abelianos e (Q, +, . ) e
(R, +, . ) são anéis10, anéis comutativos11, anéis comutativos com unidade12, anéis
de integridade13, corpos14.
8
Espaço vetorial das transformações lineares: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma
transformação linear T de V em W é uma função (ou aplicação) que a cada v
V faz corresponder
um único T(v) v W e que satisfaz as seguintes duas condições: " u, v
Ve"a
R, ( i ) T (u + v)
= T (u) + T (v); ( ii) T (a v) = a T (v). Exemplo: Consideremos a expressão matricial de um sistema de
n
m
equações lineares Ax = b, onde A é uma matriz mxn, x
R eb
R . Na condição de equação
buscamos conhecer x quando A e b são dados. De outro modo, dada a matriz A, a equação Ax = b,
pode ser vista assim: "Diga-me um vetor x em Rn e eu te direi um vetor b em Rm", isto é, a matriz A
n
m
n
representa a função com domínio R e contra domínio R , onde a imagem de cada x
R é b = Ax
Rm. Essa função tem as seguintes propriedades: A(x + y) = Ax + Ay, A(a x) = a Ax com a Î R que
caracterizam as transformações lineares.(DOMINGUES E IEZZI, 1995, p. 136)
9
n
m
Transformações lineares e matrizes: Uma transformação de R  R dada pela multiplicação por
n
m
uma matriz mxn. Seja A uma matriz mxn e T: R  R definida por T(v) = Av. Aqui Av é o produto da
matriz Amxn pelo vetor coluna vnx1. T é linear. Sejam u, v
Rn e a
R. (i) T(u + v) = A(u + v)= Au +
Av
(propriedade
do
produto
de
matrizes)
= T(u) + T(v); (ii) T(a v) = A(a v)= a (Av) (propriedade do produto de matrizes)= a T(v). Por (i) e (ii), a
transformação T é uma transformação linear. Assim, toda matriz Amxn pode ser usada para definir
n
m
uma transformação linear TA : R  R onde a imagem TA (v) é o produto da matriz Amxn pelo vetor
coluna vnx1. (DOMINGUES E IEZZI, 1995, p. 136)
10
Anéis: Sejam (x, y) | x + y e (x, y) | xy leis de composição internas num conjunto A ≠ Ø, diz-se
que A é um anel se, e somente se satisfaz as seguintes propriedades: 1º. Quanto à adição o conjunto
A é um grupo abeliano; 2º. Na operação de multiplicação é associativa; 3º. A multiplicação é
distributiva em relação à adição. (DOMINGUES E IEZZI, 1995 p. 129)
11
Dizemos que um anel A é anel comutativo se a sua a multiplicação é comutativa, isto é ( a, b)
(a, b
A
ab = BA). (DOMINGUES E IEZZI, 1995 p.135)
51
Observamos ainda que no processo de multiplicação de elementos de
conjuntos numéricos como os naturais, inteiros, racionais e reais, os números
multiplicados são geralmente chamados de fatores.
Ao pensar na multiplicação como adição repetida, o número a ser
multiplicado é chamado o multiplicando, enquanto o número de múltiplos é chamado
de multiplicador. Em álgebra, o multiplicador de uma variável ou expressão (por
exemplo, o 3 em 3 xy 2) é chamado de coeficiente. O resultado da multiplicação é
chamado de um produto, e é um múltiplo de cada fator quando se trata de um
número inteiro. Por exemplo, 15 é o produto de 3 e 5, e é tanto um múltiplo de 3
como um múltiplo de 5. Na matemática um produto é o resultado da multiplicação,
ou uma expressão que identifica os fatores a serem multiplicados.
É importante ressaltar que quando números reais ou números complexos
são multiplicados a ordem não tem qualquer influência sobre o produto, essa
propriedade é conhecida como a lei comutativa da multiplicação. Quando matrizes,
que correspondem a vetores de um espaço vetorial, são multiplicadas, o produto
geralmente depende da ordem dos fatores, ou seja, a multiplicação de matriz nem
sempre é comutativa, quando existe. Temos aqui uma nova estrutura que
corresponde à noção de álgebra15.
Em relação à noção de espaço vetorial podemos destacar ainda os
seguintes conceitos: combinação linear16, espaço gerado17, base18, dimensão 19 e
12
Um anel com unidade é um anel A que conta com elemento neutro para a multiplicação.
(DOMINGUES E IEZZI, 1995 p. 135).
13
Um anel A, comutativo com unidade, onde é verdadeira a frase ( a, b
A) (ab = 0A
a = 0A ou
b = 0A). Recebe o nome de anel de integridade. (DOMINGUES E IEZZI, 1995 p. 140)
14
Um anel K, comutativo com unidade, recebe o nome de corpo se todo elemento não nulo de k
admite um simétrico, ou seja, ( a
K) (a ≠ 0
b
K | ab = 1). (DOMINGUES E IEZZI, 1995,
p.140).
15
Noção de álgebra: Seja um corpo comutativo. Um K-algebra A é um K-espaço vetorial onde
definimos uma aplicação K-bilinear α: A X A  A que cada par a, b de A X A associa um elemento ab
de A, chamada multiplicação da álgebra. Uma aplicação K-bilinear é definida.
16
Sejam (C) um espaço vetorial real (ou complexo), v 1, v2, ...., vn E V e a1, a2,...., an números reais (R)
ou números complexos (C). Então o v = a1v1 + a2v2+....+ an v n é um elemento de V, e dizemos que “v”
é uma combinação linear de v 1,....vn. Logo, podemos dizer que uma expressão da forma a1u1 +
a2u2+....+ an un = w, onde a1, a2,....an são escalares e u1, u2, ...., um e w, vetores do Rn chama-se
combinação linear DOMINGUES E IEZZI, 1995, p.140).
17
Um espaço vetorial contendo os vetores v e w tem que conter todas as suas combinações lineares
αv+ βw, onde α e β são escalares arbitrariamente escolhidos. Esse espaço gerado por todas as
combinações lineares das colunas de uma matriz A e denotado Col(A) e denominado espaço coluna
52
transformação linear, que permitem justificar os possíveis esquemas sob o ponto de
vista de Vergnaud associados às estruturas multiplicativas. Para o campo conceitual
de estrutura multiplicativa destacamos os seguintes conceitos associados às noções
de espaço vetorial e álgebra que compõem o campo conceitual das estruturas
multiplicativas conforme tabela 2 - Quadro que envolve o campo conceitual das
Estruturas Multiplicativas – (p.79) e apresentada por Vergnaud (2009).
2.2. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Para os naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, a multiplicação
satisfaz as seguintes propriedades:
Propriedade comutativa: Dados x, y em E dizemos que a operação de multiplicação
em E é comutativa quando xy = yx. Exemplos: A multiplicação em N, Z, Q, R e C são
operações comutativas. Um contra-exemplo: a multiplicação em M2x2 não é
comutativa:
1
2
4
5
3
4
6
7
4
5
1
2
6
7
3
4
=
16
19
36
43
19
28
27
40
e
=
Propriedade associativa: Dados x, y, z em E dizemos que a operação de
multiplicação em E é associativa quando x (y, z) = (x y) z. Exemplos: A multiplicação
de A. Os vetores v 1, v2,...,vk em um espaço vetorial V geram V se todo vetor em V for uma
combinação linear de v 1, v2,...,vk . Além disso, se S= { v 1, v2,...,vk }, então dizemos também que o
conjunto S gera V, ou que { v 1, v2,...,vk } , gera V, ou que V é gerado por S, ou, [S] = v (KOLMAN E
BOSQUILHA, 2006 p.267).
18
Uma base de um K- espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independente que
gera o espaço V. http://www.nacad.ufrj.br/~amit/alglin/key3.pdf, acesso em 18/10/2010.
19
Todas as bases para um mesmo espaço possuem o mesmo número de vetores linearmente
independentes.
Este
número
é
denominado
dimensão
do
espaço.
http://pt.wikilingue.com/es/Base_(%C3%A1lgebra), acesso em 18/10/2010.
53
em N, Z, Q, R e C são operações associativas. A multiplicação em M mxn (R) é
associativa.
Propriedade distributiva: Dados x, y, z em E dizemos que a multiplicação é
distributiva em relação a adição quando x(y + z) = xy + xz e (y + z) x = yx + zx.
Exemplos: A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição em Z pois:
x,y
E: x (y + z) = ( x . y + (x . y)
A multiplicação é distributiva em relação à adição em M n R pois:
A, B, C
Mn, R: A . (B + C) = (A . B) + (A . C)
A, B, C
M, R: A . (B + C) = (B . A) + (C . A)
A potenciação é distributiva em relação à multiplicação em N pois:
x,y,z
N: (x . y)n = xn . yn mas não é distributiva à esquerda pois: 23.4 ≠ 23 . 24.
Existência do elemento neutro da multiplicação: Dizemos que E é neutro da
operação de multiplicação quando x . e = x = e . x, para todo x em E. Exemplos:
Podemos afirmar que o elemento neutro das multiplicações em N, Z, Q, R e C é o
número e = 1, pois 1 . x = x = x . 1 para qualquer número “x”. O elemento neutro da
multiplicação em M2x2 (R) é:
1
0
a
b
0
1
c
d
=
1
0 quaisquer que sejam a,b,c,d
0
1
a
b
c
d
=
R temos:
a
b
1
0
c
d
0
1
Existência de elementos regulares para a multiplicação: Dizemos que um elemento a
em E é regular (ou simplificável) para a operação de multiplicação quando ax = ay
xy e xa = ya
x = y para todo x, y em E.
54
Exemplos: 3 é regular para a multiplicação em Z pois, 3 . x = 3 . y
x = y;
Contra-exemplo: 0 não é regular para a multiplicação em Z pois: 0 . 2 = 0 . 3 e 2 ≠ 3.
Existência do elemento inverso para a multiplicação: Dizemos que x em E é
invertível, para a operação de multiplicação em E cujo neutro é e, quando existe x’
em E, tal que x’ . x = e = x . x’. Para a multiplicação em Q,R e C cujo neutro é 1,
temos que 1/x é o inverso de x-1 para todo x em Q, R e C.
Exemplos: 2 é um elemento invertível para a multiplicação em Q e seu inverso é ½
pois: ½ . 2 = 1 = 2 . ½ .
Contra-exemplo: 0 não é invertível para a multiplicação pois não há elemento x’ em
Q tal que: 0 . x’ = 1 = x’ . 0.
Para a multiplicação em Z apenas o 1 e o -1 são invertíveis.
Compatibilidade da ordem com a multiplicação: A multiplicação por um número
positivo preserva a ordem: se a ≥ 0, e, se b ≥ c então ab ≥ ac. A multiplicação por
um número negativo inverte a ordem: Se a ≤ 0 e b ≥ c então ab ≤ ac.
A seguir apresentamos uma breve justificativa da aplicação dos números e
dos conceitos matemáticos que lhe são associados.
2.3. DIFERENTES FORMAS PARA A MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS
Os números podem servir para contar (exemplo: cardinal 3 maçãs), de
medir (exemplo: medida 3,5 metros de altura) ou para ordenar (exemplo: a maçã é a
3ª “terceira” - ordinal).
Quando consideramos o processo de contagem recorremos aos números
cardinais, que estão associados ao número de elementos de um conjunto. Para isso
necessitamos da noção de correspondência biunívoca ou bijeção. Essa noção é um
caso particular do conceito de função, ou seja, dados os conjuntos A e B, “uma
função f: A  B chama-se uma bijeção, ou uma correspondência biunívoca entre A e
B quando é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva” (LIMA et al, 1997, p. 42).
55
Exemplo: Sejam A = { 1, 2, 3, 4, 5} e B = { 2, 4, 6, 8, 10}. Definindo f: AB pela
regra a f(n) = 2n, temos uma correspondência biunívoca, onde f(1)= 2, f(2) = 4, f(3) = 6, f(4)
= 8 e f(5) = 10.
No caso das medidas recorremos aos segmentos comensuráveis e
incomensuráveis. Os segmentos comensuráveis são aqueles que podem ser
representados por meio de uma medida comum entre uma unidade (1) e o próprio
segmento, ou seja, se 1/n é um segmento, que cabe n vezes na unidade e m vezes
no próprio segmento temos que a medida do segmento é m/n, por exemplo:
7 . 1/2 = 7/2 = 3,5
u=1
A
B
1/2
D
C
O conceito de segmento incomensurável pode ser definido por comparação
com o de segmento comensurável. Temos que, a razão entre os comprimentos de
dois segmentos comensuráveis é um número racional. Por outro lado, a razão entre
os comprimentos de dois segmentos incomensuráveis é um número irracional, e o
conceito de incomensurabilidade é correspondente ao de número irracional. Para
isso, podemos citar como exemplo um quadrado qualquer, pois o lado comparado à
diagonal corresponde a segmentos incomensuráveis.
Utilizamos demonstração por absurdo relacionada com a demonstração dos
segmentos comensuráveis que, compara a diagonal AC do quadrado ABCD, com o
lado AB, conforme Lages Lima :
56
D
C
u
A
B
Se houvesse um segmento de reta “u” que coubesse n
vezes no lado AB e m vezes na diagonal AC do quadrado
ABCD então, tomando AB como unidade de
comprimento, a medida AC seria igual a m/n enquanto,
naturalmente, a medida de AB seria 1. Pelo Teorema de
Pitágoras teríamos (m/n)² = 1² + 1², donde m²/n² = 2 e m²
= 2n². Mas está última igualdade é absurda, pois na
decomposição de m² em fatores primos o expoente do
fator 2 é par enquanto em 2n² é impar. (LIMA et al., 1997
p.55)
Vimos nesse exemplo que para um quadrado qualquer, sempre a medida da
diagonal é incomensurável, ou seja, resulta em um número irracional. Além disso, a
demonstração exige a passagem ao quadro geométrico e só pode ser considerada
quando se dispõem do Teorema de Pitágoras.
Quando consideramos a ordenação é preciso recorrer à ordem entre os
números naturais. O conjunto dos números naturais N tem uma relação de ordem tal
que m < n. Conforme Lages Lima et al (1997 p. 34) temos que, “dados m, n
N,
diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para significar que existe algum
p
N tal que n = m + p (Isto quer dizer que n é o sucessor do sucessor... do
sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo iterado p vezes)”.
Ele observa ainda que a relação m < n tem as seguintes propriedades:
Transitividade: Se m < n e n < p então m < p. Tricotomia:
Dados m, n
N, vale uma, e somente uma, das
alternativas: m = n, m < n ou n < m. Monotonicidade: Se
57
m < n então, para qualquer p
, tem-se m + p < n e mp
< np. Boa ordenação: Todo subconjunto não vazio X
N possui um menor elemento. Isto significa que existe um
elemento mo
X que é menor do que todos os demais
elementos de X. (LIMA et al., 1997 p.34)
Nesse capitulo, procuramos mostrar a complexidade das estruturas
multiplicativas, que para ser explicitada do ponto de vista teórico necessita das
noções de espaço vetorial, combinação linear, dependência linear e transformação
linear. Além disso, mostramos que existe pouca relação entre essa estrutura e a
estrutura aditiva.
Na sequência, estudamos a gênese dos campos conceituais das estruturas
multiplicativas por meio de exemplos que permitem colocar em evidência as
categorias das estruturas multiplicativas segundo Vergnaud e os esquemas
apresentados por Nunes e Bryant, assim como, aquelas encontradas nos Guias de
Orientações Curriculares do Programa Ler e Escrever e dos Parâmetros Curriculares
Nacionais, que fazem referência às pesquisas de Vergnaud e Nunes e Bryant.
58
3
REFERENCIAL TEÓRICO DA PESQUISA
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A escolha do referencial teórico se deu devido às orientações encontradas
no Guia de Planejamento do Programa Ler e Escrever que é o material escolhido
como prática docente para a introdução das estruturas multiplicativas quando se
considera a 3ª série. Nesse Programa encontram-se as propostas de práticas
didáticas para serem utilizadas como recurso na resolução de problemas. Além
disso, os Guias de Planejamento introduzem explicitamente os Campos Conceituais
de Vergnaud, nomeando as atividades que envolvem a adição e subtração de
estrutura aditiva e as de multiplicação e divisão de estrutura multiplicativa.
Destacamos que no Guia de planejamento de orientações didáticas do
Programa Ler e Escrever para a 2ª série, volume 1, página 182, lemos ―Segundo o
professor e pesquisador Vergnaud, responsável pela Teoria dos Campos
Conceituais, cada conceito matemático está inserido em um campo conceitual que,
por sua vez, é constituído por um conjunto de situações de diferentes naturezas‖.
Essa afirmação conduz a necessidade de uma análise mais aprofundada na
proposta de Vergnaud. Trata-se de uma abordagem psicológica da Didática de
Matemática Francesa, inspirada nos trabalhos de Piaget. Para Vergnaud a
conceitualização só pode se realizar por meio da ação e de sua organização. Isso
gere a uma dialética constante entre o real e o abstrato.
Sendo assim, o objetivo da pesquisa aqui proposta é diagnosticar a
construção do conceito de estruturas multiplicativas, quando se leva em conta a
teoria dos campos conceituais de Vergnaud (1983b, p. 127).
Dessa forma, a opção teórica acima mencionada fundamenta os aspectos
que compõem nosso problema, que está centrado no campo conceitual associado
às estruturas multiplicativas, que por sua vez tem seus conceitos interconectados
entre a multiplicação e divisão entendidas como pertencentes a um único campo
conceitual. Para Vergnaud (1991, p.190) ―um conjunto de situações em relação
59
progressiva com o conjunto de conceitos gera um campo conceitual‖. Segundo o
autor:

Um conceito => várias situações;

Uma situação => vários conceitos.
Delimitamos
assim
nosso
problema,
pois
nessa
pesquisa
serão
considerados apenas os trabalhos em Educação Matemática, associados à teoria
dos campos conceituais de Vergnaud. Observamos que o estudo das ações
realizadas pelos alunos e sua organização permite compreender quais as diferentes
estratégias por eles propostas para tratar situações que envolvam as estruturas
multiplicativas.
Nessa perspectiva fizemos nossas intervenções, estudos e análises.
Iniciamos então esse capítulo fazendo uma revisão de literatura sobre os campos
conceituais de Vergnaud destacando no processo de resolução de problemas: as
tipologias das estruturas multiplicativas, o conceito de competência e de esquema,
os conceitos do campo conceitual das estruturas multiplicativas e as categorias
dessa estrutura.
Além disso, mostramos as diferentes terminologias utilizadas na evolução da
teoria dos campos conceituais por Vergnaud, as adaptações apontadas nos Guias
do Programa Ler e Escrever e as Novas Propostas associadas ao estudo do campo
multiplicativo desenvolvidas nas pesquisas de Nunes e Bryant (1997).
3.1. CAMPOS CONCEITUAIS
A teoria dos campos conceituais, de Vergnaud (1991 p. 155), é uma teoria
cognitivista, que trata da conceitualização da realidade como meio para
compreender como se desenvolve a aprendizagem. Nessa teoria ele propõe o
estudo e análise do processo de aquisição do conhecimento. Para Vergnaud
conhecimento corresponde ao saber fazer, que pode ser observado por meio da
ação: oral, escrita, gestual, etc, ou seja, por meio da linguagem, ou de atividades em
situação.
60
Para melhor compreender a relação entre a teoria dos campos conceituais
de Vergnaud e a teoria de Piaget consideramos as noções de conhecimento e
esquema discutida em Vergnaud (2009)30:
Conhecimento é adaptação, logo o problema que se coloca é saber o que se
adapta e para que. Nós nos adaptamos às situações e para isso o que se adapta
são as formas de organização das atividades.
Sendo esquema uma forma de organização da atividade, esse está em
correspondência direta com a situação, logo o esquema implica em uma situação e
vice versa (esquema
situação).
Portanto, observar a forma de organização da atividade nos permite
identificar os diferentes esquemas. Por exemplo, se consideramos a atividade:
Resolver um certo tipo de problema. Observamos que se não desestabilizamos as
crianças elas não aprendem. Sendo assim, uma parte da didática consiste em
imaginar situações que estão em um nível mais baixo do que elas podem realizar
para identificar os esquemas que elas são capazes de desenvolver. Para a
construção das situações é preciso conhecer o conteúdo conceitual, isso fará uma
diferença importante, mas não o suficiente.
Ainda, segundo Vergnaud (2009) um conceito se forma a partir de várias
situações e vice-versa, o processo de construção e apropriação de um conceito em
todas as suas formas e representações e em todos os seus aspectos para uma
mesma situação é longo, com entraves e conquistas. Além disso, existem situações
que se resolvem rapidamente e outras que só serão entendidas mais tarde, a
conceitualização nunca termina.
A partir das justificativas acima, Vergnaud introduz a noção de ―campo
conceitual‖, que segundo ele auxilia a entender o processo de conceitualização da
realidade pelo sujeito em sua amplitude.
Mais especificamente, conceitualização, para Vergnaud (2009), é a
identificação dos objetos do mundo, de suas propriedades e de suas relações.
30
VERGNAUD, G. e CAMPOS, T.M.M. La teoria de los campos conceptuales como referente
para la investigación em enseñanza de lãs ciências. Ejemplos de campos conceptuales. III
Encuentro Iberoamericano sobre Investigación Básica em Educación em Ciências: Burgos, Espanha,
2009.
61
Sendo esses objetos e suas propriedades diretamente acessíveis a percepção, ou
resultando de uma construção consciente ou inconsciente.
Ele distingue, assim, o conhecimento em duas classes de situações, que
estão diretamente associadas às competências do sujeito para tratá-las acarretando
em sucesso ou fracasso quando do seu tratamento, como mostra o texto abaixo:
1. Classe de situações para as quais o sujeito dispõe, no seu
repertório, num dado momento do seu desenvolvimento, e em
determinadas circunstâncias, das competências necessárias ao
tratamento relativamente imediato da situação. 2. Classe de
situações para as quais o sujeito não dispõe de competências
necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e de
exploração, a hesitações, a tentativas abortadas, conduzindo-o, quer
ao êxito, quer ao fracasso. (VERGNAUD, 1991, p. 156).
Essas duas classes de situações, segundo Vergnaud ( 1990, p. 136; 1991 p.
156; 1994, p. 53; 1996b, p. 201), funcionam de diversas maneiras conforme diferentes
esquemas. A primeira com condutas em grande medida automatizadas, organizadas
por meio de um esquema único e a segunda com desencadeamento sucessivo de
diversos esquemas ocorrendo num processo de desvendar, ajustar e desajustar e
encontrar soluções.
A partir dessas duas classes de situações Vergnaud apresenta a seguinte
definição de esquema:
[...] a organização invariante da conduta para uma dada classe de
situação. É nos esquemas que se tem de procurar os
conhecimentos-em-atos do sujeito, ou seja, os elementos cognitivos
que permitem a ação do sujeito ser operatória31. (VERGNAUD,
1990a p. 157).
Sabemos que um esquema implica em situação e vice versa e as duas
diferentes classes de situações dependem das competências que os sujeitos
dispõem. A distinção das duas classes de situações conduz ao conceito de
competência que, para Vergnaud, não é um conceito cientifico independente; para
compreendê-lo é preciso identificar como se organizam as atividades.
31
Operatório: Quando o sujeito é capaz de tratar uma situação de imediato utilizando as
competências que dispõe.
62
Para melhor compreender como a noção de competência é concebida na
teoria dos campos conceituais proposta por Vergnaud (2009), observamos que ele
considera cinco diferentes formas de pensar sobre a noção de competência que
estão associadas ao que o sujeito A pode fazer quando comparado com o sujeito B,
a evolução do desempenho de A num determinado tempo, a possibilidade de A
encontrar formas mais apropriadas para tratar uma determinada situação que
permitam obter um resultado mais rápido, mais genérico e mais compatível, a
possibilidade do sujeito A dispor de um repertório de fontes alternativas e a
possibilidade desse sujeito estar mais instrumentalizado face a uma nova situação.
Esses diferentes modos de pensar a noção de competência são descritos por
Vergnaud por meio das seguintes afirmações:
―A‖ é mais competente que ―B‖ se ele sabe fazer qualquer coisa que ―B‖ não sabe
fazer.
―A‖ é mais competente no tempo t’ que no tempo t se ele sabe fazer em t’ o que não
sabia fazer em t.
―A‖ é mais competente se ele encontra uma forma melhor, com critérios, para
resolver uma situação seja mais rápida, mais geral e/ou mais compatível.
―A‖ é mais competente se ele se dispõem de um repertório de fontes alternativas
que lhe permitem adaptar sua conduta aos diferentes casos que podem aparecer.
―A‖ é mais competente se ele é o mais instrumentalizado diante de uma nova
situação.
A noção de competência é discutida em diferentes pesquisas, o que conduz
Kuster e Lamel (2009) a observar que apresentar uma definição para o conceito de
competência é um desafio. Mas, pesquisadores como Le Boterf (1994), Perrenoud
(1997) e Beckers (2002) propõem uma definição de competência, centrada na ação,
a saber: competência é ―saber mobilizar em ação‖, sua finalidade é tratar os
recursos internos (cognitivos) e externos de uma tarefa ou resolver um problema
complexo. Para Kuster e Lamel (2009) todos esses autores referem-se ao
construtivismo piagetiano.
Kuster e Lamel (2009) observam ainda que as noções de esquema em ação
e classes de situações definidas por Vergnaud (1990, p. 136; 1991 p. 156; 1994, p.
53; 1996b, p. 201) refinaram o conceito de competência por meio da teoria dos
63
campos conceituais. Isso os conduz a escolher o modelo de Coulet (2005) que
considera que a construção de uma competência assim como a execução de uma
atividade produtiva se realiza por meio de esquemas de ação, sendo esses
acompanhados por formas de regulação sobre alguns elementos que constituem
esses esquemas.
Para isso, Coulet (2005) apresenta um mapa conceitual no qual fica
evidente a influência da teoria dos campos conceituais de Vergnaud, pois os
circuitos curtos são as regulações sobre as regras de ação do esquema e os
circuitos longos correspondem as regulações sobre os invariantes operatórios do
esquema, conforme figura 6.
Figura 7 – Uma modelagem do processo de construção de competência32
Fonte: COULET, 2005
Consideramos assim que as competências matemáticas seguem o modelo
de Coulet (2005) e para justificar nossa escolha apresentamos abaixo o exemplo
sobre o esquema de numeração de uma pequena coleção sustentado por esquemas
organizadores da conduta, conforme descrição de Vergnaud:
32
Une modélisation de la construction d’une compétence (tradução nossa)
64
O esquema da enumeração de uma pequena coleção por uma
criança de 5 anos pode variar nas suas formas quando se trata de
contar bombons, pratos sobre uma mesa, ou pessoas sentadas de
maneira esparsa num jardim, mas nem por isso deixa de comportar
uma organização invariante, essencial ao funcionamento do
esquema: coordenação dos movimentos dos olhos e dos gestos do
dedo e da mão relativamente à posição dos objetos, enunciado
coordenado da seqüência numérica, cardinalização do conjunto
numerado por sublinhado tônico ou pela repetição da última palavra
número pronunciada: um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete...sete!
(VERGNAUD, 1991, p.157)
Observando o exemplo acima, é possível identificar o circuito curto quando a
criança repete o mesmo número para outras pessoas ou objetos no processo de
contagem e o circuito longo quando ela retoma a contagem para determinar o
número total de pessoas que não estão no mesmo ambiente ou de objetos que
estão separados.
Esse exemplo mostra diferentes esquemas das formas pelas quais os
alunos podem organizar seus invariantes de ação ao lidar com uma determinada
situação ou classe de situações. É possível observar ainda que um esquema pode
ser eficiente para um conjunto de situações e pode gerar diferentes seqüências de
ações, procedimentos de coleta e controle de informações, dependendo de cada
situação e da competência do sujeito. Os esquemas se referem necessariamente a
situações. Observamos aqui a distinção entre a teoria de Vergnaud e a de Piaget,
enquanto o primeiro considera o estudo da interação sob a perspectiva esquemasituação o segundo se refere à interação sujeito-objeto.
A escolha da interação esquema-situação permite Vergnaud (2009)
considerar quatro definições para a noção de esquema, a saber:
1. Um esquema é uma forma de organização da atividade e uma totalidade dinâmica
funcional.
2. Um esquema é uma organização invariante da atividade para uma classe definida
de situações. (Ex. algoritmo, esquema de contagem – conceito de cardinalidade 5
quinto elemento, ou 5 cardinal do conjunto).
3. Um esquema compreende necessariamente quatro categorias de componentes: i.
um objetivo (ou vários), sub-objetivos e antecipações; ii. regras de ação do tipo ―se –
então” que controlam a informação e proporcionam regras de busca, permitindo a
65
seqüência de ações do sujeito; iii. invariantes operatórios – teoremas em atos e
conceitos em atos, que permitem que o sujeito reconheça os elementos pertinentes
à situação e a categoria de informação que corresponde a tal situação; iv.
inferências – os raciocínios, que permitem ao sujeito determinar as regras e
antecipar informações a partir de invariantes operatórios.
4. Um esquema é uma função que tem seus valores de entrada num espaço
temporalizado n dimensional, e seus valores de saída em um espaço igualmente
temporalizado n’ dimensional (n e n’ muito grandes)
Exemplos de teorema em ação:
Transformação => Conceitos
-5
EI
EF
+5
Estado Inicial conceito em atos
(ação)
Conceito em
atos
TEOREMA EM AÇÃO
Figura 8 – Esquema de transformação de conceito.
Fonte: VERGNAUD, 2009
É importante observar que existe uma relação dialética entre conceito em
ação e teorema em ação.
Os teoremas em ação são proposições tidas como verdadeiras, mas podem
ser verdadeiras ou falsas.
Os conceitos em ação não são nem verdadeiros nem falsos, mas pertinentes
ou não pertinentes.
O reconhecimento de invariantes operatórios é a chave da generalização do
esquema. (VERGNAUD, 1990 p. 161).
66
O funcionamento cognitivo do aluno comporta diversas operações que se
automatizam progressivamente. A confiabilidade do esquema depende do
conhecimento explícito ou implícito que a criança tem das relações do problema. Por
exemplo, quando se considera a enumeração, podemos identificar facilmente duas
idéias matemáticas indispensáveis para o funcionamento do esquema: a de bijeção
e a de cardinal. Observa-se então que as condutas comportam uma parte de
automacidade e uma parte de decisão consciente como é possível identificar no
texto abaixo:
Na resolução dos problemas de aritmética dita elementar, as
crianças se deparam com numerosas dificuldades conceituais. É em
termos de esquemas que devem analisar a escolha das operações e
dos dados adequados a resolução de um problema para o qual
existem diversas possibilidades de escolha. A recolha de informação
na leitura do enunciado, a recolha de informações físicas (medidas,
por exemplo), a procura de informações em documentação (num
livro escolar, em quadros estatísticos, etc.), a combinação adequada
destas informações através das operações de adição, de subtração,
de multiplicação e de divisão, obedecem em geral a esquemas,
nomeadamente entre os alunos que dominam essas situações. Para
os alunos, trata-se da resolução de problemas porque as situações
em jogo ainda não se tornaram triviais para eles; mas os
procedimentos heurísticos são esquemas: não efetivos como os
algoritmos, nem sequer por vezes, eficazes. (VERGNAUD, 1991, p.
162).
Observamos ainda que, sendo o esquema composto por regras de ações e
de antecipações, ele vem combinado essencialmente por invariantes operatórios e
por inferências. Os invariantes operatórios (conceitos-em-ação e conhecimento-emação) podem ser de três tipos: proposições, função posicional e argumento.
Durante a ação para a observação dos esquemas, as inferências são
indispensáveis, seja para situações particulares ou classes de situações, pois um
esquema faz parte de um universo que permite gerar sequências diversas de ações
em torno das diferentes variáveis de uma situação.
Além disso, visando interpretar o comportamento de uma criança frente a
problemas aritméticos elementares, Vergnaud (1982) acredita ser essencial
distinguir dois tipos de cálculo.
O ―cálculo numérico‖ que significa as operações ordinárias de adição,
subtração, multiplicação e divisão e o ―cálculo relacional‖ que significa as operações
67
de pensamento que são necessárias para reconhecer as relações envolvidas em
uma situação. Este cálculo pode ser geralmente expresso por meio de teoremas
(quando é válido), ou em termos de falsas inferências (quando não é válido). Esses
teoremas ou inferências não são necessariamente expressos ou explicados pelas
crianças; eles podem ser somente hipóteses definidas pela observação das ações
durante a solução de uma situação. São essas hipóteses que Vergnaud denomina
teorema em ação.
Para Vergnaud teoremas em ação e conceitos em ação – são as bases
conceituais que permitem fazer a articulação essencial entre a teoria e a prática. Os
conceitos em ação e os teoremas em ação são subjacentes à conduta do indivíduo
frente a uma situação problema. As relações matemáticas consideradas ao escolher
as operações e procedimentos de resolução da situação espelham os teoremas em
ação.
Em outras palavras, teoremas-em-ação são relações matemáticas que os
alunos levam em consideração quando escolhem uma operação ou uma seqüência
de operações para resolver um dado problema. Eles geralmente não são expressos
verbalmente, podendo até estarem errados, aparecem espontaneamente em
contextos simples, não tendo um valor universal, mas nos permitem traçar o
conhecimento matemático no nível de esquemas de ação.
Assim, um campo conceitual é definido como um conjunto de situações e
problemas, cuja apropriação requer o domínio de vários conceitos de naturezas
diferentes cuja análise e tratamento, necessitam vários tipos de conceitos,
procedimentos e representações simbólicas, que se encontram em estreita conexão
uns com os outros (Vergnaud, 1982; 1990). Todos os conceitos têm um domínio de
validade restrito, que pode variar de acordo com a experiência e com o
desenvolvimento cognitivo de cada indivíduo, ou seja, essa teoria permite considerar
que a aquisição do conhecimento se dá por meio de situações e problemas, sendo
assim, o conhecimento tem características locais.
A teoria dos campos conceituais deixa evidente que o desenvolvimento e
domínio progressivo de um campo conceitual pelos alunos exigem: a interação
social, a linguagem e a formação de símbolos.
68
Do ponto de vista dessa teoria, a construção de um conceito segundo
Vergnaud é uma terna de conjuntos que é chamada simbolicamente de (S, I e R);
onde S é um conjunto de situações que torna o conceito significativo, ou seja, dão
sentido ao conceito (referência), I é um conjunto de invariantes operatórios na
operacionalidade dos esquemas (objetos, propriedades e relações (o significado) e
R é um conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas para pontuar
e representar os invariantes, ou ainda, conjunto de formas linguajares e não
linguajares
que
permitem representar
simbolicamente
o
conceito
e
suas
propriedades, assim como as situações que permitem utilizá-los e as técnicas a elas
associadas.
Apresentamos abaixo, o exemplo de Herreros (1995, p. 308) para melhor
compreender o funcionamento da terna (S, I, R).

A referência (S) está associada à realidade, ou seja, ao conjunto das
situações que dão sentido ao conceito, encontrando-se num plano que remete
ao objeto, por exemplo: estruturas multiplicativas.

O significado é o nível no qual os invariantes (I) são organizados (objetos,
propriedades, relações), por exemplo: os isomorfismos de medidas.

Ícones, signos ou símbolos representam o significante (R), ou ainda uma
parte material (exemplo: arrumar as cadeiras em filas, gráficos, carta de
baralho). Um signo pode ser audiovisual - produzido pela combinação de
significantes percepcionados pelo ouvido e pela visão. As imagens e os sons
constituem o significante: signo visual - produzido por significantes captados
pela visão: pictóricos, gráficos, imagens e signo auditivo - produzidos por
significantes apreendidos pelo ouvido.
O tripleto dos conjuntos acima C = (S, I, R) permite Vergnaud definir conceito.
Dessa forma, esses três conjuntos que correspondem à formação do conceito na
Teoria dos Campos Conceituais emergem de situações (S) que dão sentido ao
conceito, dos objetos, propriedades e relações que constituem os invariantes
operatórios (I) e que podem ser reconhecidas e utilizadas pelos sujeitos para
analisar e dominar as situações de (S) e das representações simbólicas (R) que
permitem manipular os invariantes operatórios ( I ).
69
A teoria dos ―Campos Conceituais‖ de Vergnaud (1990a, 1993, 1998, 2001)
fornece, nesses termos, elementos para a análise das dificuldades dos alunos e
constitui uma ferramenta poderosa para a construção de situações-problema. Isto
porque ela apresenta um quadro coerente para o estudo do desenvolvimento e da
aprendizagem de competências complexas.
Entendemos então o Campo Conceitual como um conjunto informal e
heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e
operações de pensamento, conectados uns aos outros, atrelados, provavelmente,
durante o processo cognitivo.
Dessa forma, devido à grande diversidade de conceitos que envolvem as
estruturas multiplicativas, elas fazem parte de um conhecimento que o aluno adquire
a médio e longo prazo, devendo ser propostos várias oportunidades com diferentes
situações ao longo das quatro séries iniciais, que serão revisitadas ao longo da
escolaridade proporcionando a ampliação do campo conceitual. Quando se
considera as séries iniciais, as classes de situações para as estruturas
multiplicativas podem ser classificadas em classes de problemas com relações de
base quaternária do tipo: multiplicação comparativa, comparação entre razões (idéia
de proporcionalidade), proporcionalidade dupla (e múltipla) configuração retangular e
as associadas à idéia de combinatória proporcionalidade dupla (e múltipla). Essa
classificação recebe outras nomenclaturas que estão identificadas na tabela das
páginas 103/105.
Como nossa pesquisa está centrada na teoria dos campos conceituais de
Vergnaud, em particular, no estudo das estruturas multiplicativas, sobretudo para as
operações de multiplicação. Lembramos que o campo conceitual multiplicativo é
simultaneamente um aglomerado de situações e conceitos. Um conceito adquire
significado por meio de uma variedade de situações, e diferentes aspectos de um
mesmo conceito e operações estão envolvidos em diferentes situações. Sendo
assim, as estruturas multiplicativas relacionam-se parcialmente com as aditivas, mas
elas também têm a sua própria organização, a qual não é redutível aos aspectos
aditivos.
Escolhemos trabalhar com os diferentes tipos de situações e problemas que
podem ser resolvidos utilizando esquemas que envolvem a multiplicação e a divisão,
70
considerando que existe também a possibilidade de utilizar os algoritmos para essas
operações. Esses tipos de situações e problemas são considerados por Vergnaud
(1983b) como pertencentes ao campo conceitual das estruturas multiplicativas.
Na sequência apresentamos uma breve descrição do campo conceitual das
estruturas multiplicativas.
3.2. O CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
Iniciamos a apresentação da noção de estrutura multiplicativa observando
que a teoria dos campos conceituais de Vergnaud é uma teoria do conhecimento a
longo prazo, onde as situações permitem o desenvolvimento de diferentes
esquemas, que podem ser revisitados e ampliados em função das competências dos
alunos e dos conceitos em jogo na situação.
Vergnaud (2009) faz a distinção entre sua proposta teórica e as de Piaget e
Vygotsky como é possível observar nos exemplos abaixo.
Segundo Vergnaud (2009) a diferença entre a teoria dos campos
conceituais e a teoria de Piaget para o caso particular da noção de
proporcionalidade ao introduzir este conceito do ponto de vista da lógica utilizamos a
noção de grupo (identidade, relação e correlação) o que corresponde à proposta de
Piaget. Quando se considera a teoria de Vergnaud ela pode ser trabalhada por meio
de situações onde é possível distinguir as noções de função linear, bi-linear e
equação de maior dimensão.
No que se refere a Vygotsky, Vergnaud observa que é preciso levar em
conta que na conceitualização além da linguagem, intervêm também a ação.
Como exemplo, ele cita Vygotsky que considera o conceito como a
significação da palavra, mas para Vergnaud essa idéia é importante, porém
insuficiente, pois o bebê não fala, mas conceitualiza.
Para melhor justificar essas afirmações Vergnaud (2009) considera os
exemplos abaixo, que foram por ele aplicados e analisados.
71
PROBLEMA A – crianças (5 – 8 anos)
Um bolo custa R$8,00. Quanto custa 5 bolos?
bolo ―x‖ reais = reais e não bolo.
(Bolo versos reais cujo resultado será ―real‖ e não bolo.)
É importante analisar como uma questão profunda que envolve relação de
proporcionalidade.
1º Esquema
Bolo
Reais
X8
1
X5
8
X5
X8
5
f(5) = 8 x 5
?
f(x) = ax (função linear)
―a’ é o coeficiente de proporcionalidade entre o número de
bolo e o preço.
2º Esquema
5 bolos
8 reais
= reais
por bolo
f(5 x 1) = 5f (1 )
Isomorfismo de medida ( de identidade)
3º Esquema
Multiplicação pela adição
bolo + bolo + bolo+ bolo + bolo = reais
Bolo e reais não são medidas de mesma grandeza para as crianças a multiplicação
não é comutativa.
72
PROBLEMA B - Crianças ( 11- 12 anos) (14 – 15 anos)
250kg de isopor a 0,70 centavos o quilo (  devemos fazer uma multiplicação ou
divisão). Vemos que:
Crianças de 11 a 12 anos – não tem muito problema com a multiplicação;
E entre 14 e 15 anos – com formação média, não tem problemas para resolver.
PROBLEMA LOCAL – Crianças ( 12- 13 anos) grande área rural próxima a
Paris.
0,70 toneladas de concreto a 285 reais a tonelada – pergunta-se: trata-se de
multiplicação ou divisão – ―hesitação‖ porque envolve um número decimal.
Concreto
reais
isopor
1 285
diminui
reais
1 0,70
diminui
aumenta
0,70 ?
aumenta
285 ?
Relação escalar privilegiada é menor que 1.
0,70 < 1 preço f(0,70) < f(1)
285 > 1 f(285) > f(1)
Idéia falsa: a multiplicação aumenta e a divisão diminui, propriedade de crescimento
contradiz a multiplicação.
A estrutura multiplicativa é uma relação entre grandezas e envolve
problemas de dimensão e ordem de grandeza que representam exemplos
complicados que as crianças têm dificuldades de compreender.
PROBLEMAS DE DOIS ESQUEMAS – crianças (12 – 13 anos)
Necessitamos de 120 kg de trigo para fazer 100 kg de farinha. Quanta farinha se
pode fazer com 972 toneladas de trigo?
1º Esquema
As crianças escolheram a divisão: 972000 por 120 executaram o algoritmo da
divisão.
73
Houve vários erros!
O autor procurou deixar o enunciado interessante uma vez que a farinha
proporciona alimento para as pessoas.
Na resolução de 3 grupos de jovens eles não escolhem a divisão para
resolver o problema nem algum procedimento importante sobre a proporcionalidade.
 Após aproximadamente 3 horas nem operação, nem os dados;
 Na semana seguinte ainda não havia procedimentos e;
 Na seqüência, após 15 minutos, uma diz vamos dividir 972000 por 120.
Quem propõe não sabe explicar a razão da escolha, utiliza um teorema em ação por
meio de relação escalar:
972000
120
Esquema:
f(K . 120) = K . f(120)
Toneladas
KG
1
120
972000
?
Analisados esses exemplos, Vergnaud (2009) conclui que:
– As relações entre grandezas de mesma natureza são mais simples que com
grandezas de naturezas diferentes. Historicamente Galileu 33 teve a mesma
33
Galileu Galilei (Pisa, 15/02/1564 — Florença, 08/01/1642) foi um físico, matemático, astrónomo e
filósofo italiano que teve um papel preponderante na chamada revolução científica. Descobriu A lei
dos corpos em queda e diz que todos os corpos caem com aceleração constante, uma vez que o
efeito da aceleração gravítica, ou seja, da gravidade em todos os corpos, à mesma altura, é igual.
Esta lei só é observada no vácuo, pois como a densidade dos corpos é diferente, no ar o corpo mais
pesado exerce maior força e cai primeiro. Para exemplificar esta lei consiste em colocar num tubo em
vácuo uma pedra e uma pena e observar que ambos caem à mesma velocidade. Em Física,
velocidade (símbolo v) é a medida da rapidez com a qual um corpo altera sua posição. A velocidade
média, que é uma medida da velocidade, é a razão entre um deslocamento e o intervalo de tempo
levado para efetuar esse deslocamento. Pode ser considerada sob o aspecto vetorial (v ou - tem
direção, sentido e módulo) ou escalar, e é matematicamente expressa por
.
74
dificuldade em explicar
, ou seja, a derivada do espaço em relação ao
tempo34.
Na história as grandezas são apresentadas com todas as suas propriedades
não somente a propriedade numérica, e nas ciências sabemos que existe um grande
obstáculo para compreender que:
a) d= v x t
b) v = distância
tempo
– Vergnaud (2009) observa que a epistemologia do ensino de matemática não é
igual à epistemologia da matemática. Para isso, ele considera o exemplo que
corresponde a mostrar a dimensão de um retângulo: c x l
l
c
Aqui a epistemologia (no sentido restrito), ou seja, as relações entre os
problemas teóricos e práticos que as crianças colocam não são as mesmas que
aparecem na história. Observamos aqui que para determinar a área ou o perímetro é
necessário transformar comprimento (c) e largura (l) nas mesmas unidades de
medidas, o que corresponde a utilizar grandezas de mesma dimensão e que pode
ser analisado considerando a dificuldade encontrada por Galileu.
Outro exemplo: Os números negativos. Como sabemos historicamente os
números negativos já instigavam questionamentos de célebres matemáticos como
Euler, Laplace, Cauchy, Mac Laurin e Carnot, por exemplo: Laplace (1749-1827)
com respeito a Regra de Sinais disse: "É difícil conceber que um produto de (-a) por
(-b) é o mesmo que a por b"; Mac Laurin (1698-1746) disse a respeito do número
34
Derivada do espaço em relação ao tempo: por ser grandezas de natureza diferentes e para
explicar que a distância = velocidade x tempo, ele precisou de 3 páginas para justificar essa
operação.
75
negativo: "A quantidade negativa, bem longe de ser rigorosamente menos que nada,
não é menos real em sua espécie que a quantidade positiva". Mostrando que entre a
aparição e aceitação do número negativo levou mais de 1000 anos.
É interessante que essas dúvidas que aparecem no contato com os
números inteiros naquela época são parecidas com as nossas. Ao contrário dos
números naturais e fracionários positivos que tem raízes em experimentações
geométricas, os números negativos surgiram da manipulação algébrica, como na
resolução de equações de 1º e 2º graus.
Hipótese – se os números são medidas de grandeza, eles são positivos.
– O protótipo do número é a medida: a evolução do conceito de número se distancia
do conceito de medida.
No caso da quarta posicional, por exemplo:
toneladas
kg
120
100
972000
?
b.c
(numérico
verdadeiro)
b.c
(grandezas
não tem
sentido)
A
b
c
?
Podemos encontrar a razão escalar e multiplicar pelo coeficiente de
proporcionalidade.
1 c/a = r
bxr
2 b/a = k
cxk
3 bxc
A
– Propriedade mais acessível: relação entre grandezas de mesma natureza.
1/a
?/a
a
b
x b/a
xc
c
xc
?
x b/a
76
PROBLEMA DE COTA (problema da maçã)
Dividir a maçã por maçã para encontrar a quantidade de criança.
Importante introduzir os esquemas para não introduzir equações de outras
dimensões nas séries iniciais.
– Situações como as das maçãs são consideradas mais fáceis por terem grandezas
de mesma natureza, no problema das maçãs 500 maçãs/ 10maçãs para cada
criança = 50 crianças.
– Algoritmo da divisão – As técnicas de divisão evoluiram depois do século XVIII.
A identificação dos diferentes esquemas permite estabelecer os teoremas
em ação nas estruturas multiplicativas e sua relação com o campo conceitual dessa
estrutura.
Teorema em ação nas estruturas multiplicativas: Exemplos de conceitos que
justificam os diferentes esquemas que podem ser utlizados na solução de situações
que envolvem as estruturas multiplicativas. As propriedades de isomorfismo da
função linear:
f( x + x’) = f(x) + f(x’)
f(ax) = af(x)
combinação linear
f(ax + a’x) = af(x) + a’f(x’)
o coeficiente de proporcionalidade
f(x) = Kx
o produto em cruz e a regra de três
x’ * f(x) = x * f(x’)
f(x’) = x’ * f(x)/ x
77
A dupla linearidade
f(n1x1, n2x2) = n1n2 f(x1x2)
PROBLEMA DO AÇÚCAR - Crianças ( 10 - 11 anos).
Os alunos de duas classes preparam a sua saída para as férias de inverno.
Eles querrem saber quanto de açúcar eles deveriam comprar.
Na documentação indica que eles devem considerar 3,5 kg de açúcar para
10 crianças por 7 dias. Temos 50 crianças e a estadia é de 28 dias. Quanto açúcar
devemos comprar?
Primeiro raciocínio escalar
1
10
50
x5
7
3,5
?
x4
Segundo raciocínio escalar
x5
x4
28
x
20
(70)
Figura 9 – Esquema de raciocínio escalar
Fonte: VERGNAUD, 2009
O esquema acima nos oferece um status mais objetivo ao racíocinio e
permite descrevê-lo: S = KNJ, sendo que esta expressão simbólica dará outro status
78
ao raciocínio. Em S = KNJ, S resultado, K (escalar), N (dias) e J (crianças).
Ou f(5 x 10, 4 x 7) = f(10,7). Caso particular da propriedade f(kx, k’x’)= kk’ f(x,x’)
S= KNJ
As representações acima permitem considerar as seguintes questões:
- Quais são as grandezas independentes?
- Qual o coeficiente de proporcionalidade quando fixamos uma dessas grandezas?
Para proposta das diferentes situações Vergnaud considerou os conceitos
que constituem o campo conceitual que forma as estruturas multiplicativas, esses
conceitos são por ele denominados raizes protótipas do raciocínio.
Dessa forma, ele considera o campo conceitual que forma as estruturas
multiplicativas, ou seja os conceitos que a compõem e seu status (explícitos ou
impícitos) como o grupo de conceito da tabela.
CONCEITO
STATUS
Grandezas
Explicito
Escalar
Ímplicito
Razão e proporção
as vezes explicito, outras ímplicito
Função e variável
Ímplicito
Função linear, bilinear, n-linear
Ímplicito
Coeficiente constante
Explicito
Número racional
Explicito
Análise dimensional
Ímplicito
Espaço vetorial, combinação linear
Ímplicito
Dependencia e independencia
Ímplicito
Tabela 3: Quadro que
Fonte: VERGNAUD, 2009
envolvem
o
campo
conceitual
das
estruturas
multiplicativas.
A identificação dos conceitos do campo conceitual e seu status explícito ou
implícito para o desenvolvimento de situações que envolvem as estruturas
multiplicativas deixou evidente as dificuldades que podem surgir e a necessidade de
um trabalho a longo prazo que são o tempo todo anunciadas por Vergnaud (2009).
79
Esses estudos permitiram conhecer diferentes análises e categorização
propostas por Vergnaud (1994) para as estruturas multiplicativas e que foram
apresentadas mais detalhadamente, com exemplos de casos particulares, no
minicurso ―La teoria de los campos conceptuales como referente para la
investigación em enseñanza de lãs ciências. Ejemplos de campos conceptuales
apresentado por Gerard Vergnaud e Tânia M.M. Campos no III Encuentro
Iberoamericano sobre investigación Básica em Educación em Ciências em 2009, na
Universidade de Burgos, Espanha.
3.3. AS CATEGORIAS DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
A necessidade de um estudo detalhado que identifique classes de
problemas e situações pertencentes ao campo conceitual, para os quais é possível,
por meio de uma análise detalhada, classificá-lo em função dos conceitos em jogo,
dos procedimentos que podem ser adotados e das diferentes representações que
podem ser empregadas.
Sendo assim, ao considerar mais especificamente o campo multiplicativo,
Vergnaud mostra que a operação de multiplicação se trata de uma relação
quaternária e não ternária do tipo a x b = c, como trabalhada tradicionalmente.
Para isso usamos o modelo de Silva (2008 ) inspirado em Vergnaud (1990)
apresenta o esquema abaixo dessa relação quaternária por meio da associação a
dois tipos de medidas.
Medidas
Tipo I
Medidas
Tipo II
A
B
C
D
80
O estudo das diferentes classes de situações permite o autor identificar
quatro classes: a comparação multiplicativa, a proporcionalidade simples, a
proporcionalidade simples composta e a proporcionalidade dupla.
Ele justifica esse esquema da seguinte forma: As medidas do tipo 1
correspondem por exemplo a quantidade de objetos, enquanto que as medidas do
tipo 2 correspondem ao custo desses objetos, ou seja, trata-se de um esquema de
isomorfismo de medidas para a multiplicação.
x
M1
1
x
M2
a
y
x
Nesse esquema, multiplicar 1 por x na medida 1 correspondente a
multiplicar ―a‖ por ―x‖ e obter a função ―y = a . x‖. Esse operador indica a
proporcionalidade entre objetos custo, isto é, objetos e custo aumentam na mesma
proporção, trata-se assim de uma função linear do tipo (y = ax).
Gérard Vergnaud (1983, 1988) desenvolveu uma análise sistemática dos
problemas multiplicativos. Esta classificação se apóia sobre a análise da estrutura
matemática de problema e com esta direção, as relações se mantêm por meio das
perguntas e os diferentes dados do enunciado dos problemas.
81
Tipologias de problemas de estrutura multiplicativa (VERGNAUD, 1990).
Quadro das relações multiplicativas
Comparação multiplicativa
Proporcionalidade simples
Proporcionalidade simples
Proporcionalidade dupla
composta
Tabela 4 – Quadro de Tipologias de problemas de estrutura multiplicativa
Fonte: VERGNAUD, 1997
3.3.1 Categoria de problemas de “Comparação Multiplicativa de Grandezas”
Nesta categoria, se encontram os problemas que utilizam uma única
grandeza (comensurável) e dos estados relativos a essa grandeza dos quais são
objeto da comparação multiplicativa: a relação se dá por meio de representação
onde um é o referente do outro, ou seja, embora distintos ambos façam o papel de
referente.
Existe uma relação de natureza escalar (não comensurável) que consiste
em uma relação numérica de comparação, e sua complexidade se dá ao seu
82
domínio que seu fim remete a uma expressão multiplicativa e outro que remete a
uma expressão aditiva, quando se diz ―tantas vezes mais‖ ou ―tantas vezes menos‖.
Pode-se pensar em seis subcategorias, segundo a relação multiplicativa se
defina por um coeficiente maior ou menor que 1, e se a pergunta leva a busca do
referido, da comparação ou do referente.
Os problemas de comparação multiplicativa instauram raciocínios básicos
sobre o duplo, o triplo. É útil familiarizar os alunos com formulações da linguagem
associadas: Duas vezes mais quer dizer o dobro; três vezes mais quer dizer o triplo.
Seguidamente, de acordo com o lugar da incógnita, pode tratar-se de dividir.
Exemplo: Hoje, tenho 42 esferas e são três vezes mais do que tinha ontem. Quanto
tinha ontem?
Vejam na tabela abaixo outras situações de problemas de comparação
multiplicativa de grandezas:
Estrutura matemática
Perguntas
A
Problemas
Exemplos (podendo ser escolhidos no contexto
cardeal, ordinal ou de medida)
- Paulo tem 15 esferas, Lucas tem 3 vezes mais,
A
Lucas tem…
- Paulo tem 25 esferas, Lucas tem 100, por
comparação
multiplicativa de
conseguinte Lucas tem… vezes mais
xB
:B
Lucas tem 45 esferas; 5 vezes mais que
grandezas
Paulo. Paulo tem….
- Paulo tem 15 esferas, Lucas tem 3 vezes menos,
C
C
Lucas tem…
- Paulo tem 125 esferas, Lucas tem 25, por
conseguinte Lucas tem… vezes menos
- Lucas tem 30 esferas; 6 vezes menos que Paulo.
Paulo tem….
Tabela 5 – Quadro de problemas comparação multiplicativa de grandezas
Fonte: LATAPIE, 2006.
3.3.2 Categoria de problemas de “Proporcionalidade Simples”
Nessa categoria se insere a Teoria dos grupos: (Teoria de lei de
composição binária) boa relação entre os números e as operações (multiplicação –
comutativa), que podemos nos reportar para o Problema A: crianças (5 – 8 anos).
83
As situações correspondentes a essa categoria podem representar-se
mediante tabelas numéricas e estão associadas a uma função linear (função
―multiplicar por‖ ou ―dividir entre‖), conduzindo a realizar uma multiplicação, uma
divisão, ou uma ―regra de três‖, ou seja, buscam a quarta posicional.
Nestes problemas se utilizam dois domínios de grandezas e uma relação
funcional multiplicativa entre estes. Frequentemente, nos problemas desta categoria
parece que só intervêm dois números, na verdade, também intervém a unidade,
embora com frequência ela não apareça explicitamente (Quanto custam 5 bolos. Se
um bolo custa R$ 8,00?).
Para resolver estes problemas, o esquema pode passar pelo coeficiente de
proporcionalidade entre duas grandezas; pelas propriedades de linearidade da
função linear associada: pela multiplicação por um escalar ou pela aditividade.
Vejamos,
ainda,
outros
exemplos
de
situações
problemas
de
proporcionalidade simples:
Estrutura
matemática
Perguntas
Exemplos (podendo ser escolhidos
no contexto cardeal, ordinal ou de
medida)
- Em 4 caixas de 6 ovos, há…
Problemas
1
B
1 B
1
proporcionalidade
C ?
? D
C D
simples
?
ovos.
- Para 42 ovos, quantos caixas de
6 ovos? (divisão-quociente)
A B
(O número
C ?
- com 60 ovos preenche-se 5
caixas… de ovos (divisão-
1 não figura)
partição), quantos ovos em cada
caixa?
- de 30 litros de gasolina custam
40 reais; 45 litros custam…
(problema de quarto proporcional)
Tabela 6 – Quadro de problemas de proporcionalidade simples
Fonte: LATAPIE, 2006.
84
3.3.3 Categoria de problemas de “Proporcionalidade Simples Composta”
Nestes problemas intervêm três grandezas, se definem duas razões de
proporcionalidade simples e a situação que conduz a compor essas duas relações
de proporcionalidade.
Os problemas de proporcionalidade simples composta põem em jogo: três
domínios de grandezas; duas relações de proporcionalidade simples: Um entre a
grandeza 1 e a grandeza 2, outro entre a grandeza 2 e a grandeza 3,
consequentemente e implicitamente entre a grandeza 1 e a grandeza 3; além de
uma situação que leva a compor estas duas relações. Exemplos: Sobre um
potenciômetro de pintura, é indicado que com um litro desta pintura, pode-se pintar
uma superfície de 4 m². Aldo calcula que é necessário 25 potenciômetros de pintura
para pintar uma superfície de 80 m². Qual é a capacidade de um potenciômetro de
pintura?
Vejam outros exemplos de proporcionalidade simples composta.
Estrutura
Perguntas
Exemplos (podendo ser escolhidos
matemática
no contexto cardeal, ordinal ou de
medida)
Problemas
- Saquinhos de 2 Kg de açúcar são
proporcionalidade
A
B
C
colocados em caixas. Cada caixa
simples
C
D
?
contém 8 saquinhos. Em 12 caixas,
composta
há… Kg de açúcar.
Tabela 7 – Quadro de problemas de proporcionalidade simples composta
Fonte: LATAPIE, 2006.
3.3.4 Categoria de problemas de “Proporcionalidade Dupla ou Múltipla”
Os problemas de proporcionalidade dupla ou múltipla são problemas em
que intervêm pelo menos dois domínios de grandezas que são autônomos tais que,
uma relação associa um par (ou a uma dupla) de medidas para cada grandeza, uma
terceira (ou uma (n+ 1) - ésima) grandeza chamada grandeza produto.
85
Então, é fundamental determinar a imagem do par (ou n-upla) das unidades
de duas (ou n.) grandezas. Esta imagem pode ser a unidade de grandeza produto
ou outra grandeza. As grandezas podem ser discretas ou contínuas.
O caso particular de encontrar a relação entre o cardinal do produto
cartesiano de dois conjuntos finitos e o cardinal de cada um dos correspondentes a
duas grandezas discretas para as imagens do par (1,1) é igual a 1. Nesta categoria
se encontram os problemas do número de quadrados de um quadriculado retangular
e, de maneira geral, os problemas que correspondem a uma composição
multiplicativa de duas grandezas discretas.
A relação entre a medida da área de um retângulo e as grandezas de altura
e base pertence a este caso. Aqui as grandezas são contínuas e a imagem do par
(1,2) é 1 X 2 e, então, o par (x,y) é xy. No geral, se a imagem do par (1,1) é o
número real a, a imagem do par (x,y) é axy.
Para os alunos a situação de configurações retangulares é um caso
específico dentre as estruturas multiplicativas que oportunizam a identificação de
comutatividade da multiplicação.
As duas espécies de problemas de divisão referem-se: - a investigação ―do
número de partes‖ (problemas de divisão-quociente), exemplo: Um metro de tecido
custa 11 reais, quantos metros temos para 143 reais?
Estrutura
Perguntas
Exemplos (podendo ser escolhidos no
matemática
contexto cardeal, ordinal ou de medida)
Problemas
- Uma bacia de 450 litros preenche-se
―Proporcionalidade
A
(B, C)
através de 3 torneiras. Cada torneira tem
Dupla ou Múltipla‖
D
(E, F)
uma vazão de 100 litros por hora. A bacia
será preenchida… em horas.
Casos específicos de proporcionalidade dupla:
Produto
cartesiano n (EXF) ? ;
de 2 conjuntos
n(E) ? ou n (F) ?
- Número de combinações possíveis com
5 pratos e 6 sobremesas. - Número de
pratos com 5 sobremesas para 20
combinações possíveis.
Configuração
Produto ou número num
- Número de quadrados numa placa de
Retangular
alinhamento
chocolate de 6 sobre 3. - Número de
86
quadrados numa dimensão para uma
placa de chocolate de 20 quadrados com
4 quadrados na outra dimensão.
Tabela 8 – Quadro de problemas de proporcionalidade dupla ou múltipla (LATAPIE, 2006).
Segundo Vergnaud as categorias de problemas de proporcionalidade
simples composta e de proporcionalidade dupla podem ser consideradas de maior
complexidade para os alunos das séries iniciais, o que foi observado em nossas
investigações com os alunos da 3ª série neste trabalho, cujos resultados
apresentamos no capítulo ―Análise comparativa das produções dos alunos‖.
Outros problemas foram propostos por Vergnaud (1997) e foram
classificados
segundo
o
cálculo
relacional
característico
das
estruturas
multiplicativas. Em 1991 encontramos uma terminologia distinta da atual, a nova
terminologia parece corresponder a uma melhor classificação dos esquemas que
apresentam características comuns.
Exemplos por Vergnaud (1997)
A multiplicação
Josie compra 4 bolos. O preço de um bolo é de 7
francos. Quanto deve pagar?
Bolos francos
1
7
4
?
multiplicação
A divisão-partição
(busca do valor de uma parte
ou objeto)
Arthur pagou 30 francos para 6 ágatas
azul. Qual é o preço de uma Ágata?
Ágatas francos
1
?
6
30
Divisão – partição
A divisão de quotas
(o número de pesquisas
unidades, ou objetos)
Bernard quer comprar ágatas. Ele
tem 40 milhões de francos. O custo por ágata é
de 5 milhões de reais. Quanto ele pode comprar?
Ágatas francos
87
1
5
?
40
Divisão – quotação
O quarto
proporcional
Marie-Hélène pagou 72 francos para
12 ovos de chocolate. Seu primo
Sophie quer comprar 18. Quanto
Será que vai pagar?
Ovos de francos
chocolate
12
72
18
?
Comparação
multiplicativo
de grandezas
Comparação Multiplicativa
Há 5 vezes mais que as cadeiras
cantina na sala de aula. Há
para 25 em classe. Quantos
Ele preside na cantina?
Tabela 9 – Quadro de exemplos de categorias
Fonte: VERGNAUD, 1997.
Abaixo apresentamos as diferentes classificações destacando algumas
categorizações introduzidas por Vergnaud (1983, 1991a, 1991b), Nunes & Bryant
(1997) que também colocam questões sobre esse campo conceitual. Finalmente,
consideramos as categorizações encontradas nos Parâmetros Curriculares
Nacionais (1997) que são considerados como suporte teórico para os Guias do
Programa Ler e Escrever, que também estão centradas na teoria dos campos
conceituais de Vergnaud e correspondem às expectativas conceituais de
construção de conhecimento sobre as estruturas multiplicativas pelos alunos que
participaram dessa pesquisa.
Observamos que no Guia do Programa Ler e Escrever as categorias de
Vergnaud são apresentadas com a seguinte nomenclatura: Combinatória,
Configuração retangular, proporcionalidade e comparação.
Além disso, é importante ressaltar que em alguns trabalhos Vergnaud
(1994) apresentava as categorizações da mesma forma.
1) Isomorfismo de Medidas
88
No nosso exemplo são colocadas em jogo quatro quantidades, tratando-se
então de uma relação quaternária na quais duas delas são medidas de um tipo e
outras duas são de outro tipo. Nesta condição temos então três tipos de problema,
em que a incógnita ocupa o lugar de uma das outra três quantidades.
Exemplo (a) Multiplicação - Se uma blusa no shopping custa R$ 16,00. Quanto
custarão 5 blusas?
1
16,00
5
X
Exemplo (b) Divisão (busca do valor unitário) - Se 3 bermudas custam R$30,00.
Quanto custa 1bermuda?
3
30,00
1
X
Exemplo (c) Divisão (busca da quantidade de unidades) - Se uma saia custa R$
15,00. Quantas saias eu posso comprar com R$ 30,00?
1
15,00
x
30,00
Essa categoria corresponde a atual ―Proporcionalidade simples‖.
2) Proporção Múltipla
Nesses problemas aparecem os domínios físicos do tipo produção de bens
e consumo e outros contextos. Esta também é uma relação ternária, mas que não
pode ser resolvida pelo produto de outras duas medidas.
Exemplo: A Lúcia vai viajar para o Maranhão, ela vai com mais 2 amigas e
passarão 8 dias em uma pousada. A diária da pousada custa por pessoa R$ 40,00.
Qual será o gasto total por pessoa?
3 pessoas x 8 dias = 24 diárias
24 diárias x 40,00 = x
89
Essa categoria corresponde a atual ―Proporcionalidade simples composta‖.
3)
Caso de uma só quantidade
Neste tipo de problema existe uma correspondência, mas não por
isomorfismo, pois não se estabelece uma relação entre quantidades e sim entre
duas partes: uma categoria de medidas, comprimento, por exemplo, e os objetos de
que trata o problema.
a) Multiplicação: Para fazer uma saia usamos 2 metros de tecido. Para fazer um
conjunto precisamos de três vezes mais tecido. Quanto tecido precisamos para
fazer um conjunto?
― x ― (vezes) 3
2x
b) Divisão (busca de uma medida): Faltam 3 vezes mais tecido para fazer um
conjunto que para uma saia. Se para um conjunto usamos 6 metros. Quanto tecido
se usa para fazer uma saia?
6/3 = ?
c) Divisão (busca do fator escalar) - Precisa-se de 2 metros de tecido para fazer
uma saia e de 6 metros para fazer um conjunto, quantas vezes mais tecido precisa
um conjunto em relação a uma saia?
2 x ? = 6 ou 6 / ? = 2
Essa categoria corresponde a atual ―Comparação Multiplicativa de
grandezas‖.
4) Produtos de medidas
Este tipo de problema que trata da idéia do raciocínio combinatório, sendo
então um problema de estrutura ternária. Nesta temos uma composição cartesiana
de duas medidas para encontrar outra, comum em problemas de volume, área e
combinatória.
a) Multiplicação: encontrar a medida (produto) – Quando se conhece as medidas
que são bases para o cálculo. Exemplo: Marina tem duas calças, uma roxa e uma
laranja, três blusas sendo uma verde, uma azul e uma amarela. Com estas peças
de quantas maneiras diferentes Marina pode vestir-se?
90
1 calça x 1 camisa = 1 maneira de vestir, logo,
2 calças x 3 camisas = 6 maneiras de vestir
b) Divisão: encontrar uma das quantidades elementares – Neste caso se tem o
conhecimento da quantidade e se quer encontrar o produto destas quantidades.
Exemplo: Um vendedor quer dispor aos seus clientes 15 tipos de sorvete coberto de
chocolate. Ele tem 3 sabores de chocolate. Quantos sabores de sorvete ele deve
ter?
3 tipos de chocolate x "y" sabores de sorvete = 15
15 tipos de sorvete / 3 tipos de chocolate = "y" sabores de sorvete
Essa categoria corresponde a atual ―Proporcionalidade Dupla ou Múltipla‖.
Vergnaud (1991b) afirma que as diferenças apresentadas entre os tipos de
problema acima, não devem ser apresentadas aos alunos de forma nominal, mas
que cabe ao professor a tarefa de mediar as ações dos mesmos, no sentido de lhes
apresentar diferentes situações, auxiliando-os a fazer uso dos seus conhecimentos
e assim levando-os a construção do conhecimento científico.
Como anunciamos acima, faremos uma breve apresentação dos esquemas
de Nunes e Bryant.
3.4. OS ESQUEMAS DE NUNES E BRYANT
Os pesquisadores Nunes e Bryant (2001), também buscando compreender
as dificuldades dos alunos com relação à resolução de problemas de estruturas
multiplicativas, afirmam que essas envolvem dois tipos de lógica ou situações, que
são classificados segundo quatro categorias que estão diretamente associados aos
conceitos utilizados para a solução das situações:
I. Situações de correspondência um a muitos
É o tipo de situação que se apresenta claramente como uma proporção,
pois apresenta a característica de manter uma constante entre dois conjuntos e
pode apresentar-se sob a forma de problemas de:
91
a) Multiplicação - Um carro tem 4 rodas. Quantas rodas terão 3 carros?
3x4=x
Neste caso a constante é de 1 para 4.
b) Distribuição equitativa
Pedro tinha 42 bolas de gude para dar a seus irmãos de forma que todos
recebam a mesma quantidade. Quantas bolas de gude receberá cada irmão,
sabendo que Pedro tem 4 irmãos?
42/4 = x
c) Problema inverso de multiplicação
Neste tipo se busca de uma cota.
Carlos vai fazer uma festa e vai dar 3 balões a cada amigo. Quantos amigos
ele pode convidar, sabendo que ele comprou 18 balões?
3 . x = 18
II. Situações de produto cartesiano
Envolvem situações de combinação como no exemplo abaixo:
Mariana tem 4 blusas e 3 calças. Quantos conjuntos diferentes ela pode
formar, para ir às festas?
4 blusas x 3 calças = x formas diferentes
Para finalizar, consideramos as categorias introduzidas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais para a o estudo e desenvolvimento campo conceitual
associado às estruturas multiplicativas.
3.5. AS CATEGORIAS APRESENTADAS NOS PARÂMETROS CURRICULARES
NACIONAIS
Encontramos também nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), como
já mencionado anteriormente, referências ao campo conceitual das estruturas
multiplicativas. Nesse documento, usa Vergnaud como referencial teórico e foi
92
elaborado com o objetivo de criar um nivelamento dos conteúdos a serem
trabalhados em âmbito nacional, respeitando as diferenças regionais e adaptando a
realidade local. Trata-se de uma proposta onde se considera os tipos de situações
que podem ser utilizadas quando se desenvolve o campo conceitual das estruturas
multiplicativas. Essas situações são identificadas por meio das seguintes
categorias.
I. Multiplicação Comparativa
Neste tipo de problema se estabelece uma relação entre as quantidades
que estão sendo tratadas e podem ser representadas através de problemas do tipo:
Exemplo: Jardel tem 5 lápis e Marina tem 8 vezes mais que ele. Quantos
lápis têm Marina?
8x5=x
―A partir dessas situações de multiplicação comparativa é possível formular
situações que envolvem a divisão. Exemplo:
— Lia tem R$ 10,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro,
quanto tem Pedro?‖
II. Comparação entre Razão (idéia de proporcionalidade)
São problemas de proporcionalidade que envolvem relações quaternárias,
são
situações
que
envolvem
comparações
entre
razões,
e
podem
ser
representadas através de problemas do tipo:
Se um pacote de figurinha custa R$ 0,50. Quanto custarão 7 pacotes?
1  0,50
7  x (custarão)
A partir dessas situações de proporcionalidade, é possível formular outras
que vão conferir significados à divisão, associadas às ações ―repartir (igualmente)‖ e
―determinar quanto cabe‖.
93
Exemplos associados ao primeiro problema: Marta pagou R$ 24,00 por 3
pacotes de chocolate. Quanto custou cada pacote? (A quantia em dinheiro será
repartida igualmente em 3 partes e o que se procura é o valor de uma parte.)
III. Configuração retangular
Este nível de situação pode ser representado através de problemas do tipo:
Num cinema há 12 fileiras de cadeiras, com 37 cadeiras em cada fileira.
Quantas cadeiras há no cinema?
12 x 37 = x
―Nesse caso, a associação entre a multiplicação e a divisão é estabelecida
por meio de situações tais como:
— As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas em fileiras e colunas. Se
são 7 as fileiras, quantas são as colunas?‖
IV. Combinatória
São problemas que dão a idéia de análise combinatória, do tipo:
– Se eu tenho 2 saias de cores diferentes e 5 blusas também diferentes, de
quantas formas diferentes poderei vestir-me?
5x2=x
―A idéia de combinação também está presente em situações relacionadas
com a divisão:
— Numa festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se
havia 3 moças e todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes?‖
3.6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Entendemos que estas classificações nos oferecem uma estrutura teórica
que nos faz entender o significado das diferentes representações simbólicas da
94
estrutura multiplicativa, os esquemas e noções a elas associadas, servindo de base,
para que pesquisadores e professores possam compreender o amplo significado dos
conceitos que envolvem essa estrutura, evidenciando a complexidade da
aprendizagem desse conteúdo para as crianças das séries iniciais.
Estudada as orientações que compõe os Guias do Programa Ler e Escrever
para o desenvolvimento das estruturas multiplicativas, analisado, tanto do ponto de
vista matemático como didático, o campo conceitual que permite justificar os
possíveis esquemas que sustentam a solução de situações associadas às estruturas
multiplicativas e escolhido o referencial teórico que fundamenta essa pesquisa,
construímos uma metodologia para diagnosticar o impacto do Programa Ler e
Escrever.
É importante salientar que tal Programa está centrado no trabalho com as
estruturas aditivas e multiplicativas, conforme pesquisas de Vergnaud, sobre os
conhecimentos prévios dos alunos e identificar os avanços e as dificuldades que
resistem a esse trabalho.
95
4
METODOLOGIA
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Partindo da hipótese que a multiplicação é ensinada, em geral, no contexto
escolar como a soma de parcelas repetidas, Nunes e Bryant (1997), Nunes et al
(2001) apontam uma diferença básica entre o raciocínio aditivo e o multiplicativo.
Concordamos com resultados de Nunes, Bryant, Campos et al (2002) e
consideramos como hipótese que a abordagem do raciocínio aditivo dificulte a
introdução dos diferentes esquemas em ação que envolvem a noção de estruturas
multiplicativas, tais como:
•
a correspondência um-a-muitos;
•
a correspondência em coordenação com a contagem;
•
esquema da distribuição equitativa ;
•
a coordenação entre os dois esquemas (de correspondência e distribuição
equitativa).
A proposta dos pesquisadores acima citados vão à mesma direção das
pesquisas de Vergnaud, que é o referencial teórico da nossa pesquisa, como já
salientamos no capítulo 3, e elas nos auxiliaram na proposição dos objetivos gerais
e específicos assim como na construção da metodologia de pesquisa, por
apresentarem resultados que mostram o interesse em estudar as estruturas
multiplicativas e dissociá-las das estruturas aditivas.
Sendo assim, o objetivo geral e os objetivos específicos da pesquisa são
apresentados na sequência.
4.1. OBJETIVOS
O objetivo da pesquisa é investigar o impacto do ensino das estruturas
multiplicativas por meio de situações problemas proposto no Guia do Programa Ler
e Escrever na 3ª série do Ensino Fundamental.
96
Observamos que o ensino das estruturas multiplicativas nesse Programa
adota a Teoria dos Campos Conceituais e foi implantado nas séries iniciais das
escolas da rede pública estadual de ensino do Estado de São Paulo, Brasil, em
2008.
Dessa forma, os objetivos específicos são:
1) Identificar os conhecimentos prévios dos alunos por meio de um diagnóstico
inicial sobre seus esquemas associados às estruturas multiplicativas;
2) Compor uma intervenção que possibilite potencializar as situações propostas
como recurso para a construção do raciocínio multiplicativo;
3) A partir de uma nova sondagem, estabelecer comparações com os resultados
obtidos na primeira e identificar os avanços na compreensão do campo
conceitual em jogo;
Considerando os objetivos acima, uma primeira questão que se coloca é
saber: “Se o plano de ensino, baseado no Guia de Planejamento do Programa
Ler e Escrever, é um recurso suficiente para auxiliar o professor a desenvolver
o processo de ensino e aprendizagem da noção de estrutura multiplicativa?”.
Para responder essa questão e em função do referencial teórico escolhido,
adotamos a metodologia descrita a seguir.
4.2. METODOLOGIA DA PESQUISA
A metodologia trata da análise dos esquemas desenvolvidos pelos alunos
na resolução de atividades relacionadas com a estrutura multiplicativa.
Para recolher os dados que permitem essa análise, utilizamos o método de
pesquisa qualitativa que, conforme (SILVA, 2001), não necessita de métodos e
técnicas estatísticas, mas cuja análise se faz em geral de forma indutiva, sendo o
pesquisador o responsável pela interpretação dos dados que são recolhidos em
ambiente natural.
Dessa forma, nos parece também adequada a metodologia Design
Experiments que é considerada como método científico quando o pesquisador
encontra suas análises no pensamento matemático dos estudantes,
(COBB, 2000; CONFREY & LACHANCE, 2000; GRAVEMEIJER, 1994).
conforme
97
Em particular, utilizamos o tipo de proposta dentre as sugeridas por (COBB,
2000; CONFREY & LACHANCE, 2000; GRAVEMEIJER, 1994). Que corresponde a
experiências em sala de aula em que uma equipe ou um membro de uma equipe de
pesquisa colabora com o professor assumindo a responsabilidade para a instrução.
No trabalho em sala de aula, enquanto pesquisadora, foi possível participar
do processo tanto como observadora quanto como instrutora à introdução das
diferentes fases da atividade.
As quatro fases com a respectiva participação dos membros e a proposta de
atividades são descritas a seguir:
Na primeira fase, o membro da equipe participa como observador para
conhecer o grupo antes de propor as atividades. Essa fase teve duração de 30 dias.
Nesse momento, era desejável a cumplicidade da professora de modo a preservar o
mais possível o ambiente do grupo, buscando envolver todos os participantes, não
descartando acontecimentos, colocações e comentários procurando perceber o que
os alunos tinham disponível sobre as estruturas multiplicativas.
Na segunda fase, que corresponde a aplicação do teste diagnóstico, o qual
continha quatro problemas sobre estrutura multiplicativa retirados do Guia do
Programa Ler e Escrever. Nesse momento, o mesmo membro da equipe é
responsável pela instrução e pela sala e a professora acompanha o processo,
incentivando os alunos a usarem o que conhecem na tentativa de resolver os
problemas.
O teste foi analisado e a partir dos resultados encontrados, numa terceira
fase, fizemos uma intervenção no conteúdo de estrutura multiplicativa com o uso do
software ClicMat.
Na quarta fase, aplicamos novamente um teste diagnóstico para comparar
os resultados com os da primeira fase, uma vez que os mesmos conhecimentos
foram revisitados na terceira fase.
4.3. A ESCOLHA DOS SUJEITOS
Os sujeitos investigados que participaram da situação de aplicação dos
diagnósticos foram os alunos de uma classe da 3ª série, na faixa etária entre 8 e 9
anos, da Rede Publica do Município de Guarulhos, do Estado de São Paulo, com
98
índice de aproveitamento considerado positivo em relação ao SARESP1. O número
total de alunos da classe é de 34 matriculados e freqüentes, no entanto, utilizamos
para análise o material de 30 alunos, uma vez que 4 dentre os 34 alunos não
participaram de todas as fases.
Estes alunos, no ano anterior, cursaram a segunda série, com a mesma
professora, e esta nos apresentou o plano de ensino que já tinha trabalhado com os
alunos que possibilitou verificar as experiências matemáticas que os mesmos tinham
em relação ao conteúdo de números e operações. Por meio desse material
podemos supor que os alunos dispõem dos algoritmos de cálculo para as operações
de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Essas informações são importantes para a nossa pesquisa, pois
possibilitaram as adequações necessárias tanto para as investigações como para as
análises preliminares.
Além dos alunos, do professor da classe e do membro da equipe
participaram na 3ª fase: um professor Coordenador da Oficina Pedagógica
(Matemática) e a professora Coordenadora da escola. Eles auxiliaram durante o
processo de pesquisa registrando as ocorrências e o percurso dos alunos.
Nessa fase, a colaboração desses dois coordenadores foi importante e
permitiu recolher alguns dados que não poderiam ser observados apenas pelo
professor e o membro da equipe.
4.4. A SELEÇÃO DA ESCOLA
Obtivemos os nossos sujeitos de pesquisa por meio da Diretoria Regional
de Ensino2 a partir de uma lista das 82 escolas da região, dessas, 44 atendem a
modalidade Ensino Fundamental Ciclo I, que corresponde ao grupo de nosso
interesse, 2 entre as 44 não atendem a 3ª série do Ensino Fundamental Ciclo I e
foram excluídas.
1
Resultado da escola na avaliação SARESP (Sistema de Avaliação Estado de São Paulo) 2008
segundo os resultados em níveis de proficiência em Matemática na 2ª série os níveis são de 1 a 6,
com os respectivas porcentagem de alunos por nível: para o nível 1, 2,8%; para o nível 2, 14,9%;
para o nível 3, 14,9%; para o nível 4, 19,3%; para o nível 5, 14,9% e 33,1% para o nível 6.
2
Regional da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo na COGESP (Coordenadoria da
Grande São Paulo).
99
Após essa identificação procuramos entre as 42 escolas identificar uma que:
tem o índice considerável positivo nas avaliações externas e envolve-se nos
Programas orientados pela Secretaria de Estado da Educação de São Paulo.
Identificamos, assim, para compor nosso grupo de pesquisa a escola em
que seus gestores se mostraram interessados e dispostos a auxiliar nosso trabalho
e que é considerada uma unidade no cerne do termo, ou seja, um grupo que
colabora entre seus pares, o que segundo nosso ponto de vista já era uma
característica que promoveria nosso trabalho.
Essa escola possui uma demanda de 26 classes entre 1ª e 4ª séries do
Ciclo I, sendo 6 de 1ª série, 6 de 2ª série, 6 classes de 3ª séries (com 3 no período
da manhã e 3 no período da tarde) e 8 de 4ª série. A classe colaboradora da
pesquisa é a 3ª B do período da manhã, com o horário de aula das 7h00 às
11h30min.
A escola possui em sua gestão um Diretor, um Vice-diretor e uma
Coordenadora Pedagógica, com um corpo docente entre professores polivalentes e
especialistas, de 35 professores, sendo 26 polivalente e 9 especialistas de
Educação Física e Artes.
Na apresentação do projeto para a Coordenadora Pedagógica, a mesma
nos indicou uma classe que a professora desenvolve suas aulas usando o Guia do
Programa Ler e Escrever e envolve-se com as propostas da Secretaria de Educação
do Estado. Além disso, ela é considerada pela Coordenadora como uma pessoa
dinâmica e comprometida com aprendizagem das crianças.
Com base nessas informações, iniciamos nosso primeiro contato com a
professora, que se mostrou receptiva e nos descreveu o perfil de sua turma, ou seja,
trata-se de uma turma heterogênea no sentido de níveis de conhecimento, aditandoos assíduos e participativos. Segundo ela, no grupo de alunos há respeito e os
mesmos tem grande cumplicidade e estão sempre dispostos a resolver todas as
atividades propostas em sala de aula e fora dela.
4.5. MATERIAIS E AMBIENTE DE TRABALHO
Para a pesquisa foram necessários dois momentos distintos: um na sala de
aula comum e outro na sala de informática. Utilizamos papeis, lápis, impressões,
100
borracha, calculadora, notebook, data-show, o software livre ClicMat e o software
livre “auto screen Record”. Na sala comum utilizamos o notebook e o data-show
além dos outros recursos e as atividades foram proposta oralmente e visualmente
por meio do data-show. As atividades desenvolvidas na sala de informática foram
realizadas individualmente, porém permitiu a colaboração coletiva para busca de
soluções uma vez que os alunos podiam interagir durante o processo.
As atividades na classe foram gravadas e as soluções registradas em folhas
avulsas o que auxiliou nas análises, as atividades do computador foram gravadas
para um grupo de alunos, seguindo cada percurso utilizado pelos alunos na procura
de solução, porém apenas três máquinas tiveram o recurso “auto screen Record”
instalado pois o mesmo ocupava grande espaço da memória do computador e isso
dificultava o desenvolvimento das atividades ocasionando lentidão na execução das
tarefas, portanto temos apenas seis gravações do percurso das atividades com o
uso do ClicMat.
4.6. PROPOSTA INICIAL DO DESIGN
As tarefas do primeiro teste diagnóstico são quatro situações problemas de
estruturas multiplicativas disponíveis no Guia de Planejamento do Programa Ler e
Escrever da 3ª série que foram digitalizados e impressos. Essas tarefas foram feitas
individualmente e sem consulta. Esse procedimento foi adotado para que
pudéssemos discernir o que cada aluno sabia sobre esse conteúdo. Empregado
como trabalho “piloto” para a condução da fase preliminar de um Design
Experiments, portanto nossa meta após observar e analisar as concepções dos
alunos para conteúdo de estruturas multiplicativas foi selecionar situações para o
desenvolvimento de novos esquemas para essa estrutura.
A partir dos resultados encontrados em nossa primeira fase preparamos
situações que parecem não ter sido compreendida.
Com isso, optamos por atividades do software que envolve, entre outras
situações, as de investigação com foco nas dificuldades apresentadas pelos alunos.
Neste sentido nossas intervenções durante a fase com o uso do software foram
questões e produções que fizeram refletir sobre os conteúdos a elas associados.
Para tal foram proposta interpretações e reflexões por meio da atividade do software
101
numa tentativa de romper com as dificuldades buscando novas estratégias para
resolução de problemas.
Para isso, o pesquisador assumiu a proposta do grupo e orientou a
professora para separar os grupos segundo a sondagem inicial, sendo que a
pesquisadora conduziu o grupo que apresentou maiores dificuldades. Para tal
situação, os alunos com dificuldades foram privilegiados de um momento inicial
coletivo, com a exploração do software para ampliar sua afinidade com o conteúdo e
com os recursos disponíveis no software.
Com
essa
intervenção
esperávamos
que
os
alunos
elaborassem
estratégias para resolução dentro das suas interpretações pessoais tais como:
diagrama da árvore, arranjos um a um, contagem. Adquirindo por meio dessas
estratégias diferentes esquemas associados às estruturas multiplicativas.
Esperávamos, ainda, que em função dos esquemas desenvolvidos os
alunos pudessem finalmente expressar a solução dos problemas de forma
simplificada, ou seja, por meio de algoritmos.
4.7.
PROCEDIMENTOS ESPECÍFICOS PARA A COLETA DE DADOS NAS
DIFERENTES FASES
Como já foi mencionado anteriormente contamos com o protocolo de 30
alunos de uma classe da 3ª série – 4º ano do Ensino Fundamental de uma Escola
Pública do Estado de São Paulo. Utilizamos o material de sondagem e as
orientações disponíveis no Guia de Orientações do Programa Ler e Escrever da 3ª
série da Secretaria de Educação. As tarefas ocorreram em quatro fases com
atividades e propósitos diferentes e que serão exemplificadas e descritas em
seguida:
1ª Fase: acompanhamento da classe pela pesquisadora como observadora;
2ª Fase: aplicação do teste diagnóstico ou sondagem inicial;
3ª Fase: atividade com o recurso do software ClicMat ;
4ª Fase: aplicação do teste diagnóstico ou sondagem final.
Na primeira fase, consideramos os 30 dias em que o pesquisador assistiu
às aulas no papel de observador na classe. Neste momento nosso objetivo foi
102
observar o que as crianças já tinham disponível sobre o campo conceitual das
estruturas multiplicativas uma vez que, segundo o planejamento do ano anterior,
este conteúdo de ensino fora estudado.
Após o intercâmbio com o grupo por meio das observações, iniciamos a 2ª
fase, que teve uma duração de 50 minutos. Foram propostas as situações
selecionadas de forma que fosse possível verificar a hipótese levantada no início
deste trabalho, ou seja, o estudo de estrutura multiplicativa a partir de situações, que
possibilitou a utilização dos diferentes esquemas propostos por Vergnaud (1991)
Colocamos o aluno frente a uma situação-problema para a qual ele mesmo
deve procurar um esquema que satisfaz a questão posta no problema, isto é, uma
tarefa em que o aluno deve dispor da noção de estrutura multiplicativa para ser
capaz de resolver.
Procuramos, assim, avaliar os conhecimentos disponíveis dos alunos sobre
as estruturas multiplicativas, eles foram distribuídos em grupos de quatro, cada um
recebeu e fez individualmente no ambiente lápis e papel os quatro problemas de
estrutura multiplicativa, que foram entregues digitados em filipetas questão por
questão. Essa proposta que chamamos sondagem inicial nos orientou sobre os tipos
de dificuldades e obstáculos os alunos encontravam em relação às situações que
envolvem as idéias das estruturas multiplicativas.
Segue abaixo os problemas do Guia de Orientações do Programa Ler e
Escrever sobre o campo conceitual das estruturas multiplicativas da 3ª série, página
29, utilizados para essa investigação:
PROBLEMAS DO TESTE DIAGNÓSTICO
•
Marina possui em seu guarda-roupa 3 saias e 5 blusas. De quantas
maneiras diferentes ela pode se vestir?
•
Preciso colocar em um auditório 84 cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
quantas colunas poderei organizar essas cadeiras?
•
Marta vai comprar 4 pacotes de bala. Cada pacote custa 9 reais. Quanto irá
pagar pelos 4 pacotes?
•
Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o triplo desta quantia. Quantos reais
têm João Pedro?
103
Segundo Vergnaud (2009), Nunes & Bryant (1997), Parâmetros Curriculares
Nacionais (1997) e Guias de Orientações do Programa Ler e Escrever (2008) os
problemas acima podem ser classificados, em relação aos esquemas e categorias
associados as estruturas multiplicativas conforme quadro abaixo que segue o
modelo de Santos (2006):
Classificações segundo os campos conceituais para as
Situações
para
a
Propostas
Sondagem
inicial.
Marina possui em seu
guarda-roupa 3 saias
e 5 blusas. De
quantas maneiras
diferentes ela pode se
vestir?
Preciso colocar em
um
auditório
84
cadeiras,
dispostas
em 7 fileiras. Em
quantas
colunas
poderei
organizar
essas cadeiras?
Marta vai comprar 4
pacotes de bala. Cada
pacote custa 9 reais.
Quanto
irá
pagar
pelos 4 pacotes?
Felipe tem 35 reais e
João Pedro tem o
triplo desta quantia.
Quantos reais têm
João Pedro?
Estruturas Multiplicativas
PCN e Guia de
Orientações do
Programa Ler e
Escrever
Esquemas
Categorias
Nunes&Bryant
Vergnaud
Combinatória
Produto
cartesiano
Proporcionalidade
dupla ou múltipla
Configuração
retangular
Correspondência
um-a-muitos
Proporcionalidade
dupla
Proporcionalidade simples
Correspondência
um-a-muitos
Proporcionalidade
simples
Multiplicação
comparativa
Correspondência
um-a-muitos
Comparação
Multiplicativa
Tabela 10 – Classificação dos problemas da sondagem inicial segundo as categorias de Estrutura
Multiplicativa
Em relação aos problemas de estruturas multiplicativas apresentados no
Guia do Programa Ler e Escrever é possível relacionar as diferentes situações
conforme a classificação da tabela (10). Nessa tabela observamos que são apenas
três as categorias usadas na estrutura matemática do problema, não encontramos
104
presentes nesses problemas, a categoria de proporcionalidade simples composta.
Assim como pode ser observado na análise.
A partir das análises e estudos dos dados coletados, os alunos
demonstraram dificuldades especialmente em idéias que envolvem a configuração
retangular
e
combinatória
se
recorremos
às
classificações
do
Guia
e
proporcionalidade dupla ou Múltipla quando nos referimos a Vergnaud, dessa forma,
as atividades das próximas fases passariam a ter perguntas mais específicas, pois
tenderiam a tratar casos mais locais ou particulares em função das necessidades
dos próprios alunos, como recurso de intervenção para a construção do raciocínio
multiplicativo, utilizamos o software ClicMat, com ferramenta pedagógica de
intervenção, para a 3ª fase .
Neste contexto, com a seleção do software ClicMat para uma tentativa de
mudança no quadro das dificuldades apresentadas pelos alunos, foram escolhidas
para explorar as atividades denominadas de investigação e que envolviam as idéias
de
configuração
retangular
e
combinatória
classificações
no
Guia
e
proporcionalidade dupla ou Múltipla segundo Vergnaud, esquemas esses que foram
demonstradas como dificuldade comum no grupo.
Para essa fase separamos os alunos em dois grupos de 15. Um grupo
iniciou com a exploração do software num trabalho coletivo na sala comum e o outro
na sala de informática com 1 aluno em cada computador, o que não deixou de ser
um trabalho coletivo uma vez que eles se sentiam a vontade para ir nas máquinas
onde algum colega tivesse feito alguma nova descoberta.
Durante essa fase, considerada de intervenção as observações do
pesquisador e os parceiros de trabalho já apresentados buscaram atender as
expectativas da pesquisa sendo o mais fiel possível em seus registros, mantendo-se
as exigências do trabalho de pesquisa, para que os dados coletados pudessem ser
seguros para um tratamento decisivo e com valor científico.
Após esse trabalho com o software fomos para a 4ª fase. Nessa aplicamos
a sondagem final com o objetivo de observar se houve avanço nas questões que
envolvem as estruturas multiplicativas, especificamente as detectadas na sondagem
inicial, com os problemas descritos abaixo:
105
PROBLEMAS DA SONDAGEM FINAL

Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e 8 tipos de lanches. De quantas
maneiras pode-se combinar suco e lanche sem que haja repetição?

Em uma caixa cabem 56 docinhos. Sabendo que nela pode-se colocar 8
docinhos em cada fileira, quantas fileiras são necessárias para completar a
caixa?

Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50, quanto Júlia pagará por 16
maçãs?

Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo têm a metade dessa quantia, quantos
reais têm Marcelo?
Abaixo classificamos os quatro problemas do sondagem final segundo as
categorias dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e Guias de Orientações
do Programa Ler e Escrever, Nunes&Bryant e Vérgnaud, segundo o modelo de
SANTOS (2006), conforme identificado no quadro anterior.
Classificações segundo os campos conceituais para
Situações Propostas para
a Sondagem inicial.
Em uma lanchonete há 6
tipos de suco e 8 tipos de
lanches. De quantas
maneiras pode-se combinar
suco e lanche sem que haja
repetição?
Em uma caixa cabem 56
docinhos. Sabendo que nela
pode-se colocar 8 docinhos
em cada fileira, quantas
fileiras são necessárias para
completar a caixa?
Sabendo-se que 4 maçãs
custam RS 2,50, quanto
Júlia pagará por 16 maçãs?
Lia tem 36 reais e seu primo
Marcelo têm a metade dessa
quantia, quantos reais têm
Marcelo?
as Estruturas Multiplicativas
PCN e Guias de
Orientações do
Programa Ler e
Escrever
Esquemas
Categorias
Nunes&Bryant
Vergnaud
Combinatória
Produto
cartesiano
Proporcionalidade
dupla ou múltipla
Configuração
retangular
Correspondência
um-a-muitos:
inversa
Proporcionalidade
dupla
Proporcionalidade simples
Correspondência
um-a-muitos
Proporcionalidade
simples
Multiplicação
comparativa divisão
Correspondência
um-a-muitos
Comparação
Multiplicativa
Tabela 11 – Classificação dos problemas da sondagem final segundo a categoria de Estrutura
Multiplicativa
106
Estes problemas foram entregues em folhas de sulfites, impressos e
praticamente não houve intervenção do professor da classe ou da pesquisadora,
esperando assim que os alunos registrassem no papel as possíveis soluções
utilizando estratégias pessoais, sejam por desenhos, algoritmos ou outros
teoremas em ação com validade para a situação proposta.
No capítulo a seguir, para melhor compreensão das situações e
possibilidades de solução apresentamos uma análise a priori e a posteriori das
atividades propostas de cada fase segundo as categorias descritas acima.
107
5 ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES
PROPOSTAS
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Nesse capítulo, pretendemos apresentar as análises a priori das atividades
realizadas nas quatro fases que foram propostas em nossa pesquisa. Nesse sentido
vamos descrever o que era esperado e o que não era previsto para cada fase.
Para isso, consideramos Vergnaud (1991, p.176) que salienta os três
principais fatores da complexidade cognitiva associadas às estruturas multiplicativas
nos problemas que são os valores numéricos, os tipos de grandezas e as técnicas
operatórias.
Além disso, analisamos as categorias das estruturas multiplicativas que
envolvem os problemas.
Nesse sentido nós nos atentamos a essas questões:
- Quais os fatores que podiam ser colocados em evidência nas situações propostas?
- Que tipo de categoria poderíamos associar às situações propostas?
Para isso, analisamos as atividades de cada fase e consideramos alguns
dados dos próprios protocolos dos alunos participantes da pesquisa.
Em relação ao que foi solicitado por meio dos problemas propostos
apresentamos um breve inventário do que era esperado do que foi escolhido no
trabalho efetuado pelos alunos nas diferentes fases.
5.1. ANÁLISE A PRIORI E POSTERIORI FASE 1
Iniciamos a fase 1 com acompanhamento das aulas de matemática
planejadas e coordenadas pela professora da sala. Nessa fase de observação
notamos que os alunos tinham bastante liberdade de expressão e boa aceitação
para o trabalho com a matemática.
A proposta, em geral, era constituída de atividades onde se esperava que
os alunos utilizassem o algoritmo da multiplicação dando ênfase à justificativa desse
108
algoritmo por meio da estrutura aditiva, ou seja, considerá-la como soma de parcelas
iguais.
Observamos que durante a correção das atividades propostas era previsto a
discussão do trabalho individual dos alunos. A professora ou o aluno que tivesse
encontrado o resultado esperado apresentavam seu trabalho na lousa. Em geral, o
algoritmo das operações era privilegiado quando utilizado pelos alunos que, quando
se tratava de multiplicação, quase sempre usavam adição de parcelas iguais.
Ressaltamos que os alunos apagavam suas produções e copiavam o que
estava na lousa, principalmente, quando a resposta não era a mesma. Isso era uma
prática, onde verificamos que não existia um momento para questionar se o que os
alunos desenvolviam poderia ou não conduzir a um esquema que pudesse ser
considerado um percurso para trabalhar a estrutura multiplicativa.
Essa falta de questionamento a boa parte dos alunos não era esperada,
pois eles tinham liberdade para discutir com o grupo a solução que tinham
encontrado. Aqui podemos ter um efeito de contrato didático, que mesmo a
professora dando liberdade, talvez por ela não enfatizar essa possibilidade, por
exemplo, pedindo para que os alunos apresentassem suas produções, nos conduz a
supor que os mesmo seguiam um procedimento habitual.
Passamos assim para a segunda fase onde apresentamos uma análise a
priori e a posteriori das possíveis soluções dos problemas da sondagem inicial e
discutimos alguns resultados válidos que foram os mais utilizados pelos alunos
deixando os casos particulares, que em geral são incorretos, para serem
apresentados nas análises comparativas. Essa escolha está relacionada à
quantidade de soluções particulares que dificultam a apresentação das análises.
5.2. ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI FASE 2
No diagnóstico inicial nessa segunda fase, foram propostos quatro
problemas que envolveram as estruturas multiplicativas já categorizados e
apresentados no capítulo 2 e que estão descritos abaixo para análise:

Marina possui em seu guarda-roupa 3 saias e 5 blusas. De quantas maneiras
diferentes ela pode se vestir?
109

Preciso colocar em um auditório 84 cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
quantas colunas poderei organizar essas cadeiras?

Marta vai comprar 4 pacotes de bala. Cada pacote custa 9 reais. Quanto irá
pagar pelos 4 pacotes?

Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o triplo desta quantia. Quantos reais
têm João Pedro?
Para essa atividade, resolução de problemas, era esperado em relação ao
trabalho dos alunos, que eles usassem os seguintes esquemas:
Em relação à estrutura global dos problemas:

Ler e interpretar os problemas que foram propostos na língua natural – é
importante lembrar que algumas vezes se faz necessário distinguir o
significado das palavras no contexto da matemática que podem ter se
tornado trivial para o professor, porém para o aluno tem outros “significados
como, por exemplo: operação, primo, dobrar, meio entre outras” (DANTE,
1994 p.49);

Reconhecer na proposição da situação problema o campo conceitual de que
se refere à estrutura multiplicativa;

Buscar a compreensão e tratamento das idéias de que trata o problema;

Resolver por meio de estratégia pessoal, cálculo mental ou algoritmo.
Para tal, os problemas propostos nessa primeira fase envolviam
determinadas variáveis em relação a valores numéricos, ao tipo de grandezas e as
técnicas de cálculo conforme segue:
Em relação aos valores numéricos:

Utilizar os números naturais (na função bijeção e cardinalidade);

Utilizar dos números cardinais entre 0 e 99 (números na ordem das dezenas
com a intenção de não deter a atenção das crianças para a complexidade
dos números, como enfatiza Dante (1994 p. 50);
Em relação aos tipos de grandezas e medidas:
110

Noção de proporcionalidade;

Quantidades discretas (elementos, noção de valores);

Sistema monetário (real e centavos).
Em relação às técnicas de cálculo:

Do cálculo mental;

Dos algoritmos das quatro operações básicas;

Problemas que envolvem uma ou duas operações, lembrando que Dante
(1994 p. 51) observa que os problemas com duas operações são
considerados mais trabalhosos.
Em relação as categorias dos problemas de estrutura multiplicativa:

O problema 1 da atividade proposta nessa fase, como já sabemos, possui o
seguinte enunciado – Marina possui em seu guarda-roupa 3 saias e 5 blusas.
De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?
Esse problema requer para a sua solução o esquema de produto
cartesiano, visando à descoberta do sistema combinatório, que segundo a
categorização de Vergnaud é específico à proporcionalidade dupla.
Em relação aos valores numéricos no problema, utiliza-se números entre 1
e 45. As grandezas requeridas são as noções de proporcionalidade e quantidades
discretas. Para tanto se esperava que as crianças conseguissem selecionar os
dados pertinentes ao problema lendo e compreendendo a situação. Além disso, a
expectativa era que elas elaborassem estratégias pessoais que pudessem auxiliar a
encontrar o sistema combinatório, seja por meio da representação por diagrama de
árvore, da utilização do algoritmo da multiplicação ou outro esquema cujo teorema
em ação fosse válido.
Esperamos ainda que as crianças utilizassem a lógica da correspondência
um-a-muitos como esquema em ação, pois consideramos esse esquema
importante, uma vez que demonstra em suas possíveis representações graus
qualitativamente diferenciados para solucionar o problema.
111
O quadro a seguir apresenta o problema “1” dessa fase, anteriormente
classificados segundo as categorias de Vérgnaud (1997), com destaque para sua
estrutura matemática, as possíveis estruturas do problema e a possível técnica
operatória em função do questionamento do problema:
Casos específicos de proporcionalidade dupla ou múltipla
Estrutura Matemática
Questionamentos Estruturas do problema
Produto cartesiano de 2 n (EXF)?;
conjuntos
- Marina possui em seu guarda-
n(E X F) = n (E). n (F)1
quantas maneiras diferentes ela
roupa 3 saias e 5 blusas. De
pode se vestir?
Ou ainda poderíamos perguntar:
n(E)? ou n(F)?
- Marina se veste 15 maneiras
diferentes possui em seu guardaroupa 3 saias. Quantas blusas
diferentes ela possuí?
Tabela 12 – Classificação do problema 1 da sondagem inicial segundo a estrutura Matemática

No caso do problema “2” – Preciso colocar em um auditório 84 cadeiras,
dispostas em 7 fileiras. Em quantas colunas poderei organizar essas
cadeiras? –
Segundo as categorizações para essa situação, que também está dentro do
mesmo campo conceitual das estruturas multiplicativas, para Vergnaud trata-se de
um problema de “Proporcionalidade dupla”, cuja situação intervém no domínio de
duas grandezas que são autônomas e nesse caso as quantidades são discretas.
Em relação aos valores numéricos no problema, utiliza-se números entre 1
e 84. As grandezas referem-se à noção de proporcionalidade e quantidades
discretas. Nessa situação se esperava que as crianças, por meio da leitura
pudessem reconhecer os dados do problema, e encontrassem estratégias pessoais
relacionadas à disposição e organização dos objetos. Elas poderiam ainda utilizar o
algoritmo da multiplicação ou outro esquema cujo teorema em ação fosse válido.
1
Definição: Sejam E e F conjuntos não vazios. O produto cartesiano de E por F, denotado por E X F,
é o conjunto de todos os pares ordenados (n, m), onde n ϵ E e m ϵ F , ou seja E X F = { (n, m): n ϵ
E x m ϵ F}.
112
Segundo o Guia do Programa Ler e Escrever trata-se de configuração
retangular, que corresponde à categoria proporcionalidade dupla de Vergnaud.
Logo, nesta categoria estão as situações problema do tipo número de
quadrados de um quadriculado retangular e, de maneira geral, os problemas que
correspondem a uma composição multiplicativa de duas grandezas discretas. A
comutatividade da multiplicação nessa categoria é facilmente observável pelos os
alunos.
O quadro abaixo classifica o problema “2” segundo as categorias dos campos
conceituais de estruturas multiplicativas de Vérgnaud, com destaque para sua
estrutura matemática, os possíveis questionamentos a situação e a estrutura do
problema.
Casos específicos de proporcionalidade dupla
Estrutura
Questionamentos
Estruturas do problema
Matemática
Configuração
Produto ou número num - Preciso colocar em um auditório
Retangular
alinhamento?
84
cadeiras,
fileiras.
Em
dispostas
quantas
em
7
colunas
poderei organizar essas cadeiras?
Ou ainda poderíamos perguntar:
- Preciso organizar um auditório
dispondo-o em 12 colunas e 7
fileiras. Quantas cadeiras preciso
levar ao auditório?
Tabela 13 – Classificação do problema 2 da sondagem inicial segundo a estrutura Matemática
Segundo Vergnaud, essa categoria de problemas de proporcionalidade
dupla ou múltipla pode ser considerada como a que apresenta maior complexidade
para os alunos das séries iniciais, o que observamos nos protocolos dos alunos da
3ª série que participaram da nossa pesquisa.

O problema “3” – Marta vai comprar 4 pacotes de bala. Cada pacote custa 9
reais. Quanto irá pagar pelos 4 pacotes?
113
Esse problema categorizado como proporcionalidade simples pode ser um
problema composto por apenas 2 dados, mas na verdade, como afirma Vergnaud, é
composto por três dados, a saber: pacotes de balas, preço e o valor fixo de 1
pacote, que custa 9 reais. Entre esses três dados existe a incógnita e uma relação
de proporcionalidade direta simples, que fica mais visível quando representada na
forma abaixo:
Pacote de bala
1
Reais
X9
X4
9
X4
X9
4
?
Tabela 14 – Classificação do problema 3 da sondagem inicial segundo a estrutura Matemática
Nessa categoria de problemas de proporcionalidade simples que envolve a
multiplicação, existe relação de proporcionalidade entre os números e as operações.
O modelo de espaço vetorial ou espaço linear é adequado para demonstrar
essas estruturas.
f(4) = 4 x 9
f(x) = ax
onde “a” é o coeficiente de proporcionalidade entre o número de pacote de bala e o
preço.
„
f(4X1) = 4f (1)
Isomorfismo de medida (de identidade)
Como vimos, essa situação pode ser representada mediante tabelas
numéricas que estão associadas a uma função linear. Podemos resolvê-la por meio
de uma multiplicação, uma divisão, ou uma “regra de três”, ou seja, buscamos a
quarta posicional, mas na maioria das vezes encontramos soluções do tipo adição
de parcelas iguais.
Para resolver estes problemas, o raciocínio pode passar pelo coeficiente de
proporcionalidade entre duas grandezas, pelas propriedades de linearidade da
função linear associada, pela multiplicação por um escalar ou pela aditividade. Não
se esperava que os alunos da 3ª série utilizassem, por exemplo, a regra de três para
resolver essa situação problema.
114
Nesse caso esperamos que as crianças conseguissem identificar a situação
como uma estrutura multiplicativa, e que pudessem elaborar estratégias pessoais
utilizando a adição de parcelas iguais fixando um dos fatores ou pelo algoritmo da
multiplicação ou ainda outro esquema cujo teorema em ação fosse válido.
Em relação aos valores numéricos no problema, utilizam-se números entre
1 e 36, e as grandezas e medidas a ele associadas as noções de proporcionalidade
e função linear, a quantidade discreta e continuas (sistema monetário).
O quadro abaixo classifica o problema “3” segundo as categorias dos campos
conceituais de estruturas multiplicativas de Vérgnaud com destaque para sua
estrutura matemática, a estrutura do problema e os possíveis questionamentos:
Proporcionalidade simples
Estrutura
Questionamentos: A
Estrutura do problema:
matemática
incógnita pode variar na
elaboração das perguntas
Problemas
1 B
1 B
1
proporcionalidade
C
? D
C D
?
simples
f(x) =ax
A B
?
-
Marta
vai
comprar
pacotes
de
(O número
pacote
custa
1 não figura)
Quanto irá pagar pelos 4
C ?
bala.
4
9
Cada
reais.
pacotes?
Tabela 15 – Classificação do problema 4 da sondagem inicial segundo a estrutura Matemática
No contexto desse problema usam-se os números cardinais (o que
poderíamos usar em outras situações os ordinais ou as medidas).
As crianças poderiam resolver o problema usando quaisquer uns dos
recursos que tivesse disponível, entre eles os exemplos: 4 x 9 = 36, 9 x 4 = 36; 9 +
9 + 9 + 9 = 36, ou ainda outros esquemas, lembrando que outra maneira possível de
resolver este problema seria ser por meio da regra de três como foi apresentada
anteriormente.

No problema “4” – Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o triplo desta
quantia. Quantos reais têm João Pedro?
115
Nessa situação não se esperava que as crianças pudessem ter noção que
existe uma relação de natureza escalar, mas que utilizassem uma relação numérica
de comparação, que remete a uma expressão aditiva ou “tantas vezes mais” ou
“tantas vezes menos”.
Era esperado que fossem utilizados raciocínios sobre o dobro, o triplo, ou
ainda, duas vezes mais que quer dizer o dobro; três vezes mais que quer dizer o
triplo. O problema poderia ser solucionado por meio de uma das seguintes maneiras:
(i)
35 x 3 = 105
(ii) 35 + 35 + 35 = 105
(iii)
Onde A = 35, B = 3 e
A
A
C= 105,
Temos: A X B = C,
xB
:B
onde 35 X 3 = 105;
ou então, C : B = A,
C
C
onde 105 : 3 = 35.
Para esse problema era esperado ainda que as crianças conseguissem
distinguir o significado dos termos (dobro, triplo) como anteriormente destacados.
Além disso, os alunos poderiam identificar o algoritmo da multiplicação como recurso
para a solução do problema, elaborar outras estratégias pessoais ou utilizar a adição
de parcelas. Em relação aos valores numéricos no problema utilizou-se números
entre 1 e 105. As grandezas e medidas a ele referidas são de quantidades discretas
e continuas (sistema monetário).
Alguns protocolos de alunos com esquemas válidos:
Selecionamos um protocolo de aluno para cada categoria de problema
segundo o Guia do Programa Ler e Escrever. Esses foram escolhidos por
116
apresentarem respostas com esquemas em ação válidos, por serem respostas
algumas vezes comuns entre os alunos pesquisados e com teorema e conceitos em
ação que eram esperados.

Um resultado não muito comum na primeira fase foi a utilização da
correspondência um a muitos, como podemos ver no protocolo abaixo:
Figura 10 – Esquema correspondência um-a-muitos da situação 1 da sondagem inicial

No protocolo de um dos participantes para o segundo problema da fase 2,
vemos que o aluno utiliza o esquema da correspondência, em coordenação
com a contagem para solucionar o problema que é um teorema em ação
válido. Conforme figura abaixo:
117
Figura 11 – Esquema correspondência em coordenação com a contagem na sondagem final

No próximo protocolo temos um esquema por meio de representação de
desenho para a solução do problema 3, da fase 2 (sondagem inicial),
estratégia pessoal usada como suporte, onde o aluno selecionou e identificou
os dados do problema, montou seu esquema em ação, utilizando um teorema
em ação válido, conforme figura abaixo:
Figura 12 – Esquema de coeficiente de proporcionalidade
Identificamos no registro do aluno, que para solucionar esse problema, ele
fez o desenho que representa o coeficiente de proporcionalidade entre o número de
pacote de bala e o preço. E adicionou o preço quantas vezes fossem os desenhos
representados. Utilizando assim um teorema em ação válido e encontrando a
solução para a situação proposta.
118

No quadro a seguir temos dois registros diferentes, com teoremas válidos,
para uma mesma situação. Nesses protocolos, notamos que temos uma
situação e dois conceitos, ou dois conceitos para uma mesma situação.
Como era esperado, podemos ver no Também esperado, alguns alunos
protocolo
que
resolveram
o
estrutura aditiva.
alguns
problema
alunos empregam
“tantas
vezes
mais”,
utilizando utilizando uma relação numérica de
comparação.
Tabela 16 – Esquema esperados para as situações de estrutura multiplicativa
Iniciaremos em seguida a análise da terceira fase que utilizou uma interface
computacional para intervenção, propondo situações de estruturas multiplicativas.
5.3. ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI FASE 3
Para analisar essa fase, nos apoiamos em algumas pesquisas que foram
bem sucedidas e que mostram que o uso do computador promove o
desenvolvimento cognitivo dos sujeitos e contribui para aprendizagem dos conceitos.
Segundo MILANI (2001 p.176) exigem mudanças em toda a estrutura do ambiente
escolar.
Partimos então do princípio que a cognição humana adapta-se às situações
segundo um processo dialético, que para Vergnaud é fundamental para a
construção do conhecimento que por meio de esquemas que vão progressivamente
119
ampliando os campos conceituais de um determinado domínio. Dessa forma, as
mudanças exigidas pela introdução do computador no ambiente escolar podem
auxiliar na construção do conhecimento.
Sendo assim, para a interface computacional utilizamos o conceito de
instrumento definido por Rabardel (1995). Para ele o instrumento é a combinação de
um esquema e de um artefato, ou seja, leva em conta a interface computacional,
que é o artefato, e os esquemas utilizados pelas crianças para resolver uma
situação. Para associação dos instrumentos ele define que o artefato, trata-se do
meio pelo qual o sujeito age. Os artefatos podem ser materiais ou não, e o
significado desses elementos podem ser atribuídos de formas variadas de sujeito
para sujeito. E o esquema é o segundo elemento que compõe o instrumento, o que
nos fez considerar as pesquisas desse autor, uma vez que complementa nosso
trabalho.
Para Rabardel (1995, p. 80), o esquema se forma juntando aos artefatos, as
ações dos sujeitos que agem sobre esses artefatos. Esses fatores nos possibilitam a
análise das ações com um instrumento em termos de adaptação a face da interface
computacional. Entretanto, não vamos analisar o desenvolvimento conceitual em
relação à adaptação do instrumento nesse momento, essa análise será averiguada
por meio de um novo teste diagnóstico que será apresentado na próxima fase.
Os modelos que consideramos acima, de Vergnaud, em relação aos
esquemas
e
de
Rabardel
(1995,
p.
69),
em
relação
ao
instrumento
(esquema+artefato), ambos partem do esquema definido por Piaget. O modelo da
estrutura do conceito de esquema de Vergnaud em suas estruturas e a dinâmica de
desenvolvimento cognitivo, de forma mais detalhada. Nesse modelo de esquema
podemos analisar os elementos e as propriedades dos conceitos que emergem na
ação dos indivíduos.
Consideramos assim que o instrumento a que se refere Rabardel (1995, p.
44) pode nos auxiliar como recurso para a aprendizagem validando nossa atividade
de intervenção com o uso do artefato de interface computacional. Podemos assim,
introduzir as atividades com o uso da tecnologia para as realizações e organizações
120
das ações sobre os instrumentos ao mesmo tempo em que consideramos o
conteúdo.
Nessa perspectiva consideramos, como o autor, que o desenvolvimento
conceitual associado ao uso de instrumentos divide-se em duas partes. A primeira
em relação ao desenvolvimento de competências dos indivíduos em manipular os
instrumentos, ocorrendo um desenvolvimento ou gênese instrumental. Esse
desenvolvimento instrumental pode ser decorrente de transformações do artefato ou
dos esquemas em ação para manipular o artefato.
Por outro lado, e em conseqüência desse processo de desenvolvimento
instrumental, os sujeitos evoluem em termos de conhecimento sobre o conteúdo
veiculado pelos artefatos, no nosso caso as estruturas multiplicativas. Em outras
palavras, os indivíduos adquirirem o conhecimento na medida em que aprendem a
usar um determinado sistema de artefatos. Por exemplo, na medida em que alunos
se familiarizam com as atividades propostas no software ClicMat e com o próprio
software ele também constroem seus próprios conhecimento em relação aos
conceitos matemáticos em jogo, no caso, as estruturas multiplicativas. Analisamos
assim o desenvolvimento conceitual em relação à aprendizagem com o uso de
instrumentos particulares a partir do conceito definido por Vergnaud.
Nessa fase, as atividades foram desenvolvidas em 4 horas o que já era
previsto no planejamento. Os alunos foram separados em dois grupos, sendo que
cada grupo trabalhou duas horas na sala de informática e duas horas na sala
comum. O tempo planejado para essas atividades, não foi suficiente e por esse
motivo os alunos não puderam trocar os problemas por eles elaborados e discutir os
diferentes tipos de problemas e as possíveis soluções como previsto na pesquisa.
Pretendíamos criar um momento de busca e discussão para propiciar um
ambiente de pesquisa em sala de aula de modo que os alunos pudessem “refazer”
alguns passos e “revisitar” alguns conhecimentos por meio das atividades de
investigações disponíveis no software e com registros sobre os conceitos
compreendidos, ou com o entendimento que foi possivelmente discutido inicialmente
em duplas, e ainda, que pudessem expor suas hipóteses, fazer suas intervenções
121
ou questionamentos oralmente. Acreditamos que essas ações auxiliam os alunos a
pensar e encontrar soluções para os problemas propostos, assumindo sua parte de
responsabilidade na aprendizagem e percorrendo sua investigação num espaço que
denota um ambiente lúdico, num processo de seleção de prioridades. A falta de
tempo para essa atividade pode nos auxiliar a compreender a prática usual que, em
geral, não privilegia o momento de discussão e retomada das produções dos alunos.
Apesar disso, o trabalho com o software possibilitou que os alunos
pensassem numa resposta inicial, a partir da análise das suas hesitações e dos seus
erros, notando que essa não era a resposta desejada. Essas condutas de
estruturação dos esquemas que provém do repertório disponível e da busca de
novos caminhos exigem novos procedimentos, uma vez que seus esquemas são
insuficientes e os obriga a realizar acomodações e modificações de seu sistema de
conhecimento as dúvidas precisam ser consideradas nas tomadas de decisão. O
conhecimento visado é, a priori, indispensável para passar da estratégia inicial para
outra, ou seja, de forma que essa permita solucionar o problema e compreender a
solução encontrada passando pela avaliação do modelo global de interação entre as
variáveis da situação.
Algumas vezes, o impacto de uma determinada variável independente pode
depender (ou ser dependente) do nível de outra variável independente.
Por
exemplo: O Impacto do ensino sobre o rendimento pode depender da interação do
aluno com o uso da tecnologia, portanto não é confiável afirmar que todos os alunos
interajam de forma positiva ao recurso do software.
Além disso, as atividades são interativas e podem propiciar um ambiente de
aprendizagem das estruturas multiplicativas, e outros conceitos que estão explícitos
e implícitos para solução dos problemas propostos, como: o uso de tabelas,
comandas do ambiente computacional, entre outros. Centramos no significado e na
interpretação da atividade. Queríamos saber se a interação com essas atividades
contribui para o avanço dos alunos.
Nos fatores da complexidade cognitiva da estrutura dos problemas, os
valores numéricos e as grandezas, nas atividades propostas para serem
trabalhados com recurso interativo e diferenciados do software, esperavam que os
alunos pudessem melhorar seu desempenho em relação:
122
A estrutura do problema:

Compreender as informações visuais disponíveis como suporte na interface
computacional;

Ler as comanda das atividades que estão na língua natural;

Resolver por tentativa e erro utilizando o experimento;
Dessa forma nessas atividades as variáveis em relação aos números,
grandezas, técnicas e categorias de problemas foram observadas, considerando:
Tratando-se dos números:

Utilizar a estrutura dos números naturais (na função de bijeção e da
cardinalidade);

Utilizar o conjunto dos números naturais, para as situações de comparação
multiplicativa;

Utilizar os cardinais entre 0 e 100, para as situações de proporcionalidade
dupla;

Utilizar os cardinais entre 0 e 24, para as situações de proporcionalidade
dupla ou múltipla.
O tipo de grandeza:

De domínios físicos; (que apresentam intensidade, direção e sentido)

Quantidades discretas e continuas.
As técnicas de cálculo:

Reconhecer a situação dada, referente à estrutura multiplicativa;

Procurar uma propriedade matemática que justifique a regularidade da
solução.
123
Categoria de problemas de estrutura multiplicativa:
Dentre as 32 atividades oferecidas pelo software, 3 foram as mais
exploradas, por se tratar de atividades consideradas de investigação: “Arrumar
cadeiras no cinema”,” Mudar o visual” e “Pesar animais”.
 A atividade “Arrumar cadeiras no cinema” envolve a configuração
retangular. Nesta atividade o aluno escolhe quantas cadeiras quer colocar na sala
do cinema, com limite disponível de 100 cadeiras e, em seguida, completa a
tabela com número de fila e número de cadeiras na fila indicando na tabela todas
as maneiras possíveis de arrumar as cadeiras de forma retangular, encontrando
assim todas as possibilidades. O jogo premia o participante com algumas cenas
alegóricas. No jogo podem acontecer três situações:
- A arrumação certa das cadeiras, isto é, linhas e colunas coerentes com o total
elas aparecem todas em azuis;
- Aparecem cadeiras azuis e vermelhas, quando o produto é maior que o número
total de cadeiras, ou seja, as cadeiras vermelhas correspondem ao número que
ultrapassa o total.
- Aparecem cadeiras azuis e pretas, quando o produto é menor que o número total
de cadeiras, as cadeiras pretas representam o que falta para completar o total.
Conforme o aluno escolhe o número que representará o produto, ou o
total de cadeiras a serem arrumadas, lança suas hipóteses que são os fatores
escolhidos por ele e que vai preenchendo automaticamente a tabela, com as
decomposições
do
número
informado
pelo
participante,
quando
essa
decomposição está correta.
A questão apresentada no software para orientar os alunos é a seguinte:
“Descubra todas as maneiras de arrumar as cadeiras no cinema de forma que as
filas tenham o mesmo número de cadeiras”, ou seja, o esquema já vem
enunciado, mas não é trivial para os alunos, pois eles não fazem a leitura dessa
informação.
Nessa situação problema era esperado que os alunos identificassem os
conceitos e esquemas que envolvem as estruturas multiplicativas e a
comutatividade na multiplicação, como recurso para agilizar as possíveis
decomposições.
124
Na figura abaixo temos o protocolo do percurso de um aluno utilizando o
ClicMat gravado pelo software “auto screen Record” durante o processo de
desenvolvimento da atividade de investigação “Arrumar cadeiras no cinema”:
Figura 13 – Atividade de proporcionalidade dupla (configuração retangular) no software
Observamos na imagem da figura que o aluno apresenta uma solução
correta, mas parece não saber explicar ou formular os argumentos para justificar sua
resposta, é bem possível que ainda, não havia compreendido a estrutura
Matemática da configuração retangular. Observamos que após uma tentativa correta
como vemos na tabela “2 x 5” para distribuir as 10 cadeiras, o aluno indica uma
decomposição “2 x 10” para encontrar o produto 10 que corresponde a um teorema
em ação falso. As cadeiras vermelhas estão a mais, ele parece não ter
compreendido o produto, a distribuição ou não pensa no valor fixo de 10 cadeiras
para o alinhamento que envolve o problema de “Proporcionalidade Dupla ou
Múltipla”. É possível supor ainda que o aluno não compreendeu a idéia da
comutatividade para esse esquema, mas realizou esquemas de validade local, que
resultaram na produção de conhecimento de natureza operacional.
125
O aluno parece buscar uma solução por tentativa e erro apoiado no
algoritmo da multiplicação e utilizando a tabuada de multiplicação do dois o que
pode ter dificultado a percepção da comutatividade. Nesse momento o aluno troca
informações, tenta explicitar o que fez para encontrar as diferentes respostas,
comunicando-as de modo que ela seja compreendida por outros e esses o auxiliem
a validar ou não os procedimentos usados na sua resposta. Por fim, o aluno não
consegue justificar por meio de uma estrutura matemática a pertinência de seu
modelo, uma vez que existem tentativas corretas e outras incorretas, que são
imediatamente identificadas pelo “software”.
A troca de informações possibilitou um embrião de discussão com o grupo,
que esperávamos nos aprofundar no final do trabalho com o “software”, ou seja, não
foi possível realizar a institucionalização, como esperado.
 Foi explorada também, a atividade, “Mudar o visual” que envolve a idéia de
combinatória. Para tal atividade a questão proposta é a seguinte: “Forme todas as
figuras diferentes com uma cara, um chapéu e uns óculos”.
Procuramos fazer adaptação da situação específica de combinatória, com
uma proposta lúdica para que o aluno pudesse percorrer um caminho que fizesse
sentido para ele, propondo soluções e posteriormente encontrando a estrutura
matemática que corresponde a solução por ele proposta.
Essa atividade compreende três níveis de dificuldade, a saber:
- No nível 1 – 2 homens e 3 chapéus – esperado “2 x 3”
- No nível 2 – 2 homens, 3 chapéus e 2 óculos – esperado “2 x 3 x 2”
- No nível 3 – 2 homens, 3 chapéus, 2 óculos e 2 bigodes – esperado “2 x 3 x 2 x 2 “
A seguir temos um protocolo de um aluno, documento gravado pelo
“software auto screen Record”, para o processo de desenvolvimento da atividade de
nível 1:
126
Figura 14 – Atividade de produto cartesiano (combinatória) no software
Nessa atividade, os alunos tinham a oportunidade de procurar por meio de
estratégias pessoais as soluções, podendo refletir sobre seus os erros e acertos,
visava ainda a descoberta do sistema combinatório. Alguns alunos utilizaram a
correspondência termo a termo, por meio de estratégia de organização por grupos
para a solução que envolvia caso de proporcionalidade dupla, que não é o esquema
para essa atividade a qual leva a uma dificuldade para o tratamento da questão, que
exige novas tentativas para chegar a um novo esquema.
No nível 1, a atividade pode ser resolvida de forma operacional, fazendo as
combinações possíveis dos homens com os chapéus, mas a complexidade dos
outros níveis nos pareceu deixar os alunos insatisfeitos, pois o esquema inicial não
era suficiente para encontrar a solução e eles procuravam pensar de forma
diferente, procurando antecipar soluções. Apesar de muitos não terem alcançado o
resultado esperado, a situação auxiliou, pelo menos, para mostrar a insuficiência do
esquema inicial.
127

Na atividade “Pesar os animais” que também foi explorada pelos alunos
por se tratar de situação problema que envolve o campo conceitual das estruturas
multiplicativas. A questão proposta no ecrã do “software é a seguinte: “Equilibra a
balança usando no máximo duas espécies de animais a tua escolha?”. Para iniciar a
atividade considerada de investigação e de nível 1 pelo próprio software, o
participante escolhe entre ficar meninas ou meninos sobre um dos pratos da
balança (balança de braços iguais conhecida por balança analítica cuja função é
comparar a força gravitacional que atua sobre dois corpos por meio de alavancas,
ou seja, é uma balança que permite determinar a massa dos dois corpos) e também
terá que optar qual a quantidade de criança (menino ou menina) que deseja colocar
nesse prato, se escolher meninas todas devem ser meninas o mesmo ocorrendo se
a escolha for por menino. Todas essas informações serão digitadas e
imediatamente aparecem na tabela 1 (tabela 1 – tabela das informações do primeiro
prato).
Essa tabela contém 1 coluna e 3 linhas, das quais: a 1ª linha, refere-se ao
peso individual da criança; a 2ª linha quantidade de crianças no prato e a 3ª linha o
produto da quantidade de criança pelo seu peso.
Em seguida, escolhem-se os animais para colocar no segundo prato de
forma a equilibrar a balança. Na instrução da atividade vem informado que deverá
ser colocada no máximo duas espécies. Nessas situações serão possíveis três
condições para a seleção, duas (condições 1 e 2) com esquemas válidos e uma
(condição 3) com esquema não válido.
- condição 1: todos os animais colocados no prato são da mesma espécie;
- condição 2: são colocados duas espécies diferentes no prato;
- condição 3: são colocados mais de duas espécies no prato.
Destacando ainda que as condições 1 e 2 são consideradas como
concluídas se o peso do primeiro e segundo pratos ficarem iguais, isto é, se a
balança entrar em equilíbrio. No caso da tentativa da condição 3, simplesmente a
terceira espécie escolhida não fica no prato, impossibilitando o equilíbrio da balança.
As espécies de animais disponíveis para serem levadas e colocadas com o
mouse no prato com suas respectivas massas são:
128
Espécie
Peso
Elefante
4000 kg
Golfinho
500 kg
na atividade com
Gato
Leão
200 kg
as
Periquito
100 g
Formiga
0,05g
Foca
100 kg
Espécie
Lista
disponível
respectivas
imagens
Texugo
Peso
10 kg
4 kg
Tabela 17 – Lista dos animais e seus respectivos pesos (massas) disponíveis no software
Quando o aluno seleciona a espécie e coloca no prato e vai preenchendo
até conseguir igualar os pesos, existe a tabela 2 (tabela de quantidades de animais)
que automaticamente registra suas escolhas. Essa tabela é composta por 2 colunas
e 3 linhas, as colunas diferenciam as duas espécies possíveis, nas linhas
observamos: na 1ª linha, o desenho da espécie selecionada pelo aluno; na 2ª linha,
quantidade de animais colocado no segundo prato pelo aluno e na 3ª linha, aparece
o produto da quantidade de animais pelo seu peso (por exemplo 3 gatos vezes 4 kg
que é o seu peso, logo aparece na terceira linha 12 kg).
Para cada pesagem é possível o aluno encontrar a igualdade do exemplo
acima, sem saber que os animais pesam mais do que as crianças. O software só
envia uma mensagem quando a balança estiver em equilíbrio, portanto cabe ao
aluno controlar as massas dos dois pratos para tentar modificar suas escolhas de
forma que a balança fique equilibrada.
Durante a atividade, a primeira dificuldade encontrada se deu pela falta de
leitura das informações sobre a quantidade de espécie que seria possível colocar
nos pratos. Podemos supor que os alunos, em geral, começam a atividade
intuitivamente, em função das dificuldades encontradas no desenvolvimento da
atividade e procuram caminhos para solucionar os problemas, utilizando novas
estratégias para resolver a situação e nesse caso uma delas seria considerar as
leituras das informações disponíveis.
Na atividade, o peso máximo individual para cada criança é de 999 kg, a
quantidade máxima de criança no prato é de 999 cujo produto é 998.001 kg, ou
seja, o peso (massa) máximo em cada prato.
Os alunos tentavam equilibrar o suposto peso das crianças colocadas no
primeiro prato com os animais do segundo prato que eram as escolhidas
aleatoriamente, mas sempre procurando os mais pesados. Alguns alunos
129
procuravam igualar o peso da criança “valor fixo” dado por ele com a quantidade de
duas espécies de animais, colocando tantos quantos fossem necessários para se
obter o peso da criança. Os alunos demonstraram se apoiar na tabela 2 que
auxiliava no controle de quantos animais deveria ser colocado, comparando o
resultado da pesagem. Abaixo temos uma imagem da interface da situação
proposta.
Figura 15 – Atividade de comparação multiplicativa no software
A proposta dessas três atividades procurou explorar os esquemas que
envolvem a estrutura multiplicativa, pois acreditamos que o aluno, face a nova
situação, é capaz de revisitar seus conhecimentos disponíveis e ampliá-los em
função de seus próprios teoremas em ação.
Para o desenvolvimento dessas atividades, enquanto um grupo iniciava a
exploração do software num trabalho coletivo o outro grupo fazia uma exploração
individual do software na sala de informática. Para isso, os alunos foram divididos
em dois grupos de 15 alunos, um deles trabalhando na sala de aula com o
130
pesquisador e o outro na sala de informática, onde cada aluno executava
individualmente as atividades.
A situação foi proposta em dois momentos de um mesmo dia de aula da
classe e os dois grupos de alunos tiveram as mesmas oportunidades de trabalho
com as atividades, conforme instruções que constam do anexo A – Atividade
aplicada na intervenção com o uso do software, e anexo B – Atividade aplicada na
Sala Ambiente de Informática (SAI) para intervenção com o uso do software, ou
seja, numa segunda fase da aula, após o intervalo, os grupos trocaram de ambiente.
Neste segundo momento foram feitas as atividades que constam do anexo B.
No entanto, para a institucionalização, organizou-se a classe para a
atividade de elaboração de problemas feitos por eles, baseada nas atividades
vivenciadas com o software. Esse trabalho foi realizado em duplas e no coletivo.
Nessa atividade os alunos trocaram informações por eles obtidas o que possibilitou
a passagem do individual e particular para a classe.
Dessa forma, podemos considerar que para esses alunos as situações
permitiram um enriquecimento de seus conhecimentos e provocaram aprendizagem,
pois como afirma Brousseau (1986) a partir das contradições, dificuldades e
desequilíbrios o aluno procura novas respostas o que conduz a aprendizagem.
Nessa fase, como estava previsto, os alunos em duplas ou coletivamente
elaboraram problemas que foram entregues para o pesquisador em folha de sulfite e
com esse material foi possível verificar o que os mesmos haviam compreendido em
relação a estrutura multiplicativa durante o processo da exploração das atividades
com o software.
Para a análise dos problemas propostos pelos alunos levantamos que um
mesmo problema implica em muitas questões (finalidade, dificuldades) e podem ser
do tipo: problemas orais, sem números, em série, dramatizados, incompletos, com
dados supérfluos, de cálculo de estimativa, de lógica, de imagem, mas para nossa
análise nos concentramos apenas na verificação se o aluno o descreve ou não uma
situação de estrutura multiplicativa, descartando todas as outras possibilidades, uma
vez que nos interessa a compreensão dos alunos em relação aos conceitos que
envolvem essa estrutura.
No quadro abaixo apresentamos os enunciados dos problemas elaborados
pelos alunos, classificando as estruturas em aditivas ou multiplicativas.
131
Enunciado do problema
Estrutura
Aditiva
a) Quero pintar um desenho e não quero
repetir as cores, me ajude:
X
b) Claudia vai arrumar o cinema e vai colocar
30 cadeiras. Quantas filas ela pode organizar
e quantas cadeiras vão ter em cada fila?
c) Um homem foi ao shopping comprou 2
óculos e 3 chapéus. Quantas combinações
ele tem?
d) Eu tenho 24 cadeiras como posso arrumar
com 2 fileiras?
X
X
X
e) Combine os 2 bonequinhos com 3 chapéus
e 2 óculos?
X
f) A moça do cinema queria organizar 300
cadeiras com o mesmo número de cadeiras
em cada fileira. Quantas cadeiras vão a cada
fileira?
g) Tenho que me vestir, e tenho opções saia
e camiseta; camiseta e calça, bermuda e
calça. Quantas opções eu tenho?
h) João foi ao cinema, faltava organizar as
cadeiras. Tinha 24 cadeiras ele organizou-as
em fileiras. Quantas cadeiras em cada fileira?
i) Milena foi numa loja e comprou 3 blusas, 3
calças e 3 colares. Quantas formas ela pode
se arrumar?
j) Fui trabalhar no cinema o patrão disse para
eu arrumar as cadeiras com 2 filas. São vinte
e quatro cadeiras. Como será que eu faço?
k) Fui à loja de roupas e comprei bastantes
combinações.Quantas formas posso me
vestir com 2 roupas?
l) No cinema a Maria organizou 7 fileiras com
10 cadeiras. Quantas cadeiras Maria usou?
X
X
X
X
X
X
X
m) O José tinha uma regata e uma camisa e
também uma bermuda e uma calça. Quantas
combinações são possíveis?
n) João e vovô quer colocar 3 chapéus sem
repetir de quantas formas eles podem fazer?
o) Bia tem 40 cadeiras para 108 pessoas.
Quantas cadeiras faltam?
Estrutura
Multiplicativa
X
X
X
Tabela 18 – Enunciado de problema de estrutura aditiva ou multiplicativa elaborada pelos alunos
132
Nessas atividades observamos a participação dos alunos, segundo os
significados dados a situação, os invariantes operatórios por eles utilizados e as
representações simbólicas dos esquemas em ação em jogo no trabalho com as
situações de estrutura multiplicativa. Consideramos ainda, as categorias e o que
pode ser esperado como disponível para os alunos das séries iniciais, além da
possibilidade de adaptação dos alunos com a interface computacional
Na quarta fase avaliamos, por meio de um teste diagnóstico, o processo
descrito acima de modo a validar essas intervenções. Nesse teste, propusemos
outras quatro situações problemas de estrutura multiplicativa segundo as
categorias já apresentadas e que podem ser resolvidas por meio dos mesmos
esquemas solicitados na sondagem inicial.
Apresentamos na sequência a análise do teste aplicado na fase 4.
5.4. ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI FASE 4
A quarta e última fase ocorreu no tempo previsto de 50 minutos e nela
procuramos avaliar se houve avanço nos conhecimentos dos alunos sobre as
estruturas multiplicativas. Para tal, foi aplicado a sondagem final, que semelhante
a sondagem inicial, solicita que os alunos resolvam as situações problemas por
meio de estratégias pessoais, representações ou algoritmos convencionais que
expressem a solução para os problemas.
As situações são problemas do Guia de Orientações do Programa Ler e
Escrever de sondagem das estruturas multiplicativas da 3ª série, que se
encontram na página 29. Esses problemas atendem as expectativas de Vergnaud
(1991), pois não se tratam de situações triviais para as quais os alunos podem ter
esquemas já naturalizados.
1) Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e 8 tipos de lanches. De quantas
maneiras pode-se combinar suco e lanche sem que haja repetição?
2) Em uma caixa cabem 56 docinhos. Sabendo que nela pode-se colocar 8
docinhos em cada fileira, quantas fileiras são necessárias para completar a caixa?
3) Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50, quanto Júlia pagará por 16 maçãs?
4) Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo têm a metade dessa quantia, quantos
reais têm Marcelo?
133
A proposta da sondagem final seguiu a estrutura da sondagem inicial, cujo
objetivo para essa aplicação é a avaliação do percurso que envolveu as três fases
anteriores a essa. Trata-se de uma fase essencial para análise, logo, com esse
propósito os problemas tinham implícito em seus questionamentos o mesmo
campo conceitual que envolveu o teste da sondagem inicial.
Sendo assim, o problema “1” corresponde a categoria “Proporcionalidade
Dupla ou Múltipla, o problema
“2” “Proporcionalidade dupla”, o problema “3”
envolve conceito de proporcionalidade simples e, finalmente o problema “4”
envolve a comparação multiplicativa onde se configuraram os argumentos básicos
sobre os termos duplo, triplo, que são úteis para familiarizar os alunos com a
linguagem matemática e com as formulações relacionadas com: duas vezes
significa o dobro, três vezes a significa o triplo, e que segundo Dante (1994)
apresentam dificuldades para os alunos.
Nessa quarta fase era esperado que por meio das oportunidades
vivenciadas pelos alunos, eles revisitassem seus conhecimentos e utilizassem os
esquemas disponíveis para resolver as situações dessa fase, uma vez que
esquemas solicitados para a solução desses problemas são os mesmos da
primeira fase, mas é preciso lembrar que nessa última fase, as atividades não são
triviais para os alunos, porém, esperamos que as características dos esquemas
propostos fossem melhores elaboradas que as apresentadas na fase inicial.
No capítulo a seguir, apresentamos a análise comparativa das produções
de cada aluno, ou seja, o esquema utilizado no teste diagnóstico com o esquema
do teste diagnóstico apresentado no teste final. Observamos ainda a
complexidade na resolução de problema de estrutura multiplicativa segundo suas
categorias.
134
6
ANÁLISE COMPARATIVA DAS PRODUÇÕES DOS ALUNOS
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Segundo Vergnaud (2009), os conhecimentos prévios são precursores dos
novos conhecimentos. Sendo assim, para melhor compreender a evolução da
aprendizagem dos alunos que participaram da sondagem e intervenção realizada
nessa pesquisa apresentamos as análises dos esquemas utilizados pelos mesmos
para resolver as situações problemas propostos na sondagem inicial e na sondagem
final. Iniciamos pela apresentação dos resultados encontrados nessas duas
sondagens que correspondem às diferenças identificadas na utilização dos
esquemas encontrados.
Para as análises dos protocolos dos alunos que participaram da
intervenção consideramos as análises a priori e a posteriori apresentadas no
capítulo 5 denominado “Análise preliminar das atividades propostas”.
Além disso, as análises foram elaboradas a partir do significado dado pelos
alunos às situações propostas. Para melhor descrever os esquemas por eles
apresentados, construímos um quadro com os protocolos das sondagens inicial e
final para as quatro categorias de problemas seguidos de comentários sobre as
evoluções em relação aos esquemas identificados para cada categoria.
Para descrever esses comentários sobre a evolução dos esquemas entre
sondagem inicial e final, consideramos a pesquisa de Rocha e Menino (2009) que
apresentam uma progressão dos níveis de cálculo em relação à operação de
multiplicação e que segundo Dolk & Fosnot (2001) e Treffers & Buys (2001) permite
descrever essa evolução por meio da passagem do cálculo por contagem, para o
cálculo estruturado e, finalmente, para o cálculo formal. Dessa forma, para levar em
conta os três níveis de cálculo utilizamos a descrição abaixo retirada dos trabalhos
de Dolk & Fosnot (2001) e Treffers & Buys (2001) por Rocha e Menino (2009, p.
110):
- Nível de multiplicação por contagem: o aluno usa a adição de parcelas iguais para
resolver a multiplicação. Por exemplo:
135
- Nível estruturado na multiplicação: considerado como segundo nível utiliza a idéia
de quantas vezes. Por exemplo:
- Nível formal: os alunos recorrem a produtos conhecidos, propriedades e relações
numéricas para auxiliar no produto entre dois fatores. Por exemplo:
136
Após apresentar os resultados sobre a evolução dos alunos, analisamos as
dificuldades encontradas na resolução das situações propostas considerando o
conteúdo que envolve a estrutura multiplicativa segundo as categorias de esquemas
propostas por Nunes & Bryant (2001).
A partir dessas informações, construímos um novo quadro, baseado na teoria
dos campos conceituais de Vergnaud (1991), para identificar as diferentes formas de
tratamento das estruturas multiplicativas, a saber:
- cálculo relacional (teorema em ação e conceito em ação);
- cognitivo do aluno (tipos de representação) e;
- cálculo numérico (cálculo mental e os algoritmos).
Finalmente, apresentamos as tabelas e gráficos comparativos de acertos e
erros para as quatro categorias de situações propostas para os alunos que
participaram das duas sondagens. Esses dados permitem comparar os resultados
do grupo analisado em relação às duas etapas da sondagem, ou seja, a sondagem
inicial que permitiu reconhecer os conhecimentos prévios dos alunos e a sondagem
final realizada após a intervenção que permite analisar a evolução desses alunos.
Iniciamos pela apresentação das análises sobre o desenvolvimento dos
diferentes esquemas que aparecem nas produções dos alunos que participaram da
pesquisa.
6.1. ANÁLISE DO DESENVOLVIMENTO DOS ESQUEMAS DOS ALUNOS
Nessas análises procuramos os conceitos-em-ação e teoremas-em-ação
utilizados pelos alunos nas resoluções das situações propostas.
A apresentação dos resultados é feita por meio da comparação entre as
diferentes formas de tratamento das situações propostas. As análises são
individuais e correspondem aos conhecimentos prévios disponíveis apresentados
nos sete protocolos que se distinguiram uns dos outros em função dos esquemas
apresentados. Esses protocolos foram escolhidos aleatoriamente em função do
esquema utilizado, que pode ou não ter aparecido em outras produções dos alunos.
Para auxiliar a leitura, interpretação e análise, apresentamos esses
resultados, por meio de um quadro onde é possível identificar o teorema em ação
utilizado pelo aluno para cada categoria de estrutura multiplicativa, ou seja, para
137
cada situação proposta, uma vez que a sondagem foi construída por meio dessa
associação situação - teorema em ação. Observamos ainda se as representações
utilizadas pelos alunos são dadas por meio de figuras, desenhos, diagramas, cálculo
mental, algoritmo ou mesmo a combinação de duas ou mais representações.
Fazemos também comentários procurando destacar as diferenças e a evolução do
trabalho apresentado nas soluções em seus dois momentos, ou seja, sondagem
inicial e final.
Quadro de análise comparativa em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 1
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA OU MÚLTIPLA
PROBLEMA 1
Marina possui em seu guarda-roupa 3
Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e 8
saias e 5 blusas. De quantas maneiras
tipos de lanches. De quantas maneiras
diferentes ela pode se vestir?
pode-se combinar suco e lanche sem que
haja repetição?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Observamos que na primeira abordagem da situação o aluno apresenta um resultado
errado, pois ele utiliza como operatório a estrutura aditiva, e tenta resolver a questão
proposta, que corresponde à estrutura multiplicativa com recursos e modelos de
estruturas aditivas, isso corresponde a um teorema em ação falso com conceito em
ação não pertinente. Na segunda sondagem, após a intervenção, o aluno é capaz de
encontrar a resposta correta e faz a relação por meio de um diagrama que
corresponde a um esquema correto para a solução da situação.
138
O avanço no esquema em ação utilizado entre as duas soluções das situações que
estão associadas à mesma proposição ou teorema em ação e a função proposicional,
ou seja, as combinações possíveis, que só aparece na sondagem final. A diferença
entre a solução proposta pelo aluno nas duas sondagens mostra que o mesmo adquire
uma nova competência após a intervenção, sendo capaz de utilizar um esquema
relacionado às estruturas multiplicativas.
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 1
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA
PROBLEMA 2
Preciso colocar em um auditório 84
Em uma caixa cabem 56 docinhos. Sabendo
cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
que nela pode-se colocar 8 docinhos em cada
quantas colunas poderei organizar
fileira, quantas fileiras são necessárias para
essas cadeiras?
completar a caixa?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na primeira solução observamos que o aluno erra porque não utiliza a proposição ou
função proposicional verdadeira para representar de forma significativa a situação
proposta, isso pode ser um indicador de o quanto é importante explorar uma situação
em seus diferentes significados, que nesse caso corresponderia a distribuir o total de
objetos pelo número de filas dadas.
Podemos considerar que esse aluno está habituado a resolver problemas de matemática
139
utilizando algoritmos, o que o conduz a tentar associar a situação dada a um
determinado algoritmo. Isso parece se confirmar no fato do aluno ter utilizado um
algoritmo errado na situação proposta na sondagem inicial, mas seu esquema centrado
nos algoritmos lhe permite encontrar um esquema correto após a intervenção, ou seja, a
intervenção parece auxiliar seu desempenho uma vez que ele é capaz de manter o
algoritmo da multiplicação encontrando uma forma de associar o total de objetos e
fileiras.
Para melhor compreender o esquema por ele desenvolvido na sondagem final seria
interessante realizar uma entrevista com esse aluno.
Podemos supor que após as intervenções o aluno apresenta um argumento com
números (8 x 7 = 56) em que ele busca o valor da variável se apoiando na relação fixa
entre elas (8 x ? = 56), nesse caso os 56 docinhos, mostrando autonomia na escolha do
algoritmo para solucionar a situação e um teorema em ação verdadeiro.
Entendemos assim que ele avançou na busca da solução, mas utilizando o algoritmo
como ferramenta para solucionar a situação.
140
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 1
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE SIMPLES
PROBLEMA 3
Marta vai comprar 4 pacotes de bala.
Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50,
Cada pacote custa 9 reais. Quanto irá
quanto Júlia pagará por 16 maçãs?
pagar pelos 4 pacotes?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na primeira solução, a situação proposta envolve as idéias das estruturas multiplicativas
e tem em seu contexto os dados numéricos explícitos, essas informações podem ter
facilitado a aplicação direta da adição de parcelas iguais para encontrar o resultado.
O aluno acerta e como já foi comentado anteriormente, na maioria das vezes ele utiliza
um algoritmo e tem como operatório os conceitos que envolvem as estruturas aditivas.
Na segunda solução o aluno erra, pois diferente da primeira situação a relação de
proporcionalidade que não se inicia na unidade, fato que parece dificultar a situação
proposta, possivelmente esse obstáculo pode ocorrer de experiências anteriores na
qual, em geral, as situações propostas têm como base a unidade.
Nos esquemas apresentados pelo aluno para essas situações notamos que na
sondagem final ele utiliza o algoritmo da multiplicação para responder a essa situação, o
que pode ser considerado um avanço mesmo se a relação não é pertinente. Aqui
novamente seria interessante entrevistar o aluno para saber como ele escolheu os
números para efetuar a multiplicação.
141
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 1
COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA
PROBLEMA 4
Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o
Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo
triplo desta quantia. Quantos reais têm
tem a metade dessa quantia, quantos
João Pedro?
reais têm Marcelo?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno encontra a resposta correta, podemos supor que ele
tem familiaridade com o termo triplo, que significa 3 vezes, não encontrando
dificuldades nesse tipo de proposição.
Na sondagem final observamos que o termo metade também deve ser operatório
para esse aluno. Mais uma vez ele recorre a um algoritmo sem que possamos
identificar como ele chega no 18 que corresponde a metade de 36. O aluno sabe
que metade corresponde a duas partes iguais, mas não podemos identificar se
ele é capaz de utilizar a idéia da distribuição. Isso reforça a necessidade de
entrevistar o aluno para melhor compreender o esquema por ele utilizado.
Observando as quatro situações podemos supor que este aluno, tenta resolver as
diferentes situações por meio de um algoritmo. Ele parece recorrer a outros
esquemas apenas quando não encontra um algoritmo satisfatório.
Essa forte tendência em trabalhar com o algoritmo pode estar associada a sua
vivência e parece dificultar a utilização de novos esquemas.
142
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 2
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA OU MÚLTIPLA
PROBLEMA 1
Marina possui em seu guarda-roupa 3
Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e
saias e 5 blusas. De quantas maneiras
8 tipos de lanches. De quantas maneiras
diferentes ela pode se vestir?
pode-se combinar suco e lanche sem
que haja repetição?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno erra a solução e sua representação está apoiada nas
idéias que envolvem as estruturas aditivas, trata-se do esquema de bijeção onde o
aluno faz a correspondência termo a termo. Mesmo utilizando um esquema que
não funciona, é interessante observar que ele procura uma forma diferente para
resolver a questão não focando apenas o algoritmo que aparece na solução
proposta para a situação da sondagem final. Isso mostra um avanço, pois ao
utilizar o algoritmo da multiplicação ele é capaz de abandonar as idéias das
estruturas aditivas e associar a situação a uma multiplicação.
Observando atentamente os dois esquemas notamos o avanço em relação à
“notação primitiva” do 1º esquema onde a representação não permite avançar no
desenvolvimento
da
questão.
Mesmo
utilizando
apenas
o
algoritmo
da
multiplicação podemos considerar que houve um grande avanço, pois o aluno é
capaz de se referir a estrutura multiplicativa correspondente à situação proposta.
143
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 2
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA - PROBLEMA 2
Preciso colocar em um auditório 84
Em uma caixa cabem 56 docinhos.
cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
Sabendo que nela pode-se colocar 8
quantas
docinhos em cada fileira, quantas fileiras
colunas
poderei
organizar
essas cadeiras?
são necessárias para completar a caixa?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno utilizou o esquema da correspondência em
coordenação com a contagem, um teorema válido. Observamos que ele faz a
representação por meio de um desenho para responder a questão de forma a
demonstrar compreensão sobre essa idéia, se contarmos os “pauzinhos” que
distribui representando as cadeiras vemos que a resposta está correta, para cada
fileira tem 12 “pauzinhos”.
Em sua representação os desenhos das cadeiras não estão inclusos na contagem,
no protocolo do aluno não aparece, mas, em sua resposta o aluno concluiu, poderei
organizar em 12 colunas.
Na sondagem final o aluno apresenta a solução demonstrando avanços na
compreensão desse esquema, buscando o resultado por meio do esquema do
algoritmo da divisão, usando um novo esquema que corresponde a um avanço,
pois lhe permite resolver a situação de forma mais econômica.
144
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 2
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE SIMPLES - PROBLEMA 3
Marta vai comprar 4 pacotes de bala.
Cada pacote custa 9 reais. Quanto irá
pagar pelos 4 pacotes?
Sondagem inicial
Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50,
quanto Júlia pagará por 16 maçãs?
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial a resposta está correta, o esquema utilizado está apoiado na
adição de parcelas iguais, sendo um esquema válido.
Na sondagem final ele utiliza o algoritmo da multiplicação com autonomia, fazendo as
relações corretas.
É importante destacar que nas situações anteriores ele ainda não tinha como operatório
o algoritmo da multiplicação enquanto conhecimento prévio disponível, mas após a
intervenção observamos que o mesmo recorre ao algoritmo da multiplicação para
resolver a situação o que parece mostrar que, após compreender a estrutura
multiplicativa por meio de outro esquema, ele é capaz de utilizar o algoritmo como
esquema mais econômico para resolver a situação proposta. Logo, podemos acreditar
que o aluno escolhe as suas representações e os algoritmos a serem utilizados.
Como classificou Dolk & Fosnot, 2001; Treffers & Buys, 2001 ele passou do cálculo por
contagem (adição de parcelas), para cálculo estruturado (idéia de quantas vezes) ou
ainda podemos dizer que chegou a utilizar o cálculo formal (produtos entre dois
números) recorrendo a produtos conhecidos e cálculo mental.
145
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 2
COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA - PROBLEMA 4
Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o
triplo desta quantia. Quantos reais têm
João Pedro?
Sondagem inicial
Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo têm a
metade dessa quantia, quantos reais têm
Marcelo?
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial, o aluno responde corretamente a situação utilizando a adição
como esquema para a solução da situação proposta. Observamos que a adição para
solução de problemas é operatória para esse aluno.
Na sondagem final o aluno respondeu corretamente e usou um cálculo relacional,
utilizando o esquema associado à decomposição polinomial dos números para facilitar a
distribuição do valor fixo, ou seja, escreve o número 36 como 30 + 6 e distribuindo cada
um em duas partes iguais obtém 15 e 3, somando esses números encontra como
resultado o 18, ou seja, o aluno usa a idéia de distribuição equitativa.
Podemos dizer que a cada problema houve avanços nos esquemas utilizados para
resolver situações que envolvem as estruturas multiplicativas.
Nas quatro situações observamos que o tratamento que o aluno apresenta para as
situações, demonstra que ele ora utiliza do cálculo relacional, ora do cálculo numérico.
Essa forma de tratar as situações parece facilitar a identificação de diferentes formas
para encontrar as soluções corretas para as situações propostas e que envolvem as
estruturas multiplicativas.
146
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as Estruturas
multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 3
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA OU MÚLTIPLA
PROBLEMA 1
Marina possui em seu guarda-roupa 3
Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e 8 tipos
saias e 5 blusas. De quantas maneiras
de lanches. De quantas maneiras pode-se
diferentes ela pode se vestir?
combinar suco e lanche sem que haja repetição?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno parece inseguro, fez algumas marcas e apagou e por fim
escreveu três maneiras sem nenhum esquema que justifique a resposta errada. Podemos
supor que ele usou a correspondência um a um e não pode observar as combinações em
suas outras 12 possibilidades. O aluno erra a solução e demonstra não compreender o
raciocínio combinatório uma competência necessária para resolver essa situação.
Na sondagem final ele iniciou a relação de correspondência, porém, ainda utiliza a bijeção,
mas parece insatisfeito com esse recurso e passa para o algoritmo para encontrar a solução.
Isso pode ser considerado que após as intervenções o aluno compreende que esta situação
pode ser resolvida usando a multiplicação, como recurso de simplificação para encontrar a
solução, e como vimos nesse caso acerta a resposta mesmo não sendo capaz de associar o
algoritmo ao esquema da correspondência um a muitos.
147
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 3
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA - PROBLEMA 2
Preciso colocar em um auditório 84
Em uma caixa cabem 56 docinhos. Sabendo que
cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
nela pode-se colocar 8 docinhos em cada fileira,
quantas
quantas fileiras são necessárias para completar a
colunas
poderei
organizar
essas cadeiras?
caixa?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
No primeiro protocolo o aluno escolhe o algoritmo da divisão para resolver o problema, isso
pode significar que ele compreende que para dispor as cadeiras ele precisa distribuí-las em
quantidades iguais.
Porém, mesmo sem saber a técnica operatória da divisão, escolhe o algoritmo como
esquema para solucionar a situação proposta, o aluno erra a resposta e não procura outros
esquemas, note que ele esta contando de 7 em 7, que é um esquema válido para essa
situação, mas ele parece se perder na contagem.
No segundo protocolo o aluno procurar o número que, multiplicado por 8 dá 56. No seu
protocolo observamos que ele faz alguns cálculos e apaga quando encontra o resultado
esperado.
Observando os dois protocolos é possível identificar que o aluno associa as situações
propostas à estrutura multiplicativa, mesmo quando ele erra o resultado.
148
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 3
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE SIMPLES - PROBLEMA 3
Marta vai comprar 4 pacotes de bala.
Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50, quanto
Cada pacote custa 9 reais. Quanto irá
Júlia pagará por 16 maçãs?
pagar pelos 4 pacotes?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na primeira situação proposta o aluno responde corretamente por meio do algoritmo da
multiplicação e lhe parece ser uma situação compreensível. Observamos aqui que se trata
de uma situação onde é dado o preço por unidade, o que parece facilitar a interpretação da
questão proposta.
Na sondagem final o aluno erra a resposta, pois os valores numéricos (sistema monetário)
do problema e a estrutura do problema parecem dificultar a compreensão dessa categoria,
que, segundo Vegnaud, são fatores da complexidade cognitiva que devem ser
considerados, pois podem dificultar a solução do problema, já que o aluno não resolve
situações problemas com números decimais com a mesma operacionalidade que o faz com
os números inteiros. Além disso, é preciso considerar que não é dado o preço unitário, o que
exige a aplicação de mais de um esquema relacionado às estruturas multiplicativas. Isso não
ocorre na situação da sondagem inicial.
149
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 3
COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA - PROBLEMA 4
Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o
Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo têm a
triplo desta quantia. Quantos reais têm
metade dessa quantia, quantos reais têm
João Pedro?
Marcelo?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na primeira sondagem o aluno usou do esquema de adição de parcelas iguais, esquema
válido e com a solução correta para a situação proposta. Ele parece ter familiaridade com
o termo triplo e o sistema monetário, quando representado em linguagem natural.
Na segunda sondagem o aluno apresenta dificuldade em lidar com o sistema monetário,
tentando decompor não considerando o valor posicional do número, ao dividir o 30,00 em
duas partes iguais e encontra o 1,50, porque considera apenas o 3, e em seguida divide o
6,00 em duas partes iguais e encontra o 3,00. Como vimos, o termo metade também é
familiar para esse aluno, porém a dificuldade aparece ao dividir na metade números maior
do que a unidade. Nesse caso podemos supor que esse aluno tem problemas com o valor
posicional quando se considera o sistema de numeração decimal. Mas devemos destacar
que em sua solução aparecem teoremas em ação verdadeiros para as estruturas
multiplicativas, pois ele decompõe o número mesmo que errado, divide cada um em duas
partes iguais e subtrai as partes para encontrar a metade do todo. Essas são
competências do aluno que devem ser considerada e precisam ser melhor trabalhadas.
150
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 4
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA OU MÚLTIPLA
PROBLEMA 1
Marina possui em seu guarda-roupa 3
Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e 8 tipos
saias
de lanches. De quantas maneiras pode-se
e
5
blusas.
De
quantas
maneiras diferentes ela pode se
combinar suco e lanche sem que haja repetição?
vestir?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial observamos que o aluno seleciona um algoritmo qualquer,
preferencialmente os que já se tornaram operatório, neste caso de estrutura aditiva, para
encontrar a solução do problema, não compreendendo o esquema de correspondência
um a muito e não conseguindo solucionar a situação proposta.
Após as intervenções, na sondagem final, o aluno apresenta a solução de forma correta
utilizando cálculo relacional com teorema em ação verdadeiro, fazendo as seis
combinações possíveis de suco para cada 1 dos 8 lanches e agrupou de 12 em 12 para
facilitar a contagem, adicionando as 4 parcelas iguais e escrevendo que essa adição
poderia ser escrita na forma 12 x 4, conceito em ação pertinente que lhe permite
encontrar as 48 combinações possíveis.
151
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 4
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA - PROBLEMA 2
Preciso colocar em um auditório 84
Em uma caixa cabem 56 docinhos. Sabendo
cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
que nela pode-se colocar 8 docinhos
quantas
em cada fileira, quantas fileiras são necessárias
colunas
poderei
organizar
essas cadeiras?
para completar a caixa?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Para a sondagem inicial o aluno fez um esquema de representação por meio de um
desenho que parece orientar as idéias para desenvolver a situação proposta, com isso
recorreu a decomposição do número para facilitar a distribuição, utilizando do cálculo
mental para encontrar as 12 colunas (cadeiras) que finalmente serviram para multiplicar
pelas 7 fileiras.
As justificativas apresentadas pelo aluno permitem compreender qual o raciocínio
utilizado no desenvolvimento da situação.
Já na primeira sondagem observamos que o aluno dispunha dos esquemas associados
às estruturas multiplicativas sendo capaz de utilizar diferentes esquemas e justificar suas
escolhas. Na segunda sondagem ele parece se sentir seguro para apresentar apenas o
algoritmo da divisão que permite resolver a situação de forma mais econômica.
152
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 4
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE SIMPLES
PROBLEMA 3
Marta vai comprar 4 pacotes de bala.
Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50,
Cada pacote custa 9 reais. Quanto irá
quanto Júlia pagará por 16 maçãs?
pagar pelos 4 pacotes?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno apresenta um esquema válido com conceito em ação
pertinente, utilizando um cálculo numérico, algoritmo da multiplicação, que parece ter
escolhido com autonomia. Mais uma vez observamos que esse aluno é capaz de justificar
suas escolhas.
Na sondagem final após as intervenções o aluno pareceu compreender o esquema de
proporcionalidade simples, usando o cálculo mental para encontrar o coeficiente de
proporcionalidade entre a maçã e o preço dela, e em seguida resolver por meio do
algoritmo da multiplicação, ou seja, o aluno torna-se autônomo e podemos supor que ele
se encontra no nível de cálculo estruturado, escolhendo adequadamente o algoritmo que
permite resolver a situação da forma mais econômica possível, podendo ter efetuado os
outros esquemas por meio de cálculos mentais.
153
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 4
COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA - PROBLEMA 4
Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o
Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo têm a
triplo desta quantia. Quantos reais têm
metade dessa quantia, quantos reais têm
João Pedro?
Marcelo?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na primeira sondagem o aluno apresentou familiaridade com o termo triplo e utilizou de
adição de parcelas iguais para encontrar a solução, o que é um conceito em ação
pertinente, mesmo se pudermos supor que esse aluno tenha condições de apresentar
uma solução por meio do algoritmo da multiplicação em função dos resultados
apresentados nas questões anteriores para a primeira sondagem.
Na sondagem final o aluno demonstra compreender um procedimento que não era
esperado, pois ele primeiro faz o cálculo mental e encontra a metade de 36 e depois
verifica por meio da divisão da parte fixa com uma das variáveis para encontrar o 2 que
representa o quociente para encontrar a metade.
154
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 5
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA OU MÚLTIPLA
PROBLEMA 1
Marina possui em seu guarda-roupa
Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e 8 tipos
3 saias e 5 blusas. De quantas
de lanches. De quantas maneiras pode-se
maneiras diferentes ela pode se
combinar suco e lanche sem que haja repetição?
vestir?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno faz a combinação de uma saia para cada 5 camisetas, e
depois ele soma para encontrar as 15 possibilidades. Trata-se de um esquema válido
com resposta correta.
Na segunda sondagem observamos que ele utiliza a correspondência em coordenação
com a contagem simultaneamente, organizando os dados por meio de uma tabela. Por
meio do cálculo mental ou cálculo numérico conforme Vergnaud, que corresponde a
pensar o número e calcular por meio do algoritmo ou da decomposição. Ele demonstra
compreender o problema e usa uma tabela com o suporte para encontrar a solução.
Podemos considerar que esse aluno dispõe das idéias associadas às estruturas
multiplicativas.
155
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 5
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA - PROBLEMA 2
Preciso colocar em um auditório 84
Em uma caixa cabem 56 docinhos. Sabendo que
cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
nela pode-se colocar 8 docinhos em cada fileira,
quantas colunas poderei organizar
quantas fileiras são necessárias para completar a
essas cadeiras?
caixa?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na primeira sondagem ele distribui de 7 em 7 e agrupa de 5 em e 5, erra o resultado
porque provavelmente se perdeu na contagem. Seu esquema é valido e mostra que
mesmo utilizando a adição ele apresenta indícios de utilização das idéias associadas às
estruturas multiplicativas.
Na sondagem final ele faz a representação por meio de desenhos e agrupamento de 8
em 8, encontra a resposta correta contando a quantidade de grupos formados, o que
permite mais uma vez concluir que o aluno utiliza as idéias associadas às estruturas
multiplicativas.
Observando o desenho, notamos que ele distribui corretamente pensando em docinhos
na caixinha, mas refere-se a fileiras, o que pode ser uma influência da experiência com o
software, onde se distribuíam cadeiras em fileiras.
156
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 5
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE SIMPLES
PROBLEMA 3
Marta vai comprar 4 pacotes de bala. Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50, quanto
Cada pacote custa 9 reais. Quanto
Júlia pagará por 16 maçãs?
irá pagar pelos 4 pacotes?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno faz um cálculo relacional por meio de desenhos, utilizando o
esquema correspondência em coordenação com a contagem, usa ainda a idéia de
adicionar. Neste caso resolveu a situação apoiado no que tinha de operatório, ou seja, a
estrutura aditiva com adições sucessivas de parcelas iguais considerada como recurso
inicial para as situações que envolvem as estruturas multiplicativas.
Na sondagem final ele utiliza adições para solucionar a situação, porém mostra um
avanço em relação às estruturas multiplicativas quando usa o cálculo mental para a
proporcionalidade de 4 para 2,50 e para 16 quanto?, demonstrando assim, compreender
a questão proposta na situação e percorrendo um caminho válido usando o algoritmo e
fazendo relações significativas para a solução.
157
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 5
COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA
PROBLEMA 4
Felipe tem 35 reais e João Pedro
Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo têm a metade
tem o triplo desta quantia. Quantos
dessa quantia, quantos reais têm Marcelo?
reais têm João Pedro?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno utilizou a adição de parcelas iguais, demonstrando
compreender o que significa o termo triplo.
Na sondagem final o aluno demonstrou compreender a questão e utiliza o cálculo
relacional para encontrar a solução, usa o esquema de distribuição equitativa por meio de
um desenho fazendo dois agrupamentos de 18. Trata-se de um esquema em ação válido
para as estruturas multiplicativas.
158
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 6
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA OU MÚLTIPLA
PROBLEMA 1
Marina possui em seu guarda-roupa
Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e 8 tipos
3 saias e 5 blusas. De quantas
de lanches. De quantas maneiras pode-se
maneiras diferentes ela pode se
combinar suco e lanche sem que haja repetição?
vestir?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial é perceptível a falta de compreensão da situação proposta, ou seja,
o aluno utiliza apenas o esquema de bijeção, conceito em ação não pertinente para a
situação proposta.
Na sondagem final o aluno faz um diagrama e encontra as possíveis combinações e
ainda verifica a solução por meio do algoritmo da multiplicação, conceito em ação
pertinente, apoiado pelo cálculo relacional representado pelo diagrama. Finalmente ele
controla o resultado encontrado por meio do cálculo numérico usando o algoritmo da
multiplicação.
159
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 6
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA
PROBLEMA 2
Preciso colocar em um auditório 84
Em uma caixa cabem 56 docinhos. Sabendo
cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
que nela pode-se colocar 8 docinhos em cada
quantas
fileira, quantas fileiras são necessárias para
colunas
poderei
organizar
essas cadeiras?
completar a caixa?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na primeira sondagem ele faz o cálculo relacional por meio do desenho dispondo as
cadeiras de 7 em 7 e encontra as 12 colunas, mas parece não aceitar o resultado
encontrado e busca outro caminho por meio do algoritmo da divisão, técnica que ele não
tem disponível e que lhe conduz ao erro. Mas, é importante observar que o aluno tenta
controlar o resultado encontrado por meio de outro esquema que também é valido para as
estruturas multiplicativas.
Na sondagem final, após a intervenção, ele escolhe o algoritmo da divisão que permite
resolver o problema de forma mais econômica, o que mostra autonomia e confiança que
não aparecia na primeira sondagem.
160
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas Multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 6
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE SIMPLES
PROBLEMA 3
Marta vai comprar 4 pacotes de
Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50, quanto
bala. Cada pacote custa 9 reais.
Júlia pagará por 16 maçãs?
Quanto irá pagar pelos 4 pacotes?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno faz a representação por meio de um desenho, utilizando um
teorema em ação verdadeiro. O aluno desenha os 4 pacotes de bala e conta de 9 em 9,
resolvendo a situação de forma correta mas utilizando a estrutura aditiva.
Na sondagem final, ele tenta fazer algumas relações por estimativa baseado no preço
unitário aproximado, conceito em ação não pertinente que não lhe permite encontrar uma
solução para a situação proposta.
161
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 6
COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA
PROBLEMA 4
Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o
Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo têm a
triplo desta quantia. Quantos reais têm
metade dessa quantia, quantos reais têm
João Pedro?
Marcelo?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial, o algoritmo apresentado demonstra que o aluno não compreendeu
a situação proposta, porém parece entender que o termo triplo indica 3 e talvez
compreende 3 vezes quando no final coloca na resposta que João tem 105 reais, o que
pode corresponder a um cálculo mental correto.
Na sondagem final demonstrou familiaridade com o termo metade, conceito em ação
pertinente, com o cálculo numérico por meio da divisão e parece não ter dificuldades com
a técnica operatória da divisão por 2, porém possivelmente ainda não tem disponível
mentalmente esse cálculo. Esses são resultados que se espera que o aluno tenha
mentalmente disponível para auxiliar em outras situações com níveis de dificuldade um
pouco mais avançados.
162
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 7
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA OU MÚLTIPLA - PROBLEMA 1
Marina possui em seu guarda-roupa 3
Em uma lanchonete há 6 tipos de suco e 8
saias e 5 blusas. De quantas maneiras
tipos de lanches. De quantas maneiras pode-
diferentes ela pode se vestir?
se combinar suco e lanche sem que haja
repetição?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno adicionou os números expressos no problema. Esse
cálculo numérico não soluciona a situação, uma vez que essa categoria refere-se a
uma situação de estrutura multiplicativa de proporcionalidade dupla ou múltipla. Mesmo
que ele utilizasse a adição, seria necessário inferir sobre a relação entre as variáveis,
ou seja, vestir as 3 saias 5 vezes, ou vestir as 5 blusas 3 vezes, formando assim todos
os pares entre os conjuntos de 3 saias com o conjunto de 5 blusas.
Na sondagem final, a solução por meio de um diagrama buscando fazer todas as
combinações possíveis e posteriormente usando o algoritmo da multiplicação para a
verificação das possibilidades leva-nos a considerar a competência para esse esquema
em relação às estruturas multiplicativas. Podemos considerar que a possibilidade de
utilizar pelo menos dois esquemas auxilia o aluno a controlar os resultados
encontrados como mostra a solução proposta na segunda sondagem.
163
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 7
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE DUPLA - PROBLEMA 2
Preciso colocar em um auditório 84
Em uma caixa cabem 56 docinhos.
cadeiras, dispostas em 7 fileiras. Em
Sabendo que nela pode-se colocar 8
quantas colunas poderei organizar essas
docinhos em cada fileira, quantas fileiras
cadeiras?
são necessárias para completar a caixa?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial, observamos que o aluno parece compreender que precisa
distribuir as cadeiras, porém sem buscar representações mais significativas, escolhe o
algoritmo da divisão, para o qual o aluno não dispõe da técnica operatória. Para isso
ele usa um modelo de representação da divisão que não é usual e que está associado
às representações dos algoritmos da adição e subtração. Apesar de errada, a resposta
dada parece ter sido efetuada por meio de cálculo mental.
Após as intervenções, na sondagem final, o aluno recorre a contagem, faz
agrupamentos de 8 em 8 até chegar no 56 e conta quantas filas se formaram. Para
confirmar essa disposição, multiplica as variáveis para voltar ao valor fixo, acertando a
solução. Nesse caso, também observamos que dispor de mais de um esquema auxilia
o aluno a encontrar a solução correta e permite que ele controle seu resultado.
164
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas Multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 7
CATEGORIA PROPORCIONALIDADE SIMPLES -PROBLEMA 3
Marta vai comprar 4 pacotes de bala.
Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50,
Cada pacote custa 9 reais. Quanto irá
quanto Júlia pagará por 16 maçãs?
pagar pelos 4 pacotes?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Esse aluno não demonstrou dificuldades para solucionar a situação proposta na
sondagem inicial, parece que os números naturais explícitos na situação facilitaram na
solução. O aluno contou agrupando de 9 em 9 de forma acumulativa e encontrou o valor
de 36 reais para os 4 pacotes, ainda verificou a solução recorrendo à multiplicação da
quantidade de pacote que vai comprar com o preço de cada um, ou seja, trata-se de um
conceito em ação pertinente e que demonstra compreensão do esquema.
Na sondagem final, o aluno considerou os 2,50 como sendo o valor unitário de cada
maçã, o que fez com que errasse a situação proposta. Esse erro é recorrente e está
associado à necessidade de utilizar mais de um esquema para a solução da situação, o
que parece ser possível somente quando o aluno se encontra no nível formal e dispõe do
algoritmo da divisão.
165
Quadro de análise comparativo em relação aos avanços dos esquemas para as
Estruturas multiplicativas
SONDAGENS – Aluno 7
COMPARAÇÃO MULTIPLICATIVA - PROBLEMA 4
Felipe tem 35 reais e João Pedro tem o
Lia tem 36 reais e seu primo Marcelo têm a
triplo desta quantia. Quantos reais têm
metade dessa quantia, quantos reais têm
João Pedro?
Marcelo?
Sondagem inicial
Sondagem final
Comentários
Na sondagem inicial o aluno encontra a solução correta e, como outros alunos, ele tem
familiaridade com o termo triplo e a técnica operatória da multiplicação.
Na sondagem final percebemos que uma situação problema que envolve a distribuição
ainda não é uma situação trivial para o aluno, ele sempre recorre a algum algoritmo.
Nesse caso, ele encontra um valor aproximado por meio do cálculo mental e fazendo a
adição encontra 36, o que não está correto em função do valor encontrado para a
metade. Podemos supor aqui que o erro cometido está associado a dificuldades com
cálculos envolvendo decimais.
166
Ainda para as situações propostas na sondagem inicial e final,
apresentamos uma análise comparativa individual dos 30 alunos que participaram
da pesquisa observando erros e acertos, tipos de respostas mais frequentes
destacando as erradas, e para as quais utilizamos a codificação abaixo:
(ES) – Resposta errada (E), sem o estabelecer relação com o que é pedido na
situação(S) – (incompreensão do problema) – o aluno apresenta uma resposta
incorreta e na sua resolução não há indícios de relação com a questão colocada.
Resolve por meio da adição ou subtração, utilizando os valores apresentados no
enunciado. Ou desenha deixando a resolução incompleta. Exemplo desse tipo de
resposta.
(EC) – Resposta errada (E), com o estabelecimento de relação com o que é
pedido na situação (C) (apresenta certa compreensão do problema) – o aluno erra
a resposta, entretanto, seu esquema de resolução é válido para o que é solicitado,
como mostra o protocolo abaixo:
167
(CC) – Resposta correta (C), com o estabelecendo relação com o que é pedido
na situação (C) – O aluno consegue compreender a questão proposta na situação
utiliza representações ou algoritmos corretos como é possível observar no protocolo
abaixo:
A seguir classificamos os tipos de respostas dos 30 alunos por meio dos
códigos definidos acima. Nesse quadro podemos visualizar de forma global os
resultados da classe e os avanços das crianças. Podemos ainda, observar quais as
situações apresentaram maiores dificuldades para os alunos. Nessa tabela os
alunos serão nomeados pela letra A seguido do número da seqüência em que
aparece na tabela.
168
problema 2
problema 3
Problema 4
Aluno
Legenda: SI – sondagem inicial; S.F. – sondagem final
problema 1
S.I
S.F
S.I
S.F
S.I
S.F
S.I
S.F
A1
ES
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
A2
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
A3
ES
CC
ES
CC
CC
ES
CC
EC
A4
ES
CC
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A5
ES
CC
ES
CC
CC
ES
CC
CC
A6
ES
EC
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A7
ES
ES
ES
CC
CC
EC
CC
CC
A8
ES
CC
ES
CC
CC
ES
EE
ES
A9
ES
EC
ES
ES
CC
CC
CC
CC
A10
ES
EC
ES
CC
CC
CC
CC
CC
A11
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A12
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A13
ES
ES
ES
ES
CC
CC
EE
ES
A14
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A15
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A16
ES
CC
ES
CC
EC
EC
CC
CC
A17
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
EC
A18
ES
CC
ES
EC
EE
EC
CC
CC
A19
ES
EC
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A20
ES
EC
ES
ES
EE
EC
EE
ES
A21
ES
CC
ES
CC
EC
CC
CC
CC
A22
ES
ES
ES
ES
EE
EC
EE
ES
A23
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A24
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A25
ES
ES
ES
ES
EE
CC
EE
ES
A26
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A27
ES
CC
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A28
ES
ES
ES
ES
EE
ES
EE
ES
A29
ES
CC
ES
CC
EE
ES
CC
CC
A30
ES
CC
ES
CC
CC
ES
CC
CC
Tabela 19 – Análise comparativa individual das relações das estruturas multiplicativas.
169
Nas duas sondagens as situações envolviam as idéias das quatro situações
abordadas
em
cada
sondagem
que
representam
o
mesmo
esquema
respectivamente. Elas diferiam em contexto, valores e noções necessárias para o
desenvolvimento do esquema inicialmente esperado, por exemplo, na situação 3 da
sondagem inicial é dado o preço unitário de um produto e pede-se o preço de uma
quantidade x do mesmo produto e na questão 3 da sondagem final é dado o preço
de y produtos e pede-se o preço de z produtos, o que dificulta a situação pois, é
necessário determinar o preço unitário ou a razão entre as quantidades y e z para
finalmente determinar o que é pedido, o que supõe a utilização de pelo menos dois
esquemas, enquanto que na sondagem inicial, um único esquema permite
solucionar a situação. Nas outras situações houve apenas mudança de contexto e
valores.
As situações acima foram escolhidas para atender ao nosso objetivo que é
observar se o ensino baseado no Guia de Planejamento do Programa Ler e
Escrever é um recurso suficiente par auxiliar o professor a desenvolver o processo
de ensino e aprendizagem da noção de estrutura multiplicativa. Além disso, a
identificação e comparação das dificuldades e erros encontrados pelos alunos nas
duas sondagens permitem verificar se houve evolução após a intervenção,
observando que essa foi realizada utilizando como recurso o software ClicMat que
não estava previsto no Guia.
Relativamente à essas situações, condições e intervenções realizadas
observamos que os resultados permitem concluir que é preciso estar atento para as
dificuldades de alguns alunos para utilizar os esquemas das
estruturas
multiplicativas, pois eles transferem os esquemas disponíveis em relação à estrutura
aditiva para as multiplicativas.
Observamos ainda que alguns alunos parecem se sentirem mais seguros
quando trabalham inicialmente com as representações gráficas associadas às
estruturas multiplicativas antes de passarem ao algoritmo tanto da multiplicação
como da divisão e utilizam os esquemas de estruturas multiplicativas por meio do
algoritmo.
170
Quando se consideram as situações de combinação numérica, os alunos
evoluíram, acima de tudo, no tipo de argumentação utilizada, por exemplo:
Esta mudança pode estar associada ao trabalho realizado na fase de
intervenção e na continuidade do trabalho da professora ao usar os resultados
dessa experiência e o Guia do Programa Ler e Escrever. Observamos que a própria
professora expõe que alguns alunos se tornaram capazes de justificar e argumentar,
de forma correta, coerente e aceitável após esse trabalho.
Podemos afirmar que os alunos com ritmos diferentes de aprendizagem
melhoram sua competência para situações que envolvem a estrutura multiplicativa.
Isso significa dizer que o professor, estando atento a estas diferenças e sabendo
como lidar com a situação de aprendizagem, pode ajudar os alunos a progredirem
para níveis mais avançados.
Finalmente, podemos dizer que os alunos evoluíram, mas ainda é preciso
percorrer um longo percurso para que os mesmos dominem às estruturas
multiplicativas. Isso significa dizer que é necessário considerar um caminho longo,
visto que no panorama matemático das estruturas multiplicativas o seu campo
conceitual compreende a simples multiplicação ao complexo produto definido por
meio do estudo das álgebras.
Considerando que para o ensino fundamental ciclo I, o aluno deve
compreender apenas uma parte desse campo compreendendo a relação da
multiplicação com a divisão, reconhecendo essas operações como outra;
171
percebendo e utilizando as regularidades, as relações e as propriedades dessas
operações
na
resolução
de
problemas
e
situações
sobre
as
estruturas
multiplicativas.
A seguir faremos as análises dos tipos de cálculos que os alunos
apresentaram durante a pesquisa, utilizamos os tipos de cálculo sugerido por
Vergnaud e que foram discutidos anteriormente.
6.2. ANÁLISE DOS TIPOS DE CÁLCULOS APRESENTADO PELOS ALUNOS
Como já apresentado no referencial teórico Vergnaud (1998, p. 173)
identifica quatro definições de um esquema:

Metas (objetivos) e antecipações, pois um esquema está orientado sempre à
resolução de uma determinada classe de situações.

Regras de ação, busca por informações e controle, que são os elementos
que dirigem a sequência de ações do sujeito;

Invariantes operatórios (teoremas-em-ação e conceitos-em-ação) que dirigem
o reconhecimento, por parte do indivíduo, dos elementos pertinentes à
situação e, portanto, guiam a construção dos modelos mentais;

Possibilidades de inferência (ou raciocínios), que permitem determinar as
regras e antecipações a partir das informações e dos invariantes operatórios
dos quais dispõe o sujeito.
Dessas definições, os invariantes operatórios são teoremas-em-ação e
conceitos-em-ação que constituem a base conceitual implícita que permitem obter a
informação associada à situação e, a partir dela alcançar o objetivo que é inferir
utilizando as regras de ações pertinentes (VERGNAUD, 1996b, p. 201).
Observamos ainda que Vergnaud ressalta a existência de uma relação dialética
entre esses dois conceitos o que não permite separá-los, mas são ferramentas
importantes para a análise de uma situação.
Lembrando que o esquema é um referente do conhecimento do sujeito e a
situação é a circunstância e o contexto em que o objeto a ele se apresenta. Além
disso, na formação de conceitos, o esquema é a unidade de análise que adotamos
para observar a organização das ações relacionadas com uma situação, um
instrumento, um problema ou uma interação social. Portanto, são nos esquemas
172
que pesquisamos o conhecimento em ação do sujeito (os conceito em ação e os
teorema em ação), uma vez que são por eles que podemos encontrar os elementos
que fazem com que a ação do sujeito seja operatória. Para Vergnaud, a
aprendizagem se dá por meio da interação esquema-situação.
Essa análise permite comparar a qualidade dos diferentes esquemas que
favorecem o invariante específico de um determinado conceito.
Para melhor compreensão das análises é importante a codificação das
ações como primeira etapa desse processo. Com a codificação com base nos dados
coletados, realizamos as análises subsequentes de desenvolvimento dos esquemas
em ação baseados no cálculo relacional (teorema em ação e conceito em ação), ao
cognitivo do aluno (tipos de representação) e cálculo numérico (cálculo mental e os
algoritmos), com vista ao avanço nas aprendizagens, como mostramos por meio das
análises apresentadas acima.
A análise do desenvolvimento dos tipos de cálculo nos ajuda a acompanhar
a aprendizagem, para isso analisamos e fizemos a codificação por meio de várias
tentativas observando a resolução de cada problema com um conjunto de
esquemas, podemos assim sistematizar as diferentes formas de resolução para
compará-las e produzir um quadro de análise sobre o desenvolvimento dos
esquemas e da aprendizagem.
As transformações dos esquemas são percebidas por modificações nos
aspectos relativos à função dos tipos de cálculos, considerando suas propriedades,
sua composição ou ainda das regras de utilização dos mesmos. A evolução da
aprendizagem, por exemplo, em relação às estruturas multiplicativas, ocorre
mediante a análise dos invariantes que são mobilizados em cada uma das tentativas
de ação sobre o conceito e significado dado pelo aluno.
Vergnaud (1991) defende que a ampliação da perspectiva conceitual de uma
criança exige a competência para a realização do cálculo relacional que a capacita
para a escolha da operação adequada ao que o problema propõe e para a realização
do cálculo numérico correspondente.
Vergnaud faz uma diferenciação entre o
cálculo numérico e o cálculo relacional, como diferentes competências para a
resolução de problemas e operações. Os cálculos numéricos são as resoluções na
forma de algoritmos ou cálculo mental e os cálculos relacionais envolvem operações
173
de pensamento necessárias para compreender as relações envolvidas nas
operações.
Algumas competências consideradas importantes para os alunos das séries
iniciais em relação ao princípio multiplicativo da contagem podem ser trabalhadas
com a idéia de possibilidades, proporcionalidade com base em informações
qualitativas e quantitativas investigando as chances como percurso para solucionar
problemas que para eles ainda não são triviais.
Dessa forma, para completar as análises apresentadas acima consideramos
o quadro abaixo onde resumimos e descrevemos como diversas tentativas de
resolução foram sistematizadas e codificadas, ou seja, os diferentes esquemas
encontrados para esse grupo de alunos.
Tabela 20 – Codificação dos tipos de cálculos (relacional, cognitivo e numérico)
QUADRO DAS CATEGORIAS DE ANÁLISE
EM RELAÇÃO AO “CÁLCULO RELACIONAL”
TEOREMA EM AÇÃO
CONCEITO EM AÇÃO
T V: Teorema em ação –
FP: Conceito em ação – PERTINENTE
VERDADEIRO
T F: Teorema em ação – FALSO
FN: Conceito em ação – NÃO
PERTINENTE
EM RELAÇÃO AO “COGNITIVO DO ALUNO”
TEOREMA EM AÇÃO
CONCEITO EM AÇÃO
R: representação por figura
R: representação por figura
B: usa a estratégia de
B: usa a estratégia de correspondência
correspondência termo a termo
termo a termo (bijeção) - automaticidade
(bijeção) - automaticidade
N: não faz uso da estratégia de
N: não faz uso da estratégia de
correspondência termo a termo
correspondência termo a termo
(cardinalidade) – decisão
(cardinalidade) – decisão consciente
consciente
EM RELAÇÃO AO “CÁLCULO NUMÉRICO”
TEOREMA EM AÇÃO
CONCEITO EM AÇÃO
C: cálculo mental
C: cálculo mental
A: algoritmo da adição
A: algoritmo da adição
S: algoritmo da subtração
S: algoritmo da subtração
M: algoritmo da multiplicação
M: algoritmo da multiplicação
D: algoritmo da divisão
D: algoritmo da divisão
Em relação às soluções apresentadas pelos alunos, destacamos para a
primeira situação proposta das sondagens inicial ou final, 6 tipos de esquemas em
ação que diferem conforme os códigos apresentados na tabela 20:
174
Análise do 1º problema sondagem inicial ou final
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVRNBC.
Protocolo
Descrição da categoria -
Observações
TVRNBC
Resposta CORRETA
Representação
Teorema em ação
como
verdadeiro e conceito em
encontrar
ação pertinente com
combinando
representação por figura,
com
não faz uso da estratégia
estratégia
de correspondência
para
termo a termo
problemas que envolvem
(cardinalidade) – decisão
a noção das estruturas
consciente, utiliza de
multiplicativas.
gráfica
suporte
as
a
para
solução,
cada
5
saia
camisas,
importante
solução
de
cálculo mental para
determinar a resposta.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNRB
Protocolo
Descrição da categoria -
Observações
TFFNRB
Resposta ERRADA
Hipótese comum entre as
Teorema em ação falso,
soluções encontradas,
Conceito em ação não
porém nos parece um
pertinente, representação processo de início de
por figura e usa a
superação da
estratégia de
correspondência termo a
correspondência termo a
termo, aceita trocar de
termo (bijeção)-
camisa pelo menos uma
automaticidade.
vez.
175
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNRNS.
Protocolo
Descrição da
Observações
categoria TFFNRNS
Resposta ERRADA.
Hipótese na
Teorema em ação
correspondência termo a
falso, conceito em
termo usando a
ação não pertinente,
estratégia dentro de um
representação por
contexto significativo
figuras, e com falsa
para o aluno que para
inferência por meio
resolver o problema se
do algoritmo de
desfaz do que acredita
subtração.
estar a mais.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNRA
Protocolo
Descrição da
Observações
categoria - TFFNRA
Reposta ERRADA
Essa solução pode
parecer próxima a
Teorema em ação
anterior. Nesses casos,
falso, conceito em
os alunos não usam as
ação não pertinente,
estratégias de
com falsa inferência
correspondência termo a
por meio do algoritmo
termo e nem de
da adição.
correspondência um a
muitos. Aparentemente
selecionam os dados do
problema e utilizam uma
operação conhecida.
176
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNR.
Protocolo
Descrição da categoria
Observações
– TFFNR
Resposta ERRADA
Essa solução parece indicar
que o aluno fez uma relação
Teorema em ação
com o contexto (clima). Não
falso, conceito em
generaliza e usa o recurso de
ação não pertinente,
combinação de forma limitada
falsa inferência
sem o raciocínio probabilístico
apoiada num contexto
ou pela indicação das
significativo e ingênuo
possíveis formas de
para fazer as
organização dos dados, mas
combinações.
estrutura a resposta em língua
natural.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFCAFIAS.
Protocolo
Descrição da categoria
Observações
– TFCAFIAS
Resposta ERRADA
Não utiliza a estratégia de
correspondência termo a termo,
Teorema em ação falso,
seleciona os dados do problema
conceito em ação não
e atribui uma operação
pertinente, com falsa
conhecida, nesse caso uma
inferência por meio do
subtração. Esse algoritmo parece
algoritmo de subtração.
ser utilizado para justificar a
correspondência termo a termo.
Para as soluções apresentadas pelos alunos na segunda situação das
sondagens inicial e final encontramos 11 categorias de respostas apresentadas
abaixo:
177
Análise do 2º problema sondagem inicial ou final
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPCM.
Protocolo – 1
Descrição da categoria –
Observações
TVFPCM
Resposta CORRETA
Nessa solução sendo os
valores informados no
Teorema em ação
problema: a variável
verdadeiro, conceito em
(estado inicial) 8 e o valor
ação pertinente, faz
fixo 56 (total). Para a
inferência utilizando o
busca do 7 (estado final) o
algoritmo da multiplicação
aluno utiliza o cálculo
e encontra a solução por
mental e para verificação
meio do cálculo mental. .
do resultado por meio do
algoritmo da multiplicação.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPD.
Protocolo - 2
Descrição da categoria –
Observações
TVFPD
Resposta CORRETA
Aplicação direta do
algoritmo utilizando as
Teorema em ação
informações apresentadas
verdadeiro, conceito em
explicitamente na situação
ação pertinente, inferência
problema. Podemos supor
por meio do cálculo
que esse aluno já dispõe
numérico utilizando o
da noção de estrutura
algoritmo da divisão.
multiplicativa.
178
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNNA.
Protocolo – 3
Descrição da categoria –
Observações
TFFNNA
Resposta ERRADA
O aluno parece dispor do
algoritmo da adição
Teorema em ação falso,
aplicando o mesmo
conceito em ação não
quando não é adequado
pertinente, com falsa
para a situação. Dessa
inferência por meio do
forma, podemos supor que
algoritmo da adição.
somente a estrutura aditiva
é operatória para esse
aluno.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNNS.
Protocolo - 4
Descrição da categoria -
Observações
TFFNNS
Resposta ERRADA.
A solução apresentada
utiliza como recurso um
Teorema em ação falso,
algoritmo conhecido, neste
conceito em ação não
caso a subtração. Nesse
pertinente, representação
caso, também podemos
por meio do cálculo
supor que somente a
numérico, com falsa
estrutura aditiva é
inferência utilizando o
operatória para esse aluno.
algoritmo da subtração.
179
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPRB.
Protocolo - 5
Descrição da
Observações
categoria - TVFPRB
Resposta CORRETA A representação utilizada
Teorema em ação
pelo aluno permitiu
verdadeiro, conceito
solucionar a situação
em ação pertinente,
proposta. Após a distribuição
com representação
por meio de agrupamentos, o
por figura, fazendo
aluno recorre ao cálculo por
uso da estratégia de
contagem para determinar a
correspondência
solução. Nesse caso,
termo a termo.
podemos considerar que o
aluno não operacionaliza o
algoritmo da multiplicação.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPRB.
Protocolo – 6
Descrição da categoria - Observações
TVFPRB
Resposta ERRADA
Na representação apresentada, o
aluno soluciona a situação proposta
Teorema em ação
por meio de contagem e distribuição
verdadeiro, conceito em
de 8 em 8, possivelmente se perdeu
ação pertinente, com
na contagem faltando 1 fileira para
representação por
encontrar a resposta correta.
figura, fazendo uso da
Podemos considerar que o aluno não
estratégia de
dispõe do cálculo por contagem.
correspondência termo
Nesse caso, também podemos
a termo.
considerar que esse aluno não
operacionaliza o algoritmo da
multiplicação.
180
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNM.
Protocolo - 7
Descrição da categoria - Observações
TFFNM
Resposta ERRADA
O aluno para resolver essa
situação retira os dados
Teorema em ação falso,
numéricos do contexto do
conceito em ação não
problema e utiliza o algoritmo
pertinente, inferência
da multiplicação como recurso
por meio do cálculo
operacional para encontrar
numérico utilizando o
uma solução.
algoritmo da
Apesar de usar um algoritmo
multiplicação.
associado à noção de
estrutura multiplicativa
podemos considerar que o
mesmo não é operacional para
esse aluno.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVCPCMA.
Protocolo - 8
Descrição da categoria –
Observações
TVCPCMA
Resposta CORRETA
Teorema em ação
verdadeiro, conceito em
ação pertinente, faz
cálculos numéricos por
meio do cálculo mental e
inferência utilizando os
algoritmos da adição e da
multiplicação.
Nessa solução observamos
que para encontrar o 12 que
não é uma informação
explicita no contexto da
situação, o aluno utiliza o
cálculo mental decompondo
84 e em seguida,
provavelmente ele verificar
que existem 7 vezes o 10 em
80 e sobram 10 que somados
com 4 resultam 14 que
correspondem a 2 vezes 7 e
que portanto resultam 12
vezes 7 em 84.
Nesse caso, podemos
considerar que o aluno dispõe
tanto da estrutura aditiva como
da multiplicativa.
181
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPRBM.
Protocolo - 9
Descrição da categoria -
Observações
TVFPRBM
Resposta ERRADA
Nesse protocolo
Teorema em ação
observamos que o
verdadeiro, conceito em
aluno usa primeiro uma
ação pertinente,
representação por figura
representação por figura,
e encontra a resposta
usa a estratégia de
correta, para validar sua
correspondência termo a
resposta utiliza o
termo e faz inferência
algoritmo da divisão que
por meio do cálculo
ainda não é operatório.
numérico utilizando o
algoritmo da divisão.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPRB
Protocolo – 10
Descrição da categoria
Observações
- TVFPRB
Resposta CORRETA
Nessa abordagem
observamos que o aluno
Teorema em ação
utilizou a representação por
verdadeiro, conceito
desenho e em seguida fez o
em ação pertinente,
cálculo por contagem
representação por
encontrando as 12 colunas.
figura, usa a estratégia
Sua configuração não
de correspondência
corresponde a forma usual
termo a termo.
de dispor cadeiras em
colunas, isto é, linhas na
vertical e colunas na
horizontal.
182
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPCPBA.
Protocolo – 11
Descrição da categoria -
Observações
TVFPCPBA
Resposta ERRADA
O aluno faz a
distribuição do valor
Teorema em ação
fixo de 7 em 7, mas
verdadeiro, conceito em
erra na adição. Essa
ação pertinente, usa a
representação parece
estratégia de
demonstrar que o
correspondência termo a
aluno dispõe da
termo e faz inferência por
estrutura aditiva,
meio do cálculo numérico
mesmo cometendo um
usando o algoritmo da
erro quando antecipa
adição.
na segunda linha.
Análise do 3º problema sondagem inicial ou final
Em relação às soluções apresentadas pelos alunos para esses problemas
apresentamos para as diferentes estratégias que aparecem nas sondagens inicial ou
final, e que correspondem a 6 tipos de esquemas em ação que diferem conforme os
códigos apresentados na tabela 20:
183
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPA.
Protocolo – 1
Descrição da
Observações
categoria - TVFPA
Resposta CORRETA Nessa solução o aluno agrupa
os valores, e demonstra
Teorema em ação
compreender que o 4 está 4
verdadeiro, conceito
vezes no 16, pois calcula o
em ação pertinente,
preço de 8 moças e em
inferência por meio
seguida de 16 maças.
do cálculo numérico
Nesse caso, observamos que
utilizando o algoritmo
o aluno operacionaliza a
da adição.
estrutura aditiva, mas não usa
recursos da estrutura
multiplicativa.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPCM.
Protocolo – 2
Descrição da
Observações
categoria - TVFPCM
Resposta
O aluno expressa a solução com
CORRETA
o recurso direto da multiplicação
demonstrando ter compreendido
Teorema em ação
a relação 4 para 16, quando
verdadeiro, conceito
escolhe o 4 para multiplicar por
em ação pertinente,
2,50. Dessa forma, o aluno
cálculo numérico, por
demonstra ter noções das idéias
meio cálculo mental
que envolvem as estruturas
e inferência
multiplicativas tendo como
utilizando o algoritmo
operatório o algoritmo da
da multiplicação.
multiplicação.
184
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPA.
Protocolo – 3
Descrição da
Observações
categoria - TVFPA
Resposta CORRETA Nesse caso, o aluno
adicionou quantos pacotes
Teorema em ação
eram necessários para
verdadeiro, conceito
completar o valor total. O
em ação pertinente,
diferencial desse protocolo
cálculo numérico,
está na descrição da
inferência por meio
solução quando parece ter
do algoritmo da
dividido mentalmente duas
adição.
vezes por dois e
controlado o resultado por
meio da adição. Apesar de
parecer demonstrar ter
recorrido a estrutura
multiplicativa para resolver
a situação, o aluno recorre
a estrutura aditiva para
controlar o resultado, o
que pode ser considerado
como um domínio das
duas estruturas.
185
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNRA.
Protocolo – 4
Descrição da
Observações
categoria - TFFNRA
Resposta ERRADA
A solução é apresentada
por meio de uma
Teorema em ação
representação que não é
falso, conceito em
levada em conta. Em
ação não pertinente,
seguida, o aluno recorre
representação por
ao algoritmo da adição,
desenho, cálculo
mas utiliza os valores
numérico, inferência
dados no problema
por meio do algoritmo demonstrando não
da adição.
compreender o sistema
de numeração decimal e
não diferencia as
grandezas dadas na
situação.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNNA.
Protocolo – 5
Descrição da categoria
Observações
- TFFNNA
Resposta ERRADA
Nesse caso, o aluno utiliza
indevidamente o algoritmo
Teorema em ação
da adição mostrando não
falso, conceito em
dispor da noção de
ação não pertinente,
grandezas.
com inferência falsa
por meio do algoritmo
da adição.
186
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPRBM.
Protocolo – 6
Descrição da categoria -
Observações
TVFPRBM
Resposta CORRETA
Nesse protocolo
Teorema em ação
observamos que o
verdadeiro, conceito em
aluno usa primeiro o
ação pertinente,
algoritmo da
representação por figura,
multiplicação, no
usa a estratégia de
entanto para
correspondência termo a
controlar o resultado
termo e faz inferência por
utiliza a
meio do cálculo numérico
representação por
utilizando o algoritmo da
figura, contagem e
multiplicação.
agrupamentos
cumulativos.
Análise do 4º problema sondagem inicial ou final
Em relação às soluções apresentadas pelos alunos para a quarta situação
proposta nas sondagens inicial ou final encontramos 6 tipos de esquemas em ação
que diferem segundo os códigos da tabela 20:
187
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPA.
Protocolo – 1
Descrição da categoria
Observações
- TVFPA
Resposta CORRETA
Nesse protocolo
confirmamos o que
Teorema em ação
afirma Vergnaud, que o
verdadeiro, conceito
aluno entre 8 e 10 anos
em ação pertinente,
compreende que o triplo
cálculo numérico,
significa 3 vezes. Logo
inferência por meio do
esse foi o cálculo
algoritmo da adição.
utilizado quando ele
adiciona o 35 (valor
inicial) três vezes.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPCM.
Protocolo – 2
Descrição da categoria -
Observações
TVFPCM
Resposta CORRETA
A diferença entre esse
protocolo e o anterior é
Teorema em ação
que além do aluno
verdadeiro, conceito em
compreender que o
ação pertinente, cálculo
triplo significa 3 vezes,
numérico por meio do
ele já utiliza o algoritmo
cálculo mental e inferência
da multiplicação para
utilizando o algoritmo da
resolver a situação, ou
multiplicação.
seja, ele operacionaliza
esse algoritmo.
188
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNNS.
Protocolo – 3
Descrição da
Observações
categoria - TFFNNS
Resposta ERRADA.
A solução é apresentada por
meio do algoritmo da subtração,
Teorema em ação
que é disponível e possibilita
falso, conceito em
encontrar uma solução, mesmo
ação não pertinente,
que errada, utilizando os dados
representação por
da situação.
cálculo numérico com Observamos que o termo triplo
falsa inferência
faz parte dos conhecimentos
utilizando o algoritmo
disponíveis para esse aluno,
da subtração.
mesmo se ele não é capaz de
utilizar corretamente essa
noção.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNNA.
Protocolo – 4
Descrição da
Observações
categoria - TFFNNA
Resposta ERRADA
A solução é apresentada por
meio do algoritmo da adição, que
Teorema em ação
é disponível e possibilita
falso, conceito em
encontrar uma solução, mesmo
ação não pertinente,
que errada, utilizando os dados
com falsa inferência
da situação.
por meio do algoritmo Observamos que o termo triplo
faz parte dos conhecimentos
da adição.
disponíveis para esse aluno,
mesmo se ele não é capaz de
utilizar corretamente essa noção
como no caso acima.
189
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TVFPCM.
Protocolo – 5
Descrição da categoria - Observações
TVFPCM
Resposta CORRETA
Nesse protocolo podemos
observar que o aluno não tem
Teorema em ação
disponível a técnica operatória
verdadeiro, conceito em
para o algoritmo da
ação pertinente, faz
multiplicação, inicia a
cálculo numérico por
apresentação do produto da
meio do cálculo mental
esquerda para a direita. Esse
e inferência utilizando o
aluno apresenta dificuldades
algoritmo da adição e
com o sistema de numeração
em seguida o algoritmo
decimal e parece identificar o
da multiplicação.
zero a nada o que pode ter
induzido o mesmo a substituir o
zero pelo 1.
A operação de adição
disponível, mas a multiplicação
ainda não é operacional.
Quadro com as descrições das categorias e as observações de um protocolo do
aluno, para a categoria TFFNCA.
Protocolo – 6
Descrição da categoria
Observações
– TFFNCA
Resposta ERRADA
Nesse protocolo observamos
que esse aluno sabe que o
Teorema em ação falso,
triplo significa três vezes.
conceito em ação não
Primeiro ele erra ao adicionar o
pertinente, com falsa
35 ao 35 encontrando o 65 o
inferência por meio do
que conduz a um resultado final
algoritmo da adição.
errado. Observamos assim que
o aluno não dispõe do algoritmo
da adição.
190
As análises dos protocolos acima permitiram identificar os esquemas
utilizados pelos alunos que participaram da pesquisa e entre esses esquemas
identificamos apenas os casos (teorema em ação verdadeiro e conceito em ação
pertinente e teorema em ação falso e conceito em ação não pertinente), mesmo
quando o teorema em ação é verdadeiro e conceito em ação é pertinente foi
possível identificar resultados errados, o que representa um diferencial em relação
aos casos em que o teorema é falso e o conceito em ação não é pertinente.
Na sequência apresentamos as análises das dificuldades por categorias de
problemas que permitem visualizar melhor o desempenho geral do grupo
pesquisado.
6.3. ANÁLISE DAS DIFICULDADES POR CATEGORIAS DE PROBLEMAS
Apresentamos abaixo as tabelas e os gráficos comparativos entre as
questões por tipo de situação segundo as categorias consideradas nesse trabalho
para estrutura multiplicativa, ou seja, combinatória, configuração retangular,
proporcionalidade e comparação, que correspondem às categorias apresentadas no
Guia do Programa Ler e Escrever.
As análises dessas situações foram elaboradas em relação às dificuldades
para cada tipo de resolução apresentada pelos alunos participantes da pesquisa
segundo os domínios dos conceitos por eles apresentados.
A primeira tabela refere-se à sondagem inicial compreendendo a quantidade
de participantes, a utilização de teorema válido para a situação proposta e a
porcentagem de alunos que resolveram as situações.
191
Tabela 21 – Compreensão dos conceitos de estruturas multiplicativas sondagem inicial
Compreensão dos conceitos de Estruturas Multiplicativas
Quantidade de
Alunos
Categoria
"Programa Ler e
Escrever"
30
Esquema
válido
Esquema não
válido
Porcentagem
Esquema
válido
Porcentagem
Esquema não
valido
Combinatória
Configuração
Retangular
1
29
3,3
96,7
2
28
6,7
93,3
Proporcionalidade
11
19
36,7
63,3
Comparação
12
18
40,0
60,0
A seguir apresentamos o gráfico baseado na tabela acima que se refere a
sondagem inicial e que representa a compreensão dos conceitos de Estruturas
Multiplicativas, segundo a utilização de teoremas válidos e as categorias do Guia do
Programa Ler e Escrever.
Figura 16 – Compreensão dos conceitos de estruturas multiplicativas sondagem inicial
O gráfico facilita a visualização das categorias que correspondem a uma
melhor performance para o grupo de alunos que participaram da pesquisa.
192
Abaixo apresentamos a segunda tabela que se refere à sondagem final,
observando também a utilização de teorema válido para a situação proposta e a
porcentagem de alunos que resolveram as situações.
Tabela 22 – Compreensão dos conceitos de estruturas multiplicativas sondagem final
Compreensão dos conceitos de Estruturas Multiplicativas
Total de Alunos
participantes
Categoria
"Programa Ler e
Escrever"
30
Esquema
válido
Esquema não
válido
Porcentagem
de esquemas
válidos
Porcentagem
esquemas de válidos
43,3
Combinatória
Configuração
Retangular
17
13
56,7
12
18
40,0
Proporcionalidade
8
22
26,7
73,3
Comparação
15
15
50,0
50,0
60,0
Como observamos acima, a tabela apresenta os resultados das resoluções
das situações da quarta fase em relação a cada categoria de problemas de estrutura
multiplicativa. Essa comparação está destacada abaixo por meio do gráfico de barra
que permite visualizar mais rapidamente a evolução dos esquemas em ação das
crianças investigadas em relação às estruturas multiplicativas.
Figura 17 – Compreensão dos conceitos de estruturas multiplicativas sondagem final
193
Comparando tabelas e gráficos podemos notar que o recurso da sondagem
inicial e a sondagem final nos permitiram observar que houve avanço na
compreensão das estruturas multiplicativas, em particular, no desenvolvimento dos
esquemas associados às categorias combinatórias, configuração retangular e
comparação. Esse resultado está associado ao trabalho realizado com os alunos
que privilegiou as situações incluindo essas categorias. A dificuldade que pode ter
influenciado
a
uma
performance
mais
baixa
em
relação
à
categoria
proporcionalidade pode estar associada a situação proposta na sondagem final que
considerava um valor de partida diferente da unidade e que dessa forma necessitava
de mais de uma operação.
Observamos que para a categoria combinatória os resultados entre a
sondagem inicial e final são bastante diferentes. Na primeira sondagem vemos na
tabela que apenas 3,3% dos alunos conseguiram desenvolver o conceito que
representa a situação proposta, e que o único caso de elaboração de um teorema
válido tratava-se de um cálculo relacional onde o aluno não utilizou o recurso do
algoritmo, nesse caso, ele indicou apenas as possibilidades. Na sondagem final 60%
dos alunos trabalharam utilizando esse esquemas, alguns deles recorrem ao
algoritmo da multiplicação para resolver a situação.
Conforme os resultados descritos acima, podemos afirmar que os alunos
ampliaram seus conhecimentos e são capazes de organizar as possíveis
combinações, o que corresponde à utilização do esquema correspondência um a
muitos e que possibilita e desenvolver a noção de várias possibilidades. Eles
apresentaram esquemas mais elaborados para representar essa situação na
sondagem final.
Para a categoria configuração retangular, na primeira sondagem apenas
6,7% dos alunos usaram um teorema em ação válido para a solução do problema e
na sondagem final observamos uma melhorar considerável, pois 43,3% dos alunos
utilizam um teorema em ação válido seja por meio de representações figurais ou dos
algoritmos da adição e/ou da multiplicação e da divisão.
Para a categoria proporcionalidade os alunos tiveram um número maior de
acerto na sondagem inicial, passando de 36,7% para 26,7%. Porém observamos
que para a sondagem inicial bastava considerar a adição de parcelas iguais, o que
pode ter facilitado a utilização de um conceito pertinente e que já podia ser
194
considerado operatório para alguns alunos. Devemos considerar a mudança
efetuada na situação proposta na sondagem final que pode ter dificultado a
resolução, pois para essa situação a adição de parcelas iguais só era válida quando
se considera a proporção entre o número de pacotes do valor inicial e os
correspondentes para determinar o valor final.
Em relação à categoria comparação obtivemos um resultado de 40% na
sondagem inicial para teoremas em ação válidos e conceitos em ação pertinentes,
destacando que, a maioria das representações para esse teste corresponde a
adição de parcelas iguais. Na sondagem final, o resultado é de 53% de respostas
com esquemas válidos, sendo que a maioria utiliza o algoritmo da multiplicação, que
corresponde a um avanço em relação ao tratamento do mesmo tipo de situação na
sondagem inicial. Acreditamos que se trata de um avanço significativo considerando
que esses alunos teriam ainda um semestre para explorar as estruturas
multiplicativas.
Assim, podemos considerar que os problemas de estruturas multiplicativas
exigem que os alunos desenvolvam vários esquemas para dispor de conhecimentos
associados às estruturas multiplicativas, tornando-se assim competentes para
resolver situações que dependem desses conhecimentos.
Além disso, como destacamos anteriormente o domínio numérico e das
grandezas são conhecimentos necessários para a compreensão dos diferentes
contextos e das aplicações relacionadas à estrutura multiplicativa.
Observamos ainda que para desenvolver a compreensão do raciocínio
multiplicativo, que envolve a multiplicação e a divisão e envolve muito mais
exploração de diferentes contextos e pressupõem situações relacionadas com esses
contextos, que permitem construir esquemas próprios para sua solução antes de
adquirirem o esquema operacional representado pelos algoritmos da multiplicação e
divisão.
Acompanhar os alunos no desenvolvimento de situações que permitem
utilizar seus próprios esquemas, nos permite concluir que é preciso explorar
situações associadas à capacidade de fazer análises conscientes das relações entre
grandezas, valores numéricos e técnicas operatórias que possibilitam a explicitação
por meio de argumentos e explicações sobre a estrutura multiplicativa.
195
Além disso, fica evidente a dificuldade encontrada pelos alunos que
participaram da pesquisa em relação à proporcionalidade que segundo Spinillo
(2003, apud Costa, 2007 p.9) corresponde a uma das tarefas mais difíceis para as
crianças, pois conforme a autora, para compreender a natureza multiplicativa das
situações proporcionais é preciso alguma maturidade matemática que possibilite
diferenciar adição e multiplicação e identificar os contextos em que cada uma destas
operações pode ser aplicada.
Segundo a autora o exemplo a seguir revela sinais de pensamento
proporcional.
é comum que algumas crianças acreditem que um jarro com 4
copos de sumo concentrado e 2 copos de água tem um sabor mais
forte que um jarro com 2 copos de sumo concentrado e 1 de água.
No entanto, quando a criança percebe que o sabor é o mesmo
começa a revelar sinais de pensamento proporcional. (SPINILLO,
2003, apud Costa, 2007 p. 9).
No entanto notamos que de maneira geral os alunos participantes da
pesquisa estão suficientemente preparados para trabalhar e explorar as quatro
categorias de situações propostas na pesquisa.
Com o levantamento dos esquemas apresentados pelos alunos seguidos
das observações e comentários e do resumo final dos resultados que descrevem a
situação dos alunos que participaram da pesquisa, consideramos a seguir nossas
considerações finais e perspectivas futuras, lembrando que o objetivo da pesquisa é
investigar o impacto do ensino das estruturas multiplicativas por meio de situações
problemas proposto no Guia do Programa Ler e Escrever na terceira série do ensino
fundamental.
196
CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS
O objetivo deste trabalho de pesquisa foi a realização de um estudo
diagnóstico das estruturas multiplicativas nas séries iniciais da Educação Básica a
partir do Programa Ler e Escrever da Secretaria de Educação do Estado de São
Paulo. A questão de pesquisa que norteou o trabalho foi: “O plano de ensino
baseado no Guia de Planejamento do Programa Ler e Escrever é um recurso
suficiente para auxiliar o professor a desenvolver o processo de ensino e
aprendizagem da estrutura multiplicativa?”
Foi escolhido como referencial teórico a teoria dos campos conceituais de
Gerárd Vergnaud porque ele permite identificar o campo conceitual de conceitos
matemáticos e em particular existe todo um estudo na literatura sobre a introdução
das operações aritméticas na séries iniciais. Além disso, o Programa Ler e Escrever
foi desenvolvido considerando esta teoria e levando em conta explicitamente suas
definições e formas de análise assim como os resultados de pesquisas já efetuadas.
Ao longo de nosso estudo retivemos ainda as categorias das estruturas
multiplicativas para o ensino e aprendizagem do campo conceitual das estruturas
multiplicativas constantes do guia do Programa Ler e Escrever e das pesquisas
utilizadas para a construção desse programa, para o caso particular da 3ª série – 4º
ano do Ensino fundamental Ciclo I. As análises efetuadas deixaram evidente que
manter as categorias do Guia foi uma escolha importante, que auxiliou na
elaboração da intervenção pelo qual passou o grupo de alunos que participaram da
pesquisa. Mas, foi necessário pesquisar materiais exteriores ao Guia para melhor
compreender o desenvolvimento do processo e aprendizagem do aluno para o
cálculo, em particular, quando se trata de resolver problemas sobre estruturas
multiplicativas.
Ressaltamos, entre as pesquisas utilizadas nesse estudo, a classificação
das situações das estruturas multiplicativas do trabalho de Nunes, Schliemann e
Carraher (1993), que auxiliaram na compreensão dos esquemas utilizados pelos
alunos, apresentado no capitulo 2, a saber: os esquemas que envolvem as
197
estruturas multiplicativas tais como a correspondência-um-a-muitos, situações de
produto cartesiano, relação entre as variáveis, co-variação e distribuição. Essas
categorias permitiram analisar situações que envolveram problemas que podem ser
resolvidos de diferentes formas, seja diretamente por uma multiplicação ou por
proporcionalidade de aquisição ou preço de objetos ou por comparações múltiplas.
Existem ainda situações que exigem que os alunos passem por diferentes estágios
intermediários, mas que segundo os pesquisadores é importante que essas
situações sejam contextualizadas e significativas para os alunos, com o qual
concordamos.
Dessa forma, nos interessou comparar ainda como o campo conceitual das
estruturas multiplicativas é apresentado nos Parâmetros Curriculares Nacionais e
nos Guias de Orientação do Programa Ler e Escrever, cerne de nossa pesquisa.
Para isso, investigamos por meio de aplicação da sondagem inicial e final,
instrumentos construídos com as questões propostas no próprio programa, o que
nos permitiu analisar e concluir que esse material de apoio está de acordo com as
teorias que envolvem o campo conceitual das estruturas multiplicativas.
Verificamos
também
que
mesmo
esses
documentos
estando
em
consonância com as teorias neles anunciadas, e que essa forma de trabalho venha
sendo amplamente divulgada e explorada, em especial, por meio dessas novas
orientações da SEESP, existe ainda um enorme caminho a percorrer. Isso porque o
trabalho com os alunos mostra a necessidade de um tempo maior para que os
mesmos possam se apropriar dos diferentes esquemas que compõem as estruturas
multiplicativas.
Apesar de considerarmos as orientações adequadas, observamos que
talvez seja necessário que o professor tenha uma formação continuada sobre essas
teorias, e até mesmo em relação a utilização do Guia do Programa. Constatamos
que essas teorias envolvem conceitos simples e delicados, desde observar o nível
da representação da criança frente a uma situação que utiliza os esquemas para
resolver problemas de estrutura multiplicativa aos tipos de cálculo que esses
empregam como esquemas para essas soluções.
198
Podemos dizer ainda que o nível de conhecimento das crianças em relação às
estruturas multiplicativas não foi a esperada inicialmente. No entanto, elas
avançaram na aprendizagem de alguns esquemas associados a esse campo
conceitual considerando o material por elas desenvolvidos e por nós analisados e
apresentados em capítulos anteriores por meio de tabelas, gráficos, comentários e
análise comparativa das produções dos alunos.
Durante a resolução das situações que lhe são propostas, os alunos podem
cometer muitos erros. Eles podem produzir cálculos matemáticos inválidos como
agrupamento de níveis diferentes, que os ajuda a encontrar uma resposta. Para
melhor compreender a evolução dos alunos do grupo analisado, comparamos por
meio de gráficos os resultados dos procedimentos diferentes utilizados para um
mesmo tipo de situação, ou seja, as da sondagem inicial e da final. Observamos que
para a solução das situações desses dois testes foi preciso utilizar os mesmo
esquemas, isto é, as questões eram as mesmas em relação ao esquema necessário
para a sua solução.
Para as diferentes fases dessa pesquisa cujos protocolos da sondagem inicial
e da final foram analisados junto com a professora, permitindo assim que os
resultados servissem para responder nossa questão inicial, mas também servindo
para a professora utilizar em sua classe, discutimos outras estratégias para o
trabalho com essas estruturas e identificamos as dificuldades de cada aluno, o que
auxiliou o professor a propor novas intervenções de forma que seus alunos
pudessem avançar no aprendizado das estruturas multiplicativas. É preciso registrar
que entre as sondagens inicial e final, a professora ensinou o conteúdo multiplicação
aos seus alunos, seguindo o Guia.
A análise do “Programa Ler e Escrever”, feita a partir deste estudo, aponta
uma preocupação em trabalhar situações problemas levando em conta os diferentes
esquemas de ação que constituem o campo conceitual que envolve a estrutura
multiplicativa. Comparando a proposta do Programa com os Parâmetros Curriculares
Nacionais para o ensino das noções associadas as estrutura multiplicativa para o
199
Ciclo I do Ensino Fundamental, constatamos que o primeiro foi construído a partir
das propostas dos Parâmetros.
Quanto as regularidades e diferenças encontradas nesses documentos
identificamos:
Regularidades - o material utilizado proposto tanto em âmbito nacional como
estadual é coerente, no Guia Curricular da 1ª série não existe nenhuma orientação
sobre a alfabetização Matemática, o que não esta de acordo com suas expectativas
de aprendizagem por série. Existe uma estrutura de formação em ciclo partindo dos
órgãos centrais para as Diretorias e para as escolas por meio de seus Professores
Coordenadores, este último previsto nos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Diferenças - Os PCN"s prevê o conteúdo de Matemática desde a primeira
série, na Proposta do Programa Ler e Escrever nada se indica para a primeira série
em relação à Matemática.
A Prefeitura de São Paulo, assim como orienta os PCN"s aderiu ao uso das
TIC's no Programa Ler e Escrever iniciado nessa rede. Isso difere do Programa
estadual onde não se incentiva essa prática para a modalidade de ensino e etapa
escolar do que
trata essa pesquisa. No entanto, vale ressaltar que o uso do
computador na intervenção, não previsto no Programa Ler e Escrever na Rede
Pública Estadual, parece ter potencializado os resultados positivos obtidos para
esta amostra.
Observamos ainda que o Programa Ler e Escrever prevê a introdução ao
cálculo mental, estimativa, algoritmos e ao desenvolvimento de estratégias para
resolução de problemas relativos à operação de multiplicação. As situações
selecionadas do Guia do Programa Ler e Escrever, para este estudo, sugere uma
preocupação para que se desenvolva um trabalho com os alunos que correspondem
a extensão gradual do campo conceitual multiplicativo.
Para isso, é proposto que esse campo seja trabalhado nas diferentes séries,
numa perspectiva já apontada por Treffers e Buys (2001), isto é, as tarefas devem
200
girar em torno da multiplicação, construídas de modo a favorecer a compreensão de
conceitos e propriedades respeitando um conjunto de etapas que o aluno tem
necessariamente de cursar, procurando não eliminar nenhuma delas, sem a
preocupação de chegar de forma rápida à formalização.
É evidente, também, a preocupação com a formação dos professores. Nesse
sentido vale ressaltar algumas observações que podem potencializar o uso do
material, possibilitando que o professor trabalhe compreendendo e se apropriando
das novas formas de desenvolvimento desse campo conceitual. Essa formação é
garantida pelo estudo e planejamento do professor Coordenador para propor
reflexões sobre
a prática pedagógica e
as dificuldades encontradas na
aprendizagem e as possíveis intervenções para o avanço na aprendizagem e pelas
discussões entre os pares nas reuniões de HTPC.
Para tanto é importante o conhecimento de situações para as quais a adição
e subtração não são esquemas válidos para a resolução, isto é, que ultrapassam o
campo aditivo. Por outro lado, para alguns alunos, é necessário estabelecer o
significado e a técnica de multiplicação, depois de passar por esquemas que são
teoremas válidos para responder as situações propostas.
No Guia do Programa Ler e Escrever encontramos diferentes tipos de
problemas, que podem auxiliar os professores na escolha de situações adequadas
aos seus alunos em função das dificuldades que os mesmos apresentam durante o
processo de ensino e aprendizagem. Dessa forma, os professores podem ajudar
seus alunos a ampliar gradativamente seus conhecimentos sobre as estruturas
multiplicativas tornando-os capazes de identificá-las em diferentes situações e
propor soluções corretas a partir de seus próprios conhecimentos.
Para isso, a forma de tratamento das estruturas multiplicativas proposto por
Gérard Vergnaud é muito útil. Também é importante que a criança construa sua
"ação" e seja capaz de verbalizar com exemplos, com o uso da linguagem
matemática as propriedades da multiplicação, tais como, o fato de n não ser
distributivo sobre si mesmo. Observamos aqui, a importância do discurso oral em
201
matemática que deve ser incentivada desde as séries iniciais do ensino
fundamental, pois é explicitando suas idéias que os alunos podem apresentar suas
dificuldades e o professor auxiliá-los a ultrapassá-las.
O cálculo mental desempenha um papel crucial neste domínio. Consideramos
que em um ambiente digital, adequado às capacidades dos alunos, este pode ajudar
a compreender e explorar as propriedades das operações. Permite ainda trabalhar
com um número maior de situações em um curto espaço de tempo, facilitando a
variação de “pequenos problemas” que guiam o aluno fazendo com que o mesmo
enriqueça seus conhecimentos sobre a validade de campo de uma transição.
As técnicas computacionais aplicadas à multiplicação auxiliam também a
aprendizagem na escola elementar, mesmo que os alunos não dominem a técnica
ou a contagem. O incentivo ao uso de diferentes registros ao lado de cada etapa da
multiplicação, dando sentido a cada "mudança de linhas”, pode ser considerada.
O professor precisa escolher o ponto de partida, estabelecer as conexões
das organizações do conteúdo matemático com as organizações didáticas de forma
a articular conceitos inter-relacionadas, podendo recorrer às suas próprias
convicções acerca deste domínio do conhecimento humano e dos objetivos do
ensino. As conexões planejadas organizadas permitem relacionar o conceito de
multiplicação e divisão e dissociar as estruturas multiplicativas das estruturas
aditivas.
Além das conexões entre esses aspectos escolhidos podem ser exploradas
as possibilidades de conexões e exploração do campo conceitual, onde o professor
pode estabelecer um recorte no âmbito do campo previamente construído. No caso
deste estudo o planejamento de nossa seqüência foi feita a partir da sondagem
inicial e serviu para acompanhamento da evolução dos avanços da aprendizagem
das estruturas multiplicativas. Partindo do que o aluno já tem disponível, revisitando
os conhecimentos, de forma ativa e sendo estimulada a reflexão sobre os conceitos
utilizados do recorte que se quis ensinar.
202
Por último, o professor pode visualizar as situações de ensino e as variáveis
didáticas relevantes para a construção de uma seqüência de atividades coerentes e
inter-relacionadas para o ambiente escolar, de forma cronologicamente organizada
em termos de uma seqüência didática.
E, ainda para Vergnaud, nas situações repousa a operacionalidade dos
conceitos e, portanto, são as situações que conferem sentido a um dado conceito.
Podemos entender as situações como sendo os problemas que o sujeito deve
resolver.
Por isso, a análise dos comportamentos e das respostas dadas pelos
estudantes foram importantes. Tivemos condições de inferir quais os conceitos-emação foram utilizados pelos estudantes da amostra. Lembramos que os conceitosem-ação se articulam por meio dos teoremas-em-ação. Os teoremas-em-ação são
proposições, que podem ser verdadeiras ou falsas. De maneira análoga àquela
apresentada para os conceitos-em-ação, essas proposições permanecem, em sua
maioria, implícitas nas ações do sujeito, podendo se tornar explícitas.
Finalmente, consideramos que essa pesquisa foi mais uma oportunidade para
o estudo de como se dá a aprendizagem, utilizando-se um suporte teórico para
conquistar de forma ainda mais concreta aquilo que nós educadores temos como
intenção: “ que nosso aluno aprenda”.
203
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215
ANEXOS
ANEXO A – ATIVIDADE APLICADA COM INTERVENÇÃO NA SALA COMUM COM
UTILIZAÇÃO DE SOFTWARE
Legenda
Comanda
Pergunta
Deixar pronto
2 Grupos
Sala Comum
Sala de Informática
Com Troca
Sala de Informática (Grupo dos alunos que apresentaram melhores desempenhos
na sondagem inicial)
Explora o Software (15min)
Qual atividade você mais gostou?
Fazer lista com todas as atividades.
Proposta 1: Brinque nesta atividade que você mais gostou. (15min)
Computar o tempo previsto para a atividade
Proposta 2: Agora eu pediria que todos brincassem “apenas” com a atividade
das cadeiras no cinema (20min)
Verificar o tempo suficiente para que a atividade seja prazerosa
Proposta 3: Agora eu pediria que todos brincassem “apenas” com mudar de
visual (20min)
216
ANEXO B – ATIVIDADE APLICADA NA SALA DE INFORMATICA COM
UTILIZAÇÃO DE SOFTWARE
Sala Comum – (1º Grupo dos alunos que apresentaram desempenho abaixo do
esperado na sondagem inicial)
Preparar data show / computador com software / folha de sulfite/ calculadora.
Apresentação do software (10min)
Qual vocês querem que eu abra?
Adaptação (2º Grupo) Escreva por quê? Grupo s/ dificul.
Coloquem os nomes nas folhas em branco
Vamos brincar um pouco com as placas do carro (20 min)
- Somente 1 partida vamos ver quem é o campeão, eu faço uma e depois
vocês.
Adaptação 2 ou 3 partidas Grupo s/ dificul.
Agora nos vamos brincar com “cadeiras” vocês vão me ajudar (20 min)
ADAPTAÇÃO: Se eu tivesse que colocar numa sala 7X5. Qual seria a idéia?
Sem Software
Grupo s/ dificul.
Na folha de sulfite invente um probleminha com a situação das
cadeiras (10 min).
Agora cada dupla vai ler o seu problema (15min).
ADAPTAÇÃO: Os outros irão responder. Quem terminar levanta a mão
que a dupla vai ver.
Agora vocês podem me ajudar a mudar o visual do seu “Nestor”.
Como vocês fizeram para descobrir as combinações. Agora elabore um
probleminha com a situação do seu Nestor e me entrega.