INTRODUÇÃO. 1 TT.405 - ECONOMIA DE ENGENHARIA Material Didático - 2008 Prof. Lúcia R. A. Montanhini Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula INTRODUÇÃO. 2 INDICE 1 INTRODUÇÃO. ......................................................................................................................................................................... 7 2 O CONCEITO E ORIGEM DA ENGENHARIA ECONÔMICA ................................................................................................... 8 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA. .................................................................................................................................................. 9 3.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS.................................................................................................................................... 9 3.1.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.......................................................................................................................... 9 3.1.2 JUROS (J) ............................................................................................................................................................... 10 3.1.2.1 JUROS – UNIDADE DE MEDIDA .................................................................................................................. 11 3.1.2.2 TAXA DE JUROS: COMPONENTES. .......................................................................................................... 12 3.1.2.3 CAPITALIZAÇÃO DE JUROS ....................................................................................................................... 13 3.1.3 FLUXO DE CAIXA. .................................................................................................................................................. 13 3.2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ................................................................................................................................. 15 3.2.1 JUROS SIMPLES.................................................................................................................................................... 15 3.2.2 JURO COMPOSTO................................................................................................................................................. 16 3.2.3 COMPARAÇÃO ENTRE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA ................................................................... 17 3.2.4 JURO CONTÍNUO .................................................................................................................................................. 18 3.2.5 PRAZO DE APLICAÇÃO FRACIONÁRIO ............................................................................................................... 18 3.2.6 EXEMPLOS. ........................................................................................................................................................... 20 3.3 TIPOS DE TAXAS DE JUROS. .................................................................................................................................... 21 3.3.1 TAXAS PROPORCIONAIS ..................................................................................................................................... 21 3.3.2 TAXAS EQUIVALENTES ........................................................................................................................................ 21 3.3.3 TAXA EFETIVA ....................................................................................................................................................... 23 3.3.4 TAXA NOMINAL...................................................................................................................................................... 23 3.3.5 CONVERSÃO DE TAXAS DE JUROS .................................................................................................................... 23 3.3.6 TAXAS DE JUROS POSTECIPADA E ANTECIPADA ............................................................................................ 25 3.3.7 CONVERSÃO DE UMA TAXA ANTECIPADA EM UMA TAXA POSTECIPADA ..................................................... 26 3.3.8 TAXA DE INFLAÇÃO .............................................................................................................................................. 26 3.3.8.1 INDICADORES FINANCEIROS: ................................................................................................................... 27 3.3.9 TAXA GLOBAL E TAXA REAL DE JUROS ............................................................................................................. 27 3.3.10 TAXA DE MÍNIMA ATRATIVIDADE ........................................................................................................................ 28 3.3.11 EXEMPLOS ............................................................................................................................................................ 29 4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ............................................................................................................................................. 31 4.1 CAPITAIS EQUIVALENTES ........................................................................................................................................ 31 4.2 ANUIDADES: CONCEITO E MODELOS GENÉRICOS ............................................................................................... 31 4.2.1 ANUIDADE ISOLADA ............................................................................................................................................. 31 4.2.1.1 VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL(P) .................................................................................................. 31 4.2.1.2 MONTANTE OU VALOR FUTURO (F): ......................................................................................................... 31 4.2.2 SÉRIE ..................................................................................................................................................................... 32 4.2.2.1 SÉRIE UNIFORME ........................................................................................................................................ 32 4.2.2.2 SÉRIE GRADIENTE ARITMÉTICA ............................................................................................................... 33 4.3 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ................................................................................................................................ 35 4.3.1 SIMBOLOGIA.......................................................................................................................................................... 35 4.4 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ANUIDADES ISOLADAS........................................................................... 35 4.4.1 RELAÇÃO ENTRE P E F:........................................................................................................................................ 36 4.4.2 EXEMPLOS: ........................................................................................................................................................... 37 4.5 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE UMA ANUIDADE ISOLADA E UMA SÉRIE UNIFORME ........................... 38 4.5.1 RELAÇÕES ENTRE F E A..................................................................................................................................... 38 4.5.2 RELAÇÕES ENTRE P E A ...................................................................................................................................... 39 4.5.2.1 SÉRIE PERPÉTUA ....................................................................................................................................... 40 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula INTRODUÇÃO. 4.5.3 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.7 4.7.1 4.7.2 4.8 4.8.1 4.8.2 4.9 5 EXEMPLOS: ........................................................................................................................................................... 40 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ANUIDADES ISOLADAS E SÉRIE GRADIENTE: .................................... 42 RELAÇÕES ENTRE P E G...................................................................................................................................... 42 RELAÇÕES ENTRE F E G ...................................................................................................................................... 43 EXEMPLOS. ........................................................................................................................................................... 44 RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SÉRIE UNIFORME E SÉRIE GRADIENTE:................................................ 45 RELAÇÃO ENTRE A E G ........................................................................................................................................ 45 EXEMPLOS. ........................................................................................................................................................... 46 TAXA DE JUROS ENTRE DOIS CONJUNTOS DE CAPITAIS EQUIVALENTES........................................................ 48 MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON .................................................................................................. 48 EXEMPLOS: ........................................................................................................................................................... 50 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: ...................................................................................................................................... 51 PROJETOS DE INVESTIMENTO ........................................................................................................................................... 54 5.1 6 3 INTER-RELACIONAMENTO ENTRE PROJETOS DE INVESTIMENTOS .................................................................. 54 ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS .................................................................................................................. 55 6.1 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ......................................................................... 55 6.2 ELEMENTOS REQUERIDOS NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ............................................................................ 56 6.2.1 HORIZONTE TEMPORAL ...................................................................................................................................... 56 6.2.2 FLUXO DE CAIXA ................................................................................................................................................... 57 6.2.3 DETERMINAÇÃO DOS CUSTOS TOTAIS ............................................................................................................. 57 6.2.4 DETERMINAÇÃO DAS RECEITAS GERADAS ...................................................................................................... 57 6.2.5 DETERMINAÇÃO DO VALOR RESIDUAL DO INVESTIMENTO ........................................................................... 57 6.2.6 TAXA DE JUROS DA ANÁLISE DE INVESTIMENTO............................................................................................. 58 6.3 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS: ................................................................................................... 59 6.3.1 MÉTODO DO VALOR PRESENTE ......................................................................................................................... 59 6.3.1.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 60 6.3.2 MÉTODO DO VALOR FUTURO ............................................................................................................................. 61 6.3.2.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 61 6.3.3 MÉTODO DO VALOR ANUAL ................................................................................................................................ 62 6.3.3.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 62 6.3.4 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO ....................................................................................................... 63 6.3.4.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 65 6.3.5 MÉTODO DO PRAZO DE RETORNO -"PAYBACK” ............................................................................................... 66 6.3.5.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 66 6.3.6 MÉTODO DA RELAÇÃO BENEFÍCIO-CUSTO....................................................................................................... 67 6.3.6.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 67 6.4 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS SOB CONDIÇÕES ESPECÍFICAS. ......................................................................... 68 6.4.1 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS COM PREDOMINÂNCIA DE CUSTOS: ................................................................ 68 6.4.1.1 MÉTODO DA TIR PARA PROJETO COM PREDOMINÂNCIA DE CUSTOS ................................................ 68 6.4.2 EXISTÊNCIA DE TAXAS MÚLTIPLAS.................................................................................................................... 69 6.4.2.1 ANÁLISE DE PROJETOS COM TAXAS MÚLTIPLAS ................................................................................... 70 6.4.3 ALTERNATIVAS COM DIFERENTES HORIZONTES DE PLANEJAMENTO ........................................................ 71 6.4.3.1 HIPÓTESE DE REPETIÇÃO DOS PROJETOS DE INVESTIMENTO........................................................... 71 6.4.3.2 HIPÓTESE DE NÃO REPETIÇÃO DOS PROJETOS DE INVESTIMENTO .................................................. 72 6.4.4 EXISTÊNCIA DE RESTRIÇÕES FINANCEIRAS .................................................................................................... 73 6.5 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E A CORREÇÃO MONETÁRIA................................................................................ 73 6.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: ...................................................................................................................................... 74 7 FINANCIAMENTO DE PROJETOS DE INVESTIMENTO ...................................................................................................... 78 7.1 7.2 FONTES DE RECURSOS PARA FINANCIAMENTO DE PROJETOS ........................................................................ 78 PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS........................................................................................ 79 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula INTRODUÇÃO. 4 7.2.1 TERMINOLOGIA USUAL E NOMENCLATURA...................................................................................................... 79 7.2.1.1 PRINCIPAL (P): ............................................................................................................................................. 79 7.2.1.2 PRESTAÇÃO (AM ): ...................................................................................................................................... 79 7.2.1.3 AMORTIZAÇÃO (KM ): ................................................................................................................................... 79 7.2.1.4 JUROS (JM) ................................................................................................................................................... 79 7.2.1.5 SALDO DEVEDOR (SDM ) ............................................................................................................................. 80 7.2.1.6 PRAZO (N) .................................................................................................................................................... 80 7.2.1.7 CARÊNCIA .................................................................................................................................................... 80 7.2.1.8 PRAZO DE CARÊNCIA (N’) .......................................................................................................................... 80 7.2.1.9 PRAZO DE AMORTIZAÇÃO (N) ................................................................................................................... 80 7.2.2 MODALIDADES DE CONTRATO ........................................................................................................................... 80 7.2.2.1 QUANTO À AMORTIZAÇÃO DO CAPITAL: .................................................................................................. 80 7.2.2.2 QUANTO AO PAGAMENTO DO JURO: ....................................................................................................... 80 7.2.3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS......................................................................... 81 7.2.4 SISTEMA DE PRESTAÇÃO CONSTANTE (PRICE).............................................................................................. 82 7.2.4.1 FLUXO DE CAIXA ......................................................................................................................................... 82 7.2.4.2 VALOR DAS PRESTAÇÕES. ........................................................................................................................ 82 7.2.4.3 SALDO DEVEDOR EM UM PERÍODO DE TEMPO QUALQUER (M) .......................................................... 83 7.2.4.4 JUROS DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO (AM) ..................................................................................................... 83 7.2.4.5 AMORTIZAÇÃO DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO (AM) ...................................................................................... 83 7.2.4.6 AMORTIZAÇÃO ACUMULADA NO PERÍODO DE 0 → M ........................................................................... 83 7.2.4.7 JURO ACUMULADO NO PERÍODO DE 0 → M ............................................................................................ 84 7.2.4.8 JUROS ACUMULADOS NUM PRAZO DE TEMPO QUALQUER (JM,M’) ..................................................... 84 7.2.4.9 AMORTIZAÇÕES ACUMULADAS NUM PRAZO DE TEMPO QUALQUER (KM,M’) .................................... 84 7.2.4.10 QUADRO DE FINANCIAMENTO .................................................................................................................. 85 7.2.4.11 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 85 7.2.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) ......................................................................................... 86 7.2.5.1 FLUXO DE CAIXA ......................................................................................................................................... 86 7.2.5.2 PARCELA DE AMORTIZAÇÃO DAS PRESTAÇÕES A1 A AN....................................................................... 87 7.2.5.3 SALDO DEVEDOR NO PERÍODO “M” ......................................................................................................... 87 7.2.5.4 JUROS CONTIDOS NA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO ......................................................................................... 87 7.2.5.5 VALOR DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO ............................................................................................................. 87 7.2.5.6 JURO ACUMULADO NO PERÍODO DE 0 → M ............................................................................................ 87 7.2.5.7 AMORTIZAÇÃO ACUMULADA NO PERÍODO DE 0 → M ........................................................................... 88 7.2.5.8 QUADRO DE FINANCIAMENTO .................................................................................................................. 88 7.2.5.9 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 89 7.2.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) ........................................................................................................ 89 7.2.6.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................... 90 7.2.7 SISTEMA AMERICANO .......................................................................................................................................... 90 7.2.7.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................... 91 7.2.8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE - SACRE ......................................................................................... 91 7.2.8.1 CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES ANUAIS ...................................................................................................... 92 7.2.8.2 EXEMPLO: .................................................................................................................................................... 92 7.2.9 VANTAGENS E DESVANTAGENS ENTRE OS DIFERENTES SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO .......................... 94 7.2.10 PLANO DE REAJUSTE E COMPROMETIMENTO DE RENDA.............................................................................. 95 7.2.10.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................... 95 7.2.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: ................................................................................................................................. 96 8 DEPRECIAÇÃO DE EQUIPAMENTOS .................................................................................................................................. 98 8.1 FORMAS DE DEPRECIAÇÃO ..................................................................................................................................... 98 8.2 VIDA ÚTIL DE ATIVOS FIXOS..................................................................................................................................... 98 8.3 MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO .................................................................................................................................. 99 8.3.1 TERMINOLOGIA USUAL E NOMENCLATURA...................................................................................................... 99 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula INTRODUÇÃO. 5 8.3.2 MÉTODO LINEAR................................................................................................................................................. 100 8.3.2.1 DEPRECIAÇÃO ACUMULADA ................................................................................................................... 100 8.3.2.2 VALOR CONTÁBIL ..................................................................................................................................... 100 8.3.2.3 TAXA PERCENTUAL DE DEPRECIAÇÃO ................................................................................................. 100 8.3.2.4 DEPRECIAÇÃO CONTÁBIL ....................................................................................................................... 101 8.3.2.5 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 102 8.3.3 MÉTODO EXPONENCIAL .................................................................................................................................... 103 8.3.3.1 TAXA EXPONENCIAL DE DEPRECIAÇÃO: ............................................................................................... 103 8.3.3.2 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 104 8.3.4 MÉTODO DA SOMA DOS DÍGITOS ..................................................................................................................... 104 8.3.4.1 DEPRECIAÇÃO ACUMULADA: .................................................................................................................. 105 8.3.4.2 EXEMPLOS: ................................................................................................................................................ 105 8.3.5 MÉTODO DA SOMA INVERSA DOS DÍGITOS: ................................................................................................... 106 8.3.5.1 DEPRECIAÇÃO ACUMULADA ................................................................................................................... 106 8.3.5.2 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 106 8.3.6 MÉTODO DO FUNDO DE RESERVA ................................................................................................................... 107 8.3.6.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 107 8.3.7 MÉTODO DA DEPRECIAÇÃO POR PRODUÇÃO ............................................................................................... 108 8.3.7.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 108 9 A INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS. .............................................................. 109 9.1 INFLUÊNCIA DO IR EM FINANCIAMENTOS DE PROJETOS .................................................................................. 110 9.1.1 FONTES DE RECURSOS PARA FINANCIAMENTO DE PROJETOS ................................................................. 110 9.1.2 INFLUÊNCIA DO IR PARA FINANCIAMENTO COM RECURSOS PRÓPRIOS: .................................................. 110 9.1.3 FINANCIAMENTO COM COMPOSIÇÃO MISTA DE RECURSOS ....................................................................... 110 9.1.4 FINANCIAMENTO COM RECURSOS DE TERCEIROS ...................................................................................... 110 9.1.5 EXEMPLOS: ......................................................................................................................................................... 110 10 SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS ............................................................................................................................... 112 10.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ................................................................................................................................ 112 10.1.1 CUSTO ANUAL DE CAPITAL: .............................................................................................................................. 112 10.1.2 CUSTO ANUAL DE OPERAÇÃO E MANUTENÇÃO ............................................................................................ 113 10.1.2.1 CUSTOS DE MANUTENÇÃO ..................................................................................................................... 113 10.1.2.2 CUSTOS DE OPERAÇÃO .......................................................................................................................... 113 10.1.3 CUSTO ANUAL TOTAL ........................................................................................................................................ 113 10.1.4 VIDA ECONÔMICA ............................................................................................................................................... 113 10.1.4.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 114 10.2 BAIXA DE VEÍCULOS E EQUIPAMENTOS............................................................................................................... 114 10.2.1 BAIXA SEM REPOSIÇÃO ..................................................................................................................................... 114 10.2.1.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 114 10.2.2 BAIXA COM REPOSIÇÃO IDÊNTICA................................................................................................................... 115 10.2.2.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 115 10.2.3 BAIXA COM REPOSIÇÃO DIFERENTE ............................................................................................................... 115 10.2.3.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 116 10.3 SUBSTITUIÇÃO COMO ANÁLISE DE INVESTIMENTO ........................................................................................... 116 10.3.1 CASO 1: VIDA REMANESCENTE DO DEFENSOR IGUAL À VIDA ÚTIL DO DESAFIANTE. .............................. 116 10.3.2 CASO 2: VIDA REMANESCENTE DO DEFENSOR MENOR QUE A VIDA ÚTIL DO DESAFIANTE .................... 117 10.3.2.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 117 10.3.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: ............................................................................................................................... 118 11 ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA ....................................................................................................... 119 11.1 11.2 DEFINIÇÕES: ............................................................................................................................................................ 119 FATORES QUE LEVAM A INCERTEZA: ................................................................................................................... 119 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula INTRODUÇÃO. 6 11.3 ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE INCERTEZA ............................................................................................................ 119 11.3.1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ............................................................................................................................. 120 11.3.1.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 120 11.4 CRITÉRIOS DE DECISÃO......................................................................................................................................... 121 11.4.1 CRITÉRIO OTIMISTA: MAXIMAX (OU MINIMINI SE A MATRIZ FOR DE CUSTO).............................................. 122 11.4.2 CRITÉRIO PESSIMISTA : MAXIMIN (OU MINIMAX SE A MATRIZ FOR DE CUSTOS) ....................................... 122 11.4.3 CRITÉRIO DE LAPLACE : MÉDIA ........................................................................................................................ 122 11.4.4 CRITÉRIO DE HURWICZ ..................................................................................................................................... 122 11.4.5 CRITÉRIO DE SAVAGE : ARREPENDIMENTO ................................................................................................... 123 11.5 CRITÉRIOS DE DECISÃO COM PROBABILIDADES ASSOCIADAS: ...................................................................... 123 11.5.1 CRITÉRIO DA ESPERANÇA MATEMÁTICA: MÉDIA .......................................................................................... 124 11.5.2 CRITÉRIO DO LIMITE MÍNIMO ............................................................................................................................ 124 11.5.3 ARVORE DA DECISÃO ........................................................................................................................................ 124 11.5.3.1 EXEMPLOS: ................................................................................................................................................ 125 11.5.4 VALOR DA INFORMAÇÃO ADICIONAL ............................................................................................................... 127 11.5.4.1 INFORMAÇÃO PERFEITA .......................................................................................................................... 127 11.5.4.2 INFORMAÇÃO IMPERFEITA ...................................................................................................................... 128 11.5.5 PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE UM EMPREENDIMENTO ..................................................................... 129 11.5.5.1 DETERMINAÇÃO DA PROBABILIDADE PARA DISTRIBUIÇÃO NORMAL ............................................... 129 11.5.5.2 FLUXO DE CAIXA DE VALORES ESPERADOS ........................................................................................ 130 11.5.5.3 PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE UM EMPREENDIMENTO ........................................................... 132 12 TABELA DE JUROS ............................................................................................................................................................ 134 13 TABELA DE PROBABILIDADES ........................................................................................................................................ 138 14 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................................................... 140 15 PROGRAMAÇÃO DA DISCIPLINA TT.405 – ANO LETIVO 2008 ....................................................................................... 141 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula INTRODUÇÃO. 1 7 INTRODUÇÃO. A disciplina Economia de Engenharia tem por diretriz consolidar as técnicas da Matemática Financeira e critérios da Engenharia Econômica que permitam elucidar os mecanismos para a apropriada alocação e otimização de recursos aplicados em projetos de engenharia. A avaliação de um projeto de Engenharia, de acordo com as contingências ligadas aos investimentos, envolve desde critérios puramente monetários (situação mais simples) até critérios de mensuração mais complexa, como vantagens tecnológicas, administrativas estratégicas ou ambientais. A avaliação tecnológica trata principalmente dos processos técnicos de implantação e operação do projeto, a avaliação administrativa prioriza os inúmeros problemas de gerência e de pessoal que surgem na implantação e na operação do projeto e enquanto que a avaliação ambiental enfoca os impactos que as ações para a implantação e a operação do projeto provocam ao meio ambiente. A avaliação financeira consiste em determinar a probabilidade de o projeto vir a ser financeiramente viável, ou seja, de satisfazer seus compromissos financeiros, produzir uma remuneração razoável do capital investido e, se for o caso, contribuir com suas receitas, para cobrir custos de investimentos futuros. A análise financeira avalia os benefícios e custos de um projeto, reduzindo-os a uma medida comum; se os benefícios forem superiores aos custos, o projeto é aceitável, se não, deve ser rejeitado. A avaliação econômica, por sua vez, tem como finalidade básica medir custos e benefícios econômicos de um projeto para determinar se os benefícios líquidos dele resultante serão pelo menos iguais àqueles que poderiam ser obtidos de outras oportunidades marginais de investimento. Em síntese, pode-se considerar a avaliação econômica de projetos como o processo metodológico que permite aferir benefícios e custos decorrentes e permite tomada de decisão e a escolha da alternativa de maior ganho líquido. Sem se desconectar de fatores ambientais, tecnológicos e administrativos e lançando mão de problemáticas que, cotidianamente, se defrontam as empresas privadas, entidades governamentais e pessoas para alocar recursos intrinsecamente limitados (capital, trabalho, terra, tecnologia, recursos naturais, etc.); a disciplina de Economia de Engenharia, prioritariamente, procura capacitar os estudantes ao desenvolvimento de estudos para a avaliação econômica e financeira de projetos de engenharia, através da abordagem de ferramental e técnicas da Engenharia Econômica que permitem escolher, entre as aplicações concorrentes, a melhor alternativa. Com o intuito de auxiliar no entendimento dos processos da Engenharia Econômica desenvolveu-se este material de apoio à disciplina de Economia de Engenharia onde são fornecidos os conceitos básicos da Matemática Financeira, as metodologias de depreciação de equipamentos, de amortização de dívidas, de avaliação de investimentos e culminando com a análise de investimentos sob a ótica de risco e incerteza. Os conteúdos teóricos apresentados neste material didático são complementados com exemplos práticos, que serão resolvidos em sala de aula, objetivando facilitar os entendimentos os conceitos mostrados. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula O conceito e origem da Engenharia Econômica 2 8 O CONCEITO E ORIGEM DA ENGENHARIA ECONÔMICA A Engenharia Econômica representa o conjunto de conhecimentos necessários para a escolha de alternativas de investimentos. Para avaliar o desempenho de uma ampla classe de investimentos, que podem ser medidos em termos monetários, utilizam-se técnicas de Engenharia Econômica fundamentadas na ciência chamada Matemática Financeira. A Engenharia Econômica é, portanto, uma ferramenta de decisão, fundamentada em conceitos e técnicas da matemática financeira, que permite a análise, comparação e avaliação financeira de projetos, sistemas, produtos, recursos, investimentos ou equipamentos e que tem fundamental importância para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas, e seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas, como estatais. A Engenharia Econômica também permite a avaliação de problemas mais complexos, que envolvem situações de risco ou incerteza. Nestes casos, a Engenharia Econômica associa a Matemática Financeira a outras técnicas para análises de decisão, tais como probabilidade e simulação. Do ponto de vista pessoal a engenharia econômica pode ser aplicada para qualquer aplicação monetária, neste caso, que possa conduzir à obtenção de uma quantidade, também monetária, maior no futuro. Do ponto de vista empresarial, a engenharia econômica tem sua aplicabilidade na avaliação de financiamentos, de novos investimentos, substituição de equipamentos, etc frente a variados cenários conjunturais. Os estudos sobre Engenharia Econômica têm suas origens nos Estados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro "The Economic Theory of Railway Location", texto que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias. Wellington, que era engenheiro civil, ponderava que devia utilizar-se o método de análise de custo capitalizado para selecionar o traçado e as curvaturas das vias férreas. Na década de 20 J. C. L. Fish e 0. B. Coldman estabeleceram algumas metodologias de análise de investimento em estruturas de engenharia sob a perspectiva da matemática atuarial. Coldman, no livro titulado Financial Engineering (Engenharia Financeira) propôs um método analítico baseado em juros compostos para determinar valores comparativos. Os limites da clássica Engenharia Econômica foram traçados em 1930 por Eugene L. Grant no livro Principles of Engineering Economy (Princípios de Engenharia Econômica) onde são estabelecidos os tradicionais critérios de comparação e de avaliação de investimentos. Antes da segunda guerra mundial, os bancos e bolsas de valores dos países eram as únicas instituições que utilizavam termos como juros, capitalização, amortização... A partir dos anos 50, com o rápido crescimento industrial, termos financeiros e bancários passam a ser incorporados no âmbito industrial e particularmente na área produtiva das empresas. Os novos industriais se depararam com a necessidade da aplicação de técnicas de análise econômica em suas empresas, criando um ambiente de tomada de decisões voltado à escolha da melhor alternativa. A medida que o processo industrial se tornava mais complexo, as técnicas se adaptaram e se tornaram mais especificas, para tanto, a engenharia econômica ou a analise econômica na engenharia foi também se evoluindo. Pesquisas modernas, refletindo a preocupação mundial pela conservação dos recursos e da aplicação eficaz de dinheiro público, ampliaram as fronteiras da Engenharia Econômica incorporando aos métodos de avaliação tradicionais novos critérios para a avaliação do risco, da sensibilidade, de fatores intangíveis, etc. Ao longo de 120 anos a Engenharia Econômica foi sendo aprimorada e aplicada em inúmeras outras áreas além da engenharia, contudo, esta terminologia foi conservada pelo fato de que grande parte dos problemas de alocação de recursos depende de informações técnicas e em geral de decisões que são tomadas por engenheiros ou por administradores que agem com base nas recomendações dos engenheiros. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 3 9 MATEMÁTICA FINANCEIRA. A Matemática Financeira é uma ciência exata que tem por objetivo fundamental fornecer o ferramental técnico, utilizado em Engenharia Econômica, que descreve as relações do binômio tempo e dinheiro. A Matemática Financeira dá subsídio para o estudo das diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros. Os principais objetivos da matemática financeira são: a) b) c) 3.1 Transformação e manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação de taxas de juros de cada período, para levar em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo. Obtenção da taxa interna de juros que está implícita em um fluxo de caixa. Análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa. CONCEITOS FUNDAMENTAIS. A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência de juros. Observadas as peculiaridades e considerados à parte os aspectos políticos e subjetivos, para que valores de uma avaliação de investimentos, que ocorrem em tempos diferentes, possam ser corretamente operados há necessidade de que sejam definidos ou conhecidos os fluxos de caixa onde são alocados os valores resultantes desses investimentos. 3.1.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. Em estudos, seja para fins de avaliações econômicas ou avaliações financeiras de empreendimentos, seja para a análise de resultados ou indicadores históricos de investimentos, é comum se lidar com valores financeiros relacionados a épocas ou períodos diferentes. A capacidade que o dinheiro tem de gerar rendimento com o transcurso do tempo faz com que um mesma cifra, em valor nominal, tenha diferentes valores em relação ao tempo a que se refere, o que realmente descreve o conceito do Valor do Dinheiro no Tempo. O dinheiro, como qualquer outro bem, tem um valor intrínseco e seu valor sobre variação em função da variação (maior/menor) da oportunidade (compra/rendimento) gerada em função do tempo. Uma pessoa pode possuir uma casa ou trocar este bem por dinheiro ou possuir um veículo ou vendê-lo para, em troca, receber o valor em dinheiro. Por outro lado se a pessoa não possui uma casa e necessita de uma é obrigada a recorrer ao aluguel, pagando por este uso. Se não possui um automóvel e necessita de um deve pagar por esta locação, não importando se é por meia hora, como no caso de táxi, ou por um dia ou um mês. Do mesmo modo, se alguém não possui dinheiro e necessita dele, deve pagar certa quantidade para obtê-lo. Em geral, todo bem com valor intrínseco exige um pagamento pelo seu uso. Por outro lado se bens com valor intrínseco não são utilizados nada se ganha com eles, seria o mesmo que ter um táxi na garagem ou guardar dinheiro sob o colchão! A capacidade de valorização do dinheiro com o tempo só existe quando em plena atividade, é o caso de uma operação de empréstimo: Quem recebe dinheiro de empréstimo paga ao final de um determinado prazo uma quantidade de dinheiro maior que o valor emprestado. O incremento que é pago ao dono do dinheiro é chamado de juros e traduz o conceito de Valor do Dinheiro no Tempo. O conceito de Valor do Dinheiro no Tempo muitas vezes é isoladamente exemplificado através do fenômeno inflacionário, embora o que realmente ocorre nesta situação é o fenômeno da “ilusão monetária”, efeito tanto maior quanto maior o país padece da inflação. A inflação é um fenômeno econômico que consiste na perda de poder aquisitivo do dinheiro com o passar do tempo em decorrência da elevação do nível geral de preço no mercado interno. Portanto, o dinheiro se desvaloriza com a inflação. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 10 Nenhum país do mundo está imune ao fenômeno da inflação, diz-se que este valor é baixo quando se encontra entre 2 a 5 % ao ano, como ocorre nos paises desenvolvidos e atualmente no Brasil, porém, chega a atingir patamares acima de 1000 % anuais, como vivenciados pelo Brasil na década de 90. A Tabela-1, apresentada a seguir mostra a variação inflacionária no Brasil desde 1980 até os dias atuais. Tabela 1: Inflação anual no Brasil – Variação do IGP-DI (Índice Geral de Preços Disponibilidade Interna) ANO INFLAÇÃO ANO 1980 110,23 1990 1981 95,20 1982 ANO INFLAÇÃO 1.476,71 2000 9,80 1991 480,23 2001 10,40 99,73 1992 1.157,84 2002 26,41 1983 211,02 1993 2.708,17 2003 7,66 1984 223,81 1994 1.093,85 2004 12,13 1985 235,13 1995 14,77 2005 1,23 1986 65,04 1996 9,33 2006 3,80 1987 415,95 1997 7,48 1988 1.037,53 1998 1,71 1989 1.782,85 1999 19,99 MÉDIA 697,01 % MÉDIA 10,20 % MÉDIA 427,65 % INFLAÇÃO fonte: FGV/Conj. Econômica É importante ressaltar que com ou sem inflação, o dinheiro se valoriza através do tempo. Caso a remuneração cobrada pelo uso do dinheiro for menor que a perda de seu valor aquisitivo em decorrência da inflação significa que a perda total do investidor inclui a diferença entre a remuneração recebida e a desvalorização do dinheiro mais a valorização real pretendida na operação de empréstimo. Remuneração pelo Uso do Dinheiro Perda poder aquisitivo (Inflação) Valorização do Dinheiro Com técnicas analíticas adequadas se pode comparar o poder aquisitivo do dinheiro em determinados instantes de tempo, esta é a ajuda que a Engenharia Econômica fornece aos administradores de negócios. 3.1.2 JUROS (J) Os juros são definidos como sendo a remuneração do capital, a qualquer título. Assim, são válidas as seguintes expressões como conceito de juros: a) b) c) d) valor em dinheiro pago pelo uso de um empréstimo, ou, é o valor em dinheiro recebido pelo valor emprestado. remuneração do capital empregado em atividades produtivas; custo do capital de terceiros; remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. Os juros, em unidade monetária, são calculados através da seguinte expressão: Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. J =F−P 11 (1) onde, J= Juros incorporados ou pagos em um período de tempo “n” F = Valor recebido/pago ao final do período “n” P = Valor aplicado/emprestado no início do período “n” 3.1.2.1 JUROS – UNIDADE DE MEDIDA O juro é medido por meio de taxa que se refere, sempre, a uma unidade qualquer de tempo (ano, semestre, mês, dia, etc), chamada de Taxa de Juros ou Taxa de Desconto, representada pela letra “i”. A Taxa de Juros (i) é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. A taxa de juro é a proporção existente entre o capital e a sua remuneração. A taxa de juros é obtida pela seguinte expressão: i= F−P J = P P (2) Onde, P = o capital investido ou emprestado no principio do período. F = o valor pago ao final do período. J = F – P = juros pagos ou incorporados no período. i = taxa de juros por período A taxa de juros pode ser apresentada na forma percentual ou unitária. A Taxa de juros unitária representa a remuneração proporcionada, na unidade de tempo de referência, para cada unidade de capital (R$ 1,00) enquanto a Taxa de juros percentual representa a remuneração proporcionada para cem unidades de capital (R$ 100,00) aplicadas, como mostra o quadro abaixo: TAXA DE JUROS REPRESENTAÇÃO CAPITAL APLICADO (P) JUROS NO PERÍODO DE 1 ANO (J) Percentual 10% a.a. 100 10 Unitária 0,10 a.a 1 0,10 A notação percentual é a forma usualmente utilizada para a representação da taxa de juros no meio financeiro. Considerando que a forma unitária é utilizada em todos os formulários de Engenharia Econômica a sua conversão da taxa percentual para esta forma de representação torna-se obrigatória. iunitária = i percentual 100 (3) EXEMPLO 1 REPRESENTAÇÃO TAXA DE JUROS PERCENTUAL UNITÁRIA Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 12 EXEMPLO 2 Calcular o valor dos juros ao final de um mês considerando que foi aplicado R$ 1.000,00 à taxa de 8% a.m. EXEMPLO 3 Considerando o resgate de R$ 150,00 decorrente da aplicação de R$ 100,oo calcular os juros incorporados e respectiva taxa no período. 3.1.2.2 TAXA DE JUROS: COMPONENTES. Quando uma instituição financeira decide emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma expectativa de retorno do capital emprestado acrescido de uma parcela de juro. O custo de um empréstimo será, portanto, obtido através de um somatório da remuneração desejada e expectativas de custos, com se segue: Taxa pura Taxa de risco Custo devido a impostos Custo operacional devido a serviços de intermediação Correção monetária (relacionada com a inflação) A componente principal de uma taxa de juros é denominada de taxa de juros pura. A Taxa de Juros pura é a parcela destinada a compensar a perda de liquidez durante o período de empréstimo, excluindo de sua composição o fator de risco que normalmente está associado a uma operação financeira. A taxa de juros pura, correspondente a efetiva remuneração do capital, é fixada pelo mercado financeiro através das forças que regem a oferta e demanda de capital para financiamento de atividades produtivas. A incerteza sobre o retorno do capital emprestado exige uma sobretaxa sobre a remuneração básica do capital (taxa pura). A taxa de risco (ou spread) está relacionada com a capacidade de solvência do captador, estratégia do investimento, volume de capital, etc... Grau de Risco Taxa de Juro Taxa Pura (risco = 0) % Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 3.1.2.3 13 CAPITALIZAÇÃO DE JUROS A palavra de capitalização provém do termo Capital, também chamado de valor Principal (P) e que representa todo o conjunto de meios líquidos (moeda), cedidos durante um determinado período (n) e produzindo uma certa remuneração (J) para o seu proprietário. A Capitalização é o ato de incorporação dos juros ao capital inicial, ou seja, é o incremento do valor do capital à medida que o tempo decorre. A capitalização ou a incorporação dos juros ao capital aplicado ocorre em períodos constantes, chamado de Período de Capitalização. A cada capital (Principal) empregado durante um certo tempo (Período de Capitalização), é acrescido (Capitalizado) o valor correspondente aos Juros, formando o Montante (F = P+J). O Desconto ou Atualização é o processo inverso da capitalização, consiste numa redução do valor do capital durante um determinado prazo. Capitalização 0 3.1.3 1 2 3 4 5 .... . .. ...... n Descapitalização ( tempo ) FLUXO DE CAIXA. O Fluxo de Caixa é a representação gráfica dos eventos financeiros (entradas e saídas) de um projeto de investimento lançadas nas respectivas datas de ocorrência. É possível ter fluxos de caixa de empresas, projetos, operações financeiras, de investimentos, etc. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos. O Fluxo de Caixa, ou cronograma financeiro do projeto, pode ser representado por tabelas, quadros ou esquematicamente por um diagrama apresentado. a) Representação em tabela t Rt Pt 0 1 2 3 4 ... n-1 n R0 R3 R4 Rn P0 P2 Pn-1 - onde, Rt = recebimento na data “t” Pt = pagamento na data “t” Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 14 EXEMPLO 4 Receitas Dispêndios Custos Redução custos Investimentos (US$) Operacionais (US$) (US$) 0,00 50.000,00 24.000,00 50.000,00 16.000,00 48.000,00 50.000,00 32.000,00 72.000,00 48.000,00 72.000,00 48.000,00 72.000,00 48.000,00 72.000,00 48.000,00 72.000,00 48.000,00 72.000,00 48.000,00 72.000,00 48.000,00 72.000,00 48.000,00 Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b) Imposto de Renda (US$) Fluxo Resultante (US$) 700,00 1.400,00 2.100,00 2.100,00 2.100,00 -1.400,00 -4.900,00 -8.400,00 -8.400,00 -8.400,00 -50.000,00 -41.300,00 -32.600,00 26.100,00 26.100,00 26.100,00 22.600,00 19.100,00 15.600,00 15.600,00 15.600,00 Representação Gráfica R0 R3 P0 R4 Recebimento (+) Rn ................................. Pagamento (-) P2 Pn-1 A representação gráfica de um Fluxo de Caixa segue a seguinte convenção: A escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos (dias, meses, anos, etc.). Os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais e são identificados numericamente de . 0 a n. O ponto 0 indica a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do primeiro período, etc. O ponto “n”indica o final do horizonte de planejamento. A escala vertical indica a magnitude do evento financeiro, sendo representado por “setas” para cima ou para baixo. As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são normalmente representadas por setas apontadas para baixo. As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são normalmente representadas por setas apontadas para cima. EXEMPLO 5 1,4 24 50 0 50 1 50 16 0,7 48 72 2 50 72 3 48 72 4 48 72 5 48 4,9 72 6 48 8,4 72 7 48 8.4 72 8 48 8.4 72 9 48 10 48 32 1,4 2,1 2,1 2,1 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 15 Fluxo resultante: F3=F2=P0 0 1 2 3 4 5 22,6 19,1 15,6 15,6 15,6 6 7 8 9 10 32,6 41,3 50 3.2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o juro a cada período de aplicação é cobrado ou incorporado ao capital de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: capitalização a Juros Simples; capitalização a Juros Composta 3.2.1 JUROS SIMPLES. Na capitalização a Juros simples apenas o capital inicial (principal) rende juros. Os juros de um período não se somam ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros não são capitalizados e, conseqüentemente, não rendem juros. a) Principais características: os juros a cada período de capitalização ficam sem remuneração (ociosos) ao longo de todo o período de investimento. o juro produzido em cada período é constante. no regime de juros simples, o dinheiro cresce em progressão aritmética ao longo do tempo. b) Cálculo de Montante à juros simples: Representando por: P = o principal, n = o número de períodos de capitalização, i = a taxa de juros e F = o montante ao final do período de capitalização, tem-se: O juro a cada período “t” é calculado através da seguinte expressão: J t = Pt −1 .i Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 16 Como em Juro Simples não há incorporação de juros ao capital inicial: P0 = P1 = P2 = ... = Pn P0 = F1 = F2 = .. = Fn J t = J 1 = J 2 = J 3 = J 4 = .... = J n = P0 . i logo, P0 0 1 2 3 n-1 4 F1=P0 F2=F1=P0 J2 F3=F2=P0 F4=F3=P0 J3 J4 J1 n F=Fn=Fn-1=P0 Jn O total de juros (Js), para o Regime de Capitalização Simples, no período “n” é igual a: J s = P. i . n e o montante, ao final do período “n”: F = P + Js = P + P.i.n F = P (1 + n.i) ou, 3.2.2 (4) JURO COMPOSTO. Na capitalização a Juro Composto os juros capitalizados e passam também a render, ou seja, os juros de um período são incorporados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. a) Principais características: Juro Composto R$ R$ ro Ju os juros vencidos são imediatamente incorporados ao capital no processo de capitalização; o capital (P) no início de cada período vai aumentando pela adição dos juros vencidos no fim do período imediatamente anterior, dando origem a juros crescentes (existe a contagem de juros sobre juros). no regime de juros compostos, o dinheiro cresce em progressão geométrica ao longo do tempo s R $ R$ c Prin ipa l É importante perceber que o dinheiro cresce mais rapidamente no regime de juros compostos do que no regime de juros simples, em razão da capitalização dos juros. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 17 b) Cálculo de Montante à Juro Composto: P0 0 1 2 3 n-1 4 n F1=P0+J1 J1 F2=F1+J2 J2 F3=F2+J3 J3 F4=F3+J4 J4 F=Fn=Fn-1+Jn Jn F1 = P0 + J 1 = P0 + P0 .i = P0 .(1 + i ) 1 [ ] [ ] + F .i = [P .(1 + i ) ] + [P .(1 + i ) ].i = P .(1 + i ) .(1 + i ) = P .(1 + i ) F2 = F1 + J 2 = F1 + F1 .i = P0 .(1 + i ) + P0 .(1 + i ) .i = P0 .(1 + i ) .(1 + i ) = P0 .(1 + i ) 1 F3 = F2 + J 3 = F2 1 2 2 0 1 2 2 0 0 2 3 0 ............ Fn = P0 .(1 + i ) n ou, F = P (1 + i) n ......................................... (5) onde: F = montante à Juro Composto P = principal, capital aplicado i = taxa unitária de juros referida a unidade de tempo de “n” n = período de aplicação do capital P 3.2.3 COMPARAÇÃO ENTRE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA Graficamente: Observações: 0 As duas curvas (simples e composto) interceptam-se nos período 0 e 1 b) Entre 0 e 1 juros simples é maior do que juros compostos. c) Operações comerciais (de curto prazo) são normalmente realizadas à Juro Simples e as operações financeiras (de médio à longo prazo) a Juros Compostos.. 1 Juro Simples Juro Composto 0 a) 1 2 3 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 3.2.4 18 JURO CONTÍNUO A capitalização a Juro Contínuo é um caso particular de Juro Composto onde a unidade de tempo de capitalização é infinitesimal e, portanto, a incorporação de juros se dá a intervalos infinitesimais de tempo. Juro Contínuo R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R $ c Prin R$ ip a s Juro l b) Cálculo de Montante à Juro Contínuo: Considerando, Juro Contínuo n P =F →P n=t → Pt n = t + ∂t → Pt + ∂t = Pt + Pt .i.∂t Pt+dt Pt n=0 td t J=P JUROS P=P tem-se, 0 0 t t+dt n ∂Pt = Pt .∂t → → ln ∂Pt ∂P = i.∂t → ∫0n t = ∫0ni.∂t → lnPn.lnP = i.n Pt Pt Pn P = i.n → ei.n = n → Pn = P; ei.n = F P P ou, F = P.e i.n 3.2.5 (6) PRAZO DE APLICAÇÃO FRACIONÁRIO Quanto ocorre aplicação em período de tempo fracionário, a contabilização dos juros na capitalização composta pode ser realizada de duas maneiras distintas: Convenção exponencial Convenção linear a) Convenção Exponencial A convenção exponencial considera os juros para a fração de tempo como capitalização composta ou seja, o capital rende juros compostos durante todo o período de aplicação, ou seja, nos períodos inteiros e fracionários. Na convenção exponencial, o período de aplicação (fracionário) é substituído diretamente no formulário desta modalidade de capitalização não necessitando a mudança da taxa de juros para prazo de capitalização compatível com a fração de tempo. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 19 EXEMPLO 6 Calcular o total de juros que deve ser cobrado sobre um empréstimo de R$ 10.000,00, a taxa de 6 % aa durante 5 anos e seis meses. b) Convenção Linear Considerando que a capitalização simples é mais vantajosa que a capitalização composta para aplicação em prazo menor que o período de capitalização, quando ocorre prazo de aplicação fracionário a modalidade simples é aplicada na fração de tempo e a capitalização é aplicada no prazo inteiro remanescente. Ou seja, por esta convenção, calcula-se o montante a juros compostos do número de períodos inteiros. Ao montante obtido, adicionam-se os juros simples a ele correspondente no período fracionário. P0 nF n+nF=N = Prazo de Aplicação 0 1 2 n-2 n-1 n Juro Composto Juro Composto Juro Composto Juros Simples A aplicação se realiza da seguinte maneira: 1º passo: Aplicação de Juros compostos na parcela inteira do prazo ( n I ): FnI = P.(1 + i ) 2º passo: nI Em seguida, conclui-se a capitalização aplicando ao montante obtido (até a parcela inteira tempo) a capitalização simples para o prazo restante (a fração de tempo). FN = nI + nF = FnI .(1 + n F .i) Resultando, FN = P.(1 + i ) I .(1 + n F .i ) n (7) onde, FN = Montante (convenção linear) P = capital aplicado N = Prazo de aplicação = nI + nF nI = parcela inteira do prazo N nF = parcela fracionária do prazo N Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 3.2.6 20 EXEMPLOS. EXEMPLO 7 Avaliar, para os regimes de capitalização simples e composto, a evolução mensal de uma dívida de R$100,00, durante três meses, à taxa de 5,00% a.m.: MÊS JUROS SIMPLES JUROS MONTANTE JUROS COMPOSTOS JUROS MONTANTE 0 1 2 3 EXEMPLO 8 Um capital de R$ 50.000,00 aplicado a juro simples, à taxa de 15% a.m., quanto perfaz ao fim de dois anos? EXEMPLO 9 O valor de US$ 10.000,00 colocado em uma conta, no final de 2.006, a juros de 10% a.a., em quanto montará em fins de 2.015 (desconsiderando correção monetária e alterações da moeda corrente.) EXEMPLO 10) Calcular o montante devido pela utilização de um capital de R$ 1.500,00 por 20 dias à uma taxa de juros de 4%a.m. capitalizados continuamente? EXEMPLO 11) Considerando Juro Composto, determine: a. O capital que, sendo investido durante 4 meses à taxa mensal de 12% dá juro de R$20.000,00 b. O número de meses necessários para que um capital de R$ 50.000,00 investido à taxa semestral de 8%, dê um juro igual a R$ 135.000,00 c. A taxa quadrimestral a que deve ser investido um capital de R$500.000,00 para que dê, ao fim de 12 meses, um juro de R$ 50.000,00 EXEMPLO 12) Calcular o total de juros que deve ser cobrado sobre um empréstimo de R$ 10.000,00, a taxa de 6 % aa durante 5 anos e seis meses considerando a Convenção Linear de juros. IMPORTANTE – o prazo (n) e a taxa de juros (i) devem estar sempre expressas na mesma unidade de tempo. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 3.3 21 TIPOS DE TAXAS DE JUROS. A existência de distintos regimes de capitalização permite a utilização de artifícios que mascaram a rentabilidade real de um investimento de tal forma que os juros, conforme a conveniência, parecerem maiores ou menores. Isto também ocorre quando existem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa expressa na negociação diferir da taxa efetivamente realizada, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas. Como os formulários utilizados em Engenharia Econômica são deduzidos a partir de taxas de juros, que refletem o rendimento efetivo, apresentamos na seqüência as diferentes formas de indicação de taxas de juros, assim como, a metodologia de conversão compatível com os formulários de equivalência de capitais. 3.3.1 TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas de juros (i e im) são ditas proporcionais quando referidas a tempos diferentes (t e tm), mantém entre si a mesma relação que seus períodos de referência i m im t m = i t m= T tm Equivalência de período m ano mês 1 ano=12 meses m=12 meses/ 1 mês = 12 ano da 1 ano = 360 dias m = 360 dias/ 1 dia = 360 mês semana 1 mês = 4 semanas m = 4 semanas / 1 semana = 4 t tm im = (7) EXEMPLO 13 Calcular a taxa de juros mensal proporcional a taxa de 12% ao ano: 3.3.2 TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas (i e im) são ditas equivalentes se produzirem a mesma quantidade de juros (ou igual montante), para o mesmo capital inicial empregado (P) e no mesmo período de tempo (n) F1 = F F2 = F n = 1 período t i P P tm tm tm tm tm im im im im im n =m períodos tm Condição de Equivalência: F1 = F2 = F Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. a) 22 Juros Simples Fórmula do montante para juros simples: F = P. (1+n.i) F1 = P.(1+1.i) F2 = P. (1 + m . im) Condição de equivalência: F = F1 = F2 P.(1+1.i) = P. (1 + m . im) im = i m donde se conclui: JURO SIMPLES: TAXAS PROPORCIONAIS SÃO TAMBÉM EQUIVALENTES b) Juros Compostos. Fórmula do montante para juro composto: F = P. (1+i)n F1 = P.(1+i)1 F2 = P. (1 + im)m Condição de equivalência: F = F1 = F2 P.(1+i) = P. (1 + im)m obtendo-se a equação de equivalência entre duas taxas, para Juros Compostos: (1 + i ) = (1 + im )m (8) donde se conclui: JURO COMPOSTO: TAXAS PROPORCIONAIS NÃO SÃO EQUIVALENTES . c) Juros Contínuos Fórmula do montante para juro contínuo : F = P. ei.n F1 = P. eix1 F2 = P. eimxm Condição de equivalência: F = F1 = F2 F1 = P. eix1 = P. eimxm ou simplesmente, i x 1 = eimxm im = i m donde se conclui: JURO CONTÍNUO: DUAS TAXAS PROPORCIONAIS SÃO TAMBÉM EQUIVALENTES. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 23 EXEMPLO 14 Calcular a taxa de juros mensal proporcional a taxa de 12% ao ano para capitalização simples, composta e contínua. 3.3.3 TAXA EFETIVA Uma taxa de juros é dita efetiva quando ao final do período por ela indicado (período de referência da taxa de juros) o total de juros cobrado (ou incorporado ao principal) corresponde ao valor indicado pela taxa (valor da taxa). juro simples: todas as taxas de juros são efetivas. juro composto: taxa efetiva quando período de referência da taxa de juros igual ao período de capitalização. juro contínuo: não existe taxa de juros efetiva, sempre o período de referência da taxa de juros difere período de capitalização (infinitesimal). Período de capitalização = período de tempo em que os juros são incorporados/cobrados. Período de referência da taxa de juros (ano) Período de capitalização (ano) taxa de 12% ao ano, com capitalização anual. 3.3.4 TAXA NOMINAL Quando uma taxa de juros declarada ou registrada nos contratos de uma operação de crédito ou de investimentos não corresponde ao seu custo efetivo (juro cobrado) é dita nominal. juro simples: não existe taxa nominal. juro composto: taxa nominal quando período de referência da taxa de juros difere do período de capitalização. Juro contínuo: todas as taxas de juros são nominais, sempre o período de referência da taxa de juros difere período de capitalização (infinitesimal). Período de referência da taxa de juros (ano) Período de capitalização (mês) taxa de 12% ao ano, com capitalização mensal. 3.3.5 a) CONVERSÃO DE TAXAS DE JUROS Juro Simples: a.1) Taxa Nominal em Taxa Efetiva Não há de se falar em conversão de Taxa nominal em taxa efetiva para capitalização simples ou contínua pois nunca haverá uma taxa nominal associada à juro simples. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. a.2) 24 Taxas efetivas com diferentes períodos de capitalização a conversão é realizada mediante a aplicação da equação (7) de proporcionalidade entre duas taxas de juros: im = b) i m Juro Composto: b.1) Taxa nominal em Taxa efetiva A taxa efetiva equivalente referida ao mesmo período da taxa nominal, difere da rentabilidade indicado na taxa nominal. A conversão de um taxa nominal em uma taxa efetiva é realizad mediante os seguintes passos: 1º passo: A conversão da taxa nominal para a taxa efetiva implícita é feita no regime de juros simples através da determinação da taxa de juros proporcional referida ao período de capitalização que corresponde a taxa efetiva de juros. Equação (7): im = 2º passo: i m Conhecida a taxa efetiva (taxa proporcional para período de capitalização) determina-se a taxa de juros equivalente para o período desejado. Equação (8) (1 + i ) = (1 + im )m b.2) Taxas efetivas referente a diferentes períodos de tempo: A conversão é realizada mediante a aplicação da equação (8) de equivalência entre duas taxas de juros: (1 + i ) = (1 + im )m c) Juro Contínuo. c.1) Taxa nominal (Juro Contínuo) em Taxa efetiva (Juro Composto) Como nunca haverá uma taxa efetiva associada à juro contínuo para converter uma taxa de juro contínuo em efetiva devemos converter o regime de capitalização de contínuo a composto. A capitalização contínua se caracteriza por ocorrer a períodos de tempo infinitesimais ( ∂t ). Considerando que a capitalização contínua é um caso particular de capitalização composta podemos utilizar a equação (8) que representa a relação de equivalência entre duas taxas de juros compostos. (1 + i ) = 1 + r m m onde r → zero e m m→∞ r m m r r r i = 1 + − 1 = lim 1 + −1 m m→∞ m Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 25 r m r r lim 1 + =e m→ ∞ m Por definição resultando, i = er −1 (9) onde: i = taxa de juros efetiva (juro composto) r = taxa instantânea ou taxa contínua (juro contínuo) obs. As taxas “i” e “r” definidas na equação (9) devem estar relacionadas ao mesmo período de tempo; 3.3.6 TAXAS DE JUROS POSTECIPADA E ANTECIPADA Tanto os juros simples como os compostos, podem ser capitalizados de forma antecipada ou:postecipada. a) Taxa de Juros Postecipada: Uma taxa de juros é dita postecipada quando os juros são cobrados/incorporados ao capital aplicado após decorrido o período de tempo especificado na taxa de juros. TAXA POSTECIPADA P 0 1 2 3 4 n-1 n J1 J2 J3 J4 Jn Os formulários de equivalência entre capitais utilizados na Engenharia Econômica consideraram a cobrança de juros postecipada. b) Taxa de Juros Antecipada. Uma taxa de juros é dita Antecipada quando o juro é cobrado no início do período de tempo indicado na taxa. Neste caso, sempre que inicia um novo período de tempo o juro é pago (recebido) ou incorporado ao capital. P T 0 1 2 A 3 4 n-1 n J1 J2 J3 J4 Jn No caso, por exemplo, dos penhores da Caixa Econômica os juros cobrados são antecipados, ou seja, os juros são pagos na hora da operação de penhora Considerando o mesmo valor da taxa de juros o juro antecipado é sempre maior que o postecipado. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 3.3.7 26 CONVERSÃO DE UMA TAXA ANTECIPADA EM UMA TAXA POSTECIPADA Considerando uma operação de empréstimo (P’), de prazo “n”, a ser paga com juros antecipados, onde: F = valor da divida a ser paga no período “n” = P’ Tendo que o prazo “n” é igual ao período de cobrança do juro, o valor recebido (P) no ato da operação de empréstimo (dedução do juro antecipadamente) corresponde a: ܲ ൌ ܨെ ܬ௧ௗ௦ ia O ..... ........ ie ........................................n =1 O .................................................. ...n =1 Os Juros antecipados correspondem à: J antecipados = P ′.i a = F .i a . Ainda, P=F−J P = F − F .i a = F .(1 − i a ) Para a capitalização composta a ser realizada postecipadamente e no mesmo prazo unitário (n=1), da cobrança antecipada temos: F = P.(1 + ie ) Substituindo P F= (1 − ia ) , teremos, F= (1 − ia ) P = P.(1 + ie ) ie = 1 − (1 − i a ) 1 −1 = (1 − ia ) (1 − ia ) ie = ia 1 − ia (10) Obs. O Período de referência da taxas ie e ia são iguais. 3.3.8 TAXA DE INFLAÇÃO A inflação é a perda do poder aquisitivo da moeda em determinado período de tempo e a correção monetária é o reajuste periódico de certos preços na economia pelo valor da inflação passada, com o objetivo de compensar a perda do poder aquisitivo da moeda. A taxa de inflação é, portanto, a taxa de juros que permite a correção monetária de um determinado capital que sofreu efeito inflacionário. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 27 A taxa de inflação é normalmente obtida através da variação de índices financeiros como mostra a seguinte equação: ϕ 0, n = In − I0 In = −1 I0 I0 (11) ϕ 0,n = taxa de inflação/correção monetária para o período 0 → n I 0 = valor do índice no período inicial (zero) I n = valor do índice no período final (n) Caso se conheça as inflações de sub-períodos (0, 1, 2, ... , n) é possível a obtenção do período total (0 a n) através da equação abaixo: (1 + ϕ 0,n ) = (1 + ϕ1 )(. 1 + ϕ 2 )(. 1 + ϕ 3 ).....(1 + ϕ n ) 3.3.8.1 (12) INDICADORES FINANCEIROS: A correção monetária é um mecanismo criado e institucionalizado no Brasil em 1964, para reajustar os ativos financeiros no sentido de compensar os efeitos contundentes da desvalorização da moeda ou preservar o poder aquisitivo das unidades monetárias. Desde a implantação do Plano Real, em 1994, a correção monetária está oficialmente extinta no país. A lei permite que apenas uns poucos tipos de contrato, todos com duração superior a um ano, possam sofrer correção monetária. IPC, IGPM, IPCA, IGP, ICV, entre outras, são algumas das siglas que em comum têm o objetivo de demonstrar a trajetória dos preços de produtos e/ou serviços no Brasil e, consequentemente, medir a inflação. Porém, cada um destes índices é calculado por um órgão ou instituição distinto, possui uma composição própria e analisa um período característico de tempo (mês, bimestre, semestre etc.). Por isso, surgem divergências entre os índices, que acabam deixando a população em dúvida sobre qual é a inflação real do país. O IGP, calculado pela FGV, é a medida síntese da inflação nacional e que registra o ritmo evolutivo de preços. Sua composição é feita pela média ponderada de três indicadores: Índice de Preços por Atacado (IPA) (60%), Índice de Preços ao Consumidor (IPC) (30%) e Índice Nacional de Preços da Construção Civil (INCC) (10%). Apesar de ter periodicidade mensal, esse índice apresenta três versões diferentes. O IGP-DI (disponibilidade interna) compreende o período entre o primeiro e o último dia do mês pesquisado; o IGP-M (do mercado) calcula o espaço entre o dia 21 do mês anterior e o dia 20 do mês de referência. Já o IGP-10 compreende o período entre o dia 11 do mês anterior e o dia 10 do mês de referência. Na tabela abaixo são apresentados valores/variação de vários índices de correção, nos anos de 1997, 2002, 2006 e 2007: 1997 2002 2006 2007 US $ (dez) IGP-M (% a.a) Selic (% a.a) IGP-DI (% a.a) INPC (% a.a) 1,116 3,545 2,138 1,7713 7,36 11,87 1,90 7,75 24,88 19,26 15,08 11,880 7,48 26,41 3,79 7,89 4,34 14,74 2,81 5,16 Os títulos negociados pelo Tesouro normalmente utilizam dois indexadores: a taxa de inflação (medida pelo índice IGP-M) ou a taxa básica de juros da economia (a taxa Selic). A taxa SELIC é a taxa que reflete o custo do dinheiro para empréstimos bancários, com base na remuneração dos títulos públicos. Também é conhecida como taxa média do over que regula diariamente as operações interbancárias. 3.3.9 TAXA GLOBAL E TAXA REAL DE JUROS Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 28 A taxa real de juros corresponde a rentabilidade efetiva de um investimento financeiro (que não incorpora os efeitos da inflação no período). A taxa global é a taxa de juros que incorpora, além da taxa real, os efeitos da inflação (correção monetária). A equação abaixo relaciona a taxa global, a taxa de inflação e a taxa real de juros referenciadas a um período de tempo “t”: (1 + g ) = (1 + i )(. 1 + ϕ ) Onde, (13) g = taxa global i = rentabilidade real (taxa de juros deflacionada) ϕ = taxa de inflação Deve-se observar que a taxa global não é igual á soma aritmética da taxa real e a taxa de inflação. A taxa global também pode ser chamada de taxa pré-fixada, ou seja é uma taxa que normalmente inclui a taxa de inflação. Nos investimentos com taxa pós-fixada, é revelada a taxa real no momento da aplicação e a taxa global paga no final só é obtida após ser dada a taxa de inflação do período considerado. 3.3.10 TAXA DE MÍNIMA ATRATIVIDADE Taxa de Mínima Atratividade (TMA) é a taxa de juros que identifica a atratividade mínima aceitável para a execução de um projeto de investimento, representando o mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, ou o máximo que um tomador de dinheiro se propõe a pagar quando faz um financiamento. Esta taxa é formada a partir de 3 componentes básicas: Custo de Oportunidade: remuneração obtida em outras alternativas que não as analisadas. Exemplo: caderneta de poupança, fundo de investimento, etc. TM Risco do Negócio: o ganho tem que remunerar o risco inerente de uma nova ação. Quanto maior o risco, maior a remuneração esperada. A Liquidez: capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma posição no mercado para assumir outra. PROJETO 2 PROJETO 1 A taxa de atratividade também pode ser chamada de: custo de oportunidade, custo de capital, taxa de corte (hurdle rate), taxa de desconto. A TMA é considerada pessoal e intransferível, pois a propensão ao risco varia de pessoa para pessoa, ou ainda a TMA pode variar durante o tempo. Assim, não existe algoritmo ou fórmula matemática para calcular a TMA. A TMA pode ser expressa na forma global, isto é, conter a inflação ocorrida/prevista para o período do investimento. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 3.3.11 29 EXEMPLOS EXEMPLO 15 Determinar a taxa efetiva correspondente à taxa de 12% a.a. para aos períodos de capitalização abaixo relacionado e para capitalização anual: ano comercial = 360 dias. PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO “m” TAXA EFETIVA TAXA EFETIVA ANUAL i m (1 + i ) = (1 + im )m Anual Semestral Bianual Quadrimestral Trimestral Mensal Diária Contínua Formulário m= t tm im = i = er −1 EXEMPLO 16 Determinar: a) b) c) d) a taxa instantânea equivalente a taxa efetiva de 12% a.a. a taxa efetiva mensal e anual correspondentes à taxa de 24% a.a. com capitalização semestral. a taxa efetiva anual correspondente a 30% a.a. com capitalização trimestral a taxa instantânea mensal correspondente a taxa de 15 % a.a. com capitalização trimestral. EXEMPLO 17 Qual a taxa de juros postecipada equivalente à taxa de 10% ao mês, capitalizada mensalmente e cobrada de forma antecipada? EXEMPLO 18 Qual a taxa efetivamente cobrada em um empréstimo de R$ 10.000,00, durante 5 meses, sabendo-se que é cobrado antecipadamente 30% de juros? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Matemática Financeira. 30 EXEMPLO 19 Qual a inflação mensal ocorrida entre set/93 (URV = CR$98,51) e março/94 (URV=CR$647,50)? EXEMPLO 20 Um dado investimento pré-fixado, paga 20% ao ano de taxa global, enquanto outro pós-fixado pagará 10% ao ano de taxa real mais a ocorrida inflação do período. Sabendo-se que a capitalização é anual para as duas oportunidades pede-se, escolher qual o melhor investimento em função da taxa de inflação: EXEMPLO 21 Qual a taxa real de juros obtida pela aplicação de um capital de R$1.000,00 por trimestre, sendo R$1147,00 o capital recebido pela aplicação, para uma inflação mensal de 3% a.m? EXEMPLO 22 Uma empresa obteve, em fevereiro de 1995, um empréstimo sujeito a correção monetária pelo IGP-DI a ser devolvido em fevereiro de 1998. Qual a inflação no período sabendo-se que: IGP-DI em jan/95 = 108,785 IGP-DI em fev/98 = 146,038 EXEMPLO 23 Calcular o montante a ser obtido em uma aplicação de R$ 135.000,00 durante 2 anos e 3 meses, à uma taxa anual de 12,6825% a.a. considerando: a) capitalização composta, método linear e taxa de juros anual, b) capitalização composto, método exponencial e taxa de juros anual e, c) capitalização composta e taxa de juros mensal. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4 31 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A metodologia de equivalência de capitais, tema abordado neste capítulo, tem importância fundamental para a compreensão do conceito de valor de dinheiro no tempo, das equações disponibilizadas pela matemática financeira, dos sistemas de amortização de dívidas e critérios de avaliação de projetos de investimentos de alternativas operacionais. 4.1 CAPITAIS EQUIVALENTES Dois ou mais conjuntos de capitais (fluxos de caixas) são ditos equivalentes quando transferidos para uma mesma data de referência, através da mesma taxa de juros se obtém valores iguais. Diante do conceito apresentado, qualquer conjunto de capitais, expresso através de fluxos de caixa onde são lançados ingressos e saídas financeiras ocorrendo em diferentes tempos, pode ser convertido em outro conjunto de valores equivalentes, mas ocorrendo em outros períodos de tempo. 4.2 ANUIDADES: CONCEITO E MODELOS GENÉRICOS Os diferentes valores lançados ao longo da escala de tempo de um fluxo de caixa são denominados de Anuidades. Estes valores são assim denominados, pois é freqüente a subdivisão da escala de tempo de um fluxo de caixa usar como referência o período anual. At O 1 2 . . . .. . . . . . t-1 ∑ t ... . . . . .. . . . . . . . n = At A Anuidade (At) é o somatório de valores monetários que ocorrem em um determinado período de tempo, em um fluxo de caixa. Um fluxo de caixa pode ser constituído de uma ou mais Anuidades que são representadas através de alguns modelos genéricos equivalentes: 4.2.1 Anuidade isolada, Série. ANUIDADE ISOLADA Anuidade Isolada é o valor monetário que ocorre isoladamente em um determinado período de tempo do fluxo de caixa. Duas anuidades isoladas são referências em matemática financeira: 4.2.1.1 Valor presente: representando pela letra “P” Valor futuro: representado pela letra “F” VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL(P) O Valor Presente de um fluxo de caixa corresponde ao somatório dos valores equivalentes na data zero (origem do fluxo de caixa) de todas as anuidades existentes ao longo do mesmo. 4.2.1.2 MONTANTE OU VALOR FUTURO (F): O Valor Futuro, ou Montante, corresponde ao capital total acumulado, formado pelo capital inicial mais os juros produzidos, durante um período de tempo considerado. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.2.2 32 SÉRIE Série é todo o conjunto de anuidades que, sob padrões determinados, ocorrem de forma sucessiva e ao longo de um período de tempo em um fluxo de caixa. 4.2.2.1 SÉRIE UNIFORME Em um fluxo de caixa, uma série é dita uniforme quando as anuidades (recebimentos ou desembolsos) sucessivas são de mesmo valor monetário (A1=A= .... =An=A) e ocorrem em intervalos regulares de tempo. A representação das anuidades de uma série uniforme é feita através da letra “A”, ou a série (o conjunto das anuidades da série) através de Ai,n 0 A A A A A 1 2 3 5 4 A A A n-1 n As séries uniformes se classificam quanto à data de alocação em um fluxo de caixa em: • Série uniforme postecipada • Série uniforme antecipada • Série uniforme diferida a) Série Uniforme Postecipada: Uma série é dita postecipada quando os pagamentos (A) são efetuados no fim de cada intervalo de tempo da série. Neste tipo de série uniforme não existe pagamento (anuidade) na data de origem (tempo zero) da série (A0 = 0). 0 A A A A 1 2 3 A 4 A 5 A A n-1 n Os formulários de Engenharia Econômica são desenvolvidos para série uniforme postecipada ou seja, “n” valores sucessivos iguais a A e onde A0=0. b) Série Uniforme Antecipada: Uma série uniforme é dita Antecipada quando as anuidades da série ocorrem no início de cada período, neste caso, o primeiro pagamento ocorre na data de origem do fluxo de caixa (A0) e é igual a anuidade padrão ( A). A A A A A 0 1 2 4 3 A A A n-1 n c) Série Uniforme Diferida: Uma série uniforme é dita Diferida quando esta ocorre a qualquer tempo do fluxo de caixa, ou seja, quando os pagamentos da série uniforme só se iniciam após a passagem de determinado número de períodos do fluxo de caixa. O primeiro Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 33 pagamento só é efetuado no fim de “t+1” períodos, contando a partir da origem do fluxo de caixa. O prazo “t” de que é atrasado o início da série, é chamado de diferimento da anuidade. O diferimento é também chamado de prazo de carência. A 0 4.2.2.2 1 2 t A A A t+1 t+2 A A A A t+3 t+4 t+5 N-1 t+n SÉRIE GRADIENTE ARITMÉTICA Uma sucessão de valores crescentes segundo uma razão constante é chamada em Engenharia Econômica de Série Gradiente. Esta razão de crescimento constante é conhecida como o Gradiente da série. 0 1 2 3 G 4 5 6 n G 2G G 3G 4G 5G (n-1).G A série que se desenvolve em Progressão Aritmética é chamada de Serie Gradiente Aritmética, ou simplesmente Série Gradiente, e a razão é representada pela letra G. Em Engenharia Econômica também ocorrem fluxos de caixa em que as anuidades se sucedem em razão percentual constante ( j ), neste caso específico a série é chamada de Série Gradiente Geométrica (fig. a seguir). Quando se representa valores sob o efeito de inflação e que, portanto, crescem segundo um percentual constante é um exemplo de Série Gradiente Geométrica 0 1 A 2 3 4 n-1 n A(1+j) A(1+j) 2 A(1+j) 3 A(1+j) n-2 A(1+j) n-1 REPRESENTAÇÃO DE SÉRIE GRADIENTE GEOMÉTRICA Integra o conteúdo didático da disciplina Economia de Engenharia apenas a Série Gradiente Aritmética, as relações de equivalência para a série Gradiente Geométrica, a titulo ilustrativo, serão tratadas no anexo a este material didático. Assim com a série uniforme, a série gradiente (aritmética) pode ser classificada em função de sua alocação no fluxo de caixa em: Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 34 • Série Gradiente postecipada • Série Gradiente antecipada • Série Gradiente diferida a) Série Gradiente Postecipada: Denomina-se uma série em Gradiente Postecipada ao conjunto de sucessivos valores de mesmo sentido, onde o valor na origem é nulo e os demais valores apresentam-se em progressão aritmética onde o primeiro termo desta PA é nulo e a razão da PA (G).é igual ao segundo termo da série. 0 n 1 2 3 4 5 6 G 2G 3G 4G 5G (n-1).G Os formulários de Engenharia Econômica são desenvolvidos para série gradiente postecipada, ou seja, quando a o primeiro termo (A1) da PA, de n períodos e razão G, é igual a zero. a) Série Gradiente Antecipada: Uma Série Gradiente é dita antecipada quando o primeiro termo (valor zero) da PA, de n períodos, que define a série ocorre na origem do fluxo de caixa. 0 1 2 3 4 5 n G 2G 3G 4G 5G (n-1).G c) Série Gradiente Diferida Uma Série Gradiente é dita diferida quando a origem da série ocorre em um período de tempo qualquer do fluxo de caixa. 0 N 1 2 t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+n N-1 G 2G 3G 4G 5G (n-1).G Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.3 35 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA Partindo do conceito de equivalência de valores e admitida a existência dos juros, pode-se desenvolver as expressões para cálculo dos valores equivalentes. As relações de equivalência são equações matemáticas que permitem a obtenção de fluxos de caixa que se equivalem no tempo. A G F P 4.3.1 SIMBOLOGIA A simbologia utilizada para as relações de equivalências é: i= n= P= F= A= G= taxa de juros por período de capitalização número de períodos a ser capitalizado valor presente = quantia de dinheiro na data de hoje montante = quantia de dinheiro no futuro série uniforme de pagamento de “n” termos série gradiente de pagamento de “n” termos As relações de equivalência são simbolizadas através da seguinte sistemática: (X/Y;i;n) = dado X, achar Y, para uma taxa de juros “i”, para um período “n” X = valor conhecido (P, F, A ou G) Y = valor procurado (P, F, A ou G) As relações de equivalência são apresentadas através de tabelas para diferentes taxas de juros. A tabela de juros é disponibilizada como Anexo a este material didático. Todos os problemas de engenharia econômica, onde apresentados e requerem, no mínimo, o conhecimento de três deles. 4.4 i ≠ 0 e n ≥ 1 , envolvem pelo menos quatro dos símbolos RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ANUIDADES ISOLADAS A relação entre anuidades isoladas é estabelecida entre as anuidades P e F. A G P F Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.4.1 RELAÇÃO ENTRE P E F: P F 0 a) 36 1 2 Dado P “i ” n 0 1 2 Achar F n Equivalência de uma anuidade isolada em relação à outra anuidade isolada em uma data futuro a sua ocorrência. Resgatando a equação de montante a juro composto, apresentado no item 3.2.2-b, temos: F = P.(1 + i) n Ou na forma simplificada: F = P.( F / P; i; n) (14) ( F / P; i; n) = (1 + i) n (15) onde: b) Equivalência de uma anuidade isolada em relação à outra anuidade isolada em data anterior a sua ocorrência. P F 0 1 2 Achar F n “i ” 0 1 2 Dado P n A relação é inversa a do item anterior, ou seja, F é conhecido e se deseja obter P: P = F. 1 (16) (1 + i ) n Ou na forma simplificada: P = F .( P / F ; i; n) 1 ( P ; i; n ) = F (1 + i ) n (17) Portanto, 1 (P , i, n) = F F , i, n P ( ) Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.4.2 37 EXEMPLOS: EXEMPLO 24 Uma letra de cambio no valor de R$10.000,00 foi adquirida hoje, rendendo 5%a.m. Devendo o resgate ocorrer após seis meses, quanto deverá ser pago ao portador naquela época? Resolver o problema analiticamente e com o uso das tabelas em anexo. EXEMPLO 25 Se uma pessoa quiser ter R$40.000,00 dentro de cinco anos, quanto deverá aplicar agora, considerando uma taxa de juros de 10%a.a.? Resolver o problema analiticamente e com o uso das tabelas em anexo. EXEMPLO 26 Achar o valor do fluxo caixa abaixo no período 4 a uma taxa de 5% a. p. EXEMPLO 27 Uma aplicação financeira de R$ 200.000,00 rendeu após 7 meses o valor de R$ 300.000,00. Qual a taxa mensal "média" de juros desta aplicação? EXEMPLO 28 Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em outra data futura. Calcular o prazo da operação. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.5 38 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE UMA ANUIDADE ISOLADA E UMA SÉRIE UNIFORME A G F P 4.5.1 RELAÇÕES ENTRE F E A A 0 a) 1 A F A 2 Dado A “i ” n 0 1 2 Achar F n Equivalência entre uma série uniforme (A) de “n” períodos e uma anuidade isolada ocorrendo na data “n”, corresponde a seu valor futuro (F). Para determinar a equivalência do valor futuro de uma serie uniforme, considerando: A = Anuidade padrão da série uniforme postecipada que ocorre durante n períodos, devemos transferir para a data “n” todos as anuidades da série uniforme através da equação (14). (a) F = A + A(1+i)1 + A(1+i)2 + A(1+i)3 + .... + A(1+i)n-1 Multiplicando(a) por (1+i) (b) F(1+i) = A(1+i)1 + A(1+i)2 + A(1+i)3 + .... + A(1+i)n-1 + A(1+i)n (c)F (1+i) = A[(1+i)1 + (1+i)2 + (1+i)3 + .... + (1+i)n-1 + (1+i)n para (c) -(a), temos F(1+i) – F = - A + A(1+i)n → F + F.i – F = A [-1 +(1+i)n] (1 + i )n − 1 F = A. = A. F A ; i; n i ( onde, b) (F A ; i; n) = . (1 + ii) n → F= A [-1 + (1 + i) n ] i ) (18) − 1 (19) Equivalência entre uma anuidade isolada (F) ocorrendo na data futura “n” e uma série uniforme (A) de “n” períodos. Invertendo a equação (18), temos: ( i A = F. = F. A F ; i; n n (1 + i ) − 1 onde, portanto, (A F ; i; n) = ( i 1 + i ) n (20) − 1 1 (A , i, n) = F F , i, n A ( ) (21) ) Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.5.2 RELAÇÕES ENTRE P E A A P 0 a) 39 1 2 Dado P A A “i ” n 0 1 2 Achar A n Equivalência entre uma anuidade isolada (P) ocorrendo na data zero e uma série uniforme (A). Igualando as equações (5) e (18) temos: (1 + i )n − 1 P(1 + i )n = A i (1 + i )n − 1 P = A. = A. P ; i; n n A i.(1 + i ) ( ou, (1 + i )n − 1 i (1 + i ) n A ) (22) (1 + i )n − 1 . P ; i; n = n A i.(1 + i ) ( onde, b) P= Isolando P, ) (23) Equivalência entre uma série uniforme (A) e uma anuidade isolada (P) ocorrente na origem de A. Invertendo a equação (2), obtemos i.(1 + i ) A = P. = P. A P ; i; n n n (1 + i ) − 1 ( (24) i.(1 + i ) . A ; i; n = n n P (1 + i ) − 1 ( Onde, ) ( ( A , i, n) = P P Portanto, c) ) 1 A , i, n (25) ) Observações. Para as equações de equivalência entre uma anuidade isolada (P ou F) e uma série uniforme (A) de “n” termos, devemos estar atentos às seguintes observações: − Sendo dado P ao se multiplicar a relação (A/P;i;n): transforma-se o valor P em uma série uniforme equivalente de “n” termos com origem no período em que se encontra P. − Sendo dado F ao se multiplicar a relação (A/F;i;n): transforma-se o valor F em uma série uniforme equivalente de “n” termos que tem seu enésimo termo no período em que se encontra F. − Sendo dado A ao se multiplicar a relação (P/A;i;n): transforma-se a série uniforme A de “n” termos em um valor equivalente P localizado no período de origem da série uniforme. − Sendo dado A ao se multiplicar a relação (F/A;i;n): transforma-se a série uniforme A de “n” termos em um valor equivalente F localizado no período correspondente ao enésimo termo da série uniforme. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.5.2.1 40 SÉRIE PERPÉTUA Uma série uniforme é chamada de Série Perpétua quando possuir um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras públicas, etc... a) Equivalência entre uma anuidade isolada (P) e uma Série Uniforme Perpétua onde o número de termos tende a infinito. A P 0 1 2 Dado P A A “i ” n 0 1 2 A Achar n→∞ utilizando a equação (23) aplicando n→∞, temos: (1 + i ) n − 1 P = A n i.(1 + i ) (1 + i ) n − 1 P = lim n→∞ A n i.(1 + i ) (1 + i ) n − 1 P = A.lim n→∞ n i.(1 + i ) 1 1 P = A.lim n→∞ − n i. (1 + i ) .i P= Resultando, A = P.i Ou 4.5.3 A i (26) EXEMPLOS: EXEMPLO 29 Qual o valor futuro do seguinte fluxo de caixa, para taxa de juros igual a 10% ao período? A 0 1 A A A A A = R$100.000,00 2 3 4 5 6 EXEMPLO 30 Uma pessoa está interessada em comprar um equipamento cujo preço é de R$400.000,00 . Caso seja dada uma entrada de R$ 50.000,00 e o restante financiado em 24 meses, qual o valor da prestação se a taxa for de 5% a.m.? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 41 EXEMPLO 31 Um empresário pretende fazer um investimento no exterior do qual lhe será pago US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxa de 10% ao ano? EXEMPLO 32 Quanto se deve depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga juros de 10% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos? EXEMPLO 33 Calcular na data zero a equivalência para os fluxos de caixa. a) Considerando taxa de juros de 5% ao período: b) Considerando taxa de juros de 10% ao período: EXEMPLO 34 Uma aplicação paga 30% anual, pergunta-se: se depositar R$ 10.000,00 anualmente durante 5 anos, qual o valor acumulado ao final do décimo ano para o primeiro deposito se realizou ao final do ano 1? EXEMPLO 35 Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importância anual de R$ 12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros igual a 10%? EXEMPLO 36 Qual a menor quantia que um grupo deve cobrar hoje, para dar uma renda anual permanente de R$ 6.000? (i= 12% a.a. com capitalização mensal) Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.6 42 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ANUIDADES ISOLADAS E SÉRIE GRADIENTE: A G F P 4.6.1 a) RELAÇÕES ENTRE P E G Equivalência entre uma série gradiente (G) de “n” termos e uma anuidade isolada (P) ocorrendo na data zero da série. (n-1).G 4G 3G 2G P G 0 1 2 “i ” 3 4 5 n 0 1 Dado G 2 Achar P n Transposição das anuidades da série gradiente G para a data zero: 1 2 3 4 (n − 2) + (n − 1) + + + +K+ (1) P = G 2 3 4 5 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )n−1 (1 + i )n (1 + i ) Multiplicando ambos lados da equação por (1+i), resulta: 1 (n − 2) + (n − 1) 2 3 4 + + + + K+ (2) P(1 + i ) = G 2 3 4 (1 + i) (1 + i) (1 + i)n−2 (1 + i)n−1 (1 + i ) (1 + i ) A diferença entre a equação (2) menos (1): 1 (2 −1) + (3− 2) + (4−3) +K+ (n −1) −(n − 2) − (n −1) P(1+ i) − P = G + 2 3 4 (1+i)n−1 (1+i)n (1+i) (1+ i) (1+i) (1+ i) ainda, 1 1 1 1 1 1− n P + Pi − P = G + + + + K+ + 2 3 4 n − 1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n (1 + i) (1 + i ) P= G 1 1 1 1 1 1 G n + + + + K+ + − 2 3 4 n − 1 i (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n i (1 + i)n a expressão entre chaves corresponde ao valor presente de uma serie uniforme, representado pela fórmula (23), que substituindo tem-se: P= G (1 + i )n − 1 G n − i i(1 + i )n i (1 + i )n Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 1 P = G. n i.(1 + i ) Ou ainda, ( (P G ; i; n) = .i.(1 +1 i) Onde, b) (1 + i )n − 1 − n = G. P ; i; n G i n ) 43 (27) (1 + i )n − 1 − n i Equivalência entre uma anuidade isolada (P) ocorrendo na data zero e uma série gradiente (G) de “n” termos. (n-1).G 4G 3G 2G P 0 1 2 Dado P G “i ” n 0 1 2 3 4 5 n Achar G Isolando G na equação (27) temos: 1 G = P. P ; i; n G ( = P.(G / P; i; n) ) 1 (G / P; i; n) = P ; i; n G ( Onde, (28) ) c) Observações. Para as equações de equivalência entre uma anuidade isolada (P) e uma série gradiente (G) de “n” termos devemos estar atentos as seguintes observações: − Sendo dado P ao se multiplicar a relação (G/P;i;n): transforma-se o valor P em uma série gradiente equivalente de “n” termos com origem no período em que se encontra P. − Sendo dado G ao se multiplicar a relação (P/G;i;n): transforma-se a série gradiente G de “n” termos em um valor equivalente P localizado no período de origem da série gradiente. 4.6.2 a) RELAÇÕES ENTRE F E G Equivalência entre uma série gradiente (G) de “n” termos e uma anuidade isolada (P) ocorrendo na data “n” da série. (n-1).G 4G 3G FP 2G G 0 1 2 “i ” 3 4 5 Dado G n 0 1 2 Achar F Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ n Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 44 substituindo na equação (27) o valor : P = F / (1+i)n ,temos: F (1 + i )n = G (1 + i )n − 1 1 − n n i i.(1 + i ) 1 (1 + i )n − 1 F = G. . − n = G. F ; i; n G i i ( Isolando F, (F G ; i; n) = .1i . (1 + ii) n Onde, b) −1 ) (29) − n Equivalência entre uma anuidade isolada (F) ocorrendo na data “n” e uma série gradiente (G) de “n” termos. Isolando G na equação (29), temos G = F .(G .(G Onde, c) 1 ; i; n) = F . F F ; i; n G ( 1 ; i; n ) = F F ; i; n G ( ) (30) ) Observações. Para as equações de equivalência entre uma anuidade isolada (F) e uma série Gradiente (G) de “n” termos devemos estar atentos as seguintes observações: − Sendo dado F ao se multiplicar a relação (G/F;i;n): transforma-se o valor F em uma série gradiente equivalente de “n” termos que tem seu enésimo termo no período em que se encontra F. − Sendo dado G ao se multiplicar a relação (F/G;i;n): transforma-se a série gradiente G de “n” termos em um valor equivalente F localizado no período correspondente ao enésimo termo da série gradiente. 4.6.3 EXEMPLOS. EXEMPLO 37 Qual o valor presente do seguinte fluxo de caixa à uma taxa de 10% ao período? 300 250 200 100 150 50 0 1 2 3 4 5 6 7 EXEMPLO 38 A partir do próximo segundo ano, desejo aplicar anualmente, de forma crescente, um valor múltiplo de R$10.000,00, multiplicando o primeiro valor por 1, o segundo por 2 e assim por diante. Quanto terei ao final de seis aplicações considerando-se uma taxa anual de 10%a.a.? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 45 EXEMPLO 39 Calcular na data zero a equivalência para os fluxos de caixa abaixo, considerando a taxa de juros de 10% ao período. a) b) 4.7 RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SÉRIE UNIFORME E SÉRIE GRADIENTE: A G F P 4.7.1 RELAÇÃO ENTRE A E G (n-1).G 4G 3G 2G A G 0 1 2 3 4 5 n Dado G A A “i ” 0 1 2 Achar A n Como 1 (1 + i )n − 1 F = G. . − n i i e (1 + i )n − 1 F = A : i Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 46 1 (1 + i )n − 1 (1 + i )n − 1 (1 + i )n − 1 1 − n x A − n → A = G . = G n i i i i (1 + i ) − 1 (1 + i )n − 1 n.i (1 + i )n − 1 n.i 1 1 − x = . − x A = G. A G → n n i i (1 + i ) − 1 i i (1 + i ) − 1 ( 1 n A = G. − = G. A G ; i; n n i (1 + i ) − 1 ) (31) ou inversamente, (n-1).G 4G 3G A 0 1 2G A 2 Dado A A n G “i ” 0 1 2 G = A.( A / G; i; n) = A. 4 5 1 (G A; i; n) (A G ; i; n ) = 1i − (1 + in) onde, 3 Achar G n n . − 1 (32) a) Observações: Para as equações de equivalência entre uma série uniforme (A) e uma série Gradiente (G) devemos estar atentos as seguintes observações: 1. Sendo dado A ao se multiplicar a relação (G/A;i;n): transforma-se a série uniforme A de “n” termos” em uma série gradiente equivalente, também de “n” termos, que tem sua origem no período de origem da série uniforme. 2. Sendo dado G ao se multiplicar a relação (A/G;i;n): transforma-se a série gradiente G de “n” termos” em uma série uniforme equivalente, também de “n” termos, que tem sua origem no período de origem da série gradiente. 4.7.2 EXEMPLOS. EXEMPLO 40 Calcular a Série Uniforme equivalente aos fluxos de caixa abaixo, considerando a taxa de juros de 10% ao período. a) 300 250 50 0 1 2 150 100 3 4 200 5 6 7 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 47 b) c) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5,500 6,000 6,500 7,000 7,500 8,000 8,500 9,000 9,500 10,000 2) Calcular a Série Gradiente equivalente aos fluxos de caixa abaixo, considerando a taxa de juros de 10% ao período. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 10.000,00 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.8 48 TAXA DE JUROS ENTRE DOIS CONJUNTOS DE CAPITAIS EQUIVALENTES A taxa de juros que determina a equivalência entre o conjunto de desembolsos e o conjunto de receitas de um projeto de investimento é chamada de Taxa Interna de Retorno do projeto. Como apresentado no item 4.1, para que dois conjuntos de capitais (1) e (2) sejam ditos equivalentes os valores dos fluxos (1) e (2) na data “t”, transferidos pela mesma taxa de juros “ i “ devem, necessariamente, ser iguais. Considerando que dois conjuntos de capitais (1) e (2) são representados pelas funções f 1 (i ) e f 2 (i ) as quais correspondem, respectivamente, aos valores os fluxos (1) e (2) na data “t”, transferidos pela mesma taxa de juros “ i’” e que K(i) é a equação definida pela diferença entre as funções f 1 (i ) e f 2 (i ) , ou seja: K (i ) = f 1 (i ) − f 2 (i ) na condição de equivalência, tem-se: f1 (i ) = f 2 (i ) e K (i ) = f 1 (i ) − f 2 (i ) = 0 * Conforme representação gráfica da equação K(i), a taxa de juros ( i ) correspondente a raiz da equação K(i) determina a equivalência entre os capitais(1) e (2):: K(i) i* i 4.8.1 MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON * O método de Newton-Raphson é um método iterativo que permite a determinação aproximada da taxa de juros ( i ) que estabelece a equivalência entre dois conjuntos de capitais..O processo iterativo é realizado mediante a arbitragem de sucessivos valores para i de tal forma se aproxime da condição de equivalência, ou seja: K(i) = zero, conforme se apresenta: a). PRIMEIRO PASSO DA ITERAÇÃO: arbitragem do valor i1 e determinação de K1 = K(i1 ) . K(i) k1 i* i1 i Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais b) SEGUNDO PASSO DA ITERAÇÃO: arbitragem do valor de 49 i2 e determinação de K 2 = K(i2 ) com sinal inverso ao sinal K1 . K(i) k1 i* i2 i1 i k2 678 c). APROXIMAÇÃO: considera-se o segmento em curva K1 K 2 como fosse um segmento de reta K1 K 2 K(i) k1 i * i* d). CALCULO DE i2 i1 k2 i i * ( ou TIR) APROXIMADA: Por semelhança de triângulos temos, K i* i2 i1 K1 K2 = i * − i1 i2 − i* K1 .i2 − K1 .i* = K 2 .i * − K .i1 K1 .i2 + K .i1 = K 2 .i* + K1 .i* = i * .( K 2 + K1 ) i* = K (i1 ) . i 2 + K (i 2 ) . i1 (27) K (i1 ) + K (i 2 ) Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais e) 50 GRAU DE PRECISÃO: O grau de precisão do processo depende do intervalo entre equação de equivalência i1 e i2 , e pode ser avaliada substituindo-se i * na K (i ) para verificar a sua aproximação em relação ao valor zero: ( ) K i* ≅ 0 ( ) estiver muito afastado de Quando a verificação não se apresenta satisfatória, isto é, quando o valor de K i * zero, iguala-se o valor de i obtido na primeira iteração à taxa também, um outro valor de 4.8.2 * i1 ( i* = i1 ), repete-se o processo iterativo novamente buscando, i2 para o refinamento do resultado . EXEMPLOS: EXEMPLO 41 Qual o custo, em termos de taxa de juros, do lançamento de títulos no valor de R$1.000,00, a serem resgatados após quatro anos, sabendo-se que estes títulos pagam juros de 3% a.a. sobre o seu valor nominal e que as despesas de lançamento foram de R$100,00? EXEMPLO 42 Uma financiadora empresta dinheiro, devendo o empréstimo ser pago em 8 prestações trimestrais, cada uma delas igual a 20% do total recebido. Qual a taxa de juros efetiva desta operação? Considerando a inflação de 30% ao ano, qual a taxa efetiva real que está sendo paga pelo tomador de empréstimo? EXEMPLO 43 Calcular a taxa de juros que determina a equivalência entre as receitas e desembolsos do fluxo de caixa abaixo: 60 1 41 2 65 3 100 EXEMPLO 44 Calcular a TIR de um investimento de $640,000, considerando que a sua implementação gerará receitas de $180,000 por ano; estima-se que as despesas anuais serão de $44,000, e que passarão a reduzir em $4,000 por ano a partir do final do terceiro ano. Considere o período de análise de oito anos. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 4.9 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 51 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Determinar o montante de R$1.200,00 no fim de 4 anos, à taxa de 12 %a.a. capitalizados mensalmente: a) para Juro Simples b) para Juro contínuo c) para Juro Composto O capital de R$50,00 esteve depositado durante uma no numa Instituição Financeira à juros de 1,5% ao trimestre. Sabendose que as correções monetárias trimestrais foram, respectivamente de 3,7%, 4,2%, 5,1% e 3,9%, qual o montante no final do ano? Em que prazo a quantia de R$120.000,00 , à 5% a.m. renderá a importância de R$100.000,00? A quantia de R$500.000,00 foi colocada à juros compostos durante 8 meses e rendeu R$ 267.343,26 de juros. Calcular a taxa mensal desta aplicação. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de R$100.000,00 em um banco que cobra 5%a.m. de juros. Quanto esta pessoa deverá pagar se o prazo do empréstimo for de 5 meses? Após quantos meses um certo capital empregado à 5%a.m. duplica seu valor? Calcule o valor presente dos seguintes fluxos de caixas (i=10% ao período) a) 70 50 50 ........ 50 0 1 2 3 4 5 ................... 15 b) A A 0 1 0 1 2 ..... 3 A=100 .... 10 c) 2 3 4 5 6 7 120 150 200 250 300 350 8) 400 Qual o valor da anuidade da série uniforme equivalente ao fluxo de caixa, sendo a taxa de juros de 10% ao período? 0 1 2 3 4 100 5 6 100 200 200 300 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 9) 52 Calcular a Série Uniforme equivalente aos fluxos de caixa abaixo, considerando a taxa de juros de 10% ao período. 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 10.000,00 10) Calcular o rendimento obtido aplicando R$1.500,00, durante 7 meses e 15 dias, à taxa de juro anual de 5%, em regime de capitalização simples. 11) Considere a taxa anual de 8%, em regime de capitalização composta e capitalização trimestral: a) Qual a taxa mensal efetiva b) Qual a taxa mensal nominal c) Qual é a taxa efetiva referida ao período de capitalização? d) Qual é a taxa trimestral antecipada? e) qual a taxa instantânea equivalente à taxa efetiva trimestral? 12) Qual é a taxa de juros anual efetiva real de um empreendimento que rende juros nominais de 40% a.a. capitalizados trimestralmente, num regime de inflação de 30% a.a.? 13) Com o nascimento do primeiro neto, em 1º de março de 1984, o avô decidiu depositar imediatamente R$1000,00 numa conta aberta na Caixa Econômica em nome do garoto. A idéia é constituir um fundo para que a criança possa, no futuro, cursar uma boa escola superior. Assim, o avô continua depositando o mesmo valor a cada aniversário do neto, até (inclusive) seus 18 anos. A Caixa Econômica rende 6% ao ano e capitalização mensal. Supomos que a correção monetária cubra exatamente a inflação. Pergunta-se: a) Calcule o valor disponível na caderneta de poupança imediatamente após o 18º aniversário. b) Imagine que o garoto beneficiado vai retirar todo o dinheiro em quantias iguais no seu18º, 19º, 20º, 21º e 22º aniversário, a fim de pagar os cinco anos de escola. Quanto vai ser retirado? 14) Um investidor efetua um depósito de R$ 5.000,00. Daqui a 6 meses reforçará o depósito em R$2.000,00, estando ainda nos seus planos efetuar uma retirada daqui a 9 meses no valor de R$2.000,00. Confirmando-se estes movimentos, qual será o saldo do depósito ao fim de um ano, considerando uma taxa de juro anual de 10%, com capitalização mensal (regime de juro composto). 15) Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de R$ 18.000, vencida há três meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de R$ 72.000,00, com cinco meses a decorrer de seu vencimento. Determinar o valor do pagamento a ser feito de imediato pela empresas para liquidar essas duas notas promissórias, levando-se em conta uma taxa de 0,9 % ao mês. 16) A empresa POLO SUL tinha obtido no Banco BX os empréstimos abaixo discriminados, baseados numa taxa de juro anual efetiva de 11,4632%. - 14.500,00 EUROS com vencimento em 31.12.2005 20.000,00 EUROS com vencimento em 31.03.2006 25.000,00 EUROS com vencimento em 30.06.2006 13.000,00 EUROS com vencimento em 30.09.2006 12.000,00 EUROS com vencimento em 31.12.2006 Em dificuldades financeiras, a empresa não conseguiu efetuar os primeiros pagamentos nas datas convencionadas, tendo iniciado negociações para a sua substituição. Em 01-07-2006 conseguiu chegar a um acordo com o Banco, que se consubstanciou nos seguintes termos e condições: Quitação da dívida, vencidas e vincendas, em duas prestações iguais e vencíveis, respectivamente, a três e a seis meses da data acima (renegociação). A taxa de juro convencionada nesta renegociação foi de 12% anual nominal (capitalização mensal). Calcular o valor de cada uma das novas prestações acordadas (Regime juros compostos). 17) Certa entidade é devedora a uma outra de, respectivamente: - 5.000,00 EUROS que se vencem daqui a 6 meses 7.500,00 EUROS que se vencem daqui a um ano 5.250,00 EUROS que se vencem daqui a 18 meses Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Equivalência de Capitais 53 A taxa de juro subjacente a estas operações é de 9% anual, com capitalizações semestrais. As partes interessadas acordaram na substituição daquelas dívidas por uma única correspondente à soma aritmética do conjunto a vencer no momento t. Pede-se: Determinar a data do vencimento do capital único ou seja o vencimento do valor médio equivalente daqueles capitais, considerando o regime de juro composto 18) Calcular a série gradiente equivalente ao fluxo de caixa abaixo, considerando a taxa de 15% ao período. 6A 4A 2A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 3A 5A 19) Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado a seguir: 1000 500 0 a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Determine o esboço gráfico do VP em função da taxa de desconto, no intervalo entre 0 e 3% de juros ao período, em intervalos de 1% e defina o valor da TIR sabendo que a aplicação se exaure caso se efetue uma única retirada no final do 9º período, no valor de 5.500,00. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ProjetoS de Investimento 5 54 PROJETOS DE INVESTIMENTO Investimento é a aplicação de recursos monetários em empreendimentos, com o objetivo de geração de lucros, em geral a longo prazo. O termo aplica-se tanto à compra de máquinas, equipamentos, edificação e imóveis para a instalação de unidades produtivas como à compra de títulos financeiros. Em sentido estrito, investimento significa a aplicação de capital em meios que levam ao crescimento da capacidade produtiva, ou seja, em bens de capital. Projeto se constitui, por sua vez, como uma atividade definida, com um ponto de partida e um ponto de chegada específico, destinado a atingir um objetivo preciso. Projeto de investimento: é atividade na qual são aplicados recursos (os custos) com vista a criar ativos que permitam produzir benefícios durante um período de tempo prolongado. Pode ser igualmente considerado como Projeto de Investimento o mais pequeno elemento operacional preparado e executado como entidade distinta no interior de um plano ou programa (empresarial ou estatal). Quanto aos seus objetivos, os projetos de investimentos podem ser classificados em: Investimentos de reposição (equip. análogo) Investimentos de modernização (equip. mais evoluído) Investimentos de inovação (inov. tecnológicas) Investimentos de expansão (volume do negócio) Investimentos estratégicos (alteração de estratégia) Um projeto de investimento pode produzir benefícios avaliáveis em termos monetários ou benefícios intangíveis 5.1 INTER-RELACIONAMENTO ENTRE PROJETOS DE INVESTIMENTOS Dependendo das circunstâncias que se inter-relacionam, duas ou mais alternativas de investimento podem ser consideradas: Independentes, Mutuamente exclusivas ou Excludentes Contingentes. Quando a escolha de uma alternativa, entre um conjunto de alternativas, não causa na escolha ou rejeição em nenhuma das alternativas do conjunto analisado, esta alternativa é definida com Alternativa Independente. Por exemplo, assumindo que existam duas alternativas, (a) e (b), e capital ilimitado a investir. Neste caso, a escolha de uma alternativa, de duas ou de nenhuma são possíveis. Ou seja, (a) e (b) são avaliadas individualmente em relação à alternativa status-quo que é “não-fazer nada”. Por outro lado, quanto a seleção de uma alternativa é influenciada por outra alternativa ela é dita Alternativa Dependente. Quando a seleção de uma alternativa, integrante de um conjunto de alternativas de investimento, implicar na exclusão de qualquer outra alternativa, estas serão definidas como Alternativas Mutuamente Exclusivas ou Excludentes. O termo “alternativas mutuamente exclusivas” significa que só poderá ser selecionada uma ou outra alternativa, nunca as duas simultaneamente. Por exemplo, considerando a disponibilidade de um terreno com metragem suficiente para a construção de um pet-shop ou de um restaurante, mas não ambos os empreendimentos. Quando a seleção de uma alternativa só pode ocorrer após a implementação de outra alternativa, esta alternativa é dita Alternativa Contingente ou Condicionada. A implementação de uma alternativa contingente depende da seleção de uma alternativa pré-requisito, por outro lado, a seleção de uma alternativa pré-requisito independe da alternativa contingente. Por exemplo, construir uma chaminé para a instalação de filtros pode ser contingente (ou condicionalmente dependente) da decisão de construir um forno a carvão combustível (alternativa pré-requisito). Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6 55 ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS A Análise de Projetos de Investimentos consiste em aplicar critérios que permitam identificar a escolha da alternativa mais interessante, assim como, definir se é ou não justificável investir recursos financeiros na implementação de determinados projetos de investimentos. A Análise de Investimentos tem sido definida de várias maneiras durante as ultimas décadas, sendo, em síntese, entendida como uma operação intelectual que permite medir o valor do Projeto com base na comparação dos benefícios gerados em relação ao capital investido e custos decorrentes no horizonte de planejamento ou vida útil do Projeto. O processo de avaliação de Investimentos é comumente realizado por exigência prévia das entidades de desenvolvimento (BID, BIRD,...) para o financiamento de projetos e empreendimentos. A Avaliação de Projetos de Investimento é para o tomador de empréstimo uma importante ferramenta para tomada de decisões, pois permite analisar os impactos (custos ao empreendimento) que advém do aporte de recursos, sob diferentes hipóteses de financiamento. A avaliação do investimento pode ser classificada segundo a fonte de financiamento do capital aplicado, a natureza ou objetivos do Projeto, ou seja: Avaliação Financeira Avaliação Econômica Avaliação Sócio-ambiental As três categorias de Avaliação de Projetos têm campo de ação definido e utilizam técnicas e indicadores de medição similar. A avaliação socioambiental é a única que consiste no manuseio de valores monetários e/ou valores sócio ambientais. Em todos os casos, observadas as respectivas peculiaridades, e considerados à parte os aspectos políticos e subjetivos, a avaliação de investimentos pode ser feita matematicamente, uma vez que sejam definidos ou conhecidos os fluxos de caixa dos valores resultantes desses investimentos. Avaliar um Projeto sobre o ponto de vista financeiro consiste em analisar sob o enfoque empresarial, ou seja, medir o valor projetado de tal forma que haja a maximização do lucro. A avaliação econômica, por sua vez, além de medir os fatores financeiros também analisa outras variáveis como, a conjuntura econômica, demanda de mercado e restrições orçamentárias. Se nos fluxos de caixa estiverem definidos os custos (despesas ou saídas de recursos) e os recebimentos (receitas ou entradas de recursos), relacionados às respectivas épocas de ocorrência, é possível julgar se vale à pena efetuar os investimentos (ou, dependendo do caso, se vale à pena tomar os recursos) através de diferentes processos ou da obtenção de diferentes indicadores. Quando for possível prever, com alto grau de exatidão, os fluxos de caixa associados aos diferentes projetos de investimentos, assim como, os custos do capital inerentes a sua consecução, diz-se que a tomada de decisão se dá sob condição de certeza. Os métodos de seleção de alternativas de investimentos discorridos neste capítulo consideram os projetos de investimentos sob condição de certeza. 6.1 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS A análise de investimentos deve seguir os seguintes princípios básicos: Todas as decisões são tomadas à partir de alternativas. Não existe decisão a ser tomada considerando-se alternativa única. Apenas as diferenças entre alternativas são relevantes Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6.2 56 Só se podem comparar alternativas homogêneas Os critérios para decisão entre alternativas econômicas devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo (moeda, juros) (Não podemos realizar operações aritméticas com eventos financeiros de diferentes pontos no tempo). É necessário ordenar as alternativas por meio de um denominador comum. Uma alternativa só deve ser analisada desde que demonstre um adequado retorno financeiro. Deve-se considerar o grau de incerteza presente nas variáveis consideradas por meio de ajustes nas previsões efetuadas. Não devem ser esquecidos os problemas relativos à racionamento. As decisões devem envolver também os eventos não monetários. (bens: Tangíveis ($) e Intangíveis) ELEMENTOS REQUERIDOS NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Para a correta elaboração de uma análise investimentos é necessário o levantamento das seguintes informações: o horizonte temporal a definição do fluxo de caixa, através da determinação: dos custos totais (custos totais de investimento e custos totais de exploração – CO&M) das receitas geradas pelo projeto, incluindo o valor residual do investimento e consideração: do ajustamento correspondente à inflação o da determinação das taxas de financiamento a verificação da viabilidade financeira 6.2.1 o a escolha da taxa de juros de referência apropriada; a escolha do indicador de desempenho mais apropriado. HORIZONTE TEMPORAL Por horizonte temporal ou Horizonte de Planejamento entende-se o número máximo de anos sobre os quais são fornecidas previsões. As previsões relativas à evolução do projeto de investimento devem ser formuladas para um período correspondente à sua duração de vida econômica, suficientemente longo para cobrir o eventualidades que impactem à médio ou longo prazo. A escolha do horizonte temporal pode ter um efeito extremamente importante nos resultados do processo de avaliação. Mais concretamente, esta escolha afeta o cálculo dos principais indicadores da análise de custos do projeto de investimentos. A duração de projetos em engenharia varia em função da natureza dos investimentos: È mais longa para os trabalhos de construção civil (30-40 anos) do que para as instalações técnicas (10-15 anos). No caso de um investimento misto que inclua trabalhos de construção civil e instalações, a duração de vida do investimento pode ser fixada com base na duração de vida da infra-estrutura principal (neste caso, deve ser incluído na análise o investimento na renovação da infra-estrutura com duração de vida mais curta). A duração de vida de um projeto de engenharia pode também ser determinada tendo em conta a Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 57 natureza jurídica ou administrativa: por exemplo, a duração de uma concessão, quando for o caso. Os projetos de infra-estruturas são geralmente avaliados por um período de 20-30 anos, o que representa uma estimativa aproximada da sua duração de vida econômica. Embora os seus ativos físicos possam durar muito mais tempo - por exemplo, uma ponte pode durar 100 anos - não é recomendado procurar fazer previsões para períodos tão longos. No caso de ativos com uma duração de vida muito longa, recomenda-se acrescentar um valor residual no final do período de avaliação para dar uma idéia do seu valor potencial de revenda ou do seu valor em caso de continuação da sua utilização. HORIZONTE TEMPORAL MÉDIO RECOMENDADO PROJETOS POR SETOR HORIZONTE MÉDIO (ANOS) Energia 25 Água e meio ambiente 30 Ferrovias 30 Rodovias 25 Portos e aeroportos 25 Telecomunicações 15 Indústrias 10 Outros serviços 15 Fonte: FEDER – FUNDO EUROPEU DE DESENVOLVIMENTO REGIONAL 6.2.2 FLUXO DE CAIXA Os dados do projeto devem incluir informação sobre os recursos e resultados materiais numa mesma base temporal. Os recursos incluem pessoal, matérias-primas, aquisição de energia ou de qualquer outro bem material relevante, bens de investimento, etc; os resultados incluirão quantidades de serviço e/ou de produto fornecido. 6.2.3 DETERMINAÇÃO DOS CUSTOS TOTAIS O custo total de um projeto de engenharia é igual a soma dos custos de investimentos (terrenos, edificações, licenças, patentes, impostos, ..) mais os custos de operação e manutenção do Projeto durante a sua vida útil estimada. Critérios utilizados por agentes de fomento internacionais para a análise financeira de projetos de investimentos aprovam a inclusão dos custos totais de investimentos desde a apresentação do pedido de financiamento, em outras palavras, nenhum custo previamente suportado pode ser considerado para a determinação de desempenho de alternativas. 6.2.4 DETERMINAÇÃO DAS RECEITAS GERADAS A previsão de receitas geradas é realizada em função do preço estimado de venda dos bens e serviços gerados em projeto e dá-se através do estudo de demanda de mercado.. Em projetos de infra-estrutura, geralmente as receitas lançadas na análise de investimento são aquelas que venham a ser revertidas aos proprietários da infra-estruturas em decorrência de venda de bens ou serviços, aluguel ou cessão de direito de uso (concessão). 6.2.5 DETERMINAÇÃO DO VALOR RESIDUAL DO INVESTIMENTO O valor residual figura entre as receitas que ocorrem no final do horizonte temporal do projeto de investimento e representa o valor dos ativos consolidados durante a vida do projeto (edificações, máquinas e equipamentos,...). Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 58 O valor residual é geralmente calculado como o valor de mercado que o ativo imobilizado tem ao final da perspectiva temporal considerada na análise de investimento. O valor residual também pode ser obtido mediante o emprego dos métodos de depreciação os quais permitem estimar a perda de valor do ativo imobilizado durante o horizonte de planejamento considerado. 6.2.6 TAXA DE JUROS DA ANÁLISE DE INVESTIMENTO Os indicadores de desempenho utilizados em engenharia econômica para hierarquização e seleção de alternativas de investimento, são obtidos mediante o emprego da taxa de juros de Referência para a ponderação da rentabilidade dos projetos. Existem muitas formas teóricas e praticas para a taxa de juros que é a taxa de referência na análise financeira. Uma definição geral e pouco contestada diz que a taxa de juros para cálculo de indicadores de desempenho é a taxa de oportunidade do capital. O custo de oportunidade significa que , quando é investido capital em um projeto, há a renúncia ao rendimento em um outro projeto. Procedendo este investimento, encontramos, portanto, um custo implícito: a perda de rendimento que outro projeto geraria. Fundamentalmente, existem três abordagens que permitem identificara a taxa de juros de referência para a análise de investimentos.: A primeira abordagem considera um custo mínimo de oportunidade do capital. Neste caso a taxa utilizada é a taxa real de rendimento das obrigações do Estado (custo marginal do déficit público) ou a taxa real empregada em empréstimos comerciais de longo prazo (quando se tratar de aplicação de recursos privados) A segunda abordagem fixa um limite máximo para a taxa de referência para atualização dos fluxos dos projetos analisados. Nesta concepção toma em consideração o rendimento (perdido) que a melhor solução alternativa de investimento teria permitido obter. Na prática, o custo de oportunidade do capital é calculado analisando o rendimento marginal de uma carteira de títulos no mercado financeiro internacional,a longo prazo e com um risco mínimo. A terceira abordagem consiste em determinar uma taxa limite. Isto implica evitar proceder a uma análise detalhada do custo especifico em capital de um dado projeto (como na primeira abordagem) ou ter em conta carteiras especificas dos mercados financeiros internacionais ou nos outros projetos para o mesmo investidor (como na segunda abordagem) e recorrer a uma simples aproximação: Toma-se uma taxa de juro especifica ou uma taxa de rendimento de um emissor bem estabelecido numa divisa largamente comercializada e aplicase um multiplicador a esta referência mínima. EXEMPLOS DE TAXAS DE JUROS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS PRATICADAS NA EUROPA SETOR PAIS TAXA DE JUROS ENERGIA PORTUGAL LITUÂNIA POLÔNIA ESPANHA FRANÇA PORTUGAL 11 3 5 5-6 8 10 ÁGUA E AMBIENTE TRANSPORTES INDÚSTRIA Fonte: projetos ISPA - FC e FEDER., 2006 A título indicativo, uma taxa real de 6% pode ser considerada como o parâmetro de Referência do capital a longo prazo. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6.3 59 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS: Os métodos de Análise de Investimento são processos quantitativos capazes de determinar as alternativas factíveis ou ótimas para a aplicação de capital e ordená-las hierarquicamente de acordo com sua desejabilidade econômica. Quando um ou mais projetos alternativos de investimento são analisados é preciso levar em consideração os fatores básicos, a saber: O valor monetário dos fluxos de caixa (desembolsos e recebimentos ) associados a cada projeto de investimento. As datas que os fluxos de caixa ocorrerão. O retorno mínimo esperado por quem pretende investir. Esta medida é denominada, Taxa de Mínima Atratividade e representa o retorno que o investidor pode obter aplicando seus recursos em projetos diferentes aos que estão sendo analisados. Os Métodos mais utilizados na análise de investimentos e respectivos indicadores são: Método do Valor Presente Líquido Método do Valor Anual Líquido Método do Custo Anual Uniforme Método da Taxa Interna de Retorno Método do Prazo de Retorno (pay-back) Método da Relação Benefício-Custo Os métodos de avaliação de investimento se caracterizam pelo tipo de indicador financeiro utilizado e têm peculiaridades, vantagens e desvantagens inerentes a cada caso em particular. 6.3.1 MÉTODO DO VALOR PRESENTE A fim de satisfazer o requisito básico, segundo o qual as alternativas devem ser comparadas somente se os fluxos de caixa forem transladados a um ponto comum no tempo, a “Data Presente” é o ponto de referência no Método do Valor Presente. O Método do Valor Presente, portanto, se caracteriza por transferir todos os eventos financeiros que compõe o fluxo de caixa da alternativa sob análise para a data zero de seu fluxo de caixa, que é chamado de Valor Presente Líquido (VPL) ou simplesmente de Valor Presente (VP). O valor presente mede o lucro Líquido (se positivo) ou prejuízo (se negativo) a valores atuais que se obtém por investir no projeto ao invés de investir à taxa de oportunidade (TMA) e é o indicador utilizado na comparação de diferentes alternativas de investimentos. a) ANÁLISE ATRAVÉS DO VP: Obter o Valor Presente (VP) significa transpor, mediante a taxa de mínima atratividade (TMA), os eventos financeiros de um fluxo de caixa de datas no futuro à data presente de forma a encontrar seu valor equivalente na data zero. O Método do valor Presente é um dos métodos mais utilizados para a hierarquização de um conjunto de investimentos mutuamente exclusivos. Considerando que o Valor Presente de um projeto indica, na data zero, o lucro (recebimentos menos desembolsos) do projeto para uma determinada TMA , quando um projeto de investimento apresentar um VP positivo é considerado viável - o que significa que o VP dos recebimentos é superior ao VP dos desembolsos previstos para o projeto. No caso de análise de várias alternativas de investimento, a alternativa mais viável é aquela que possuir maior valor presente. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 60 Resumidamente, a análise de alternativas de investimento considerando o VP é: − Significa que o valor presente dos recebimentos é maior que os correspondentes desembolsos. − é um projeto economicamente interessante à taxa considerada (TMA) VP > 0 − quando se compara mais de uma alternativa de investimento aquela que obtiver o maior VP deve ser a preferida sob o ponto de vista econômico. − o projeto produz um retorno de capital de valor apenas igual ao custo do capital à taxa considerada (TMA). VP=0 − não compensa sua implementação. − os benefícios não são suficientes para assegurar a recuperação do capital investido à taxa considerada (TMA). VP<0 − o projeto deve ser rejeitado. 6.3.1.1 EXEMPLOS: EXEMPLO 45 Estabelecer o valor máximo de compra de um negocio, através do Método do Valor Presente, no qual são estimados ingressos anuais de $50.000 durante um horizonte de avaliação de 4 anos e um valor de mercado ao final deste período de $100.000, sabendo-se que o custo de oportunidade é de 20% a.a. EXEMPLO 46 A secretaria municipal de saúde de Lonjura planeja instalar uma rede de abastecimento de água em um distrito agrícola para reduzir a transmissão de enfermidades entre os moradores locais. Espera-se que a construção da rede exija o aporte de R$100.000,00 dos cofres municipais e que proporcionará a redução de custos com saúde pública na ordem de R$20.000 anuais durante os próximos 10 anos. Afora os evidentes benefícios sociais, sendo a TMA para o município igual à 10%a.a, analise se o investimento é financeiramente atrativo. EXEMPLO 47 A secretaria de obras do município de Lonjura detectou que os custos de manutenção periódica da ponte metálica sobre o Rio Deságua estavam se tornando bastante elevados. A equipe de engenheiros da secretaria propôs duas soluções técnicas à questão apontada e que teriam vida útil estimada de 10 anos. A primeira solução indicava a restauração geral dos componentes estruturais d obra de arte especial (OAE) existente o que exigiria investimentos na ordem de R$ 1.000.000,00 e que reduziriam as atuais despesas com manutenção em R$ 200.000,00 por ano. Neste caso o valor residual da ponte metálica, ao final de 10 anos, deve ser negligenciado. A segunda solução seria desmontar a estrutura metálica existente e construir uma nova ponte em concreto. Esta alternativa exigiria investimentos de R$ 3.000.000,00 e os atuais custos de manutenção reduziriam em R$ 470.000,00 por ano. Neste caso o valor residual da nova OAE, ao final do décimo ano seria de R$1.070.500,00. Supondo uma TMA de 8% qual a solução que deve ser implementada pelo município? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6.3.2 61 MÉTODO DO VALOR FUTURO O Método do Valor Futuro se caracteriza por transferir todos os eventos financeiros que compõe o fluxo de caixa da alternativa sob análise para o horizonte de planejamento (n) do projeto de investimento. Este valor equivalente do fluxo de caixa na data “n” é chamado de Valor Futuro (VF) ou de Valor Futuro Líquido (VFL). Este método de avaliação de investimentos tem como indicador de ponderação da viabilidade de um projeto o Valor Futuro (VF) do correspondente fluxo de caixa. O VF é obtido do somatório de todos os valores equivalentes dos eventos financeiros ocorridos em um fluxo de caixa (receitas e desembolsos) na data final (n) deste fluxo, em função da taxa de mínima atratividade (TMA). a) ANÁLISE ATRAVÉS DO VFL: O Valor Futuro (VF) mede o valor equivalente do lucro (recebimentos menos desembolsos) do projeto, no seu horizonte de planejamento (n), para a taxa de juros igual a TMA. O método do VF tem como finalidade determinar um valor no instante considerado final de um fluxo de caixa (VF) e, através deste valor comparar as alternativas sob apreciação. A avaliação de um único projeto de investimento é feita considerando a viabilidade do projeto se o seu VF resultar positivo o que significa que o VF dos recebimentos é superior ao VF dos desembolsos previstos para a TMA. Para um conjunto de alternativas a hierarquização, para a escolha da melhor alternativa de investimento, é feita por ordem decrescente do VF das alternativas. Resumidamente, a avaliação de alternativas de investimento mediante o emprego do VF é realizada como mostra o quadro abaixo: VF > 0 − Significa que o valor futuro dos recebimentos é maior que os correspondentes desembolsos á taxa considerada (TMA). − é um projeto economicamente interessante à taxa considerada − quando se compara várias alternativas: aquela que obtiver o maior VF deve ser a preferida sob o ponto de vista econômico. VF=0 − o projeto produz um retorno de capital de valor futuro apenas igual ao custo do capital à Taxa considerada (TMA). − não compensa sua implementação VF<0 − os benefícios na data futura não são suficientes para assegurar a recuperação do capital investido à taxa considerada (TMA). − o projeto deve ser rejeitado. 6.3.2.1 EXEMPLOS: EXEMPLO 48 A gráfica de uma Instituição de Ensino investiu $328.130 em equipamentos de Impressão. Seu projeto consiste em reproduzir as apostilas elaboradas por seus professores e vende-las a baixo custo a seus estudantes. Estimase uma tiragem anual de 25.000 exemplares ao princípio de cada ano escolar. Calcula-se que ao término do primeiro semestre se tenha vendido 70% dos exemplares e ao final do segundo o estoque esteja esgotado, ciclo que se repetiria ano a ano. Cada apostila custa $ 8 e o custo de produção é de $3.5 por exemplar. Calcule o VF da escola para um período de 5 anos, considerando que os equipamentos de impressão têm um valor residual de $20,000 ao final de 5 anos. Taxa de Mínima Atratividade (efetiva) igual a 10,25% a.a. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 62 EXEMPLO 49 Resolva os exemplos (45), (46) e (47) pelo Método do Valor Futuro. 6.3.3 MÉTODO DO VALOR ANUAL Considerando que várias alternativas não podem ser comparadas a menos que seus respectivos fluxos sejam primeiramente transladados a pontos comparáveis no tempo, através do uso de mesma uma taxa de juros, o Método do Valor Anual (VA) transforma todos os fluxos de caixa, mediante a taxa de mínima atratividade (TMA), em séries uniformes equivalentes. As anuidades (A) das séries uniformes equivalentes aos fluxos de caixa das alternativas sob apreciação são os indicadores que caracterizam o Método do Valor Anual (VA) e os valores das anuidades (A) quando confrontados permitem a decisão entre as propostas de investimentos. O valor anual (VA) de um projeto de investimento mede o resultado financeiro (lucro se positivo ou prejuízo se negativo) a cada período de tempo por investir no projeto ao invés do projeto correspondente a taxa de oportunidade (TMA) a) ANÁLISE ATRAVÉS DO VA Segundo o Método do Valor Anual, para que um projeto seja atrativo para o investidor, os ingressos (receitas) uniformes devem superar os desembolsos uniformes de cada período, neste caso, a serie uniforme equivalente ao fluxo do prometo tem valor positivo. A escolha da melhor alternativa recairá sobre aquela que represente o maior Valor Anual. Resumidamente, a avaliação de alternativas de investimento mediante o emprego do VA segue as seguintes orientações: VA > 0 VA=0 VA<0 6.3.3.1 − Significa que o valor anual dos recebimentos é maior que dos correspondentes desembolsos. − é um projeto economicamente interessante à taxa considerada − quando se compara várias alternativas: aquela que obtiver o maior VA deve ser a preferida sob o ponto de vista econômico. − o projeto produz um retorno de capital de valor apenas igual ao custo do capital ( à Taxa considerada). − não compensa sua implementação − os benefícios não são suficientes para assegurar a recuperação do capital investido (à taxa considerada). − o projeto deve ser rejeitado. EXEMPLOS: EXEMPLO 50 No projeto de uma nova instalação, são consideradas as alternativas independentes da tabela abaixo. Supondo que a taxa anual de oportunidade (TMA) é de 12%. Use o método do Valor Anual para hierarquizar as alternativas de projeto. (R$) ALTENATIVA 1 ALTENATIVA 2 ALTENATIVA 3 INVESTIMENTO INICIAL - 28.000 - 16.000 - 23.500 RECEITAS ANUAIS 5.500 3.300 4.800 VALOR RESIDUAL 1.500 0 500 VIDA ÚTIL (ANOS) 10 10 10 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 63 EXEMPLO 51 Resolva os exemplos (45), (46) e (47) pelo Método do Valor Anual. 6.3.4 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de rendimento que é obtida pelos recursos aplicados em um projeto de investimento. A TIR é a taxa de juros que valida a equação de equivalência entre o fluxo de caixa das receitas e o fluxo de caixa dos desembolsos de um projeto de investimento. Em todos os critérios de decisão apresentados se utiliza indicadores de desempenho, medidas de equivalência, capazes de resumir as diferencias de lucro que existem entre as alternativas de investimento. A TIR, por sua vez, é um indicador que mede a rentabilidade do projeto de investimento em comparação a outras oportunidades de investimentos (taxa de mínima atratividade) e que, individualmente, não permite a precisa tomada de decisão para a escolha da melhor alternativa de investimento. a) EQUAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA PARA CÁLCULO DA TIR O cálculo da TIR é realizado, portanto, considerando nula a equação de equivalência (receitas = desembolsos) para um foco de referência qualquer (valor presente, valor futuro, valor anual ou outro qualquer). Ou seja, a TIR é a taxa de juros (i*) que satisfaz qualquer das seguintes equações de equivalência: Xt n Valor presente: ∑ t = 0 (1 + i*) n ∑X Valor Futuro: t = '0 t t =0 (1 + i*) n −t = 0 n ∑ X (P / F ; i*; t )( A / P, i*, t ) = 0 Valor Anual: t t =0 donde: Xt = evento financeiro do período t. n = Horizonte de planejamento. b) ANÁLISE ATRAVÉS DA TIR b.1) para uma única alternativa, se: (i* = TIR ) > TMA ⇒ projeto viável (i* = TIR ) = TMA ⇒ projeto indiferente (rejeita-se) (i* = TIR ) < TMA ⇒ projeto inviável, deve ser rejeitado Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 64 b.2) entre duas alternativas, com mesma vida útil: considerando: alt. “A” e alt. “B”. 1) Verificação da viabilidade individual de cada alternativa: i A* > TMA e i B* > TMA 2) Cálculo do VP de cada alternativa para a taxa nula ( i =0) No gráfico [VP x taxa de juros], plota-se os valores de VPA ( 0) , VPB ( 0) , iA* * e iB Valor Presente VPB ( 0) VPA ( 0) i A* Taxa de Juros i B* * * VPA ( 0) < VPB ( 0) e i B > i A > TMA a) Hipótese-1: B é sempre preferível a A VPB ( 0) VPB(TMA) VPA(TMA) VPA ( 0) * TMA i A iB* * * VPA ( 0) < VPB ( 0) e i A > i B > TMA b) Hipótese-2: Neste caso a seleção da melhor alternativa é feita mediante a análise do fluxo diferencial. ∆ O FLUXO DIFERENCIAL ( B − A ) se fundamenta no princípio fundamental que diz que “o que é relevante na composição de alternativas é a diferença entre os fluxos de caixa”. Nesta situação, a análise é pautada na alternativa resultante da diferença entre o fluxo de caixa “B” e o fluxo de caixa “A”. A taxa de juros onde as equações de equivalência são iguais é denominada de Taxa de Fisher. A taxa de Fischer é igual à * TIR do fluxo diferencial ( i B − A ). Uma vez definido o fluxo diferencial, determina-se a Taxa de Fisher correspondente ao fluxo diferencial ∆ B − A : i B* − A * A TIR do fluxo diferencial ( i B − “A” e da alternativa “B” A ) corresponde ao ponto de intersecção entre as equações de equivalência da alternativa VPB ( 0) VPA ( 0) i B* − A i B* i A* Taxa de Juros Taxa interna de retorno do fluxo diferencial Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos Se i B* − A 65 > TMA, temos: VPB ( 0) Alt. B é sempre preferível a Alt. A VPA ( 0) TMA i * i B* B− A i A* Taxa de Juros Taxa interna de retorno do fluxo diferencial Considerando que sempre VPB (TMA) > VPA (TMA), conclui-se que a alternativa B é sempre preferível a alternativa A Se i B* − A < TMA, temos: VPB ( 0) VPA ( 0) Alt. A é sempre preferível a Alt. B i B* −TMA A i B* i A* Taxa de Juros Taxa interna de retorno do fluxo diferencial Considerando que sempre VPA (TMA) > VPB (TMA) , conclui-se que alternativa A é sempre preferível a alternativa B 6.3.4.1 EXEMPLOS: EXEMPLO 52 Resolva os exercícios (46) e (47) pelo Método da TIR. EXEMPLO 53 Resolva o exercício (50) pelo Método da TIR, sabendo que a taxa anual de oportunidade (TMA) é de 12%. (R$) ALTENATIVA 1 ALTENATIVA 2 ALTENATIVA 3 INVESTIMENTO INICIAL - 28.000 - 16.000 - 23.500 RECEITAS ANUAIS 5.500 3.300 4.800 VALOR RESIDUAL 1.500 0 500 VIDA ÚTIL (ANOS) 10 10 10 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6.3.5 66 MÉTODO DO PRAZO DE RETORNO -"PAYBACK” O Método do Prazo de Retorno utiliza como indicador o Prazo de Retorno, ou Payback do projeto de investimento como medida de avaliação de alternativas. O Prazo de Retorno, ou Payback (P.B.), representa o número de períodos que se faz necessário para que os benefícios se igualem aos custos em um fluxo de caixa. Ou seja, o Prazo de Retorno é o tempo necessário para se recuperar os recursos despendidos na implantação de um projeto. A ordenação dos projetos é função do número de períodos necessários para a recuperação dos investimentos; quanto menor o período de “payback” tanto melhor será o projeto. a) Análise pelo P.B.: Considerando um tempo mínimo de retorno do investimento = TMR P.B. < TMR ⇒ Projeto Viável P.B. ≥ TMR ⇒ Projeto inviável Para a análise de várias alternativas aquele que propicie o menor prazo de retorno será a alternativa contemplada. 6.3.5.1 EXEMPLOS: EXEMPLO 54 Suponha-se o fluxo de caixa abaixo, defina o tempo de pay-back da alternativa: R$ 20.000,00 1 2 3 4 5 6 7 8 R$60.000,00 EXEMPLO 55 Suponha as seguintes alternativas em comparação, defina a melhor alternativa para o Tempo Mínimo de Retorno de cinco anos: Ano 0 1 2 3 4 5 6 Projeto - A -3000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 Projeto - B -3.000,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 0 0 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6.3.6 67 MÉTODO DA RELAÇÃO BENEFÍCIO-CUSTO O Método de análise de alternativas denominado de Benefício-Custo é um dos mais comumente utilizados e tem como indicador a relação benefício-custo (B/C) a qual consiste do quociente entre o valor equivalente dos benefícios apurados e o valor equivalente dos custos incorridos. B C = VP( entradas ) VP( saidas ) = VF( entradas ) VF( saidas ) = VA( entradas ) (28) VA( saidas ) Aplica-se também a relação B/C para a hierarquização de alternativas com idênticos valores equivalentes (VP, VF ou VA). a) Análise pelo Método do Benefício-Custo: Considerando este método de avaliação de investimento, um projeto para ser viável deverá indicar a relação benefício/custo maior ou igual a 1 e a alternativa que tenha a maior taxa B/C será a preferida por ser a mais atrativa. A Relação Benefício/Custo (ou relação BIC) é interpretada da seguinte forma: B/C < 1 inviável (benefícios menores que os custos); B/C = 1 indiferente (benefícios iguais aos custos); B/C > 1 viável (benefícios maiores que os custos). 6.3.6.1 EXEMPLOS: EXEMPLO 56 Considere o caso hipotético e simplificado de um investimento no melhoramento de uma estrada, com os seguintes dados e condições: − custo dos investimentos iniciais no melhoramento igual a $ 300 − benefícios líquidos anuais decorrentes dos investimentos iguais a $ 100,00 − custos anuais para manutenção do empreendimento iguais a $ 10,00 − vida útil dos melhoramentos de 5 anos; − custo de oportunidade do capital =TMA =15 % a.a. EXEMPLO 57 Dois projetos alternativos apresentam valor presente igual à R$7.000,00. Qual deve ser a escolha entre os projetos, sabendo-se que para o projeto A foi obtido um valor presente de receitas de R$9.000,00 e para o projeto B um valor presente de receitas de R$11.000,00? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6.4 68 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS SOB CONDIÇÕES ESPECÍFICAS. A análise de alternativas sob certas condições, exige a adoção de considerações especiais quando da aplicação de alguns dos métodos de análise de investimentos apresentados anteriormente. Desde que não observadas as considerações necessárias, as decisões decorrentes do resultado da aplicação simplista dos métodos poderão ser errôneas e equivocadas. As situações especiais que exigem a adoção de metodologia diferenciada são: Alternativas com predominância de custos A existência de Taxas Múltiplas. A existência de Horizontes de Planejamento diferentes. A existência de Restrições Financeiras. 6.4.1 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS COM PREDOMINÂNCIA DE CUSTOS: A análise de alternativas onde haja a predominância de custos, isto é, quando todas as alternativas resultem indicadores de desempenho (VP, VF ou VA) negativos é feita classificando-as pelos seus custos resultantes e, a escolha recairá sobre a alternativa que apresente o menor custo (presente, futuro ou anual). A análise de alternativas com predominância de custos adotando-se como base para confronto o valor anual das alternativas, obtido através da TMA, é chamada de Método do Custo Anual Uniforme (CA) e, cuja seleção se dá pela alternativa com menor CA. A avaliação de custo operacional de equipamentos adotada este método como referência. 6.4.1.1 MÉTODO DA TIR PARA PROJETO COM PREDOMINÂNCIA DE CUSTOS Na maioria dos casos a TIR é voltada a análise de alternativas que produzam retorno positivo. Podemos, no entanto, aplicar o método para alternativas onde haja a predominância de custos, ou seja, que resultem retorno negativo. A sistemática consiste na análise do fluxo diferencial destas alternativas. 6.4.1.1.1 EXEMPLOS: EXEMPLO 58 Considerando-se 15 % a.a. a TMA, dizer qual a melhor alternativa. (resolver por CA): (R$) Descrição do Bem Custo Inicial Consumo anual de energia Custo anual de O&M Revenda no quinto ano Vida útil EXEMPLO 59 ALTERNATIVA 1 ALTERNATIVA 2 Máquina Usada 10.000,00 8.000,00 20.000,00 5 anos Máquina Nova 30.000,00 10.000,00 15.000,00 5.000,00 5 anos Realizar a seleção das alternativas relacionadas no exercício anterior aplicando o Método da TIR. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6.4.2 69 EXISTÊNCIA DE TAXAS MÚLTIPLAS Quando a análise de investimento tem por objetivo o lucro maximizar ou otimizar os recursos aplicados já se mostrou as muitas dificuldades advindas do Método da TIR, adicionalmente apresenta-se mais uma. O processo de avaliação financeira até então foi realizado para fluxos de caixas convencionais, aonde os ingressos ocorrem após o investimento inicial, porém nem todos os projetos de investimentos apresentam este esquema. Muitas vezes após os investimentos iniciais e o início dos ingressos (receitas do projeto) são realizados investimentos adicionais, gerando fluxos de caixas não convencionais. R2 R1 0 1 R5 R3 2 3 4 Investimento0 Rn 5 .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Investimento 4 n No caso de fluxo de caixa não convencional a existência de raízes múltiplas quando se busca calcular a TIR é uma conseqüência comum. Pois, considerando que a equação de equivalência do fluxo de caixa não convencional gera-se um polinômio de grau “n”, com duas vezes inversões de sinal para cada investimento ocorridos no projeto após o desembolso inicial. Que a raiz da equação de equivalência é a taxa Interna de retorno do projeto de investimento, E, que como demonstra a lei enunciada por Descartes, que o número de raízes reais de um polinômio é igual ao número de mudanças de sinal no polinômio. Equação de Equivalência: (polinômio de grau n): − para + = - Invest0 + R1.(1+ i )-1 + R2.(1+ i )-2 + R3.(1+ i )-3 - Invest4. (1+ i )-4 + R5.(1+ i )-5 +.. ...+ Rn.(1+ i )-n 2ª inversão sinal 1ª inversão sinal Em situações como estas, podemos estar diante de uma situação onde haja a existência de múltiplas raízes para a equação de equivalência. K(i i1 i5 i2 Taxa de Juros i4 i3 Raízes da eq. de equivalência K(i) Neste caso nenhuma das taxas traduz a TIR do investimento. Por outro lado, podemos estar diante de um polinômio que resulte em indeterminação da raiz, ou seja, resultando em nenhuma taxa interna de juros do projeto de investimento K(i) Raiz (?) Taxa de Juros Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 70 A solução para o impasse de raízes múltiplas no Método da TIR é realizada mediante a adoção de uma hipótese para a origem dos recursos aplicados a título do investimento adicional que neutralize a inversão de sinal ocorrida. 6.4.2.1 ANÁLISE DE PROJETOS COM TAXAS MÚLTIPLAS A solução para situações como esta é dada mediante a adoção de uma hipótese tal que torne nulo o efeito do(s) insumo(s) que esteja(m) causando a inversão múltipla de sinal da equação de equivalência. Ou seja, é adicionado ao fluxo do projeto de investimento um empréstimo de valor igual ao investimento adicional (ocorrendo na data deste investimento) e respectivos pagamentos no futuro ou um projeto de constituição de um fundo de reserva que resulte em montante igual ao valor do investimento adicional na data que este ocorre. Nestes casos o resultado da análise fica subordinado a implantação da hipótese adotada. Hipótese 1: Contratação de empréstimo de valor igual à inversão adicional: R2 R1 0 1 R5 R3 2 3 4 Rn 5 .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n Investimento 4 Investimento0 Hipótese: empréstimo do Investimento4 para pagamento no futuro 4 5 5 .. .. .. ... ... n R2 R1 0 1 R5 R3 2 3 4 Rn 5 .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n Investimento0 Hipótese-2: Constituição de Fundo de reserva com montante igual inversão adicional: R2 R1 0 1 R5 R3 2 3 4 Rn 5 .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n Investimento 4 Investimento0 Hipótese: constituição de fundo de reserva com montante igual Investimento4 0 1 R1 0 2 R2 1 2 3 4 R5 R3 3 4 Rn 5 .. ... ... . ... ... ... ... ... ... ... n Investimento0 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 71 EXEMPLO 60 Calcular a atratividade do projeto de investimento, representado pelo fluxo de caixa abaixo, para a TMA igual a 20% ao período. Considerar a hipótese de origem dos recursos para os investimentos a serem realizados no quarto e quinto períodos decorre de um fundo de reserva a ser constituído com as receitas geradas nos períodos 2 e 3 a uma taxa de juros de 24% ao período. O saldo remanescente do fundo, após o investimento a ser realizado no quarto período, permanece na aplicação. 6.4.3 ALTERNATIVAS COM DIFERENTES HORIZONTES DE PLANEJAMENTO A análise de alternativa de investimento só tem sentido quando realizada entre alternativas que tenham mesma vida útil. Quando os projetos a serem comparados têm durações diferentes, o problema é mais de formulação de hipóteses do que um problema de análise de investimento. Algumas hipóteses podem ser formuladas para buscar a igualdade de duração dos projetos analisados: Hipótese 1: cada proposta pode ser repetida com fluxo de caixa idêntico, em um determinado número de vezes, tal que torne as alternativas com o mesmo tempo de duração. Hipótese 2: os projetos não podem ser repetidos, e ao final da vida útil do projeto de menor duração, os recursos disponíveis serão aplicados na TMA. Uma vez formulada a hipótese de ocorrência da defasagem do período temporal entre as alternativas, teoricamente qualquer dos métodos descritos anteriormente podem ser empregados para a análise. 6.4.3.1 HIPÓTESE DE REPETIÇÃO DOS PROJETOS DE INVESTIMENTO Quando se avaliam alternativas com diferentes durações, é necessário estimar o mesmo horizonte de análise calculando o mínimo múltiplo comum dos diferentes horizontes de planejamento das alternativas. Este procedimento analítico adota a hipótese da tendência natural de repetição de projetos de investimento. Deste modo estaremos admitindo que cada investimento em análise seja sempre renovado nas mesmas condições iniciais. O ponto comum no tempo das alternativas com diferentes durações se estabelece com a repetição de cada fluxo de caixa tantas vezes quanto seja o mínimo múltiplo comum dos horizontes de planejamento (vidas úteis) dos projeto em análise, permitindo a avaliação através dos métodos do VP e VF. Admitindo-se que devamos analisar duas alternativas (K e Y) onde os horizontes de planejamento sejam, respectivamente, de nK e nY períodos de tempo. Hipoteticamente nK=5 e nY=3 K1 K2 K3 K4 K5 0 1 2 3 4 5 Y1 Y2 0 1 2 Y3 3 o horizonte comum é o M.M.C. dos horizontes : 5 5 1 - 3 1 1 3 5 15 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 72 logo, a análise deverá ser feita para 15 anos: K1 K2 K3 K4 K5 K1 K2 K3 K4 K5 K1 K2 K3 K4 K5 0 1 2 3 4 5 6 7 1xK 8 9 10 11 2x K 12 13 14 15 3xK Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 0 1 2 3 1xY 4 5 6 7 8 9 3 x Y 2 x Y 10 11 4 x Y 12 13 14 15 5 x Y Não é recomendada a adoção da hipótese de repetição de projetos de investimento para aplicação do Método da TIR, pois geralmente resulta em situação de multiplicidade de taxas. Os métodos do VA ou CA não são afetados pela ocorrência de diferentes de horizontes de planejamento das alternativas, pois a repetição de séries uniformes ao horizonte comum resulta também em séries uniformes de mesma anuidade que as das séries matrizes. EXEMPLO 61 Um dos componentes do equipamento de produção deve ser imediatamente substituído porque já não cumpre com os padrões de qualidade para o produto final. As duas melhores alternativas são: a compra de um componente mecânico (A) ou um novo modelo automatizado (B). As estimativas econômicas para cada qual são apresentadas no quadro abaixo. Supondo-se uma TMA igual a 15 % a.a. Analisar pelo método do VPL, qual das alternativas é a mais interessante. DISCRIMINAÇÃO Investimento Inicial Custo Operacional Anual Valor Residual Vida Econômica 6.4.3.2 ALTERNATIVAS A R$12.000,00 R$ 1.600,00 R$ 3.000,00 6 anos B R$20.000,00 R$ 900,00 R$ 2.000,00 12 anos HIPÓTESE DE NÃO REPETIÇÃO DOS PROJETOS DE INVESTIMENTO Na hipótese de não repetição dos projetos de investimento, considera-se que o tempo de duração dos projetos é rigidamente determinado de modo que não seja possível prolongá-los ou repeti-los. O horizonte de planejamento, neste caso, é igualado considerando-se que os recursos monetários geados no projeto de menor duração serão investidos, à taxa de mínima atratividade, até o final da vida de maior duração. Esta hipótese por não ser muito comum deve ser sempre explicitada a razão de sua aplicação. EXEMPLO 62 Comparar duas alternativas de investimento apresentadas no quadro abaixo, para a TMA de 10% ao período. Adotar a hipótese de repetição e de não repetição dos projetos de investimento. Período Alt. 1 Alt. 2 0 -100 -100 Fluxo de Caixa 1 2 120 50 50 3 50 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 6.4.4 73 EXISTÊNCIA DE RESTRIÇÕES FINANCEIRAS È bastante comum as empresas elaborarem ao final de cada ano uma relação de futuros investimentos, denominada "Orçamento de capital". Sendo, também frequente a limitação de recursos para financiar todas as solicitações provenientes das diversas gerências. A existência de restrições financeiras coloca a alta administração diante da necessidade de selecionar aquele conjunto de alternativas, o pacote orçamentário, economicamente mais interessante, cuja demanda por recursos não supere o volume disponível. A solução deste problema passa inicialmente pela verificação da viabilidade individual de cada alternativa fazendo uso de qualquer método de análise apresentado. ( VP, VF, VA, B/C, TIR) Em situação como esta as alternativas indesejáveis devem ser eliminadas, permanecendo apenas as viáveis economicamente. Uma vez verificada a viabilidade de cada alternativa disponível, o passo seguinte é a definição das combinações de alternativas possíveis sempre observando os recursos disponíveis para suas consecuções. Os pacotes financeiros definidos através das combinações de alternativas, observadas as suas condições de inter-relacionamento, serão classificados pelo somatório de seus resultados financeiros e, aquele que atendendo a limitação orçamentária e que apresente o melhor resultado financeiro deve ser o pacote selecionado. EXEMPLO 63 A alta administração de uma empresa recebeu as seguintes solicitações de investimento de seus vários departamentos para o orçamento de capital do próximo ano: DEPTO . ALT. 1 2 3 4 A B C D INVESTIMENTO INICIAL (R$) 25.000,00 15.000,00 30.000,00 28.000,00 BENEFÍCIOS ESTIMADOS (R$) 3.900,00 2.500,00 5.200,00 3.500,00 VALOR RESIDUAL (R$) 500,00 0 0 4.000,00 VIDA ECONÔMICA (Ano) 10 10 10 10 Considerando que a empresa dispõe de R$ 60.000,00 para financiar os projetos e que sua TMA é de 10 % a.a., qual deve ser o projeto orçamentário escolhido? 6.5 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E A CORREÇÃO MONETÁRIA Os métodos tradicionais de Análise de Investimento seguem dois modelos básicos para aplicação em situação inflacionária. No primeiro modelo a inflação é estimada a priori, ou seja, antes de se efetivar a operação financeira. Neste modelo os valores monetários do fluxo de caixa são convertidos em unidades de um índice de preços de referência, ou seja, são convertidos em moeda corrente e o cálculo é realizado mediante o uso da taxa real. O valor resultante (indexado) da análise de Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 74 investimento é convertido para a moeda indicada com o uso do mesmo índice financeiro para o novo tempo de referência. Este método é recomendado para projetos de curto prazo. No segundo modelo a inflação é calculada a posteriori mediante a aplicação de um indexador. Neste modelo, os cálculos são efetuados em moeda constante e a correção monetária só é realizada ao final da análise financeira, isto é, mediante a variação de um índice financeiro capaz de indicar a inflação no período se realiza a correção monetária nos resultados obtidos. Esta sistemática é mais recomendada para operações de longo prazo. Em ambos os processos os cálculos são semelhantes e o resultado final da análise é idêntico. EXEMPLO 64 Um financiamento de $ 1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado no prazo de um ano, com o pagamento de uma única parcela. Todas as grandezas futuras devem ser corrigidas pelo índice de preços-IP, que apresenta os seguintes valores: • Na data de liberação dos recursos: IP = $100,00 • Na liquidação da operação: ITP = $112,00 Determinar: a) o valor do pagamento, em IP e em $ a preços correntes, para a liquidação ao final de um ano. 6.6 1) EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Duas empilhadeiras estão sendo consideradas para movimentação de materiais numa fábrica. Ambas possuem vida útil estimada em quatro anos. A empilhadeira A exigirá um investimento de 10.000 u.m., enquanto para B o investimento será de 6000 u.m. Os custos operacionais também serão diferentes conforme pode ser observado abaixo: ANO 1 2 3 4 CUSTOS OPERAC. UM/ANO EMPIL. A EMPIL. B 7500 7600 7700 7800 8000 8150 8300 8450 Sendo a TMA para a empresa igual a 10% a.a., qual equipamento deve ser escolhido (VPL) ? 2) Numa análise das oportunidades para redução de custos efetuado pelo departamento de transportes de uma usina siderúrgica, foi detectada a possibilidade de atingir-se tal objetivo substituindo o uso de caminhões alugados para o transporte dos processamentos na área de laminação por conjuntos de tratores e carretas. Se implementada a modificação, deverá haver uma redução anual de despesas na ordem de R$350.000,00, correspondente ao aluguel pago pelos caminhões. Um estudo de simulação realizado determinou a necessidade de adquirir-se dois tratores e cinco carretas, totalizando um investimento de R$ 350.000,00 Os custos de mão-de-obra, combustível e manutenção foram estimados em R$ 200.000,00 no 1° ano, aumentando anualmente R$ 5000,00, devido a elevação do custo de manutenção, proporcionado pelo desgaste dos veículos. Considerando a TMA da empresa, igual a 8% a.a., verificar a viabilidade da proposição, levando-se em conta que a vida economica estimada para os equipamentos foi de cinco anos com valor residual nulo. Utilizar para a análise o método do VPL. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 75 3) Considere-se a proposta de investimento que envolve investir 10.000 u.m. hoje para receber 2000 u.m. anuais nos próximos 10 anos ou alternativamente investir 14000 u.m. agora e receber 3000 u.m. nos mesmos 10 anos. Para uma TMA de 10 % a.a., qual seria a proposta escolhida ? (VFL) 4) A gerencia de certa empresa está considerando a mecanização de seus serviços de embalagem. Atualmente os produtos são acondicionados manualmente à um custo anual de 30000 u.m.. Dois tipos de equipamentos capazes de executar a mesma função encontram-se disponíveis no mercado, apresentamdo as seguintes características: DISCRIMINAÇÃO EQUIP. A EQUIP. B CUSTO INICIAL 100.000 70.000 CUSTO OPERACIONAL ANUAL 12.000 15.000 VALOR RESIDUAL 13.000 8.000 VIDA ECONOMICA 10 ANOS 10 ANOS Sendo a TMA para a empresa igual a 12% a.a., qual equipamento deve ser escolhido (VFL) ? 5) Um fazendeiro está considerando a aquisição de um trator para trabalhar em suas terras. Após uma pesquisa junto a fornecedores, selecionou duas marcas capazes de atender às suas necessidades. Sobre ela obteve as seguintes informações: DISCRIMINAÇÃO TRATOR "X" TRATOR "Y" Custo Inicial 50.000 35.000 Custo Operacional Anual 5.000 7.000 Valor Residual 20.000 10.000 Vida Econômica 10 anos 10 anos Se o custo para o fazendeiro é de 10 % a.a., qual deve ser a marca escolhida. 6) Duas empilhadeiras estão sendo consideradas para movimentação de materiais numa fábrica. Ambas possuem vida útil estimada em quatro anos. A Empilhadeira "A" exigirá um investimento de R$10.000,00, enquanto para "B" o investimento será de R$6000,00. Os custos operacionais também serão diferentes conforme observado abaixo: ANO CUSTOS OPERACIONAIS R$/ANO Empilhadeira "A" Empilhadeira " B" 1 7.500 8.000 2 7.600 8.150 3 7.700 8.300 4 7.800 8.450 As Empilhadeira "A" e "B" terão valores residuais iguais à R$1.500,00 e R$1.600,00, respectivamente. Sendo a TMA igual à 10% a.a., pede-se decidir sobre a alternativa mais economica com base nos custos anuais uniformes. 7) Resolva o EX.02 pelo Método da Taxa Interna de Retorno. Grafar a função VP = f ( i ) fazendo a taxa de juros variar de 1% em 1%, no intervalo entre 25% e 35% e comparar a solução gráfica com a algébrica. 8) Resolver o EX.04, utilizando Método da TIR. 9) Comparar duas alternativas, à seguir apresentadas, para uma TMA de 5%: Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos PERÍODO ALT. A ALT. B 0 -100 -100 1 30 100 2 100 20 TIR 16 % 17 % 76 10) Determinar, graficamente, o tempo de retorno do capital P = 2000 um, considerando-se uma TMA de 5 % ao período com receitas conforme o fluxo de caixa abaixo: 800 700 600 0 1 2 3 200 4 100 5 P 11) Um fabricante de peças está analisando uma alteração em seu processo de produção. Duas alternativas estão em consideração, sendo que ambas exigem a realização de Inversões, resultando em contrapartida, em redução dos atuais custos de produção. Cada uma das alternativas apresenta as seguintes características: DISCRIMINAÇÃO ALTERNATIVAS A B Custo Inicial 10.000 15.000 Redução Anual de Custos 2.400 2.7000 Valor Residual Nulo Nulo Vida Economica 8 anos 8 anos A alternativa "A" exigirá, contudo, após cinco anos de utilização, uma inversão adicional de R$5000,00 destinada a promover uma modificação no projeto original. Sendo o custo do capital para a empresa igual a 7% a.a., verificar qual a alternativa é mais atrativa. Utilizar o Método da TIR e admitir que para fazer face ao desembolso no 5° ano de operação da alternativa "A", será instituído um Fundo de Reserva à partir da capitalização 12) É proposta a venda de determinada máquina para fins rentáveis, o comprador em perspectiva tem uma TMA de 10 % a.a. A máquina proporcionará uma receita líquida de 20.000 u.m. no primeiro ano, diminuindo em seguida à base de 1.000 u.m. ao ano por 12 anos. O valor estimado de revenda daqui à 12 anos é de 26.000 u.m. Até quanto o comprador estaria disposto a pagar pela máquina? (VAL) 13) Um homem está considerando a compra de um automóvel. Duas oportunidades pareceram-lhe atrativas: A de um carro com 2 anos de idade e a de outro com 4 anos. Qualquer que seja a escolha, ele pretende manter o carro por um aano e então comprar um modelo novo. O carro mais velho é oferecido a um preço de 6000 u.m. à vista e o mais novo à 4000 u.m. de entrada e 700 u.m. mensais durante 6 meses. As despesas estimadas (combustível, manutenção, etc...), supondo quilometragem média de 2000 Km/mes,são as seguintes: Carro + novo : 200 um/mes Carro + velho : 250 um/mes Os valores de revenda serão de 4.800 um e 6800 um para o carro de 4 e o de 2 anos, respectivamente. A TMA do comprador é de 1 %a.m. Pelo método do CAU, responda qual a alternativa que deverá ser escolhida. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Análise de Projetos de Investimentos 77 14) Em face à crescente complexidade de seus serviços, uma empresa está analisando a compra de um sistema de processamento de dados por computador. Dois modelos estão em julgamento e as estimativas seguintes foram realizadas: DISCRIMINAÇÃO ALTERNATIVA A B Investimento 23.000 18.000 Custos Anuais 3.600 5.000 Valor Residual 1.100 3.500 Vida Economica 6 anos 4 anos Estimou-se ainda que os custos deverão elevar-se anualmente, sendo de R$1.400,00 para a alt. "A" e de R$1.500,00 para a alt. "B" . Adicionalmente, estima-se que se o computador correspondente à alt. "A" for substituído após 4 anos de vida, seu valor residual deverá ser de R$ 3.000,00. Sendo a TMA da empresa igual à 10%a.a., qual deve ser a decisão? (Met. VPL) 15) A gerência de marketing de uma firma industrial está analisando quatro possibilidades para a localização de uma central de distribuição para seus produtos. Cada alternativa exige diferentes investimentos devido ao preço do terreno, custo de construção e tamanho do depósito necessário. Também são diferentes seus valores residuais e reduções anuais de custos de distribuição. Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos, foram efetuadas as seguintes estimativas: LOCALIZAÇÃO A B C D INVESTIMENTO NECESSÁRIO (R$) 28.000 34.000 38.000 44.000 RED. ANUAL NOS CUSTOS DE DISTRIB (R$) 4.600 5.600 6.200 7.200 VALOR RESIDUAL DO PROJETO (R$) 24.000 28.000 31.000 35.000 Sendo a TMA para a empresa de 15%a.a., determinar qual a localização mais adequada. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7 78 FINANCIAMENTO DE PROJETOS DE INVESTIMENTO A disponibilidade de recursos é, sem dúvida, fundamental para a concretização de um investimento. Se os recursos próprios forem insuficientes, as empresas devem recorrer a financiamento os quais são mecanismos que tem como objetivo viabilizar o recurso financeiro a uma pessoa física ou jurídica que a precise, em determinado período.. O valor recebido a título de financiamento evidentemente terá que ser restituído à instituição financeira, acrescido de sua remuneração, que são os juros. Existe distinção entre financiamento e empréstimo, a diferença entre os dois conceitos está no objetivo da aplicação dos recursos, apesar de serem operações de crédito. No financiamento, os bens estarão vinculados a própria linha de crédito, ou seja, a destinação dos recursos liberados são de fins específicos. O financiamento imobiliário é um caso típico, onde geralmente o imóvel fica em garantia da dívida. Além disso, máquinas, equipamentos e veículos têm essa característica de crédito. Isto gera uma diferenciação quando da concessão do crédito, as garantias e capacidade de pagamento – essenciais na análise do crédito – são analisadas de forma diferentes do empréstimo. A qualidade dos bens a serem financiados e sua correta avaliação se torna fundamental para a perfeita relação de crédito. Nos empréstimos não há destinação específica, os recursos são liberados para que a parte cessionária se utilize da forma que melhor achar conveniente. O risco é considerado maior, pois o cedente não tem informações precisas de que a utilização destes recursos produzirá resultados para o pagamento do crédito. Assim, os limites devem ser melhores observados nesta modalidade e podem ser necessárias garantias adicionais. O mercado financeiro estabelece uma multiplicidade de sistemas de amortização e de planos de capitalização. Considerando que o desconhecimento pode se constituir numa armadilha capaz de corroer o patrimônio e a credibilidade de tomadores e de financiadores, há necessidade do engenheiro financeiro conhecer os mecanismos de cálculo que envolvem os contratos de financiamento. Por isto, além de selecionar as melhores oportunidades para a empresa é também função do engenheiro econômico estabelecer as fontes de recursos para o financiamento dos investimentos escolhidos. 7.1 FONTES DE RECURSOS PARA FINANCIAMENTO DE PROJETOS Os financiamentos ou empréstimos poderão ser de curto ou de longo prazo. Os financiamentos de curto prazo são feitos para cobrir dificuldades relativas ao “ativo circulante ou capital de giro”, tais como a compra de insumos e o pagamento do pessoal ligado à área de produção da empresa. Os financiamentos de longo prazo são feitos, em geral para capital fixo, envolvendo a reposição e modernização da empresa, relocação da sede, expansão da capacidade produtiva ou diversificação de produtos. Os financiamentos de longo prazo podem ser obtidos junto a Fundos de Pensão, Bancos de Investimento, Fontes do Governo inclusive com incentivos fiscais em alguns casos e junto a Bancos do Exterior (Banco Mundial - BIRD; Banco Interamericano de Desenvolvimento - BID; Eximbank dos Estados Unidos; Eximbank do Japão, entre outros.). No Brasil, os financiamentos empresariais de longo prazo em geral são obtidos junto ao BNDES - Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e suas agências subsidiárias como o FINAME - Agência Especial de Financiamento Industrial e FINEP - Agência de Financiamento de Projetos. Quando os valores financiados são inferiores a R$ 7 milhões, os financiamentos do BNDES são feitos em operações indiretas, existindo a intervenção de bancos comerciais. As operações diretas, feitas pelo BNDES envolvem financiamentos de mais de R$ 7 milhões. Os financiamentos do BNDES são feitos para as mais diversas áreas e com a cobrança de duas taxas de juros, uma taxa fixa ou spread (taxa de repasse) que varia de 1 a 5% ao ano e uma taxa variável que pode ser a TJLP (taxa de juros de longo prazo), LIBOR (taxa externa) mais a variação do dólar, ou uma Cesta de Moedas do BNDES. Para efetuar um financiamento junto ao BNDES, as orientações podem ser obtidas via INTERNET no endereço: http://www.bndes.gov.br. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7.2 79 PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS A disponibilização de recursos por uma instituição financeira implica na restituição do valor emprestado (P= principal) acrescidos de uma remuneração (juros). As diferentes formas de devolução de uma dívida são chamadas de Sistemas de Amortização. É importante conhecer as peculiaridades dos contratos de empréstimos e as diferentes modalidades de Amortização, com suas vantagens e desvantagens, para saber escolher o melhor financiamento para a pessoa física ou empresa. Neste capítulo serão apresentados os principais sistemas ou métodos usados para a amortização ou liquidação de uma dívida ou financiamento. Abaixo cita-se algumas formas de quitação de empréstimos praticadas por instituições financeiras: • Sistema Price • Sistema SAC • Sistema SAM • Sistema SACRE • Sistema Americano A diferença, portanto, entre as diferentes modalidades de contrato residem na forma que se equaciona as prestações. 7.2.1 7.2.1.1 TERMINOLOGIA USUAL E NOMENCLATURA PRINCIPAL (P): Principal é o valor de contrato do financiamento que o mutuário assume perante o agente de financiamento e que serve de base para apuração da Prestação 7.2.1.2 PRESTAÇÃO (A M ): É a parte do valor pago periodicamente, apurada na data de assinatura do contrato, por meio da fórmula matemática do sistema de amortização pactuado; e é composta de tal forma que uma parcela amortiza a dívida (amortização) e outra parcela remunera o capital emprestado (juros). Outras despesas podem compor o valor de uma prestação em um caso real, como taxa de abertura de conta, taxa para fornecimento de crédito, taxa de seguro e outras. 7.2.1.3 M AMORTIZAÇÃO (K ): É a parte do valor da Prestação que será subtraída mensalmente do Saldo Devedor remanescente, amortizando o capital emprestado e compreende a parcela de efetiva devolução da dívida ou a reposição do principal (P) ao financiador. A amortização apurada na m-ésima prestação é representada por (Km) 7.2.1.4 JUROS (J M ) É a parcela que integra o valor da Prestação que é destinada ao pagamento dos Juros remuneratórios do período decorrido (m). Seu valor (Jm) é identificado pela incidência da taxa de juros sobre o Saldo Devedor remanescente, após o pagamento a prestação da prestação “m-1”. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7.2.1.5 80 SALDO DEVEDOR (SD M ) Saldo Devedor é o valor da dívida imediatamente após o pagamento da m-ésima prestação ou o valor presente (descapitalização) das t parcelas que ainda faltam ser pagas. No momento da assinatura do contrato, o Valor Financiado (P) passa a ser denominado de Saldo Devedor; 7.2.1.6 PRAZO (N) Prazo é o período total de contratação de um empréstimo. 7.2.1.7 CARÊNCIA Entende-se por carência o período em que o beneficiário fica desobrigado de amortizações, por falta de rendimentos ou pela recomendação técnica de aplicá-los no empreendimento. A carência se inicia na data de assinatura do instrumento de crédito e termina após o decurso do prazo estabelecido 7.2.1.8 PRAZO DE CARÊNCIA (N’) Prazo de Carência é o período de tempo compreendido entre a liberação do empréstimo e a o início da amortização da dívida. 7.2.1.9 PRAZO DE AMORTIZAÇÃO (N) Prazo de Amortização é o período de tempo em que será reposto o capital (amortização) emprestado. 7.2.2 MODALIDADES DE CONTRATO Por modalidade de Contrato entende-se a combinação entre o método de amortização do capital emprestado (principal) e do pagamento dos juros decorrentes de uma dívida contraída através de financiamento ou empréstimo. Naturalmente que as partes envolvidas têm a faculdade de negociar as mais variadas formas de amortização da divida e do pagamento dos juros daí decorrentes, o que torna exaustiva a sua descrição. Considerando-se as modalidades de contrato que na prática são as mais frequentes, e das quais se poderão derivar todas as outras têm-se: 7.2.2.1 QUANTO À AMORTIZAÇÃO DO CAPITAL: − A1 – pagamento do capital de uma só vez no fim do prazo; − A2 – pagamento escalonado do capital durante o prazo do empréstimo 7.2.2.2 QUANTO AO PAGAMENTO DO JURO: − B 1 – na totalidade e de uma só vez no fim do prazo do empréstimo − B2 – na totalidade e de uma só vez no início do prazo, ou seja, na data do empréstimo − B3 – de forma escalonada no tempo, durante o prazo do contrato Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 81 Da combinação de cada par de hipóteses (reembolso do capital/pagamento dos juros) pode-se obter seis hipóteses de base, as quais iremos designar por modalidades de reembolso, conforme a seguir se descreve: AMORTIZAÇÃO DO CAPITAL PAGAMENTO DO JURO NO FIM DO PRAZO MODALIDADE 1 B1 NO FIM DO PRAZO NO INÍCIO DO PRAZO A1 B2 ESCALONADO B3 AMORTIZAÇÃO DO CAPITAL MODALIDADE 2 MODALIDADE 3 PAGAMENTO DO JURO NO FIM DO PRAZO MODALIDADE 4 B1 ESCALONADA DURANTE O PRAZO NO INÍCIOP DO PRAZO B2 MODALIDADE 5 A2 ESCALONADO B3 MODALIDADE 6 Para qualquer das modalidades acima (ou de quaisquer outras), em qualquer momento, o valor atualizado para esse momento do capital emprestado, será obrigatoriamente igual à soma dos valores atualizados, para o mesmo momento, do capital a reembolsar e dos juros a pagar pelo devedor, à taxa de juro convencionada. Tendo em conta que há dois regimes de juro: regime de juro simples e regime de juro composto, é de admitir, pelo menos no domínio das hipóteses, que qualquer empréstimo possa ser negociado em regime de juro simples ou no regime de juro composto. Na prática, o regime de juro simples aplica-se apenas nas operações de curto prazo, com reembolso de capital de uma só vez no final do prazo. (modalidades 1 e 2). Nos empréstimos que envolvem amortizações escalonadas de capital, aplica-se, por via de regra, o regime de juro composto. Nos financiamentos a curto prazo é comum a cobrança de juros antecipados, também chamado quando do capital emprestado é feito o “desconto por fora”, desconto comercial ou simplesmente desconto bancário. O pagamento é feito muitas vezes numa parcela única, no valor do capital emprestado. As garantias de empréstimos são garantias reais: hipoteca; penhor; alienação fiduciária; caução de títulos; caução de direitos creditórios ou garantias fidejussórias (aval e fiança). Nos financiamentos a longo prazo, o tempo de amortização é mais longo, as taxas de juros são menores e a devolução dos recursos é feita em várias parcelas. E, em geral os juros são postecipados, ou seja, é aplicado o chamado “desconto por dentro”, ou desconto racional. 7.2.3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS Todos os sistemas de amortização de dívidas partem dos seguintes pressupostos: a) que uma parcela em um financiamento é resultado da soma do pagamento de juros e da amortização referente a esta mesma parcela. Am = K m + J m (29) b) que o total de juros de cada parcela (prestação) é calculado sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior, ou seja: J m = SD(m−1) .i Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ (30) Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento c) 82 que o total amortizado é sempre igual ao valor do principal (P) ou valor emprestado: n P = ∑ Kn (31) 0 d) que o saldo devedor em um determinado período de tempo (m) corresponde ao valor inicial da dívida (P) deduzido do total amortizado até aquele instante: SDm = P − K0,m 7.2.4 (32) SISTEMA DE PRESTAÇÃO CONSTANTE (PRICE) Este sistema foi criado na França no final do século dezenove, e aprimorado no século passado por Richard Price Também conhecido como Sistema de Amortização Francês ou Sistema de Prestação Constante.é muito utilizado nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor. Esse sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, em que o valor de cada prestação, ou pagamento, é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e uma de capital (chamada amortização). 7.2.4.1 FLUXO DE CAIXA O fluxo de caixa do Sistema Price é uma série uniforme, de “n” (prazo de amortização) anuidades iguais ao valor da prestação A, as quais são calculadas através do empréstimo P à taxa de juros “i”. t = m-n P O 7.2.4.2 1 2 3 . . . . . . . m-1 A1 A2 A3 m m+1 . . . . . n-1 Am-1 Am Am+1 n An-1 An = A VALOR DAS PRESTAÇÕES. As prestações no Sistema Price são iguais entre si e calculadas de tal forma que uma parcela da prestação paga os juros e a outra amortiza o principal. Os juros decrescem enquanto as parcelas de amortização crescem com o tempo, de tal forma que o valor das prestações se mantém constante, graficamente pode-se apresentar este comportamento da seguinte maneira: Juros =Jm Am =Prestação Amortização =Km Sendo a prestação constante, o Sistema Price pode ser associada a uma série uniforme de anuidade A. Assim, para um empréstimo P temos que a prestação corresponde a: AM = P.( A A P; i; n ) Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ (33) Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7.2.4.3 83 SALDO DEVEDOR EM UM PERÍODO DE TEMPO QUALQUER (M) Considerando que o Saldo Devedor em “m”, imediatamente após o pagamento da m-ésima prestação A, compreende o total das amortizações ainda não efetivadas. Se atualizarmos a série uniforme que ocorre do período “m” até o período “n”, estamos, por conseqüência, retirando o total de juros embutidos nestas prestações, remanescendo, apenas, as parcelas de amortização ainda não realizadas, ou seja, o saldo devedor na data m. t = m-n P O 1 2 3 . . .. .. . A1 A2 A3 m-1 m m+1 . . . . Am-1 Am+1 Am . n-1 An-1 n An = A Portanto, para t = m-n temos: SDM = A.(P A ; i; t ) 7.2.4.4 (34) JUROS DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO (AM) Partido do pressuposto fundamental, onde o total de juros de cada parcela (prestação) é sempre calculado sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior, expresso na equação (30), temos: J m = SD(M −1) .i Substituindo o valor do Saldo Devedor , da equação (34), chegamos ao valor dos juros calculados na m-ésima prestação. J M = A.i.(P A ; i; t + 1) 7.2.4.5 (35) AMORTIZAÇÃO DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO (AM) Como descreve o pressuposto fundamental, expresso na equação (29) - qualquer parcela em um financiamento é resultado da soma do pagamento de juros e da amortização referente a esta mesma parcela – ou seja: K m = Am − J m Substituindo a expressão (35) temos K m = A.[1 − i.(P A ; i; t + 1)] 7.2.4.6 (36) AMORTIZAÇÃO ACUMULADA NO PERÍODO DE 0 → M A amortização acumulada no período de zero até m, corresponde: K 0, m = K 1 + K 2 + ... + K m 0 1 K1 2 K2 3 .... ..... ... .. K3 m ... .... .. Km .... .. ... ... .... n ... ..... .... Kn t = n-m Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 84 O valor de K 0, m também corresponde a diferença entre a dívida total (P) e o que falta ser amortizado de “m” à “n”, ou seja, a diferença entre a dívida P e o Saldo Devedor em “m” (SDm), então: K 0,m = P − A.(P A ; i; t ) 7.2.4.7 (37) JURO ACUMULADO NO PERÍODO DE 0 → M O valor de juros pagos no período de 0 até m é igual a: J 0,m = J 1 + J 2 + ... + J m Como cada prestação é igual a soma de uma parcela de juros e uma parcela de amortização, em m pagamentos da prestação A , temos: m. A = J 0, m + K 0 , m Substituindo a expressão (38) J 0,m = m. A + A.(P A ; i; t ) − P 7.2.4.8 (38) JUROS ACUMULADOS NUM PRAZO DE TEMPO QUALQUER (JM,M’) O total de juros pagos entre o período m e o período m’ é iguala a: ´ J m,m' = J m + J m +1 + ... + J m ' t = n-m t’ = n-m’ 0 1 J1 2 J2 3 ......... J3 ...... m ................ Jm ..... m’ .............. ......... Jm’ n Jn J m , m′ = J o , m ′ − J o , m Ou, 7.2.4.9 [( ) ( J m,m′ = (m ′ − m ). A + A. P ; i; t ′ − P ; i; t A A (39) )] AMORTIZAÇÕES ACUMULADAS NUM PRAZO DE TEMPO QUALQUER (KM,M’) O total amortizado entre o período m e o período m’ é iguala: K m,m' = K m + K m +1 + ... + K m ' Seguindo o mesmo raciocínio aplicado no item anterior, temos: K m,m′ = K o,m′ − K o,m (40) ainda, considerando que no período corresponde a (m-m’) prestações, conclui-se que: K m ,m′ = (m ′ − m ). A − J m ,m′ Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento [( Substituindo a equação (40), temos: 7.2.4.10 )( K m,m′ = A P ; i; t − P ; i; t ′ A A 85 )] QUADRO DE FINANCIAMENTO A elaboração do quadro de financiamento para o Sistema Price segue a seguinte sistemática: 1) Cálculo do valor da prestação: constante para todo o período de amortização ( 0 → n ): ( A = A m = P. A ; i; n P 2) ) Do período 1 ao período”n”, repetição dos passos a seguir. a) Cálculo da parcela de Juro no período: J m = SD m-1 . i b) Cálculo da parcela de amortização no período: Km = A - Jm c) Cálculo do Saldo Devedor no período: SD m = SD m-1 - K m PERÍODO ( M) 0 1 . . . m-1 m . . . n SALDO DEVEDOR (SDM) P SD0-K1= P-K1 .. . SDm-1 SDm-K1 . . . SDn-K1=0 ) PRESTAÇÃO (AM) AMORTIZAÇÃO (KM) JUROS (JM) A1=A=P.(A/P;i;n) . . . . Am=A=P.(A/P;i;n) . . . An=A=P.(A/P;i;n) K1=A-J1 . . . . Km=A-Jm . . . Kn=A-Jm J1=SD0.i=P.i . . . . J1=SDm-1.i . . . J1=SDn-1.i 7.2.4.11 EXEMPLOS: EXEMPLO 65 Considerando o Financiamento de R$ 10.000, a ser pago em 5 parcelas, através do Sistema Price, a taxa de juros igual a 4 % a.m., determinar: a) b) c) d) e) f) g) h) o valor das prestações. o total de juros incluídos na 3ª prestação. o valor da amortização da 3ª prestação. o total de juros pagos até a 3ª prestação. o total amortizado até a 3ª prestação. o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 3ª prestação. total amortizado entre a 1ª e 3ª prestações. o total juros pagos entre a 1ª e 3ª prestações. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 86 EXEMPLO 66 Elaborar o quadro de Amortização ou do Financiamento de R$ 10.000, a ser pago em 5 parcelas mensais, através do Sistema Price, a taxa de juros iguala a 4 % a.m. Mês Saldo Devedor Prestação Amortização Juros 0 10000,00 1 8153,73 2246,27 1846,27 1846,27 2 6233,61 2246,27 1920,12 3766,39 3 4236,68 2246,27 1996,93 5763,32 4 2159,88 2246,27 2076,80 7840,12 5 0,00 2246,27 2159,88 10000,00 A= 10000(A/P;4;5)=2246,27 7.2.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) O Sistema de Amortizações Constantes (SAC) é normalmente utilizado para financiamentos de longo prazo. Como o próprio nome diz, neste sistema, as amortizações são iguais. O valor da amortização é calculado tomando por base o total da dívida (Principal) dividido pelo prazo do financiamento, como um percentual fixo da dívida, desta forma é considerado um sistema linear. Am =Prestação Juros =Jm Amortização =Km O 7.2.5.1 n m FLUXO DE CAIXA No fluxo de caixa do Sistema de Amortização Constante (SAC) as prestações decrescem em progressão aritmética na mesma medida do decréscimo dos juros, apresentando a seguinte conformação: P t = m-n 0 1 2 3 . . . . m-1 m m+1 . .. n-1 An-1 An Am-1 A1 A2 Am Am+1 A3 Esta configuração do fluxo do SAC decorre da sistemática de cálculo dos componentes das prestações do sistema. Como a amortização no SAC é constante ao longo do contrato, o saldo devedor decresce de forma constante ao longo do mesmo período. Como os juros a cada períodos são calculados em função do saldo devedor - o qual decresce linearmente ao longo do contrato - os juros, a cada período, decrescem de forma linear - proporcionalmente ao saldo devedor. Ocorrendo ao longo do contrato juros linearmente decrescentes e amortizações constantes há como resultante um fluxo de prestações também linearmente decrescentes e na mesma razão dos juros. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7.2.5.2 87 PARCELA DE AMORTIZAÇÃO DAS PRESTAÇÕES A 1 A A n . A cota de amortização em todas as prestações do SAC é constante e igual ao valor da dívida no início do prazo de amortização dividido por “n” (prazo de amortização). Km = 7.2.5.3 P n (41) SALDO DEVEDOR NO PERÍODO “m” O Saldo Devedor, imediatamente após o pagamento da m-ésima parcela, corresponde ao somatório das amortizações contidas nas prestações ainda não quitadas ( m +1 → n ), ou seja: SDm = t.K = t. SDm = 7.2.5.4 P n P.(n − m ) n (42) JUROS CONTIDOS NA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO O valor do juro contido na m-ésima parcela ( devedor do período imediatamente anterior, ou seja: Jm ), considerando a expressão (30), é calculado sobre o saldo J m = SD(m−1) .i : sendo SDm−1 , igual a: J m = P.i. resultando. 7.2.5.5 P.[n − (m − 1)] n SDm−1 = [n − (m − 1)] (43) n VALOR DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO Diante do pressuposto de que a prestação é sempre obtida através da soma da parcela de juros e a parcela de amortização do período de tempo considerado, ou seja: Am = K m + J m substituindo as expressões (41) e (43) tem-se: Am = P. 7.2.5.6 1 + [n − (m − 1)].i n (44) JURO ACUMULADO NO PERÍODO DE 0 → M O total de juros incorporado nas prestações de 0→ m é obtido através do seguinte somatório: J 0,m = J 1 + J 2 + ... + J m Substituindo as parcelas de juros pela equação (43) Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento J 0, m = 88 P.i P.i P.i .(n − 0) + .(n − 1) + ... + .(n − n + 1) n n n P.i J 0, m = .[n + (n − 1) + ... + 1] n que substituindo a fórmula da soma de P.A. em [n + (n − 1) + ... + 1] , resulta: J 0, m = 7.2.5.7 P.i.m .[2.n − (m − 1)] 2.n (45) AMORTIZAÇÃO ACUMULADA NO PERÍODO DE 0 → M Considerando que a amortização é igual ao longo do prazo de contrato, em “m” parcelas pagas tem-se: K 0,m = m.K K 0, m = Ou 7.2.5.8 m.P n (46) QUADRO DE FINANCIAMENTO A elaboração do quadro de financiamento para o SAC segue a seguinte sistemática: 1) Cálculo do valor da parcela de amortização é: constante para todo o período de amortização ( 0 → n ): Km = K = 2) P n Cálculo dos sucessivos valores de saldo devedor, ao longo do período de amortização ( 0 → n ): SDm = SDm−1 − K 3) Cálculo do sucessivos valores de juros, ao longo do período de amortização ( 0 → n ): J m = SDm−1 .i 4) Cálculo do sucessivos valores das prestações, ao longo do período de amortização ( 0 → n ): Am = K + J m PERÍODO ( M) SALDO DEVEDOR (SDM) 0 1 SD0=P SD0-K . . . . . . m . . . n SDm-K . . . SDn-K=0 PRESTAÇÃO (AM) AMORTIZAÇÃO (KM) JUROS (JM) A1=K1+J1 . . . . Am= K1+J1 . . . An= K1+J1 K1=K=P/n . . . . K1=K=P/n . . . K1=K=P/n J1=SD0.i . . . . J1=SDm-1.i . . . J1=SDn-1.i Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7.2.5.9 EXEMPLOS: EXEMPLO 67 a) b) c) d) e) f) g) h) 4) 7.2.6 89 Considerando o Financiamento de R$ 10.000, a ser pago em 5 parcelas, através do SAC, a taxa de juros igual a 4 % a.m., determinar: o valor da 3ª. prestação o total de juros incluídos na 3ª prestação. o valor da amortização da 3ª prestação. o total de juros pagos até a 3ª prestação. o total amortizado até a 3ª prestação. o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 3ª prestação. total amortizado entre a 1ª e 3ª prestações. o total juros pagos entre a 1ª e 3ª prestações. Elaborar o quadro de Financiamento de R$ 10.000, a ser pago em 5 parcelas mensais, através do SAC, a taxa de juros igual a 4 % a.m. Mês Saldo Devedor Prestação Amortização Juros 0 10000,00 1 8000,00 2400,00 2000,00 2000,00 2 6000,00 2320,00 2000,00 4000,00 3 4000,00 2240,00 2000,00 6000,00 4 2000,00 2160,00 2000,00 8000,00 5 0,00 2080,00 2000,00 10000,00 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) Neste sistema de amortização o valor da prestação, em determinado período, é obtido por meio da média aritmética simples entre a prestação obtida no período considerado, no SAC – Sistema de Amortização Constante e a prestação obtida na Tabela Price no mesmo período. Em decorrência da regra de cálculo das prestações do SAM, todos os valores (amortizações, juros, saldo devedor, etc. ) neste sistema são obtidos através da média aritmética dos valores correspondentes do Sistema Price e do SAC. sendo que o formulário deste sistema pode assim ser descrito: X SAM = X PRICE + X SAC 2 (47) Quanto à razão de decréscimo da prestação no SAM, como na Tabela PRICE não possui razão (zero), ela também é a metade daquela apurada no SAC. Este é um sistema de amortização que, à época do BNH – Banco Nacional da Habitação - era utilizado em operações de crédito imobiliário. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7.2.6.1 EXEMPLO: EXEMPLO 68 Considerando o Financiamento de R$ 10.000, a ser pago em 5 parcelas, através do SAM, a taxa de juros igual a 4 % a.m., determinar: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 6) 90 o valor da 3ª. prestação o total de juros incluídos na 3ª prestação. o valor da amortização da 3ª prestação. o total de juros pagos até a 3ª prestação. o total amortizado até a 3ª prestação. o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 3ª prestação. total amortizado entre a 1ª e 3ª prestações. o total juros pagos entre a 1ª e 3ª prestações. elaborar o Quadro financeiro Elaborar o Quadro de Financiamento de R$ 10.000, a ser pago em 5 parcelas mensais, através do SAM, a taxa de juros igual a 4 % a.m. Mês Saldo Devedor 0 10000,00 Prestação Amortização Juros 1 2 3 4 5 7.2.7 SISTEMA AMERICANO Neste sistema de amortização, há a concessão de carência e o devedor sómente devolve o principal, por meio de uma única parcela de amortização, no final do contrato, data de vencimento da dívida. Durante o prazo de carência pode ou não ser realizado o pagamento dos juros. Esta modalidade de financiamento é utilizada em crédito rural. F=P0 J1 J 2 J3 J4 ... 0 1 2 3 4 ... ... ... Jn-1 J n=P0.i ... ... ... n-1 n P=P0 Quanto há pagamento de juros da dívida durante a carência, como mostra o fluxo acima, o valor da amortização, no final do contrato, é igual ao valor do empréstimo. Neste modelo também se verifica indiferença entre a aplicação de juros simples ou juros compostos pois os juros são integralmente quitados, a cada período, no ato de seu vencimento F=P0.(1+i)n 0 1 2 3 4 ... ... ... n-1 n P=P0 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 91 O Sistema Americano com carência e sem pagamento de juros, como representado no fluxo de caixa acima, é bastante usual. Neste caso, os juros são computados para pagamento no momento de vencimento da dívida, junto com a parcela de amortização. ia taxa antecipada 0 1 2 3 4 ... P0=P.(1-ia) ... ... F=P n-1 n Outra variedade do Sistema Americano é a cobrança antecipada de juros, neste caso, o valor do contrato é igual ao valor do empréstimo solicitado no tempo zero e o valor efetivamente recebido pelo mutuário é calculado mediante o desconto dos juros no ato da contratação. 7.2.7.1 EXEMPLO: EXEMPLO 69 Uma empresa solicita um empréstimo de R$ 100.000 u.m. que o banco libera em 2 parcelas iguais, mas defasadas de um mes, sendo a 1ª no ato. Informa-se que o banco concedeu 5 meses de carência, e que a dívida será paga pelo Sistema Americano no vencimento da carência. A taxa de juros cobrada é de 10% a.m. Pede-se construir a planilha da operação de crédito, considerando: a) que os juro serão pagos mensalmente. b) que os juros serão capitalizados durante a carência Mes SD 0 1 Juros Amortização Anuidade Mes SD 50.000 0 50.000 50.000 1 50.000 2 2 3 3 4 4 5 5 7.2.8 Juros Amortização Anuidade SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE - SACRE O Sistema de Amortização Crescente -SACRE é derivado do SAC, sua fórmula inicial de cálculo é igual ao SAC.. A diferença do SAC para o SACRE é apenas o recalculo, ou seja, um novo cálculo após um determinado período de andamento do contrato. Para o SACRE, sempre se. Assim o recalculo força o crescimento da amortização e a rapidez do pagamento. O SACRE foi adotado pela Caixa Econômica Federal nas suas linhas de financiamento da casa própria que usavam recursos do FGTS.O recálculo era feito em função do valor da TR e para o o prazo remanescente de pagamento este sistema, resultando em amortização variável. Os recálculos acontecem, na sua maioria, a cada 12 (doze) meses. Ao contrário do que acontece no SAC a parcela de amortização não é constante e sim crescente, o que permitia que a dívida fosse paga mais rapidamente. No SACRE, durante o prazo de financiamento, a prestação cai continuamente até o final do financiamento. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7.2.8.1 92 CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES ANUAIS O valor da prestação mensal, que vigora ao longo de períodos anuais, é calculado de forma análoga ao SAC. Inicialmente se obtém a amortização anual ( K aj ), pela divisão do saldo devedor atual pelo número de anos restantes: K aj = SDa ( j −1) (48) n a − n aj O juro relativo ao ano a j ( Jaj ) é calculado por: J aj = SDa ( j −1) .i (49) sendo, portanto o valor da prestação anual relativa ao ano “j” igual a: Aaj = K aj + J aj A divisão desta prestação anual do ano “j” é dividida por 12 cujo resultado define o valor da prestação mensal (constante) a ser paga mensalmente neste ano “j” . Amaj = Aaj (50) 12 O Saldo Devedor, ao final de cada ano corresponde a diferença do saldo devedor do período imediatamente anterior menos o valor futuro da série uniforme, de 1 meses, obtida pela fórmula anterior. 7.2.8.2 EXEMPLO: EXEMPLO 70 Elaborar o Plano de Financiamento de uma dívida de R$ 10.000,00 a ser amortizada pelo SACRE, em 5 anos, prestações mensais calculadas através da taxa de juros de 12% a.a. (taxa efetiva = 1% a.m.) SOLUÇÃO: a) Elaboração do Plano Anual p/ determinação da prestação mensal ao longo de cada ano: 1º passo: cálculo da amortização do ano “m” (do 1º até “n-ésimo” ano): K m ⇒ K SAC(ano) = SD (m -1) n - (m - 1) 2º passo: Cálculo do juro no ano ¨m¨( do 1º até “n-ésimo” ano): J m ⇒ J SAC(ano) = SD (m -1) .i anual :(nominal) 3º passo: Cálculo da prestação no ano “m” (do 1º até “n-ésimo” ano): A m ⇒ A SAC(ano) = K SAC ( ano ) + J SAC ( ano ) 4º passo: Cálculo da prestação mensal ao longo no ano “m” (do 1º até “n-ésimo” ano) ASAC ( ano) ASACRE.mensal = 12 5º passo: Cálculo do Saldo Devedor no final do ano “m” (do 1º até “n-ésimo” ano) SD m ⇒ SD SACRE(ano) = SD (m-1) - A SACRE.mensal (m) * (F/A, i mensal ,12) 6º passo: Repetição do 1º ao 5º passos, até o último ano de financiamento: n º anos = prazo financiamento( mensal) 12 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 93 Plano anual de Financiamento: b) ANO KSAC(ANO) J SAC (ANO) A SAC (ANO) A SACRE MENSAL 0 1 2 3 4 5 0 2000 1971,56 1934,18 1879,17 1772,32 1200 946,3477 696,3055 451,001 212,6786 3200 2917,91 2630,49 2330,17 1985 266,67 243,16 219,21 194,18 165,42 SDSACRE (FINAL ANO) SDM 10000 7886,231 5802,546 3758,341 1772,322 -100,829 Elaboração da Planilha Financeira Mensal do SACRE: Definidas as prestações do SACRE, na tabela anterior, que vigoram ao longo de cada ano, os demais elementos da planilha seguem a metodologia da Tabela Price para juros efetivos mensais. mês Saldo Devedor Amortização Juro Prestação 0 1 2 ... 11 12 13 ... 23 24 25 ... 35 36 37 ... 47 48 49 ... 59 60 10.000,00 9.833,34 9.665,01 ... 8.072,23 7.886,29 7.721,99 ... 5.985,85 5.802,54 5.641,36 ... 3.938,21 3.758,39 3.601,79 ... 1.946,99 1.772,27 1.624,58 ... 63,95 -100,83 166,66 168,33 ... 184,1 185,94 164,3 ... 181,49 183,31 161,18 ... 178,04 179,82 156,6 ... 172,99 174,72 147,69 ... 163,13 164,78 100 98,33 ... 82,56 80,72 78,86 ... 61,67 59,85 58,02 ... 41,16 39,38 37,58 ... 21,19 19,46 17,72 ... 2,27 0,63 266,66 266,66 ... 266,66 266,66 243,16 ... 243,16 243,16 219,2 ... 219,2 219,2 194,18 ... 194,18 194,18 165,41 ... 165,41 165,41 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 7.2.9 94 VANTAGENS E DESVANTAGENS ENTRE OS DIFERENTES SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO O que difere os sistemas de amortização que utilizam o princípio do pagamento periódico dos juros e de amortizações, como é o caso Sistema Francês de Amortização, Sistema de Amortização Constante – SAC ou Sistema de Amortização Misto – SAM, é única e tão somente o critério de calcular o valor da prestação inicial. A metodologia de cálculo dos juros é idêntica em todos os sistemas, ou seja, aplica-se a taxa de juros contratada sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior e, em todos eles, a quota de amortização é apurada pela diferença entre o total da prestação e os juros quitados. O comportamento das prestações, juros, saldo devedor e quota de amortização nos Sistemas PRICE, SAC, SAM e SACRE são melhor visualizados nos gráficos a seguir: Prestação x Prazo Saldo Devedor x Prazo Juros x Prazo Saldo Prestação Juros Prazo de Amortização Prazo de Amortização JSACRE JSAC JPRICE JSAM JSACRE Amortização x Prazo JSAC JSAM JPRICE Juros Acumulados Cota de Amortização R$ Prazo Amortização Prazo de Amortização JSACRE JSAC JPRICE JSAM JSACRE JSAC JPRICE JSAM Ao se analisar o comportamento financeiro entre os sistemas SAC, SACRE, SAM e PRICE, pode ser notado que em todos estes sistemas os juros são decrescentes, que o SAC e SACRE apresentam um impacto inicial mais significativo em relação à quota de amortização e ainda cabendo destacar que: − − − − No SAC e SACRE, o valor da prestação inicial é maior do que no SAM e no PRICE e, por conseqüência, enquanto referida prestação se mantém superior aos demais sistemas, o mesmo ocorre com a quota de amortização; À medida em que a prestação, no SAC e no SAM, vai decrescendo, reduz-se a distância entre a quota de amortização verificada nesses sistemas em relação ao Price; Como no SAC a liquidação da dívida no inicio do financiamento é maior que no Sistema Price, o total pago a titulo de juros, ao longo de contrato, é menor em relação ao Price. O somatório das quotas de amortização, independentemente do sistema de amortização, é o mesmo, ou seja, o valor do capital emprestado. No Sistema Price pelo fato das prestações serem fixas e menores no início, em relação aos demais sistemas de amortização, é uma virtude deste método, porém, os juros pagos no começo são altos e o valor a ser amortizado muito pequeno. Este alto pagamento de juros inicialmente faz com que a quitação de um empréstimo em longo prazo encareça em relação às demais modalidades de financiamento. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 95 O Sistema de Amortização Constante (SAC) tem nas prestações decrescentes sua principal vantagem e como desvantagem o valor muito alto das primeiras parcelas em relação aos demais sistemas de amortização escalonada. O total de juros pagos no Sistema Price motiva constantes críticas a este sistema, em especial, quando comparado ao Sistema de Amortização Constante. Porém, cabe ratificar que este fato não decorre de nenhuma anormalidade desse modelo, mas apenas e tão somente, está associado a quanto o mutuário está pagando, ou seja, como ele desembolsa um valor mais elevado no SAC, a título de prestação, há maior amortização do financiamento e conseqüente menor quantidade de juros a medida que se processa o contrato. A única condição capaz de evitar a ocorrência de ‘juros dos juros’, denominada capitalização de juros ou anatocismo, qualquer que seja o sistema de amortização, é que os juros sejam pagos integralmente à época de sua apuração, ou seja, eles não serão, parcial ou integralmente, incorporados ao saldo devedor, evitando compor, juntamente com o capital, a base de cálculo para apuração dos juros para os períodos subseqüentes. 7.2.10 PLANO DE REAJUSTE E COMPROMETIMENTO DE RENDA O Plano de Reajuste estipula no contrato de financiamento, os critérios a serem observados para a correção monetária das prestações, acessórios (diferentes taxas bancárias) e Saldo Devedor. O sistema de amortização submetido a efeitos de correção monetária somente mantém a exatidão de suas propriedades matemáticas, caso as parcelas da Prestação (K+J) e do Saldo Devedor sofram sua incidência na mesma época e com a mesma proporção e, ainda, caso a cota periódica de Amortização (Km) seja subtraída do Saldo Devedor remanescente já acrescido deste efeito. Ao longo da existência do Sistema Financeiro de Habitação - SFH, em função dos vários momentos da Política Econômica brasileira, diversos Planos de Reajustes foram adotados pelo mercado financeiro. Com a crise econômica houve um pronunciado descompasso entre a inflação e os reajustes dos salários no Brasil. Frente a esta situação as entidades econômicas estipularam várias regras, que passaram a controlar os Planos de Reajuste, buscando restringir os reajustes das prestações na magnitude da inflação para o Sistema Financeiro de habitação SFH de tal forma a compatibilizar com a capacidade salarial dos trabalhadores. O Plano de Equivalência Salarial - “PES”, criado em 1969, foi uma medida adotada pelo governo para esta situação, e estipulava um percentual máximo de comprometimento de renda para pagamento de prestações do SFH. O Plano de Comprometimento de Renda - PCR passou, efetivamente, a ser considerado como “limite” de reajustes monetários da Prestação, a partir da edição da Lei 8.004/90, pois determinava que a relação “prestação/renda”, verificada na assinatura do contrato, não poderia ser ultrapassada em todo o prazo convencionado. A Lei 8.692/93 adotou a relação “Encargo Mensal/Renda Familiar Bruta” e impôs como limite máximo de comprometimento a ser fixado contratualmente o percentual de 30%. Os Planos de Reajustes com Equivalência Salarial, em suas várias modalidades, estipularam restrições ao pleno reajuste da Prestação, implicando o desvirtuamento do sistema de amortização, com a perda da exatidão de sua propriedade básica: prestação calculada de tal forma a liquidar os juros e o capital emprestado, no prazo convencionado. Este desvirtuamento do Sistema de Amortização, caracterizado pelas conhecidas “Amortizações Negativas 7.2.10.1 EXEMPLO: EXEMPLO 71 Seja um financiamento de R$ 200.000,00 a ser pago em 5 prestações anuais com taxa de juros de 10% ao ano com capitalização anual. Efetuar a amortização pelo Sistema Price ou Francês, considerando as seguintes taxas de inflação nos períodos. Período Taxa de Inflação 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 50% 40% 38% 35% 30% Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 96 7.2.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Uma empresa contraiu um empréstimo de 20.000 u.m., a ser resgatado em 4 prestações anuais, com juros de 10% a.a. Elaborar o plano de amortização da dívida. (Sistema Francês, SAC e SAM). 2) Um empréstimo recebido de 100.000 u.m. à taxa de 10% a.a. deve ser pago em 4 parcelas trimestrais pelo Sistema SAM, pergunta-se: a) Qual o valor de cada parcela? b) Qual o valor dos juros pagos em cada parcela? c) Qual o valor das amortizações contidas em cada parcela? 3) Um imóvel no valor de 300.000 u.m. foi vendido, sendo 2/3 pagos no ato e o saldo foi financiado por 5 anos, à uma taxa de 10% a.a., a ser pago em prestações mensais. Após 15 meses o comprador deseja liquidar o S.D. de uma só vez. Quanto deverá pagar? Analise p/ os Sistemas Price, SAC e SAM. 4) Um empreendimento com investimento inicial de 100.000 u.m. foi financiado com 4 anos de carência e 12 anos para amortizar a dívida. Durante o prazo de carência o empresário paga apenas os juros, sendo a taxa de 5% a.a. Analisar para o Sistema Price a) Qual o valor das anuidades à serem pagas? b) Achar o valor das anuidades, admitindo-se que durante o prazo de carência não seja obrigatório o pagamento dos juros. c) Se o empresário quiser quitar a dívida após a 10ª amortização, qual seria o Saldo Devedor? 5) Um senhor comprou um imóvel em janeiro de 1.973, através do antigo S.F.H. O preço do imóvel era de Cr$ 425.000,00 sendo que 30% deveria ser pago no ato e o restante, financiado em 15 anos pelo Sistema Price, à taxa efetiva de 9% a.a., mais a Correção Monetária trimestral medida pela variação da UPC. As prestações do financiamento seriam pagas trimestralmente e corrigidas 4 vezes por ano (em 01/jan., 01/abr., 01/jul. e 01/out.). Pergunta-se: a) Qual o preço de cada prestação, expressa em UPC? b) No pagamento da primeira anuidade, qual o valor do juro e qual o valor da amortização? c) Em outubro de 1.983 o proprietário quitou a dívida. Qual foi o valor pago em UPC? E em Cr$? obs.: UPC JAN./73 = Cr$ 70,87 OUT./83 = Cr$ 5.987,49 6) Considere uma dívida de 100.000 u.m. a ser resgatada em 25 prestações com 4% de juros. Depois de quantas prestações o valor da prestação do Sistema Price passa à ser superior à do SAC? 7) Uma pessoa fez um empréstimo à juros de 4% a.m. e saldou a dívida pelo SAC em 10 prestações. A soma dos valores nominais das prestações foi de 50.000 u.m. Se a dívida tivesse sido paga pelo Sistema Price, qual seria a soma dos valores nominais? 8) Um imóvel foi vendido por 100.000 u.m. pela Tabela Price de 12% a.a., em 24 prestações mensais. Após cinco pagamentos, terminou o ano civil em curso e o comprador desejou informar na Declaração do I.R. o total de juros pagos neste ano civil. a) Qual é este valor? b) Achar os juros à serem informados na Declaração do I.R. do ano seguinte ao do considerado no problema anterior? c) Qual a importância amortizada total, no ano civil que considerou cinco pagamentos, no problema 8 (oito)? d) Qual a importância amortizada total durante o ano civil que considerou os 12 pagamentos posteriores ao do problema anterior? 9) Um cidadão adquiriu um imóvel por 8.000 URV, à ser pago em 100 parcelas e juros pela Tabela Price de 12% a.a. Admitindo o pagamento em parcelas mensais, pergunta-se: No final do pagamento quanto o cidadão terá pago de juros nos 3 sistemas (Price, SAC e SAM)? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Financiamento de Projetos de Investimento 97 10) Para um investimento de 75 mil ORTN's, uma empresa obteve, em 1.982, um financiamento de 60% do investimento junto ao BNDES, nas seguintes condições: • Prazo: 8 anos, sendo 2 de carência. • Correção monetária: Variação das ORTN's (título do Tesouro na época - 1.982) • Forma de pagamento: Juros pagos trimestralmente durante a carência e amortização mensal (SAC). • IOC - imposto sobre operações de crédito : 1,5% no ato, sobre o valor financiado. • Outras despesas: (registros de cartório, despesas com hipotecas,..): arbitradas em 1% sobre o valor do financiamento. Achar a taxa efetiva anual do financiamento 11) Uma empresa fez um empréstimo equivalente a 2.000.000 u.m. em um banco alemão nas seguintes condições: • Juros de 2,8% ao trimestre (efetivos) • Pagamento em 5 prestações anuais pelo SAC, em Marcos. Se a valorização do Marco em relação àquela moeda padrão (u.m.) nos próximos anos for estimada em 36%, 35%, 38%, 40% e 39%, calcule o valor em u.m. das prestações a serem pagas. 12) João tomou emprestado 8.000 u.m. para pagar em 10 meses à taxa de 10% a.m. Para saldar as prestações faria uso de 1.500 u.m. mensais proveniente de outro investimnto. João tem preferência pelo SAC, mas, se o valor que dispõe não for suficiente para as prestações, aceita assinar o contrato pelo Sistema Price deixando acertado com o agente financeiro que tão logo possa transformar o contrato em SAC, assim seria feito. Verificar quando haveria a alteração contratual desejada por João. 13) Qual o valor da prestação paga no décimo mês referente à uma dívida de Cr$ 1.000,00 à ser amortizada pelo Sistema Price à taxa de 12% a.a., em parcelas mensais, sendo 2 anos o prazo de amortização e as parcelas corrigidas em função do valor das ORTN's. Supondo que no 10° mes a ORTN valia Cr$ 380,00 e na época da contratação da dívida Cr$ 290,00. 14) Ao fazer um empréstimo de uma importância de 50.000 u.m. em uma instituição financeira a pessoa terá que pagar: quantia recebida 50.000 u.m. juros de 20% 10.000 u.m. despesas bancárias 1.500 u.m. Total 61.500 u.m. Tal quantia, 61.500 u.m., segundo a Instituição, deverá ser paga em 8 prestações iguais de 7.687,50. Qual o custo efetivo por período da transação? 15) Uma dívida de 100.000 u.m. incorrida em t=0 deve ser paga em 10 prestações com juros de 10% sobre o S.D. a) Elaborar o plano de amortização da dívida sendo a primeira prestação paga em t=1. Planeja-se usar o Sistema Price mas, logo após o pagamento da 5ª prestação, muda-se para o SAC. b) Calcular também o total de juros pagos, mas sem o uso da planilha financeira. 16) Uma empresa solicita um empréstimo de 1.000.000 u.m. que o banco libera em 2 parcelas iguais, mas defasadas de um mes, sendo a 1ª no ato. Informa-se que o banco concedeu 3 meses de carência, que os juro serão pagos mensalmente e que a dívida será paga pelo Sistema Americano no vencimento da carência. A empresa deve ainda 0,50% sobre o total de encargos e amortização decorrente de IOF e que deve ser pago no ato do contrato. A taxa de juros cobrada é de 10% a.m. Pede-se: a) Construir a planilha da operação de crédito. c) Calcular o custo efetivo da operação. d) Qual o valor à moeda corrente da 4ª prestação se as inflações mensais no período foram respectivamente de 7,1%, 8,5% e 10%. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8 98 DEPRECIAÇÃO DE EQUIPAMENTOS Os bens que constituem o ativo de uma empresa, em decorrência do desgaste e envelhecimento, sofrem constantes desvalorizações ao longo da vida útil. Esta perda progressiva de valor do ativo é denominada de depreciação que pode ser tratada pela empresa sobre o enfoque contábil e gerencial. Sob a ótica contábil a depreciação é considerada como uma despesa relacionada com a perda de valor que sofre qualquer ativo fixo de uma empresa ao longo de sua vida útil e que pode ser lançada no acerto tributário da empresa. Para fins gerenciais a depreciação é vista como a reserva periódica que a empresa deve realizar que tal modo a permitir, ao fim de certo tempo, a renovação do ativo fixo. Neste conceito, os valores provisionados neste fundo devem cobrir os valores periodicamente estimados da depreciação dos equipamentos da empresa. 8.1 FORMAS DE DEPRECIAÇÃO A perda de valor de um equipamento pode ocorrer através de: depreciação real depreciação contábil A Depreciação Real é o decréscimo efetivo do valor do bem motivado por decorrentes de deterioração, desgaste ou obsolência enquanto que a Depreciação Contábil é uma estimativa da perda de valor sofrida pelo bem cuja regra é definia pela legislação tributária. A depreciação real pode se classificar em: Depreciação Física Depreciação Funcional Depreciação devida à acidentes A Depreciação Física é a perda de valor devido à ação de elementos físicos e/ou químicos, que afetam o rendimento do bem no desempenho de seu serviço. Podendo ser decorrente da: Depreciação pelo Uso - devido a ação de elementos como choque, abrasão, vibração,... Depreciação pela Deterioração - devido a ação da corrosão, decomposição química,... A Depreciação Funcional é a perda de valor decorrente de alterações na demanda de serviços que o bem pode prestar. Podendo ocorrer através da: Depreciação por obsolência - resultante de inovações tecnológicas que tornam o bem economicamente inferior a outro. Depreciação por insuficiência - resultante da incapacidade produtiva de um bem para executar seus serviços. Depreciação por Inadequação - resultante da descaracterização do bem para o uso a que se destina. Depreciação por situação independente do bem - resultante de alterações das condições normais de serviço que levem a empresa retirar de operação equipamentos ainda em condições satisfatórias de uso. 8.2 VIDA ÚTIL DE ATIVOS FIXOS O período ao longo do qual a depreciação é processada é chamado de vida útil do bem. A vida útil de um equipamento é o período de tempo durante o qual o bem tem condições de ser utilizado. Podem ocorrer as seguintes considerações de vida útil: Vida Útil Real - é a duração efetiva de um bem, isto é, o número de anos que o equipamento é utilizado no desempenho do serviço para o qual foi adquirido. Vida Útil Contábil - é o tempo de vida do bem estabelecida pela legislação tributária. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8.3 99 Vida Útil Tecnológica – refere-se ao tempo que decorre antes que apareça uma nova máquina que torne o equipamento atual obsoleto. Esta duração é de difícil previsão, mas com o avanço tecnológico este espaço de tempo é cada vez mais curto. Vida Útil Econômica - é o tempo para que o bem atue economicamente MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO Como a depreciação de equipamento é um dos componentes do custo de produção sua determinação é fundamental para apuração do lucro real de uma empresa. Para a modelagem matemática da depreciação real seria necessária a realização de avaliações periódicas e a preços constantes, do patrimônio da empresa. Como este processo é bastante oneroso são utilizadas modelagens tradicionais para avaliação da depreciação periódica, buscando o melhor ajuste em função do tipo de equipamento e/ou atividade empregada. Existem diversos métodos para o cálculo da depreciação entre os quais mencionamos os seguintes: Método Linear Método Exponencial Método da Soma dos Dígitos Método da Soma Inversa dos Dígitos Método do Fundo de Reserva Método da Depreciação por Produção 8.3.1 TERMINOLOGIA USUAL E NOMENCLATURA A avaliação da depreciação de um ativo fixo envolve, basicamente, os elementos representados nos gráficos abaixo: $ Dt Dn 0 V0 Valor de Aquisição Valor residual ( V0 t Vt n tempo VR ) - é o valor inicial do bem a ser depreciado. VR ) - valor do bem ao final de sua vida útil (n) Valor Depreciável ( Dn )- diferença entre o valor de aquisição e o valor residual do bem. ( D n = V0 − V R ( Vt ) - é o valor do bem após “t” anos de utilização. Valor Contábil Depreciação Acumulada durante “t “ anos ( Dt ) - é a perda de valor do bem durante “t” anos de utilização e corresponde ao somatório das cotas anuais de depreciação desde a aquisição até o período “t”. Dt = V0 − Vt dt 0 n t-1 t Cota Anual de Depreciação ( período “ t ” dt ) - é a parcela de depreciação ocorrida entre o período ( t -1) e o Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8.3.2 100 MÉTODO LINEAR O método linear define uma depreciação anual constante durante a vida útil do bem e, a qual é obtida pela divisão do valor depreciável pela sua útil. É o método utilizado para contabilidade fiscal e segue as seguintes premissas: A depreciação é função do tempo e não do uso; Não leva em conta o fator custo do capital; A eficiência do equipamento é constante durante a vida útil. V0 V1 V2 dt dt Vt-1 Vt dt VR 0 1 2 n tempo dt = 8.3.2.1 ... t-1 t ... Dn V0 − VR = n n (51) Dt = t.d (52) DEPRECIAÇÃO ACUMULADA Onde, Dt = Depreciação acumulada até o ano “t” t = nº de anos decorridos d = cota anual de depreciação 8.3.2.2 VALOR CONTÁBIL O valor contábil do bem após a ulização durante um período igual a “t” corresponde a: Vt = V0 − Dt = V0 − d .t 8.3.2.3 (53) TAXA PERCENTUAL DE DEPRECIAÇÃO A taxa percentual de depreciação do Método Linear é obtida pela seguinte expressão: TR = V0 − V R .100 V0 .n Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ (54) Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8.3.2.4 101 DEPRECIAÇÃO CONTÁBIL O Método de Depreciação Linear é o método que embasa as regras estabelecidas na legislação do Imposto de Renda de Pessoa Jurídica. O Decreto nº 3.000, de 26 de março de 1999, estabelece a depreciação como um custo operacional dedutível no IRPJ e fixa o tempo mínimo para que a vida útil do ativo assuma valor residual igual à zero. A máxima taxa anual admitida pela legislação tributária é chamada de Taxa Percentual Fiscal de Depreciação Linear e é determinada sobre o custo de aquisição dos bens depreciáveis considerando o valor residual nulo ( VR expressa por: Tf = = 0 ), sendo 100 n (55) Mediante a aplicação da taxa anual de depreciação a legislação estabelece a quota de depreciação máxima registrável na escrituração como custo ou despesa operacional e fixa, portanto, o prazo mínimo que o do bem pode ser depreciado pelo contribuinte. Algumas taxas de depreciação anual estipuladas pelo Fisco Federal são apresentadas no quadro abaixo: BENS Betoneiras Britadores Caminhões (trafegando sob condições normais) Caminhões (trafegando em condições precárias) Motocicletas Desvio de Estrada de Ferro Edifícios e Benfeitorias Elevadores Instrumentos Técnicos de Eng. Veículos Veículos Utilitários TXA. DE DEPRECIAÇÃO ANUAL (TF) VIDA ÚTIL CONTÁBIL 33 % 17 % 3 5,8 20 % 5 25 % 4 25 % 10 % 4% 20 % 12,5 % 20 % 33 % 4 10 25 5 8 5 3 A taxa anual de depreciação de bens adquiridos usados é também fixada tendo em vista o maior dos seguintes prazos: a) metade da vida útil admissível para o bem adquirido novo; b) restante da vida útil, considerada esta em relação à primeira instalação para utilização do bem. Não é admitida a depreciação referente aos seguintes ativos imobilizados: a) terrenos, salvo em relação aos melhoramentos ou construções; b) prédios ou construções não alugados nem utilizados pelo proprietário na produção dos seus rendimentos ou destinados a revenda; c) bens que normalmente aumentam de valor com o tempo, como obras de arte ou antiguidades; d) bens registrados em quota de exaustão. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 102 A quota de depreciação só pode ser registrada e, portanto, dedutível no IR a partir da época em que o bem for instalado, posto em serviço ou em condições de produzir. A legislação tributária permite que os ativos novos ou usados sejam depreciados. Nos períodos de alta inflação era possível reajustar as cotas anuais de depreciação a fim de repor a correção monetária. A partir de janeiro de1996, tendo em vista o fim da correção monetária das demonstrações financeiras, as quotas de depreciação a serem registradas na escrituração como custo ou despesa passaram a ser calculadas mediante a aplicação da taxa anual de depreciação sobre o valor em Reais do custo de aquisição registrado contabilmente. Em situações especiais a Receita Federal concede o benefício da Depreciação Acelerada, há duas espécies de depreciação acelerada a) reconhecida e registrada contabilmente, relativa à diminuição acelerada do valor dos bens móveis, resultante do desgaste pelo uso em regime de operação superior ao normal, calculada com base no número de horas diárias de operação, e para a qual a legislação fiscal, igualmente, acata a sua dedutibilidade; b) relativa à depreciação acelerada incentivada considerada como benefício fiscal e reconhecida, apenas, pela legislação tributária para fins da apuração do lucro real, sem qualquer lançamento contábil. Em relação aos bens móveis, poderão ser adotados, em função do número de horas diárias de operação, os seguintes coeficientes de depreciação acelerada (Lei nº 3.470, de 1958, art. 69) aplicáveis sobre as taxas são normalmente utilizáveis: a) um turno de oito horas 1,0; b) dois turnos de oito horas 1,5; c) três turnos de oito horas 2,0. Por exemplo, um bem cuja taxa normal de depreciação é de 10% (dez por cento) ao ano poderá ser depreciado em 15% (quinze por cento) ao ano se operar 16 horas por dia, ou 20% (vinte por cento) ao ano, se em regime de operação de 24 horas por dia. Não é necessária a prévia autorização da autoridade competente para aplicação da depreciação acelerada, entretanto, caso a mesma seja utilizada, o contribuinte poderá ser solicitado, a qualquer tempo, a justificar convenientemente tal procedimento, sob pena de ver glosado o excesso em relação à taxa normal, cobrando-se os tributos com os acréscimos cabíveis. A comprovação deve reportar-se ao período em que foi utilizado o coeficiente de depreciação acelerada e deverá, efetivamente, demonstrar que determinado bem esteve em operação por dois ou três turnos de 8 horas, conforme o caso, dependendo, exclusivamente, do tipo de atividade exercida pelo contribuinte. 8.3.2.5 EXEMPLO: EXEMPLO 72 Um equipamento especial foi adquirido por R$ 80.000,00 para ser utilizado durante a construção de uma PCH (Pequena Central Hidrelétrica). A equipe de engenharia estima a utilização deste equipamento por um período de quatro anos correspondente à sua vida útil quando então poderá ser revendido por R$ 20.000,00. Determinar: a. a cota anual de depreciação b. as taxas percentuais anuais de depreciação (real e fiscal) c. a depreciação acumulada no terceiro ano d. o valor contábil do ativo após três anos e. o plano de depreciação. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8.3.3 103 MÉTODO EXPONENCIAL O Método Exponencial considera a depreciação anual decrescente com o tempo, o cálculo do valor contábil à cada período é fundamentado em uma taxa de depreciação T que se aplica a cada período ao valor contábil do período imediatamente anterior. ano Valor contábil o V0 1 V1 = V0.(1-T) 2 V2 = V1. (1-T) = V0 . (1-T)2 3 V3 = V2 . (1-T) = V0 . (1-T)3 : : :t Vt = V0:. (1-T)t Portanto, para T = taxa exponencial de depreciação, tem-se: Vt = Vo .(1 − T ) t (56) A expressão (56) pode também ser expressa em função do valor residual considerando que para t = n → Vt = VR., resulta em VR = V0 . (1-T)n VR = (1-T)n . Elevando-se a expressão anterior ao grau “t” tem-se : V0 ou VR V0 t [ Resultando, 8.3.3.1 ] [ t = (1 − t )n = (1 − t )t ] n VR V0 ou V Vt = V0 . R V0 t t n = (1 − T ) t n (57) TAXA EXPONENCIAL DE DEPRECIAÇÃO: Igualando as expressões (56) e (57) conclui-se que a taxa exponencial de depreciação pode ser obtida através da seguinte fórmula: T =1− n VR V0 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ (58) Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8.3.3.2 104 EXEMPLO: EXEMPLO 73 Considerando o ativo do EXEMPLO 72 e assumindo uma taxa exponencial de depreciação de 25%, pede-se: a. indicar o valor contábil do bem ao final de cada ano e a carga anual de depreciação b. determinar a taxa de depreciação que deveria ser utilizada para que se tenha ao final de quatro anos de vida o valor residual de R$ 20.000,00 e elaborar o plano de depreciação do ativo nesta condição. 8.3.4 t Vt dt t Vt dt 0 80.000,00 0 0 80.000,00 0 1 60.000,00 20.000,00 1 60.000,00 20.000,00 2 45.000,00 15.000,00 2 45.000,00 15.000,00 3 33.750,00 11.250,00 3 33.750,00 11.250,00 4 25.312,50 8.437,50 4 25.312,50 8.437,50 MÉTODO DA SOMA DOS DÍGITOS O Método da Soma dos Dígitos preconiza um fracionamento do valor depreciável (Dt) em SD partes iguais, onde SD é chamado de Soma dos Dígitos e, onde as cargas anuais de depreciação são parcelas decrescentes deste fracionamento. A soma dos dígitos (SD) corresponde à soma de uma P.A. de “n” termos, onde a razão e o primeiro termo são iguais à unidade e o número de termos “n” desta progressão corresponde à vida útil do bem. (1 + n).n 2 SD = 1 + 2 + 3 + .... + n = SD = (1 + n).n 2 (59) então, a carga de depreciação por período é de : t 0 dt d0=0 Dt V − VR = n. 0 SD SD Dt V − VR d 2 = (n − 1). = (n − 1). 0 SD SD d1 = n. 1 2 d 3 = (n − 2). 3 Dt V − VR = ( n − 2). 0 SD SD : : dt = [n − (t − 1)]. t Resultante, portanto, dt = [n − (t − 1)]. Dt V − VR = [n − (t − 1)]. 0 SD SD V0 − V R SD Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ (60) Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8.3.4.1 105 DEPRECIAÇÃO ACUMULADA: Realizando o somatório das cotas anuais de depreciação temos que a depreciação acumulada ao longo de um período de “t” anos corresponde a: Dt = 8.3.4.2 [2.n − (t − 1)].t .(V − V ) 0 R n.(n + 1) (61) EXEMPLOS: EXEMPLO 74 Descrever o gráfico de depreciação mediante a aplicação do Método da Soma dos Dígitos para um ativo de vida útil de 4 anos, valor de aquisição V0 e valor residual VR: SOLUÇÃO: SD =1+ 2 + 3 + 4 = 10 fracionamento do valor depreciável (Dn = V0 - VR) em SD partes Vo − VR V0 − VR = SD 10 as parcelas anuais de depreciação serão: 4/10, 3/10, 2/10 e 1/10 do valor depreciável aos anos 1, 2, 3 e 4 respectivamente D 1. n 10 4. Dn 10 3. Dn 10 2. Dn 10 Dt = Vo − VR 0 1 2 3 4 EXEMPLO 75 Considerando-se o mesmo ativo do EXEMPLO 72, pede-se o valor contábil e a carga anual de depreciação aplicano o Método da Soma dos Dígitos: t Vt dt 0 80000 0 1 2 3 4 20.000 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8.3.5 106 MÉTODO DA SOMA INVERSA DOS DÍGITOS: Para o Método da Inversa Soma dos Dígitos as cotas de depreciação são parcelas crescentes de frações de SD partes do valor depreciável. t dt 0 d0=0 1 d1 = 1. Dt V − VR = 1. 0 SD SD 2 d 2 = 2. Dt V − VR = 2. 0 SD SD 3 d 3 = 3. Dt V − VR = 3. 0 SD SD :: ::: t D V − VR d t = t. t = t. 0 SD SD portanto, a cota anual de depreciação para o método da SID corresponde a: d t = t. 8.3.5.1 V0 − VR SD (62) DEPRECIAÇÃO ACUMULADA Transcorrido um período “t”, da vida útil (n) do ativo depreciado pelo método da SID, a depreciação acumulada corresponde a: Dt = 8.3.5.2 (1 + t ).t .(V − V ) 0 R n.(n + 1) (63) EXEMPLO: EXEMPLO 76 Descrever o gráfico de depreciação mediante a aplicação do Método da Soma Inversa dos Dígitos para um ativo de vida útil de 4 anos, valor de aquisição V0 e valor residual VR: ( SOLUÇÃO: SD =1+ 2 + 3 + 4 = 10 fracionamento do valor depreciável (Dn = V0 - VR) em SD partes Vo − VR V0 − VR = SD 10 as parcelas anuais de depreciação serão: 1/10, 2/10, 3/10 e 4/10 do valor depreciável. D 2. n 10 1. Dn 10 3. Dn 10 4. Dn 10 Dt = Vo − VR 0 1 2 3 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 5) 107 Considerando-se o mesmo ativo do EXEMPLO 72, pede-se o valor contábil ao final de cada ano e a correspondente carga anual de depreciação. t Vt dt 0 80000 0 1 2 3 4 8.3.6 20.000 MÉTODO DO FUNDO DE RESERVA O Método de Depreciação denominado de Fundo de Reserva adota a hipótese de formação de um fundo de reserva para a reposição do ativo ao final de sua vida útil. O método aplica uma carga anual crescente de depreciação. O fundo de reserva se concretiza através de depósitos anuais iguais de modo que o montante seja igual ao valor depreciável. A 0 A 1 A 2 A 3 ....... A n = vida útil do ativo 4 ..... ...... .... Portanto, o montante do Fundo de Reserva é igual a: F = V0 −VR (64) logo, os depósitos anuais serão de: ( A = (Vo − V R ). A ; i; n F ) (65) E, a depreciação acumulada até o ano “t” será de: ( Dt = A. F 8.3.6.1 A ; i; t ) (66) EXEMPLO: EXEMPLO 77 Considerando-se o mesmo ativo do EXEMPLO 72, determine o valor contábil ao final de cada ano, a depreciação anual, o valor dos depósitos periódicos, a posição do fundo de reserva a cada ano e a posição do fundo de reserva a cada ano. t Vt Dt dt 0 80000 0 0 20000 60000 1 2 3 4 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Depreciação de Equipamentos 8.3.7 108 MÉTODO DA DEPRECIAÇÃO POR PRODUÇÃO O método da depreciação por Produção associa a carga anual de depreciação à sua produção anual. É um método bastante adequado quando o desgaste físico está associado a vida útil do equipamento. A carga anual de depreciação é definida por: dt = onde: V0 − V R .Pt = T .Pt Pn (67) Pn = produção total durante a vida útil do ativo Pt = produção no ano “t” T = taxa de depreciação por produção, calaculada pela equação: T= 8.3.7.1 V0 − V R Pn (68) EXEMPLO: EXEMPLO 78 Uma empresa de locadora de maquinário pesado adquiriu uma patrol por R$ 500.000,00. Considerando-se a característica do serviço oferecido, a empresa utiliza o método da depreciação por produção, onde a unidade de produção é o número de horas trabalhadas. De acordo com sua experiência, a empresa estima que se o equipamento for utilizado por 40.000 horas, final da sua vida útil, ainda alcançaria um preço de mercado de R$ 60.000,00. Admitindo-se que no primeiro ano o equipamento foi utilizado durante 3.000 hs., deseja-se saber a taxa de depreciação; Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula A influência do Imposto de renda na Análise de Investimentos. 9 109 A INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS. O IR é imposto que incide sobre o lucro contábil das empresas. O lucro contábil é basicamente a diferença entre receitas e despesas contábeis. Como para análise de investimento o fluxo de caixa representa o lucro bruto por período, sobre este lucro incide o IR. Por outro lado a legislação identifica algumas despesas ocorridas na empresas que devem ter um tratamento diferenciado para efeitos de IR: Como há nuances no tratamento da despesa perante a legislação tributária há variações na contabilização deste lucro e, por conseqüência, o valor do fluxo líquido de caixa. Citemos algumas considerações sobre a influência do IR em análise financeira: • Aquisição de ativos fixos: O valor da aquisição de um ativo fixo aparece como uma saída em um fluxo de caixa, mas é um valor que não pode ser pontualmente contabilizado como despesa (redução de lucro). Este valor investido imobilizado pode ser “descontado” linearmente do lucro contábil ao longo da vida útil, definida pela Receita Federal, deste ativo como despesa com depreciação. Logo, a depreciação anual de ativos não aprece explicitamente em um fluxo de caixa mas aparece como dedução de IR (redução do lucro contábil anual). • Venda de ativos fixos: No momento de venda de um ativo fixo deve-se apurar o lucro decorrente desta venda para efeitos de IR. A apuração deste lucro é feita mediante a diferença entre o valor de venda e o valor contábil do bem no momento desta negociação. Se o valor contábil for maior que o valor de venda a diferença contábil será negativa e se comporta como uma depreciação remanescente e este valor (diferença contábil negativa) permite abater o IR do lucro contábil. Se o valor contábil for menor que o valor de venda a diferença contábil será positiva e deverá ser tributado. • Financiamentos: O valor que ingresso financeiro através de empréstimo não pode ser contabilizado como receita, logo é uma entrada no fluxo de caixa que não afeta o lucro, portanto não incide IR. As prestações pagas aparecem como saídas no fluxo de caixa e, como vimos anteriormente, incorporam uma parcela do valor amortizado da dívida mais uma parcela de juros decorrentes deste financiamento. Como a legislação tributária permite a contabilização dos juros pagos como “despesa” apenas a parcela de juros de uma prestação sofre influência do IR. Como visto no capítulo anterior, para análise de frota em transporte público são importantes as seguintes considerações sobre depreciação: • Para equipamentos que trabalhem em dois turnos diários de 8 horas, os percentuais de depreciação podem ser multiplicados por 1,5. (depreciação mais 50%). • Para equipamentos que trabalhem em três turnos diários de 8 horas, os percentuais de depreciação podem ser multiplicados por 2. • Além dos custos de transporte as despesas para posta em marcha do equipamento também podem ser depreciadas. A instalação dos equipamentos em geral e lançada como despesa única. A legislação ainda prevê para bens que operam em condições ambientais desfavoráveis, a possibilidade do uso de taxas maiores, mediante solicitação corroborada por laudo técnico emitido pelo Instituto Nacional de Tecnologia. A depreciação acelerada favorece os investimentos (reduz-se os primeiros pagamentos do imposto de renda), pelo que os empresários procuram efetuá-la. Para que seja permitido fazer uma depreciação acelerada contabilmente deve-se obter a necessária autorização da Receita Federal. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula A influência do Imposto de renda na Análise de Investimentos. 9.1 110 INFLUÊNCIA DO IR EM FINANCIAMENTOS DE PROJETOS Além de selecionar as melhores oportunidades para a empresa é também função do engenheiro econômico estabelecer as fontes de recursos para o financiamento dos investimentos escolhidos. 9.1.1 FONTES DE RECURSOS PARA FINANCIAMENTO DE PROJETOS A captação de recursos para investimentos nas empresas pode provir de variadas fontes: • Recursos próprios • Recursos de terceiros lucros da empresa capital de sócios reservas existentes (inclusive depreciação) empréstimos emissão de debêntures • Composição mista de recursos próprios + terceiros • Leasing 9.1.2 INFLUÊNCIA DO IR PARA FINANCIAMENTO COM RECURSOS PRÓPRIOS: A sistemática para o cálculo de financiamentos com recursos próprios não apresenta nenhuma novidade onde somente a questões inerentes à depreciação (cota anula e valor residual) afetam a análise de investimentos. 9.1.3 FINANCIAMENTO COM COMPOSIÇÃO MISTA DE RECURSOS A injeção de recursos em uma empresa pode ser conseqüência da insuficiência de recursos para a realização de investimentos ou por ser a forma mais econômica de financiamento de projetos. O projeto financiado com recursos de terceiros só poderá ser aceito se gerar recursos suficientes para a amortização e o pagamento de juros do empréstimo contratado. A análise de projetos financiados parcialmente com recursos de terceiros pode melhorar a TIR, isto porém não significa que se deva utilizar este tipo de recurso. A análise só é válida quando é feito o confronto simultâneo do fluxo de caixa mplementado somente com recursos próprios e com o de injeção de recursos de terceiros. 9.1.4 FINANCIAMENTO COM RECURSOS DE TERCEIROS A análise do financiamento de projetos com a utilização integral de recursos de terceiros é idêntica à elaborada para a composição mista de recursos. 9.1.5 EXEMPLOS: EXEMPLO 79 Analisar qual o custo anual para o veículo.onde: Vi=R$15.000 e Vr = R$ 7.500 após 4 anos, alíquota de Imposto de Renda de 20% e TMA de 30% a.a , sabendo-se que os custos de manutenção e operação são constantes e iguais à R$ 10.000 por ano. Para a aquisição do veículo foi utilizado um financiamento em dois anos através do SAC a juros de 1,0% a.m. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula A influência do Imposto de renda na Análise de Investimentos. 111 EXEMPLO 80 Analisar um projeto de investimento correspondente à operação de um equipamento no valor de R$100,00, com vida econômica igual a 6 anos. Após este período o equipamento será retirado de operação com valor residual nulo. O equipamento proporciona uma receita líquida anual igual a R$30,00. A depreciação do equipamento será linear e efetuada ao longo de 4 anos. a alíquota de IR é igual a 40% sobre o lucro tributável e a TMA da empresa é igual a 10%a.a.. (Met. VPL) EXEMPLO 81 Em cumprimento a um programa de redução de custos o depto. de engenharia industrial de uma fábrica está estudando a possibilidade de mecanização de determinada operação. A alternativa existente é a mecanização de uma máquina que resultará nas seguintes perspectivas econômicas: DISCRIMINAÇÃO Custo da máquina Red. anual de custos Valor residual Vida econômica = contábil ESTIMATIVA R$ 12.000,00 R$ 3.500,00 0 5 anos A alíquota de IR para a firma situa-se em 35%. O investimento deverá ser realizado integralmente com recursos próprios, cujo custo é de 5% a.a. após o IR. Determinar a TIR do empreendimento e verificar sua viabilidade. EXEMPLO 82 Determinar a TIR do investimento do exercício anterior considerando a contratação de um empréstimo num correspondente à 60% do custo do investimento, pelo sistema SAC à uma taxa de juros de 9% a.a., pagável durante a vida econômica do projeto. E, determinar se a empresa deve realizar o empréstimo ou utilizar recursos próprios para a implementação do projeto? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 10 112 SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS Para realizar suas atividades, desde as mais simples até as mais complexas, é bastante comum que as empresas, além da mão-de-obra, utilizem também alguns tipos de veículos e equipamentos. Muitos gestores enfrentam a difícil tarefa de controlarem e reduzirem custos destes ativos fixos (veículos e equipamentos) em uma empresa de tal forma a ficarem dentro de patamares estimados e aceitáveis. Como estes ativos não são viáveis para sempre, esta tarefa muitas vezes remete à definição do momento recomendado de cessar a operação dos ativos fixos de uma empresa e a definição sobre a viabilidade de se proceder a sua substiuição. Em muitos casos, a necessidade de substituição dá-se normalmente em função do desgaste do equipamento em função de seu uso, levando a manutenções e reformas cada vez mais dispendiosas, e, muitas vezes, atingindo custos superiores ao valor de mercado do equipamento. A substituição de veículos e equipamentos pode também ser decorrente de obsolência. Podemos citar neste caso os equipamentos de informática, onde grandes e rápidas mudanças tecnológicas os tornam funcionalmente obsoletos e, mesmo o equipamento apresentando boas condições operacionais (aparentemente novo), deverá ser substituído por um mais moderno permitindo que a empresa acompanhe a evolução do mercado em que atua. As decisões sobre substituição de equipamentos são complexas, envolvendo análise técnica (obsolescência, por exemplo), econômico-financeira e, sobretudo, a experiência de gestores financeiros, engenheiros e administradores devido, em geral, à falta de dados e informações relevantes. Estas decisões são, em geral, irreversíveis (pois os novos equipamentos, normalmente, não possuem liquidez adequada) e envolvem, muitas vezes, grandes quantidades monetárias. A engenharia econômica determina os subsídios necessários para a otimização desta operação e definindo o tempo ideal para manter em atividade um ativo ou definindo a ação financeiramente mais interessante para a empresa. A operação de cessamento da operação de um ativo fixo é de definida com baixa e pode ocorrer das seguintes formas: a) Baixa sem reposição do equipamento: o equipamento não será substituído, isto é, o projeto em que o equipamento opera será desativado; (Ex. mudança de ramo de atividade) b) Baixa com renovação ou com reposição idêntica: o equipamento será substituído por outro novo com as mesmas características; (Ex. Substituir ônibus velhos por novos do mesmo tipo). c) Baixa com reposição diferente: o equipamento será substituído por outro equipamento diferente (normalmente com características superiores ao equipamento existente). (Ex. Substituir ônibus de tamanho tradicional – 40 lugares - por micro-ônibus). 10.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Os procedimentos decorrentes da análise de substituição de substituição embasam-se nos custos envolvidos e que remetem ao tempo ideal de substituição. Estes elementos integrantes da análise de substituição de equipamentos são conceituados adiante. 10.1.1 CUSTO ANUAL DE CAPITAL: O Custo Anual de Capital é definido pelo custo anual equivalente resultante da decomposição do valor de aquisição e do valor residual do equipamento. ( ) CAK = (P − V R ). A ; i; n + V R .i P (69) O custo anual de capital tende a decrescer a medida em que o tempo de operação do equipamento cresce. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 113 10.1.2 CUSTO ANUAL DE OPERAÇÃO E MANUTENÇÃO O custo de operação e manutenção, ou simplesmente custo operacional, de um equipamento é composto por itens relacionados à utilização do mesmo. O custo anual de O&M tende a crescer a medida em que o equipamento envelhece. 10.1.2.1 CUSTOS DE MANUTENÇÃO Os custos de manutenção são aqueles relacionados à manutenção dos equipamentos, bem como, aqueles resultantes da paralisação do equipamento para realização da manutenção em uma oficina. São eles: - manutenção (peças de reposição, mão-de-obra, etc); - paralisação (aluguel de equipamento de reposição - locação, etc.). Esses custos são pequenos quando o equipamento é novo e crescem acentuadamente com o envelhecimento do mesmo. 10.1.2.2 CUSTOS DE OPERAÇÃO São custos variáveis relacionados à utilização do equipamento, necessários a que o mesmo opere, excetuando-se os custos de manutenção. Para o caso de veículos envolvem despesa com: - combustível; - pneus e câmaras; - lavagem e lubrificação. Esses custos são praticamente constantes durante a vida útil do equipamento e, quando variam, normalmente deve-se a fatores de mercado e não devido a idade do equipamento. O custo anual de O&M é obtido pela transformação do fluxo de caixa destes custos em uma série uniforme equivalente. 10.1.3 CUSTO ANUAL TOTAL O custo anual (total) do equipamento poderá ser decomposto em custo de capital e custo anual de operação e manutenção. CAT = CAK + CAo (70) 10.1.4 VIDA ECONÔMICA O intervalo que vai desde a entrada do equipamento novo em operação, até o momento em que se atinge o ponto econômico de substituição, é denominado "vida útil econômica" do equipamento. A vida econômica é também definida como o tempo em que se verifica o menor custo anual total, ou seja, é o tempo em ocorre o balanço de dois custos que compõe o CAT: os custos do capital investido - CAK e os custos de operação e manutenção- CA O&M. A determinação da vida econômica é feita pela comparação dos custos anuais que decorrem da utilização do equipamento durante diferentes períodos de tempo e é estabelecida no tempo “n” em que o custo anual total (CAT) é mínimo. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 114 10.1.4.1 EXEMPLO: EXEMPLO 83 Uma empresa transportadora utiliza utilitários de determinado tipo, cujo preço é de R$24.000,00. São conhecidos os seguintes elementos de custos (expressos em R$): 1 4.000 12.000 Despesa de operação Valor de revenda 2 5.600 6.000 Idade do Utilitário (em anos) 3 4 5 6 7.200 8.800 10.400 12.000 3.000 1.500 800 800 7 13.600 800 8 15.200 800 Considerando juros reais de 10%a.a., pede-se a vida econômica dos utilitários e o custo anual correspondente. 10.2 BAIXA DE VEÍCULOS E EQUIPAMENTOS O procedimento de análise da substituição, ou a determinação do tempo recomendado de baixa de um ativo fixo é função do processo a ser adotado pela empresa. 10.2.1 BAIXA SEM REPOSIÇÃO A Baixa sem Reposição pressupõe a retirada de um ativo fixo de operação sem substituição por outro operacionalmente equivalente. Neste caso, podemos ter, por exemplo, linha de produção que esteja sendo superada tecnologicamente. A análise de “baixa sem substituição” considera que o ativo não deve ser retirado de operação desde que todas as suas conseqüências prospectivas sejam positivas, ou seja, considera a utilização do bem enquanto perdure a sua rentabilidade e isto ocorre quando o valor presente das receitas futuras for menor que o valor presente dos custos futuros. Neste caso, a determinação da época de baixa é obtida, através do método do Valor Presente Líquido (VPL) que é calculado período por período, como veremos no exemplo a seguir. 10.2.1.1 EXEMPLO: EXEMPLO 84 Consideremos as seguintes estimativas de custos e receitas relativas a um ativo que hoje (ocasião da análise), tem 3 anos de vida e uma vida útil restante de 2 anos: Ano 4 5 Receita 1.200 1.000 Custos 800 900 valor de revenda 300 - Supondo que o ativo possa, atualmente, ser vendido por R$600,00 e que a TMA é de 10%a.a., quando deverá ser efetuada a baixa deste ativo? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 115 10.2.2 BAIXA COM REPOSIÇÃO IDÊNTICA Considerando que a “baixa com reposição idêntica”, ou simplesmente “renovação”, de um equipamento pressupõe o conhecimento do ativo a ser substituído, a programação de substituição deve ocorrer no tempo em que se possa otimizar os custos, ou seja, o tempo em que será feita a renovação de um ativo será aquele em que a vida econômica tenha sido igualada ou excedida. Neste caso, o método do Custo Anual Uniforme (CAU) é mais aconselhável na análise das alternativas. 10.2.2.1 EXEMPLO: EXEMPLO 85 Consideremos um ativo com um custo inicial de R$10.000,00, com vida física máxima de 6 anos e com os seguintes valores de mercado: Ano Custos O&M Valor de revenda 1 2 3 4 5 6 5.000 5.600 6.300 7.000 9.000 9.000 7.000 4.500 2.500 1.000 - Supondo uma TMA de 10%a.a., quando deverá ser feita a renovação do ativo? 10.2.3 BAIXA COM REPOSIÇÃO DIFERENTE Quando existe a possibilidade de substituir o ativo existente por outro ativo, com características geralmente superiores, a análise de substituição envolve a comparação de desempenho de dois ativos distintos: o existente: defensor o candidato: desafiante O equipamento desafiante tem como custo anual referencial o seu custo mínimo (valor de catálogo), isto é, o custo anual para a vida econômica. Já, o defensor (equipamento existente) tem sua performance definida pelo se desempenho real. E, o tempo máximo para que o defensor continue em ativa é o tempo em que a partir do qual sempre os custos anuais do desafiante sejam sempre superiores aos seus. Em outras palavras, a substituição será recomendada sempre que não haja mais vida disponível para o defensor com custos anuais melhores que o desafiante. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 116 10.2.3.1 EXEMPLO: EXEMPLO 86 Suponhamos que o desafiante seja o ativo do EX. anterior e o defensor tenha atualmente o valor de mercado de R$ 8.000,00 e que este valor cairá para R$5.000,00 ao final do ano e, que seu custo operacional seja de R$5.500,00. Sabe-se ainda, que para o 2o ano, quando se encerra sua vida física, o valor do defensor será de R$4.000,00 e terá custo operacional; de R$6.000,00. Pergunta-se por quanto tempo deve-se manter o defensor? 10.3 SUBSTITUIÇÃO COMO ANÁLISE DE INVESTIMENTO Até agora planejamos o tempo ideal para a substituição, isto é, quando deveríamos implantar a baixa de um determinado ativo. Existem, porém, situações em que a decisão sobre a substituição deve ser tomada de maneira imediata. Devemos decidir em um determinada ocasião se a substituição será ou não realizada ou perdemos uma vantagem apresentada para a aquisição do novo ativo. Situação como esta nos remete a realizar a análise de substituição como uma análise de investimento sendo que o horizonte de análise será a vida remanescente do ativo existente. O horizonte de planejamento na análise é assim definido pois é o tempo em poderia ocorrer a suposta substituição, ou seja, após esgotada a vida física a substituição será inevitável. Para este tipo de análise duas situações podem ocorrer: a. a vida do desafiante é igual a vida remanescente do defensor b. a vida do desafiante é superior a vida remanescente do desafiante. Cabe ressaltar que todas as ocorrências financeiras passadas para o ativo defensor devem ser desconsideradas na análise, com exceção dos efeitos remanescentes de Imposto de renda! Ou seja, o valor atual de mercado do defensor deve ser utilizado como sendo o seu valor atual de investimento para efeito de análise. 10.3.1 CASO 1: VIDA REMANESCENTE DO DEFENSOR IGUAL À VIDA ÚTIL DO DESAFIANTE. EXEMPLO 87 Uma empresa adquiriu há 5 anos um equipamento por R$ 5.000.000,00, possuindo vida contábil de 15 anos, com valor residual nulo e custos operacionais iguais à R$800.000,00 por ano. A empresa paga 40% de IR e sua TMA é de 20% a.a. Este equipamento possui hoje um valor de mercado igual a R$ 750.000,00. Em virtude da inadequação de atendimento à demanda atual, a empresa decidiu substituir o equipamento existente por outro a ser selecionado entre dois equipamentos tecnicamente equivalente. O equipamento K custa R$ 2.000.000,00 e tem uma vida útil contábil de 10 anos, custos operacionais de R$ 500.000,00 por ano e poderá ser vendido no final de sua vida útil por R$ 400.000,00. O equipamento L custa R$ 4.000.000,00, tem uma vida útil contábil de 10 anos, custos operacionais de R$ 200.000,00 por ano e poderá ser vendido ao final de sua vida útil por R$ 800.000,00. Qual deve ser o equipamento selecionado? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 117 10.3.2 CASO 2: VIDA REMANESCENTE DO DEFENSOR MENOR QUE A VIDA ÚTIL DO DESAFIANTE Neste caso existe a transposição do limite do horizonte de planejamento – Vida útil do equipamento defensor. A vida útil do Desafiante é, então, calculada com sendo um Valor Residual (Vh) referenciado a este horizonte de planejamento é que obtido pela equação: Vh = P. ( A P; i; n). ( P A ; i; n − h) − V R . ( A F ; i; n). ( F A ; i; h) (71) 10.3.2.1 EXEMPLO: EXEMPLO 88 Uma empresa de engenharia adquiriu, para suas obras, uma betoneira K, há 4 anos atras, com as seguintes características: • • • custo inicial =R$ 1.000.000,00 vida útil = 10 anos despesas anuais de manutenção = R$ 100.000,00 • valor residual na revenda =R$ 150.000,00 O equipamento não corresponde ao desejado, e em virtude disto, a empresa tenciona substitui-la por outra L que apresenta as seguintes características: • custo inicial =R$ 1.500.000,00 • vida útil = 10 anos • despesas anuais de manutenção = R$ 80.000,00 • valor residual na revenda =R$ 250.000,00 O revendedor oferece hoje, à betoneira K o valor de R$ 400.000,00. Um vendedor concorrente oferece outra betoneira M com as seguintes características: • custo inicial =R$ 2.000.000,00 • vida útil = 12 anos • despesas anuais de manutenção = R$ 120.000,00 • valor residual na revenda =R$ 300.000,00 O vendedor oferece ainda, à betoneira K o valor de R$ 500.000,00 A empresa considera uma TMA de 20% a.a. e está enquadrada numa faixa de Imposto de Renda igual a 35 %. Considerar a Depreciação contábil de todas as betoneiras de forma linear, em 10 anos, com valor residual nulo. Deve a empresa permanecer com a betoneira K ou substituí-la pela betoneira L ou M ? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 118 10.3.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Uma empresa contraiu um empréstimo de 20.000 u.m., a ser resgatado em 4 prestações anuais, com juros de 10% a.a. Elaborar o plano de amortização da dívida. (Sistema Francês, SAC e SAM). 2) Foram estimados os seguintes valores de custos e receitas relativos à manutenção de um ativo nos próximos três anos: Ano 0 1 2 3 Valor de Venda 400.000 300.000 200.000 100.000 Custos de Operação 80.000 100.000 120.000 Receita 240.000 220.000 200.00 Supondo uma TMA antes dos impostos é de 10 % a.a., determinar quando o ativo deve ser vendido. 3) Considere os dados sobre valor de revenda e custos de operação de um carro marca X: Ano 1 2 3 4 5 Revenda Custos 500 10 440 16 380 24 300 34 230 46 O preço do carro novo é de 580, a TMA é de 10% a.a.. Qual a vida econômica do carro? 4) A empresa Levatudo S/A está considerando a possibilidade de substituir seus caminhões velhos . As previsões do valor de mercado e dos custos de O&M destes caminhões para os próximos anos são: Ano 0 1 2 Valor de Mercado 10000 7500 6000 O&M 3500 4500 As características dos caminhões novos são: • Custo inicial: 40.000,00 • Vida útil: 20 anos • Custo operacional: 300 no 1° ano, 600 no 2°, 900 no 3°, etc • Valor de revenda : estimado pela expressão: 3 4000 5500 4 2000 6500 5 0 7500 40000 (1,1) n Determinar, utilizando uma TMA = 10% aa, sem levar em conta o IR, se o caminhão velho deve ser substituído. Em caso positivo quando? 5) A Empresa Levatudo S/A está considerando a possibilidade de substituir seus caminhões velhos. As características dos caminhões são: Caminhão novo: • Preço: R$40.000,00 • Custo anual de operação: R$2.000,00 • Vida útil : 15 anos, igual à vida econômica Caminhão velho: • Valor atual : R$10.000,00 • Custo anual de operação: R$5.000,00 • Vida útil: 5 anos Se o caminhão novo não for comprado agora, só poderá ser comprado em 5 anos. O valor residual dos dois caminhões é zero. Determine se a compra do caminhão novo é econômica a uma TMA de 10%a.a. sem considerar o impacto do IR. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 11 119 ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA Até o momento, todas as análises econômicas apresentadas consideravam a representação do problema através de um único fluxo de caixa. Partindo-se do fato de que toda a análise provém de dados definidores da problemática, traduzido pelo fluxo de caixa representativo do problema, que espelham situações que ocorrerão sempre em data futura, portanto, sendo impossível a obtenção da unicidade e da exatidão deste fluxo que nos remete a possibilidade de que determinadas situações futuras possam vir a alterar a configuração do fluxo de caixa sob análise e consequentemente a resposta obtida. Decorrente da insegurança sobre a exatidão de dados de ocorrência futura, podemos seguramente afirmar que um fluxo de caixa estará sempre sujeito à possíveis problemas oriundos de situações de risco ou incertezas e que a resposta decorrente de análises feitas tendo como base este fluxo estará, também, sempre vinculada a estas possíveis situações. 11.1 DEFINIÇÕES: INCERTEZA: Quando o fluxo de caixa associado à um projeto não pode ser associado com exatidão e, RISCO: Quando a incerteza é suficiente para conduzir à uma escolha incorreta diante de eventos subsequentes. outra ainda: INCERTEZA: Quando as ocorrências de eventos não têm ou sua probabilidade é indeterminada e, RISCO: 11.2 FATORES QUE LEVAM A INCERTEZA: ECONÔMICOS FINANCEIROS TÉCNICOS OUTROS 11.3 Quando as incertezas dos eventos estão relacionadas à probabilidades conhecidas. • Alterações na conjuntura econômica • Alterações nos preços de insumos • Investimentos imprevistos, etc • Insuficiência de capital • Falta de capacidade de pagamentos, etc. • Inadequabilidade do processo utilizado • Inadequabilidade de matéria-prima • Inadequabilidade da tecnologia empregada, etc • Problemas de gerenciamento de projeto • acidentes, etc ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE INCERTEZA O processo mais tradicional de análise sob condição de incerteza é realizado mediante a avaliação da sensibilidade do projeto. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 120 11.3.1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE A análise de sensibilidade consiste em fazer variar um ou mais parâmetros que envolvam um fluxo de caixa de um projeto e comparar as correspondentes variações de resultados. A sensibilidade pode ser observada pela variação de: Receitas, Custos, TMA, Vida útil, Valor residual, etc. A decisão de uma análise de sensibilidade pode ser feita mediante a determinação do PONTO DE EQUILÍBRIO de um projeto, o qual consiste no ponto à partir do qual o projeto passa a ser inviável. Resultado: VP Ponto de Equilíbrio Parâmetro em variação: U. Produzidas A decisão pode ocorrer também através da utilização dos Critérios ou da Arvore de Decisão ou, ainda, através da avaliação da Probabilidade de Viabilidade do investimento.. 11.3.1.1 EXEMPLO: EXEMPLO 89 Em novembro, uma empresa investirá R$100,00 mil em equipamentos e treinamento de pessoal para lançar um calçado, nos meses de dezembro, janeiro e fevereiro. A previsão de vendas é de 10 mil pares por mês a um custo de R$10,00 o par. Os custos fixos serão de 20 mil Reais por mês e os custos variáveis serão de R$4,00 o par. Ao final de três meses a empresa venderá o equipamento por R$30.000,00. Analise a TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros nesta previsão. A TMA da empresa é de 10% a.m. EXEMPLO 90 Uma empresa está considerando a possibilidade de lançar um novo produto no mercado. A instalação de uma nova linha requererá um gasto de R$ 55.000,00 para investimentos fixos, que poderão ser depreciados em 10% a.a., e R$ 5000,00 para capital de giro. Estima-se uma vida econômica de 10 anos. A empresa espera vender uma produção anual de 5.000 ton. a um preço unitário de R$10,00 / ton. Os custos operacionais anuais foram estimados em R$35.000,00. Se a firma pretende ter um retorno após os impostos de 10% a.a. e enquadra-se na faixa de 35% de IR pede-se: Verificar a atratividade do projeto. Verificar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no preço de venda; Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor dos investimentos fixos Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 11.4 121 CRITÉRIOS DE DECISÃO Como visto na Análise de Sensibilidade a consideração de risco / incerteza em um projeto de investimento passa a associar não mais um único fluxo de caixa e sim diferentes fluxos de caixas diante de cada evento possível e, consequentemente diferentes respostas a estes fluxos. A apresentação de todos os resultados possíveis de cada alternativa, diante da ocorrência de respectivos eventos, é feita através de representação matricial, chamada de Matriz de Resultados do Projeto de Investimento. Por exemplo: Eventos Alternativas A1 A2 A3 : : An E1 E2 ..... Ej V11 V21 V31 : : Vn1 V21 V22 V32 : : Vn2 ........ ....... ........ : : ......... V1j V2j V3j : : Vnj A decisão à ser tomada, diante de tantas respostas, depende muitas vezes da personalidade, arrojada ou não diante de riscos, do decisor. Por exemplo, um projeto rentável e arriscado pode ser considerado viável para um decisor arrojado e inviável para um decisor conservador. Considerando o seguinte exemplo: EXEMPLO 91 Seja o caso de um vendedor diante de 3 alternativas mutuamente exclusivas: A1 : - Vender sorvete na praia A2 : - Vender refrigerante no estádio de futebol A3 : - Vender chocolate no cinema e, diante de 3 eventos possíveis, isto é, 3 condições meteorológicas distintas: E1 : - Tempo bom E2 : - Tempo nublado E3 : - Tempo chuvoso Elaborando-se a análise de sensibilidade de cada alternativa diante de cada evento possível suponha que chegou-se a seguinte matriz de resultados de Valores Presentes, em R$ : A1 A2 A3 E1 E2 E3 40 25 20 25 45 23 0 15 21 A decisão pela melhor alternativa dependerá do critério adotado, que podem ser os seguintes: • • • • • Critério Otimista ou Maximax (ou minimini se a matriz for de custo) Critério Pessimista ou Maximin (ou minimax se a matriz for de custos) Critério de Laplace ou da Média Aritmética Critério de Hurwicz Critério de Savage ou do Arrependimento Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 122 11.4.1 CRITÉRIO OTIMISTA: MAXIMAX (OU MINIMINI SE A MATRIZ FOR DE CUSTO) O critério preconiza que o estado da natureza (evento) será sempre a favor do projeto e consiste em listar o benefício máximo de cada alternativa e escolha do melhor resultado. VPmáx Evento A1 A2 A3 obs.: Quando a Matriz de Resultados transcreve custos o Método Otimista é identificado por MINIMIN e, neste caso, lista-se o custo mínimo de cada alternativa e escolhe-se o menor custo resultante! 11.4.2 CRITÉRIO PESSIMISTA : MAXIMIN (OU MINIMAX SE A MATRIZ FOR DE CUSTOS) O critério preconiza que o estado da natureza será o pior para o projeto e consiste em listar o benefício mínimo de cada alternativa e escolha, dentre os piores resultados, do melhor, ou seja, consiste em se maximizar o benefício mínimo. VPmin Evento A1 A2 A3 obs.: Quando a Matriz de Resultados transcreve custos o Método Pessismista é identificado por MINIMAX e, neste caso, listase os maiores custos e escolhe-se o menor custo resultante. 11.4.3 CRITÉRIO DE LAPLACE : MÉDIA O critério preconiza que o melhor resultado está na melhor média de resultados por alternativa e consiste no cálculo da média dos resultados de cada alternativa e na escolha da melhor média. VPmédio Evento A1 A2 A3 Obs.: Quando a Matriz de Resultados transcreve custos o Método de Laplace escolhe-se a alternativa de menor média resultante. 11.4.4 CRITÉRIO DE HURWICZ O critério define um coeficiente denominado COEFICIENTE DE HURWICZ função do ÍNDICE DE OTIMISMO (α) do decisor (intermediário entre o pessimista e o otimista) e a escolha consiste na alternativa com o maior Coeficiente de Hurwicz (HR). [ ( )] [ ( )] H Ri = α . max vi , j + (1 − α ). min vi , j ( ) (72) ( ) o max vi , j corresponde ao melhor resultado da alternativa e o min vi , j corresponde ao pior resultado da alternativa. obs.: para α = 0 o decisor é pessimista e para α = 1 o decisor é otimista Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 123 considerando-se no EXEMPLO 91: α = 0,4 HR A1 A2 A3 obs.: Quando a Matriz de Resultados transcreve custos o Método de Hurwicz preconiza a escolha do menor valor de HK obtido pela seguinte equação: [ ( )] [ ( )] H K = α . min v i , j + (1 − α ). max v i , j (73) 11.4.5 CRITÉRIO DE SAVAGE : ARREPENDIMENTO O critério mede o arrependimento para cada evento possível, preconiza a escolha da alternativa que redunde no menor dos arrependimentos máximos. O valor do arrependimento de cada alternativa para cada evento possível é calculado pela seguinte equação: ( ) a iR, j = max v j − v i , j (74) No exemplo: Arrependimento máximo A1 A2 A3 obs.: Quando a Matriz de Resultados transcreve custos o valor do arrependimento é calculado pela equação: aiK, j = v i, j 11.5 ( ) − min v j (75) CRITÉRIOS DE DECISÃO COM PROBABILIDADES ASSOCIADAS: Considere-se no EXEMPLO 91 as seguintes probabilidades associadas a cada evento meteorológico: E1 : Tempo bom = 43% E2 : Tempo nublado = 47% E3 : Tempo chuvoso = 10% Os critérios que exigem o conhecimento da probabilidade associada de ocorrência de um evento são os seguintes: • Critério da Esperança Matemática ou da Média Ponderada • Critério do Limite Mínimo Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 124 11.5.1 CRITÉRIO DA ESPERANÇA MATEMÁTICA: MÉDIA O método consiste no cálculo da ESPERANÇA MATEMÁTICA de cada alternativa e na escolha da alternativa que resulte na maior Esperança. Ei = ∑ pi .vi , j (76) Ei A1 A2 A3 Obs.: Para matriz resultante indicando custos a escolha recai sobre a alternativa de menor esperança matemática. 11.5.2 CRITÉRIO DO LIMITE MÍNIMO O critério considera que o decisor deva sempre reconhecer um resultado mínimo aceitável. Consiste o critério na recomendação da alternativa que forneça a menor probabilidade de se ter o benefício abaixo do valor estipulado pelo decisor. No exemplo (3) admitindo que o VP minimo aceito pelo decisor seja de 26 VP<26 VP<26 VP<26 A1 = A2 = A3= Obs.: Para uma matriz resultante indicando custos o critério recomenda a alternativa que forneça a menor probabilidade de se ter o benefício acima do valor estipulado pelo decisor. 11.5.3 ARVORE DA DECISÃO Quando para a solução de problemas surge um longa seguência de alternativas, o processo da Árvore da Decisão torna-se muito útil. É um método gráfico que consiste em representar através de um diagrama ramificado, todos os eventos possíveis numa sequência lógica de ocorrência. Para a representação da Arvore da Decisão utiliza-se os seguintes símbolos: Ponto de decisão Ponto de ocorrência aleatória h Ponto terminal Na Arvore de Decisão: ♦ em cada ramo que chega a um ponto de decisão está associado um valor à ser escolhido, ♦ em cada ramo que chega a um ponto de ocorrência aleatória está associada uma probabilidade e ♦ em cada ponto terminal está associado um valor resultante. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 125 A elaboração da Arvore de Decisão deve transcrever todas as situações possíveis, as probabilidades correspondentes a eventos aleatórios e os respectivos valores nos pontos terminais obtidos através de avaliação financeira. Uma vez elaborada a Arvore de Decisões os cálculos e análise são realizados em sentido contrário a elaboração. (Sentido de elaboração da Árvore de decisão) (Sentido de cálculo/análise da Arvore de Decisão) O valor associado ao Ponto de Ocorrência Aleatória é calculado através do somatório dos produtos das probabilidades dos ramos que chegam ao ponto de ocorrência aleatória com os respectivos valores encontrados no extremo do ramo que antecede o ponto de ocorrência aleatório e é chamado Valor Esperado. v1 p1 P2 Ei v2 PN vn E i = ∑i v i . p i (77) 11.5.3.1 EXEMPLOS: EXEMPLO 92 Elaborar a Arvore de Decisão considerando comprar ou não uma pizzaria, diante de três Eventos possíveis: E1 = Demanda alta E2 = Demanda média E3 = Demanda baixa com as seguintes probabilidades de ocorrência: E1 → p1 = 10% E2 → p2 = 30% E3 → p3 = 60% ∑p = 100% e, os resultados esperados para a compra da pizzaria diante de cada evento possível: E1 → VP1 = R$200,00 E2 → VP2 = R$100,00 E3 → VP3 = -R$ 50,00 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 126 EXEMPLO 93 Elaborar a árvore da decisão e definir a quantidade a ser produzida para o lançamento de um produto, certa empresa deve decidir entre produzir Q1 = 100mil unidades ou Q2= 50 mil unidades. As receitas decorrentes das vendas do produto podem ser afetadas pelo lançamento de produto semelhante, por empresa concorrente, e por ações governamentais de incentivo a exportação. Sabe-se que a chance da concorrente lançar outro produto é de 20 % e do governo incentivar a exportação é de 30 %. Destas informações, o analista financeiro da empresa obteve os seguintes resultados: L Eventos Quantidades Q1 = 100 mil Q2 = 50 mil ~L X ~X X ~X 100 50 -200 -5 200 150 0 20 EXEMPLO 94 Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de vender camisas esportivas. As camisas seriam compradas por R$ 10,00 e vendidas por R$35,00. Como a qualidade do material é baixa, estima-se que haja 30% de perda para o vendedor ambulante. Independente da quantidade adquirida, seus custos fixos de transporte e manutenção serão de R$1.000,00. As camisas boas não vendidas terão um valor residual de R$2,00. A demanda diária pelas camisas depende das condições de vigilância das ruas. Se a vigilância for ostensiva, o vendedor consegue vender 50 camisas, vendendo quatro vezes mais se a vigilância das ruas ou fraca. Caso a vigilância seja média, o vendedor consegue colocar 120 camisas. As camisas só podem ser compradas em lotes pré-determinados: 80, 160, 240 ou 320 camisas. A experiência tem mostrado que há 40% de chance de que a vigilância seja fraca contra 30% de vigilância ostensiva. Elaborar a árvore da decisão e definir a quantidade a ser comprada: Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 127 11.5.4 VALOR DA INFORMAÇÃO ADICIONAL O valor da Informação Adicional é o preço que a empresa estaria disposta a apagar para determinar o que irá acontecer. A informação afeta a probabilidade de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrência de um evento B tendo sido dada a informação A é uma probabilidade condicionada a ocorrência de A : A B p( AeB ) ) ( A) = p(pAeB ( A) pB (77) 11.5.4.1 INFORMAÇÃO PERFEITA A Informação Perfeita estabelece a previsão exata do futuro, passando o evento a ter probabilidade de ocorrência de 100%. 11.5.4.1.1 EXEMPLO: EXEMPLO 95 Quanto o vendedor ambulante do exercício (6)., estaria disposto a pagar a um policial corrupto informar qual o tipo de vigilância que irá ocorrer? Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 128 11.5.4.2 INFORMAÇÃO IMPERFEITA A informação imperfeita é aquela informação sujeita a falhas. Neste caso a probabilidade do evento fica sujeita a probabilidade da informação. 11.5.4.2.1 EXEMPLO: EXEMPLO 96 Uma empresa estuda a possibilidade de investir numa exploração de carvão. A empresa poderá investir uma quantia elevada A, uma quantia baixa B ou poderá desistir de investir. O resultado do negócio poderá ser bom, médio ou ruim, sendo que a probabilidade destas ocorrências valem 25%, 45% e 30% respectivamente. Com base em dados de explorações anteriores nas mesmas terras, foi feito um cálculo dos lucros possíveis. Os resultados estão a seguir apresentados: Resultados possíveis (R$) Soma Investida Bom Médio Ruim A B 760.000 400.000 280.000 250.000 -570.000 -200.000 Os riscos são elevados, mas é possível obter-se uma previsão dos resultados consultando-se especialistas. A análise das previsões feitas por estes especialistas no passado leva aos valores da tabela seguinte: Probabilidade das previsões e dos respectivos resultados reais Resultado Previsto Bom Médio Ruim Total Bom 0,72 0,18 0,10 1,00 Resultados reais Médio 0,08 0,85 0,07 1,00 Ruim 0,09 0,23 0,68 1,00 Sabendo-se que a empresa deseja maximizar o seu lucro esperado, determinar: a) O valor esperado sem informação adicional b) o valor esperado do lucro da informação adicional Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 129 11.5.5 PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE UM EMPREENDIMENTO Como visto anteriormente, a avaliação da viabilidade de uma alternativa de Investimento sob condição de incerteza leva a definição de “i” fluxos de caixas representativos da alternativa. Em conseqüência desta multiplicidade de fluxos, a aplicação dos métodos tradicionais de análise de investimentos (VPL, VFL, VAU ou TIR) nos remete a multiplicidade de resultados para cada alternativa (Matriz de Resultados) de investimento o que torna complexo o processo decisório. Uma maneira para facilitar o processo decisório neste caso é realizar a determinação da probabilidade de viabilidade do empreendimento e a partir deste valor estabelecer o processo decisório sob a quantificação do risco da alternativa. 11.5.5.1 DETERMINAÇÃO DA PROBABILIDADE PARA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Segundo o Teorema do Limite Central que diz: “Quando as variáveis são independentes e em grande número, a curva de distribuição de frequência tende à curva normal”. A curva normal de distribuição de freqüência apresenta a configuração abaixo ilustrada. σ µ Z A curva normal padrão tem como eixo de simetria as coordenadas µ = 0 e σ = 1. A probabilidade de ocorrência de um determinado resultado (X) pode ser estabelecida mediante o cálculo da área correspondente sob a curva normal padrão: σ Os valores da probabilidade p(X) são obtidos em função de “z” através da equação: p( X ) = p(X) ∫ Z 0 µ z 1 2.π .e 1 − .z 2 2 dz s Z O valor padronizado “Z” da curva normal corresponde ao quociente entre a diferença entre o valor (X) e o valor médio esperado e o desvio padrão das variáveis, tal como ilustra a equação abaixo: z= X − Ei σ (78) Onde, “ܧ “ e “σ”correspondem, respectivamente ao valor esperado (média) e o desvio padrão das variáveis analisadas. A probabilidade de ocorrência de um valor “X” pode também ser obtida através de valores tabelados para a metade da Curva de Distribuição Normal padronizada (página 138) em função dos valores de “z” calculado pela equação (78). Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 11.5.5.2 130 FLUXO DE CAIXA DE VALORES ESPERADOS Na figura a seguir ilustra os “j” fluxos de caixa, com horizonte de planejamento “n” onde, a cada período de tempo “i” (variável de 0 a “n”) ocorrem valores financeiros (Fj,i) associados a probabilidades de ocorrência (pi,j). F1,1 F2,1 F1,i F3,1 F1,n pi ,1 F1,2 F2,2 F2,i F3,2 F2,n pi ,2 : Fj,1 Fj,2 Fj,i Fj,3 Fj,n pi , j Ei O valor esperado (Ei) para o período “i” (variável de 0 a “n”) representa o valor médio ponderado das “j” ocorrências no tempo “i” em relação às respectivas probabilidades de ocorrência (pi.j) e é obtido através da equação: n Ei = ∑p (79) i , j .F j , i i =o onde: Ei F j ,i = = pi , j valor esperado (médio) relativo a “j” estimativas no período “i”. Evento financeiro no tempo “i” para o fluxo de caixa “j” Probabilidade de ocorrência do valor Fj,i O fluxo de caixa esperado ilustra os valores esperados a cada período de tempo (variável de 0 a “n”) como ilustra a figura abaixo: E0 0 E,1 1 E2 E3 2 3 Ei ..... En i ................ n Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 131 11.5.5.2.1 FLUXO DE CAIXA DE VARIÂNCIAS A Variância representa a incerteza associada ao grau de dispersão da distribuição de frequência das ocorrências ( F j ,i ) no período de tempo “i” (variável de 0 a “n”) σ i2 = ∑ p ij .(Fi , j − E i )2 n (80) i =0 σ i2 = variância relativa ao valor esperado de cada contribuição ( F ) no tempo “i” do fluxo de caixa. j ,i O fluxo de caixa esperado ilustra as variâncias dos valores esperados a cada período de tempo “i” (variável de 0 a “n”) como ilustra a figura abaixo: σ20 σ21 0 σ22 σ23 2 3 1 σ2 i ..... σ2n i ................ n 11.5.5.2.2 VALOR PRESENTE DO FLUXO DE CAIXA ESPERADO: E(VPL) O valor Presente Líquido Esperado E(VPL) corresponde ao valor equivalente, para determinada taxa de juros, ao fluxo de caixa de valores esperados na data zero. E1 E2 E3 Ei E(VPL) ( E (VPL ) = ∑ Ei . P F ; i; n i ) (81) Valores de E (VPL) > 0 indicam a existência de viabilidade de um empreendimento. 11.5.5.2.3 VALOR PRESENTE DO FLUXO DE CAIXA DAS VARIÂNCIAS: σ 2 (VPL) O valor Presente Líquido das variâncias σ 2 (VPL ) corresponde ao valor equivalente das variâncias transferidas para a data zero através da equação”: [ ( σ 2 (VPL ) = ∑ σ i2 . P F ; i;2ni )] (82) 11.5.5.2.4 DESVIO PADRÃO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO ESPERADO O Desvio Padrão é obtido pela raiz quadrada da variância, e representa também a dispersão da distribuição de freqüência no período de tempo “n” (variável de 0 a “n”). σ i = σ i2 (83) Dentro desta mesma lógica, o Desvio Padrão do Valor Presente Líquido Esperado σ (VPL) é igual a raiz do Valor presente Líquido das Variâncias ( σ 2 (VPL ) ). σ (VPL ) = σ 2 (VPL ) Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ (84) Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 11.5.5.3 132 PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE UM EMPREENDIMENTO A distribuição de frequência para o conjunto de “j” fluxos de caixa de uma alternativa de investimento analisada sob condição de incerteza pode ser representada pela Curva Normal, considerando que as variáveis que compõe os fluxos de caixa são em grande número e são independentes, onde σ=σ(VPL)`= σ(VPL) 2 µ=E(VPL) . Z A probabilidade de ocorrência do resultado X para o V.P.L. do empreendimento com Esperado igual a E (VPL ) e Desvio Padrão do VPL Esperado igual a σ (VPL ) , pode ser obtida através da tabela de probabilidades da distribuição normal para o cálculo do valor padronizado “Z”: z= X − E (VPL) σ (VPL) p(TAB) A probabilidade de viabilidade do empreendimento é obtida para a ocorrência do valor limite mínimo do VPL, ou seja X ≠ 0 o qual é aplicado para o cálculo do valor padronizado “Z”: z= 0 − E (VPL ) σ (VPL ) (85) σ= σ(VPL) P(Tab) µ E(VPL) Z Z para X = 0 O valor de “Z” resultante pode ser positivo ou negativo: a) Determinação das Probabilidades para Valor de “Z” POSITIVO” : σ= σ(VPL) pinviab = p( tab) + 0,5 50% pviab = 0,5 + p (tab ) P(Tab ) µ E(VPL) (87) Z Z (-) (86) para X = 0 (+) Inviabilidade Viabilidade Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA b) 133 Determinação das Probabilidades para Valor de “Z” NEGATIVO”: σ= σ(VPL) P(Tab ) 50 % (88) p viab = 0,5 + p (tab ) (89) Z µ E(VPL) Z (-) pinviab = 0,5 − p( tab) (+) Inviabilidade Viabilidade Obs. : Pinviabilidade < 10% é considerado um valor aceitável ! 11.5.5.3.1 EXEMPLO: EXEMPLO 97 A análise de um empreendimento forneceu o seguinte fluxo de caixa: Investimento Receita líquida Receita líquida Receita Líquida Ano 0 = Ano 1 = Ano 2 = Ano 3 = -1650 +1000 +1150 +1250 Analisando chegou-se ao seguinte quadro de avaliações das contribuições e respectivas probabilidades: Investimento: Probabilidades Ano 0 Receitas Líquidas: Probabilidades Ano 1 Ano 2 Ano 3 p1 = 0,1 X0 = -1900 p2 = 0,1 Y0 = -1950 p3 = 0,8 Z0 = -2000 p1 = 0,15 X1 =+630 X2 =+720 X3 =+800 p2 = 0,25 Y1 =+720 Y2 =+830 Y3 =+920 p3 = 0,60 Z1 = +810 Z2 = +900 Z3 = +1000 para as condições de risco: a) verificar se o empreendimento é viável b) Calcular a probabilidade de inviabilidade do empreendimento Considerar uma TMA de 10% a.a. Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Tabela de Juros 12 134 TABELA DE JUROS TABELA DE JUROS Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Tabela de Juros Taxa de juros : 135 i = 5,00% n 1 2 3 4 5 (F/P,i,n) 1,0500 1,1025 1,1576 1,2155 1,2763 (P/F,i,n) 0,9524 0,9070 0,8638 0,8227 0,7835 (A/P,i,n) 1,0500 0,5378 0,3672 0,2820 0,2310 (P/A,i,n) 0,9524 1,8594 2,7232 3,5460 4,3295 (F/A,i,n) 1,0000 2,0500 3,1525 4,3101 5,5256 (A/F,i,n) 1,0000 0,4878 0,3172 0,2320 0,1810 (P/G,i,n) 0,0000 0,9070 2,6347 5,1028 8,2369 (F/G,i,n) 0,0000 1,0000 3,0500 6,2025 10,5126 (A/G,i,n) 0,0000 0,4878 0,9675 1,4391 1,9025 6 7 8 9 10 1,3401 1,4071 1,4775 1,5513 1,6289 0,7462 0,7107 0,6768 0,6446 0,6139 0,1970 0,1728 0,1547 0,1407 0,1295 5,0757 5,7864 6,4632 7,1078 7,7217 6,8019 8,1420 9,5491 11,0266 12,5779 0,1470 0,1228 0,1047 0,0907 0,0795 11,9680 16,2321 20,9700 26,1268 31,6520 16,0383 22,8402 30,9822 40,5313 51,5579 2,3579 2,8052 3,2445 3,6758 4,0991 11 12 13 14 15 1,7103 1,7959 1,8856 1,9799 2,0789 0,5847 0,5568 0,5303 0,5051 0,4810 0,1204 0,1128 0,1065 0,1010 0,0963 8,3064 8,8633 9,3936 9,8986 10,3797 14,2068 15,9171 17,7130 19,5986 21,5786 0,0704 0,0628 0,0565 0,0510 0,0463 37,4988 43,6241 49,9879 56,5538 63,2880 64,1357 78,3425 94,2597 111,9726 131,5713 4,5144 4,9219 5,3215 5,7133 6,0973 16 17 18 19 20 2,1829 2,2920 2,4066 2,5270 2,6533 0,4581 0,4363 0,4155 0,3957 0,3769 0,0923 0,0887 0,0855 0,0827 0,0802 10,8378 11,2741 11,6896 12,0853 12,4622 23,6575 25,8404 28,1324 30,5390 33,0660 0,0423 0,0387 0,0355 0,0327 0,0302 70,1597 77,1405 84,2043 91,3275 98,4884 153,1498 176,8073 202,6477 230,7801 261,3191 6,4736 6,8423 7,2034 7,5569 7,9030 21 22 23 24 25 2,7860 2,9253 3,0715 3,2251 3,3864 0,3589 0,3418 0,3256 0,3101 0,2953 0,0780 0,0760 0,0741 0,0725 0,0710 12,8212 13,1630 13,4886 13,7986 14,0939 35,7193 38,5052 41,4305 44,5020 47,7271 0,0280 0,0260 0,0241 0,0225 0,0210 105,6673 112,8461 120,0087 127,1402 134,2275 294,3850 330,1043 368,6095 410,0400 454,5420 8,2416 8,5730 8,8971 9,2140 9,5238 26 27 28 29 30 3,5557 3,7335 3,9201 4,1161 4,3219 0,2812 0,2678 0,2551 0,2429 0,2314 0,0696 0,0683 0,0671 0,0660 0,0651 14,3752 14,6430 14,8981 15,1411 15,3725 51,1135 54,6691 58,4026 62,3227 66,4388 0,0196 0,0183 0,0171 0,0160 0,0151 141,2585 148,2226 155,1101 161,9126 168,6226 502,2691 553,3825 608,0517 666,4542 728,7770 9,8266 10,1224 10,4114 10,6936 10,9691 35 40 45 50 55 5,5160 7,0400 8,9850 11,4674 14,6356 0,1813 0,1420 0,1113 0,0872 0,0683 0,0611 0,0583 0,0563 0,0548 0,0537 16,3742 17,1591 17,7741 18,2559 18,6335 90,3203 120,7998 159,7002 209,3480 272,7126 0,0111 0,0083 0,0063 0,0048 0,0037 200,5807 229,5452 255,3145 277,9148 297,5104 1106,4061 1615,9955 2294,0031 3186,9599 4354,2524 12,2498 13,3775 14,3644 15,2233 15,9664 60 70 80 90 100 18,6792 30,4264 49,5614 80,7304 131,5013 0,0535 0,0329 0,0202 0,0124 0,0076 0,0528 0,0517 0,0510 0,0506 0,0504 18,9293 19,3427 19,5965 19,7523 19,8479 353,5837 588,5285 971,2288 1594,6073 2610,0252 0,0028 0,0017 0,0010 0,0006 0,0004 314,3432 340,8409 359,6460 372,7488 381,7492 5871,6744 10370,5702 17824,5764 30092,1460 50200,5031 16,6062 17,6212 18,3526 18,8712 19,2337 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Tabela de Juros Taxa de juros : 136 i = 10,00% n 1 2 3 4 5 (F/P,i,n) 1,1000 1,2100 1,3310 1,4641 1,6105 (P/F,i,n) (A/P,i,n) (P/A,i,n) 0,9091 1,1000 0,9091 0,8264 0,5762 1,7355 0,7513 0,4021 2,4869 0,6830 0,3155 3,1699 0,6209 0,2638 3,7908 (F/A,i,n) 1,0000 2,1000 3,3100 4,6410 6,1051 (A/F,i,n) 1,0000 0,4762 0,3021 0,2155 0,1638 (P/G,i,n) 0,0000 0,8264 2,3291 4,3781 6,8618 (F/G,i,n) 0,0000 1,0000 3,1000 6,4100 11,0510 (A/G,i,n) 0,0000 0,4762 0,9366 1,3812 1,8101 6 7 8 9 10 1,7716 1,9487 2,1436 2,3579 2,5937 0,5645 0,5132 0,4665 0,4241 0,3855 0,2296 0,2054 0,1874 0,1736 0,1627 4,3553 4,8684 5,3349 5,7590 6,1446 7,7156 9,4872 11,4359 13,5795 15,9374 0,1296 0,1054 0,0874 0,0736 0,0627 9,6842 12,7631 16,0287 19,4215 22,8913 17,1561 24,8717 34,3589 45,7948 59,3742 2,2236 2,6216 3,0045 3,3724 3,7255 11 12 13 14 15 2,8531 3,1384 3,4523 3,7975 4,1772 0,3505 0,3186 0,2897 0,2633 0,2394 0,1540 0,1468 0,1408 0,1357 0,1315 6,4951 6,8137 7,1034 7,3667 7,6061 18,5312 21,3843 24,5227 27,9750 31,7725 0,0540 0,0468 0,0408 0,0357 0,0315 26,3963 29,9012 33,3772 36,8005 40,1520 75,3117 93,8428 115,2271 139,7498 167,7248 4,0641 4,3884 4,6988 4,9955 5,2789 16 17 18 19 20 4,5950 5,0545 5,5599 6,1159 6,7275 0,2176 0,1978 0,1799 0,1635 0,1486 0,1278 0,1247 0,1219 0,1195 0,1175 7,8237 8,0216 8,2014 8,3649 8,5136 35,9497 40,5447 45,5992 51,1591 57,2750 0,0278 0,0247 0,0219 0,0195 0,0175 43,4164 46,5819 49,6395 52,5827 55,4069 199,4973 235,4470 275,9917 321,5909 372,7500 5,5493 5,8071 6,0526 6,2861 6,5081 21 22 23 24 25 7,4002 8,1403 8,9543 9,8497 10,8347 0,1351 0,1228 0,1117 0,1015 0,0923 0,1156 0,1140 0,1126 0,1113 0,1102 8,6487 8,7715 8,8832 8,9847 9,0770 64,0025 71,4027 79,5430 88,4973 98,3471 0,0156 0,0140 0,0126 0,0113 0,0102 58,1095 60,6893 63,1462 65,4813 67,6964 430,0250 494,0275 565,4302 644,9733 733,4706 6,7189 6,9189 7,1085 7,2881 7,4580 26 27 28 29 30 11,9182 13,1100 14,4210 15,8631 17,4494 0,0839 0,0763 0,0693 0,0630 0,0573 0,1092 0,1083 0,1075 0,1067 0,1061 9,1609 9,2372 9,3066 9,3696 9,4269 109,1818 121,0999 134,2099 148,6309 164,4940 0,0092 0,0083 0,0075 0,0067 0,0061 69,7940 71,7773 73,6495 75,4146 77,0766 831,8177 940,9994 1062,0994 1196,3093 1344,9402 7,6186 7,7704 7,9137 8,0489 8,1762 35 40 45 50 55 28,1024 45,2593 72,8905 117,3909 189,0591 0,0356 0,0221 0,0137 0,0085 0,0053 0,1037 0,1023 0,1014 0,1009 0,1005 9,6442 9,7791 9,8628 9,9148 9,9471 271,0244 442,5926 718,9048 1163,9085 1880,5914 0,0037 0,0023 0,0014 0,0009 0,0005 83,9872 88,9525 92,4544 94,8889 96,5619 2360,2437 4025,9256 6739,0484 11139,0853 18255,9142 8,7086 9,0962 9,3740 9,5704 9,7075 60 70 80 90 100 304,4816 789,7470 2048,4002 5313,0226 13780,6123 0,0033 0,0013 0,0005 0,0002 0,0001 0,1003 0,1001 0,1000 0,1000 0,1000 9,9672 9,9873 9,9951 9,9981 9,9993 3034,8164 7887,4696 20474,0021 53120,2261 137796,1234 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 97,7010 98,9870 99,5606 99,8118 99,9202 29748,1640 78174,6957 203940,0215 530302,2612 1376961,2340 9,8023 9,9113 9,9609 9,9831 9,9927 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Tabela de Juros Taxa de juros : 137 i = 15,00% n 1 2 3 4 5 (F/P,i,n) 1,1500 1,3225 1,5209 1,7490 2,0114 (P/F,i,n) 0,8696 0,7561 0,6575 0,5718 0,4972 (A/P,i,n) 1,1500 0,6151 0,4380 0,3503 0,2983 (P/A,i,n) 0,8696 1,6257 2,2832 2,8550 3,3522 (F/A,i,n) 1,0000 2,1500 3,4725 4,9934 6,7424 (A/F,i,n) 1,0000 0,4651 0,2880 0,2003 0,1483 (P/G,i,n) 0,0000 0,7561 2,0712 3,7864 5,7751 (F/G,i,n) 0,0000 1,0000 3,1500 6,6225 11,6159 (A/G,i,n) 0,0000 0,4651 0,9071 1,3263 1,7228 6 7 8 9 10 2,3131 2,6600 3,0590 3,5179 4,0456 0,4323 0,3759 0,3269 0,2843 0,2472 0,2642 0,2404 0,2229 0,2096 0,1993 3,7845 4,1604 4,4873 4,7716 5,0188 8,7537 11,0668 13,7268 16,7858 20,3037 0,1142 0,0904 0,0729 0,0596 0,0493 7,9368 10,1924 12,4807 14,7548 16,9795 18,3583 27,1120 38,1788 51,9056 68,6915 2,0972 2,4498 2,7813 3,0922 3,3832 11 12 13 14 15 4,6524 5,3503 6,1528 7,0757 8,1371 0,2149 0,1869 0,1625 0,1413 0,1229 0,1911 0,1845 0,1791 0,1747 0,1710 5,2337 5,4206 5,5831 5,7245 5,8474 24,3493 29,0017 34,3519 40,5047 47,5804 0,0411 0,0345 0,0291 0,0247 0,0210 19,1289 21,1849 23,1352 24,9725 26,6930 88,9952 113,3444 142,3461 176,6980 217,2027 3,6549 3,9082 4,1438 4,3624 4,5650 16 17 18 19 20 9,3576 10,7613 12,3755 14,2318 16,3665 0,1069 0,0929 0,0808 0,0703 0,0611 0,1679 0,1654 0,1632 0,1613 0,1598 5,9542 6,0472 6,1280 6,1982 6,2593 55,7175 65,0751 75,8364 88,2118 102,4436 0,0179 0,0154 0,0132 0,0113 0,0098 28,2960 29,7828 31,1565 32,4213 33,5822 264,7831 320,5006 385,5757 461,4121 549,6239 4,7522 4,9251 5,0843 5,2307 5,3651 21 22 23 24 25 18,8215 21,6447 24,8915 28,6252 32,9190 0,0531 0,0462 0,0402 0,0349 0,0304 0,1584 0,1573 0,1563 0,1554 0,1547 6,3125 6,3587 6,3988 6,4338 6,4641 118,8101 137,6316 159,2764 184,1678 212,7930 0,0084 0,0073 0,0063 0,0054 0,0047 34,6448 35,6150 36,4988 37,3023 38,0314 652,0675 770,8776 908,5092 1067,7856 1251,9534 5,4883 5,6010 5,7040 5,7979 5,8834 26 27 28 29 30 37,8568 43,5353 50,0656 57,5755 66,2118 0,0264 0,0230 0,0200 0,0174 0,0151 0,1541 0,1535 0,1531 0,1527 0,1523 6,4906 6,5135 6,5335 6,5509 6,5660 245,7120 283,5688 327,1041 377,1697 434,7451 0,0041 0,0035 0,0031 0,0027 0,0023 38,6918 39,2890 39,8283 40,3146 40,7526 1464,7465 1710,4584 1994,0272 2321,1313 2698,3010 5,9612 6,0319 6,0960 6,1541 6,2066 35 40 45 50 55 133,1755 267,8635 538,7693 1083,6574 2179,622 0,0075 0,0037 0,0019 0,0009 0,0005 0,1511 0,1506 0,1503 0,1501 0,1501 6,6166 6,6418 6,6543 6,6605 6,6636 881,1702 1779,0903 3585,1285 7217,7163 14524,15 0,0011 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001 42,3586 43,2830 43,8051 44,0958 44,2558 5641,1344 11593,9354 23600,8564 47784,7752 96460,9860 6,4019 6,5168 6,5830 6,6205 6,6414 60 70 80 90 100 4383,998 17735,72 71750,88 290272,33 1174313,4 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,1500 0,1500 0,1500 0,1500 0,1500 6,6651 6,6663 6,6666 6,6666 6,6667 29219,99 118231,47 478332,53 1935142,1 7828749,6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 44,3431 44,4156 44,4364 44,4422 44,4438 194399,94 787743,11 3188350,20 12900347,7 52190997,8 6,6530 6,6627 6,6656 6,6664 6,6666 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula Tabela de PROBABILIDADES 13 138 TABELA DE PROBABILIDADES TABELA DE PROBABILIDADE Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula z= Probabilidade (áreas) da Distribuição Normal padronizada µ X −µ σ Tabela de PROBABILIDADES 139 z z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,1 0,03983 0,04379 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07534 0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173 0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41308 0,41466 0,41621 0,41774 1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189 1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408 1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449 1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327 1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062 1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670 2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169 2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574 2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899 2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158 2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361 2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520 2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643 2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736 2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807 2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861 3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900 3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929 3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950 3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965 3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976 3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983 3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989 3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992 3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995 3,9 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997 0,49997 4,0 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 4,1 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49999 0,49999 4,2 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 4,3 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 4,4 0,49999 0,49999 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 14 140 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSAF NETO, Alexandre; Matemática Financeira e suas aplicações CARVALHO, Thales Mello. 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Makron Books, São Paulo - 1998 THE INSTITUTION OF CIVIL ENGINEERS; Engineering Economica ZDANOWICZ, José Eduardo; Orçamento de Capital: A decisão de Impacto Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula PROGRAMAÇÃO DA DISCIPLINA TT.405 – ANO LETIVO 2008 15 141 PROGRAMAÇÃO DA DISCIPLINA TT.405 – ANO LETIVO 2008 AULA Data - 27/fev/08 1 5/mar/08 2 12/mar/08 3 19/mar/08 4 26/mar/08 5 2/abr/08 6 9/abr/08 7 16/abr/08 8 23/abr/08 9 30/abr/08 10 7/mai/08 11 14/mai/08 12 21/mai/08 13 28/mai/08 14 4/jun/08 15 11/jun/08 16 18/jun/08 2 o. TE 30/jul/08 Dispensados 17 6/ago/08 18 13/ago/08 19 20/ago/08 20 27/ago/08 21 3/set/08 22 10/set/08 23 17/set/08 24 24/set/08 25 1/out/08 26 8/out/08 27 15/out/08 28 22/out/08 29 29/out/08 30 5/nov/08 Conteúdo 1 o. TE 3 o. TE 4 o. TE Res. 44/07-CEPE 22/nov/08 Observação Sugestão Último dia Letivo 01 a 06/dez Ex. Final 26/nov/08 15 a 20/dez Segunda Avaliação Final 10/dez/08 Data: ________/___________________/2008 Obs.: ____________________________________________________________ Economia de Engenharia Notas de Aula