O PROBLEMA DO MOVIMENTO
O problema do movimento pode se resumir na determinação da velocidade e da direção de um objeto móvel,
num determinado instante.
Você já está acostumado a determinar a velocidade média de um objeto em movimento. Por exemplo, se
numa viagem você dirigir 120 km em 2h, então, dividindo 120 km por 2h, conclui-se que você dirigiu, em
média, 60 km em 1h, ou seja, 60 km/h.
Agora, tal fato não quer dizer, por exemplo, que após 1 hora de viagem você tenha percorrido exatamente 60
km. Você pode ter parado para tomar um café ou pode ter viajado a 65 km/h.
Na tentativa de resolver matematicamente este problema, vamos supor que podemos descrever o
deslocamento de um objeto como uma função do tempo. Isto é, para cada valor do tempo t podemos associar
um número x que representa a posição do objeto nesse instante.
Considere então,
x t   t  1
uma função que descreve o movimento de um objeto, que se move ao longo de uma reta, em função do
tempo t.
Assim, se t for medido em segundos (s) e x em metros (m), temos que:
 depois de 2 segundos, o objeto estará a 3 metros  x  2   2  1  3 ao longo da linha de movimento;
 4 segundos mais tarde, isto é, quando t = 6 segundos, o objeto estará a 7 metros ao longo da linha de
movimento  x  6   6  1  7  .
Da Física, sabemos que a velocidade média, vm , de um objeto em movimento é a razão (ou taxa) entre o
deslocamento do objeto e o tempo durante o qual esse deslocamento ocorre. Ou seja,
vm 
deslocamento
tempo gasto
Profa. Lena Bizelli
No exemplo dado, no intervalo de tempo que vai de 2s a 6s, temos então que:
vm 
deslocamento 7  3 4

  1 m/s
tempo gasto 6  2 4
Sabemos que, quando queremos indicar uma variação entre dois valores de uma grandeza utilizamos a
letra grega  (delta).
Assim,
t (le-se: delta t) representa a variação do tempo
x ( le-se: delta x) representa a variação da posição
Observe que a variação da posição nada mais é do que a diferença entre a posição do objeto calculada no
tempo final e a posição do objeto calculada no tempo inicial (deslocamento1), no intervalo de tempo
considerado. Dessa forma, utilizando esta notação, escrevemos:
vm 
x
t
ou
vm 
x  t  t   x  t 
t
Você deve ter observado que, em um gráfico de
x versus t, a velocidade média é
numericamente igual ao coeficiente angular da
reta secante que passa por dois pontos sobre a
curva x(t): um dos pontos é o correspondente a
 x1 , t1  e o outro o correspondente a  x2 , t2  .
Dizemos que a velocidade média é
numericamente igual ao coeficiente angular da
reta secante, pois a velocidade tem dimensão
(m/s, km/h, etc.) enquanto que o coeficiente
angular é um número adimensional.
1
Mudança de uma posição x1 para uma posição x2
Profa. Lena Bizelli
Vamos agora considerar outra situação. A figura abaixo mostra a função posição x  t  de um ciclista em
movimento (tratado aqui como uma partícula em movimento).
O ciclista é percebido em t = 0 quando ele está na posição x = -15 m (isso significa que ele está a 15 m da
origem, no sentido negativo). Ele se move no sentido de x = 0 (passa por esse ponto em t = 2 s) e então
continua a se deslocar para valores maiores e positivos de x.
A figura (b) mostra o movimento real do ciclista em linha reta, que é a trajetória que você veria. Contudo,
nessa representação pouca ou nenhuma informação você poderia obter acerca do movimento do ciclista.
Já o gráfico da figura (a), apesar de ser muito diferente daquilo que você veria na realidade, é muito mais
rico em informações (através dele podemos saber, por exemplo, quão rápido o ciclista está se
movimentando).
Para determinar a velocidade média para o ciclista,
no intervalo de tempo de t = 0 s a t = 6 s, traçamos
no diagrama de posição versus tempo a reta secante
que passa pelos pontos correspondentes ao início e
ao final do intervalo de tempo considerado e, em
x
dessa
seguida, calculamos o coeficiente angular
t
reta.
Assim, a velocidade média é
vm 
x 40

 6,7 m/s
6
t
Profa. Lena Bizelli
Agora, se quisermos saber quão rapidamente o ciclista está se movendo em um dado instante, devemos
calcular sua velocidade instantânea (ou simplesmente sua velocidade) v.
Para determinar a velocidade v do ciclista no instante t = 2 s, por exemplo, traçamos uma reta tangente à
curva posição-tempo x(t) no ponto P, correspondente a esse instante, e, em seguida, calculamos o coeficiente
angular dessa reta tangente (escolhendo dois pontos quaisquer sobre ela).
Assim, a velocidade do ciclista no instante t = 2 s é:
v
x 15
  15 m/s
t 1
que nada mais é do que a derivada2 de x em relação a t quando t = 2 s. Ou seja, v 
dx
 15 m/s .
dt
A velocidade é a taxa na qual a posição x de um objeto está variando com o tempo
num dado instante. A velocidade é uma grandeza vetorial e, portanto, possui direção
e sentido (não se esqueça que o sentido é indicado através de um sinal algébrico).
A velocidade escalar é o módulo da velocidade, ou seja, ela é desprovida de
qualquer indicação de direção e sentido. Lembrando: o velocímetro de um carro
mede a velocidade escalar e não a velocidade (ele não pode identificar a direção e o
sentido).
As idéias trabalhadas aqui, podem se estender para o cálculo de taxa de variação média e taxa de variação
instantânea relacionadas a quaisquer outras grandezas (pressão, volume, concentração, temperatura, etc.).
Agora tente resolver os exercícios dados a seguir, para verificar se você compreendeu as idéias apresentadas
até aqui.
2
Derivada = Coeficiente angular da reta tangente a uma curva num determinado ponto desta.
Profa. Lena Bizelli
Exercícios
1) Considere A   r 2 a área de um círculo de raio r (dado em cm). (a) Faça um esboço do gráfico de A em
função de r. (b) Determine a equação que define a taxa de variação da área em relação ao raio. (c) Calcule a
taxa de variação da área em relação ao raio para r = 2 cm e r = 5 cm e explique por que a taxa é maior
quando r = 5 cm. Justifique sua resposta.
2) Um caminhão pega a pista de saída de uma rodovia no instante t = 0. Sua posição depois de t segundos é
dada pela equação s  t   84t  t 3 pés, para 0  t  5. (a) Faça um esboço do gráfico que representa a posição
do caminhão em função do tempo. (b) Determine a equação que define a velocidade do caminhão como
função do tempo. (c) Qual é a velocidade do caminhão no instante em que ele pega a pista de saída da
rodovia? (d) Faça um esboço do gráfico que representa a velocidade do caminhão em função do tempo. (e) O
caminhão está aumentando ou diminuindo sua velocidade? Justifique sua resposta.
3) Um projétil é disparado verticalmente para cima a partir de uma altura inicial s0  0 . Sabendo que a altura
1 2
gt , onde g  9,8 m/s 2 , qual é q velocidade inicial
2
necessária para que o projétil atinja uma altura máxima de 2 km?
do projeto é dada através da equação s  t   v0t 
4) Dado que y  f  x  , dê uma estimativa para f  26  , sabendo que f  25   43 e f ´ 25   0,75 . Justifique
sua resposta.
5) A figura abaixo mostra o comportamento da voltagem através de um capacitor como uma função do
tempo, enquanto o capacitor está sendo carregado. Faça uma estimativa para a taxa de variação da voltagem
em t = 20 s. A voltagem varia mais rapidamente ou mais devagar à medida que o tempo passa? Explique em
termos de retas tangentes.
Algumas Respostas
1) (b)  12,57 cm 2 /cm (para r  2) e  31, 42 cm 2 /cm (para r  5)
(c) A área do círculo cresce mais rapidamente em relação ao raio, quando r = 5 cm.
2) (b) v  t   84  3t 2
(c) v  0   84 pés/s
(e) Está diminuindo a velocidade
3) v0  198 m/s
4) 43,75
5)  0,05 V/s
Profa. Lena Bizelli