Departamento de Engenharia Industrial
MODELO DE GESTÃO DE ATIVOS E PASSIVOS PARA UM FUNDO
DE PENSÃO
Aluno: Julia Romboli Tardin Costa
Orientador: Davi Michel Valladão
Introdução
Este trabalho propõe uma metodologia para a gestão de ativos e passivos (Asset and
Liability Management - ALM) de uma instituição de previdência privada, conhecida como
fundo de pensão. A ALM, que, neste caso, tem como objetivo chegar à uma carteira ótima, é
uma prática contínua de formulação, implementação e monitoramento de estratégias ligadas à
ativos e passivos.
A previdência privada, como objeto de estudo, oferece planos para completar o
benefício ou pensão da previdência pública, através dos quais o participante realiza
contribuições ao longo de sua vida ativa e espera acumular recursos para sua aposentadoria.
Isso pode ser feito através de pagamentos vitalícios, temporários ou pecúlio. O foco dessa
pesquisa reside nos planos de benefício definido (BD) das instituições de previdência fechada
(restritas à pessoas vinculadas à empresa ou instituição que ofereça o benefício) conhecidas
como fundos de pensão. Os planos BD são caracterizados pelo fato do beneficiado já saber
quando receberá depois da aposentadoria; o que varia é apenas a sua contribuição mensal.
Esses planos, porém, apresentam dificuldades na modelagem dos fatores de risco, deixando a
instituição exposta a maiores gastos (caso o beneficiado viva mais que o esperado) e ao risco
de que as mudanças nas condições do mercado a impossibilitem de cumprir a meta de suas
carteiras.
A ALM é crucial para a boa gestão das finanças de qualquer organização que investe
de modo a atender à necessidade de fluxos de caixa futuros e requerimentos de capital. Tornase, portanto, a melhor opção para o caso de otimização de carteira dos fundos de pensão.
Objetivos
O objetivo deste trabalho é estudar os conceitos básicos de matemática financeira, de
modo a construir um modelo que otimize a gestão de ativos e passivos de uma instituição de
previdência privada, conhecida como fundo de pensão. O foco é a obtenção de uma carteira
ótima de Títulos de Renda Fixa que atenda aos passivos em questão.
Detalhamento do Projeto
A. Metodologia
A metodologia utilizada para este projeto fundamenta-se em pesquisa teórica e
aplicação da Teoria de Imunização, de Frank Mitchell Redington. Tendo como objetivo a
alocação de ativos, de modo à garantir o pagamento de todo o montante plicado no Fundo de
Pensão, foram feitas algumas considerações.
A primeira trata-se do “Present Value Matching”, ou Adequação de Valor Presente.
Esse modelo de otimização possui uma função objetivo de minimização de custos e impõe a
restrição de que o Valor Presente do ativo deve ser maior ou igual que o do passivo. A seguir,
a segunda consideração engloba a “Duration Matching”, ou Adequação da Duração (medida
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de sensibilidade do preço). Levando em conta a função objetivo e restrição anterior, adicionase a restrição de que a duration do Ativo deve ser igual a do passivo, ou seja, atingem a
maturidade ao mesmo tempo. Por fim, a terceira consideração trata da “Convexity Matching”,
ou Adequação da Convexidade. Esta, da mesma forma que a segunda, aproveita as
informações anteriores, acrescentando a restrição de que a convexidade (segunda derivada da
função) do Ativo deve ser maior ou igual à do Passivo.
Assim, um estudo foi realizado com o objetivo de assimilar alguns conceitos
fundamentais da matemática financeira que seriam utilizados no problema de otimização em
questão. A partir da teoria, foram e estabelecidos variáveis e parâmetros fictícios para a
modelagem de um problema mais simples e, após sua estruturação, foram inseridos dados de
cenários realistas referentes aos fluxos de ativo e passivo. Assim, a otimização (minimização
do custo) foi feita em três etapas, adicionando restrições de Valor Presente, em seguida
Duration e, por fim, Convexidade. Esse processo permitiu a análise dos resultados para os
diferentes cenários. Esses foram simulados a partir da utilização do software Matlab e suas
extensões Mosek e Yalmip.
Os dados foram obtidos primeiramente arbitrando valores, um passivo com um fluxo,
apenas, e cinco Títulos de Renda Fixa, utilizando taxas reais da Anbima para pré-fixados.
Posteriormente, coletaram-se dados mais realistas para o Passivo, com fluxos mensais num
período aproximado de 22 anos. As taxas utilizadas, nesse caso, também foram coletadas da
Anbima, porém foram considerados somente os valores acima da inflação (IPCA). Para os
ativos, ainda foi utilizada a arbitragem de valores, porém estabelecendo fluxos e durations os
mais próximos da realidade.
B. Adequação de Valor Presente (Solução VP)
Inicialmente, descreveu-se a função objetivo de minimização de custo para a carteira
de ativos. Esta foi usada em todos os cenários estudados, sendo acrescentadas apenas
restrições novas. A função utilizada pode ser observada abaixo:
!
min! ∈ ℝ! 𝑧 = 𝑐! 𝑥!
!!!
A função objetivo minimiza o custo da carteira, uma vez que N representa o número
total de ativos que a constituem, 𝑐! é o preço do título i no instante zero e 𝑥! , variável do
problema, é a quantidade comprada de cada ativo i no instante zero.
A restrição de adequação do valor presente (VP) vem da própria definição de valor
presente líquido, que estabelece que o VP do ativo deve ser pelo menos igual ao VP do
passivo, para uma mesma taxa r (PARIS, 2010). Assim, adicionando a restrição temos um
problema de minimização dado por:
(1)
A restrição (1) acima considera 𝐹!,! como o fluxo de cada ativo i no tempo t e 𝑃! como
os fluxo do passivo no tempo t.
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C. Adequação de Valor Presente e Duration (Solução VPD)
A restrição de adequação de duration consiste em igualar as derivadas da função do
VP dos ativos e dos passivos com relação a taxa e, consequentemente, igualar as durations
dos ativos e passivos. Isso garante a solvência para pequenas variações da taxa ao longo do
tempo. A duration pode ser calculada da seguinte maneira:
•
Considerando o ativo i:
•
Considerando o passivo p:
Assim, o novo problema de otimização é dado pelas equações abaixo:
(1)
(2)
D. Adequação de Valor Presente, Duration e Convexidade (Soluçãp VPDC)
A restrição de adequação da convexidade considera a segunda derivada da função do
VP dos ativos com relação à taxa e, desta forma, garante a solvência para maiores variações
na taxa. A convexidade pode ser obtida a partir das seguintes expressoões:
•
Considerando o ativo i:
•
Considerando o passivo p:
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Assim, o novo problema de otimização é dado pelas equações abaixo:
(1)
(2)
(3)
E. Dados
Foram arbitrados 22 diferentes ativos, do tipo NTN-B para a composição da carteira,
cada um tendo maturidade no final de 1 a 22 anos, com fluxo positivo de valor presente
unitário. Tal quantidade de ativos foi escolhida devido ao tamanho do vetor do passivo, de
269 fluxos mensais. Assim, em termos de anos, os pagamentos acontecem entre pouco menos
que 22 anos e meio.
As taxas utilizadas foram coletadas do site da Anbima, sendo considerados
considerados somente os valores acima da inflação (IPCA), uma vez que o passivo estava sob
o mesmo ajuste.
Os fluxos do passivo, que podem ser observados na figura 1, foram obtidos a partir de
uma base de dados fictícia de 1000 participantes já recebendo o benefício. Foi considerado
que se trata de um produto que paga uma renda mestral indexada pelo IPCA com 6% de
juros.
Figura 1. Fluxos mensais do passivo
Pode se observar o decaimento do montante de cada fluxo do passivo, que segue um
comportamento monótono decrescente. A partir do gráfico, pode-se prever que a duration, ou
tempo até a maturidade, é uma medida de tempo localizada no início do período de benefício,
uma vez que seu cálculo envolve uma média ponderada dos fluxos no tempo.
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F. Considerações acerca da taxa
A informação das taxas oferecida pelo site da Anbima é semestral. Deste modo, foi
feita uma interpolação para que fosse possível obter taxas para cada mês, necessárias para o
cálculo do VP, da duration e da convexidade do passivo.
Assim, foi calculada a taxa foward, que pode ser interpretada como uma medida de
inclinação da Estrutura a Termo das Taxas de Juros (ETTJ) e fornece a informação sobre
quanto custa o dinheiro (computado atualmente) para um intervalo de tempo qualquer [t1, t2]
no futuro. Para cada período foi calculada tal taxa e, em seguida, foi feita a interpolação,
como pode ser visto na fórmula a seguir. Nesse caso, ETTJ representa o vetor com as taxas a
serem interpoladas, r é o vetor com a interpolação, TF é a taxa foward para cada período,
“prazo” é uma função d(o mês representado em quantidade de dias úteis) e “vértices” é o
vetor que possui a quantidade de dias úteis para cada seis meses em que há informação da
taxa.
𝑟 = {1+[(1 + 𝐸𝑇𝑇𝐽 𝑖 − 1 ) !é!"#$%& !!!
!"!
∗ (1 + 𝑇𝐹) !"#$%!!"#$%&"' !!!
!"!
!"!
– 1]} !"#$% − 1; Foi possível, por esse modelo, obter o resultado expresso pela figura 1, em que podese ver a comparação entre o vetor inicial, ETTJ, e o novo vetor de taxas, “r”.
Figura 2. Comparação entre as os vetores com as taxas IPCA, respectivas escalas anual e mensal
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Conclusões e Resultados
O custo da carteira aumenta, à medida em que são acrescentadas restrições, porém a
mesma torna-se mais eficiente no processo de imunização, ou seja, é capaz de pagar o Fundo
de Pensão. É possível comparar o resultado dos três métodos a partir das figuras 2, 3 e 4, que
mostram a distribuição da carteira entre os 22 diferentes títulos.
Figura 3. Solução VP
A Solução VP encontra uma carteira de apenas um título, cujo gasto total é de
6,8909 ×10! valores de face.
Figura 4. Solução VPD
A Solução VPD encontra uma carteira um pouco mais distribuida, mas o gasto total é
o mesmo, 6,8909 ×10! valores de face.
Figura 5. Solução VPDC
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A Solução VPDC possui outra distribuição ideal de recursos e o gasto total se
assemelha ao anterior novamente: 6,8909 ×10! valores de face. O resultado final pode ser
observado na tabela 1.
Modelo
VP
VPD
VPDC
Total Gasto (em valores de face)
6,8909 ×10!
6,8909 ×10!
6,8909 ×10!
Tabela 1. Visão geral do resultado
O fato dos três casos apresentarem o mesmo custo, deixa evidente que a melhor opção
é a do terceiro modelo, uma vez este é mais completo, menos sensível a variações da taxa de
juros e mais certo.
Pode-se concluir, por fim, que o método utilizado pode ser aplicado em cenários
maiores, auxiliando na Gestão de Ativos e Passivos (ALM) de grandes empresas e
corporações. O problema passa a ser simples a partir de uma programação correta.
Referências
1 – LUENBERGER, David G. . Investment Science. 2.ed., 2013
2 – BREALEY, Richard A., MYERS, Stewart C., ALLEN, Franflin. Princípios de Finanças
Corporativas. 10.ed., 2013
3 – PARIS, S. . Interest Theory Manual Notes, Problems, and Answers to
Problems. Florida State University, Florida, 2010. Módulo 4, seção 6. Disponível em:
<http://www.math.fsu.edu/~paris/MAP4170/M4S6.pdf> Acesso em: 21 jul. 2015.