http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0165
647
ESTUDO DA FORÇA ELETROMOTRIZ EM AMORTECEDORES INDUTIVOS
Ricardo Velozo Marcondes de Oliveira 1, José Geraldo Trani Brandão 2, Durval Luiz Silva Ricciuli ,3 José Elias Tomazini 4,
Rodrigo Pereira Nogueira 5, Carlos Sérgio Pivetta 6
1
FEG, Unesp Guaratinguetá, Brasil, [email protected]
FEG, Unesp Guaratinguetá , Brasil, [email protected]
3
FEG, Unesp Guaratinguetá , Brasil, [email protected]
4
FEG, Unesp Guaratinguetá , Brasil, [email protected]
5
FEG, Unesp Guaratinguetá, Brasil, [email protected]
6
CETEC – ETEP Faculdades, [email protected]
2
RESUMO: Neste trabalho é desenvolvido um modelo
matemático teórico que aproveita as vibrações observadas
num amortecedor telescópico, para desenvolver uma força
eletromotriz (fem), por
meio de
componentes
eletromagnéticos, baseando-se na lei de Faraday. Podendo
constituir um avanço nos estudos de veículos que se utilizam
de eletricidade.
Palavras-Chave:
Engenharia.
Amortecedor.
Força
princípio em diferentes simulações. Com os componentes de
magnetismo no corpo do amortecedor funcionando de forma
a atender a relação de variação de fluxo magnético
necessária para a indução eletromagnética.
eletromotriz.
1. OBJETIVO
Analisar de forma ideal a força eletromotriz (fem)
desenvolvida por indução num sistema amortecedor que
apresenta componentes eletromagnéticos, através do
desenvolvimento de um modelo matemático baseado na lei
de Faraday.
2. INTRODUÇÃO
Pela lei de Faraday-Lenz, cria-se uma corrente
elétrica num solenóide quando há uma diferença na
quantidade de linhas de campo magnético que o atravessam
num dado intervalo de tempo, consequentemente, se há
corrente há uma tensão. O cálculo dessa tensão, aqui
denominada força eletromotriz, dado um circuito de
caminho definido, e suas características, constituem o
escopo deste trabalho visando uma premissa para o
desenvolvimento de estudos de sistemas de amortecimento
que se utilizam de indução.
2.1 Amortecedores
Hoje, são mais difundidos os amortecedores
telescópicos, conforme ilustrado em corte na Fig. 1 (e.g.[1]),
onde o sistema de dissipação compreende uma fase de
distensão e uma de compressão, que dinamicamente
corresponde a um movimento constantemente relativo entre
a haste interna e o tubo externo.
Numa primeira análise e desconsiderando a força que
uma indução causa, o trabalho em questão pretende utilizar
este movimento para desenvolver uma fem, analisando em
Figura 1 – Amortecedor telescópico
2.2 Indução eletromagnética
Existem vários modos de se obterem correntes induzidas
em um solenóide, sendo duas as mais usuais;
- O solenóide pode mover-se como um todo em relação a
um campo magnético B, de modo que o fluxo magnético
através da área do circuito varie no decorrer do tempo.
- O solenóide pode ser estacionário e indeformável, mas
o campo magnético B, dirigido para a superfície é variável
no tempo.
A Força eletromotriz é a propriedade de um
dispositivo, que tende a produzir corrente num circuito que
tem um caminho específico para as cargas elétricas. Para
efeito de cálculos, consideraremos aqui indução ideal, ou
seja, tensão útil igual a fem.
A intensidade da fem induzida, e consequentemente da
corrente, são diretamente proporcionais estruturalmente ao
tamanho e quantidade de solenóides que formam o circuito,
a força do campo magnético que varia no mesmo e a taxa de
variação. Sendo assim, tendo conhecimento das
características do espectro gerado por imãs permanentes e
da dinâmica de funcionamento dos amortecedores, a
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Estudo de Amortecedores Regenerativos de Indução
LIVEIRA, R.V.M.; BRANDÃO, J.G.T.; RICCIULI, D.L.S.;TOMAZINI, J.E; NOGUEIRA, R.P.; PIVETTA, C.S.
segunda hipótese para indução descrita torna-se viável para
prosseguimento.
3. DESENVOLVIMENTO
Vz 
3 0 N .m.a 2
zv
2
2
a  z2

(7)

5/ 2
z diminui à medida que o tempo passa, para isto deve
ser considerado como uma função em relação ao tempo, ou
seja, z(t) = z0 – x(t), onde z0 é a distância inicial do centro
do imã ao centro das espiras.
Para uma função contínua, o fluxo e a fem apresentam
aqui a seguinte função como ilustrada na Fig. 3 (e.g.[3]b).
Figura 2 – Reações para dipolo magnético
O fluxo do campo produzido pelo imã através de uma
bobina de raio a formada por N espiras juntas é:
  N  B.dS   N  Bz .dS
(1)
O sinal negativo se deve a direção relativa à origem,
que é considerada no eixo da bobina e positiva para cima.
Para pontos distantes da espira em comparação com
seu raio a, a componente do campo é apresentada pela Eq. 2.
Como é predominante no deslocamento aqui apresentado a
desigualdade z >> a, esta equação será aplicada
considerando inicialmente pontos relativamente distantes da
espira conforme a Fig. 2 (e.g.[2]a).
S
Bz 
S
 0 m  3z 2 

 1
4r 3  r 2

(2)
O elemento diferencial de superfície dS, é a área do
anel de raio y, seu valor é dS=2πy.dy.
Substituindo-se a equação (2) na equação (1) tem-se:

 0 N .m 
2
 3z


2
a

0

a
ydy
2
y z
2

 
5
0
ydy
2
y z
2

3
Por seguinte integra-se a equação (3):

 0 N .m.a 2

2 a2  z2

3





(3)
(4)


Quando várias bobinas são ligadas em série, a tensão
total do circuito corresponde à somatória das tensões que
cada uma apresenta, sendo assim, a fem de um circuito com
várias bobinas ligadas em positivo é a soma das fem de cada
uma.
Figura 4 -Circuito para várias bobinas em série.
Sendo assim, colocando-se um número definido de
bobinas em série, considera-se que cada bobina é submetida
ao campo magnético de um imã individualmente, e que a
tensão proveniente de auto-indutância e indutância mútua
podem ser desprezadas.
A distância do centro de uma bobina ao centro da bobina
subsequente também é considerada; esta distância é
denominada por X, conforme a Fig. 4. Com isso, Vz passa a
ser a soma das fem em cada bobina individualmente.
Deste modo, temos a tensão para um conjunto de várias
bobinas igualmente espaçadas:
 3 N .m.a 2
V z   0
2


z
v 
2
2
 a  z


5/ 2

a
zX
2
 (z  X )2

5/ 2

a
z  2X
2
 (z  2X )2

5/ 2
 ... 
a
z  nX
2


 
(8)
 ( z  nX ) 2
5/ 2
3.2 Desenvolvimento para vários imãs.
(5)
Resolvendo a derivada do fluxo temos:
3 N .m.a 2 .z
d
 0
5/ 2
dz
2 a2  z2
3.1 Associação de bobinas em série.
n: número de bobinas em associação menos 1.
Para a equação (4), aplica-se a lei de Faraday:
d
d dz
Vz  

dt
dz dt
Figura 3 – Sinal do fluxo e da fem produzida.
(6)
Substituindo as expressões, tem-se a fem em função da
velocidade e da distância em z, relativa ao centro da bobina.
Para mais de um imã, separados por uma distância d
afim de se induzir as bobinas, considera-se o campo
magnético produzido por cada imã também de forma
independente, ou seja, a indução que cada imã produz nas
espiras é independe para cada imã e para cada espira. A
distância do segundo imã até o centro da primeira espira
será agora z’. Assim teremos outra tensão em fase induzida
na bonina em questão.
649
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LIVEIRA, R.V.M.; BRANDÃO, J.G.T.; RICCIULI, D.L.S.;TOMAZINI, J.E; NOGUEIRA, R.P.; PIVETTA, C.S.
 3 N .m.a 2
V ' z   0
2


z'
v 
2
2
 a  z '


5/ 2

a
z ' X
2
 ( z ' X ) 2

5/ 2

a
z '2 X
2
 ( z '2 X ) 2

5/ 2
 ... 
a
z 'nX
2
 ( z ' nX ) 2


 
(9)
5/ 2
Onde:
z’: distância do centro do segundo imã até o centro da
primeira bobina. z’ continua sujeito a regra de z’=z0’ – x(t).
z0’: é a distância inicial que o imã em questão apresentará
antes da solicitação do sistema.
Para a continuação com uma quantidade maior de imãs
no sistema tem-se:
z: distância do primeiro imã à primeira bobina
z’: distância do segundo imã à primeira bobina
z’’: distância do terceiro imã à primeira bobina
zn-1: distância do enésimo imã à primeira bobina
Sendo z0n-1 >z0’’ >z0’ >z0
A fem total produzida deste modo por vários imãs,
agindo sobre várias bobinas é:
Vtotal  Vz  V ' z V ' ' z ...  V n1 z
3.3 Sistema baseado em amortecedor telescópico.
Para aproveitar o movimento do amortecedor, é
considerado que o movimento relativo necessário entre os
componentes eletromagnéticos corresponderão com as
dimensões do amortecedor telescópico. A carcaça do
amortecedor é considerada o componente estático, o qual
fará a correlação com bobinas. A haste, que apresenta um
constante movimento relativo à carcaça terá a correlação
com os magnetos, criando o campo variável. Com as
considerações acima, é possível analisar as características de
indutância provenientes do movimento de um amortecedor.
A fem modelada até agora é função de uma velocidade
constante v, considerando que essa velocidade agora seria a
velocidade relativa da haste de um amortecedor em relação à
sua carcaça, passaria a ser assim uma velocidade variável.
Para simular teoricamente, essa velocidade v passará a
ser considerada a provinda de um movimento harmônico
simples (MHS).
(11)
f: é a frequência média de trabalho do amortecedor.
A: Amplitude do movimento, deslocamento máximo.
Φo: Ângulo inicial do movimento. Adota-se zero.
O deslocamento do conjunto também deve ser conhecido
para sabermos a posição dos imãs em relação às espiras e
adicioná-lo instantaneamente à equação de z, com isso:
x(t) = A.cos (ωt)
Para os cálculos teóricos:
μ0 = 4π.10-7 H/m (permeabilidade magnética)
m = 2,5 C.m
(10)
O sub-índice “z” em cada fem, deve-se ao fato do
deslocamento do sistema ter sido considerado ao longo do
eixo z, como é ilustrado na Figura 3.
No equacionamento em questão, todas as bobinas são
induzidas de forma dinâmica pelos imãs, toda corrente que é
induzida em cada bobina se soma ao todo, fazendo com que
a corrente induzida, e consequentemente a fem, passe a ser
associação em série e em fase reforçando o fluxo.
v(t) = - ω.A.sen(ω.t + Φo), e ω = 2πf
Considere agora um sistema já montado, ilustrado
conforme a Fig. 5, constituído de sete bobinas de 250 voltas
cada (N= 250) e raio de 0,03m (a= 0,03), ligadas em série,
com uma distância X de seus centros iguais a 0,015m; cada
bobina apresenta um comprimento longitudinal de 0,01m,
ou seja, a distância física entre as bobinas é de 0,005 m.
Os componentes magnéticos permanentes serão em
número de cinco e a distância d será de 0,015m, tendo o
comprimento de cada um igual a 0,01m.
As características do amortecedor correspondem a
frequência de aproximadamente 80 ciclos por minuto e
amplitude máxima total de 12cm, (+ ou – 0,06 m).
(12)
Figura 5 - Exemplo de uma montagem para os componentes em
movimento telescópico.
Esta configuração inicial servirá de padrão de
comparação para a análise para diferentes configurações, a
fim de verificar as influências de modificações no sistema.
3.4 Cálculos do modelo.
μ0 = 4π.10-7 H/m; m = 2,5 C.m; a = 0,03 m; N = 250;
X = 0,5 + (2 x 0,5)cm = (0,015 m)
Como são utilizados no caso cinco imãs, considera-se z0,
z0I, z0II, z0III, z0IV, e consequentemente.
Vtotal  Vz  V ' z V ' ' z V ''' z  V IV
Onde, das dimensões definidas e baseadas na Figura 7,
tem-se que d + 0,01m = 0,025m, sendo assim:
z0 = -0,045m; z0I = -0,02m; z0II = 0,005m;
z0III = 0,03m; z0IV,= 0,055m
O número de bobinas é igual a 7.
A fórmula para a fem produzida pelo imã mais próximo
da primeira bobina, baseado na equação (9), passa a ser:
 3 N .m.a 2
Vz   0
2


z
v 
2
2
 a  z


z  4X
 ... 

a 2  (z  4X )2




5/ 2
5/ 2


a
a
zX
2
 (z  X )2

5/ 2
z  5X
2
 (z  5X )2


5/ 2
a

z  2X
2
 (z  2X )2
a
5/ 2
z  6X
2


 (z  6X )2

5/ 2
a
z  3X
2
 ( z  3X ) 2





5/ 2

 ...


(18)
Para todas as cinco equações, z = z0 - x(t), e a
velocidade é aquela relativa ao (MHS).
x(t) = A.cos (ωt) e v(t) = - ω.A.sen(ω.t + Φo)
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LIVEIRA, R.V.M.; BRANDÃO, J.G.T.; RICCIULI, D.L.S.;TOMAZINI, J.E; NOGUEIRA, R.P.; PIVETTA, C.S.
A = 0,06m; ω = 2πf; f = 80 cpm (1,3333 rad/s); Φo = 0
Deste modo z também é uma função do tempo
juntamente da velocidade. Somando cada contribuição de
cada imã, temos a tensão instantânea produzida, Vtotal.
4. RESULTADOS
Com o auxilio do software wxMáxima e utilizando-se
das fórmulas definidas no item 3.4, é montado o
equacionamento e geradas as curvas da fem induzida.
trabalha dinamicamente induzido por um campo magnético
independente das espiras, o que apresenta um fator de erro
inerente à adoção destas considerações.
Portanto, neste trabalho foi verificado que a força
eletromotriz desenvolvida no sistema apresenta valores que
isoladamente são satisfatórios. Podendo o sinal apresentar
características de corrente alternada, tornando em uma
primeira análise, possível a retificação e utilização para
regeneração de baterias, o que poderá favorecer a
sustentabilidade energética de forma limpa.
REFERÊNCIAS.
Figura 6 – fem induzida conforme item 3.4
Modificando algumas características do sistema temos
os seguintes resultados:
(a)
(b)
Figura 7 – (a) fem induzida com as bobinas espaçadas em 0,008m. (b)
fem induzida com a igual a 0,026m.
(c)
(d)
Figura 8 – (c) fem induzida com imãs espaçados em d= 0,005m. (d) fem
induzida com freqüência ampliada para 2 hertz.
5. CONCLUSÃO
Verificou-se que a oscilação para o amortecedor é
suficiente para atender à lei de Faraday, produzindo uma
força eletromotriz que atinge valores expressivos, assim
observa-se que os valores de pico de tensão podem variar
consideravelmente, tais como as características do sinal.
Contudo, reações entre as bobinas e entre os imãs foram
desprezadas; a indutância mútua que pode existir entre as
bobinas não foi considerada, porque todo o conjunto
[1]PUB Harris,W, How Stuff Works,“Como funcionam as suspensões dos
carros”, 2007,
<http://carros.hsw.uol.com.br/suspensoes-dos-carros2.htm>.
[2]PUB Santana, E. G., “Demonstração da Lei de Faraday (II)”, 2006,
<http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/elecmagnet/induc
cion/faraday/faraday.htm>.
[3]LI Girdhar, P., “Practical machinery vibration analysis and predictive
maintenance”, Newnes, 2004, pp. 29 – 57.
[4]PUB Inovação tecnológica, “Suspensão regenerativa transforma
amortecedor em gerador de energia”, 2009,
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=
suspensao-regenerativa-amortecedor-inteligente-gerarenergia&id=010170090218>.
[5] Machado, K. D., “Teoria do eletromagnetismo”. 3.ed. Ponta Grossa:
UEPG, v.1, 2007, 928p.
[6] Machado, K. D., “Teoria do eletromagnetismo”. 2.ed. Ponta Grossa:
UEPG, v.2, 2005, 901p.
[7]PUB Righi, L. A., “Eletromagnetismo para Engenharia Elétrica.
Eletrostática”. Universidade Federal de Santa Maria, 2011, PP. 1116.
[8]PUB Goldemberg,C.;Lebensztajn,L;Pellini.E.L., “A evolução do carro
elétrico”, PEA/EPUSP, 2005.
[9]PUB Santana,E.G.2006,“Movimento de um imã em um tubo metálico
vertical”, 2006.
<http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/elecmagnet/induc
cion/foucault1/foucault1.htm>.
[10]PUB Santana,E.G.,“A espira. Aproximação:Pontos distantes da espira,
Dipolo magnético”, 2006.
<http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/elecmagnet/camp
o_magnetico/espira/espira>.
[11]PUB Chandler, D., “More Power From Bumps in the Road”, TechTalck
Magazine, vol. 19, n° 15, 11 Feb, 2009, pp. 4.