GABARITO GE1 - EQUAÇÕES DE MAXWELL
GE1.2) Observe as figuras abaixo e responda:
Fig. 1.2a
Fig. 1.2b
GE1.2.1) Como você usaria a noção de força para explicar a interação entre as
cargas q1 e q2 ,mostradas na Figura 1.2a, e entre os fios condutores (pelos quais
passam as correntes i1 e i2), mostrados na Figura 1.2b?
Na figura 1.2a temos duas cargas em repouso, sendo que no primeiro caso cargas de mesmo
sinal e no segundo caso cargas opostas. Aqui a força será proporcional ao produto das
cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distancia.
Na figura 1.2b temos cargas em movimento no interior dos fios 1 e 2 criando corrente i1 e
i2. Sabemos que, cargas em movimento num fio, criam um campo magnético em volta
deste, então usando a regra da mão direita podemos observar que o fio 1 faz com que
apareça um campo B1 no fio 2 que fará com que apareça também uma força F21.
GE1.2.2) Imagine que existam cinco cargas idênticas q1, q2, q3, q4 e q5, distribuídas
no espaço de tal que forma que q2 esteja localizada a 1m de q1, q3 esteja a 100m
de q1, q4 esteja a 100.000 m de q1 e q5 esteja no Sol. Se q1 for afastada 1m de sua
posição inicial todas as outras cargas irão sentir o efeito desta mudança no
mesmo instante?
Não, pois a mudança no campo elétrico gerado pela carga q5 propagará na velocidade da
luz c, e com isso demorará um tempo equivalente a d/c para chegar até a carga em questão.
GE1.2.3) Se a luz gasta 8 minutos para sair do Sol e chegar até a Terra, ainda
assim você acredita que a propagação da informação da mudança da posição de
q1 será sentida instantaneamente pela carga q5?
Não, como explicado na questão anterior. A diferença de tempo é considerável, oito
minutos.
GE1.2.4) Como podemos ver, essa maneira de visualizar a ação das forças
elétrica e magnética, resultante da interação direta entre as cargas ou entre os
fios, cria problemas de ação à distância e velocidade de propagação da
informação infinita. Como as noções de campo elétrico e campo magnético podem
ser utilizadas para explicar esse tipo de interação?
De uma maneira muito simplificada poderíamos dizer que os campos contêm a informação
em cada ponto e em cada instante de tempo relacionados com a carga em questão. Assim, a
interação deixa de ser carga  carga e pode ser descrita como carga  campo 
carga. Qual perturbação nos campos propaga na velocidade da luz no meio, e qualquer
resposta será sempre “retardada” por um tempo igual a d/c.
GE1.3) A Fig. 1.3a mostra duas cargas iguais e de sinais opostos e as linhas que
representam o campo elétrico em sua vizinhança. A Fig. 1.3b mostra um solenóide
e uma barra imantada com as linhas que representam o campo magnético em
suas respectivas vizinhanças. A Fig. 1.3c mostra as linhas de força dos campos
elétrico e magnético, geradas por um dipolo elétrico e um dipolo magnético,
respectivamente.
Fig. 1.3a
Fig.1.3c
Fig. 1.3b
Com base nestas figuras responda:
GE1.3.1) O fluxo elétrico através das superfícies Gaussianas S1, S2, S3 e S4,
representadas na Fig. 1.3.a, é positivo, negativo ou nulo? Justifique sua resposta
em termos da Lei de Gauss para a eletricidade.
S1: Fluxo elétrico positivo porque o campo elétrico é dirigido para fora da superfície.
S2: Fluxo elétrico negativo pois o campo elétrico é voltado para fora da superfície.
S3: Fluxo nulo porque esta superfície tem o campo elétrico entrando de um lado e saindo do
outro.
S4: Também nulo pois a soma total dos módulos das cargas em seu interior é nulo.
GE1.3.2) O fluxo magnético através das superfícies Gaussianas I e II,
representadas na Fig. 1.3.b, é positivo, negativo ou nulo? Justifique sua resposta
em termos da Lei de Gauss para o magnetismo.
Tanto na superfície I quanto na II o fluxo magnético será nulo. No caso I isto ocorre porque
o campo magnético que sai da superfície gaussiana pelo exterior do imã ou solenóide, entra
novamente pelo interior dos mesmos. Na superfície II também é zero porque a quantidade
linhas que entram é a mesma que saem.
GE1.3.3) Qual fenômeno físico explica a falta de simetria entre as Leis de Gauss
para a eletricidade e para o magnetismo? (Dica: Observe bem a Fig. 1.3c.)
A não existência de monopolos magnéticos na natureza, porque ao contrario do fluxo
elétrico numa superfície, o fluxo magnético será sempre zero. Podemos quebrar um imã até
o nível atômico e ainda sim teremos um dipolo magnético.
GE1.4) Fluxo Elétrico e Magnético
1.4a
1.4b
GE1.4.1) A Fig. 1.4a representa um cilindro hipotético fechado de raio R imerso
em um campo elétrico uniforme E, sendo o eixo longitudinal do cilindro paralelo ao
campo. Determine o valor do fluxo elétrico para esta superfície fechada.
Vamos dividir este cilindro em três áreas como é observado na figura abaixo:
O fluxo total através do cilindro é
 
 
 
 
Φ E = ∫ E ⋅ dA = ∫ E ⋅ dA1 + ∫ E ⋅ dA2 + ∫ E ⋅ dA3
s
onde
A1 = − EA
A2 = 0
A1 = EA
então:
Φ
E
= A1 + A2 + A3 = − EA + 0 + EA = 0
GE1.4.2) A Fig. 1.4b representa um fio reto longo que conduz uma corrente que
está saindo da página e é uniformemente distribuída ao longo da seção reta
transversal circular do fio. Determine o valor do fluxo magnético do lado de fora e
do lado de dentro.
Pela Lei de Ampère
∫
 
B.dl = µ o I
S
A corrente ic que atravessa a área delimitada pela circunferência de raio r é
ic = jA =
Então
it
(π .r 2 )
2
πR
∫
S
∫
 
B.dl = µ o I
 
B.dl = 2π .rB
S
 
π .r 2
B
.
d
l
=
2
π
.
rB
=
µ
i
o c
∫S
π .R 2
Portanto,
B=
µo r
ic
2π R 2
Fica simples agora estabelecer as expressões para r < R e para r > R.
GE1.5) Lei de Faraday
Fig.1.5
GE1.5.1) Qual é o sinal do fluxo magnético Φ e da variação do fluxo magnético
dΦ/dt nas várias situações apresentas na Fig. 1.5?
a) Positivo porque o imã esta entrando com o lado N para dentro da espira.
b) Negativo porque o imã esta saindo com o lado N para fora da espira.
c) Positivo porque o imã esta entrando com o lado S para dentro da espira.
d) Negativo porque o imã esta saindo com o lado S para fora da espira.
Para estes quatro casos temos (dΦB/dt) ou -(dΦB/dt) dependendo da maneira em que o imã é
movimentado próximo a espira.
GE1.5.2) Nesta mesma figura represente o campo magnético induzido e a
corrente induzida.
GE1.5.3) Existe campo elétrico induzido quando retiramos a espira?
Se for retirada a espira não haverá corrente elétrica induzida, mas ainda assim haverá
campo elétrico induzido, isto porque não se requer nenhum material condutor para a
propagação de uma onda eletromagnética, conforme mostram as Equações de Maxwell.
Fig 1.6
GE1.6)
Observe
a
Fig.
1.6
e
responda:
GE1.6.1) Escreva o valor da corrente interna para as duas superfícies indicadas
na figura.
Na superfície S1 a corrente de condução é zero e na superfície S2 é igual a I. Este resultado
leva a uma ambigüidade na Lei de Ampère. Duas superfícies, limitadas pela mesma curva
ampèreana resultando em valores incompatíveis.
GE1.6.2) Determine o campo magnético dentro e fora do capacitor. Faça um
esboço de B em ambas as situações.
Fora do capacitor, no caso será em volta do fio, o campo magnético é dado pela lei de
Ampère:
 
∫ B ⋅ ds = µ 0 i
c
então:
B=
µ 0i
2π r
Dentro do capacitor incluímos a corrente de deslocamento e excluímos a corrente de
condução pois não tem nenhum meio condutor entre as placas, generalização de Maxwell
da lei de Ampère.
 
dΦ E
B
∫c ⋅ ds = µ 0 i + µ 0ε 0 dt
ficando: B =
µ 0 ε 0 dΦ E
2π r dt
GE1.6.3) Se não existe B entre as placas do capacitor, como se pode explicar o
súbito desaparecimento e surgimento de B?
Não se explica. O campo magnético não tem nenhuma descontinuidade. Observe que há um
campo elétrico variável entre as placas que produz um campo magnético induzido.
GE1.6.4) Se não existem cargas elétricas em movimento entre as placas do
capacitor, porque senão ele estaria queimado, como você consegue explicar a
existência do campo magnético entre as placas do mesmo?
Pelo aparecimento de variação do fluxo elétrico entre as placas , equivalente ao surgimento
de uma “corrente”, a corrente de deslocamento. Essa variação de fluxo elétrico gera um
campo magnético induzido na região entre as placas do capacitor.
GE1.6.5) Qual modificação nas Equações de Maxwell, se torna necessária para
resolver este problema?
Maxwell adicionou o termo de variação do fluxo elétrico, cujo efeito é equivalente a
estabelecer uma “continuidade” na corrente. Adicionando essa “corrente” entre as placas,
a corrente de deslocamento, modifica-se então a lei de Ampère para:
 
dΦ E
B
com i D = ε 0
∫ c ⋅ ds = µ 0 (i + i D )
dt
GE1.6.6) A carga de um capacitor varia com o tempo à razão dq/dt. Mostre que a
corrente de deslocamento, na região interna às placas, é igual à corrente de
condução que a elas aflui da região externa. (Sugestão: derive em relação ao
tempo a forma integral da lei de Gauss da Eletricidade).
Sabemos que a corrente num fio é: iC =
pode ser escrito da seguinte maneira: ε 0 Φ
iC =
dq
, e que a lei de Gauss para o campo elétrico
dt
E
= q , então:
dΦ E
dq
= ε0
= iD
dt
dt
GE1.7) O capacitor de placas paralelas com placas circulares está sendo
carregado, conforme mostra a Fig. 1.6.
GE1.7.1) Obtenha uma expressão para o campo magnético induzido na região
entre placas em função de r. Considere tanto r ≤ R e r ≥ R.
Sabendo que entre as placas a corrente de condução é zero, podemos usar então:


∫ B ⋅ ds = µ
c
0
ε0
dΦ E
dt
Para r ≤ R :
B 2π r = µ 0 ε
0
d
dE
( Eπ r 2 ) = µ 0 ε 0π r 2
dt
dt
B=
1
dE
µ 0ε 0 r
2
dt
Para r ≥ R
B 2π r = µ 0 ε
0
d
dE
( Eπ R 2 ) = µ 0 ε 0π R 2
dt
dt
µ 0 ε 0 R 2 dE
B=
2r
dt
GE1.7.2) Determine B em r=R para dE/dt = 1012 V/m.s e R= 5,0 cm.
Para R = r , dE/dt = 1012 V/m.s e R = 5,0 cm.
B=
1
dE 1
µ 0ε 0 R
= (1,26 x 10 -6 )(8,85 x 10 -12 )(5,0x10 -2 )(1012 ) = 27,9 x10 − 8 T
2
dt 2
GE1.7.3) Determine a corrente de deslocamento id.
Para calcular o valor da corrente de deslocamento vamos usar o valor de dE/dt e R da
questão anterior.
iD = ε
0
dΦ E
d
dE
= ε 0 ( Eπ R 2 ) = ε 0π R 2
dt
dt
dt
i D = (8,85 x10 − 12 )(3,14)(5,0 x10 − 2 ) 2 (1012 ) = 6,94 x10 − 2 A
GE1.7.4) Determine o valor de B (para r > R) em um fio de raio R = 5,0 mm de
espessura no qual circule uma corrente de condução de valor igual à corrente de
deslocamento calculada no item anterior.
Vamos usar a expressão calculada na questão 1.6.2, onde não existe corrente de
deslocamento:
B=
µ 0 i (1,26 x10 − 6 )(6,94 x10 − 2 )
=
= 27,8 x10 − 8 T
−2
2π R
2(3,14)(5,0 x10 )
GE1.7.5) Compare os valores de B para r > R e discuta porque é muito difícil
detectar campos magnéticos induzidos.
Os valores dos campos magnéticos das questões 1.7.2 e 1.7.4 são os mesmos. A diferença
se deve ao fato da corrente estar “distribuída” numa área muita grande (espessura de 5,0
cm) em comparação com o fio onde circula corrente de condução (espessura de 5,0 mm).
Assim, os campos induzidos vão ter valores muito pequenos em comparação com os
campos gerados por correntes de condução.
GE1.8) Em uma certa região do espaço, o campo elétrico varia de acordo com a
equação E = Eo sen (2000t), onde Eo = 0,05 N/C e t é o tempo em segundos.
Determine a corrente máxima de deslocamento em uma área de 1 m2
perpendicular a E.
iD = ε 0
dΦ E
d
dE
dE
= ε 0 ( EA) = ε A
⇒
= 100 cos(200t )
dt
dt
dt
dt
i D = ε 0 100 cos(2000t )