CIC DAMAS
DISCIPLINA – MATEMÁTICA
PROFESSOR – GILMAR SANTOS
FUNÇÃO EXPONENCIAL
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Uerj 2001) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava
em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções:
A(t) = 2.10¦(1,6)
B(t) = 4.10¦(0,4)
Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000.
1. Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1 de janeiro de 2000.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp 2005) Pesquisadores da Fundação Osvaldo Cruz desenvolveram um sensor a laser capaz de detectar bactérias no ar em até
5 horas, ou seja, 14 vezes mais rápido do que o método tradicional. O equipamento, que aponta a presença de microorganismos por
meio de uma ficha ótica, pode se tornar um grande aliado no combate às infecções hospitalares.
(Adaptado de Karine Rodrigues. http:www.estadão.com.br/ciência/notícias/2004/julho/15)
2. Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei
na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias,
ao fim de 8 horas o número delas era
a) 3 600
b) 3 200
c) 3 000
d) 2 700
e) 1 800
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Cesgranrio 2002)
A pressão atmosférica p varia com a altitude h segundo a lei h = a + b log p, onde a e b são constantes.
3. Assinale o gráfico que melhor representa p em função de h.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.
4. Considerando-se as funções reais f(x)=log‚(x-1) e g(x)=2Ñ, é verdade:
(01) Para todo x real, x pertence ao domínio da função f ou à imagem da função g.
(02)Os gráficos das funções f e g interceptam-se no ponto (1, 0).
(04) O domínio de fog é R*ø
(08) O valor de f(33) . g(-3) é igual a 5/8.
(16) A função inversa da função f é h(x)=2Ñ+1.
Soma (
)
5. (Ufpr 2004) Uma empresa de autopeças vem sofrendo sucessivas quedas em suas vendas a partir de julho de 2002. Naquele mês,
ela vendeu 100.000 peças e, desde então, a cada mês tem vendido 2.000 peças a menos. Para reverter essa tendência, o departamento
de marketing da empresa resolveu lançar uma campanha cuja meta é aumentar o volume de vendas à razão de 10% ao mês nos
próximos seis meses, a partir de janeiro de 2004. A respeito das vendas dessa empresa, é correto afirmar:
(01) Neste mês de dezembro, se for confirmada a tendência de queda, serão vendidas 66.000 peças.
(02) O total de peças vendidas nos últimos 12 meses, até novembro de 2003, inclusive, é de 900.000 peças.
(04) Se a meta da campanha for atingida, os números de peças vendidas mês a mês, a partir do seu lançamento, formarão uma
progressão geométrica de razão 10.
(08) Se a meta da campanha for atingida, o número de peças a serem vendidas no mês de março de 2004 será superior a 80.000.
(16) Se a campanha não for lançada e as vendas continuarem na mesma tendência de queda, daqui a 24 meses a empresa não estará
mais vendendo peça alguma.
Soma (
)
6. (Unirio 2000) Seja f: IR ë IR
x ë y = 3 Ñ¥
Sabendo-se que f(g(x)) = x£/81, obtenha:
a) um esboço do gráfico de f;
b) a lei da função g.
7. (Mackenzie 97) A melhor representação gráfica da função real definida por y = (2£Ñ - 4 . 2Ñ + 3)/(2Ñ - 1), x · 0, é:
8. (Mackenzie 97) Analisando os gráficos das funções de IR em IR definidas por g (x) = -x£ + x e f (x) = 2Ñ, considere as afirmações
a seguir.
I) f (x) > g (x), ¯ x Æ IR.
II) Não existe x Æ IR | f (x) = g (x).
III) f (x) e g (x) são inversíveis.
Então:
a) somente a (I) é verdadeira.
b) somente a (II) é verdadeira.
c) somente (I) e (II) são verdadeiras.
d) somente (I) e (III) são verdadeiras.
e) somente (II) e (III) são verdadeiras.
9. (Unicamp 99) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano
anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se:
a) a expressão para p (t);
b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que
5% do valor inicial. Se necessário, use: log 2 ¸ 0,301 e log 3¸0,477.
10. (Enem 98) A seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como
calculá-lo, em função do consumo de água (em m¤) e de eletricidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual
ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.
Companhia de Eletricidade
Fornecimento:
401 kWh x 0,13276000 - Valor = R$ 53,23
Companhia de Saneamento
TARIFAS DE ÁGUA / m¤
Faixas de consumo / Tarifa / Consumo / Valor
até 10 / 5,50 / tarifa mínima / R$ 5,50
11 a 20 / 0,85 / 7 / R$ 5,95
21 a 30 / 2,13
31 a 50 / 2,13
acima de 50 / 2, 36
Total
R$ 11,45
Dos gráficos a seguir, o que melhor representa o valor da conta de água. de acordo com o consumo, é:
11. (Uel 99) Considere a função de IR em IR dada por f(x)=5Ñ+3. Seu conjunto-imagem é
a) ]-¶; 3[
b) ]-¶; 5[
c) [3; 5]
d) ]3; +¶[
e) ]5; +¶[
12. (Uece 99) Seja f:IRëIR a função tal que f(1)=4 e f(x+1)=4.f(x) para todo x real. Nestas condições, f(10) é igual a :
a) 2¢¡
b) 4¢¡
c) 2¢¡
d) 4¢¡
13. (Unicamp 2000) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t)=a.2ö , onde a
variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a
metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
c) Esboce o gráfico da função F(t) para tÆ[0,40].
14. (Ita 2000) Seja S=[-2, 2] e considere as afirmações:
I. 1/4 ´ (1/2)Ñ < 6, para todo x Æ S.
II. 1/Ë(32-2Ñ) < 1/Ë(32), para todo x Æ S.
III. 2£Ñ - 2Ñ ´ 0, para todo x Æ S.
Então, podemos dizer que
a) apenas I é verdadeira.
b) apenas III é verdadeira.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) apenas II é falsa.
e) todas as afirmações são falsas.
15. (Unirio 2000) O conjunto-solução da inequação x£Ñ µ xÑ®¤, onde x>0 e x·1, é:
a) ]0,1[ » [3,+¶[
b) {x Æ IR | 0 < x < 1}
c) [ 3, +¶[
d) IR
e) ¹
16. (Unb 2000) O gráfico a seguir ilustra o número de assinantes residenciais da Internet no Brasil, em milhares, nos últimos cinco
anos.
A partir desses dados, é importante obter um modelo matemático capaz de estimar o número de assinantes residenciais da Internet do
Brasil em datas diferentes das fornecidas. Para isso, aproxima-se o número anual de assinantes, em milhares, por uma função
exponencial do tipo mostrado abaixo do gráfico em que t é o ano, e=2,718... é a base do sistema neperiano de logaritmos, A e k são
constantes a serem determinadas.
Considerando que F(1998)=1.600 e F(1999)=2.000, calcule, em centenas de milhares, a estimativa do número de assinantes no ano
de 2003, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
17. (Ufsm 2001) Considerando f(x) = aÑ a função exponencial de base a e g(x) = logx a função logarítmica de base a, numere a 1•
coluna de acordo com a 2•.
(
) Domínio de f
(
) Imagem de g
(
) f(0)
(
) g(1)
1. Domínio de f
2. Domínio de g
3. 0
4. a
5. Imagem de g
6. Imagem de f
7. IR -{a}
8. g(a)
A seqüência correta é
a) 2 - 5 - 8 - 3.
b) 2 - 1 - 4 - 3.
c) 5 - 7 - 8 - 4.
d) 5 - 1 - 8 - 3.
e) 7 - 1 - 6 - 4.
18. (Ufsm 2001) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1.000 traíras na represa e, por um
descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis
L(t)=L³10 T(t)=T³2 , onde L³ é a população inicial de lambaris, T³, a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta
a partir do ano inicial.
Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos?
a) 30
b) 18
c) 12
d) 6
e) 3
19. (Unirio 2002) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa
poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados.
Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se
encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y=2Ñ-1, ao custo de controle da poluição
y=6(1/2)Ñ. Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente:
Considere
log 2 = 0,3
log 3 = 0,4
a) 1333
b) 2333
c) 3333
d) 4333
e) 5333
20. (Unirio 2002) Numa população de bactérias, há P(t) = 10ª . 4¤ bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora).
Sabendo-se que inicialmente existem 10ª bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial?
a) 20
b) 12
c) 30
d) 15
e) 10
21. (Unicamp 2003) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:
onde T(t)é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TÛ é a temperatura ambiente, suposta constante,
e ‘ e ’ são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18°C. Um termômetro no corpo
indicou que ele atingiu 0°C após 90 minutos e chegou a -16°C após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes ‘ e ’.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (2/3)°C superior à temperatura ambiente.
22. (Ufg 2003) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais
impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se
que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em
milhares) é aproximadamente
De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar que
(
) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.
(
) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.
(
) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.
(
) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.
23. (Mackenzie 2003) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as
alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse número é:
a) 18.000
b) 20.000
c) 32.000
d) 14.000
e) 40.000
24. (Mackenzie 2003)
Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = aÑ. O valor de g(g (-1))+f(g (3)) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 3/2
e) 5/2
25. (Pucmg 2003) Os pontos A = (1, 6) e B = (2,18) pertencem ao gráfico da função y = naÑ. Então, o valor de a¾ é:
a) 6
b) 9
c) 12
d) 16
26. (Fuvest 2004) Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função a seguir é:
27. (Pucsp 2004) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem
crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996?
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
a) 1998
b) 1999
c) 2000
d) 2001
e) 2002
28. (Pucmg 2004) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t
horas é dado pela função
Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de:
a) 1 dia e 3 horas.
b) 1 dia e 9 horas.
c) 1 dia e 14 horas.
d) 1 dia e 19 horas.
29. (Unicamp 2004) A função L(x) = aeöÑ fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que
um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.
30. (Unesp 2004) Considere função dada por f(x)= 3£Ñ®¢ + m 3Ñ + 1.
a) Quando m = - 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0.
b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + 1 não tem solução real x.
31. (Unifesp 2004) Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada minuto, a metade da
distância que o separa do ponto B, conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a distância entre A e B.
Deste modo, ao final do primeiro minuto (1Ž período) ele deverá se encontrar no ponto A•; ao final do segundo minuto (2Ž período),
no ponto A‚; ao final do terceiro minuto (3Ž período), no ponto Aƒ, e, assim, sucessivamente.
Suponhamos que a velocidade se reduza linearmente em cada período considerado.
a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua distância ao ponto B
é inferior a 1 metro.
b) Construa o gráfico da função definida por "f(t) = distância percorrida pelo objeto em t minutos", a partir do instante t = 0.
32. (Cesgranrio 2004) Explosão de Bits
A velocidade dos computadores cresce de forma exponencial e, por isso, dentro de alguns anos teremos uma evolução
aceleradíssima. Para o inventor Ray Kurzweil, um computador de mil dólares tem hoje a mesma inteligência de um inseto. No futuro,
ele se igualará à capacidade de um rato, de um homem e, finalmente, de toda a humanidade.
Revista Superinteressante, ago. 2003 (adaptado).
Considerando as informações apresentadas no gráfico acima, que estima a capacidade de processamento (por segundo) de um
computador (C) em função do ano (a), de acordo com os dados do texto, pode-se afirmar que:
a) C = log•³ (10a + 8)
b) C = log•³ [(a - 1984)/2]
c) a = 1992 + log•³C
d) a = [(log•³C)/10] - 8
e) a = 1984 + log•³(C)£
33. (Uerj 2004) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é
T³ obedece à seguinte relação:
Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no
ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa
sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala.
b) Considerando Øn 2 = 0,7 e Øn 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a
temperatura do café se reduziu à metade.
34. (Uff 2004) A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente há cinqüenta anos (em 1953).
Adaptado da Revista Veja, 09 de julho de 2003.
Newsweek, 26 de maio de 2003.
Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do ano anterior) com que essa população
decresceu durante esse período, conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978),
ficou reduzida a aproximadamente:
a) 10% da população existente em 1953
b) 20% da população existente em 1953
c) 30% da população existente em 1953
d) 45% da população existente em 1953
e) 65% da população existente em 1953
35. (Ufrn 2004) No programa de rádio HORA NACIONAL, o locutor informa:
"Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do País alertando para a chegada de um furacão
de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando
todas as providências cabíveis".
Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas
t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão
sendo t µ 0 e P a população do País.
a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação.
b) Calcule em quantas horas 90% da população tem acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população
do país já conhecia a informação.
36. (Ufrs 2004) Analisando os gráficos das funções reais de variável real definidas por f(x) = (3/2)Ñ¢ e g(x) = x, representadas no
mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo
a) [0, 3].
b) (1/2, 4].
c) [1, 5).
d) (3/2, 6].
e) (2, 6).
37. (Fgv 2005) Os gráficos das funções exponenciais g e h são simétricos em relação à reta y = 0, como mostra a figura:
Sendo g(x) = a + b . cÑ e h(x) = d + e . fÑ, a soma a + b + c + d + e + f é igual a
a) 0.
b) 7/3.
c) 10/3.
d) 8.
e) 9.
38. (Fgv 2005) A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita pela lei
onde t é o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei 2 .
Os objetos A e B se encontrarão num certo instante tÛ½.
O valor de tÛ½, em segundos, é um divisor de
a) 28.
b) 26.
c) 24.
d) 22.
e) 20.
39. (Uel 2005) Seja f(n) uma função definida para todo n inteiro tal que
ýf(2) = 2
þ
ÿf(p+q) = f(p) . f(q)
onde p e q são inteiros. O valor de f(0) é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) Ë2
e) 2
40. (Uel 2005) O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) = ‘4Ñ onde t µ 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a
população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da
colônia será:
a) 6‘
b) 8‘
c) 9‘
d) 8‘ - 4
e) ‘ + 8