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ENEM EM FASCÍCULOS - 2012
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Fascículo
CARO ALUNO,
A necessidade de compreender o comportamento de fenômenos, descrever regularidades, estabelecer relações de interdependência, qualificar,
quantificar e generalizar conduziu, gradualmente, a humanidade ao moderno conceito de função. Tal conceito é uma forma mais precisa e
de maior utilidade do que a noção comum de “fórmula matemática”.
Neste fascículo, abordaremos algumas das principais funções matemáticas: função quadrática, funções exponenciais, funções logarítmicas
e as trigonométricas.
Bom estudo para você!
O valor de ∆ = b2 – 4ac determina, portanto, o número
de raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse motivo,
é chamado discriminante da equação.
INTRODUÇÃO
Olá, querido estudante,
Interpretação do discriminante
As aplicações da função quadrática abrangem situações
do meio social, relações de mercado e capital, engenharia,
economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia,
problemas de otimização etc.
1º caso: se ∆ > 0, então haverá duas raízes reais diferentes.
2º caso: se ∆ = 0, então as duas raízes serão reais e iguais.
3º caso: se ∆ < 0, então não haverá raízes reais.
Resumo gráfico
OBJETO DO CONHECIMENTO
Função Quadrática
Com a > 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui
concavidade voltada “para cima”).
y
∆<0
Toda função f: R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c,
em que a, b e c são números reais e a ≠ 0, recebe o nome de
função quadrática.
Pode-se interpretar a função quadrática como sendo
uma transformação do número real x no número real ax2 + bx + c.
Em símbolos:
x ax 2 + bx + c
As raízes de uma função são os valores que a variável
x pode assumir de modo que f(x) = 0. Geometricamente,
as raízes de uma função representam as abscissas das
coordenadas dos pontos nos quais o gráfi co da função
intersecta o eixo-x. Uma função quadrática, cujo gráfico é
uma parábola, pode possuir até duas raízes reais, geralmente
designadas por x1 e x2. Seus valores podem ser obtidos através
da fórmula de Bhaskara.
x1 =
−b+ ∆
2a
x2 =
−b − ∆
2a
−b± ∆
2a
x
∆=0
x1 = x2
y
∆>0
x1
x
x2
x
Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui
concavidade voltada “para baixo”).
Raízes da função quadrática
x=
y
∆<0
y
y
x
∆=0
x1 = x2
∆>0
y
x
x1
x2
x
Para o traçado do gráfico de funções quadráticas, é
útil lembrar que as coordenadas do vértice da parábola são
dadas por:
 −b − ∆ 
Vértice =  ,
 2a 4a 
Enem em fascículos 2012
Forma fatorada
1º caso: a > 0
Se os valores x1 e x2 representam as raízes de uma função
quadrática y = ax2 + bx + c, então podemos reescrevê-la na
forma fatorada: y = a·(x – x1)·(x – x2), em que a é denominado
coefi ciente dominante. Essa forma é especialmente útil para
determinar a função quadrática em estudo quando possuímos
as suas raízes. Determinar as relações de interdependência entre
as variáveis é uma das habilidades mais cobradas pelo Enem.
Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatorada para
obter a função quadrática desejada.
a>0
ponto
mínimo
Nesse caso, como a concavidade da parábola está voltada
Exemplo:
 −b − ∆ 
para cima, seu vértice V =  ,
representa um ponto de
 2a 4a 
A fi gura mostra um arco parabólico ACB de altura
CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto
médio de AB.
mínimo, o ponto mais baixo da parábola.
Dessa forma, yV representa o menor valor da função,
dado por:
C
yV =
−∆
4a
2º caso: a < 0
ponto
A
M
máximo
B
Tomando o ponto A como origem de um sistema
cartesiano, teremos a figura abaixo:
y
C (20, 16)
a<0
x
A (0, 0)
M (20, 0)
B (40, 0)
Assim, as raízes de tal função são 0 e 40. Dessa forma,
pode-se aplicar a forma fatorada:
Nesse caso, como a concavidade da parábola está
 −b − ∆ 
voltada para baixo, seu vértice V =  ,
representa um
 2a 4a 
ponto de máximo, o ponto mais alto da parábola.
Dessa forma, yV representa o maior valor da função,
dado por:
yV =
y = a(x – x1) (x – x2) ⇒ y = a(x – 0) (x – 40) ⇒ y = a(x2 – 40x).
Observação importante:
Como f(20) = 16, temos:
16 = a(202 – 40 · 20) ⇒ 16 = – 400a ⇒ a = −
1
25
Logo, a função procurada é:
y=
−∆
4a
Interpretar corretamente o texto é essencial para
responder com sucesso à questão. Assim, observe que a abscissa
do vértice da parábola, isto é, x V =
−1 . 2
− x 2 8x
+
( x − 40x ) ⇒ y =
25
25
5
−b
não representa nem
2a
o máximo, nem o mínimo valor da função. O valor
−b
está
2a
relacionado à condição necessária para se atingir o extremo
−b
é a condição
2a
Máximos e mínimos em função quadrática
da função (máximo ou mínimo). Isto é, x V =
Para a função f(x) = ax2 + bx + c, temos dois casos a
considerar com relação ao coeficiente a.
(ou circunstância) para termos o máximo (ou mínimo) valor da
função. Acompanhe o quadro-resumo abaixo.
2
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
−∆ representa o mínimo, se a > 0
4a representa o máximo, se a < 0
Uma vez que o valor arrecadado (receita) é uma função
quadrática com a concavidade voltada para baixo, a receita
terá um valor máximo, e o desconto necessário para que a
xV =
−b representa a condição para se atingir o mínimo, se a > 0
2a representa a condição para se atingir o máximo, se a < 0
receita seja máxima é x V =
yV =
Por fim, note que se o exercício cobrar o máximo
(ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular
yV =
−∆
. Entretanto, se a questão perguntar sobre uma
4a
condição (ou circunstância) em que se obtém o máximo
(ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular
−b
xV =
.
2a
−b
−50
⇒ xV =
= 25 , isto é, se
2a
2 ⋅ ( −1)
o proprietário conceder 25 centavos de desconto por litro de
combustível e, consequentemente, vendê-lo a R$ 1,25, obterá
a maior receita possível, ou seja, atingirá o valor máximo que é
yV =
−∆
4a
⇒ yV =
− 502 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ 15000
⇒
4 ⋅ ( −1)
⇒ y V = R$ 15.625, 00 .
Em qualquer caso, a parábola que representa a função
y = ax2 + bx + c intersecta o eixo-y no ponto de coordenadas
(0, c) e apresenta uma simetria em relação à reta vertical que
−b
passa por seu vértice (ou seja, a reta cuja equação é x =
).
2a
Acompanhe a ilustração a seguir.
QUESTÃO COMENTADA
C-5
H-21
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
eixo de simetria: x =
y
b
2a
•
Para certo produto comercializado, a função receita e a
função custo estão representadas a seguir em um mesmo
sistema de eixos, onde q indica a quantidade desse produto.
(0, c)
R,C
125000
0
yv
x1
xv
x2
x
Custo
105000
v
Receita
Exemplo:
Um posto de combustível vende 10000 litros de álcool
por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que,
para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram
vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o
preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10200 litros. Dessa
forma, considerando x o valor, em centavos, do desconto dado
no preço de cada litro, o valor V, em R$, arrecadado diariamente
com a venda do álcool, pode ser obtido pela relação:
V(x) = (preço do litro de combustível, em reais) ⋅ (quantidade
vendida diariamente) ⇒
x .

⇒ V ( x ) = 1,50 −
 (1500 + 100x ) ⇒

100 
⇒ V ( x ) = − x 2 + 50x + 15000
45000
35000
0
50
250
350
q
500
Com base nessas informações e considerando que a função
lucro pode ser obtida por L(q) = R(q) – C(q), assinale a
alternativa que indica essa função lucro.
a) L(q) = – 2q2 + 800q – 35000
b) L(q) = – 2q2 + 1000q + 35000
c) L(q) = – 2q2 + 1200q – 35000
d) L(q) = 200q + 35000
e) L(q) = 200q – 35000
Matemática e suas Tecnologias
3
Enem em fascículos 2012
Comentário
C-5
H-20 Compreendendo a Habilidade
H-21 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
A função custo é do tipo afim, sua forma é:
C(q) = m ⋅ q + n.
Como m é taxa de variação da função, podemos obter:
m=
105000 − 45000
60000
=
= 200
350 − 50
300
O valor de n que obtemos pelo gráfico é 35000.
Logo, a função custo é: C(q) = 200 ⋅ q + 35000.
A função receita é quadrática, suas raízes são 0 e 500,
então, usando a forma fatorada, podemos escrever:
R(q) = a ⋅ (q – x1) ⋅ (q – x2)
R(q) = a ⋅ (q – 0) ⋅ (q – 500)
R(q) = a ⋅ (q2 – 500q)
(
125000 = a ⋅ 250 − 500 ⋅ 250
consumo (litros)
16
Do gráfico, vemos que R(250) = 125000. Assim,
2
02. Um veículo foi submetido a um teste para a verificação
do consumo de combustível. O teste consistia em fazer o
veículo percorrer, várias vezes, em velocidade constante,
uma distância de 100 km em estrada plana, cada vez a
uma velocidade diferente. Observou-se então que, para
velocidades entre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de
gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme
mostra o gráfico seguinte.
)
8
125000
⇒a=
=− 2
− 62500
velocidade (km/h)
20
Daí, a função receita é:
(
R(q) = −2 ⋅ q − 500q
2
)
100
120
Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de
combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito
à velocidade de 120 km/h?
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
e) 28
R(q) = −2q2 + 1000q
Assim, a função lucro será:
L(q) = R(q) − C(q)
(
60
)
L(q) = −2q2 + 1000q − (200q + 35000)
L(q) = − 2q2 + 800q − 35000
DE OLHO NO ENEM
Resposta correta: a
ANTENAS, RADARES, FARÓIS E PARÁBOLAS
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
C-5
H-23
Compreendendo a Habilidade
– Avaliar propostas de intervenção
conhecimentos algébricos.
na
realidade
utilizando
01. Um técnico está editando um vídeo através de 8 computadores
ligados em rede. Nesses termos, cada computador processa
o vídeo a uma taxa de 9,6 Mb/s. Assim, a velocidade total
do processo é 76,8 Mb/s. Contudo, o técnico pretende
aumentar a velocidade total de processamento do vídeo
interligando mais computadores à rede. Porém, para cada
novo computador adicionado a taxa de processamento
de cada computador diminui 0,4 Mb/s. Dessa forma, a
quantidade de computadores ligados em rede, para que
o técnico tenha a máxima velocidade de processamento
possível, deve ser:
a) 24
b) 20
c) 16
d) 12
e) 8
4
Quando um satélite artificial é colocado em uma
órbita geoestacionária, ele emite um conjunto de ondas
eletromagnéticas que podem ser captadas por antenas ou
radares na Terra. O que talvez você não saiba é que esses objetos
são construídos tendo a parábola como referência, isto porque
tal curva possui propriedades geométricas extremamente
úteis. Na construção de antenas parabólicas, radares ou faróis,
a propriedade mais explorada é a reflexiva. Quando um feixe
de raios luminosos incide paralelamente ao eixo de simetria de
uma superfície paraboloide espelhada, sua reflexão ocorre de
forma a fazer convergir os raios em um único ponto. Da grande
quantidade de calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco
(em latim focus significa fogo). Como os sinais recebidos (ondas
de rádio ou luz) são muito fracos, é necessário captá-los e
concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente
amplificados. Portanto, a superfície da antena ou do espelho
deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma mesma direção
sejam direcionados para um único ponto após a reflexão.
Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para
telescópios, antenas de radar, antenas parabólicas e faróis.
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
INTRODUÇÃO
guia direcional
O prato curvo focaliza as ondas de rádio
que chegam para a guia direcional.
A secção de um farol de um automóvel tem o formato
de uma parábola (a superfície espelhada é um paraboloide).
A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos
que, após incidirem sobre a parábola, serão refl etidos numa
mesma direção, segundo retas paralelas ao eixo de simetria
da parábola.
As funções exponenciais e logarítmicas ocupam lugar
de destaque em todas as áreas do conhecimento, desde
estudos relativos a taxas de crescimentos, nascimentos e morte
de indivíduos de uma população (animais ou plantas) até a
propagação de doenças em sistemas epidemiológicos, todos
constituem casos típicos de situações cuja modelagem é feita
através de funções logarítmicas e exponenciais.
OBJETO DO CONHECIMENTO
Função Exponencial e Logarítmica
Definição da função exponencial
Farol de um automóvel
Sup. espelhada
A função f: R → R dada por f(x) = bx (com b ≠ 1 e b > 0)
é denominada função exponencial de base b e definida para
todo x real.
Se x = 0, então y = b0 = 1, isto é, o par ordenado (0, 1)
satisfaz a lei y = bx. Isso quer dizer que o gráfico de qualquer
função desse tipo intersecta o eixo y no ponto de ordenada 1.
Com relação à base b, há dois casos a considerar:
F
1º caso: se b > 1, então a função é crescente, isto é:
x > y ⇔ bx > by
Secção de um farol
Gráfico
ANOTAÇÕES
y
1
0
x
f é crescente
Matemática e suas Tecnologias
5
Enem em fascículos 2012
Logaritmos
2º caso: 0 < b < 1, então a função é decrescente:
x>y⇔b <b
x
y
Definição
Gráfico
Dados os números reais N, a e α, com N > 0, a > 0 e a ≠ 1,
o expoente α que colocamos na base a para obtermos o número N
é chamado logaritmo de N na base a. Em símbolos:
y
loga N = α ⇔ aα = N
A nomenclatura usada é a seguinte:
N – logaritmando ou antilogaritmo
a – base (quando a base é omitida, diremos que a base é 10)
α – logaritmo
Exemplos:
1
1º) log2 16 = 4, pois 24 = 16
2º) log3 9 = 2, pois 32 = 9
x
0
3º) log7 1 = 0, pois 70 = 1
Decorrências da definição
f é decrescente
Uma generalização são as funções com a forma
x
f ( x ) = a ⋅ bk . Nessas funções, o coeficiente a é frequentemente
0
associado ao valor inicial da função, pois f (0) = a ⋅ b k ⇒ f (0) = a .
Por sua vez, para cada aumento de k unidades no valor
de x, a função é multiplicada pelo fator b. Essa compreensão dos
x
k
coeficientes das funções do tipo f ( x ) = a ⋅ b é de fundamental
importância para montagem rápida de modelos exponenciais.
Acompanhe o exemplo a seguir.
Exemplo:
Um agricultor está sofrendo com a infestação de
determinada espécie de formiga que está destruindo sua
plantação. Após buscar a ajuda de um especialista, este
recomenda a aplicação de certo inseticida, explicando
que, após seu uso, a população dessas formigas será
reduzida à metade a cada 5 dias. A população inicial de
formigas é estimada em 30000 espécimes. A partir dessas
informações, podemos escrever a população P (t ) = a ⋅ b
t
k
de formigas em função do tempo t, medido em dias,
transcorrido após a aplicação do inseticida. Nessa função, temos
t
k
t
 1 5
a = 30000 (população inicial), temos também b =   (pois a
 2
população dessas formigas é reduzida à me tade a cada 5 dias ).
1
b=
2
k=5
Portanto, a população de formigas poderá ser estimada pela
t
5
 1
lei P(t) = 30000 ·   .
 2
6
Alguns logaritmos, pelo fato de que vamos encontrá-los
muitas vezes, devem ter seus valores rapidamente reconhecidos.
São logaritmos cujos resultados decorrem de maneira imediata
da definição.
Consideradas satisfeitas todas as condições de existência,
temos:
1ª decorrência: loga 1 = 0
Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 0,
apresenta resultado igual a 1.
2ª decorrência: loga a = 1
Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 1,
apresenta resultado igual a a.
3ª decorrência: loga aα = α
Pois α é justamente o expoente que devemos colocar na
base a para obtermos o resultado aα.
4ª decorrência: aloga N = N
Pois logaN é, por força de definição, justamente o expoente
que devemos colocar na base a para obtermos o resultado N.
Propriedades
A partir da definição, podemos desenvolver algumas
utilizações frequentes dos logaritmos e transformá-las em
propriedades que passaremos a estudar.
Considerando os números reais positivos a, N e M,
com a ≠ 1:
P1: loga (N ⋅ M) = loga (N) + loga (M)
 N
P2: loga   = loga (N) − loga (M)
 M
( )
P3: loga Nα = α ⋅ loga N
P4: logaα (N) =
Matemática e suas Tecnologias
1
⋅ loga N
α
Enem em fascículos 2012
P5: Mudança de Base
logM N =
loga N
, onde a é uma base convenientemente
loga M
QUESTÃO COMENTADA
H-21
C-5
Compreendendo a Habilidade
escolhida.
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
Função Logarítmica
•
Definição
É toda função f: R*+ → R na forma f(x) = loga x, em que,
a > 0 e a ≠ 1.
Para a > 1, tal função é crescente. Acompanhe o gráfico
na página seguinte.
A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê,
costuma ser encontrada em reservas florestais e matas cerradas,
mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que corre
perigo de extinção. Suponha que, em determinada região,
a população de onças-pintadas, P(t), daqui a t anos, será
estimada pela função:
P(t) = 60 (1 + e–0,05t).
y
y = logax
(a > 1)
1
1
a
x
Para 0 < a < 1, tal função é decrescente. Acompanhe
o gráfico abaixo.
y
Se mantiver esse decrescimento, daqui a quantos anos
será atingido o ponto em que a extinção é inevitável,
considerada pelos biólogos em cem indivíduos?
Utilize: n 2 = 0,69;
n 3 = 1,10.
a) 7,2
c) 9,2
e) 11,2
y = logax
(0 < a < 1)
b) 8,2
d) 10,2
1
Comentário
a 1
x
Para que a população seja de cem indivíduos, temos:
P(t) = 100 ⇒ 60 ⋅ (1 + e–0,05t) = 100 ⇒ 1 + e–0,05t =
e–0,05t =
Logaritmo natural
O logaritmo natural ou logaritmo neperiano é o logaritmo
cuja base é o número irracional e, que é aproximadamente igual
a 2,718281828459045...
Tal logaritmo é normalmente representado por n x.
Isto é:
5
3
2
 2
⇒ n e–0,05t = n   ⇒ – 0,05t = n 2 – n 3 ⇒
 3
3
⇒ – 0,05t = 0,69 – 1,10 ⇒ – 0,05t = – 0,41 ⇒ t = 8,2 anos
Daqui a 8,2 anos será atingido o número de cem
indivíduos.
Resposta correta: b
n x é equivalente a logex
Matemática e suas Tecnologias
7
Enem em fascículos 2012
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
C-5
H-20 Compreendendo a Habilidade
H-21 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre
grandezas.
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
03. Durante três semanas um estudante acompanhou, pelos
noticiários, a evolução mundial da pneumonia asiática ou
síndrome respiratória aguda severa (SARS). Por curiosidade, ele
construiu o gráfico abaixo e estimou que o total (T) de casos
confirmados até o enésimo dia de observação seria dado por:
Considere que o número de artigos que um operário
recém contratado é capaz de produzir diariamente, após
n dias de treinamento é dado por P(n) = 40 – 40 ⋅ 2–0,175n.
Determine quanto tempo é necessário para que a produção
diária desse trabalhador seja pelo menos 25 artigos por dia.
Use log 2 ≈ 0,30 e log 3 ≈ 0,48
a)
b)
c)
d)
e)
Aproximadamente 4 dias.
Aproximadamente 5 dias.
Aproximadamente 6 dias.
Aproximadamente 7 dias.
Aproximadamente 8 dias.
DE OLHO NO ENEM
T = 100 ⋅ 3kn, em que k é uma constante positiva.
T(total de casos confirmados)
Como se realiza a prova do carbono-14 para conhecer a
idade dos restos encontrados por paleontólogos?
2700
900
Fósseis podem ser datados com o teste do carbono-14
300
n(dias)
7
14
21
Depois do 21º dia, o estudante não acompanhou mais os
noticiários sobre os casos dessa doença. Pela estimativa
dele, qual seria o total de casos confirmados até o 28º dia?
a) 3000
b) 3600
c) 4500
d) 5600
e) 8100
C-5
H-21
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
04. O processo de aquisição de conhecimento e destreza tem
sido estudado em várias perspectivas e com diferentes
objetivos. As famosas curvas de aprendizado têm se mostrado
ferramentas úteis no monitoramento do desempenho de
uma nova tarefa, avaliando um progresso na medida em
que algumas repetições são efetuadas. Essas curvas foram
introduzidas por Wright em 1936, e, desde então, têm
sido utilizadas para avaliação do tempo demandado para a
conclusão de corridas de produção, estimação da redução
de custos de produção e alocação de trabalhadores para
tarefas com base em suas características de atuação ou
habilidades, por exemplo.
8
A técnica do carbono-14 foi descoberta nos anos
quarenta por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de
carbono-14 dos tecidos orgânicos mortos diminui a um ritmo
constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos valores
de carbono-14 em um objeto fóssil nos dá pistas muito exatas
dos anos decorridos desde sua morte.
Essa técnica é aplicável à madeira, carbono, sedimentos
orgânicos, ossos, conchas marinhas – ou seja – todo material
que conteve carbono em alguma de suas formas. Como o exame
se baseia na determinação de idade através da quantidade de
carbono-14 e que esta diminui com o passar do tempo, ele só
pode ser usado para datar amostras que tenham entre 50 mil
e 70 mil anos de idade.
A RADIOATIVIDADE DO CARBONO-14
Libby, que era químico, utilizou em 1947 um contador
Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em
vários objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que decai
a um ritmo perfeitamente mensurável a partir da morte de
um organismo vivo. Libby usou objetos de idade conhecida
(respaldada por documentos históricos) e comparou esta
com os resultados de sua radiodatação. Os diferentes testes
realizados demonstraram a viabilidade do método até cerca
de 70 mil anos.
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre
o nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. Quando estas são
ingeridas pelos animais, o C-14 passa aos tecidos, onde se
acumula. Ao morrer, este processo se detém e o isótopo começa
a desintegrar-se para converter-se de novo em nitrogênio-14.
A partir desse momento, a quantidade de C-14 existente
em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada
5730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, essa quantidade
começa a ser pequena demais para uma datação precisa.
Depois de uma extração, o objeto a datar deve ser
protegido de qualquer contaminação que possa mascarar os
resultados. Feito isso, leva-se ao laboratório onde se contará o
número de radiações beta produzidas por minuto e por grama
de material. O máximo são 15 radiações beta, cifra que se
dividirá por dois por cada período de 5730 anos de idade da
amostra.
Disponível em: http://noticias.terra.com.br
INTRODUÇÃO
Situações relacionadas com a medição de lados e ângulos
de triângulos deram início à Trigonometria, que com o passar do
tempo, transformou-se numa genuína ferramenta na resolução
de um considerável número de problemas relacionados com
a mecânica, topografia, navegação e sobretudo nos cálculos
astronômicos. Assim, esta abordagem tem como objetivo
principal a aplicação de conceitos trigonométricos em situações
que envolvam triângulos e a exploração de fenômenos periódicos
reais, recorrendo às funções trigonométricas. Vale salientar
que a eficácia desta ferramenta, nas aplicações que iremos
apresentar, exigirá naturalmente um razoável domínio algébrico
e geométrico do leitor.
ANOTAÇÕES
OBJETO DO CONHECIMENTO
Trigonometria e suas aplicações
Trigonometria no triângulo retângulo
Considere um ângulo agudo α = med(CÂB). Construindo
perpendiculares ao lado AB a partir dos pontos C1, C2, C3 etc.,
os triângulos retângulos obtidos C1B1A, C2B2A, C3B3A etc. serão
semelhantes por terem o ângulo α comum.
C
C3
C2
C1
A
α
B1
B2
B3
B
Considerando que é amplamente conhecida a
proporcionalidade dos lados homólogos em triângulos
semelhantes, então podemos escrever as seguintes proporções:
B1C1 B2C2 B3C3
=
=
= ... = k1
AB1 AB2
AB3
AB1 AB2 AB3
=
=
= ... = k 2
AC1 AC2 AC3
B1C1 B2C2 B3C3
=
=
= ... = k 3
AC1 AC2 AC3
Estas constantes k1, k2 e k3 dependem apenas do ângulo
α e não dos comprimentos dos lados envolvidos. É oportuno dar
nomes a essas constantes que dependem de α (agudo).
Matemática e suas Tecnologias
9
Enem em fascículos 2012
Assim, considerando o triângulo retângulo ABC, e
fixando um ângulo agudo α, podemos definir:
C
hipotenusa
a
α
B
seno: sen α =
sen α =
b cateto oposto
c
cateto adjacente
cosseno: cos α =
Logo, se tivermos as medidas de h e α (valores acessíveis)
e uma tabela de senos, podemos tranquilamente determinar
o raio da Terra:
r=
hsen α
1 − sen α
Exemplo 2:
Uma outra situação-problema, para mostrar a importância
da Trigonometria na resolução de problemas relacionados com
ângulos e lados de um triângulo, é a questão do topógrafo
que deseja medir a altura de uma montanha e para tal toma
como referência o ponto P, no pico. A partir de um ponto A no
solo, calcula a medida do ângulo α que o segmento AP forma
com a horizontal local e, afastando-se 1 km até o ponto B,
mede o ângulo θ de BP com a horizontal. Fazendo um desenho
ilustrativo, encontramos:
hipotenusa
a
=
cateto oposto b
cateto adjacente c
= ⇒
hipotenusa
a
⇒ secante: sec α =
r
→ r sen α + hsen α = r → r . (1 − sen α ) = hsen α
r+h
A
cateto oposto b
= ⇒
hipotenusa
a
⇒ cossecante: cossec α =
Usando as razões trigonométricas apresentadas,
encontramos:
hipotenusa
a
=
cateto adjacente c
P
cateto oposto
b
tangente: tg α =
= ⇒
cateto adjacente c
⇒ cotangente: cotg α =
cateto adjacente c
=
cateto oposto
b
h
Os benefícios que a Trigonometria propicia à facilitação nas
resoluções de problemas aparentemente difíceis é incontestável.
α
Exemplo 1:
B
Para mostrar uma aplicação, suponha que se quer
medir o raio r da Terra, que é um comprimento impossível de
ser obtido pelo cálculo direto. Um processo, usado desde os
gregos, é o seguinte:
Sobe-se a uma torre de altura h e mede-se o ângulo α
que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar.
Considerando a Terra esférica, temos a ilustração:
B
α
1
A
x
P’
Temos que:
h
h
→x=
(I)
x
tg α
h
h
tg θ =
→ x + 1=
(II)
x +1
tg θ
tg α =
Torre
Substituindo (I) em (II), encontramos:
h
h
h
h
h
+ 1=
→ 1=
−
→ tg α ⋅ tg θ = h ⋅ ( tg α − tg θ)
tg α
tg θ
tg θ tg α
C
r
e
t
on
riz
ha
Lin
do
ho
Terra
r
O
Portanto, a altura desejada é dada por:
h=
tg α ⋅ tg θ
tg α − tg θ
Trigonometria num triângulo qualquer
Em vista das numerosas aplicações em que se consideram
triângulos quaisquer, vamos apresentar duas leis de grande
relevância na Trigonometria.
10
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
• Lei dos senos:
Em todo triângulo, as medidas dos lados são diretamente
proporcionais aos senos dos ângulos opostos, onde a constante
de proporcionalidade é igual ao diâmetro da circunferência
circunscrita.
Nesse ponto, a distância do navio ao farol pode ser
ˆ
calculada facilmente. Evidentemente, a medida do ângulo AFB
é igual a 60º. Portanto, aplicando a lei dos senos, temos:
2
20 ⋅
20
BF
2
=
→ BF =
≅ 16, 3 km
sen 45o sen 60o
3
2
Demonstração:
A
• Lei dos cossenos:
α
Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma
dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto
desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
P
α
O
B
R
C
B
a
Lei dos cossenos:
^
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
^
2
2
2
b = a + c – 2ac cos B
^
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
a
O teorema dos senos estabelece que
a
é constante.
sen( A )
C
c
Acompanhe:
I. Seja O o circuncentro do ∆ABC;
II. Prolongando o segmento BO até encontrar a circunferência,
obtemos o diâmetro BP;
, pois BP é
III. Observe que o triângulo PCB é retângulo em C
um diâmetro;
IV. Os ângulos inscritos  e P são iguais (arco capaz);
b
A
V. No triângulo retângulo PCB, temos:
Observação:
a
a
→ 2R =
sen  = sen P =
2R
sen A
Essas fórmulas são de fácil demonstração e muito úteis
na determinação dos ângulos de um triângulo, conhecendo as
medidas dos lados.
Portanto, podemos escrever:
a
b
c
=
=
= 2R
sen C
sen B
sen A
Exemplo:
Exemplo:
Para mostrar uma aplicação, suponha que um navio,
viajando em linha reta, avista um farol em F, 45º à direita; após
ter caminhado 20 km, avista o mesmo farol numa direção que
forma 75º com sua trajetória, como mostra a figura.
20 km
75º
m
45º
C
B
20
0
A
Para explorar o potencial turístico de uma cidade,
conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo
pretende construir um teleférico, ligando o terminal de
transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura
a seguir.
50º
N
B
300
√3
m
20º
F
A
Matemática e suas Tecnologias
P
11
Enem em fascículos 2012
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes
coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B),
e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);
• cos α =
c n
= → c2 = na (I)
a c
• sen α =
b m
= → b2 = ma (II)
a b
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada
localizado no ponto C, sem parada intermediária.
Somando (I) e (II), obtemos:
ˆ = 50º,
Sendo AB = 300 3 m , BC = 200 m, BÂP = 20º e CBN
a distância entre os pontos A e C, pode ser facilmente calculada
a partir da lei dos cossenos.
Acompanhe:
c2 + b2 = na + ma = a · (n + m) = a · a = a2.
Logo, c2 + b2 = a2 (Pitágoras).
Por outro lado, tem-se:
C
c
→ a. cos α = c → a2 . cos2 α = c2 (III)
a
• sen α =
b
→ a . sen α = b → a2 . sen2α = b2 (IV )
a
20
0m
• cos α =
d
50º
150º
300
√3
Somando (III) e (IV), obtemos:
N
B
a2 · cos2 α + a2 · sen2 α = c2 + b2
m
a2 · (cos2 α + sen2 α) = a2
20º
A
Logo, cos2 α + sen2α = 1 (R. Fundamental), ∀α agudo.
P
Funções trigonométricas: Seno e Cosseno
Temos:
d2 = (300 3 )2 + (200)2 − 2 . 300 3 . 200 . cos 150o
Simplificando, obtemos:
d = 700 metros.
Pitágoras e a relação fundamental da
Trigonometria
A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras (geômetra
grego, nascido por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Samos)
a descoberta independente do teorema sobre triângulos
retângulos, hoje universalmente conhecido pelo seu nome –
que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo
é igual à soma dos quadrados sobre os catetos. É sabido que
esse teorema era conhecido pelos babilônios dos tempos
de Hamurabi, mais de um milênio antes, mas sua primeira
demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras. Desde
os tempos de Pitágoras, muitas demonstrações desse teorema
foram apresentadas.
Vejamos uma demonstração utilizando as razões
trigonométricas:
As seis razões trigonométricas apresentadas até o
momento variam conforme o ângulo a que se referem. São
perfeitamente determinadas para cada um dos ângulos
compreendidos entre 0º e 90º e a cada ângulo, nesse
intervalo, corresponde apenas um valor para cada razão.
As razões trigonométricas são, pois, funções dos ângulos
a que se referem e costumamos nomeá-las de funções
trigonométricas. No entanto, as definições acima podem ser
generalizadas para qualquer ângulo α da seguinte forma:
A ampliação do domínio das funções trigonométricas a
toda reta real faz-se recorrendo à circunferência trigonométrica.
Ela é definida por uma circunferência de raio unitário (raio = 1)
centrada na origem dos eixos cartesianos.
y
(arcos positivos, sentido anti-horário)
P(xp,yp)
yp
1
180º
(–1,0)
A
+
(0,1) 90º
0º = 360º
α
O
xp
(1,0)
x
θ
α
(arcos negativos, sentido horário)
b
c
h
α
θ
C
m
n
H
a
12
270º (0,–1)
B
–
Dessa forma, podemos definir o seno e o cosseno do
ângulo α para todos os valores de α e não somente para aqueles
π
entre 0º (ou 0 radianos) e 90º (ou
radianos).
2
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
Vejamos:
y
x
sen α = p e cos α = p
1
1
Assim, as coordenadas do ponto P são:
P(xp, yp) = (cos α , sen α).
Consequentemente, temos:
π
π
cos = 0 e sen = 1
2
2
De modo semelhante, para o ângulo α = π radianos
(meia-volta na circunferência), temos cos(π) = –1 e sen(π) = 0, pois
o ponto (xp, yp) = (0, –1).
Quando α = 2π radianos, voltamos a ter o ponto (1, 0), o
que nos dá cos(2π) = 1 e sen(2π) = 0. Prosseguindo para outros
valores, verificamos que as funções trigonométricas se repetem
cada vez que adicionamos 2π radianos ao ângulo primitivo α.
Da mesma forma que temos valores possíveis para o seno e o
cosseno quando α > 0, também é possível atribuir valores às
funções trigonométricas quando α < 0. Nesses casos, temos
ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio (sentido
horário). Portanto, as duas funções, seno e cosseno, ficam bem
definidas para todos os valores de α na reta real.
Observação:
• Representação geométrica das funções seno, cosseno e
tangente na circunferência trigonométrica.
eixo dos senos
eixo das tangentes
90º B(0,1)
P’
II Q
sen α
180º
(–1,0)
O
III Q
IQ
α
cos α
P
y = sen x
0
0
π/6
1/2
π/4
2/2
π/3
3/2
π/2
1
π
0
3π/2
–1
2π
0
Propriedades
• D(f) = R.
• Im(f) = {y ∈ R| – 1 ≤ y ≤ 1} = [– 1; 1].
• f é função ímpar, pois sen(–x) = – sen x, ∀x ∈ R.
• f é limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.
• f é periódica, de período p = 2π.
• Gráfico
y
1
0
É possível definir a função tangente do ângulo α de
modo semelhante.
x
π π π
π
6 4 3
2
π
3π
2
2π
x
--1
• Gráfico da função cosseno
Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde
y = cos x , construímos o gráfico da função cosseno no intervalo
de 0 a 2π.
T
x
y = cos x
tg α
0
1
0º = 360º
eixo dos cossenos
π/6
3/2
π/4
2/2
π/3
1/2
π/2
0
π
–1
3π/2
0
2π
1
A(1,0)
IV Q
270º (0,–1)
Para se ter uma ideia do comportamento geral de uma
função trigonométrica, é conveniente construir o seu gráfico.
A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para
obter o gráfi co, entretanto, o conjunto de pontos notáveis
discutidos anteriormente permite construir uma figura bastante
próxima do gráfico desejado.
Propriedades
• D(f) = R.
• Im(f) = [– 1; 1].
• Gráfico da função seno
• f é função par, pois cos(–x) = cos x, ∀x ∈ R.
Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde
y = sen x, construímos o gráfi co da função seno no intervalo
de 0 a 2π.
• f é função limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.
• f é periódica, de período p = 2π.
Matemática e suas Tecnologias
13
Enem em fascículos 2012
• Gráfico
Exemplo:
y
1
0
π π π
π
π
6 4 3
3π
2
2
2π
x
Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante
de Ciências Exatas, observou o fenômeno das marés em
determinado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo
era periódico e podia ser aproximado pela expressão:
P( t ) =
--1
• Gráfico da função tangente
Utilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde
(2k + 1)π
, construímos o gráfico da função
2
tangente no intervalo de 0 a 2π.
y = tg x, com x ≠
21
5π 
π
+ 2 cos  t +
,

2
6
4
onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da
observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água (em metros)
no instante t.
Evidentemente, P(t) será maximizado quando tomarmos
5π 
π
15
cos  t +  = 1. Consequentemente, t = 12k −
, com
6
4
2
k inteiro. Daí, podemos garantir que, depois de 4,5 horas
x
y = tg x
0
0
π/6
(k = 1), ocorreu a primeira maré alta após o início da observação.
3/3
π/4
1
π/3
3
QUESTÃO COMENTADA
H-21
C-5
Compreendendo a Habilidade
π/2
∃
2π/3
– 3
3π/4
–1
5π/6
– 3/3
π
0
2π
0
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
•
O alcance máximo no lançamento oblíquo de um corpo é
v 20 senθ
, onde v0 e g denotam,
g
respectivamente, a velocidade inicial de lançamento do
corpo e a aceleração da gravidade. Um jogador de golfe
lança uma bola com velocidade inicial v0 = 10 m/s obtendo
um alcance máximo de 2 – cos θ metros.
dado pela expressão A =
Propriedades
y
g
(2k + 1)π


, k ez  .
• D(f) = x ∈ R | x ≠
2


v0
• Im(f) = R.
θ
x
• f é função ímpar, pois tg(– x) = – tg x, ∀x ∈D.
• f não é limitada.
Considerando que θ é um ângulo do 1º quadrante, e
a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, o ângulo de
lançamento θ é:
• f é periódica, de período p = π.
• Gráfico
y
0
π
2
π
c)
4
a)
π
2
π
3π
2
2π
x
e)
14
π
8
Matemática e suas Tecnologias
π
3
π
d)
6
b)
Enem em fascículos 2012
Considere que haja um corte passando pelo eixo de simetria
do cone, conforme mostra a Figura 3.
Comentário
De acordo com o enunciado, podemos escrever a expressão
do alcance da seguinte forma:
X
( 10 ) ⋅ s enθ
2 − cos θ =
2
Dado :
r
2,23 cm
3 ≅ 1, 73
10
Simplificando a equação trigonométrica, obtemos:
2 − cos θ = s enθ →
60º
X
2 = s enθ + cos θ
1 cm
2 , teremos:
Figura 3
1
1
⋅ s enθ +
⋅ cos θ
2
2
π
π
1 = cos ⋅ s enθ + sen ⋅ cos θ
4
4
1=
Em vista dos dados apresentados, é correto afirmar que o
raio do anel a ser produzido é igual a:
a) 0,18 cm
b) 0,21 cm
c) 0,25 cm
d) 0,30 cm
e) 0,35 cm
adição de arcos
π

1 = s en  θ + 

4
Para que ocorra a igualdade acima, devemos ter:
π π
π
θ + = + k ⋅ 2π, co m k ∈ Z → θ = + k ⋅ 2π.
4 2
4
Como θ é agudo, concluímos que θ =
π
rad.
4
Resposta correta: c
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
C-2
H-8
X
X
Dividindo ambos os membros por
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos
de espaço e forma.
05. Uma indústria fabrica uma peça, mostrada na Figura 1,
formada pela junção de dois sólidos de revolução: um cone
de raio da base 1 cm, cuja inclinação da geratriz mede
60º, e uma esfera cujo centro é o vértice do cone. A altura
total da peça é 2,23 cm. Por demanda dos clientes, o
fabricante necessita colocar um acabamento em forma de
um pequeno anel, de espessura desprezível, na interseção
dos dois sólidos, como mostra a Figura 2.
C-2
H-9
Compreendendo a Habilidade
– Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção
de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
06. Considere as seguintes informações:
• De dois pontos A e B, localizados na mesma margem de
um rio, avista-se um ponto C, de difícil acesso, localizado
na margem oposta;
• Sabe-se que B está distante 1000 metros de A;
• Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para
medir ângulos) foram obtidas as seguintes medidas:
BÂC = 30° e AB C= 80°.
Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C
a um ponto D entre A e B, de modo que seu comprimento
seja mínimo. Podemos afirmar que o comprimento da
ponte será de aproximadamente:
a) 1048 metros
b) 532 metros
c) 524 metros
d) 500 metros
e) 477 metros
Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70°= 0,940,
cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340
DE OLHO NO ENEM
Formulário Trigonométrico
Fórmulas da adição
sen(β + α) = sen β · cos α + sen α · cos β
cos(β + α) = cos α · cos β – sen β · sen α
Figura 1
Figura 2
Matemática e suas Tecnologias
tg(β + α ) =
tg β + tg α
1 − tg β ⋅ tg α
15
Enem em fascículos 2012
Constatação:
Arco duplo
sen(2α) = 2 · sen α · cos α
cos(2α) = cos2 α – sen2 α
tg(2α ) =
Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é
avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a
partir de um ângulo α, conforme a figura:
2 ⋅ tg α
1 − tg2 α
x
α
Fórmulas da subtração
36 m
sen(β – α) = sen β · cos α – sen α · cos β
cos(β – α) = cos β · cos α + sen β · sen α
tg(β − α ) =
tg β − tg α
1+ tg β ⋅ tg α
Admitindo-se que sen(α) =
Arco metade
do farol e uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo
α passou exatamente para 2a, a nova distância x’ a que o barco
se encontrará da base do farol pode ser calculada facilmente
usando a fórmula do arco duplo:
1 − cos α
sen( α / 2) = ±
2
cos( α / 2) = ±
tg( α / 2) = ±
3
e que o barco se aproximou
5
1+ cos α
2
tg2 α=
1 − cos α
1+ cos α
2⋅ tg α
1 − tg2 α
Ilustração
x’
Fórmulas de Werner
α
α
 α + β
 α − β
sen α + sen β = 2 ⋅ sen 
⋅ cos 
 2 
 2 
36 m
 α + β
 α − β
cos α + cos β = 2 ⋅ cos 
⋅ cos 
 2 
 2 
tg α + tg β =
sen( α + β)
cos α ⋅ cos β
 α − β
 α + β
sen α − sen β = 2 ⋅ sen 
⋅ cos 
 2 
 2 
 α + β
 α − β
cos α − cos β = −2 ⋅ sen 
⋅ sen 
 2 
 2 
tg α − tg β =
3
3
⇒ tg α = (I)
5
4
• tg (2α ) =
2tg α
36
=
(II)
x’
1 − tg2 α
Substituindo (I) em (II), encontramos:
sen( α − β)
cos α ⋅ cos β
3
4 = 36 ⇒ x’ = 10,5 m.
2
x’
 3
1−  
 4
2.
Saiba que alguns problemas de geometria exigem a
utilização de algumas dessas fórmulas.
16
• sen α =
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
y
TORRE
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
C-5
H-22
50 m
TORRE
A
x
Compreendendo a Habilidade
24 m
TORRE
TORRE
B
– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a
construção de argumentação.
4m
O
ESTRADA
ESTRADA
200 m
C-5
H-21
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
02. O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é
feito por uma única companhia em um único voo diário.
O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço padrão da
passagem é 300 reais. Certo dia, a empresa resolve fazer
uma promoção, a viagem será paga apenas quando o
avião chegar ao seu destino, e o preço da passagem será
reduzido em 75 centavos por cada passageiro. Dessa forma,
se por exemplo, 10 pessoas fizerem a viagem, então cada
passageiro deverá pagar 300 – 10 ⋅ 0,75 = 292,50. Nessas
condições, a receita máxima possível nessa viagem é, em
reais:
a) 30000
b) 29900
c) 29800
d) 29700
e) 29600
C-5
H-21
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
03. Os cabos da ponte pênsil, indicada na figura a seguir,
tomam a forma de arcos de parábola do segundo grau.
As torres de suporte têm 24 m de altura e há um intervalo
entre elas de 200 m. O ponto mais baixo de cada cabo
fica a 4 m do leito da estrada. Considerando o plano
horizontal do tabuleiro da ponte contendo o eixo dos
x e o eixo de simetria da parábola como sendo o eixo
dos y, perpendicular a x, determine o comprimento do
elemento de sustentação BA, que liga verticalmente o
cabo parabólico ao tabuleiro da ponte, situado a 50 m
do eixo y.
a)
b)
c)
d)
e)
C-5
9m
12 m
15 m
18 m
21 m
H-20
Compreendendo a Habilidade
– Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
04. Na figura abaixo, temos os gráficos das funções custo (C)
e receita de vendas (R) diárias de um produto de uma
empresa, em função da quantidade produzida e vendida,
em número de unidades.
Receita e Custo
01. Um posto de combustíveis vende diariamente uma média
de 20000 litros de gasolina ao preço de R$ 2,60 por litro.
Um estudo demonstrou que, para uma variação de 1 centavo
no preço do litro, corresponde a uma variação de 100 litros
nas vendas diárias. Com base nesse estudo, o preço por
litro que garante a maior receita é:
a) R$ 2,75
b) R$ 2,65
c) R$ 2,30
d) R$ 2,40
e) R$ 2,10
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
C
R
10
20
30
Quantidade
40
50
60
Podemos afirmar que:
a) o lucro será nulo somente se a quantidade produzida e
vendida for 30.
b) haverá prejuízo somente quando a quantidade
produzida e vendida for menor que 10.
c) o prejuízo máximo será de $ 400.
d) o lucro máximo é superior a $ 800.
e) haverá lucro quando a quantidade produzida e vendida
estiver entre 10 e 30.
• Texto para as questões 05 e 06.
Uma empresa de transporte de carga estima em 20% ao
ano a taxa de depreciação de cada caminhão de sua frota.
Ou seja, a cada ano, o valor de seus veículos se reduz em
20% em relação ao ano anterior. Para cada caminhão,
a área financeira da empresa criou um fundo para repor
a depreciação. Em cada instante t, o fundo deve ter
exatamente o dinheiro necessário para completar, sobre o
valor do caminhão depreciado, os R$ 100.000,00, preço de
um caminhão novo.
Matemática e suas Tecnologias
17
Enem em fascículos 2012
C-5
H-20
d)
Compreendendo a Habilidade
– Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
f
100000
90000
80000
05. O gráfico que melhor representa o dinheiro disponível nesse
fundo (f) ao longo do tempo para um caminhão é:
a)
70000
60000
f
50000
100000
40000
90000
30000
20000
80000
10000
70000
60000
50000
e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
f
40000
100000
30000
90000
20000
80000
10000
70000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
60000
t
50000
b)
40000
f
30000
100000
20000
90000
10000
80000
70000
60000
50000
C-5
40000
H-23
Compreendendo a Habilidade
– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
algébricos.
30000
20000
10000
1
c)
2
3
4
5
6
7
8
9
t
f
100000
90000
80000
06. Pela política da empresa, quando o valor de um caminhão
atinge 25% do valor pelo qual foi comprado, ele deve ser
vendido, pois o custo de manutenção passa a ficar muito alto.
Considerando a aproximação log 2 = 0,30, os caminhões
dessa empresa são vendidos em, aproximadamente:
a) 3 anos após sua compra.
b) 4 anos após sua compra.
c) 6 anos após sua compra.
d) 8 anos após sua compra.
e) 10 anos após sua compra.
70000
C-5
60000
H-21
50000
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
40000
30000
20000
10000
1
18
2
3
4
5
6
7
8
9
t
07. À medida que repetições são efetuadas, o trabalhador
demanda menos tempo para a execução da tarefa, seja
pela familiaridade adquirida com os meios de produção,
seja pela adaptação às ferramentas utilizadas ou pela
descoberta de “atalhos” para realização da tarefa.”
Matemática e suas Tecnologias
WRIGHT, 1936; TEPLITZ, 1991; DAR-EL, 2000.
Enem em fascículos 2012
Um trainee de rede de fast food, em seu primeiro dia de
trabalho, conseguiu preparar 60 sanduíches. No segundo
dia, preparou 90 sanduíches e no terceiro dia preparou
105 sanduíches. O modelo utilizado para descrever essa
aprendizagem é da forma: s(t) = a – b ⋅ ct.
Em que, s(t) representa a produção diária de sanduíches
após t dias de experiência, a constante a representa o
patamar máximo de desempenho a ser atingido quando a
aquisição de conhecimento for integral. Com base nessas
informações, o valor desse patamar máximo é:
a) 105
b) 110
c) 115
d) 120
e) 125
C-5
H-22
H-9
θ
A
H
R
R
C
Figura 2
Fazendo uso desse raciocínio, com θ = 80º e OA = 100 m
e considerando sen 80º ≈ 0,984, pode-se concluir que o
raio da Terra vale, aproximadamente:
a) 5280 m
b) 5460 m
c) 6150 m
d) 6270 m
e) 7320 m
Compreendendo a Habilidade
– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a
construção de argumentação.
08. Em certo lago, a massa de algas, medida em quilogramas,
varia de maneira periódica conforme a função
 πt 
m(t) = 2500 + 2100 ⋅ sen 
, em que t é o tempo
 120 
em dias, a partir de 21 de dezembro de cada ano. Assinale a
alternativa que apresenta a massa mínima de algas nesse
lago e o período de tempo decorrido entre o registro
sucessivo de duas massas mínimas.
a) 1450 kg e 60 dias
b) 1450 kg e 120 dias
c) 1450 kg e 180 dias
d) 400 kg e 60 dias
e) 400 kg e 240 dias
C-2
O
C-2
H-8
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos
de espaço e forma.
10. Duas escadas foram encostadas em um muro, conforme
mostra a figura.
Muro
Escada
27º
1,7 m
Compreendendo a Habilidade
– Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção
de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Escada de
4m
Lojas
65º
09. Um método utilizado pelos gregos para medir o raio da
Terra consistia em observar a linha do horizonte, medir o
ângulo θ que a linha OH fazia com a vertical OA e medir
OA, conforme as figuras 1 e 2 .
H
Horizonte
Dados: sen 65º = 0,90 ; cos 65º = 0,42 e tg 65º = 2,10
sen 27º = 0,45 ; cos 27º = 0,89 e tg 27º = 0,50
A altura total do muro é:
a) 5,0 m
c) 6,0 m
e) 7,0 m
b) 5,5 m
d) 6,5 m
GABARITOS
O
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
θ
01
02
03
04
05
06
c
d
e
e
c
c
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
A
Figura 1
01
02
03
04
05
c
d
a
e
e
06
07
08
09
10
c
d
e
c
e
Expediente
Diretor-Superintendente: Tales de Sá Cavalcante
Diretora Pedagógica: Hilda Prisco
Diretora Controller: Dayse Tavares
Supervisão Pedagógica: Marcelo Pena
Gerente do FBEscolas: Fernanda Denardin
Gerente Gráfico: Andréa Menescal
Coordenador Gráfico: Sebastião Pereira
Projeto Gráfico: Joel Rodrigues e Franklin Biovanni
Editoração Eletrônica: Rejane Pierre
Ilustrações: Graco
Revisão: Eveline Cunha
OSG.: 61951/12
Matemática e suas Tecnologias
19