Matematica Essencial: Trigonometria
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Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria
Superior Cálculos
Trigonometria: Funções trigonométricas circulares
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Funções circulares
Funções reais
Funções crescentes e decrescentes
Funções pares e ímpares
Função seno e propriedades
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Função cosseno e propriedades
Função tangente e propriedades
Função cotangente e propriedades
Função secante e propriedades
Função cossecante e propriedades
Funções circulares
As funções circulares constituem o objeto fundamental da
trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade
pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as
variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do
som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos,
etc.
Funções reais
Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que
caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a
definição de funções.
Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em
B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único
elemento de B.
O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é
denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde
ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x
por f e é indicado por y=f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum
elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio
e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.
Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto
da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal
que para todo x em A, vale
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f(x+T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o
menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome
de período fundamental.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira
do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de
período fundamental T=1.
Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada,
se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem
as desigualdades:
-L < f(x) < L
Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.
Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois
-1 < x/(1+x²) < 1
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores
quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f
(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).
Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é
decrescente.
Funções pares e ímpares
1. Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do
domínio de f:
f(-x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
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2. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x
do domínio de f:
f(-x) = -f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do
sistema de eixos cartesiano.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.
Função seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a
cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A
função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0
y 0 ½
/4
/2 3 /4
1 ½
5 /4 3 /2 7 /4 2
0 -½
-1
-½
0
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do
segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais,
sendo assim Dom(sen)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em
R: -1<y<1}
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3. Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em
R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )
para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0
sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de período fundamental T=2 .
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da
tabela em cada intervalo de medida 2 .
4. Sinal:
Intervalo
[0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função seno positiva positiva negativa negativa
5. Monotonicidade:
Intervalo
[0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função seno crescente decrescente decrescente crescente
6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na
faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para
todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
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7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se
que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que
associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada
por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0
/4
y 1 ½
/2 3 /4
0 ½
5 /4 3 /2 7 /4 2
-1 -½
0
½
1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento
OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores
reais, assim Dom(cos)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y
em R: -1 < y < 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em
R e para todo k em Z:
cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )
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Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos,
temos
cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )
Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então
cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .
4. Sinal:
Intervalo
[0, /2]
[ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cosseno positiva negativa negativa positiva
5. Monotonicidade:
Intervalo
[0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente
6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa
do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x
real temos:
-1 < cos(x) < 1
7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se
que:
cos(-x) = cos(x)
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Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está
em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais
diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação
que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
sen(x)
f(x) = tan(x) =
cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2
3 /4 5 /4 3 /2 7 /4 2
y 0 1 não existe -1 0 1 não existe -1 0
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo
de /2 (ou de - /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois
a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se
tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando
mais distante do eixo OX.
Propriedades
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma
/2+k , onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k }
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos
números reais, assim I=R.
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