Aula
Trabalho de uma força e energia
Trabalho - definição
Força variável
Trabalho é uma das formas de promovermos
conversão ou variação de energia por meio da ação
de uma força que produz deslocamento. Dessa forma,
o trabalho realizado por uma força mede a variação de
energia sofrida por um corpo.
•
9
Trabalho de uma força variável – a relação entre
a intensidade da força e o deslocamento será expressa por meio de um gráfico, portanto o trabalho
da força nesse deslocamento será numericamente
igual à área do gráfico, compreendida entre a curva
e o eixo das abscissas.
Cálculo do trabalho
Força constante
Quando a força que realiza trabalho é constante,
como nos casos representados a seguir, o trabalho ou
variação de energia será calculado pela expressão:
T = F.d.cos.θo
Trabalho da força peso
O peso é uma força conservativa. Ou seja, o trabalho realizado por ela não depende da trajetória. Assim,
o deslocamento será determinado pela variação de altura sofrida pelo corpo, independentemente da trajetória
descrita. Na subida do corpo, o peso estará contrário ao
deslocamento
trabalho resistente; na descida, o peso
estará a favor do deslocamento
trabalho motor.
θ
Veja os casos abaixo:
•
•
•
Quando a força é paralela ao deslocamento, o
ângulo q vale 0°, portanto, sendo o cos 0 = 1,
temos que:
T = F. d
Quando a força é perpendicular ao deslocamento,
o angulo θ vale 90º, portanto, sendo o cos 90º = 0,
temos que:
T = nulo
Quando a força é contrária ao deslocamento, o
“angulo θ vale 180º, portanto, sendo o cos θ = -1,
temos que:
T = -F.d
Obs.: O sinal algébrico (+ ou -) é usado para diferenciar
os trabalhos, positivo se motor (para forças a favor do
deslocamento) e negativo se resistente (para forças contrárias ao deslocamento)
EN VUS
88
h
P
α
d
T = P.d.cosα
mas, cosα = h
d
daí,
T = P.d. h
d
T = m.g.h
Trabalho da força elástica
P
ƞ = —u
Pt
A força elástica realiza trabalho quando uma força solicitadora provoca a deformação de um meio material elástico, como uma mola.
Podemos definir trabalho como sendo a medida da
transformação, variação ou transferência de energia.
Teorema da energia cinética
Considere um corpo que, por meio da ação de
uma força resultante, sofre no deslocamento AB uma
variação de velocidade. Sendo vA = v0, vB = v e d = ∆S
e considerando a força resultante constante nesse deslocamento, o movimento descrito pelo corpo será uniformemente variado, portanto:
Sendo a força elástica sempre paralela ao deslocamento (deformação da mola), porém, variável, temos
que o trabalho por ela realizado será numericamente igual
à área do gráfico que descreve a relação entre variação
de sua intensidade e a deformação provocada na mola.
2
x
T = ! k. 2
v2 - v02
a = ————
2∆S
De acordo com a 2ª Lei de Newton:
v2 = v02 + 2a ∆S
FR = m . a
FR = m . (v2 - v02)/2∆S, logo,
FR .∆S = m . v2/2 - m . v02 / 2
TFR = ∆Ec
Logo, podemos determinar a energia cinética
de um corpo, energia associada ao movimento como
sendo:
2
v
Ec = m. 2
Energia potencial
Obs.: Sendo a força elástica uma força restauradora,
quando a mola estiver sendo deformada (comprimida
ou alongada), o trabalho realizado pela força elástica
será resistente; quando a mola estiver retornando à
posição de equilíbrio, o trabalho será motor.
A energia potencial está associada à variação
de posição de um móvel. Teremos, portanto, energia potencial associada ao trabalho da força peso e ao trabalho
da força elástica.
Potência
•
Energia potencial gravitacional
Epg = m.g.h
Podemos analisar a realização de trabalho e entender que a sua realização será mais eficiente quanto
menor for o tempo gasto para realizá-lo. A partir daí, surge o conceito de potência:
•
Energia potencial elástica
2
x
Epel = k. 2
T
Pot = —
∆t
Faça com o professor
Assim, quando falamos de realização de trabalho e da potência desenvolvida, é muito comum relacionarmos isso a uma máquina, cuja função é realizar trabalho desenvolvendo a maior potência possível. Dessa
relação, surge o conceito de rendimento. Terá maior rendimento uma máquina que conseguir desenvolver uma
maior potência (potência útil) em relação à potência total
que ela poderia desenvolver:
1) (UnB) Caminhando pelo DivertPAS, encontra-se o
barco viking. Esse brinquedo, ilustrado a seguir, quando
em funcionamento, tem um movimento análogo ao de
um pêndulo simples. Quando o ponto A coincide com A´
ou B coincide com B´, o barco atinge sua altura máxima.
O barco atingirá altura mínima quando os pontos P, P´ e
O estiverem alinhados. Considerando que a aceleração
89
Física
da gravidade seja igual a 10 m/s2, que o sistema seja
simétrico com relação ao eixo OP e desprezando todas
as forças dissipativas, julgue os itens a seguir.
(1) Em relação ao ponto O, a energia potencial gravitacional do barco viking é máxima quando A coincide
com A´ ou B coincide com B´.
(2) Supondo que o centro de massa do barco coincida
com seu centro geométrico, quando o barco estiver
em movimento, a sua energia cinética será máxima
quando os pontos P, P´e O estiverem alinhados.
(3) Quando o barco estiver em movimento e os pontos
P, P´ e O estiverem alinhados, o módulo do vetor resultante da soma vetorial da tração em cada uma das
barras de sustentação será igual ao módulo do peso
total do barco.
2) (UnB) A figura acima apresenta um esquema simplificado de uma das maiores atrações do DivertPAS: o
escorregador selvagem. Nesse brinquedo, o visitante
parte do ponto A com velocidade inicial nula e escorrega seguindo uma das duas possíveis trajetórias – I ou
II – indicadas na figura. A trajetória I corresponde a um
escorregador que liga os pontos A e B por meio de um
segmento de reta. A trajetória II, por sua vez, corresponde a um escorregador que liga os mesmos pontos A e
B por meio de um arco de circunferência, com centro
no ponto P. Na figura acima, a trajetória indicada por III,
linha tracejada, representa uma aproximação por dois
segmentos de reta da trajetória II. As trajetórias II e III
têm em comum o ponto C, interseção entre o segmento
de reta OP e o arco de circunferência correspondente à
trajetória II. No ambiente apresentado, considere que a
aceleração da gravidade seja igual a 10 m/s2. Com base
no texto, julgue os itens a seguir.
EN VUS
90
(1) Supondo a ausência de forças dissipativas, se duas
pessoas partirem do ponto A simultaneamente, uma
pela trajetória I e a outra pela trajetória II, então elas
chegarão ao ponto B no mesmo instante.
(2) Supondo a ausência de atrito, quando duas pessoas
de massas distintas m1 e m2 percorrerem as trajetórias I e II, respectivamente, os trabalhos realizados
pela força da gravidade em cada uma dessas pessoas serão iguais.
(3) Supondo a presença de força de atrito e que o módulo dessa força seja proporcional à força normal que
atua em uma pessoa que está escorregando, então,
para a trajetória II, o módulo da força de atrito é uma
função crescente de x.
(4) Suponha que uma pessoa de peso igual a 600 N escorregue, a partir do ponto A, pela trajetória II e que o
módulo da força de atrito que atua sobre essa pessoa
seja constante e igual a 240 N. Nessas condições, a
energia cinética dessa pessoa no ponto B é menor
que 1.200 J.
3) (CPS) Uma das dúvidas mais frequentes das pessoas
sobre atividade física é o gasto calórico dos exercícios.
Quem deseja emagrecer quer saber exatamente quanto
gasta em determinada atividade e quanto consome em
determinada refeição. Esse cálculo depende de muitos
fatores. O gasto calórico dos exercícios varia de pessoa
para pessoa, dependendo do metabolismo de cada
uma delas (da genética e do biotipo), do tempo e da
intensidade do exercício. Assim, o gasto calórico, numa
atividade específica, difere entre uma pessoa de 90 kg e
uma de 50 kg.
A tabela a seguir mostra o gasto calórico aproximado de
algumas atividades:
Atividade
Gasto calórico*
(em quilocalorias/minuto)
Andar de bicicleta
4
Dançar
7
Esteira (andar acelerado)
9
Correr (no plano)
10
Spinning
13
*para uma pessoa de 60 kg
(SOUZA, Valéria Alvin Igayara. Disponível em: <http://cyberdiet.terra.
com.br/gasto-calorico-dos-exercicios-3-1-2-326.html>. Acesso em:
27 ago. 2010. Adaptado)
Se uma pessoa de 60 kg comer uma fatia de pizza de
mozzarella (muçarela) que tem 304 quilocalorias, se
arrepender e desejar queimá-las, deverá de acordo com
essa tabela, em princípio:
a) Dançar por cerca de 45 minutos.
b) Fazer spinning por cerca de 15 minutos.
c) Andar de bicicleta por cerca de 60 minutos.
d) Correr em terreno plano por cerca de 18 minutos.
e) Andar acelerado na esteira por cerca de 20 minutos.
(1) Considere que T(h) = mgh, com m constante, seja
a função que descreve o trabalho realizado pelo sistema no ato da descida da jovem no tobogã. Nesse
caso, o gráfico da função T(h), no plano cartesiano
hOT, e uma reta que forma um angulo θ com o eixo h,
tal que θ satisfaz a relação tgθ = mg.
(2) Dado que a forca gravitacional é conservativa, o trabalho realizado para que a jovem desça de uma altura h independe do comprimento do tobogã.
4) (UNICAMP) A produção de fogo tem sido uma
necessidade humana há milhares de anos. O homem
primitivo provavelmente obtinha fogo através da
produção de calor por atrito. Mais recentemente, faíscas
elétricas geradoras de combustão são produzidas
através do chamado efeito piezelétrico.
4
6) (UERJ) Uma pessoa empurrou um carro por uma distância de 26 m, aplicando uma força F de mesma direção e sentido do deslocamento desse carro. O gráfico
abaixo representa a variação da intensidade de F, em
newtons, em função do deslocamento d, em metros.
3,0x10
4
Tensão (V)
2,5x10
4
2,0x10
4
1,5x10
4
1,0x10
3
5,0x10
0,0
0,0
8
8
8
8
7
5,0x10 1,0x10 1,5x10 2,0x108 2,5x10 3,0x10
Pressão (N/m2)
a) A obtenção de fogo por atrito depende do calor liberado pela ação da força de atrito entre duas superfícies,
calor que aumenta a temperatura de um material até
o ponto em que ocorre a combustão. Considere que
uma superfície se desloca 2,0 cm em relação à outra,
exercendo uma força normal de 3,0 N. Se o coeficiente
de atrito cinético entre as superfícies vale mc = 0,60,
qual é o trabalho da força de atrito?
b) Num acendedor moderno, um cristal de quartzo é
pressionado por uma ponta acionada por molas. Entre as duas faces do cristal, surge então uma tensão
elétrica, cuja dependência em função da pressão é
dada pelo gráfico abaixo. Se a tensão necessária
para a ignição é de 20 kV e a ponta atua numa área
de 0,25 mm2, qual a força exercida pela ponta sobre
o cristal?
Desprezando o atrito, o trabalho total, em joules, realizado por F , equivale a:
a) 117
b) 130
c) 143
d) 156
7) (ESCS/DF) Uma pessoa resolve dar um salto vertical
e, para isso, flexiona suas pernas como mostra a figura
(1). Nesse instante, t1, ela está em repouso. O ponto C
representa seu centro de massa.
A figura (2) mostra a pessoa no instante t2, em que ela
abandona o solo. Suponha que, a partir desse instante,
todas as partes do corpo da pessoa tenham a mesma
velocidade, a do centro de massa.
A figura (3) mostra a pessoa no instante t3 em que seu
centro de massa atinge a altura máxima. Entre t1 e t2 o
centro de massa subiu uma altura d = 30 cm, e entre t2 e
t3, uma altura h.
5) (UnB)
A figura acima ilustra, de forma diagramatica, a situação
em que uma jovem, de massa m, desce, de uma altura h,
escorregando em um tobogã de agua, sob a ação apenas da forca gravitacional g.
A massa da pessoa vale 50 kg e o trabalho total de seus
músculos, no intervalo de t1 a t2 , foi W = 450 J. O valor
da altura h é igual a:
Com base nessas informações, julgue os próximos itens,
desconsiderando as forcas de atrito que possam atuar
no sistema.
a) 30 cm
b) 60 cm
c) 90 cm
91
Física
d) 1,5 m
e) 1,2 m
Em (I), ela é erguida diretamente; em (II), é arrastada
sobre um plano inclinado de 30º, com atrito desprezível
e, em (III), através de um arranjo de duas roldanas, uma
fixa e outra móvel.
Faça em casa
Admitindo que o corpo suba com velocidade constante,
julgue os itens seguintes.
1) (UNICAMP) “Era uma vez um povo que morava numa
montanha onde havia muitas quedas d’água. O trabalho era árduo e o grão era moído em pilões (figura da
direita). (...) Um dia, quando um jovem suava ao pilão,
seus olhos bateram na queda d’água onde se banhava
diariamente. (...) Conhecia a força da água, mais poderosa que o braço de muitos homens. (...) Uma faísca lhe
iluminou a mente: não seria possível domesticá-la, ligando-a ao pilão?”
ALVES, Rubem, Filosofia da Ciência: introdução ao jogo e suas
regras. São Paulo: Brasiliense, 1987. Essa história
ilustra a invenção do pilão d’água.
Podemos comparar o trabalho realizado por esse monjolo de massa igual a 30 kg com o trabalho realizado por
um pilão manual de massa igual a 5 kg. Nessa comparação, desconsidere as perdas e considere g = 10 m/s2.
a) Um trabalhador ergue o pilão manual e deixa-o cair
de uma altura de 60 cm. Qual o trabalho realizado em
cada batida?
b) O monjolo cai sobre grãos de uma altura de 2 m. O pilão manual é batido a cada 2 s, e o monjolo, a
cada 4 s. Quantas pessoas seriam necessárias para
realizar com o pilão manual o mesmo trabalho que o
monjolo, no mesmo intervalo de tempo?
(1) O módulo da força exercida pela pessoa, na situação
(III), é a metade do módulo da força exercida na situação (I).
(2) O módulo da força exercida pela pessoa, na situação
(II), é igual ao da força exercida na situação (III).
(3) Os trabalhos realizados pela pessoa, nas três situações, são iguais.
(4) Na situação (III), o trabalho realizado pela pessoa é
metade do trabalho realizado pela pessoa na situação (I).
3) (FGV) Contando que ao término da prova os vestibulandos da GV estivessem loucos por um docinho, o
vendedor de churros levou seu carrinho até o local de
saída dos candidatos. Para chegar lá, percorreu 800 m,
metade sobre solo horizontal e a outra metade em uma
ladeira de inclinação constante, sempre aplicando sobre
o carrinho uma força de intensidade 30 N, paralela ao
plano da superfície sobre a qual se deslocava e na direção do movimento. Levando em conta o esforço aplicado pelo vendedor sobre o carrinho, considerando todo o
traslado, pode-se dizer que:
a) Na primeira metade do trajeto, o trabalho exercido foi
de 12 kJ, enquanto que, na segunda metade, o trabalho foi maior.
b) Na primeira metade do trajeto, o trabalho exercido foi
de 52 kJ, enquanto que, na segunda metade, o trabalho foi menor.
c) Na primeira metade do trajeto, o trabalho exercido foi
nulo, assumindo, na segunda metade, o valor de 12 kJ.
d) Tanto na primeira metade do trajeto, como na segunda
metade, o trabalho foi de mesma intensidade,
totalizando 24 kJ.
e) O trabalho total foi nulo, porque o carrinho parte de um
estado de repouso e termina o movimento na mesma
condição.
2) (UFMS) A figura mostra três possíveis maneiras de
erguer um corpo de massa M a uma altura h.
4) (UNICAMP) As eclusas permitem que as embarcações façam a transposição dos desníveis causados pelas barragens. Além de ser uma monumental obra de
engenharia hidráulica, a eclusa tem um funcionamento
simples e econômico. Ela nada mais é do que um eleva-
EN VUS
92
dor de águas que serve para subir e descer as embarcações. A eclusa de Barra Bonita, no rio Tietê, tem um
desnível de aproximadamente 25 m. Qual é o aumento
da energia potencial gravitacional quando uma embarcação de massa m = 1,2.104 kg é elevada na eclusa?
GABARITO
Faça com o professor
1) C, C, E
2) E, E, C, C
3) a
4)
a) - 3,6.10-2 J
b) 50 N
5) C, C
6) d
7) b
a) 4,8.102 J.
b) 1,2.105 J.
c) 3,0.105 J.
d) 3,0.106 J.
5) (ESCS/DF) Uma pessoa deseja saber quantas calorias perde cada vez que usa a bicicleta na academia. Suponha que, ao pedalar, cada um de seus pés, apropriadamente preso a um dos dois pedais da bicicleta, exerça
sobre o pedal uma força sempre tangencial à trajetória
circular de seus pés e de módulo constante igual a 20 N.
Além disso, a força exercida por um pé tem sempre sentido oposto à exercida pelo outro, como indica a figura. O
comprimento de cada pedal é 0,25m e a pessoa mantém
os pedais com uma velocidade angular constante de módulo igual a 4,2rad/s.
Faça em casa
1)
a) 30 J
b) 10 pessoas
2) (1), (2), (3)
3) d
4) d
5) b
6) b
Considere, nesta questão, que W/Q=20%, onde W é o trabalho realizado pelos pés da pessoa e Q é a quantidade
de energia gasta por ela para realizar o exercício. Suponha que 1cal = 4,2J e lembre que 1,0 kcal = 1,0 x 103 cal.
Se a pessoa pedala por uma hora, nessas condições, o
valor de Q é igual a:
a) 360 kcal;
b) 180 kcal;
c) 90 kcal;
d) 36 kcal;
e) 18 kcal.
6) (ESCS/DF) Um pacote estava no alto de um plano inclinado de 1,0m de altura, em relação ao solo. O pacote
escorregou pelo plano inclinado e chegou ao chão com
velocidade de 4m/s. Seja T o trabalho realizado pelo
operário para colocar o pacote no alto do plano inclinado, e g = 10m/s2 a aceleração da gravidade. A energia
dissipada por atrito é:
a) 0,1T;
b) 0,2T;
c) 0,3T;
d) 0,4T;
e) 0,5T.
93
Física