Matemática II (CG) / Análise Matemática (IG)
2003/2004
LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES
Noções prévias
1.
Valor absoluto de um número real:
Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número |x| tal que:
|x| =



x
se x ≥ 0


−x
se x < 0
Está assim denida uma aplicação f de R em R+
o , que a cada número real faz
corresponder o seu valor absoluto:
f :
R → R+o
x → |x|
Propriedades:
Seja a ≥ 0:
(1) |x| = a ⇔ x = a ∨ x = −a
(2) |x · y| = |x| · |y| , ∀ x, y ∈ R
(3) −|x| ≤ x ≤ |x| , ∀ x ∈ R
(4) |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
(5) |x| ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≥ −a
(6) |x + y| ≤ |x| + |y| , ∀ x, y ∈ R
(7) |x − y| ≥ | |x| − |y| |
Aulas teóricas: resumo 1
, ∀ x, y ∈ R
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2. Distância entre dois pontos.
A distância entre dois pontos em R é dada por:
d(x1 , x2 ) = |x1 − x2 |
3. Vizinhança.
Sendo a ∈ R e δ ∈ R+ , a vizinhança δ de a é o intervalo aberto de centro a e
raio δ . Representa-se por:
Vδ (a) = {x ∈ R : |x − a| < δ} = ]a − δ , a + δ[
Noção de limite segundo Cauchy
Seja f (x) uma função real de variável real e seja a um ponto de acumulação do
domínio de f . Diz-se que "o número real b é o limite de f (x) quando x tende para
a", ou que "a função f tende para b quando x tende para a", e escreve-se:
lim f (x) = b
x→a
se e só se:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε
Isto signica que f (x) se aproxima de b quando x se aproxima de a.
Nota1: Para a existência de limite de f(x) quando x → a, não é necessário que a
função seja denida em x = a.
Nota2: Só faz sentido falar em limite de uma função num ponto quando esse ponto
pertence ao derivado do domínio da função (ou seja, é ponto de acumulação desse
domínio).
Um número real x é um ponto de acumulação do conjunto C , se e apenas se a toda
a vizinhança de x possui pelo menos um elemento de C , distinto de x:
x é ponto de acumulação de C ⇔ ∀ δ ∈ R+ : C ∩ (Vδ (x) \ {x}) 6= ∅
Teorema (unicidade do limite): Se existe lim f (x), então ele é único.
x→a
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EXEMPLO:
Quero mostrar que lim x+2
=1
4
x→2
x + 2 − 4 x − 2 |x − 2|
x + 2
= 4 =
4 − 1 = 4
4
Para garantir que |x−2|
< ε, basta escolher, por exemplo δ = 4 (ou qualquer valor
4
tal que 0 < δ ≤ 4ε). Verica-se, portanto, que ∀ ε > 0 é possível encontrar δ = 4ε
tal que:
x + 2
− 1 < ε
0 < |x − 2| < δ ⇒ 4
Propriedades dos limites de funções 1
ˆ O limite de uma função constante é a própria constante.
(f (x) = c , ∀ x ∈ Df ) ⇒ lim f (x) = c
x→a
ˆ O limite da função identidade, f (x) = x, quando x tende para a, é o próprio
a.
(f (x) = x , ∀ x ∈ Df ) ⇒ lim f (x) = a
x→a
ˆ O limite de uma soma algébrica de um número limitado de funções é igual à
soma algébrica dos limites dessas funções.
ˆ O limite do produto de um número nito de funções é igual ao produto dos
limites dessas funções.
ˆ O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites das
funções, desde que o limite da função denominador seja diferente de zero.
ˆ Se existe lim f (x) = b e se
x→a
√
n
f , n ∈ N tem signicado em R, então
p
√
n
lim n f (x) = b
x→a
1 ver
apêndice
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As propriedades anteriores conduzem-nos a uma importante regra
prática para o cálculo de limites simples. Em muitos casos, o limite
de uma função pode ser calculado por substituição (porquê?):
x2 + 4x + 4
22 + 4 ∗ 2 + 4
16
lim
=
=
=2
2
2
x→2
x +4
x +4
8
ˆ Se as funções f (x), g(x) e h(x) estão relacionadas por uma dupla desigualdade:
e se
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
lim f (x) = lim h(x) = b
x→a
x→a
então:
lim g(x) = b
x→a
ˆ Se as funções f (x) e g(x) satisfazem à desigualdade:
f (x) ≤ g(x)
então
lim f (x) ≤ lim g(x)
x→a
x→a
ˆ Se f (x) ≥ 0 quando x → a e se f (x) tende para o limite b, então b ≥ 0.
ˆ Se f (x) é uma função crescente e limitada, |f (x)| < M , então
lim f (x) = b, sendo b ≤ M .
x→a
Mesmo quando não existe o limite de f quando x tende para a, podem existir os
limites laterais:
Se f (x) tende para b quando x tende para a, por valores superiores a a, chamamos
a b limite à direita da função f (x) e escrevemos:
lim f (x) = b.
x→a+
Se f (x) tende para c quando x tende para a, por valores inferiores a a, chamamos a
c limite à esquerda da função f (x) e escrevemos:
lim f (x) = c.
x→a−
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Teorema: O limite de f (x) quando x tende para a existe se e só se existirem e
forem iguais os limites laterais:
lim f (x) = b ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = b
x→a
x→a
x→a
Algumas denições:
ˆ
A recta acabada: R
Vamos ampliar o conjunto R com dois novos elementos, que representaremos
por −∞ e +∞, e a que se chama, respectivamente, menos innito e mais
innito.
Este novo conjunto representa-se por R. Então:
R = R ∪ {−∞, +∞}
e estes novos elementos são tais que
−∞ < x ∧ x < +∞ ∀ x ∈ R
Pode considerar-se o conjunto R limitado superior e inferiormente por +∞ e
−∞. Se acrescentarmos à recta real os "pontos"+∞ e −∞ obtém-se a recta
acabada.
ˆ Funções que tendem para o innito (innitamente grandes):
lim f (x) = +∞ se
x→a
∀N > 0,∃δ > 0 :
∀ x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > N
lim f (x) = −∞ se
∀N > 0,∃δ > 0 :
∀ x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −N
lim f (x) = ∞ se
∀N > 0,∃δ > 0 :
∀ x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| > N
x→a
x→a
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ˆ Limites no innito:
lim f (x) = b se
x→+∞
lim f (x) = b se
x→−∞
∀ε > 0,∃M > 0 :
∀ε > 0,∃M > 0 :
∀ x ∈ Df , x > M ⇒ |f (x) − b| < ε
∀ x ∈ Df , x < −M ⇒ |f (x) − b| < ε
ˆ Innitamente pequenos ou innitésimos:
Diz-se que α(x) é um innitamente pequeno ou innitésimo quando x → a ou
x → ∞ se:
ou
lim α(x) = 0
x→a
lim α(x) = 0
x→∞
NOTA 1: Se α(x) é innitésimo quando x → a e não se anula, então
lim
x→a
1
=∞
α(x)
isto é, o inverso de um innitésimo é um innitamente grande.
NOTA 2: O inverso de um innitamente grande é um innitésimo.
ˆ Funções limitadas: A função f (x) diz-se limitada no domínio de denição,
se:
∃ M > 0 , ∀ x ∈ Df : |f (x)| < M
NOTA 3: O produto de um innitésimo, quando x tende para a, por uma
função limitada é um innitésimo quando x tende para a.
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INDETERMINAÇÕES:
Ao utilizar a regra de substituição para determinar limites de funções, somos por
vezes conduzidos a indeterminações, que se representam simbolicamente por:
∞
∞
0
0
∞−∞
0×∞
EXEMPLOS:
0
0
lim
x→2
x2 − 4x + 4
(x − 2)(x − 2)
x−2
= lim
= lim
=0
2
x→2 (x − 2)(x + 2)
x→2 x + 2
x −4
(factorizam-se os termos da fracção)
∞
∞
lim
x→+∞
an
an x n
an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + ao
=
=
lim
lim xn−p
x→+∞ bp xp
bp xp + bp−1 xp−1 + ... + b1 x + bo
bp x→+∞
(é igual ao limite do quociente entre o termo de maior grau do numerador
e o termo de maior grau do denominador)
(0 × ∞) reduz-se a uma indeterminação de um dos dois tipos anteriores
(∞ − ∞) • caso de um polinómio: o limite é o limite do termo de maior grau
5
3
3
lim 5x − 3x = lim −3x 1 − 2 = −∞
x→+∞
x→+∞
3x
• expressão contendo raízes quadradas: multiplica-se e divide-se pelo
conjugado
lim
x→+∞
√
x−
√
√
x + 1 = lim
x→+∞
x−
√
√
√
x+1
x+ x+1
√
=
√
x+ x+1
−1
x − (x + 1)
√
√
= lim √
= lim √
=0
x→+∞
x + x + 1 x→+∞ x + x + 1
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CONTINUIDADE de FUNÇÕES
Função contínua num ponto xo do seu domínio.
Seja xo um ponto do domínio Df de uma função f e ponto de acumulação desse
domínio.
f é contínua em xo ⇔ lim f (x) = f (xo )
x→xo
Quando uma função não é contínua num ponto xo do seu domínio, diz-se descontínua nesse ponto.
Embora descontínua para x = xo ,
1. Se lim+ f (x) = f (xo ), a função diz-se contínua à direita, em xo .
x→xo
2. Se lim− f (x) = f (xo ), a função diz-se contínua à esquerda, em xo .
x→xo
Propriedades das funções contínuas:
ˆ Se f e g são funções contínuas num ponto xo ∈ Df ∩ Dg que seja ponto de
acumulação desse conjunto, então:
1. f ± g e f × g são também contínuas em xo .
2.
f
g
é contínua em xo , se g(xo ) 6= 0.
ˆ Seja f uma função contínua num ponto xo ∈ Df , e seja n ∈ R. Então:
1. f n também é contínua em xo .
2. Se
√
n
f , tem signicado em R, então
√
n
f também é contínua em xo .
ˆ Se a função f for contínua em xo e a função g for contínua em b = f (xo ), então
a função composta g ◦ f também é contínua em xo .
lim g (f (x)) = g lim (x)
x→xo
Aulas teóricas: resumo 1
x→xo
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Função contínua num intervalo:
Uma função f diz-se contínua num intervalo ]a, b[, subconjunto do seu domínio, se
e apenas se é contínua em todos os pontos desse intervalo.
Uma função f diz-se contínua num intervalo [a, b], subconjunto do seu domínio, se
e apenas se é contínua em ]a, b[ e lim+ f (x) = f (a) e lim− f (x) = f (b).
x→a
x→b
Função contínua:
Uma função diz-se contínua se e só se é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Propriedades:
ˆ Toda a função constante é contínua.
ˆ Toda a função polinomial é contínua.
Teorema de Bolzano (ou dos valores intermédios): Toda a função contínua num
intervalo não passa de um valor para outro sem passar por todos os valores intermédios:
f é contínua em [a, b]
k compreendido entre f (a) e f (b)
)
⇒ ∃ c ∈ [a, b] : f (c) = k
Nota: o teorema de Bolzano é válido no caso de intervalos abertos, ]a, b[, limitados
ou não, desde que lim+ f (x) e lim− f (x) existam ou sejam innitos.
x→a
x→b
Corolário do teorema de Bolzano: Se f é contínua em [a, b] e os números f (a)
e f (b) são de sinais contrários, f (a) · f (b) < 0, então existe pelo menos um zero de
f no intervalo ]a, b[.
Teorema de Weierstrass: Toda a função contínua num intervalo [a, b], limitado
e fechado, não vazio, tem nesse intervalo um máximo e um mínimo absolutos.
Aulas teóricas: resumo 1
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Apêndices
ˆ Apêndice 1: Distância entre dois pontos.
Diz-se que um conjunto A é um espaço métrico quando existe uma função
que, a cada par ordenado (x1 , x2 ) de A2 , associa um número real d(x1 , x2 ) chamado distância de x1 a x2 - gozando as seguintes propriedades:
(1) d(x1 , x2 ) ≥ 0 , ∀x1 , x2 ∈ A
(2) d(x1 , x2 ) = 0 ⇔ x1 = x2
(3) d(x1 , x2 ) = d(x2 , x1 ) , ∀x1 , x2 ∈ A
(4) d(x1 , x2 ) ≤ d(x1 , x) + d(x, x2 ) , ∀x ∈ A
O conjunto R é um espaço métrico.
A distância entre dois pontos em R é dada por:
d(x1 , x2 ) = |x1 − x2 |
ˆ Apêndice 2: Posições relativas de um número real e de um subconjunto de
R
Seja C um subconjunto não vazio de R.
Ponto interior.
Um número real c é um ponto interior ao conjunto C , se e apenas se
existe pelo menos uma vizinhaça de c toda contida em C :
c é um ponto interior a C ⇔ ∃ δ ∈ R+
o : Vδ (c) ⊂ C
Ponto exterior.
Um número real b é um ponto exterior ao conjunto C , se e apenas se é
ponto interior ao complementar R\C de C :
b é um ponto exterior a C ⇔ ∃ δ ∈ R+ : Vδ (b) ⊂ (R \ C)
Resumo 1: apêndices
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Ponto fronteiro.
Um número real a diz-se ponto fronteiro de C , se e apenas se não é ponto
interior nem exterior a C :
a é ponto fronteiro de C ⇔ ∀ δ ∈ R+ : C∩Vδ (a) 6= ∅ ∧ (R\C) ∩Vδ (a) 6= ∅
Ponto de acumulação.
Um número real x é um ponto de acumulação do conjunto C , se e apenas
se a toda a vizinhança de x possui pelo menos um elemento de C , distinto
de x:
x é ponto de acumulação de C ⇔ ∀ δ ∈ R+ : C ∩ (Vδ (x) \ {x}) 6= ∅
O conjunto de todos os pontos de acumulação de um conjunto designa-se
derivado do conjunto.
Um elemento de um subconjunto de R que não é ponto de acumulação
desse conjunto diz-se ponto isolado.
Interior, exterior e fronteira de um conjunto.
Interior de C = int C = {pontos interiores a C}
Exterior de C = ext C = {pontos exteriores a C}
Fronteira de C = fr C = {pontos fronteiros a C}
conjunto aberto e conjunto fechado.
O conjunto C é aberto, se e apenas se C = int C.
O conjunto C é fechado, se e apenas se R\C é um conjunto aberto.
ˆ Apêndice 3: Axioma de extremo superior: o corpo R é um corpo completo
Seja S um subconjunto de R, não vazio.
Limites superiores ou majorantes: Um número b diz-se limite superior de S ou majorante de S se:
x ≤ b,
∀x ∈ S
e diz-se que S é limitado superiormente.
Resumo 1: apêndices
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Supremo ou extremo superior: Um número b diz-se supremo ou extremo superior de S se:
1. b é um majorante de S .
2. nenhum número menor que b é majorante de S .
Máximo: Um número b diz-se máximo de S se b é supremo e pertence
ao conjunto S .
Limites inferiores ou minorantes: Um número d diz-se limite inferior
de S ou minorante de S se:
x ≥ d,
∀x ∈ S
e diz-se que S é limitado inferiormente.
Ínmo ou extremo inferior: Um número d diz-se ínmo ou extremo
inferior de S se:
1. d é um minorante de S.
2. nenhum número maior que d é minorante de S .
Mínimo: Um número d diz-se mínimo de S se d é ínmo e pertence ao
conjunto S .
Conjunto limitado: Um conjunto C diz-se limitado, se e só se for
limitado superiormente e inferiormente.
Axioma do extremo superior: Todo o conjunto não vazio de números reais,
S , que é limitado superiormente, tem um supremo em R.
Teorema de Bolzano-Weierstrass: Todo o subconjunto C de R, innito e limitado, tem, pelo menos, um ponto de acumulação.
ˆ Apêndice 4: Noção de limite segundo Cauchy
Seja f (x) uma função real de variável real e seja a um ponto de acumulação
do domínio de f . Diz-se que "o número real b é o limite de f (x) quando x
Resumo 1: apêndices
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tende para a", ou que "a função f tende para b quando x tende para a", e
escreve-se:
lim f (x) = b
x→a
se e só se:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε
Isto signica que f (x) se aproxima de b quando x se aproxima de a.
Nota1: Para a existência de limite de f(x) quando x → a, não é
necessário que a função seja denida em x = a.
Nota2: Só faz sentido falar em limite de uma função num ponto quando
esse ponto pertence ao derivado do domínio da função (ou seja, é ponto
de acumulação desse domínio).
EXEMPLO:
Pretende-se mostrar que lim x+2
6= 2. Aplicando as leis de De Morgan, obtémx→2 4
se:
x + 2
∃ε > 0, ∀ δ > 0 : ∃x ∈ Df , 0 < |x − 2| < δ ∧ − 2 ≥ ε
4
x + 2
x + 2 − 8 x − 6 |x − 6|
4 − 2 = = 4 =
4
4
|x − 6| = |x − 2 − 4| ≤ |x − 2| + 4
Escolho ε = 0.5:
se δ ≥ 1, escolho x = 2.5 :
x + 2
= 1− 1 = 0.875 > ε = 0.5
−
2
4
8
e
|x−2| = 0.5 < δ
se δ < 1, faço x = 2 + 2δ :
δ
|x − 2| = < δ
2
porque δ < 1 ⇔
Resumo 1: apêndices
δ
8
<
1
8
⇔1−
e
δ
8
x + 2
= 1 − δ > 0.5
−
2
4
8
>1−
1
8
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EXEMPLO: As propriedades dos limites são obtidas a partir da denição de
limite dada atrás:
• O limite de uma função constante é a própria constante:
f (x) = c , ∀ x ∈ Df ⇒ |f (x) − c| = |c − c| = 0 < ε ∀ ε > 0 ∀x ∈ Df
logo, |f (x) − c| é sempre menor do que ε.
• O limite da função identidade, f (x) = x, quando x tende para a, é o próprio
a:
f (x) = x , ∀ x ∈ Df ⇒ |f (x) − a| = |x − a|
portanto, basta escolher δ = ε para garantir que:
|x − a| < δ ⇒ |f (x) − a| = |x − a| < ε
• O limite de uma soma algébrica de um número limitado de funções é igual
à soma algébrica dos limites dessas funções:
Consideremos apenas duas funções, f e g , tais que lim f (x) = b e lim g(x) = c.
x→a
x→a
Pretende-se mostrar que lim [f (x) + g(x)] = b + c:
x→a
|f (x) + g(x) − (b + c)| = |f (x) − b + g(x) − c| ≤ |f (x) − b| + |g(x) − c|
de acordo com a propriedade (6) do módulo. Portanto, basta escolher para δ o
menor dos valores δ1 e δ2 , onde δ1 é tal que 0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − b| < 2ε
e δ2 é tal que 0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g(x) − c| < 2ε . Com esta escolha de δ , ca
garantido que:
|f (x) + g(x) − (b + c)| ≤ |f (x) − b| + |g(x) − c| <
ε ε
+ =ε
2 2
ou seja,
|x − a| < δ ⇒ |f (x) + g(x) − (b + c)| < ε
Resumo 1: apêndices
5/5