Professor Luiz Geraldo Silveira
Matemática
Tópico:
Trigonometria
Professor Luiz Geraldo Silveira
Trigonometria no Triângulo Retângulo
a


c
.
b
sen  = c/ a
sen  = b/ a
cos  = b/ a
cos  = c/ a
tg  = c/ b
tg  = b/c
a2 = b2 + c2
eno
S
Sen x = cat. Oposto
O posto
hip
H ipotenusa
CosCxosseno
= cat. Adjacente
A djacentehip
Tg
x = cat. Oposto
H ipotenusa
T angente
cat. Adjacente
O posto
A djacente
Professor Luiz Geraldo Silveira
Arcos notáveis:
sen
cos
tg
30º
45º
0
1 1 2

=0
2
2
2 2
60º
3
2
1
3
2
2
2
0
3
3
1
90º
4
=1
2
1
2
3
0
E
0º
Professor Luiz Geraldo Silveira
Ciclo Trigonométrico
1
-1
2°Q 1°Q
+ 1
-
3°Q
4°Q
-1
/2 rad
90°
180°
0°
 rad
0 rad
360°
270°
2 rad
3/2 rad
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Expressão Geral de arcos
30°=390°=750°=...
 = 0 + 360°.k
Mas como: 180° = 
sen 1290º = ?
1290 360
-1080
3
210
 = 0 + 2.k.
sen 1230º = sen 210º
= - sen 30º
= - 1/2
Professor Luiz Geraldo Silveira
Função Seno
ângulo
0°
90°
180°
sen x
0
1
0
FUNÇÃO ÍMPAR:
f(x)= - f( - x)
270°
360°
-1
0
sen 30º = - sen( -
30º)
D( f ) = 
Im( f ) = [ -1; 1 ]
Período:
2 rad ou 360º
Professor Luiz Geraldo Silveira
Seno
+
+
–
–
Variação
-1 ≤ sen x ≤ 1
ângulo
0°
90°
180°
sen x
0
1
0
270°
360°
-1
0
Professor Luiz Geraldo Silveira
Função Cosseno
ângulo
0°
90°
180°
270°
360°
D( f ) = 
cos x
1
0
-1
0
1
Im( f ) = [ -1; 1 ]
FUNÇÃO PAR:
f(x) = f( - x)
Período:
cos 30º = cos( -
30º)
2 rad ou 360º
Professor Luiz Geraldo Silveira
Cosseno
–
+
–
+
Variação
-1 ≤ cos x ≤ 1
ângulo
0°
90°
180°
270°
360°
cos x
1
0
-1
0
1
Professor Luiz Geraldo Silveira
Função Tangente
ângulo
0°
90°
180°
tg x
0

0
FUNÇÃO ÍMPAR:
f(x)= - f( - x)
270°

360°
0
D( f ) =
{x /x/2 + k}
ou
{x /x90º + 180ºk}
Im( f ) = 
tg 30º = - tg( -
30º)
Período:
 rad ou 180º
Professor Luiz Geraldo Silveira
Tangente
ângulo
0°
90°
180°
tg x
0

0
–
+
+
–
270°

360°
0
Professor Luiz Geraldo Silveira
Dica do Sinal
S
+
T
C
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Função Co-tangente
A cotangente é o
inverso da tangente !!!
Professor Luiz Geraldo Silveira
Função Secante
t
Função Co-secante
t
C
a
a
O
O
A secante é o inverso
do cosseno !!!
PORTANTO:
A cossecante é o
inverso do seno !!!
Não faça “CO – CO” !!!
Professor Luiz Geraldo Silveira
Variações de D(f) e Im(f) e Período:
g(x) = a  b. f(cx  d)
O ID Funciona na PIA
A imagem é diretamente
proporcional ao coeficiente da
função
a e b altera
imagem
O período é inversamente
proporcional ao coeficiente do
ângulo
c e d altera o
domínio
g(x) = 1+ 2sen(3x + )
Ex:
c altera
inversamente o
período
g(x) = 1+ 2tg(3x + )
P(g) = 2/3
P(g) = /3
Im(g) = [-1;3]
Im(g) = 
D(g) = 
D(g) = 3x +   /2 + k 
Professor Luiz Geraldo Silveira
Redução ao 1° Quadrante
Redução de um valor x:
Quadrante
do ângulo x
Como
reduzir
2°
180° - x
3°
X - 180°
4°
360° - x
F
P
F
Professor Luiz Geraldo Silveira
Redução ao 1° Quadrante
Redução de uma expressão (   x ):
x
 Sobre ox
 Mantêm-se
a função
 Troca-se
a expressão por x
ATENÇÃO
 Sobre oy
 Troca-se a função,
pela co-função
 Troca-se
a expressão por x
Qualquer que seja o método,
deve-se observar o sinal do
ângulo ou da expressão
ORIGINAL!!!
Exemplo:
sen 330° = - sen 30°
cos ( 180° - x ) = - cos x
sen ( 90° + x ) = cos x
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Relações Trigonométricas
1
cos x
sen2 x + cos2 x = 1
sen x
Professor Luiz Geraldo Silveira
Relações Trigonométricas
Sec x
tg x
1
sen2 x + cos2 x = 1
1 + tg2 x = sec2 x
Professor Luiz Geraldo Silveira
Relações Trigonométricas
cotg x
1
sen2 x + cos2 x = 1
1 + tg2 x = sec2 x
1 + cotg2 x = cossec2 x
cossec x
Professor Luiz Geraldo Silveira
Relações Trigonométricas
sec x =
sen2
x+
cos2
x=1
1
cos x
cossec x =
tg x =
sen x
cos x
1
sen x
cotg x =
1 + tg2 x = sec2 x
cotg x =
1 + cotg2 x = cossec2 x
1
tg x
cos x
sen x
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Arco soma e arco diferença
Sen(a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
Arco duplo
Sen(a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
Para calcular
Cos(a + b) = cos a.cos b - sen a.sen b
Cos(a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
Tg(a + b) = tg a + tg b
1 – tg a.tg b
sen 2x, cos 2x ou tg 2x,
basta fazer:
2x = x + x
Sen 2x = 2.senx. cos x
Cos 2x = cos2 x – sen2 x
Tg 2x =
Tg(a - b) = tg a - tg b
1 + tg a.tg b
2 tg x
1 - tg2 x
Professor Luiz Geraldo Silveira
A
b
c
r
Lei dos Cossenos
B
C
a
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
Lei dos Senos
a
=
b =
sen A sen B
c
= 2r
sen C
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
Professor Luiz Geraldo Silveira
Lei das Áreas
A
c
B
b
h
a
A = a.b.senC
2
r
C
A = b.c.senA
2
Sen C = h / b
h = b.sen C
A = a.c.senB
2
Professor Luiz Geraldo Silveira
Equações Trigonométricas
Cos 3x = - 1/2
sen x = ½
3x = 150º
ou
3x = 210º
X = 50º
ou
x = 70º
x = 30º ou /6 + 2k
x = 150º ou 5/6 + 2k
150º + 360º = 510º
ou 210º + 360º = 570º
Se 3x = 510º
ou
3x = 570º
x = 170º
ou
x = 190º
150º + 720º = 870º
ou 210º + 720º = 930º
Se 3x = 870º
ou
3x = 930º
x = 290º
ou
x = 310º
Professor Luiz Geraldo Silveira
“Um abraço pro’ s homens;
e um beijo pra’ s mulheres!!!!”