CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2013.2 Equações e Funções Trigonométricas Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção Equações Trigonométricas Equações trigonométricas são aquelas que envolvem as funções trigonométricas em seus membros. Exemplos: sen (x) = π π cos (2x) = -cos(x) tg (x) = π π Como as equações trigonométricas possuem uma gama muito grande de variedades, vamos fazer o estudo dos principais tipos. Salvo indicação em contrário, usaremos x como incógnita. 2/26 Relações Trigonométricas As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas relações trigonométricas. Algumas relações são importantes como: π¬ππ§π (π±) + ππ¨π¬² (π±) = 1 ππ (π±) = π¬ππ§ (π±) ππ¨π¬ (π±) ππ¨π¬π¬ππ (π±) = ππ¨ππ (π±) = π π¬ππ§ (π±) π ππ (π±) = π¬ππ (π±) = ππ¨π¬ (π±) π¬ππ§ (π±) π ππ¨π¬ (π±) 3/26 Equações Trigonométricas a) sen (x) = a -1 < a < 1 y y ο°/2 sen (x) = sen (y) x = y + 2kο° sen (x) = sen (ο° - y) x = (ο° - y) + 2kο° ο°-y a ο°-y y ο° y 2ο° x O 3ο°/2 4/26 Praticando Resolva as equações: a) sen2 (π₯) + 3 sen(π₯) + 2 = 0 π = π ο° π + ππο°, k ο Z b) sen(2π₯ β ο°) = β π = π ο° π 3 2 + ππο°, k ο Z OU π = π ο° π + ππο°, k ο Z 5/26 Equações Trigonométricas b) cos (x) = a -1 < a < 1 cos (x) = cos (y) x = y + 2kο° cos (x) = cos (2ο° - y) x = y + 2kο° y ο°/2 y ο° O 22ο°ο°--yy a 2ο° 3ο°/2 6/26 x Praticando Resolva as seguintes equações: a) cos(2π₯) = 0 π = ο° π + ο°, π π kοZ b) sen2 (π₯) + 2cos(π₯) = 1 π = ο° π + πο°, k ο Z 7/26 Equações Trigonométricas t c) tan (x) = b b ο IR y ο°/2 b y tan (x) = tan (y) x = y + kο° ο° O O 2ο° 3ο°/2 8/26 xx Praticando Resolva as equações: a) tan(3π₯) = 0 π = π ο°, π b) cotg(π₯) = π = ο° π kοZ 3 + πο°, k ο Z 9/26 Revisando Vamos observar o sinal das funções em cada quadrante. ο°/2 Use Sempre a Tua Cabeça. S U ο° T C 2ο° U = Todas as funções tem valor positivo. S = A função seno tem valor positivo. T = A função tangente tem valor positivo. C = A função cosseno tem valor positivo. 3ο°/2 10/26 Revisando Funções O estudo de Funções é de extrema importância para vários segmentos da ciência. 1) Graficaliza expressões matemáticas complicadas; 2) 3) Modela o comportamento de fenômenos físicos; Fundamenta o Cálculo Diferencial e Integral; 11/26 Revisando Funções Uma expressão matemática pode representar uma função ou simplesmente uma relação entre duas ou mais variáveis. Para identificar, graficamente, uma função devemos: Ver aplicação no GeoGebra: Identificar_função 12/26 Conceitos Trigonométricos Antes de falar sobre as funções trigonométricas, vamos fazer uma pequena revisão de conceitos trigonométricos: Ver aplicação no GeoGebra: o Ciclo_trigonométrico1 o Ciclo_trigonométrico2 13/26 Histórico Historicamente, o primeiro indício do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635. Gilles Personne de Roberval 14/26 Histórico Porém, essa área só avançou efetivamente no século XIX com Fourier. JeanβBaptiste Joseph Fourier Estudo dos movimentos periódicos 15/26 Funções Trigonométricas a) Função Seno: f : IR ο IR f(x) = sen x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x. ο’ x ο IR ο -1 ο£ sen x ο£ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] 16/26 Funções Trigonométricas a) gráfico : y - - ο° 2 0 ο° 2 3ο° 2 2ο° x 17/26 Funções Trigonométricas a) Função seno: Periodicidade : sen x = sen ( x + 2ο°) β’ A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2ο° radianos. 2ο° β’ Se f(x) = a + b.sen(cx + d) ο período de f = c Paridade : sen x = - sen (- x) β’ A função y = sen x é ímpar. 18/26 Funções Trigonométricas b) Função cosseno : f : IR ο IR f(x) = cos x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x. ο’ x ο IR ο -1 ο£ cos x ο£ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] 19/26 Funções Trigonométricas b) gráfico: y - ο° 2 0 ο° 2 ο° 3ο° 2 2ο° x 20/26 Funções Trigonométricas b) Função cosseno: Periodicidade : cos x = cos ( x + 2ο°) β’ A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2ο° radianos. 2ο° β’ Se f(x) = a + b. cos(cx + d) ο período de f = c Paridade : cos x = cos (- x) β’ A função y = cos x é par. 21/26 Funções Trigonométricas c) Função tangente: f : D ο IR D = { x ο IR / x οΉ ο° / 2 + k ο° } f(x) = tg x A função associa cada arco x, x οΉ ο° / 2 + k ο°, da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x. Im(f) = IR 22/26 Funções Trigonométricas c) gráfico: y - ο° 2 ο° 2 ο° 3ο° 2 2ο° 23/26 Funções Trigonométricas c) Função Tangente: Periodicidade : tg x = tg ( x + ο°) β’ A função y = tg x é periódica e tem período igual a ο° radianos. ο° β’ Se f(x) = a + b. tg(cx + d) ο período de f = c Paridade : tg x = - tg (- x) β’ A função y = tg x é ímpar. 24/26 Funções Trigonométricas Ex.: Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3ο°/ 2. a) Determine c. Resposta: c = 4/3 b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ], determine a e b. Resposta: a = 4 e b = 1 25/26 Obrigada pela atenção! www.ufal.edu.br www.facebook.com/PETEngenharias 26/26