Departamento de Física – ICE/UFJF
Laboratório de Física II
Prática 1: Medida da Aceleração da Gravidade
1 – Objetivo da experiência: Medir o módulo da aceleração da gravidade g no nosso
laboratório com ajuda de um pêndulo simples.
2 –Física da Aceleração da Gravidade : A interação gravitacional é uma das quatro
interações fundamentais conhecidas e é a única que afeta todo tipo de matéria e energia.
A força gravitacional é sempre atrativa. A atração gravitacional entre duas partículas
puntiformes em repouso é uma força central cujo módulo depende somente das massas
m1 e m 2 e da distância r entre as partículas.
Fig. 1 : Força de atração gravitacional entre
m2
r
-F
m1
F
dois corpos puntiformes.
Esta dependência é descrita pela
seguinte equação:
r
mm
F = G 12 2
(1)
r
onde G é a constante gravitacional de
Newton, cujo valor experimental é
6,67 ×10−11 Nm2 kg −2 .
r
Uma interpretação útil da atração gravitacional é que a força gravitacional F sobre um
rr
corpo puntiforme de massa m é provocada pela ação de um campo gravitacional g (r )
e este campo é alterado pela presença dos corpos. A força é relacionada com o campo
pela seguinte equação:
r
r r
F = m g (r )
(2)
r
r
onde r é o vetor posição da massa m. A unidade do campo gravitacional g é a
r
mesma da aceleração. O campo g em torno de uma partícula puntiforme de massa M
localizada na origem de coordenadas vale
r
r r
M r
g (r ) = −G 2
(3)
r r
Pode-se mostrar que o campo gravitacional em torno de um corpo extenso com simetria
esférica é idêntico ao campo de uma partícula puntiforme no centro da massa extensa e
com um valor de massa igual ao corpo inteiro. Como as estrelas e os planetas têm
aproximadamente simetria esférica este fato permite usar a equação (3) para descrever o
campo gravitacional fora da estrela ou do planeta. No caso da Terra temos na superfície
da Terra
M
r
g = g (superfície ) = G 2terra ≈ 9,8 ms − 2
(4)
Rterra
Como as dimensões de um laboratório são normalmente muito pequenas em
comparação com o raio da terra Rterra o campo gravitacional é praticamente constante
dentro de um laboratório (tarefa para pensar em casa: 1) calcule a diferença entre g no
rr
rr
chão e no teto do laboratório, 2) calcule o ângulo dos vetores g (r1 ) e g (r2 ) para
r
r
duas posições r1 e r2 que são horizontalmente separadas por um metro).
Na verdade a equação (4) vale apenas de forma aproximada. Desvios desta fórmula
ocorrem por duas razões: 1) a Terra não é esfericamente simétrica com absoluta
1
perfeição, existe um achatamento do globo terrestre 1 e também existem
heterogeneidades locais da densidade de massa no subsolo. 2) devido ao fato que a força
gravitacional é proporcional à massa (compare a equação (2)) não é possível distinguir,
dentro do laboratório, uma força fictícia como a força centrífuga de uma verdadeira
r
r
força gravitacional. Então o campo observado no laboratório g OBS (r ) é a soma do
rr
verdadeiro campo gravitacional e um campo centrífugo δg (r ) que tem módulo
r r
δg (r ) = Ω 2 Rterra cos θ
(5)
e direção e sentido indicados na figura 2. O ângulo θ é definido na figura (para Juiz
de Fora vale θ ≈ 21o 47′ ) e Ω é a velocidade angular da Terra:
2π
Ω=
≈ 7,272 × 10 − 5 s −1
(6)
24 h
r
N
Para Juiz de Fora temos δg ≈ 0,03 ms −2 .
(Tarefa para pensar em casa: o que significa o
r
r
r
δg para o módulo do g OBS (r ) ?)
Resumindo, podemos dizer que o módulo de g
θ
observado pode variar ligeiramente em torno
δg
do valor da equação (4). Na nossa experiência
vamos medir o valor de g no laboratório com
ajuda de um pêndulo.
S
Fig. 2 Campo gravitacional fictício correspondente à força centrífuga.
3 – A Física do pêndulo:
Um pêndulo é um corpo que está sujeito à força gravitacional e que pode girar, sem
deformação, em torno de um ponto fixo. Um pêndulo simples é uma forma idealizada de
um pêndulo, e ele é caraterizado pelo fato que praticamente toda a massa do pêndulo
está concentrada numa partícula puntiforme e a parte do corpo que liga esta partícula ao
ponto de rotação tem massa desprezível. Experimentalmente podemos realizar um
pêndulo simples pendurando uma pequena bola na
extremidade de um fio fino flexível que é fixo pela outra
extremidade num suporte rígido e fixo no laboratório.
Este tipo de sistema mecânico pode oscilar em torno de
uma posição de equilíbrio. Excitando o pêndulo
α
adequadamente podemos ter oscilações que se limitam a
l
um plano. Neste caso podemos descrever a configuração
T
do pêndulo com uma única coordenada. Podemos usar o
ângulo α que o fio faz com a direção vertical como tal
coordenada. A vertical é definida como a direção do
T+mgOB S
r
mgOBS
vetor g OBS . A figura 3 mostra a definição desta
coordenada.
r
r
Fig. 3 Pêndulo simples sobre a massa na extremidade do fio atuam as forças m g e a tração do fio T . O
r
módulo e T é tal que a força resultante fica perpendicular ao fio.
1
O achatamento do globo terrestre é provocado pela força centrífuga (força fictícia existente num
referencial não inercial em rotação).
2
A força gravitacional provoca um torque sobre o pêndulo. Este torque vale
r
τ = −eˆ mg OBS l sen α , onde ê é um vetor unitário perpendicular ao plano de oscilação
e com sentido tal que uma excitação do pêndulo com α > 0 define junto com ê um
parafuso direito (se girarmos um parafuso direito junto com o pêndulo ele deve avançar
na direção do vetor ê ). l é o comprimento do pêndulo, isto é a distância entre ponto de
r
dα
rotação e centro de massa. O momento angular do pêndulo vale L = eˆml 2
. Com a
dt
r
r
segunda lei de Newton para movimentos rotatórias, dL dt = τ , obtemos a equação
diferencial que descreve a dinâmica do pêndulo:
d 2α
ml 2
= − mgOBS l sen α
(7)
dt 2
Como podemos ver, o valor da massa cancela e a dinâmica do pêndulo é independente
de m. Infelizmente a equação (7) é de difícil solução. Mas para ângulos pequenos
podemos usar uma aproximação que facilita a solução:
Para α << 1 vale sen α ≈ α (contando α em radianos) e a equação (7) pode ser
aproximada por
g
d 2α
= − OBS α
(8)
2
l
dt
A solução geral desta equação é
α (t ) = α 0 cos(ωt + ϕ)
(9)
A amplitude de oscilação α 0 e a constante de fase ϕ são determinadas pelas
condições iniciais do movimento enquanto a constante ω , que se chama frequência
angular, é determinada unicamente pela dinâmica. Vale
ω=
g OBS
l
(10)
(Verifique em casa se a função da equação (9) com o valor de ω dado pela equação
(10) satisfaz a equação (8))! Esta constante é relacionada com o período de oscilação T
da seguinte forma:
2π
ω=
(11)
T
Conseqüentemente vale
4 π 2l
g OBS = 2
(12)
T
Podemos medir l e T e determinar g (ou mais precisamente g OBS ) pela equação
(12). Mas, temos que considerar várias ressalvas: R1) a equação (12) foi deduzida com
a aproximação sen α ≈ α e devemos especificar qual erro é introduzido por esta
aproximação. R2) a equação (12) foi deduzida com a hipótese que a massa do pêndulo é
concentrada num único ponto, mas na verdade a esfera pendurada no fio tem um raio
maior que zero e o fio também tem massa. R3) O pêndulo é amortecido pelo ar. R4)
Além da gravitação atua também o empuxo do ar. R5) A inércia do sistema não provem
apenas da massa do pêndulo, mas o ar em torno da esfera tem que executar também
movimentos acelerados e com isto contribui para a inércia do sistema. R6) O fio tem
propriedades elásticas. R7) O suporte do pêndulo não é completamente rígido.
3
Aqui vamos tratar apenas das primeiras duas ressalvas: R1) A substituição da equação
difícil (7) pela equação fácil (8) é boa para pequenas amplitudes de oscilação. Correções
para amplitudes maiores podem ser calculadas na forma de uma série de potênc ia em
α 0 (compare H. Moysés Nussenzveig Física Básica Vol.2). Considerando uma primeira
correção obtém-se
4 π 2l 
1

g OBS = 2 1 + α 0 2 
(13)
T  32

O experimentador deve anotar o valor da amplitude usado no experimento e deve
2
avaliar se o termo de correção α 0 / 32 é relevante.
R2) A aproximação de tratar a esfera pendurada como um ponto deves ser boa quando o
comprimento do pêndulo for grande em comparação com o raio da esfera. A equação
(12) descreve uma relação linear entre o quadrado do período e o comprimento do
pêndulo:
g OBS 2
l =
T
(14)
4π 2
Para pequenos valores de l podemos observar desvios deste comportamento linear e os
dados desta região não devem ser usados para a determinação de g.
4 – As Medidas
Vocês têm à disposição os seguintes materiais:
Suporte
Esfera com barbante
Cronômetro digital
Régua de aço
Paquímetro
• Monte o pêndulo 7 vezes com comprimentos l que variam de aprox. 5 cm até 1 m.
Sugestão: l1 ≈ 5 cm , e os demais comprimentos maiores que 30cm. A medida com
l1 ≈ 5 cm serve só para verificar até que ponto a aproximação de pêndulo simples é
boa e para a determinação de g podemos ignorar esta media.
• Coloque o pêndulo para oscilar num plano com amplitude α 0 suficientemente
pequena tal que o termo de correção α 0 / 32 seja pelo menos menor que 0,1%.
(anote os valores de α 0 ).
Meça os períodos para cada comprimento do pêndulo. Para aumentar a precisão não
meça diretamente T mas a duração de 20 oscilações. (Cuidado ao contar oscilações
e não passagens pelo ponto de referência). Para poder avaliar o erro na medida de 20
oscilações convém repetir cada medida algumas vezes. Cuidado com os algarismos
significativos na hora de calcular T a partir de 20T !
2
•
5 - Análise de Dados
Podemos adotar duas maneiras de extrair o valor de g OBS dos dados experimentais:
Método 1:
Podemos substituir os 7 (ou 6) conjuntos de dados experimentais na equação (12) e
calcular a média aritmética dos resultados.
N
g=
∑g
i =1
N
i
(15)
4
Nesta expressão g 1 , g 2 , ..... g N são os N resultados das medidas (no nosso caso N
seria 7 ou 6 se excluirmos a medida com l ≈ 5cm ). O erro estatístico da média é dado
pela seguinte expressão:
N
δg = K
∑ (g − g )
2
i
i =1
(16)
N ( N − 1)
Nesta expressão K é uma constante numérica da nossa escolha dependendo do nível de
confiabilidade que exigimos. Aqui recomend amos usar K=2. Com esta escolha o
verdadeiro valor de g estaria com 95% de probabilidade dentro do intervalo de erro:
g VERDAD. ∈ [g − δg , g + δg ] com 95% de probabilidade. A todo rigor deveríamos
também acrescentar contribuições de erros sistemáticos dos instrumentos. Mas no nosso
caso os erros de instrumento da régua e do cronômetro são certamente pequenos em
comparação com os erros estatísticos. No entanto erros sistemáticos relacionados com
falhas do modelo teórico do pêndulo (ressalvas 1-7) podem ser relevantes.
Método 2:
O método 1 corresponde a um procedimento que se usa em inúmeras situações. Mas no
caso da nossa experiência ele pode ocasionalmente fornecer resultados insatisfatórios.
Para pequenos valores de l um erro δl causa muito mais erro no valor de g do que
para grandes valores de l. Portanto métodos de análise de dados que atribuem mais peso
nas medidas com grandes valores de l fornecem melhores resultados. Sugerimos o
seguinte método:
• Faça um gráfico que mostre l em função do quadrado do período T 2 .
• Com a equação (14) os dados experimentais deveriam ser bem descritos por uma
reta que passa pela origem de coordenadas. Se você detectar pontos experimentais
muito fora da reta, desconsidere estes para a subsequente análise.
• Faça um ajuste de mínimos quadrados com os dados dos seis maiores valores de l
(retirando ainda pontos muito fora da reta se for o caso). Mas como já sabemos que
a reta deve passar pela origem, não faremos um ajuste de uma reta do tipo
y = ax + b . Usaremos o método de mínimos quadrados para uma reta do tipo
y = ax , onde x corresponde ao T 2 e o y ao l (escolhemos l como y por que a
medida de comprimento terá mais erro do que a medida do período e o método de
mínimos quadrados supõem erros somente no y). A teoria dos mínimos quadrados
fornece os seguintes resultados:
N
Melhor valor do coeficiente angular:
a=
∑x y
i =1
N
i
i
∑x
i =1
(17)
2
i
N
Erro estatístico do a :
δa = K
∑ (x a − y )
i =1
2
i
i
N
( N − 1)∑ xi
(18)
2
i =1
Os x i e yi são os valores experimentais de T 2 e l respetivamente, N é o
número total de dados usados e K é uma constante numérica da nossa escolha
5
dependendo do nível de confiabilidade que exigimos. Aqui recomendamos usar
K=2 dando um nível de confiança de 95%..
O valor de g OBS e o erro de g OBS obtemos do a com ajuda da equação (14) , que
g
identifica o coeficiente angular a com OBS2 .
4π
Ambos os métodos devem ser usados e os resultados devem ser comparados
criticamente.
6 - O relatório
O relatório deve informar de forma clara e sucinta o que foi feito, para que foi feito
como foi feito, quais são os resultados, que confiável são os resultados e como os
resultados se comparam com dados da literatura. Não é desejável gastar páginas e
tempo com longas explicações da teoria. Esta já tem em livros e na própria apostila.
O resultado deve ser declarado com as devidas unidades, número de casas adequado
e especificação de erro. É desejável que os resultados e os métodos usados sejam
criticamente analisados. Por exemplo, as sete ressalvas do modelo teórico R1)-R7)
podem ser discutidas quantitativamente estimando quanto erro cada uma poderia
causar. Outros tipos de erro que ainda poderiam existir podem ser discutidos.
Literatura:
1) H. Moysés Nussenzveig: Física Básica Vol.2. Editora Edgard Blücher São Paulo
2) O.A.M. Helene, V.R. Vanin: Tratamento Estatístico de Dados em Física
Experimental. Editora Edgard Blücher São Paulo (1981)
6