Módulo 2 • Unidade 6
Função
do 2° grau
Para início de conversa...
A função é um grande instrumento de modelagem de fenômenos físicos
e situações cotidianas como foi visto em unidades anteriores. Um tipo de função
muito usada é a função do 2° grau com a qual trabalharemos nesta unidade. O
gráfico desta função é uma parábola que pode ser vista em algumas situações
cotidianas e em alguns objetos.
Legenda: Em muitos movimentos da ginástica de solo, o centro de massa do atleta descreve uma trajetória parabólica.
Legenda: Em vários lances de uma partida de futebol, a trajetória do movimento da
bola é uma parábola.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
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Legenda: A antena parabólica possui um formato de um paraboloide de revolução, este obtido pela rotação de uma parábola
em torno de seu eixo.
Parábola
É o conjunto de pontos do plano cuja distância a um ponto fixo F (foco) é igual à distância à reta L (diretriz). Como mostra a figura a seguir
Na figura acima, temos que os pontos P1, P2 e P3 da parábola, por definição,
são tais que P1F = P1Q1, P2F = P2Q2 e P3F = P3Q3.
Objetivos de aprendizagem
ƒƒ Consolidar conhecimentos obtidos no Ensino Fundamental II, como resolver equações do 2° grau.
ƒƒ Conceituar função do 2° grau.
ƒƒ Determinar a lei de formação de uma função do 2° grau.
ƒƒ Determinar a imagem de elementos do domínio de uma função do 2° grau
ƒƒ Utilizar a função do 2° grau para resolver problemas relacionados à Física
ƒƒ Avaliar proposta de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
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Módulo 2 • Unidade 6
Seção 1
Modelando um problema
É importante para uma indústria, empresa, fábrica etc. saber modelar alguns problemas que lhes informem
sobre custo mínimo, receita máxima, lucro máximo, formato de objetos que devem ser produzidos, dentre outras
questões. Mostraremos um exemplo de uma situação-problema em que deveremos determinar uma função que
represente a área de algo a ser calculado.
Problema: Marlise possui uma fábrica que produz molduras
para várias lojas. Após uma análise, descobriu-se que para utilizar
o máximo das ripas de madeira, sem ter cortes desnecessários, era
melhor fazer quadros de formatos quadrados. Ela precisa dessas
ripas para fazer molduras para quadros de medidas iguais a:
10x10 cm, 15x15 cm, 20x20 cm, 25x25 cm, 30x30 cm e 35x35 cm.
Além disso, ela deseja que as molduras tenham 2 cm de largura,
ou seja, quer que as ripas de madeira tenham 2 cm de largura.
Quais devem ser os comprimentos destas ripas? Após alguns cálculos, Marlise chegou a seguinte conclusão: “As ripas
de madeira devem ter os seguintes comprimentos: 50 cm, 70 cm, 90 cm, 110 cm, 130 cm e 150 cm, respectivamente”.
Mas como Marlise chegou a esta conclusão? Ficou curioso? Resolveremos este problema mais tarde, antes
precisamos trabalhar alguns conceitos importantes.
Seção 2
Revendo equações do 2° grau
É importante lembrarmos como se determinam as raízes de uma equação do 2° grau, ou seja, uma equação
0 com a ≠ 0 . Está confuso com tantas letras? Vamos dar um exemplo, para você entender.
do tipo ax ² + bx + c =,
Geralmente, usamos a fórmula de determinação das raízes de uma equação do 2° grau, conhecida pelo nome de Fórmula
−b ± ∆
de Bhaskara: x =
, onde ∆= b ² − 4 ac .
2a
0
Exemplo 2.1: x ² − 8 x + 15 =
1, b =
−8 e c =
15 e ∆= 64 − 4 ⋅ 1⋅ 15= 4 , substituindo estes valores na Fórmula de Bhaskara, temos:
Como a =
=
x
8 ± 4 8 ± 2 , ou seja, as raízes são x = 5 e x = 3 .
1
2
=
2 ⋅1
2
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
69
Exemplo 2.2: x ² + 3 x + 1 =0
a 1,=
b 3 e=
c 1 e ∆= 64 − 4 ⋅ 1⋅ 15= 4 , substituindo estes valores na Fórmula de Bhaskara, temos:
Como=
=
x
−3 ± 5 −3 ± 5 , ou seja, as raízes são x = −3 + 5 e x = −3 − 5 .
=
1
2
2
2
2 ⋅1
2
No entanto, algumas equações do 2° grau são da forma incompleta, ou seja, com o coeficiente b = 0 ou o
coeficiente c = 0. Neste caso, podemos resolver estas equações sem utilizar a fórmula descrita anteriormente. Vejamos
alguns exemplos:
Exemplo 2.3: x ² + 3 x + 1 =0
Colocando em evidência, temos:
x ( x − 5) =
0
Repare que conseguimos reescrever o primeiro membro como produto de dois termos (o termo x está
multiplicando o termo x - 5 ). Como este produto é igual a zero, isto significa que o 1° termo é zero ou o 2° termo é
zero. Assim temos:
x = 0 ou x - 5 = 0.
Logo, as raízes são x1 = 0 e x 2 = 5 .
Observação: Devemos tomar muito cuidado ao resolver esta equação, pois não podemos dividir os dois membros por
x(“cortar o x nos dois termos”), o que resultaria na equação x - 5 = 0 e teríamos como raiz apenas x = 5. O erro está ao dividir os
dois lados por x, estamos assim dividindo por zero (já que zero é uma das soluções) o que não é possível.
0
Exemplo 2.4: x ² − 4 =
Notemos que neste caso o que queremos descobrir é um número x, em que seu quadrado menos quatro
unidades é igual a zero. Primeiro qual é o número x2 que subtraído de quatro unidades é igual a zero. Este número é
quatro, ou seja, x ² = 4 . Agora devemos encontrar o número x que elevado ao quadrado é igual a quatro. Temos duas
possibilidades para x, são elas: x1 = 2 e x 2 = −2 .
Isto que fizemos é o mesmo que “passarmos o 4 para o outro lado, trocando de sinal”: x ² = 4 e portanto x = ±2 ,
ou seja, chegamos às mesmas raízes x1 = 2 e x 2 = −2 .
Observação: nesta última passagem do exemplo 2 ( x ² = 4 e portanto x = ±2 ), é necessário tomarmos muito
cuidado, pois alguns pensam que devemos tirar raiz quadrada dos dois lados da igualdade e assim obter
4 = ±2 , vamos analisar estas igualdades. A primeira igualdade
x² = x e
x ² = x nem sempre será verdadeira (na Matemática,
dizemos que esta igualdade é falsa, pois não é verdadeira para TODOS os valores de x), para isto tomemos x = –8,
assim x² = 64 e portanto
x ² = 64 = 8 = −( −8) = − x , ou seja, acabamos de mostrar que a raiz quadrada do quadrado
de um número x nem sempre é igual a este número x, como neste caso, cujo resultado foi –x.
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Módulo 2 • Unidade 6
E a segunda igualdade:
4 = ±2 é falsa, pois a raiz quadrada de um número positivo, por definição, é sempre
um número não negativo. Portanto
4 = 2 . Aqui, vale a pena explicar uma grande dúvida dos alunos. Alguns teriam
a seguinte dúvida: “mas quando eu resolvo uma equação x² = 4 eu obtenho x = ±2 ”. A solução está correta, mas isto
ocorre não pelo fato de
4 = ±2 , mas pelo fato de termos de determinar um número x que elevado ao quadrado dá
4, como sabemos que um número (positivo ou negativo), elevado ao quadrado é sempre igual a um número positivo,
então podemos afirmar que os números
temos
( 4)
2
(
=4 e − 4
)
2
=
4 . Como
4 e − 4 fazem parte da solução da equação, pois substituindo em x
4 = 2 , a solução é x = 2 e x = -2. Resumindo, podemos resolver a equação
x² = 4 da seguinte maneira x = ± 4 , logo x = ±2 .
Vejamos mais alguns exemplos de equações em que não precisamos usar a Fórmula de Bhaskara:
Exemplo 2.5: ( x − 5)² = (2 x − 3)²
Uma pessoa que olhasse apressadamente para esta equação, desenvolveria a diferença de dois quadrados nos
dois lados da equação. Essa resolução está correta. No entanto, se olharmos para o problema com um pouco mais de
calma, poderemos fazê-lo de um jeito mais eficiente que resultaria em menos contas. Vamos ver como? Fazendo assim:
x ² − 10 x + 25 = 4 x ² − 12 x + 9
Depois iria reduzir os termos semelhantes:
3 x ² − 2 x − 16 =
0
E resolveria esta equação, usando a Fórmula de Bhaskara:
Como a =
3, b =
−2 e c =
−16 e ∆ = 4 − 4 ⋅ 3 ⋅ ( −16) = 196 ;então,
=
x
2 ± 196 2 ± 14 , isto é, as raízes são
8
=
x1 = e x 2 = −2
2⋅3
6
3
No entanto, não precisamos de fórmula para resolver esta equação, para isto devemos responder à seguinte
pergunta: “Qual é o número (x - 5 ) que elevado ao quadrado é igual ao quadrado do número (2x - 3) ?” Para responder
a esta pergunta, é importante entendermos quando dois números quadrados são iguais. Veja alguns exemplos:
(2)² = (–2)², pois tanto o quadrado de -2 quanto o quadrado de –2 são iguais a 4. E (2)² = (2)², pois é o mesmo número
que está elevado ao quadrado.
De maneira geral, os quadrados de dois números são iguais, quando estes dois números são iguais ou quando
estes números são simétricos.
Assim para resolver a equação ( x - 5)2 = ( 2x - 3)2 temos de contar com as duas possibilidades:
1ª possibilidade: os números serem iguais
x - 5 = 2x - 3
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
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Resolvendo, temos x = -2
2ª possibilidade: os números serem simétricos
x - 5 = -(2x - 3 )
Resolvendo, temos x =
8
3
Concluímos que as raízes desta equação são x1 =
8
e x 2 = −2 .
3
Observação: Alguém poderia tentar tirar a raiz quadrada dos dois lados da equação, mas já vimos que
x² = x
é falso. Fazendo desta forma (errada) encontraríamos x - 5 = 2x - 3, o que resulta em x = -2. Ou seja, encontraríamos
apenas 1 das raízes.
Exemplo 2.6: ( x - 3 )2 ( x - 5 ) = 0
Repare que se desenvolvermos o quadrado da diferença de dois termos e depois aplicarmos a distributiva, isto
resultaria em uma equação de 3° grau, sendo impossível resolver pela Fórmula de Bhaskara. Assim devemos resolver,
utilizando o mesmo raciocínio empregado no Exemplo 2.3, isto é, o produto de dois números é zero, quando um dos
fatores é igual a zero. Assim, temos duas possibilidades:
1ª possibilidade
(x - 3)2 = 0
O único número que elevado ao quadrado dá zero é o próprio zero. Ou seja:
x-3=0
E uma das raízes é x = 3
2ª possibilidade:
x-5=0
A outra raiz é x = 5.
Exemplo 2.7: ( 3x - 5 )2 = 36
Neste caso, não precisamos desenvolver o produto notável. Temos de entender que queremos calcular um
“número” que elevado ao quadrado dê 36. Temos duas possibilidades, esse “número” é 6 ou –6:
3x - 5 = 6
ou
3x - 5 = - 6
11
1
x= −
3
3
11
Logo, as raízes são: x =
e x = −1 .
3
3
Agora é sua vez! Tente resolver os exercícios a seguir.
x=
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Módulo 2 • Unidade 6
Atividade 1:
Resolva as equações:
a) (2 x − 4)² = (7 x + 17)² g) 4 x ² − 25 =
0
9
b) 2 x ² − 3 x =
0 h) ( 5 x + 2 ) =
2
0
c) ( x − 7)(3 x + 6)² =
0 i) x ² + 6 x + 9 =
0
d) x ² + 4 x + 1 =0 j) x ( x + 3)(2 x − 3)² =
e) ( 7 − 2 x )2 =
25 l) 3 x ² + 12 =
0
f ) x ² − 6 x + 10 =
0
0 m) ( x + 5)²(3 x − 4)² =
Seção 3
Fórmulas de função do 2° grau no cotidiano
No campeonato espanhol, 20 clubes enfrentam-se em turno e returno, ou seja, todos jogam contra todos
em dois turnos. Você sabe quantos jogos são realizados neste campeonato? Para respondermos a esta pergunta,
podemos pensar da seguinte maneira: sejam C1, C2, ..., C19 e C20
os clubes participantes, para cada par de letras temos 1 jogo. Por
exemplo, C1C2 representa o jogo entre estes dois clubes em que o C1
está jogando em casa e C2 é o desafiante. Já C2C1 significa que neste
jogo C1 é o visitante e C2 é o clube da casa. Assim, para determinar o
número de jogos, temos de decidir quem será o time da casa e quem
será o time desafiante. Para o time da casa, temos 20 escolhas possíveis,
escolhido o time da casa agora temos de escolher o time visitante, o que podemos fazer de 19 maneiras. Logo, o total
de jogos é igual a 20 x 19 = 380.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
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E se quisermos calcular o número de jogos y de um campeonato com x clubes em que todos se enfrentam
em dois turnos, de que forma podemos fazer isto? Usaremos o mesmo método utilizado no campeonato espanhol.
Para determinar o número de jogos, temos de decidir quem será o time da casa e quem será o time desafiante. Para
o time da casa, temos x escolhas possíveis. Escolhido o time da casa, agora temos de escolher o time visitante, o que
podemos fazer de (x – 1) maneiras. Logo, o total de jogos é y = x(x – 1). Ou seja, o número de jogos é obtido a partir da
lei da função do 2° grau y = x² – x.
De maneira geral, uma função do 2° grau é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. São duas coisas
diferentes, pois na seção 2 estamos tratando de equações do 2° grau, já nesta seção é função do 2° grau.
Suponha que um campeonato siga as regras dadas no exemplo anterior.
a.
Determine o número de jogos, se o campeonato for disputado por 12 times.
b. Determine quantos times estão disputando um determinado campeonato (diferente do item a), sabendo que 90 jogos foram realizados.
Seção 4
Movimento Uniformemente Variado (MUV)
A função do 2° grau é um modelo matemático que descreve o movimento uniformemente variado
(MUV). Neste tipo de movimento, a velocidade varia de forma regular, isto é, para intervalos de tempos iguais
temos variações de velocidades iguais. Sabemos que a aceleração é a variação da velocidade num determinado
∆v v − v 0 , neste movimento a aceleração é constante e, portanto quando o tempo
intervalo de tempo: =
a =
∆t t − t 0
inicial é igual a zero, ou seja, t0 = 0 temos: v = at + v0 (*) (função do 1° grau, já estudada). Note que (aceleração
constante) e (velocidade inicial é sempre dada, portanto é uma constante) são números reais. Como exemplo, temos:
v = 5t + 3 que significa que o móvel tem uma aceleração de 5 m/s² e uma velocidade inicial de 3 m/s.
74
Módulo 2 • Unidade 6
http://netvunq.wikispaces.com/file/
view/mru-mruv.swf/306222656/mru-mruv.swf
Modelo matemático
é a descrição matemática (frequentemente por meio de uma função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real,
como o tamanho de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, a concentração de um
produto em uma reação química, a expectativa de vida de uma pessoa ao nascer ou o custo de redução de previsões sobre seu
comportamento futuro.
Fonte: Stewart, J., Cálculo, volume 1. Ed.CENGAGE Learning, 2ª Ed. 2010.
Como podemos conseguir uma função que relaciona a posição s de um móvel em função do tempo t, usando
a função acima? Para isso, devemos lembrar que velocidade ( v ) é a variação da posição ( ∆s ) de um objeto num
∆s
determinado intervalo de tempo ( ∆t ), isto é, v =
. Pelo gráfico da velocidade em função do tempo, mostrado a
∆t
seguir, podemos calcular a variação da posição do móvel no MUV, onde ∆s é igual à área da região sob o gráfico da
velocidade e acima do eixo x.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
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Repare que a figura hachurada é um trapézio de base maior B = v , base menor b = v 0 e altura h = t. E como a
(B + b )h
(v + v )t
(v + v 0 )t
área A de um trapézio é dada pela fórmula A =
, temos ∆s =
, ou seja, s − s0 = 0 (**).
2
2
2
Substituindo (*) em (**), temos:
1
(at + v 0 + v 0 )t
, logo s= at ² + v 0 t + s0 . (***)
s − s0 =
2
2
Esta é uma função do 2° grau em que para cada instante t temos uma posição s, deve-se notar que a, v0, e s0 são
constantes, ou seja, são fornecidos no problema.
Uma aplicação importante desta fórmula é a queda livre dos corpos. Suponha que um objeto é solto, em
queda livre, a uma altura de 490 m do solo. Determine o tempo necessário para o objeto chegar ao solo, desprezando
a resistência do ar.
Para resolvermos este problema, primeiro devemos organizar as informações dadas: v0 = 0, pois o objeto é
solto, não tendo assim velocidade inicial; neste caso a aceleração é a da gravidade e, portanto a = -9,8 / s2 ; e s0 = 490 ,
pois o objeto está a 490 m de altura. Substituindo estes dados na função (***), temos:
1
( 9,8)t ² + 490 , como queremos determinar o tempo para que o objeto chegue ao solo então s = 0 e
s =−
2
substituindo, temos:
−4,9t ² + 490 =
0
Esta é uma equação do 2° grau incompleta, lembra como devemos resolvê-la?
−4,9t ² =
−490 , ou seja, t ² = 100
Logo, t = 10s , isto é, o objeto demora 10 s para atingir o solo.
76
Módulo 2 • Unidade 6
Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 40 m/s2, a
partir do solo. Suponha que a aceleração da gravidade seja de –10 m/s². Determine:
c.
a função s em função de t, usando a função do 2° grau que modela este fenômeno físico.
d.
a altura em que a bola se encontra 1 s após o lançamento.
e.
o(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75 m do solo.
f.
o instante em que a bola atinge a altura máxima.
g.
Dica: Para isso, é importante perceber que a bola atinge a altura máxima no instante em que a velocidade é nula, ou seja, . Use a fórmula .
h.
a altura máxima atingida pela bola.
i.
o instante em que a bola retorna ao solo. Faça um desenho, representando a
cada segundo a altura em que a bola encontra-se.
Voltando a seção 1
Na seção 1, tínhamos a seguinte situação: “Marlise precisa de ripas para fazer molduras para quadros de
medidas iguais a: 10x10 cm, 15x15 cm, 20x20 cm, 25x25 cm, 30x30 cm e 35x35 cm. Além disso, ela deseja que as
molduras tenham 2 cm de largura, ou seja, quer que as ripas de madeira tenham 2 cm de largura. Quais devem ser os
comprimentos destas ripas?
Para resolvermos este problema, primeiro devemos notar que as ripas devem ser cortadas em formas de
trapézio (de base maior A e base menor B), e depois para que aproveitemos o máximo da madeira, devemos fazer
cortes de 45° como mostrado na figura abaixo, donde x é a medida do tamanho da ripa e y a medida da largura.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
77
No nosso exemplo, as ripas têm 2 cm de largura, assim temos a seguinte figura:
Desta figura, temos:
(*)
Destacando um dos trapézios, temos:
A - B = 4 (**)
Resolvendo o sistema formado pelas equações (*) e (**), chegamos aos seguintes resultados:
A=
x − 10
x +6 e
B=
4
4
A moldura ficará com formato como mostrado na figura a seguir:
78
Módulo 2 • Unidade 6
Assim, o quadro de formato quadrado de lado B possui área igual a:
2
1 2 5
25
 x − 10 
(função do 2° grau)
S= 
x − x+
=
4
4
 4  16
Dessa forma, se for pedido à Marlise uma moldura para um quadro 10 cm x 10 cm, ela terá de substituir por 100
na função acima, pois é a área de um quadrado de lado 10. Substituindo, temos:
2
 x − 10 

 = 100
 4 
Lembra como resolvemos este tipo de equação? Queremos calcular um “número” que elevado ao quadrado dê
100. Que número é este? Os possíveis números são 10 e –10. Assim, temos:
x − 10
= 10 4
ou x − 10
= −10
4
x = 50
x = -30 (não serve)
Logo, a ripa deve ter 50 cm de comprimento. E aí, o que achou? Tente fazer o mesmo para quadros de tamanhos
15x15 cm, 20x20 cm, 25x25 cm, 30x30 cm e 35x35 cm.
Você sabia que os Antigos Babilônios já sabiam resolver equações do 2° grau há mais de 4 mil anos? É
verdade! Eles usavam um sistema sexagesimal e não o nosso sistema atual que é decimal. Eis um exemplo (no nosso sistema decimal) que data de 1800 a. C., aproximadamente, encontrado numa tábula de
Strasburgo: “Uma área A, que consiste na soma de dois quadrados, é 1000. O lado de um dos quadrados é
10 a menos que 2/3 do lado do outro quadrado. Quais os lados dos quadrados?” Fica este exercício como
desafio para você resolver.
Fonte: Eves, Howard. Introdução à história da matemática. Ed Unicamp.
Resumo
Função do 2° grau é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, em que a ≠ 0.
A forma tradicional de resolver uma equação do segundo grau, é usando a Fórmula de Bhaskara: , onde .
Muitas equações do segundo grau podem ser resolvidas sem recorrer a esta fórmula. Como, por exemplo, as
equações do segundo grau que têm c=0 ou b = 0.
Algumas funções do 2° grau modelam fenômenos físicos e situações do cotidiano, por exemplo, a função do 2°
grau fornece a posição de um móvel em cada instante , donde , e são constantes, ou seja, são fornecidos no problema.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
79
Veja ainda
Para saciar sua curiosidade, indicamos os seguintes sites:
http://www.somatematica.com.br
http://www.passeiospelamatematica.net/dia-a-dia/matdi.htm
Referências
ƒƒ Lima, E.L., Carvalho, P.C.P., Wagner, E., Morgado, A.C. A matemática do Ensino médio, vol.1, SBM.
ƒƒ Iezzi, G., Dolce, O., Degenszajn, D., Périgo, R., de Almeida, N. Matemática ciência e aplicações, vol.1, Ed
Saraiva.
ƒƒ Lozada, Cláudia de Oliveira; Araújo, Mauro Sérgio Teixeira de; Morrone Wagner; Amaral, Luiz Henrique, Universidade Cruzeiro do Sul ( UNICSUL), SP. A modelagem matemática aplicada ao ensino de Física no
Ensino Médio, Revista Logos, n° 14, 2006.
Imagens
• http://www.sxc.hu/photo/789420
• http://fisicamoderna.blog.uol.com.br/images/diego_hyp_corpo.jpg
• http://www.vestibulandoweb.com.br/fisica/teoria/fundamentos-cinematica-8.gif
• http://www.electrospace.com.br/vitrine/Antenas/slides/Antenas%20Parabolicas%2001.jpg
• http://www.pensevestibular.com.br/wp-content/uploads/2010/11/parabola1.png
• Acesso em 06 de maio de 2012: http://www.viladoartesao.com.br/blog/wp-content/uploads/2011/02/cor
te_ripas.jpg
• http://www.sxc.hu/photo/1092950
• http://www.sxc.hu/photo/1295183
80
Módulo 2 • Unidade 6
• http://www.sxc.hu/photo/517386 • David Hartman.
• http://www.sxc.hu/985516_96035528.
• http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=1024076 • Michal Zacharzewski.
Atividades 1:
21
13
5
5
e x = − g.
x= e x= −
5
9
2
2
3
1
b. x = 0 e x = h.
x = e x = -1
2
5
a.
x= −
c.
x = 7 e x = -2
i.
x = 3 (raiz dupla)
d.
x =−2 + 3 e x =−2 − 3 j.
x = 0, x =
e.
x = 1 e x = 6
l.
Não existe raiz real
f.
Não existe raiz real
m. x = -5 e x =
3
e x = -3
2
4
3
Atividade 2:
a.
132 jogos
b. 10 times
Atividade 3:
a) s =
−5t ² + 40t . Como a bola é lançada a partir do solo, utilizamos esta posição
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
81
inicial como sendo zero, ou seja, .
b. 35 m
82
c.
Em 3 s e 5 s
d.
Após 4 s
e.
A altura máxima é de 80 m.
f.
Após 8 s
Módulo 2 • Unidade 6
O que perguntam por aí?
1(ENEM - 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais
por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o
valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do
álcool, então a expressão que relaciona V e x é:
A) V = 10.000 + 50x – x2
B) V = 10.000 + 50x + x2
C) V = 15.000 – 50x – x2
D) V = 15.000 + 50x – x2
E) V = 15.000 – 50x + x2
Solução: Primeiro notemos a tabela a seguir:
Quantidade de álcool (em litros)
Preço por litro (em reais)
10000
10000 + 1·100
10000 + 2·100
......
10000 + x·100
1,50
1,50 – 1·0,01
1,50 – 2·0,01
......
1,50 – x·0,01
Assim, temos:
Valor arrecadado/dia = (quantidade de álcool/dia)·(preço do litro de álcool)
V = (10000 + 100x)·(1,5 – 0,001x)
Logo, a resposta é V = 15.000 + 50x – x2, ou seja, a alternativa D.
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Caia na rede!
Vídeo: Fórmula de Bhaskara
No link http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=33060, você vai encontrar um vídeo que
mostrará um passeio histórico em torno de equações quadráticas, visitando hindus, mesopotâmios, gregos, árabes e
europeus, mostrando diferentes métodos de resolução até a famosa Fórmula de Bhaskara. Vale a pena verificar!
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Megamente
O link http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1242 vai mostrar a você algumas atividades muito interessantes,
relacionadas a um processo de otimização em que são usados polinômios do 2º grau. Nesta atividade, o problema em
tela é a determinação da janela com topo triangular que tem maior área, considerando um perímetro fixo. O uso de
gráficos dinâmicos e de um pouco de modelagem completam este interessante problema. Visite-o!
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