EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
1. (Unifesp 2015) O metano (CH4 ) possui molécula de geometria tetraédrica (figura 1). Do ponto de vista
matemático, isso significa que, em uma molécula de metano, os 4 átomos de hidrogênio localizam-se idealmente nos
vértices de um tetraedro regular, e o átomo de carbono localiza-se no centro da esfera que circunscreve esse
tetraedro (figura 2). Nesse modelo de molécula, a distância entre um átomo de hidrogênio e o átomo de carbono é de
0,109 nanômetro (nm).
a) Sabendo que 1nm  109 m, calcule, em milímetros, a medida da distância entre hidrogênio e carbono na
molécula de metano. Registre sua resposta em notação científica.
b) Uma importante propriedade do tetraedro regular é a de que, sendo P um ponto interior qualquer, a soma das
distâncias de P às quatro faces do tetraedro será igual à altura do tetraedro. Nas condições do problema, isso
4
equivale a dizer que a altura do tetraedro é igual a
do raio da esfera. Na figura 2, α indica a medida do ângulo
3
de ligação HCH na molécula de metano. Considerando a tabela trigonométrica a seguir e as informações
fornecidas, calcule o valor aproximado de α.
α (em grau)
70
70,5
71
71,5
72
72,5
73
73,5
74
74,5
75
75,5
76
senα
0,9397
0,9426
0,9455
0,9483
0,9511
0,9537
0,9563
0,9588
0,9613
0,9636
0,9659
0,9681
0,9703
cosα
0,3420
0,3338
0,3256
0,3173
0,3090
0,3007
0,2924
0,2840
0,2756
0,2672
0,2588
0,2504
0,2419
tgα
2,7475
2,8239
2,9042
2,9887
3,0777
3,1716
3,2709
3,3759
3,4874
3,6059
3,7321
3,8667
4,0108
2. (Unesp 2015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar
uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio largará à distância FB da linha de partida para
que seu percurso total, de F até a chegada em C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André,
que irá de A até D'.
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Considere os dados:
- ABCD e A 'B'C'D' são retângulos.
- B', A ' e E estão alinhados.
- C, D e E estão alinhados.
- A 'D e B'C são arcos de circunferência de centro E.
Sabendo que AB  10 m, BC  98 m, ED  30 m, ED'  34 m e α  72, calcule o comprimento da pista de A até
D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos finais π  3.
3. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R
e ângulo central θ.
a) Para θ  60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R  4r.
4. (Ita 2014) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z
 x 
y  2z  0


 senθ y  4z  0, θ  0,2π.
 x 


 2x  1  cos2θ y  16z 
a) Determine θ tal que o sistema tenha infinitas soluções.
b) Para θ encontrado em (a), determine o conjunto-solução do sistema.
5. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de
1cm e um lado com comprimento de x cm.
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a) Encontre o valor de x.
b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.
6. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola
vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo.
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento
PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L.
Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o
lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ.
7. (Unesp 2014) Determine o período da função f(θ) dada pela lei de formação f θ 
 1
5
π
2
 sen   θ    1.
3
3

8. (Ita 2014) Determine o conjunto de todos os valores de x  0, 2π satisfazem, simultaneamente, a
2 sen2 x  sen x  1
 0 e tg x  3  1  3 cot g x cot g x.
cos x  1


9. (Unifesp 2013) A sequência (12,a,b), denominada S1, e a sequência (c,d,e), denominada S2, são progressões
aritméticas formadas por números reais.
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S 1, a nova sequência de três números reais passa a ser
uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG.
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S 2, a nova sequência que se forma tem soma dos três
π
 r  π.
termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r de S 2, para o caso em que
2
10. (Ita 2013) Determine o maior domínio D 
da função
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f : D  , f  x   log π (4sen x cos x  1).
x(  x)
4
11. (Unifesp 2013) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de
lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que:
— P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH;
— Q pertence à aresta EH;
— T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG da face EFGH;
— RF é um arco de circunferência de centro E.
a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros.
b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm3.
12. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção
plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite
pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.
a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos(θ)  3 / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.
13. (Unesp 2013) Sabendo-se que cos  2x   cos2 x – sen2 x, para quais valores de x a função
1
f  x   cos x   cos  2x  assume seu valor mínimo no intervalo 0  x  2π ?
2
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14. (Unicamp 2013) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água
3
até a altura a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo θ em torno de uma das arestas da base,
4
como está representado na figura abaixo.
a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do
ângulo θ .
b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan(θ)  1/4, com 0  θ  π/2, calcule o valor numérico da expressão
cos(2θ)  sen(2θ).
15. (Fuvest 2013)
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical,
perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P 1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um
dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem
comprimento 6 e o braço P1P2 tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura
menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine
ˆ entre a reta OP e o plano do chão;
a) o seno e o cosseno do ângulo P2OQ
2
b) a medida do ângulo OPˆ P entre os braços do guindaste;
1 2
ˆ entre o braço OP e o plano do chão.
c) o seno do ângulo P1OQ
1
 π  π
16. (Ita 2013) Encontre os pares  α, β   0,    0,  que satisfazem simultaneamente as equações
 2  2
 tg α  cotgβ cos α senβ  2 cos2 (α  β)  1 e
3 sen  α  β  cos  α  β  3.
17. (Fgv 2012) a) Construa um triângulo isósceles cujo ângulo menor seja metade de cada um dos ângulos maiores
e nomeie seus vértices de A, B e C, sendo ABC o ângulo menor. Em seguida, desenhe uma circunferência que
passe pelos três vértices desse triângulo. Por fim, trace as bissetrizes dos dois ângulos maiores do triângulo; batize
de ponto D o encontro da bissetriz de BAC com a circunferência e, de ponto E, o encontro da bissetriz de ACB
com a circunferência. Notas: (i) indique a localização dos pontos A, B, C, D e E; (ii) como referência, adote para o
segmento de reta AB qualquer tamanho entre 5 e 10 centímetros.
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b) Imagine que a figura construída no item anterior seja a versão, em miniatura, de uma figura na qual o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 2 km. Nesse caso, qual é o comprimento do arco BD ?
c) Na figura ampliada descrita no item anterior, qual é o perímetro do pentágono AEBDC? Se necessário, adote:
sen (36)  0,59; sen (54)  0,81; sen (72)  0,95; cos (36)  0,81; cos (54)  0,59; cos (72)  0,31.
18. (Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o
arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno.
A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma
rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente
esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma
inclinação α mínima de 30° e máxima de 45°.
Nestas condições e considerando 2  1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do
comprimento desta rampa de acesso?
19. (Unesp 2012) Sejam dois espelhos planos ( E1 e E2 ), posicionados verticalmente, com suas faces espelhadas
voltadas uma para outra, e separados por uma distância d, em centímetros. Suspensos por finas linhas, dois
pequenos anéis (A e B) são posicionados entre esses espelhos, de modo que as distâncias de A e B ao espelho E1
sejam, respectivamente, a e b, em centímetros, e a distância vertical entre os centros dos anéis seja h, em
centímetros, conforme mostra a figura.
Determine o ângulo de incidência  , em relação à horizontal, em função de a, b, d e h, para que um feixe de luz
atravesse o anel A, se reflita nos espelhos E1 , E2 e E1 e atravesse o anel B, como indica o percurso na figura.
Admita que os ângulos de incidência e de reflexão do feixe de luz sobre um espelho sejam iguais.
20. (Fgv 2012) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use
algum destes dados: 352  1225 ; 362  1296 ; 372  1369 .
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b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas
dos lados: 6 cm , 8 cm , e 16 cm . Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê?
21. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como
mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos
especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
Visada
^
A CB
^
BCD
^
A BC
Ângulo
π
6
π
3
π
6
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
22. (Fuvest 2012)
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5 , o ângulo interno de
vértice C mede α , e o ângulo interno de vértice B mede α 2 . Sabe-se, também, que 2 cos(2α)  3cos α  1  0
Nessas condições, calcule
a) o valor de sen α ;
b) o comprimento do lado AC .
23. (Unifesp 2012) A função
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 

D(t)  12  (1,6)  cos 
(t  10) 
180


fornece uma aproximação da duração do dia (diferença em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer
do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 2010. A variável inteira t, que representa o dia, varia de 1 a 365,
sendo t  1 correspondente ao dia 1.º de janeiro e t  365 correspondente ao dia 31 de dezembro. O argumento da
função cosseno é medido em radianos. Com base nessa função, determine
a) a duração do dia 19.02.2010, expressando o resultado em horas e minutos.
b) em quantos dias no ano de 2010 a duração do dia naquela cidade foi menor ou igual a doze horas.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Notações
: Conjunto dos números naturais;
: Conjunto dos números reais;

: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2  1 ;
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A) : número de elementos do conjunto finito A;
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z : argumento do número complexo z;
a,b  x  : a  x  b
A \ B  x : x  A e x  B
A c : complementar do conjunto A;
n
 ak xk  a0  a1x a2x2  ...  anxn,n 
.
k 0
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
24. (Ita 2012) Determine os valores reais de x de modo que sen(2x)  3 cos(2x) seja máximo.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos seus
três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(0,0), B(6,0) e C(3,4). Todas as unidades são dadas
em quilômetros.
O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no ponto P(x,y), de modo que as distâncias entre o depósito e
as três lojas sejam iguais: PA  PB  PC.
Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade de certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, de
acordo com o preço de cada uma. O mesmo ocorre com o preço unitário de determinado tipo de agenda escolar e a
quantidade vendida.
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
Preço de uma lapiseira
R$ 10,00
R$ 15,00
R$ 20,00
Quantidade
100
80
60
Preço de uma agenda
R$ 24,00
R$ 13,50
R$ 30,00
Quantidade
200
270
160
A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados. Um tipo, com 24 lápis de cor em cada estojo, é uma caixa
que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada, de 16 cm de lado e volume igual a 576 cm3 .
O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem a forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é 3
4
do
custo de fabricação do primeiro estojo.
Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo, independente de sua forma, é R$0,10 o centímetro quadrado.
A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três funcionários: Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos salários
mensais dos três, em dezembro de 2011, era de R$5.000,00.
25. (Fgv 2012) Sejam a, b e c as medidas dos ângulos internos de vértices A, B e C, respectivamente, do triângulo
ABC.
a) Calcule o valor de tg(2a).
b) Qual é o valor da soma cos(a  b)  cos2c ?
Gabarito:
Resposta da questão 1:
Considere o tetraedro regular VMNP da figura.
Sabemos que CV  CM  R, com R sendo o raio da esfera circunscrita ao tetraedro. Além disso, se O é o centro da
4
R
base MNP e VO  R, então CO  .
3
3
Desde que MCV  α, do triângulo MOC, vem
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
R
cosMCO 
 cos(180  α )  3
R
CM
 cos(180  α )  0,3333
CO
 180  α  70,5
 α  109,5.
Resposta da questão 2:
Se ABCD e A 'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo comprimento, então
FB  B'C  A 'D
2π
 (40  30)
5
 12 m.

Resposta da questão 3:
a) Considere a figura.
Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC  R, OB  OC  r e BAO  30. Logo, segue que
AO  AC  OC  R  r. Portanto, do triângulo ABO, vem
senBAO 
OB
AO
 sen30 

r
Rr
r 1

R 3
Em consequência, a razão pedida é igual a
2
πr 2
2
r
 6   .
R
3
2 60
πR 
360
b) Se R  4r, então, do triângulo ABO, obtemos
sen
θ
r
θ 1

 sen  .
2 R r
2 3
Por conseguinte, vem
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cos θ  1  2sen2
 1
 1 2   
3
7
 .
9
θ
2
2
Resposta da questão 4:
a) Como o sistema é homogêneo, basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo para que o
sistema seja possível e indeterminado. Logo, vem
1
1
2
1
sen 
2
4  0  cos 2  2sen   3  0.
1  cos 2 16
Daí, lembrando que cos2  1  2sen2 , obtemos
sen2   sen   2  0  (sen   2)(sen   1)  0.
Assim, convém apenas sen   1. Sendo   [0, 2], concluímos que  
b) Para  
3
rad.
2
3
rad temos
2
 1 1 2


 1 1 4 
 2 2 16 


1 1 2 


0 0 6 
 0 0 12 


L'2  1 L1  L 2
L'3  ( 2)  L1  L3
 1 1 2


0 0 6
0 0 0


L''3  ( 2)  L'2  L'3 .
O sistema equivalente é
 x  y  z  0
.

6z  0
Portanto, temos z  0, x  y e o conjunto solução do sistema é S  {(, , 0);   }.
Resposta da questão 5:
a) Considere a figura.
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Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AC  AB  BC  12  12  2,
AD  AC  CD  2  12  3,
AE  AD  DE  3  12  4
e
2
AF  AE  EF  x 2  4  12
 x  5 cm.
b) É imediato que BAC  45.
Do triângulo ACD, temos
tgCAD 
CD
AC
 CAD  arctg
1
2
 45.
Do triângulo ADE, vem
tgD AE 
DE
AD
 D AE  arctg
1
3
 30.
Do triângulo AEF, segue
tgE AF 
EF
AE
 E AF  arctg
1
4
 30.
Portanto, tem-se
α  BAC  CAD  DAE  EAF
 45  45  30  30
 150.
Resposta da questão 6:
Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T
pertencente a L.
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Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo,
RS  2  ST e, portanto, RT  3  ST.
Do triângulo PRT, vem
tg60 
PT
RT
 PT  3 3  ST
e
sen60 
PT
PR
 PR 
3 3  ST
3
2
 PR  6  ST.
Do triângulo PST, obtemos
tg α 
PT
ST
 tg α 
3 3  ST
ST
 tg α  3 3.
Sabendo que cossec2 α  1  cotg2 α e que α é agudo, encontramos
2
 1 
cossec α  1  
  sen α 
3 3 
2
 sen α 
27
28
3 21
.
14
Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem
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PR
QR
RS
2  ST

 2 
sen α sen θ
3 21 sen θ
14
 sen θ 
21
.
7
Resposta da questão 7:
2π 2π
P

 3π
2
m
3
Resposta da questão 8:
Parte 1:
2sen2 x  senx  1  0
2 sen2 x  sen x  1
π
5π

0 
 x
6
6
cos x  1
cos x  1  0


Observação: (cos x  1) não poderá ser maior ou igual a zero, pois anularia o denominador e não existe cosseno
maior que 1.
Parte 2:
tg x  3  (1  3 cot g x)cot g x

3 1
 tgx  3   1 



tgx  tgx

 tgx  3 
tgx  3
tg2 x

 tg2 x  (tgx  3)  tgx  3 



 tg2 x  1  tgx  3  0
Quadro de sinais.
Assim:
0x
π
π
2π
3π
5π
3π
5π
7π
ou
x
ou
 x  π ou π  x 
ou
x
ou
 x  2π
4
2
3
4
4
2
3
4
Fazendo, agora, a intersecção das soluções, temos:
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
π
π
π
2π
3π
5π 

Resposta: x  R /  x  ou
x
ou
x

6
4
2
3
4
6 

Resposta da questão 9:
a) Como (12, a, b) é uma progressão aritmética, segue que
a
b  12
 b  2a  12.
2
Além disso, sabendo que (12, a  1, b  5) é uma progressão geométrica crescente, vem
(a  1)2  12  (b  5)  a2  2a  1  12  (2a  7)
 a2  22a  85  0
 a  17.
Portanto, a razão pedida é dada por
a  1 17  1

12
12
3
 .
2
b) Como (c, d, e) é uma progressão aritmética, segue que e  2d  c e r  d  c. Daí, sabendo que
senc  send  sene  0 e send  0, vem
sen(2d  c)  senc  send  0 
 2d  c  c 
 2d  c  c 
2  sen 
  cos 
  send  0 




2
2
2  send  cos(d  c)  send  0  send  (2  cosr  1)  0
 cosr  
r 
pois
1
2
2π
,
3
π
 r  π.
2
Resposta da questão 10:
Pelas condições de existência dos logaritmos, vem
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
sen2x 
4 sen x cos x  1  0


1 x  x  0
4

1
2


 xx    0
4


x 2  x  1  0 (   0)
4

5
 k  x 
 k
12
12


0x
4



x .
12
4
  
Portanto, D   ,  .
 12 4 
Resposta da questão 11:
a) Como PQRE é tetraedro regular, segue que EQR é um triângulo equilátero. Logo, QER 
REF 
π
rad e, portanto,
3
π
rad, pois EFGH é retângulo.
6
Por conseguinte, dado que ER  6cm, segue que o comprimento do arco RF é
b) Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta
é dada por
π
 6  π cm.
6
6
, e que a altura do tetraedro PQRE é
3
igual à altura do paralelepípedo ABCDEFGH, obtemos
AE 
6 6
 2 6 cm.
3
Se RF é um arco de circunferência de centro E, então EF  ER  6cm. Além disso, do triângulo retângulo EFG,
vem
tgFEG 
FG
EF
 tg60 
FG
6
 FG  6 3 cm.
Portanto, o volume do paralelepípedo é dado por
EF  FG  AE  6  6 3  2 6
 216 2 cm3 .
Resposta da questão 12:
a) No triângulo assinalado:
R é a medida do raio da terra.
R
1
cos α 
  α  60
RR 2
Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:
2  π  R 2  π  6400 12800π


km.
3
3
3
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:
d2  R2  (2R)2  2.R.2R.cos θ
d2  5R2  4.R2 .(3/4)
d  2.R2
dR 2
d  6400. 2 km
Resposta da questão 13:
1
f  x   cos x   cos  2x 
2
1
f(x)  cos x   cos2 x  sen2 x
2
1
f(x)  cos x  (cos2 x  1  cos2 x)
2
1
2
f(x)  cos x  cos x 
2


Temos uma função do segundo grau na variável cosx.
O valor do cosx para que f(x) seja mínimo será dado por:
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
cos x  
1
1
 cos x  
2 1
2
Portanto, para
0  x  2π,a função f(x) assume valor mínimo para x 
2π
4π
ou x =
.
3
3
Resposta da questão 14:
a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado:
a a

1
tgθ  4 4 
a
2
b) Se tan(θ)  1/4, com 0  θ  π/2, temos:
senθ 
1
17
e cosθ 
4
17
Logo, cos 2θ  sen2θ  cos2 θ  sen2θ  2.senθ.cos θ 
2
2
 4 
 1 
1
4
16 1
8
7

.




 
  2.
17 17 17 17 17 17
 17 
 17 
Resposta da questão 15:
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA




a) sen P2ÔQ 
2
2 10

1
10
 10 

cos P2 ÔQ  1  
 10 



10
.
10
2
 1
10
90
3 10


100
100
10
ˆ P  90, pois  OP 2  P P 2   OP 2
b) OP
1 2
2
1 2
1
ˆ
ˆ
c) ΔOP1P2  ΔOP2Q, logo P1OP
2  P2OQ  α


ˆ
Então, sen P1OQ
 sen  2α   2senα  cos α  2 
2

6
2 10 2 10

6
3
 .
10 5
Resposta da questão 16:
π
π
Temos   α  β 
e 0  α  β  π. Logo, cos(α  β)  0 e, portanto,
2
2
(tg α  cotg β)cos α sen β  2cos2 (α  β)  1 
 sen α cos β 
2
 cos α  sen β  cos α sen β  2cos (α  β)  1 


2cos2 (α  β)  (sen α sen β  cos α cos β)  1  0 
2cos2 (α  β)  cos(α  β)  1  0 
cos(α  β)  1 
cos(α  β)  cos0 
α β
e
3 sen(α  β)  cos(α  β)  3 
3
1
3
sen(α  β)  cos(α  β) 

2
2
2
sen
π
π
3
sen(α  β)  cos cos(α  β) 

3
3
2
π
π

cos  α  β    cos 
3
6

π
π
α β 
ou α  β  .
2
6
π π
 π π
π
π
implicando em (α, β)   ,  ; α  β e α  β 
implicando em (α, β)   ,  .
2
6
4 4
 12 12 
Esses são os únicos pares que satisfazem simultaneamente as duas equações.
Daí, tem-se α  β e α  β 
Resposta da questão 17:
a) Sabendo que 2  ABC  BAC  ACB, vem
ABC  BAC  ACB  180  5  ABC  180
 ABC  36.
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
Logo, BAC  ACB  72.
b) Considere a figura, em que O é o centro do círculo.
Como DOB é ângulo central, temos que
DOB  2  DAB
 2  36
 72
72  
rad
180
2

rad.
5

Portanto, a medida do arco BD é dada por
2
4
2 
km.
5
5
c) É fácil ver que o pentágono AEBDC é regular. Assim, considere a figura, em que M é o ponto médio de AC.
Sabendo que OC  2km, vem
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
AC
sen36  2  AC  2  2  0,59  2,36km.
OC
Por conseguinte, o perímetro do pentágono é, aproximadamente, igual a 5  2,36  11,8km.
Resposta da questão 18:
Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m.
Resposta da questão 19:
 x  a.tgα
x k y

tgα     k  d.tgα
a d b
 y  b.tgα

h  x  2k  y
h  a.tgα  2.d.tgα  b.tgα
h  tgα.(a  2d  b)
tgα 
h
a  2.d  b
h


α  arctg 

a

2.d

b


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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
Resposta da questão 20:
a) Calculando a medida x do lado que falta temos:
x2 = 62 + 82 – 2  6  8  cos60°
x=
52
x = 2 13
x 2  3,6 (de acordo com as aproximações dadas)
x 7,2
Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2.
b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos outros dois).
Resposta da questão 21:
a)
No triângulo ABC assinalado, temos:
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152  x 2  x 2  2  x  x  cos120
 1
225  2x 2  2x 2   
 2
225  3x 2
x 2  75
x  5 3m
b)
No triângulo BDC, temos:
2
y  152  102  2  15  10  cos 60
y 2  225  100  150
y  175
y  5 7m
Resposta da questão 22:
a) Observe o cálculo a seguir:
2.cos(2α )  3.cos α  1  0
2.(cos2 α  sen2α )  3.cos α  1  0
2.(2.cos2 α  1)  3.cos α  1  0
4cos2 α  3.cos α  1  0
Δ  25
3  5
cos α 
8
1
4
cos α  1(não coném)
cos α 
2
15
 1
logo, senα = 1    
4
4
 
b) traçando uma reta r representada na figura, temos:
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
cos α 
1

4
15  5x
10
x
15  5x
10
x
10x  4 15  20x
30x  4 15
x
2 15
15
Resposta da questão 23:
a) O dia 19.02.2010 corresponde a t  50. Logo, o resultado pedido é dado por
 

D(50)  12  1,6  cos 
(50  10) 
 180


 12  1,6  cos
3
 (12  0,8) h
 12 h 48min.
b) Queremos calcular os valores de t para os quais D(t)  12. Desse modo,
 

 

12  (1,6)  cos 
(t  10)   12  cos 
(t  10)   0
180
180






3
 
(t  10) 
2 180
2
 90  t  10  270
 80  t  260.
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
Portanto, a duração do dia naquela cidade foi menor do que ou igual a doze horas em 260  80  1  181 dias.
Resposta da questão 24:
1

3
π

sen(2x)  3 cos(2x)   sen(2x) 
cos(2x)   2  2.sen  2x  
2

2
3



Para que a expressão seja máxima deveremos ter
π

sen  2x   máximo, logo
3

2x 
π π
  k.2π onde k 
3 2
2x =
5π
 k.2π onde k 
6
x
5π
 k.π onde k 
12
Resposta da questão 25:
a) tga 
3
4
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EXERCICIOS APROFUNDAMENTO – MATEMATICA – TRIGONOMETRIA
tg2a 
2  tga
2
1  tg a

2
4
3
4
1  
3
2

24
7

 c 
b) cos  a  b   cos2c  cos0  cos2c  sen2c  1  2   sen  2   
 2 

2
2
2

 3   4 
144
98
c
 c 
 1  2   2  sen    cos     1  2  4     .     1  8 

2
2
5
5
625
625












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