Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Ciências Rurais
Departamento de Engenharia Rural
INTRODUÇÃO À CARTOGRAFIA
SEGUNDA EDIÇÃO
ARGENTINO JOSÉ AGUIRRE
JOSÉ AMÉRICO DE MELLO FILHO
Santa Maria, RS
2009
Aguirre, Argentino José ; Mello Filho, José Américo de
A284i
Introdução à Cartografia / por Argentino José Aguirre, José
Américo de Mello Filho. – Santa Maria: UFSM / CCR /
Departamento de Engenharia Rural, 2009, 2.ed.
80 p. : il. (Caderno Didático)
1. Geografia 2. Cartografia 3. Representação cartográfica 4.
Forma da Terra 5. Projeção cartográfica 6. Sistema de projeção 7.
Projeção plana 8. Projeção cilíndrica 9. Projeção universal
transversa de Mercator 10. Projeção UTM I. Aguirre, Argentino José;
Mello Filho, José Américo de II. Título
III. Série
CDU: 528.9
Ficha catalográfica elaborada por
Luiz Marchiotti Fernandes - CRB-10/1160
Biblioteca Setorial do Centro de Ciências Rurais - UFSM
1
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
APRESENTAÇÃO
Este Caderno Didático, “Introdução à Cartografia”, foi elaborado para propiciar
apoio às disciplinas acadêmicas curriculares dos cursos ministrados no Departamento de
Engenharia Rural, Centro de Ciências Rurais, da Universidade Federal de Santa Maria.
Nesta segunda edição foram incorporados atualizações e aperfeiçoamentos.
Como se trata de uma introdução à ciência cartográfica, a maior parte dos conceitos
vertidos e das fórmulas apresentadas baseia-se em bibliografia. Há, no entanto, a inclusão
de fórmulas deduzidas e conceitos oriundos de experiências próprias dos autores.
A Cartografia é uma ciência com conceitos básicos e definições consolidados,
porém cujos processos de elaboração de cartas e mapas mantêm-se em constante evolução,
com vistas a otimizar a relação custo/benefício, como qualquer outra ciência, ao aproveitar
fundamentalmente os avanços da informática, da eletrônica e dos sistemas de
posicionamento.
Em função do número quase ilimitado de possibilidades de se representar a
superfície terrestre, não se tenciona abordar todos os tipos de projeções cartográficas.
Foram focadas em especial as comumente utilizadas.
Desenvolveu-se mais detalhadamente a projeção Universal Transversa de Mercator,
haja vista que esta projeção é usada para o mapeamento sistemático nacional e para o
georreferenciamento de imóveis rurais, por disposição da legislação vigente.
Espera-se assim atingir o objetivo em fornecer uma ferramenta básica para os
iniciantes na ciência cartográfica.
Os Autores
Departamento de Engenharia Rural – CCR – Universidade Federal de Santa Maria
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
APRESENTAÇÃO................................................................................................................ 1
1. CONCEITOS DE CARTOGRAFIA ................................................................................. 4
Cartas e Mapas .............................................................................................................. 5
Classificação de cartas e mapas ..................................................................................... 7
Classificação das cartas segundo a ABNT .................................................................... 7
Cartas Geográficas ....................................................................................................... 8
Cartas Cadastrais ou Plantas ....................................................................................... 8
Cartas Aeronáuticas ...................................................................................................... 8
Cartas Náuticas ............................................................................................................. 8
Cartas Especiais ............................................................................................................ 8
Cartas básicas e temáticas ............................................................................................ 9
2. OUTRAS FORMAS DE REPRESENTAÇÃO CARTOGRÁFICA DO ESPAÇO ...... 10
3. FORMA DA TERRA ...................................................................................................... 13
4. SISTEMAS DE PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS ...................................................... 16
4.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO ............................................... 17
4.1.1.
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO .............................................. 17
SEGUNDO O PRINCÍPIO DE CONSTRUÇÃO ...................................................................... 17
4.1.2.
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO .............................................. 19
SEGUNDO A SUPERFÍCIE DE PROJEÇÃO ADOTADA ......................................................... 19
4.1.3.
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO .............................................. 20
SEGUNDO A SITUAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE PROJEÇÃO ................................................... 20
4.1.4.
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO .............................................. 22
SEGUNDO A PROPRIEDADE QUE CONSERVAM ............................................................... 22
4.2 COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO E ESFERA-MODELO .................................... 23
4.3 PROJEÇÕES PLANAS................................................................................................. 24
Lei da projeção ............................................................................................................ 24
Coeficientes de deformação ........................................................................................ 26
Coeficiente de deformação meridiana ......................................................................... 26
Coeficiente de deformação transversal ........................................................................ 26
Coeficiente de deformação superficial ........................................................................ 27
Deformação angular .................................................................................................... 28
Deformação angular máxima ...................................................................................... 29
4.3.1.
CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO PLANA POLAR EQÜIDISTANTE MERIDIANA ..... 30
4.3.2.
CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO PLANA POLAR EQUIDISTANTE TRANSVERSAL . 35
4.3.3.
CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO PLANA POLAR EQUIVALENTE .......................... 39
4.3.4.
CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO PLANA POLAR CONFORME .............................. 43
4.4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS ...................................................................................... 48
Lei da projeção ............................................................................................................ 48
COEFICIENTES DE DEFORMAÇÃO DA PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL .................... 50
Coeficiente de deformação meridiana ......................................................................... 50
Coeficiente de deformação transversal ........................................................................ 50
Coeficiente de deformação superficial ........................................................................ 51
4.4.1.CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL EQÜIDISTANTE
MERIDIANA .................................................................................................................. 51
4.4.2.
DEMONSTRAÇÃO DA IMPOSSIBILIDADE DE SE CONSTRUIR ........................... 54
PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL EQÜIDISTANTE TRANSVERSAL ........................... 54
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
4.4.3.
CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL EQÜIVALENTE ........ 55
PROJEÇÃO DE LAMBERT ............................................................................................... 55
4.4.4.
CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL CONFORME............. 57
PROJEÇÃO DE MERCATOR ............................................................................................ 57
PROJEÇÃO CILÍNDRICA TRANSVERSA ........................................................................... 61
4.4.5.
PROJEÇÕES CILÍNDRICAS TM ....................................................................... 61
PROJEÇÃO DE GAUSS .................................................................................................... 62
PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR (UTM) ....................................... 62
a) Divisão do elipsóide em Fusos ................................................................................ 64
b) Latitude de origem .................................................................................................. 65
c) Longitude de origem ................................................................................................ 65
d) Limites de Aplicação em Latitude ........................................................................... 65
e) Transformada do equador, do Meridiano Central dos Fusos, dos Meridianos, dos
Paralelos e de Linhas Geodésicas ........................................................................... 65
f) Origem das Coordenadas Planas (E e N) ................................................................ 66
g) Coeficiente de Deformação Linear ......................................................................... 67
h) Fator de escala para uma determinada região....................................................... 68
i) Zonas UTM .............................................................................................................. 70
4.5 OPERAÇÕES NA PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR ... 72
Transformações direta e inversa na projeção UTM ................................................... 72
Transformação de coordenadas geodésicas em coordenadas planas UTM ............... 74
Transformação de coordenadas planas UTM em coordenadas geodésicas ............... 74
4.6 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS NA PROJEÇÃO UTM ........................................... 75
Convergência meridiana ............................................................................................. 75
Redução à corda ou redução angular ( δ ) ................................................................. 75
Azimute plano (Azp) .................................................................................................... 75
Azimute geodésico ou elipsoidal (Azg) ........................................................................ 75
Azimute geodésico projetado (Aproj) .......................................................................... 76
5. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................. 80
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
1. CONCEITOS DE CARTOGRAFIA
A importância da Cartografia depreende-se do fato de que o homem aprendeu
primeiro a elaborar mapas rudimentares antes de aprender a ler e escrever. É evidente que
esses mapas não passavam de simples croquis itinerários, porém, tinham grandes utilidades
para orientação e localização. A Cartografia sempre acompanhou o progresso da
humanidade, ao modificar continuamente sua metodologia, conforme se processa e se
disponibiliza a evolução tecnológica. Atualmente os mapas estão presentes praticamente
em todas as atividades humanas, haja vista que é a primeira ferramenta usada para
qualquer tipo de planejamento do espaço físico da superfície terrestre.
O objeto da Cartografia consiste em trazer para o gabinete diversas partes da Terra,
vista de cima, que representam as configurações terrestres de forma convencional, em uma
determinada escala, e que possibilitam de esta maneira a análise de áreas relativamente
grandes para o planejamento das mais diversas atividades humanas.
A Cartografia pode ser definida como um conjunto de ciências, técnicas e artes
utilizadas para a elaboração de mapas e cartas.
A Cartografia, conforme Bakker (1965), é a ciência e a arte de expressar
graficamente, por meio de cartas e mapas, o conhecimento humano da superfície terrestre.
Diz também que a Cartografia é definida como a arte de levantamento, construção e edição
de cartas e mapas de qualquer natureza, e a ciência na qual repousa.
É ciência porque essa expressão gráfica, para alcançar exatidão satisfatória, procura
um apoio científico que se obtém pela coordenação de determinações astronômicas,
geodésicas, topográficas, fotogramétricas e de GNSS (sistemas globais de navegação por
satélites artificiais - GPS, GLONASS, GALILEO e o chinês BEIDOU).
É arte porque a representação gráfica se subordina às leis estéticas da simplicidade,
clareza e harmonia, procurando atingir o ideal artístico de beleza. As convenções usadas
deverão ter interpretação única.
A definição basilar de Cartografia, hoje aceita sem maiores contestações, foi assim
estabelecida em 1964 pela Associação Cartográfica Internacional (ACI) e, posteriormente,
ratificado pela UNESCO, em 1966: “A Cartografia apresenta-se como o conjunto de
estudos e operações científicas, técnicas e artísticas que, tendo por base os resultados de
observações diretas ou da análise de documentação, voltam-se para a elaboração de mapas,
cartas e outras formas de expressão ou representação de objetos, elementos, fenômenos e
ambientes físicos e sócio-econômicos, bem como o seu estudo e a sua utilização”.
Gripp; Silva (1994) comungam da mesma opinião, salientando que a Cartografia “é
ciência porque essa expressão gráfica, para alcançar exatidão satisfatória, procura um
apoio científico que se obtém pela coordenação de determinações astronômicas e
matemáticas com topográficas e geodésicas. E é arte quando se subordina às leis estéticas
da simplicidade, clareza e humana, procurando atingir o ideal artístico da beleza” (conceito
de arte coincidente com Bakker).
Pode-se entender, portanto, que a ciência cartográfica compreende o estudo teórico
de princípios e leis que regem a linguagem gráfica, assim como o estudo e a análise dos
dados componentes da informação, os quais são obtidos a partir de diferentes fontes, e a
pesquisa de formas eficientes para a percepção e representação desses dados.
Observa-se que algumas definições restringem-se à representação da superfície
terrestre, outras são mais amplas; porém, todas coincidem em afirmar que a função
primordial da Cartografia é elaborar cartas e mapas.
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
As operações astronômicas, amplamente utilizadas até o final do século passado,
são hoje usadas raramente, sendo substituídas pelos sistemas GNSS (Global Navigation
Satellite Systems), entre os quais se destaca o Sistema Global de Posicionamento (GPS).
A sigla GPS (Global Positioning System) tem sido traduzida como Sistema de
Posicionamento Global. Essa tradução popularizou-se sem qualquer tipo de
questionamento pela comunidade técnico-científica da área. No entanto, uma análise
aprofundada da tradução mostra sua incoerência. Haja vista que global é a característica
fundamental do sistema, e não o posicionamento do ponto, que é único. Portanto, se o
objetivo é a determinação de pontos sobre a superfície terrestre (X,Y, Z e altura elipsoidal),
a tradução correta da sigla GPS deve ser Sistema Global de Posicionamento.
De forma similar, a tradução correta da sigla GNSS deve ser Sistema Global de
Navegação por Satélites.
Voltando-se às definições de Cartografia, observa-se que a maioria delas refere-se à
representação da superfície terrestre. Entretanto, deve-se salientar que existem vários tipos
de documentos gráficos, apresentados em forma clássica ou digital que são também
chamados de cartas ou mapas, porém não representam parte da Terra, como por exemplo:
cartas celestes, mapa da lua, etc. Nesses documentos cartográficos a elaboração obedece a
metodologias completamente diferentes. Há que se destacar também os mapas especiais,
como: mapas pluviométricos, mapas de densidade demográfica, mapas de divisão política.
Nesses mapas mostram-se representados certos detalhes que não são realmente visíveis,
mas que demonstram o conhecimento humano sobre uma região territorial ou uma
população.
Neste trabalho, será abordado exclusivamente o que diz respeito à representação de
parte da superfície terrestre. A exploração espacial, com certeza, permitirá que seja
mapeada, não só a Lua (no mapeamento da Lua foi usado um elipsóide escaleno como
modelo matemático), mas também outros planetas do sistema solar.
Os detalhes da superfície terrestre são representados por meio de símbolos
cartográficos convencionais.
Outra observação importante é quanto ao conceito da palavra ‘representação’ que,
no sentido cartográfico, deve tomar-se em seu significado mais amplo, incluindo-se a
representação em meio digital, que possibilita manipulações dos mapas com maior rapidez
e, o que é mais importante, permite simulações de projetos e construção de cenários
virtuais, operações não permitidas pelos mapas tradicionais.
Cartas e Mapas
Nas definições de Cartografia são usados os termos cartas e mapas para designar
documentos cartográficos de uso corrente e, muitas vezes, como sinônimos. Realmente,
fica difícil separar o que significam essas designações, gerando dificuldade de
compreensão. Esta confusão tem origem histórica, mas hoje a tendência é o uso do termo
‘carta’.
Bakker (1965) define as representações cartográficas como:
¾
Mapa: é a representação da Terra nos seus aspectos geográficos – naturais e
artificiais – que se destina a fins culturais ou ilustrativos.
O mapa, portanto, não tem caráter científico especializado e é geralmente elaborado
em escala pequena cobrindo um território mais ou menos extenso.
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
¾
Carta: é a representação dos aspectos naturais e artificiais da Terra, destinada a
fins práticos da atividade humana, permitindo a avaliação precisa de distâncias,
direções e a localização geográfica de pontos, áreas e detalhes.
É a carta, portanto, uma representação similar ao mapa, mas de caráter
especializado, construído com uma finalidade específica e, geralmente, em escala grande.
¾ Mapeamento: é o conjunto de operações de levantamento, construção,
reprodução e edição de cartas de determinado projeto.
A distinção entre mapa e carta, segundo o autor anteriormente citado, é
convencional e subordinada à idéia de escala. Existe, pois, a preferência pelo uso da
palavra carta para designar documento cartográfico de maior precisão, e mapa para aquele
simplesmente ilustrativo ou de menor precisão; portanto, o mapa pode ser considerado um
caso particular de carta.
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) considera os termos carta e
mapa como sinônimos, e, por meio da norma NB 13133, define carta (ou mapa) como :
a “representação gráfica, sobre uma superfície plana, dos detalhes físicos,
naturais e artificiais, de parte ou de toda a superfície terrestre, mediante
símbolos ou convenções e meios de orientação indicados, que permitem a
avaliação das distâncias, a orientação das direções e a localização geográfica de
pontos, áreas e detalhes”;
tais cartas ou mapas podem “ser subdivididas em folhas, de forma sistemática,
obedecido um plano nacional ou internacional”;
a representação “em escalas médias e pequenas leva em consideração a curva
da Terra, dentro da mais rigorosa localização possível, relacionada a um
sistema de referência de coordenadas;
a carta também pode constituir-se numa representação sucinta de detalhes
terrestres, destacando, omitindo ou generalizando certos detalhes para
satisfazer requisitos específicos;
a classe de informações que uma carta ou mapa propõe-se a fornecer é
indicada, freqüentemente, sob a forma adjetiva, para diferenciação de outros
tipos, como, por exemplo, carta aeronáutica, carta náutica, mapa de
comunicação, mapa geológico”.
A NB 13133 coloca ainda uma nota: “os ingleses e americanos dão preferência ao
termo mapa, os franceses e demais países de origem latina ao termo carta” (comentário
convergente com vários autores).
O IBGE diferencia perfeitamente os documentos cartográficos carta e mapa,
conforme o que segue:
“Mapa é a representação no plano, normalmente em escala pequena, dos aspectos
geográficos, naturais, culturais e artificiais de uma área tomada na superfície de
uma figura planetária, delimitada por elementos físicos, político-administrativos,
destinada aos mais variados usos, temáticos, culturais e ilustrativos”.
-
E os mapas apresentam as seguintes características:
representação plana;
geralmente em escala pequena;
área delimitada por acidentes naturais (bacias hidrográficas, regiões fisiográficas,
planaltos, chapadas, etc.), ou político-administrativos;
destinação a fins temáticos, culturais ou ilustrativos.
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
O IBGE define carta assim:
“Carta é a representação no plano, em escala média ou grande, dos aspectos
artificiais e naturais de uma área tomada de uma superfície planetária, subdividida
em folhas, as quais são delimitadas por linhas convencionais - paralelos e
meridianos - com a finalidade de possibilitar a avaliação de pormenores, com grau
de precisão compatível com a escala”.
Complementa-se esta definição destacando-se que, ao se elaborar as cartas para
serem articuladas, os meridianos e paralelos limites devem ter seus valores de longitude e
latitude pré-estabelecidos, para que não haja superposições ou omissões de área mapeada.
As principais características das cartas são:
-
representação plana;
escala média ou grande;
desdobramento em folhas articuladas de maneira sistemática;
limites das folhas constituídos por linhas convencionais, destinada à avaliação
precisa de direções, distâncias e localização de pontos, áreas e detalhes.
O IBGE resume os conceitos de mapas e cartas como:
¾ ‘carta ou mapa é a representação convencional ou digital da configuração da
superfície topográfica’;
¾ esta representação consiste em se projetar esta superfície, com os detalhes
nela existentes, sobre um plano horizontal, em forma analógica, analítica
ou digital, e arquivado sob a forma clássica ou digital.
Os detalhes representados podem ser naturais ou artificiais, especificamente:
¾ Naturais: são os elementos existentes na natureza como os rios, mares,
lagos, montanhas, serras, etc.
¾ Artificiais: são os elementos construídos pelo homem como: represas,
estradas, pontes, edificações, etc.
Classificação de cartas e mapas
Os mapas e cartas podem, portanto, ser classificados sob os mais diversos aspectos
e, como em toda classificação, nesta área também existem discrepâncias entre os
especialistas. Por este motivo, apresentar-se-á a seguir somente a classificação de cartas
conforme a ABNT (e, ao classificar uma carta como planta, a definição estará
complementada pela definição dada pelo IBGE). Será feita também a distinção entre cartas
básicas e temáticas.
Classificação das cartas segundo a ABNT
A classificação da ABNT leva em consideração preferencialmente suas finalidades.
A ABNT classifica as cartas em:
-
Geográficas: subdivididas em Topográficas e Planimétricas
Cadastrais ou plantas
Aeronáuticas
Náuticas
Especiais: geológicas, geomorfológicas, meteorológicas, de solos, de vegetação, de
uso da terra, geofísicas, globos terrestres, etc.
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Cartas Geográficas
a) Cartas Topográficas:
são as confeccionadas mediante um levantamento topográfico regular (os autores
incluem fotografias aéreas), ou as compiladas de cartas topográficas existentes, e
que incluem os acidentes naturais e artificiais, permitindo facilmente a
determinação de altitudes.
b) Cartas Planimétricas:
têm o mesmo conceito aplicado às cartas topográficas, entretanto, não faz parte de
suas características fundamentais a representação das altitudes, podendo até
mesmo omiti-la.
A carta geográfica, quando construída em escala pequena, abrangendo uma área
relativamente grande, da ordem de 1:1.000.000, representando a superfície da
Terra nos seus aspectos físicos e culturais, para fins ilustrativos, pode ser também
denominada mapa.
Cartas Cadastrais ou Plantas
são aquelas geralmente em escala grande, usadas para mostrar limites verdadeiros
e usos das propriedades, urbanas ou rurais, podendo omitir elevações e detalhes
naturais ou artificiais desnecessários. Para o IBGE, plantas são casos particulares
de carta. A representação se restringe a uma área muito limitada e a escala é
grande; conseqüentemente o número de detalhes é bem maior; representam uma
área de extensão suficientemente restrita para que a curvatura terrestre não precise
ser levada em consideração, e que, em conseqüência, a escala possa ser
considerada constante. As cartas cadastrais urbanas são elaboradas, usualmente,
em escala igual ou maior de 1:2.000.
Cartas Aeronáuticas
representam a superfície da Terra com sua cultura e relevo, de maneira a
satisfazer, especificamente, as necessidades da navegação aérea. A representação
do relevo deve ser com precisão compatível com a escala.
Cartas Náuticas
são as que resultam dos levantamentos dos mares, rios, canais e lagoas navegáveis
e que se destinam à segurança da navegação. Devem apresentar o relevo da parte
submersa, com indicação de profundidades que serão usados para orientar a
navegação e os tipos de embarcações.
Cartas Especiais
são as cartas, mapas ou plantas, em qualquer escala, que geralmente se as
preparam para fins específicos.
a) Cartas Geológicas:
são as que representam as características e a distribuição geográficas dos
componentes da crosta terrestre.
b) Cartas Geomorfológicas:
são as que representam as formas do relevo terrestre e sua estrutura.
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c) Cartas Meteorológicas:
são as que mostram as classificações climáticas e as que, em serviços contínuos,
diários e sistemáticos, mostram os dados meteorológicos, observados em vários
lugares e as alterações progressivas nas condições do tempo.
d) Cartas de solos:
são as que identificam e classificam os diferentes tipos de solos e a sua
distribuição geográfica.
e) Cartas de vegetação:
são as que representam as características e distribuição da cobertura vegetal.
f) Cartas de uso da terra:
são as que representam a classificação e a distribuição geográficas dos diferentes
usos a que está sujeita a superfície terrestre.
g) Cartas geofísicas:
são as que representam as características e a distribuição geográficas dos
fenômenos físicos que ocorrem na Terra.
h) Globos terrestres:
são as representações da superfície terrestre numa outra semelhante.
A carta geográfica, quando representa toda a superfície da Terra, é denominada de
mapa-mundi ou planisfério.
Cartas básicas e temáticas
As designações de cartas básicas, ou cartas-base, e cartas temáticas são muito
usadas, e resulta difícil distinguir quando uma carta é básica e quando é temática, por que
nem sempre há uma separação nítida entre elas.
Uma carta é classificada como básica, ou carta-base, quando se representam, em
uma escala específica, feições terrestres estruturais com precisão compatível com a escala
adotada. As feições representadas preferencialmente são as construídas pelo homem, que
não tenham variação temporal ou dimensional freqüente.
A carta é considerada temática quando se compilam, sobre a carta básica, dados de
natureza especializada, geralmente com precisão menor que a estrutura que compõem a
carta básica. Os temas que são transferidos passarão a ser predominantes na representação
gráfica, dando origem à sua denominação, como por exemplo: carta de vegetação, carta de
uso da terra, carta geológica, carta de declividades, etc. Os temas transferidos podem ser
provenientes de fotografias aéreas ou de imagens de satélites, o que implica em uma
atualização da carta básica.
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2. OUTRAS FORMAS DE REPRESENTAÇÃO CARTOGRÁFICA DO ESPAÇO
Do ponto de vista cartográfico, além das cartas e mapas, existem outras maneiras de
representação cartográfica do espaço, todas elas com a finalidade de mostrar, por meio de
imagens fotográficas, os detalhes da superfície terrestre. Entre elas tem-se: mosaico
aerofotogramétrico, ortofotografia, ortofotocarta, ortofotomapa e também carta-imagem
obtida a partir da interpretação de imagem de satélites.
MOSAICO AEROFOTOGRAMÉTRICO - é o conjunto de fotografias aéreas de
uma determinada área, as quais são recortadas e montadas, técnica e artisticamente, de
forma a dar a impressão de que todo o conjunto é uma única fotografia aérea; portanto,
mostra a área fotografada de maneira contínua. Os detalhes topográficos são mostrados
como imagens fotográficas e não com símbolos cartográficos convencionais. O mosaico é
um documento cartográfico planimétrico, mas que, em determinada circunstância
(principalmente em área acidentada), fornece uma idéia do relevo da área pela variação da
tonalidade de cinza ou de cores.
Na sua elaboração, não se objetiva a observação tridimensional, porém há esta
possibilidade quando se usar fotografias avulsas homólogas às usadas para a confecção do
mosaico.
Do ponto de vista qualitativo, mostra o terreno com mais riqueza de detalhes do que
uma carta convencional na mesma escala. Do ponto de vista quantitativo, porém, deixa
muito a desejar, haja vista que não tem escala uniforme. Quanto mais acidentado for o
terreno, maior será a variação de escala.
Os mosaicos não têm caráter seletivo ao representar o espaço, pois ficam
registradas todas as feições captadas pela câmara. As cartas clássicas devem ser utilizadas
por maior número de usuários e, portanto, quanto mais detalhes do terreno, mais ampla é
sua potencialidade de aplicação. Porém, os detalhes a serem representados ficam limitados
pela escala. Quanto maior a escala, maior a possibilidade de representar detalhes com
menores dimensões.
O maior inconveniente na elaboração de um mosaico é concatenar as fotografias
adjacentes, de modo que os detalhes das partes comuns se correspondam, para evitar
interrupções, omissões e duplicidades de detalhes.
Nos mosaicos podem ser inseridos dados complementares para sua rápida
localização como: coordenadas geográficas extremas aproximadas, toponímias mais
importantes, além de destacar detalhes que auxiliem nesse sentido.
Conforme a metodologia usada para a elaboração, os mosaicos se classificam em:
analógicos e digitais.
¾ Os mosaicos analógicos são aqueles elaborados manualmente usando
fotografias analógicas (fotografias reproduzidas em material sensível à luz
com base de papelão).
¾ Os mosaicos digitais são aqueles elaborados usando-se fotografias digitais
ou digitalizadas, também chamadas de numéricas, com aplicação de
programa computacional (software especialista). Fotografias digitais
(chamadas também de imagens digitais) podem ser obtidas por meio da
digitalização de fotografias analógicas (imagens analógicas), com o uso de
um “scanner”, ou diretamente com câmara digital. Os mosaicos digitais,
por sua facilidade e utilidade, são os mais elaborados.
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Introdução à Cartografia
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A vantagem de se elaborar digitalmente um mosaico é a facilidade de efetuar
correções de caráter qualitativo nas imagens, como: uniformização de nuanças de
cinzas, que significa o controle da densidade fotográfica (fotografia em preto e
branco) e suavização e balanceamento de cores (fotografias coloridas). Essas
correções são importantes na concatenação de imagens, para que o mesmo detalhe,
ao aparecer em duas fotografias aéreas sucessivas, tenha as mesmas características
de tonalidade ou de cores.
Segundo a correção a que são submetidas as fotografias aéreas e o controle
planimétrico do mosaico, este se classifica em: controlado, não controlado e
semicontrolado. Esta classificação é válida, tanto para os mosaicos analógicos, como para
os digitais.
¾ Mosaico controlado: é obtido a partir de fotografias aéreas submetidas a processos
específicos de correção da inclinação com que foi obtida a fotografia aérea
(fotografia retificada), de tal forma que a imagem resultante corresponda a uma
fotografia aérea vertical. As correções podem ser efetuadas de forma analógica,
analítica ou digital.
Essas fotografias aéreas analógicas são então montadas sobre uma prancha, onde se
encontra representado graficamente um conjunto de pontos, os quais servirão de
controle planimétrico ao mosaico. Os pontos lançados na prancha, na escala
aproximada das fotografias aéreas, devem coincidir com seu correspondente na
imagem. Os mosaicos digitais, obviamente, não são montados sobre pranchas, e
podem ser gravados como arquivos digitais, ou então ser impressos, o que faz gerar
nova imagem analógica. Apesar do controle planimétrico, o mosaico controlado não
tem escala constante. A variação de escala é inerente às fotografias aéreas; portanto,
o mosaico controlado não pode ser considerado como carta.
¾ Mosaico não-controlado - é preparado simplesmente através do ajuste de detalhes
de fotografias aéreas adjacentes. Não se têm pontos de controle ou de apoio
planimétrico no terreno e as fotografias aéreas não são corrigidas. Na sua
elaboração interessa somente a coincidência dos detalhes na união das fotografias
aéreas, e conseqüentemente tanto as direções como as distâncias podem apresentar
erros grandes. Este tipo de mosaico é de montagem rápida, mas não possui
qualquer precisão, tendo caráter meramente ilustrativo.
¾ Mosaico semicontrolado: é montado combinando-se características do mosaico
controlado e do não controlado. Por exemplo, ao se usar ponto de controle do
terreno com fotografias aéreas não corrigidas; ou fotografias aéreas corrigidas, mas
sem pontos de controle planimétrico. Também é considerado mosaico
semicontrolado quando se têm pontos de controle planimétrico, porém, não em
número suficiente.
Qualquer que seja o tipo de mosaico e o método empregado para construí-lo, é
conveniente indicar a escala aproximada das fotografias aéreas usadas e ressaltar detalhes
topográficos importantes, como estradas, rede de drenagem, obras de engenharia
significativas, etc. Assim também como a data de obtenção das fotografias, haja vista, o
caráter temporal desse documento.
Quando se trata de mosaico analógico, este deve ser fotografado para sua
reprodução e, eventualmente, pode se fazer alguma correção nesse processo, como
aproximação de cores ou tonalidades.
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
ORTOFOTOGRAFIA: fotografia em que o terreno fotografado está representado
em projeção ortogonal. A fotografia capta a cena por meio de projeção geométrica cônica
ou central e, para a obtenção da ortofotografia, deve ser submetida a um processo de
retificação, que significa a transformação da projeção cônica em projeção ortogonal. Esta
transformação pode ser realizada por processo analógico, analítico ou digital.
ORTOFOTOCARTA: é uma ortofotografia - complementada por símbolos, linhas
e deve estar georreferenciada, com ou sem legenda, contendo, além das informações
planimétricas, o relevo da área representado pelas curvas de nível.
ORTOFOTOMAPA: é o conjunto de várias ortofotocartas adjacentes
concatenadas, sem superposições nem omissões de uma determinada região. Este conjunto,
formado de várias ortofotocartas, representa os detalhes da superfície terrestre por meio de
imagem fotográfica e não por meio de convenções cartográficos. Pode, portanto, ser
considerado como uma carta pictórica.
CARTA-IMAGEM: é a cena captada por sensores especiais instalados em
plataformas orbitais, como, por exemplo: Landsat, Spot, Ikonos, QuickBird, etc., que, após
a fase de georreferenciamento, nela são inseridos símbolos, linhas, toponímias e textos que
destacam os detalhes naturais e artificiais, comumente utilizados nas cartas.
Para a ortofotocarta, a ortofotomapa e a carta-imagem é recomendável que sejam
delimitadas por paralelos e meridianos, conforme a articulação das cartas topográficas do
mapeamento sistemático nacional.
Aerofotograma
Ortofotocarta
Ortofotomapa
Carta-Imagem ()
Fonte: 1ª DL - Serviço Geográfico do Exército - RS
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
3. FORMA DA TERRA
Por constituir o objetivo fundamental da Cartografia a representação gráfica da
superfície terrestre, torna-se necessário conhecer a forma da Terra.
Primeiramente o homem imaginou a Terra como plana, porque era assim que ele a
via ao seu redor. Homero (séc. VIII a.C.), em suas obras literárias, concebia a Terra como
um disco flutuante sobre o oceano.
A idéia da esfericidade da Terra foi concebida na Grécia antiga, por filósofos e
matemáticos. Pitágoras (séc. VI a.C.) afirmava que a Terra era esférica e girava em torno
do Sol (primeiros fundamentos do heliocentrismo). Aristarco (séc. IV a.C.) aprofundou
esta idéia e formulou um modelo de sistema solar em que também outros planetas giravam
em torno do Sol, como Mercúrio e Vênus. Por este motivo, foi preso, porém hoje é
reconhecido como o “Copérnico da Antiguidade”. A teoria da esfericidade fazia parte dos
postulados de Aristóteles (séc. IV a.C.), porém com a diferença, em relação a Pitágoras, de
que o Sol girava em torno da Terra (sistema geocêntrico). Eratóstenes (séc. III a.C.) pode
comprovar matematicamente a esfericidade da Terra, ao calcular a circunferência e o raio
do nosso planeta. O seu experimento ocupa a sétima posição entre os 10 mais belos
experimentos da física. Ele sabia que, durante o solstício do verão (para o Hemisfério
Norte), os raios solares atingiam perpendicularmente a superfície de Siena (Egito) ao meiodia. Neste mesmo instante, a inclinação dos raios solares em Alexandria era de 7,2°.
Sabendo que os raios solares chegam à Terra paralelamente, e que a distância entre Siena e
Alexandria é 787 km (medida para o experimento com o emprego da unidade grega
‘estádio’, que correspondia a 600 pés gregos, ou 125 passos), Eratóstenes usou uma
simples regra de três para calcular a circunferência da Terra em 39.350 km. Hoje, com os
equipamentos mais modernos, sabe-se que a circunferência da Terra, na linha do Equador,
mede cerca de 40.075 km. Ptolomeu (séc. II a.C.), em sua obra, reforçou a compreensão
de Aristóteles, ao manter o conceito da esfericidade da Terra e ao admiti-la como o centro
do sistema solar. Esta concepção, apoiada na infalibilidade aristotélica, perdurou desde
aquela época, atravessando todo o período obscurantista da Idade Média, até a chegada da
Renascença (séc. XV d.C.).
O polonês Nicolau Copérnico (1473-1543) foi o grande destaque renascentista no
campo da Astronomia, pois recuperou os fundamentos teóricos concebidos por Pitágoras e
Aristarco, desenvolveu-os matematicamente, e formulou a teoria heliocêntrica para o
sistema solar, ao construir um sistema capaz de explicar as observações celestes, pelo
menos tão precisamente como o sistema de Ptolomeu, e em muitos aspectos, muito mais
simples. Este sistema só pôde ser provado pelas observações de Galileo sobre as fases de
Vênus e os satélites de Jupiter.
O italiano Galileo Galilei (1564-1642), físico, matemático e astrônomo, criou o
telescópio e fez observações da Via Láctea a partir de 1610 que o levaram a adotar o
sistema de Copérnico. Colocou em discussão muitas idéias do filósofo grego Aristóteles,
entre elas a comprovação de que objetos leves e pesados caem com a mesma velocidade.
Em Florença, concluiu os seus estudos sobre o sistema solar, pelos quais a Terra e os
demais planetas giravam ao redor do Sol. Foi condenado pela Inquisição e teve que negar
tudo no tribunal. Ao sair do interrogatório do tribunal, disse uma frase célebre: “Epur si
Muove!”, traduzido por “E contudo ela se move!”. Morreu cego e condenado pela Igreja,
longe do convívio público. Somente em 1983, decorridos 341 anos após a sua morte, a
mesma Igreja, revendo o processo, reconheceu a verdade científica e decidiu pela sua
absolvição.
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Portanto, na Idade Média, período em que imperou o obscurantismo, a superfície
terrestre voltou a ser considerada como plana. Prevaleceu essa idéia até o surgimento da
obra de Copérnico, por meio dos estudos do belga Gerhard Krämer (Gerardus Mercator,
1512-1594) e contemporâneos, e a subseqüente era dos descobrimentos no século XV,
quando a forma da Terra tornou a ser aceita como esférica. Matemático e geômetra
engenhoso, conseguiu a façanha de desenhar um Mapa Mundi revolucionário que facilitou
enormemente as viagens transoceânicas. Inspirado em Ptolomeu, legou um notável Atlas,
cuja precisão é apreciada até os nossos dias. Mercator é universalmente tido como o ‘pai
da cartografia moderna’.
Ao fim do século XVII, Isaac Newton (1643-1727) lançou a idéia do achatamento
da Terra nos pólos, em virtude de seu movimento de rotação. Em 1687 ele publicou o
‘Philosophiae naturalis principia mathematica’ ou ‘Principia’, que é reconhecido como
um dos livros científicos mais importante já publicados, onde define a Lei da Gravitação
Universal e a dilatação equatorial da Terra. Em contraposição a esta idéia (da dilatação
equatorial da Terra), Cassini (1625-1712) afirmava ser a Terra alongada no sentido dos
pólos. Esta dúvida deu origem a uma série de pesquisas geodésicas. A teoria de Newton foi
comprovada por meio de duas expedições promovidas pela Academia Francesa de
Ciências a pedido do Rei Luis XV, para medir o comprimento do arco de meridiano
formado pelo ângulo de um grau; a primeira em 1735, liderada pelos geodesistas Bouguer
(1698-1758), La Condamine (1701-1774) e Godin a uma região do Peru (atual Equador); e
a outra em 1736, liderada por Maupertuis (1698-1759), Clairault (1713-1765) e Charles
Camus (1699-1768) à Lapônia. A primeira expedição mediu o arco de meridiano que
cortava a linha do equador, e a segunda expedição, o círculo polar ártico. Comprovou-se
que o arco de meridiano na região equatorial era menor que o da região polar, concluindo
eles, portanto, ser a Terra achatada nos pólos. Clairault publicou ‘A teoria da figura da
Terra’, em 1743, pelo qual relaciona a força centrífuga com a forma da Terra, resultando
numa maior expansão sobre a linha do equador, e seus resultados permitiram adotar para a
Terra a forma geométrica teórica mais aproximada a um elipsóide de revolução.
Medições geodésicas mais precisas, realizadas nos séculos XIX e XX, eliminaram
totalmente a hipótese de ser a forma da Terra um elipsóide geometricamente regular. Ao
contrário, chegou-se à conclusão de que a Terra tem a sua superfície completamente
irregular. Surgiu então, a concepção do geóide para a forma teórica da superfície da Terra.
Esse geóide é uma superfície equipotencial que mais se aproxima ao nível médio dos
mares, prolongada através dos continentes e ilhas. A superfície geoidal depende da massa
heterogênea da Terra, portanto não segue uma lei matemática.
As referidas conclusões científicas tomaram por base as medidas sobre a superfície
terrestre, e geraram as concepções de elipsóide e de geóide. Saliente-se que as diferenças
entre esfera, elipsóides e geóide são quase insignificantes quando se trabalha com
representações da Terra, para pequenos diâmetros (por exemplo, menos de 1 metro).
Como a Cartografia necessita de uma superfície de referência geometricamente
definida e o geóide não possui tal característica, foram estabelecidas para a superfície
teórica da Terra a forma esférica e também a de um elipsóide de revolução, sendo esta
última forma a usada pela ciência geodésica para uma representação mais precisa da
superfície terrestre.
O elipsóide de revolução representativo da Terra é um sólido geométrico gerado
pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo menor (linha dos pólos).
Operações geodésicas, realizadas em vários lugares, encontraram valores diferentes
para os elementos do elipsóide, dando origem a vários tipos de elipsóide, como substituto
teórico da Terra.
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Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
A Cartografia usa o modelo esférico e o elipsoidal para representação da superfície
terrestre, o primeiro quando não se requer alta precisão e o segundo quando este requisito
(precisão) é importante.
Devido aos erros decorrentes da aproximação esférica, o modelo esférico não é
empregado para levantamentos geodésicos usados como apoio para a cartografia de
precisão. Porém, é muito usado para cartografia de navegação, haja vista que, para esta
finalidade, satisfaz plenamente.
O modelo matemático usado normalmente pela Cartografia para o mapeamento
sistemático nacional, por ser o que mais se aproxima à forma da Terra e por ser mais
preciso, portanto, é o elipsóide de revolução. Em alguns casos excepcionais usa-se o
elipsóide escaleno, como no caso do mapeamento da Lua.
Uma vez escolhido o modelo, admite-se uma Terra fictícia, com homogênea
distribuição de massas (na Terra real isto não acontece), o que consiste em uma
simplificação do problema. As simplificações facilitam o posicionamento de um ponto,
definindo um Sistema de Coordenadas, no modelo.
A adoção de um modelo matemático implica, necessariamente, nas hipóteses
simplificativas seguintes:
¾ o modelo gira de oeste para o leste em 24 horas siderais;
¾ a velocidade angular é constante;
¾ o eixo de rotação é fixo.
Com estas simplificações definem-se, para o modelo matemático, os seguintes
parâmetros, exatamente os mesmos existentes sobre a Terra verdadeira, e são usados como
base para o mapeamento:
Pólos Terrestres – Pólos Norte e Sul, são os extremos do eixo de rotação.
Equador – é a circunferência máxima perpendicular ao eixo de rotação.
Paralelo – é a circunferência menor, perpendicular ao eixo de rotação (isto é,
paralelo à linha do equador).
Meridiano – linha formada pela intercessão entre o modelo e o plano que contém o
eixo de rotação. Se o modelo adotado for uma esfera, tem-se uma circunferência; se
for um elipsóide de revolução o resultado é uma elipse.
O modelo físico da forma da Terra é o geóide. Segundo a concepção de Carl
Friedrich Gauss, o geóide é a “figura física da Terra” (algumas fontes bibliográficas,
atribuem a Gauss a afirmação de que o geóide seria a “figura matemática da Terra”, o que
é incorreto, visto que não é possível gerar o geóide por meio de uma fórmula matemática e,
portanto, um gênio como Gauss não o teria afirmado). É, de fato, o geóide, a superfície
equipotencial (superfície de igual potencial gravimétrico) que mais se aproxima ao nível
médio das águas dos mares. Para maior clareza, reitera-se que o geóide é uma superfície
física, enquanto o elipsóide de revolução é uma superfície matemática.
A superfície do geóide é mais irregular do que o elipsóide de revolução usado
habitualmente para aproximar a forma da Terra. Entretanto, é consideravelmente mais
suave do que a superfície real física terrestre.
Em resumo, a verdadeira forma da Terra, por convenção, chama-se Geóide, por seu
significado etimológico, e a Cartografia usa modelos matemáticos para elaborar cartas e
mapas.
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4. SISTEMAS DE PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS
DEFINIÇÕES E CONCEITOS
A representação da superfície da Terra, substituída por um modelo esférico ou
elipsoidal, sobre uma superfície plana, tem como conseqüência deformações e distorções
inevitáveis.
Aparentemente, o ideal seria representar a superfície terrestre com sua verdadeira
forma em uma determinada escala. Esse é o princípio em que se baseia a construção dos
globos terrestres. Porém, na prática, essas aplicações mostraram-se de uso difícil e pouco
cômodas, e sua publicação em livro torna-se quase impossível. Somado a esses
inconvenientes, em grande maioria de projetos realizados pelo homem, é suficiente
considerar a superfície terrestre como plana.
Como conseqüência disto, surgiram as cartas e os mapas que obviamente acarretam
imperfeições impossíveis de serem eliminadas totalmente. Essas imperfeições devem ser
conhecidas para determinar a potencialidade e limitação da representação gráfica.
É fácil imaginar as deformações que sofre uma superfície não desenvolvível, de
forma esférica ou elipsoidal, quando se procura transformá-la em um plano. Em termos
práticos, poder-se-ia ter uma idéia das deformações, esmagando a metade oca de uma
laranja (forma aproximadamente esférica); esse esmagamento provocará partes esticadas,
chegando algumas delas até à ruptura, e partes ficarão superpostas. Baseado nisto,
Richardus; Adler (1974) afirmam que o problema básico das representações cartográficas
consiste na representação da superfície terrestre, que possui curvatura, em um plano.
As deformações refletem-se sobre os ângulos, os comprimentos e as áreas e, na
impossibilidade de eliminá-las totalmente, pode-se evitá-las parcialmente. É, portanto,
possível representar certa parte da superfície terrestre de maneira a conservar uma ou outra
dessas variáveis (áreas, distâncias, ângulos).
Assim, têm-se três situações para a representação terrestre sobre o plano:
¾ quando as áreas sobre a Terra mantêm, com as suas correspondentes na
representação, uma relação constante, significando que não existe deformação
de área, a representação é classificada como equivalente ou de igual área;
¾ a representação que conserva constante a relação entre os comprimentos
medidos, na carta e no modelo, é classificada como eqüidistante. Também são
chamadas de eqüidistantes as linhas que apresentam essa relação constante, em
representações equivalentes e conformes;
¾ finalmente, a representação que mantém constantes as grandezas dos ângulos,
ou seja, tem o ângulo na representação cartográfica igual ao ângulo no terreno,
é chamada de conforme.
Da propriedade de conformidade surge a similitude das pequenas áreas, e é por essa
razão que as representações conformes são também chamadas, por alguns autores, de
ortomorfas, que significa forma correta. Na realidade, a forma só é conservada quando a
superfície da Terra a representar for considerada plana (lembrar que os modelos nunca são
planos), o que significa que classificar uma representação de ortomórfica é muito relativo.
Supondo-se, por exemplo, três pontos da superfície da Terra formando um triângulo
esférico, esse triângulo, mesmo numa representação conforme, só poderá ser representado
por um triângulo semelhante, se o excesso esférico for considerado desprezível. A
representação conforme, portanto, só poderá ser considerada ortomórfica dentro de
determinados limites, que são aqueles em que um triângulo da superfície terrestre pode ser
considerado como plano.
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O requisito para a elaboração de uma carta ou mapa é estabelecer um método,
segundo o qual, a cada ponto, sobre o modelo adotado, corresponda um ponto na carta e
vice-versa; isto é, um método em que haja uma relação biunívoca entre os pontos do
modelo e os pontos da carta.
Os métodos que permitem efetuar essa correspondência denominam-se sistemas de
projeções. O termo projeção é questionado por alguns cartógrafos, haja vista que
atualmente muitos desses sistemas não são projeções do ponto de vista geométrico; porém,
é o termo usado tradicionalmente.
4.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO
A representação da superfície da Terra (modelo substituto) em um plano pode ser
realizada de varias maneiras. Poder-se-ia afirmar que existe um número ilimitado de
possibilidades de fazê-lo e que, portanto, existem infinidades de sistemas de projeções.
Apesar desta ampla gama de possibilidades, são poucas as projeções usadas
freqüentemente, para a cartografia de precisão. O maior número de possibilidades
corresponde à cartografia ilustrativa, como o Mapa Mundi, mapas turísticos, mapas
temáticos de fluxos ou de correntes marítimas, etc. Porém, sempre é de grande utilidade
conhecer-se um resumo das possibilidades de se representar a superfície terrestre.
Consegue-se ter uma idéia dessas possibilidades, de maneira resumida, ao se classificar os
sistemas de projeções.
Abordar-se-ão aqui apenas as classificações e subdivisões consideradas mais
importantes, com comentários gerais, sem entrar em maiores detalhes, levando-se em
conta: o método de construção, a situação do centro de projeção (ponto de vista), a
superfície de projeção adotada, a situação da superfície de projeção e a propriedade que
conservam.
4.1.1. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO
SEGUNDO O PRINCÍPIO DE CONSTRUÇÃO
Segundo o princípio de construção, as projeções cartográficas classificam-se em:
¾ geométrica
¾ analítica
¾ convencionais
Projeções geométricas
As projeções geométricas estão baseadas em princípios geométricos projetivos. São
subdivididas em: projeções perspectivas e pseudoperspectivas.
As projeções perspectivas são obtidas pelas interseções, sobre determinada
superfície, dos feixes de retas que passam pelos pontos correspondentes da superfície da
Terra (modelo adotado) e por um ponto, denominado Ponto de vista, Centro de projeção ou
Centro de perspectiva. O sistema tem: um ponto a ser projetado, uma superfície de
projeção, um centro de projeção e um raio projetor que une esses pontos. O princípio da
projeção geométrica é satisfeito plenamente.
O centro de projeção, por comodidade, é situado sobre a vertical do ponto central
da porção da superfície terrestre que se quer representar, e pode estar disposto a qualquer
distância do centro da Terra, desde o infinito até ser coincidente com este ponto (centro da
Terra). Porém, de todas essas alternativas, existem posições importantes que deram origem
a uma subclassificação das projeções perspectivas, que são: gnomônica, estereográfica,
ortográfica e cenográfica.
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A projeção gnomônica tem o centro de projeção no centro da Terra, a projeção
estereográfica tem o centro de projeção na superfície da Terra, a projeção ortográfica o
tem no infinito e a cenográfica tem o centro de projeção em qualquer outro ponto. Os
quatro tipos de projeções perspectivas, combinadas com projeção plana, estão
representados na figura 1. Estes tipos de projeções podem combinar-se também com a
projeção cilíndrica.
Figura 1 — Projeções gnomônica, estereográfica, ortográfica e cenográfica
As projeções pseudoperspectivas são projeções perspectivas nas quais se recorre a
algum artifício, de maneira a obter determinadas propriedades. Um exemplo deste tipo de
projeção é a projeção cilíndrica equatorial estereográfica, na qual o centro de projeção
não fica fixo, mas vai percorrendo o equador, situando-se sempre no antimeridiano do
ponto a projetar; portanto, este sistema de projeção tem, tanto centro de projeção, como
pontos a projetar.
Projeções analíticas
As projeções analíticas são aquelas que perderam o sentido geométrico
propriamente dito, em conseqüência da introdução de leis matemáticas, visando conseguir
determinada propriedade. Nestas projeções não podem ser materializados os raios
projetores (não se tem como unir o centro de projeção, o ponto a ser projetado e a projeção
deste ponto). Em função disto, as projeções analíticas subdividem-se em: projeções
simples ou regulares e projeções modificadas ou irregulares.
As projeções analíticas simples são as construídas com base em leis matemáticas
previamente estabelecidas. Exemplo: a projeção cilíndrica equatorial conforme de
Mercator.
Quando a projeção analítica simples (original) é modificada para acrescentar nova
propriedade ou para modificar alguma das suas propriedades, é denominada projeção
analítica modificada. Exemplo: projeção universal transversa de Mercator.
Projeções convencionais
As projeções convencionais são as que se baseiam em princípios arbitrários, que
procuram uma representação gráfica de rara harmonia e beleza estética, em função dos
quais se desenvolvem suas expressões matemáticas.
Uma projeção desse tipo é a projeção de Mollweide (Figura 2), na qual as
transformadas (representação gráfica de linhas na projeção) dos paralelos são linhas retas e
as transformadas dos meridianos formam elipses, com exceção do meridiano de origem e
dos meridianos de 90° a leste e a oeste do meridiano de origem. A transformada do
meridiano origem é uma linha reta; as transformadas dos meridianos de 90o leste e de 90o
oeste do meridiano de origem, juntas, formam um círculo.
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Figura 2 — Projeção de Mollweide
(Fonte: Adaptado de Pearson, 1984)
4.1.2. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO
SEGUNDO A SUPERFÍCIE DE PROJEÇÃO ADOTADA
A superfície adotada para representar a Terra em um plano pode ser diretamente um
plano ou uma superfície desenvolvível em um plano. Assim, as projeções classificam-se
em: projeções planas e projeções por desenvolvimento.
A projeção é classificada como plana quando a superfície adotada para a
representação gráfica é um plano. Este plano pode ser tangente ou secante à superfície
terrestre. A projeção plana é chamada também de azimutal ou zenital, porque os azimutes,
em torno do ponto de tangência, são representados sem deformações. Nos exemplos da
Figura 1, as respectivas denominações podem ser complementadas pela palavra Plana.
A projeção é classificada por desenvolvimento quando a superfície de projeção
adotada, para representar a Terra em um plano, é uma figura geométrica desenvolvível.
Isto é, possível de ser transformada em um plano.
Conforme este critério, as projeções classificam-se em: cônicas, cilíndricas e
poliédricas. São pois, respectivamente, um cone, um cilindro e um poliedro as figuras
geométricas desenvolvíveis usadas para a representação cartográfica. O cone e o cilindro
podem ser tangentes (como mostra a Figura 3) ou secantes ao modelo.
Um esquema representativo das projeções planas e por desenvolvimento está na
Figura 3.
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Figura 3 — Projeções plana e por desenvolvimento
(Fonte: adaptado de Bakker, 1965)
É oportuno esclarecer que as projeções azimutais e as projeções cilíndricas
podem ser consideradas, do ponto de vista matemático, como um caso particular das
projeções cônicas, haja vista que o plano tangente à superfície terrestre pode ser
considerado um caso particular de um cone, cujo vértice está situado no ponto de
tangência, enquanto que o cilindro pode ser considerado um cone com seu vértice situado
no infinito.
Dentro das projeções cônicas, devem incluir-se as policônicas, nas quais, em lugar
de ter só um cone, são usados geralmente dois cones tangentes à superfície da Terra.
4.1.3. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO
SEGUNDO A SITUAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE PROJEÇÃO
A classificação das projeções, segundo a situação da superfície de projeção, é
aplicada às projeções planas e às projeções por desenvolvimento cônicas e cilíndricas.
Para as projeções planas, levam-se em conta a posição do plano de projeção e a
posição do ponto de tangência entre o plano e o modelo. Para as projeções por
desenvolvimento, cônicas e cilíndricas, leva-se em conta a posição do respectivo eixo.
As projeções planas são classificadas, conforme os fatores citados anteriormente,
em: polares, equatoriais ou meridianas, e horizontais ou oblíquas.
¾ Projeções polares: quando o ponto de tangência está situado no pólo e a
posição do plano é perpendicular ao eixo de rotação da Terra.
¾ Projeções equatoriais ou meridianas: quando o ponto de tangência está situado
no equador e o plano de projeção é paralelo ao eixo de rotação da Terra.
¾ Projeções horizontais ou oblíquas: quando o ponto de tangência não está
situado nem no pólo, nem no equador e, portanto, está situado em qualquer
outro ponto da superfície terrestre, e o plano de projeção está inclinado em
relação ao eixo de rotação da Terra.
As projeções planas estão ilustradas na Figura 4a.
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Figura 4a — Classificações das projeções planas
As projeções por desenvolvimento, cônicas, são classificadas, conforme a posição
do cone, em: normais, transversas ou meridianas, e horizontais ou oblíquas.
As projeções por desenvolvimento, cilíndricas, são classificadas, conforme a
posição do cilindro, em: equatoriais, transversas ou meridianas, e horizontais ou oblíquas.
¾ Projeções normais (cônicas): o cone se situa de maneira que o seu respectivo eixo
seja coincidente com o eixo de rotação da Terra.
¾ Projeções equatoriais (cilíndricas): o cilindro se situa de maneira que o seu
respectivo eixo seja paralelo ao eixo de rotação da Terra.
¾ Projeções transversas ou meridianas: o cone, ou o cilindro, se situa de maneira
que o seu respectivo eixo seja perpendicular ao eixo de rotação da Terra (o eixo da
figura geométrica está localizado no plano do equador).
¾ Projeções horizontais ou oblíquas: o cone, ou o cilindro, se situa de maneira que o
seu respectivo eixo esteja inclinado com relação ao eixo de rotação da Terra. O
ângulo formado por ambos os eixos é diferente de 0° e de 90°.
As projeções por desenvolvimento estão ilustradas nas Figuras 4b e 4c.
Figura 4b — Classificações das projeções cônicas
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Figura 4c — Classificações das projeções cilíndricas
4.1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE PROJEÇÃO
SEGUNDO A PROPRIEDADE QUE CONSERVAM
As projeções cartográficas, segundo as propriedades que elas conservam,
classificam-se em: eqüidistantes, equivalentes, conforme e afiláticas.
Projeções eqüidistantes: são as projeções que não apresentam deformações lineares. Isto
significa que os comprimentos nas cartas estão representados em escala uniforme, ou, em
outras palavras, que existe uma relação constante entre os comprimentos na representação
gráfica e os comprimentos correspondentes no modelo.
Quando a propriedade de eqüidistância é fixada em determinada direção, dá origem
a uma subclassificação e se têm: eqüidistantes meridianas, eqüidistantes transversais e
eqüidistantes azimutais.
¾ As eqüidistantes meridianas são aquelas em que as eqüidistâncias se apresentam
segundo os meridianos.
¾ As projeções eqüidistantes transversais são as que apresentam eqüidistâncias
segundo os paralelos.
A classificação das projeções eqüidistantes em meridianas e transversais é aplicada
somente à projeção plana polar, à cônica normal e à cilíndrica equatorial, porque,
somente nesses casos, é que se consegue eqüidistância segundo os meridianos e
segundo os paralelos. Na projeção cilíndrica equatorial não se consegue
eqüidistância transversal, o que impede construir-se uma projeção cilíndrica
transversal, exceto na linha do equador que é eqüidistante, característica de todas as
projeções cilíndricas equatoriais (ver item 4.4.2, página 54).
¾ Projeções eqüidistantes azimutais: são as que não apresentam deformações nos
círculos máximos que passam pelo ponto de tangência. As projeções eqüidistantes
azimutais são chamadas também de projeções eqüidistantes ortodrômicas. A
ortodromia é a menor distância entre dois pontos, sobre uma superfície esférica ou
elipsoidal. A menor distância entre dois pontos, sobre a esfera, é o arco ao longo da
linha de circunferência máxima; e, sobre o elipsóide de revolução, é a linha
geodésica.
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Introdução à Cartografia
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Projeções equivalentes: são aquelas que conservam áreas, isto é, as áreas na carta guardam
uma relação constante com a sua correspondente na superfície da Terra.
Projeções conformes: são as que não deformam ângulos, os quais são representados em
verdadeira grandeza e, ao se adotar esta projeção, a representação das pequenas áreas não
sofre deformação.
Projeções afiláticas: são aquelas em que os comprimentos, as áreas e os ângulos não são
conservados. Entretanto, podem possuir uma ou outra propriedade que justifiquem sua
construção. Como exemplo, pode ser citada a projeção gnomômica, que não conserva
nenhum desses elementos, porém, possui a excepcional propriedade de apresentar as
ortodromias como retas.
Nem sempre a projeção é denominada pelos critérios de classificação apresentados.
As projeções geralmente são conhecidas pelo nome de quem as desenvolveu.
Eventualmente, o nome pode ser acompanhado pela propriedade que conserva (conforme
ou equivalente), a linha de eqüidistância e a superfície desenvolvível utilizada. Isto
acontece, principalmente, com as projeções analíticas e convencionais. Como exemplo,
citam-se: a projeção conforme de Mercator, e a projeção azimutal de Lambert.
Pelo exposto, não é possível elaborar cartas que conservem simultaneamente: áreas,
ângulos e distâncias. Portanto, deve-se escolher uma projeção, de acordo com o objetivo da
representação gráfica, estabelecendo quais as deformações a serem admitidas, quais terão
de ser eliminadas e que propriedades deverão ser conservadas.
As classificações apresentadas não formam compartimentos separados, muito pelo
contrário, um tipo de projeção abrange mais de uma classificação. Por exemplo, a projeção
plana-polar-gnomônica, ou a projeção plana-polar-estereográfica, ou a projeção cilíndricaestereográfica.
4.2 COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO E ESFERA-MODELO
Um conceito importante das projeções cartográficas é o coeficiente de deformação.
Ele determina as potencialidades e limitações da projeção, haja vista que fixa a precisão do
documento cartográfico e, portanto, orienta a sua aplicação.
Para definir o coeficiente de deformação, pode ser usado, como auxiliar, o conceito
da esfera-modelo ou o do elipsóide-modelo. Usar-se-á, neste trabalho, o conceito de esferamodelo, pela sua simplicidade e por ser de grande ajuda para entender a construção das
projeções. Caso fosse usado o elipsóide-modelo, os conceitos seriam os mesmos.
A esfera-modelo é uma representação em escala da Terra com um raio único.
Portanto, considera-se a Terra como uma esfera. O raio da esfera-modelo será igual ao raio
da Terra multiplicado pela escala.
A Projeção cartográfica transforma a esfera-modelo em um plano, na mesma
escala. Essa transformação, como foi exposto anteriormente, provoca deformações.
Define-se coeficiente de deformação como a relação existente entre uma grandeza
na projeção e a grandeza correspondente na esfera-modelo (entende-se como grandeza
qualquer entidade que possa ser medida). Chamando ab a uma grandeza na projeção e
AB à sua correspondente na esfera-modelo, a definição do coeficiente de deformação CD
pode ser resumida pela fórmula:
CD =
ab
AB
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24
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Como a grandeza na esfera-modelo é igual à grandeza sobre a superfície terrestre
A B multiplicada pela escala, tem-se:
'
'
AB = A' B ' ⋅ E
portanto:
ab
A B' ⋅ E
de onde:
CD =
'
ab = A' B ' ( E ⋅ CD )
Observa-se, na fórmula acima, que uma grandeza no sistema de projeção é igual a
essa grandeza medida sobre a superfície terrestre, multiplicada pelo fator entre parênteses.
Este fator é o resultado da multiplicação da escala pelo coeficiente de deformação. O
produto entre parênteses ( E ⋅ CD) mostra que, para passar uma grandeza que está sobre a
superfície terrestre para a projeção, a escala da projeção é modificada por um fator
(Coeficiente de Deformação). Por este motivo, o coeficiente de deformação (CD) é
chamado, talvez com maior freqüência, de fator de escala. Quando se usa esta
denominação (fator de escala) ele é representado por k.
O conceito de coeficiente de deformação ou fator de escala aplica-se a todos os
sistemas de projeção.
4.3 PROJEÇÕES PLANAS
Quando se adota um plano, diretamente, para representar a superfície terrestre em
um plano, a projeção cartográfica é classificada como plana. Como foi apresentado
anteriormente, existem vários tipos de projeção plana.
Será tratada, a seguir, somente a projeção plana polar, pela sua simplicidade,
como uma introdução a este tipo de projeção, com a finalidade de mostrar sucintamente os
conceitos: lei da projeção, coeficientes de deformação (meridiana, transversal e
superficial), condição de eqüidistância, condição de conformidade, condição de
equivalência, e deformação angular para uma projeção específica.
Lei da projeção
Uma projeção plana polar está representada na Figura 5, com o plano tangente no
pólo norte. Tomando três pontos, A, B e C, sobre a esfera-modelo e seus correspondentes
a, b e c no plano de projeção, de tal forma que os pontos A e B estejam sobre o mesmo
meridiano, e os pontos A e C, sobre o mesmo paralelo, axiomaticamente, afirma-se que:
¾ os meridianos são representados por linhas retas concorrentes no pólo, e formarão
entre si ângulos iguais às respectivas diferenças de longitudes;
¾ os paralelos são representados por circunferências concêntricas no pólo.
Os pontos representados na esfera-modelo ficam localizados por meio das
coordenadas esféricas Latitude e Longitude. O complemento da latitude denomina-se
colatitude ( 90 o − ϕ ), que será usado para se deduzir a lei da projeção.
A colatitude do ponto A está representada por δ, na Figura 5. O ponto a, que é a
representação, no plano de projeção, do ponto A do modelo, está afastado do ponto P a
uma distância m que depende da colatitude do ponto A. À medida que aumenta δ, aumenta
m, e vice-versa. Portanto m será função de δ.
A lei da projeção resultará em uma expressão geral da forma:
m = f (δ )
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Figura 5 — Projeção plana polar
Conhecida a lei da projeção, a projeção pode ser construída. Para isto escolhe-se
um ponto P sobre o plano para representar o pólo; por este ponto traçam-se as
transformadas dos meridianos, formando entre si ângulos iguais às respectivas diferenças
de longitudes. Posteriormente, com centro em P, traçam-se as circunferências que
representam as transformadas dos paralelos, e calculam-se os raios (m) por uma fórmula
do tipo:
m = f (δ )
Especificamente, observa-se na Figura 5 que:
PA
δ=
onde:
R
δ = colatitude do Ponto A
PA = arco formado pelo ângulo δ
R = raio da esfera-modelo
Desenvolvendo PA, tem-se m (raio da circunferência representativa da
transformada do paralelo do ponto A); portanto:
m
de onde se extrai: m = R ⋅ δ
δ=
R
Para calcular o valor de m, basta expressar δ em radiano (δ ρ ) ; e a unidade de m
dependerá da unidade de R. Portanto, a expressão matemática a se aplicar será:
m = R ⋅δ ρ
Na expressão matemática apresentada, não se especificou qualquer condição a ser
satisfeita pela projeção.
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Coeficientes de deformação
Como visto anteriormente, o coeficiente de deformação é a relação entre uma
grandeza na projeção (carta ou mapa) e a correspondente grandeza na esfera-modelo.
Aplicando-se esta definição para a projeção plana polar, definir-se-ão: coeficiente
de deformação meridiana, coeficiente de deformação transversal e coeficiente de
deformação superficial.
Coeficiente de deformação meridiana
Sejam os dois pontos, A e B, da esfera-modelo (Figura 5), situados sobre um
mesmo meridiano, e infinitamente próximos, e os pontos a e b, seus correspondentes na
projeção (sobre o plano). Então, o coeficiente de deformação meridiana β por definição
será:
ab
β=
AB
Sobre o plano de projeção da Figura 5, extrai-se que:
ab = dm
Sobre a esfera-modelo da Figura 5, observa-se que:
dδ =
AB
R
de onde se extrai: AB = R ⋅ dδ
Substituindo-se ab e AB na definição do coeficiente de deformação meridiana,
tem-se:
ab
dm
Finalmente:
=
AB R ⋅ dδ
dm
(fórmula do Coeficiente de Deformação Meridiana)
β=
R ⋅ dδ
No caso particular de ab = AB , ( β = 1 ), significa que não existe deformação da
distância AB ao passar da esfera-modelo para o plano de projeção. Por conseqüência,
quando β = 1 , tem-se a condição de eqüidistância meridiana. A inexistência de
deformação entre distâncias infinitamente pequenas estende-se para distâncias maiores, ao
longo do meridiano
Lembrar que, quando se têm pontos infinitamente próximos, devem aplicar-se os
conceitos de equações diferenciais. Então, no caso particular da fórmula de β , o fator dm
e o fator dδ representam respectivamente o diferencial de m e o diferencial de δ . Mais à
frente, aparecerão nomenclaturas com o mesmo significado (equações diferenciais).
β=
Coeficiente de deformação transversal
Seja agora outro ponto, C, situado no mesmo paralelo do ponto A e infinitamente
próximo ao ponto A (Figura 5); sendo o ponto c, o correspondente de C na projeção. O
coeficiente de deformação transversal α estará dado pela relação:
ac
α=
AC
No plano de projeção representado na Figura 5, tem-se:
dλ =
ac
m
de onde se extrai: ac = m ⋅ dλ
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Sobre a esfera-modelo, tem-se:
dλ =
AC
TA
e
TA = R ⋅ sen δ
portanto dλ =
AC
R ⋅ sen δ
AC = R ⋅ sen δ ⋅ dλ
De onde extrai-se que:
Substituindo-se ac e AC na definição do coeficiente de deformação transversal,
tem-se:
α=
ac
m . dλ
m
=
=
AC R ⋅ sen δ ⋅ dλ R ⋅ sen δ
α=
m
R ⋅ sen δ
Assim, finalizando, tem-se:
(fórmula do Coeficiente de Deformação Transversal)
No caso particular de ac = AC , ( α = 1 ), significa que não existe deformação ao
longo dos paralelos, ao passar a distância AC da esfera-modelo para o plano de projeção.
Por conseqüência, quando α = 1 , tem-se a condição de eqüidistância transversal. Pelo
mesmo raciocínio aplicado ao Coeficiente de Deformação Meridiana, a inexistência de
deformação entre distâncias infinitamente pequenas estende-se para distâncias maiores, ao
longo do paralelo.
Coeficiente de deformação superficial
O coeficiente de deformação superficial refere-se à relação de áreas entre projeção
e esfera-modelo. Portanto, na Figura 5, deve-se considerar, além dos pontos A, B e C,
também o ponto D, situado no mesmo paralelo do ponto B e no meridiano do ponto C, de
modo que os quatro pontos formem a superfície retangular infinitesimal ABCD, sobre a
esfera-modelo, e sua correspondente abcd no plano de projeção. Então, a relação entre as
áreas dos retângulos do plano de projeção e da esfera-modelo fornecerá o coeficiente de
deformação superficial γ.
Saliente-se que a área sobre a esfera-modelo pode ser considerada plana, haja vista
o tamanho infinitesimal do retângulo sobre esta esfera. Portanto, por definição tem-se:
γ=
Como
ab ⋅ ac
AB ⋅ AC
ab
dm
=β =
AB
R ⋅ dδ
e
ac
m
=α =
AC
R ⋅ sen δ
Tem-se que
γ = β .α =
dm
m
m ⋅ dm
= 2
R ⋅ dδ R ⋅ sen δ R ⋅ sen δ ⋅ dδ
Finalmente:
γ=
m . dm
(fórmula do Coeficiente de Deformação Superficial)
R ⋅ sen δ ⋅ dδ
2
No caso particular em que a área sobre o plano (ab ⋅ ac) é igual à área sobre a
esfera-modelo ( AB ⋅ AC ) , significa que a área da esfera-modelo projetada sobre o plano de
projeção não sofreu distorção. Portanto, γ = 1 é a condição de equivalência.
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Deformação angular
Para abordar a deformação angular deve relacionar-se um ângulo na esfera-modelo
e o seu correspondente no plano de projeção.
Com esta finalidade, consideram-se dois triângulos retângulos infinitesimais; um
triângulo esférico, ABC na esfera-modelo, e o seu correspondente plano, abc no plano de
projeção, como mostra a Figura 6. Os pontos A e B estão sobre o mesmo meridiano. E os
pontos B e C estão sobre um arco de circunferência máxima.
A condição para que não haja deformação angular é que os ângulos u e u ' , gerados
a partir do meridiano no sentido anti-horário (ângulo positivo), sejam iguais. Portanto, o
ângulo u da esfera-modelo é representado no plano de projeção em verdadeira grandeza,
como u ' . Se os ângulos são iguais, também o serão as suas respectivas tangentes. Assim:
u = u'
e, então: tg u = tg u '
Ao se analisar a Figura 6a, tem-se que:
tg u =
AC
AB
sobre a esfera-modelo;
E, ao se analisar a Figura 6b, tem-se que:
tg u ' =
ac
ab
sobre o plano de projeção.
Então:
AC ac
=
AB ab
ac
ab
=
AC AB
ac
Conforme foi apresentado anteriormente:
=α
AC
Portanto:
α=β
de onde
e
ab
=β
AB
Esta fórmula (α = β) significa que, para que os ângulos sejam representados sem
deformação no plano de projeção, o coeficiente de deformação transversal deve ser igual
ao coeficiente de deformação meridiana. Assim, a condição de conformidade da projeção
está dada pela expressão α = β.
Figura 6 — Representação angular sobre a esfera-modelo e seu correspondente no plano.
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Chegou-se a este resultado por que o ângulo A, formado entre o meridiano e o
paralelo na esfera-modelo, é reto, e o seu correspondente a, do plano de projeção, também
é considerado reto, pois os triângulos ABC e abc representam, respectivamente, os
mesmos elementos infinitamente próximos na esfera-modelo e no plano de projeção.
Em um curso normal de Cartografia, a abordagem das projeções planas deveria
continuar com o desenvolvimento das fórmulas matemáticas de cada tipo de projeção,
incluindo-se exemplos de construção. O exposto aqui considera-se suficiente para se ter
boa noção destas projeções.
Deformação angular máxima
Quando a projeção não é conforme, em algumas situações é preciso se conhecer a
deformação angular máxima que a projeção pode apresentar. Para chegar à expressão desta
deformação angular, procede-se da seguinte maneira:
Relaciona-se a tangente do ângulo sobre o plano de projeção, e a tangente
homóloga, sobre a esfera-modelo. Ou seja:
ac
ac ⋅ AB
tg u ' ab
=
=
Ordenando convenientemente tem-se:
tg u AC ab ⋅ AC
AB
tg u ' ac AB
=
tg u AC ab
ac
=α
AC
Como:
e
AB 1
=
ab β
tg u ' α
=
tg u β
Por tratar-se de uma proporção, esta fórmula resulta:
tg u ' − tg u α − β
=
tg u ' + tg u α + β
Como:
tg u ' − tg u =
sen (u ' − u )
cos u ' ⋅ cos u
e
tg u ' + tg u =
sen (u ' + u )
cos u ' ⋅ cos u
tem-se que:
sen (u ' − u )
cos u ' ⋅ cos u = α − β
sen (u ' + u )
α +β
cos u ' ⋅ cos u
Simplificando os denominadores, fica:
sen (u ' − u ) α − β
=
sen (u ' + u ) α + β
De onde se tem que:
sen (u ' − u ) =
α −β
sen (u ' + u )
α+β
Fazendo u ' − u = Δ u , sendo Δ u a diferença angular, tem-se:
sen Δ u =
α −β
sen (u ' + u )
α +β
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fica:
30
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Esta expressão alcançará o seu valor máximo quando sen (u ' + u ) = 1
Então:
sen Δ umax =
α −β
α +β
Como a diferença angular ( Δ u ) é muito pequena (pois foram tomados
triângulos infinitesimais, na esfera-modelo e no plano de projeção), pode-se substituir o
sen Δ u pelo ângulo expresso em radiano. Assim:
Δ umax =
α −β
α +β
Esta expressão fornece a deformação máxima da projeção.
4.3.1. CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO PLANA POLAR EQÜIDISTANTE MERIDIANA
Com o objetivo de se construir uma Projeção Plana Polar Eqüidistante Meridiana
dm
(PPPEM), parte-se da fórmula do Coeficiente de Deformação Meridiana, β =
e,
R . dδ
sabendo que a condição de eqüidistância meridiana é β = 1 , tem-se:
dm
=1
R ⋅ dδ
de onde:
dm = R ⋅ dδ
Integrando, tem-se:
∫ dm = ∫ R ⋅ dδ
que resulta:
m = R ⋅δ + C
Para se calcular a constante de integração C, observa-se, na Figura 5, que, para
δ = 0 também m = 0 . Portanto:
0 = R⋅0 + C
ou seja
0=0+C
a qual implica:
C =0
Portanto, como C = 0 , tem-se:
m = R ⋅δ
Onde:
m = distância ao pólo (raio da circunferência, correspondente ao paralelo de colatitude δ )
R = Raio da esfera-modelo
δ = colatitude ( 90º −ϕ )
Para aplicar a fórmula anterior ( m = R ⋅ δ ), δ deve ser expresso em radiano,
ficando a fórmula para a construção da projeção plana polar eqüidistante meridiana:
m = R ⋅δ ρ
que é a Lei da Projeção Plana Polar Eqüidistante Meridiana
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Para a construção da Projeção Plana Polar Eqüidistante Meridiana, devem fixar-se:
¾ um ponto representativo do pólo
¾ um meridiano qualquer tomado como origem (aconselha-se tomar um valor
inteiro de longitude central à área a ser representada)
¾ um valor para o raio R da esfera-modelo (este valor de R determinará a escala
da projeção).
Uma vez satisfeitas as condições anteriores, já podem ser traçadas as transformadas
dos paralelos e meridianos. Sabe-se a priori (Figura 5) que as transformadas dos paralelos
formam circunferências concêntricas no ponto P representativo do pólo, com raio m. E as
transformadas dos meridianos formam retas concorrentes no pólo, separadas entre si pelas
diferenças de longitude (é aconselhável tomar a diferença algébrica com relação ao
meridiano tomado como origem).
A seguir, apresenta-se um exemplo numérico:
Dados:
¾ Raio da esfera-modelo:
¾ Meridiano origem:
R = 150 mm
λ0 = −51o (meridiano central do fuso 22 da Carta
Internacional ao Milionésimo – projeção UTM)
Para o traçado da transformada dos paralelos, aplica-se a fórmula já vista:
m = R ⋅δ ρ
Tomando-se os paralelos a partir da latitude de 60º, com intervalos de 5º em 5º, até
90º, obtêm-se os valores representados na Tabela 1:
Tabela 1 – Valores de m em função da colatitude dos paralelos da PPPEM
Paralelo
1
2
3
4
5
6
7=P
ϕ (º)
δ (º)
60
65
70
75
80
85
90
30
25
20
15
10
5
0
m (mm)
78,54
65,45
52,36
39,27
26,18
13,09
0,00
Para o traçado da transformada dos meridianos, pode adotar-se uma diferença entre
longitudes de 5º; 10º; 20º; etc., conforme o interesse ou necessidade da aplicação.
Adotando-se a diferença de 10º, as primeiras retas representativas dos meridianos
estarão a 10º do meridiano origem (-51º, no exemplo), tanto à sua direita (leste do
meridiano origem) como à sua esquerda (oeste do meridiano origem); as segundas estarão
a 20º, e assim sucessivamente até 90º, como no exemplo da Figura 7. As transformadas dos
meridianos devem ser estabelecidas de maneira a abranger toda a área a ser mapeada.
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Figura 7 – Projeção PPEM com ponto de tangência no Pólo Norte.
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Tendo-se as transformadas dos meridianos, uma das formas de se calcular a
longitude, correspondente a cada reta concorrente no pólo, mostra-se a seguir.
Partindo-se da fórmula:
Δλi = λi − λo
Onde:
Δλi = diferença entre a longitude do meridiano i e
a longitude do meridiano origem
λi = longitude do meridiano i
λo = longitude do meridiano origem
Esta fórmula fornece ângulos positivos para aqueles gerados em sentido antihorário, isto é, para o leste do meridiano origem, e negativos para os ângulos gerados em
sentido contrário.
Da fórmula anterior tem-se que:
λi = Δλi + λo
Adotando-se 90º como a diferença máxima entre a longitude do meridiano extremo
e a longitude do meridiano origem (-51º), tanto a leste como a oeste, têm-se os valores
representados na Tabela 2:
Tabela 2 – Longitude dos meridianos representados em função de Δλ
Leste do Meridiano Origem
Oeste do Meridiano Origem
Δλ (°)
λ (°)
Δλ (°)
λ (°)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
39
29
19
9
-1
-11
-21
-31
-41
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-61
-71
-81
-91
-101
-111
-121
-131
-141
As transformadas dos paralelos e meridianos, com as respectivas latitudes e
longitudes, extraídas da Tabela 1 e da Tabela 2, estão representadas na Figura 7.
Até aqui, foi mostrado como se representam os paralelos e os meridianos, na
projeção plana polar eqüidistante meridiana, em função das coordenadas polares m e Δλ.
Para representar pontos da superfície terrestre com latitude e longitude conhecidas,
basta seguir o mesmo procedimento. Porém, a representação é mais prática e mais precisa,
ao se usar coordenadas cartesianas ortogonais em lugar de coordenadas polares. Ao adotarse esta última alternativa, define-se como eixo Y o meridiano origem (N-S) e,
perpendicular a este, o eixo X (O-L). A representação de cada eixo e seu respectivo sentido
está na Figura 7.
A representação dos pontos faz-se, aplicando as fórmulas:
X = m ⋅ sen Δλ
Y = m ⋅ cos Δλ
cujos termos são conhecidos.
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Estas fórmulas podem também aplicar-se para determinar a intersecção entre a
transformada do paralelo extremo e cada uma das transformadas dos meridianos, sem a
necessidade de se trabalhar com ângulos.
Para exemplificar, toma-se um ponto M, localizado sobre a esfera-modelo com as
coordenadas esféricas:
¾ ϕ = 60º (paralelo extremo da Figura 7) e
¾ λ = −1º
Portanto Δ λ = [(-1º - (-51º)] = 50º.
Aplicando-se as fórmulas, obtém-se as coordenadas cartesianas na projeção:
X = m ⋅ sen Δλ = 78,54 mm . sen (50º) = 60,16 mm
Y = m ⋅ cos Δλ = 78,54 mm . cos (50º) = 50,48 mm
A transformada do meridiano de λ = -1º obtém-se unindo os pontos P e M, como
está representada na Figura 7. Assim, procedendo-se do mesmo modo, podem representarse outros meridianos.
A Tabela 3 mostra os valores das coordenadas dos cantos das quadrículas A e B, de
10° x 10°, localizadas em regiões diferentes, e a Figura 7, a representação gráfica
correspondente.
Tabela 3 – Valores das coordenadas dos cantos das quadrículas A e B, da PPPEM
Quadrícula
Ponto
ϕ
λ
X (mm)
Y (mm)
A
1
2
3
4
82° 30’
82° 30’
72° 30’
72° 30’
22° 30’
32° 30’
22° 30’
32° 30’
18,82
19,51
43,93
45,52
5,58
2,22
13,01
5,19
B
5
6
7
8
73° 30’
73° 30’
63° 30’
63° 30’
-79° 30’
-69° 30’
-79° 30’
-69° 30’
-20,61
-13,71
-33,10
-22,01
37,96
40,96
60,97
65,79
Observa-se na Figura 7 que as quadrículas sobre a esfera-modelo, de 10º x 10º, em
ambas as regiões apresentam-se alongadas, evidenciando-se a distorção da forma à medida
que se afasta do pólo. As distâncias, como era de se esperar, não sofrem distorções ao
longo dos meridianos; haja vista que na construção da projeção impôs-se a condição de
eqüidistância meridiana. Portanto, as distorções irão ocorrer, com maior incidência, ao
longo dos paralelos. Estes conceitos resumem-se a seguir:
¾ a distância na esfera-modelo e sua correspondente na projeção, ao longo dos
meridianos, são iguais;
¾ as distorções ao longo dos paralelos aumentam à medida que estes (paralelos) se
afastam do ponto de tangência.
As considerações sobre as distorções podem ser observadas, tanto qualitativamente,
na Figura 7, como quantitativamente, na Tabela 4. Nesta tabela, observa-se que, para os
pontos 1 e 2, localizados sobre o paralelo mais próximo ao pólo, há uma diferença entre
distâncias de 0,23 mm; enquanto que, para os pontos 7 e 8, localizados sobre paralelo mais
afastados do pólo, no exemplo, a diferença é de 1,19 mm.
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Tabela 4. Diferenças de distâncias entre os lados das quadrículas A e B da PPPEM
Paralelo
ϕ (º)
Meridiano
λ (º)
82,5
72,5
Distância (mm)
Arco/segmento
1—2 paralelo
3—4 paralelo
1—3 meridiano
2—4 meridiano
5—6 paralelo
7—8 paralelo
5—7 meridiano
6—8 meridiano
22,5
32,5
73,5
63,5
- 79,5
- 69,5
Esfera-modelo
3,19
7,35
26,18
26,18
6,94
10,90
26,18
26,18
Projeção
Diferença
(mm)
3,42
7,99
26,18
26,18
7,68
12,09
26,18
26,18
0,23
0,64
0,00
0,00
0,74
1,19
0,00
0,00
As áreas sobre a esfera-modelo terão o mesmo comportamento que as distâncias,
isto é, quanto mais longe do ponto de tangência estiver, maior será a distorção. As áreas
perto do pólo, onde se dá o ponto de tangência entre o plano e a esfera-modelo, sofrerão
distorções menores, e as distorções aumentarão à medida que as áreas estiverem mais
distantes do pólo, como é mostrado quantitativamente na Tabela 5.
Tabela 5. Diferenças de áreas entre quadrículas de 10º x 10 º da PPPEM
Quadrícula
Área (mm2)
Esfera-modelo
Projeção
Diferença (mm2)
A
137,93
148,77
10,84
B
233,56
301,25
67,69
Na quadrícula A, que está mais próxima do pólo, a diferença de área entre a
projeção e a esfera-modelo é de 10,84 mm2. Enquanto que, para a quadrícula B, a diferença
de área é de 67,69 mm2. Confirma-se, assim, com dados, que as distorções de áreas
aumentam à medida que se afasta do ponto de tangência.
As áreas sobre a esfera-modelo foram desenvolvidas em um plano, para o efeito de
compará-las com as áreas planas da projeção, haja vista que não se pode comparar área da
superfície esférica com área plana.
A projeção apresentada na Figura 7 corresponde à projeção plana polar para o
hemisfério norte. Para efetuar uma projeção plana polar, com ponto de tangência no pólo
sul, deve seguir-se metodologia semelhante, com o cuidado de se tomar as latitudes em
valor absoluto, visto que elas são negativas.
4.3.2. CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO PLANA POLAR EQUIDISTANTE TRANSVERSAL
Para construir uma Projeção Plana Polar Eqüidistante Transversal (PPPET),
procede-se, em linhas gerais, da mesma maneira que para a projeção anterior, Plana Polar
Eqüidistante Meridiana. Só que, neste caso, parte-se da fórmula do Coeficiente de
Deformação Transversal, α =
transversal é α = 1 , tem-se:
m = R . sen δ
m
R . sen δ
e, sabendo que a condição de eqüidistância
Esta fórmula é a Lei da projeção PPET.
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Onde:
m = distância ao pólo (raio da circunferência, correspondente ao paralelo de colatitude δ )
R = Raio da esfera-modelo
δ = colatitude
Para a construção da PPPET, como foi feito no exemplo anterior, devem fixar-se:
¾ um ponto representativo do pólo
¾ um meridiano qualquer tomado como origem (aconselha-se tomar um valor
inteiro de longitude central à área a ser representada)
¾ um valor para o raio R da esfera-modelo (R determinará a escala da projeção).
Igualmente ao caso anterior, serão traçadas as transformadas dos paralelos e
meridianos, cuja configuração depreende-se da interpretação da Figura 5, em que os
paralelos formam circunferências concêntricas no ponto P representativo do pólo, com raio
m. E as transformadas dos meridianos formam retas concorrentes no pólo, separadas entre
si pelas diferenças de longitude (é aconselhável tomar a diferença algébrica com relação ao
meridiano tomado como origem).
A seguir, apresenta-se um exemplo numérico:
Dados:
¾ Raio da esfera-modelo: R = 157,0 mm
λ0 = −51o
¾ Meridiano origem:
Para o traçado da transformada dos paralelos, aplica-se a fórmula já vista:
m = R . sen δ
Tomando-se os paralelos a partir da latitude de 60º, com intervalos de 5º em 5º,
obtêm-se os valores de m representados na Tabela 5:
Tabela 5 – Valores de m em função da colatitude dos paralelos da PPPET
Paralelo
1
2
3
4
5
6
7=P
ϕ (º)
δ (º)
60
65
70
75
80
85
90
30
25
20
15
10
5
0
m (mm)
78,50
66,35
53,70
40,63
27,26
13,68
0,00
Para o traçado da transformada dos meridianos, adotou-se o critério aplicado ao
exemplo de projeção plana polar eqüidistante meridiana.
A projeção plana polar eqüidistante transversal está representada na Figura 8,
juntamente com as quadrículas A e B.
Salienta-se que os cantos das quadrículas A e B foram representados por meio de
suas coordenadas cartesianas, com os valores da Tabela 6.
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Introdução à Cartografia
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Figura 8 – Projeção PPET com ponto de tangência no Pólo Norte.
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Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Tabela 6 – Valores das coordenadas dos cantos das quadrículas A e B, para a PPPET.
Quadrícula
A
B
Ponto
1
2
3
4
ϕ
λ
82° 30’
82° 30’
72° 30’
72° 30’
22° 30’
32° 30’
22° 30’
32° 30’
5
6
7
8
73° 30’
73° 30’
63° 30’
63° 30’
-79° 30’
-69° 30’
-79° 30’
-69° 30’
X (mm)
19,65
20,36
45,27
Y (mm)
5,82
2,32
13,41
46,91
-21,28
-14,15
-33,43
-22,23
5,34
39,19
42,29
61,56
66,43
Observa-se na Figura 8 que as quadrículas de 10º x 10º, na PPPET, mostram-se
alongadas, evidenciando distorção da forma, do mesmo modo que se observou para a
PPPEM.
Tendo em vista que a construção da projeção exige a condição de eqüidistância
transversal, não ocorrerão distorções ao longo dos paralelos, as quais serão evidenciadas ao
longo dos meridianos, conforme se observa quantitativamente na Tabela 7, como
qualitativamente, na Figura 8:
Tabela 7 — Diferenças de distâncias entre os lados das quadrículas A e B da PPPET
Paralelo
(º)
ϕ
Meridiano
(º)
82,5
72,5
22,5
32,5
73,5
63,5
- 79,5
- 69,5
λ
Arco/segmento
1—2 paralelo
3—4 paralelo
1—3 meridiano
2—4 meridiano
5—6 paralelo
7—8 paralelo
5—7 meridiano
6—8 meridiano
Distância (mm)
Esfera-modelo
3,57
8,24
27,40
27,40
7,78
12,22
27,40
27,40
Projeção
Diferença
(mm)
3,57
8,24
26,72
26,72
7,78
12,22
25,46
25,46
0,00
0,00
- 0,68
- 0,68
0,00
0,00
- 1,94
- 1,94
As áreas sobre a esfera-modelo terão o mesmo comportamento já visto para
PPPEM. Ou seja, quanto mais longe estiver do pólo, maior será a distorção, como mostram
os dados da Tabela 8.
Tabela 8. Diferenças de áreas entre quadrículas de 10º x 10 º da PPPET
Quadrícula
Área (mm2)
Esfera-modelo
Projeção
Diferença (mm2)
A
161,90
157,06
-4,84
B
274,14
253,45
-20,69
Na quadrícula A, que está mais próxima do pólo, a diferença de área, em valor
absoluto, entre a projeção e a esfera-modelo é de 4,84 mm2. Enquanto que, para a
quadrícula B, a diferença de área é de 20,69 mm2.
Confirma-se, assim, que as distorções de áreas aumentam à medida que se afasta do
ponto de tangência. Este comportamento é típico de qualquer projeção plana.
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4.3.3. CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO PLANA POLAR EQUIVALENTE
Com o objetivo de se construir uma Projeção Plana Polar Equivalente (PPPEquiv),
parte-se da condição de equivalência, que estabelece que a relação entre a área na projeção
e a área na esfera-modelo é igual a 1, portanto, não existe deformação de área. Isto implica
que o Coeficiente de Deformação Superficial γ seja igual a 1. Como γ = α ⋅ β e
sabendo que:
α=
m
R ⋅ sen δ
β=
e
m
dm
⋅
=1
R . sen δ R . dδ
dm
R ⋅ dδ
tem-se:
de onde:
m ⋅ dm = R 2 ⋅ sen δ dδ
Integrando esta igualdade, tem-se:
∫ m ⋅ dm = ∫ R
2
⋅ senδ dδ
que resulta:
m2
+ C1 = - R 2 ⋅ cos δ + C2
2
de onde:
m2
= - R 2 ⋅ cos δ + C2 − C1
2
fazendo C2 − C1 = C
então:
m2
= - R 2 ⋅ cos δ + C
2
Para calcular a constante C , da Figura 5 (item 4.3), depreende-se que:
para δ = 0
⇒
m=0
portanto:
0
= - R 2 ⋅ cos 0 + C
2
de onde:
0 = - R2 + C
isto implica que:
C = R2
Substituindo C por R2 na fórmula
m2
= - R 2 ⋅ cos δ + C
2
obtém-se:
m2
= - R 2 ⋅ cos δ + R 2 = R 2 (1 − cos δ )
2
Como: 1 − cos δ = 2 sen 2
m2
δ
= R 2 ⋅ 2 sen 2
2
2
m 2 = 4 R 2 ⋅ sen 2
m = 2 R ⋅ sen
δ
2
δ
2
δ
2
tem-se:
de onde:
e, finalmente:
que é a Lei da Projeção Plana Polar Equivalente.
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Fixando-se os parâmetros das projeções anteriores (ponto representativo do pólo,
meridiano origem e o raio da esfera-modelo), tem-se condições de se construir a projeção
plana polar equivalente.
Para o traçado da transformada dos paralelos e meridianos, os dados para esta
projeção são:
¾ Raio da esfera-modelo:
¾ Meridiano origem:
R = 151,65 mm
λ0 = − 51o
Aplicando-se a fórmula da Lei da projeção da PPPEquiv, m = 2 R ⋅ sen
δ
2
, tem-se
os dados da Tabela 9 e a representação gráfica dos paralelos e meridianos correspondente
na Figura 9:
Tabela 9 – Valores de m em função da colatitude dos paralelos da PPPEquiv
Paralelo
1
2
3
4
5
6
7=P
ϕ (º)
δ (º)
m (mm)
60
65
70
75
80
85
90
30
25
20
15
10
5
0
78,50
65,65
52,67
39,59
26,43
13,23
0,00
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Figura 9 – Projeção PPEquivalente com ponto de tangência no Pólo Norte.
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A Tabela 10 mostra os valores das coordenadas dos cantos das quadrículas A e B,
de 10° x 10°, localizadas em regiões diferentes, e a Figura 9, a representação gráfica
correspondente.
Tabela 10 – Valores das coordenadas dos cantos das quadrículas A e B, da PPPEquiv
Quadrícula
A
B
Ponto
1
2
3
4
ϕ
λ
82° 30’
82° 30’
72° 30’
72° 30’
5
6
7
8
73° 30’
73° 30’
63° 30’
63° 30’
22° 30’
32° 30’
22° 30’
32° 30’
X (mm)
19,02
19,71
44,24
45,84
Y (mm)
5,63
2,25
13,10
5,22
-79° 30’
-69° 30’
-79° 30’
-69° 30’
-20,77
-13,81
-33,17
-22,06
38,25
41,27
61,09
65,92
As diferenças de distâncias, chamadas de distorções, ao longo dos paralelos e dos
meridianos, estão claramente expressos na Tabela 11.
Tabela 11. Diferenças de distâncias entre os lados das quadrículas A e B da PPPEquiv
Paralelo
ϕ (º)
Distância (mm)
Meridiano
82,5
72,5
22,5
32,5
73,5
63,5
- 79,5
- 69,5
λ (º) Arco/segmento Esfera-modelo
1—2 paralelo
3—4 paralelo
1—3 meridiano
2—4 meridiano
5—6 paralelo
7—8 paralelo
5—7 meridiano
6—8 meridiano
3,45
7,96
26,47
26,47
7,52
11,81
26,47
26,47
Projeção
Diferença
(mm)
3,46
8,04
26,30
26,30
7,59
12,12
26,00
26,00
0,01
0,08
- 0,17
- 0,17
0,07
0,31
- 0,47
- 0,47
Como dado ilustrativo, reforçando a idéia da conservação de área na PPPEquiv,
observa-se na Tabela 12 que, nesta projeção (Figura 9), as áreas representadas na projeção
são iguais às áreas homólogas da esfera-modelo, mostrando a propriedade de equivalência.
Isto conseguiu-se em detrimento das distorções de distâncias e ângulos.
Tabela 12. Diferenças de áreas entre quadrículas de 10º x 10 º da PPPEquiv
Quadrícula
Área (mm2)
Esfera-modelo
Projeção
Diferença (mm2)
A
151,67
151,67
0,00
B
255,13
255,13
0,00
Quanto aos ângulos, deve se ter presente que, na intersecção de paralelos e
meridianos, na esfera-modelo, o ângulo esférico corresponde a 90º. Enquanto, na projeção,
as quadrículas formadas pelos pontos formam trapézios e, obviamente, nos vértices, os
ângulos planos diferem de 90º.
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4.3.4. CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO PLANA POLAR CONFORME
Com o objetivo de se construir uma Projeção Plana Polar Conforme (PPPC),
procede-se de maneira semelhante às projeções anteriores, e, neste caso, conservam-se os
ângulos, ao passar da esfera-modelo à projeção. O que implica representar os ângulos, na
projeção, em verdadeira grandeza. Para este caso, parte-se da condição de conformidade,
que diz: o coeficiente de deformação meridiana é igual ao coeficiente de deformação
transversal, sintetizada pela fórmula β = α .
β=
Sabendo que
dm
R ⋅ dδ
α=
e
m
R ⋅ sen δ
tem-se:
dm
m
=
R ⋅ dδ R ⋅ sen δ
de onde tem-se que:
dm
R ⋅ dδ
=
m
R ⋅ sen δ
simplificando-se R no segundo membro, tem-se:
dm
dδ
=
m sen δ
e, integrando-se esta igualdade, tem-se:
∫
dm
dδ
=∫
m
sen δ
de onde resulta:
ln m + C1 = ln (cos ec δ − cot g δ ) + C2
ln m + C1
=
1
cos δ ⎞
⎛ 1 − cos δ ⎞
−
⎟ + C 2 = ln ⎜
⎟ + C2
⎝ sen δ sen δ ⎠
⎝ sen δ ⎠
ln ⎛⎜
Como 1− cos δ = 2 sen 2
ln m + C1
δ
e
2
sen δ = 2 sen
δ
2
⋅ cos
δ
2
tem-se:
δ⎞
⎛
⎛
⎞
2 δ
⎜ sen ⎟
⎜ 2 sen
⎟
2 ⎟ + C = ln ⎜
2 ⎟+C
= ln ⎜
2
2
⎜⎜ cos δ ⎟⎟
⎜⎜ 2 sen δ ⋅ cos δ ⎟⎟
2
2⎠
2⎠
⎝
⎝
Passando o termo C1 para o segundo membro, tem-se:
ln m
=
ln ⎛⎜ tg δ
ln m
=
ln ⎛⎜ tg δ ⎞⎟ + C3
⎝
⎝
⎞
⎟ + C2 − C1
2 ⎠
e fazendo
C2 − C1 = C3
tem-se:
2⎠
Fazendo uma mudança de variável, fazendo:
C 3 = ln C
E substituindo C3 por seu igual na fórmula anterior, tem-se:
ln m
=
ln tg δ
2
+ ln C
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Aplicando-se as propriedades dos logaritmos, obtém-se:
ln m
=
ln ⎛⎜ C ⋅ tg δ ⎞⎟
m = C ⋅ tg
2⎠
⎝
δ
de onde, portanto, tem-se:
que é a Lei da Projeção Plana Conforme
2
A Lei da projeção indica que m é diretamente proporcional à constante de
integração C. E sua determinação se faz de maneira diferente da aplicada para as projeções
anteriores. Nas projeções anteriores, atribuía-se valor zero para δ e, ao se analisar a Figura
5, observava-se que m também assumia o valor zero. No caso presente da PPPC, ao se
anular δ e m, anula-se também a constante C. Portanto, não é possível, para esta projeção,
aplicar-se o mesmo procedimento das anteriores.
Deduz-se, então, que pode atribuir-se qualquer valor à constante C, obtendo-se um
grupo de projeções que diferirão, entre si, apenas na escala.
Desse grupo de projeções, existem apenas duas alternativas de interesse prático
para o valor de C, que são:
C=R
e
C = 2R
Como o valor de R fixa a escala da projeção, observa-se claramente que a escala da
segunda alternativa é o dobro da primeira.
Outro aspecto importante desta projeção é que ela é Estereográfica. Desse modo,
quando C = R , os pontos da esfera-modelo são geometricamente projetados sobre o plano
do equador. E, quando C = 2 R , os pontos da esfera-modelo são geometricamente
projetados sobre o plano tangente no pólo, como ilustrado na Figura 10.
Figura 10 – PPPC mostrando a projeção estereográfica do ponto P sobre o equador e sobre
o plano tangente.
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Introdução à Cartografia
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Como está ilustrado na Figura 10, o ponto P está projetado geometricamente sobre
o equador, materializado pelo ponto T; e sobre o plano tangente, pelo ponto L, expresso
respectivamente pelas fórmulas:
m1 = R ⋅ tg
O que significa que:
δ
e
2
m2 = 2 R ⋅ tg
δ
2
m2 = 2 ⋅ m1
Após estes esclarecimentos, serão representadas as transformadas dos paralelos e
meridianos, como nas projeções anteriores, adotando-se um valor para o raio da esferamodelo, e tomando-se um meridiano de origem:
¾ Raio da esfera-modelo:
¾ Meridiano origem:
R = 151,65 mm
λ0 = − 51o
Aplicando-se a fórmula da Lei da projeção da PPPC, m = R ⋅ tg
δ
, tem-se os
2
dados da Tabela 13 e a representação gráfica dos paralelos e meridianos correspondente na
Figura 11:
Tabela 13 – Valores de m em função da colatitude dos paralelos da PPPConforme
Paralelo
ϕ (º)
δ (º)
m (mm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
78,50
65,87
54,97
45,32
36,61
28,57
21,03
13,84
6,87
0,00
Para observar a conformidade da projeção representada na Figura 11, basta analisar
o ponto T. Neste ponto, traçou-se a tangente à transformada do paralelo e depreende-se que
o ângulo neste ponto é igual a 90º, mesmo valor do ângulo correspondente na esferamodelo. Esta análise pode ampliar-se a qualquer outro ponto de intersecção de
transformadas de paralelos e meridianos.
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Figura 11 – Projeção PPConforme com ponto de tangência no Pólo Norte.
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A Tabela 14 mostra os valores das coordenadas dos cantos das quadrículas A e B,
de 10° x 10°, localizadas em regiões diferentes, e a Figura 11, a representação gráfica
correspondente.
Tabela 14 – Coordenadas dos cantos das quadrículas A e B, da PPPConforme
Quadrícula
A
B
Ponto
1
2
3
4
ϕ
λ
82° 30’
82° 30’
72° 30’
72° 30’
22° 30’
32° 30’
22° 30’
32° 30’
5
6
7
8
73° 30’
73° 30’
63° 30’
63° 30’
-79° 30’
-69° 30’
-79° 30’
-69° 30’
X (mm)
4,93
5,11
11,58
Y (mm)
1,46
0,58
3,43
12,00
-5,43
-3,61
-8,82
-5,87
1,37
10,00
10,79
16,24
17,53
As diferenças de distâncias, ao longo dos paralelos e dos meridianos, estão
claramente expressos na Tabela 15.
Tabela 15. Diferenças de distâncias entre os lados das quadrículas A e B da PPPC
Paralelo
ϕ (º)
Distância (mm)
Meridiano
82,5
72,5
22,5
32,5
73,5
63,5
- 79,5
- 69,5
λ (º) Arco/segmento Esfera-modelo
1—2 paralelo
3—4 paralelo
1—3 meridiano
2—4 meridiano
5—6 paralelo
7—8 paralelo
5—7 meridiano
6—8 meridiano
1,79
4,12
13,70
13,70
3,89
6,11
13,70
13,70
Projeção
Diferença
(mm)
0,90
2,11
6,94
6,94
1,98
3,22
7,10
7,10
-0,89
-2,01
-6,76
-6,76
-1,91
-2,89
-6,60
-6,60
A Tabela 16 mostra as diferenças de áreas entre projeção e esfera-modelo das
quadrículas A e B.
Como se vê, a Tabela 15 mostra as diferenças entre distâncias, e a Tabela 16 mostra
as diferenças entre áreas. O que significa que a conservação de ângulos conseguiu-se em
detrimento das distâncias e áreas.
Tabela 16. Diferenças de áreas entre quadrículas de 10º x 10 º da PPPConforme
Quadrícula
Área (mm2)
Esfera-modelo
Projeção
Diferença (mm2)
A
40,47
10,37
-30,10
B
68,54
18,42
-50,12
Até este ponto, apresentou-se a Projeção Plana Polar em suas diferentes
modalidades por facilitar a compreensão do traçado deste tipo de projeção. Mas, deve-se
ter presente que a posição do plano pode estar colocada em qualquer outro ponto da esferamodelo. O desenvolvimento dessas variantes pode ser encontrado na bibliografia ao final.
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4.4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS
O Cilindro é uma figura geométrica desenvolvível, isto é, possível de ser
transformado num plano sem dobras nem rachaduras. Baseada nesta propriedade do
cilindro, a Cartografia recorre freqüentemente a ele para representar a superfície terrestre
em cartas e mapas.
O princípio inicial consistiu em circunscrever o modelo matemático (esfera),
substitutivo da Terra, em um cilindro, e projetar a rede de meridianos e paralelos, de uma
parte de Terra, sobre o cilindro. A projeção poderia ser a partir do centro da Terra ou de
qualquer outro ponto escolhido. Cortando depois o cilindro numa geratriz e desenrolando-o
obtem-se um plano sobre o qual estão projetados os paralelos e os meridianos.
Atualmente, a maioria das projeções empregada é resultante de modificações deste
princípio geométrico e, em muitos casos, as modificações são de tal grau que conservam
muito pouco deste princípio geométrico. Até o cilindro, passou de tangente a secante.
Deve-se levar em conta que os levantamentos são realizados sobre a superfície da
Terra verdadeira, processados sobre o modelo matemático, posteriormente projetados
sobre o cilindro, para finalmente serem transformados em um plano. Tem-se, portanto,
como conseqüência, deformações inevitáveis.
Lei da projeção
Será apresentada a lei geral da projeção cilíndrica equatorial, em que o cilindro é
tangente à superfície terrestre no equador, e os eixos de rotação da Terra e do cilindro são
coincidentes (Figura 12).
Figura 12. Projeção cilíndrica equatorial
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49
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Desta figura, depreende-se que o equador ao desenvolver-se será representado por
uma linha reta eqüidistante, ou seja, o comprimento do equador não terá distorção na
projeção. Os meridianos serão linhas retas paralelas entre si, e perpendiculares à linha do
equador. Os paralelos serão também linhas retas paralelas ao equador e, portanto,
perpendiculares aos meridianos.
As transformadas dos meridianos e paralelos formarão elementos retilíneos
retangulares, que por este motivo são denominados de reticulados.
Tome-se um ponto A sobre a esfera-modelo, sendo o ponto a sua representação
sobre o cilindro. Chamando-se y à distancia entre o equador e o ponto a, sendo ϕ a latitude
do ponto A, pode concluir-se que a lei das projeções cilíndricas no sentido norte-sul será
uma equação da forma:
y = f (ϕ)
Esta fórmula indica que, à medida que aumenta ϕ, aumenta também o valor de y, e
vice-versa.
Da mesma figura 12, obtém-se que, no sentido leste-oeste, sobre o plano do
equador, o valor de x é dado pela expressão:
x = arco dλ (desenvolvimento do arco do ângulo dλ )
Conhecida a lei da projeção, o quadriculado da projeção poderá ser construído
tomando-se como origem para a coordenada y o equador, e como origem para a
coordenada x um meridiano, que passa a ser denominado Meridiano Origem, como mostra
a Figura 13.
Figura 13. Coordenadas planas da projeção cilíndrica equatorial
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50
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Observa-se que a obtenção da lei da projeção, para esta projeção cilíndrica, é
semelhante à lei da projeção da projeção plana polar analisada anteriormente. Na projeção
plana, a lei da projeção é função da co-latitude, enquanto que, na projeção cilíndrica, é
função da latitude. Ambas as leis apresentam-se a seguir:
Na projeção plana polar:
y = f (δ )
Na projeção cilíndrica:
y = f (ϕ )
Por análise da Figura 12, depreende-se que a projeção cilíndrica equatorial não é
apropriada para representar áreas próximas aos pólos.
COEFICIENTES DE DEFORMAÇÃO DA PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL
Conforme estudados para as projeções anteriores, definir-se-ão, para a projeção
cilíndrica equatorial, os três coeficientes de deformação: coeficiente de deformação
meridiana; coeficiente de deformação transversal e coeficiente de deformação superficial.
Coeficiente de deformação meridiana
Sejam dois pontos A e B da esfera-modelo (Figura 12), situados sobre o mesmo
meridiano e infinitamente próximos; a e b são seus correspondentes sobre o cilindro. O
coeficiente de deformação meridiana β, como já foi visto, é definido pela relação:
β=
ab
AB
Da Figura 12, deduz-se que: ab = dy e
Portanto, tem-se que:
β=
dϕ =
AB
, de onde:
R
AB = R ⋅ dϕ
dy
R ⋅ dϕ
Atente-se novamente que, para não haver distorções ao longo dos meridianos, a
condição básica é que ab = AB. Isto implica que o coeficiente de deformação meridiana β
seja igual a 1 (um), como já visto para as projeções anteriores.
Coeficiente de deformação transversal
Sejam dois pontos A e C tomados sobre a esfera-modelo, situados em um mesmo
paralelo e infinitamente próximos, e dλ a diferença de longitude entre os eles (Figura 12).
O coeficiente de deformação transversal
α=
ac
AC
Na Figura 12 observa-se que o arco ac sobre o cilindro, projetado sobre o equador,
assume a expressão
ac = R ⋅ dλ
Da mesma figura, depreende-se que :
AC
dλ =
e, como R ' = A'O = R ⋅ cos ϕ , tem-se que:
R'
dλ =
AC
R ⋅ cos ϕ
de onde: AC = R ⋅ cos ϕ ⋅ dλ
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51
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Portanto, substituindo ac e AC na fórmula do coeficiente de deformação
transversal, tem-se:
Então:
α=
R ⋅ dλ
1
=
= sec ϕ
R ⋅ cos ϕ ⋅ dλ cos ϕ
α=
1
cos ϕ
(coeficiente de deformação transversal)
Coeficiente de deformação superficial
Para a obtenção do coeficiente de deformação superficial γ , parte-se da quadrícula
infinitesimal ABCD sobre a esfera-modelo e seu correspondente abcd sobre o cilindro
(Figura 12). Por tratar-se de quadrículas infinitesimais, as áreas respectivas são:
Sobre a esfera-modelo:
AB ⋅ AC
Sobre o cilindro:
ab ⋅ ac
Relacionando ambas as áreas, tem-se:
γ=
ab ⋅ ac
= β ⋅ α (fórmula já vista para a projeção plana polar)
AB ⋅ AC
Substituindo-se β e α por suas respectivas expressões, tem-se:
γ=
dy
1
dy
⋅
=
R ⋅ dϕ cos ϕ R ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ
Para que não haja distorções de áreas, a condição é que γ = 1 .
As condições de eqüidistância e de equivalência são iguais para os diferentes tipos
de projeções. Por indução, a condição de conformidade será α = β , propriedade cuja
demonstração torna-se aqui desnecessária.
4.4.1.CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL EQÜIDISTANTE MERIDIANA
Com o objetivo de se construir uma Projeção Cilíndrica Equatorial Eqüidistante
Meridiana (PCEEM), parte-se da fórmula do Coeficiente de Deformação Meridiana,
dy
e, sabendo que a condição de eqüidistância meridiana é β = 1 , tem-se:
β=
R . dϕ
dy
=1
R . dϕ
de onde:
dy = R . dϕ
Integrando, tem-se:
∫ dy = ∫ R . dϕ
que resulta:
y = R .ϕ + C
Para se calcular a constante de integração C, observa-se, na Figura 12, que, para
ϕ = 0 também y = 0 . Portanto:
0 = R.0 + C
ou seja
0=0+C
a qual implica:
C =0
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52
Introdução à Cartografia
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Portanto, como C = 0 , tem-se:
y = R .ϕ
Onde:
y = distância ao equador (correspondente à latitude ϕ )
R = Raio da esfera-modelo
ϕ = latitude do ponto
Para aplicar a fórmula anterior ( y = R . ϕ ), ϕ deve ser expresso em radiano.
Adotando-se a convenção de praxe para representar um ângulo em radiano, a fórmula para
a construção da projeção cilíndrica equatorial eqüidistante meridiana fica:
y = R .ϕ ρ
que é a Lei da Projeção Cilíndrica Equatorial Eqüidistante Meridiana
Para calcular o valor de x, que é o desenvolvimento do arco da diferença de
longitude entre o ponto a representar e a longitude do meridiano origem, aplica-se a
fórmula:
x = R ⋅ dλρ
A seguir, apresenta-se um exemplo numérico:
Dados:
¾ Raio da esfera-modelo:
¾ Meridiano origem:
R = 105 mm
λ0 = −51o (meridiano central do fuso 22 da Carta
Internacional ao Milionésimo – projeção UTM)
Para o traçado da transformada dos paralelos e meridianos, aplicam-se as fórmulas
já vistas:
y = R .ϕ ρ
x = R ⋅ dλρ
No traçado do reticulado da projeção, pode adotar-se para as latitudes variação de
2º, 5º, 10º, etc, e diferenças entre longitudes de 2º, 5º, 10º, etc., conforme o interesse ou
necessidade da aplicação.
Tomando-se os paralelos a partir da latitude 0º até 40º, para sul e para norte, com
intervalos de 5º em 5º; e os meridianos a partir da longitude -51º, com intervalos de 5º em
5º, para leste e para oeste, obtêm-se os valores apresentados na Tabela 17.
O reticulado da projeção cilíndrica equatorial eqüidistante meridiana, com os
valores da Tabela 17, está representado na Figura 14.
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53
Introdução à Cartografia
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Tabela 17 – Valores de x e y do reticulado da PCEEM
λ (º)
d λ (º)
x (mm)
ϕ (º)
y (mm)
-11
-16
-21
-26
-31
-36
-41
-46
-51
-56
-61
-66
-71
-76
-81
-86
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
73,30
64,14
54,98
45,81
36,65
27,49
18,33
9,16
0,00
-9,16
-18,33
-27,49
-36,65
-45,81
-54,98
-64,14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0,00
9,16
18,33
27,49
36,65
45,81
54,98
64,14
73,30
-9,16
-18,33
-27,49
-36,65
-45,81
-54,98
-64,14
Figura 14. Reticulado da Projeção Cilíndrica Equatorial Eqüidistante Meridiana
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54
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Analisando-se a Tabela 17 e a Figura 14, destaca-se que, para o mesmo
espaçamento entre paralelos e meridianos (5° x 5°), a quadrícula homóloga tem também
forma quadrada.
Esta projeção, além de não apresentar deformações de distâncias ao longo dos
meridianos, não apresenta deformação de distância também ao longo do equador
(característica das projeções cilíndricas equatoriais).
Se a representação gráfica for efetuada até o valor de ϕ = ± 90° , e a diferença de
Longitude Δλ = ± 90o , ou seja, 90º tanto a Leste como a Oeste do Meridiano Origem,
deduz-se que os pólos serão representados por uma reta de comprimento igual a π ⋅ R , que
corresponde à metade do desenvolvimento da circunferência do equador, como se
demonstra a seguir:
Desenvolvimento da Circunferência do Equador S = 2 ⋅ π ⋅ R
De onde:
S
=π ⋅R
2
Como
x = R ⋅ Δλρ
e para
Δλρ = 180o
tem-se que:
x =π ⋅R
O que reforça a idéia de que esta projeção não é apropriada para representar áreas
próximas aos pólos, haja vista que os pólos, sendo pontos, ficam representados por retas.
Portanto, a projeção PCEEM é apropriada para mapear áreas próximas ao equador.
O valor de y, para ϕ = ± 90° , corresponde a ¼ do desenvolvimento da
circunferência do equador. Chega-se a esta conclusão seguindo-se o mesmo raciocínio
utilizado para se determinar o valor de x, portanto:
y=
π ⋅R
2
.
4.4.2. DEMONSTRAÇÃO DA IMPOSSIBILIDADE DE SE CONSTRUIR
PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL EQÜIDISTANTE TRANSVERSAL
Com o objetivo de se demonstrar a impossibilidade de se construir uma Projeção
Cilíndrica Equatorial Eqüidistante Transversal (PCEET), parte-se da fórmula do
1
Coeficiente de Deformação Transversal, α =
e, sabendo que a condição de
cosϕ
eqüidistância transversal é α = 1 , tem-se:
1
=1
cosϕ
de onde:
cos ϕ = 1
Esta fórmula fica satisfeita somente para ϕ = 0° e, portanto, consegue-se
eqüidistância transversal apenas para o equador. Por conseqüência, não será possível se
construir uma projeção cilíndrica equatorial eqüidistante transversal.
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4.4.3. CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL EQÜIVALENTE
PROJEÇÃO DE LAMBERT
Com o objetivo de se construir uma Projeção Cilíndrica Equatorial Equivalente
(PCEE), parte-se da condição de equivalência, dada por γ = 1 . E, sabendo que γ = α ⋅ β ,
tem-se que:
1
dy
⋅
=1
de onde:
R . dϕ cos ϕ
dy = R ⋅ cosϕ ⋅ dϕ
Integrando, tem-se:
∫ dy = ∫ R ⋅ cosϕ ⋅ dϕ
que resulta:
y = R ⋅ sen ϕ + C
Para se calcular a constante de integração C, observa-se, na Figura 12, que, para
ϕ = 0º também y = 0 . Portanto:
0 = R ⋅ sen 0º + C
ou seja
0 = R⋅0 + C
a qual implica:
C =0
Portanto, como C = 0 , tem-se:
y = R ⋅ sen ϕ
que é a Lei da Projeção Cilíndrica Equatorial Equivalente
Onde:
y = distância ao equador (correspondente à latitude ϕ )
R = Raio da esfera-modelo
ϕ = latitude do ponto
Para calcular o valor de x, que é o desenvolvimento do arco da diferença de
longitude entre o ponto a representar e a longitude do meridiano origem, aplica-se a
fórmula:
x = R ⋅ dλρ
A seguir, apresenta-se um exemplo numérico:
Dados:
¾ Raio da esfera-modelo:
¾ Meridiano origem:
R = 105 mm
λ0 = −51o (meridiano central do fuso 22 da Carta
Internacional ao Milionésimo – projeção UTM)
Para o traçado da transformada dos paralelos e meridianos, aplicam-se as fórmulas
já vistas:
y = R ⋅ sen ϕ
x = R ⋅ dλρ
Tomando-se o intervalo de latitudes e longitudes do exemplo anterior, obtêm-se os
valores representados na Tabela 18.
O reticulado da projeção cilíndrica equatorial eqüivalente, com os valores da Tabela
18, está representado na Figura 15.
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Tabela 18 – Valores de x e y do reticulado da PCEE (de Lambert)
λ (º)
d λ (º)
x (mm)
ϕ (º)
y (mm)
-11
-16
-21
-26
-31
-36
-41
-46
-51
-56
-61
-66
-71
-76
-81
-86
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
73,30
64,14
54,98
45,81
36,65
27,49
18,33
9,16
0,00
-9,16
-18,33
-27,49
-36,65
-45,81
-54,98
-64,14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0,00
9,15
18,23
27,18
35,91
44,37
52,50
60,23
67,49
-9,15
-18,23
-27,18
-35,91
-44,37
-52,50
-60,23
Figura 15. Reticulado da Projeção Cilíndrica Equatorial Equivalente, de Lambert
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A fórmula y = R ⋅ sen ϕ , para o caso específico do ponto A (Figura 12), significa
que o segmento AA' é projetado ortogonalmente sobre o cilindro. Este segmento AA'
corresponde ao valor y (FF’) da transformada do paralelo de latitude ϕ .
Nesta projeção PCEE, novamente na linha do equador as distâncias não sofrem
deformações.
4.4.4. CONSTRUÇÃO DE PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUATORIAL CONFORME
PROJEÇÃO DE MERCATOR
Com o objetivo de se construir uma Projeção Cilíndrica Equatorial Conforme
(PCEC), parte-se da condição de conformidade, dada por α = β . E, sabendo que:
α=
1
cos ϕ
1
dy
=
cos ϕ R ⋅ dϕ
dy =
e
β=
dy
R ⋅ dϕ
tem-se que:
de onde:
R ⋅ dϕ
= R ⋅ sec ϕ ⋅ dϕ
cos ϕ
Integrando, tem-se:
∫ dy = ∫ R ⋅ secϕ ⋅ dϕ
que resulta:
y = R ⋅ ln (secϕ + tgϕ ) + C
Para se calcular a constante de integração C, observa-se, na Figura 12, que, para
ϕ = 0º também y = 0 . Portanto:
0 = R ⋅ ln (sec 0º +tg 0º ) + C
de onde
ou seja: 0 = R ⋅ ln 1 + C
de onde: 0 = 0 + C
a qual implica:
0 = R ⋅ ln(1 + 0) + C
C =0
Portanto, como C = 0 , tem-se:
⎛ 1
⎞
+ tgϕ ⎟⎟
y = R ⋅ ln (secϕ + tgϕ ) = R ⋅ ln ⎜⎜
⎝ cos ϕ
⎠
Esta fórmula expressa a Lei da Projeção Cilíndrica Conforme de Mercator
Onde:
y = distância ao equador (correspondente à latitude ϕ )
R = Raio da esfera-modelo
ϕ = latitude do ponto
Atualmente, não existe qualquer inconveniente em se aplicar a lei da Projeção
Cilíndrica Conforme de Mercator, expressa pelas fórmulas demonstradas anteriormente,
devido à disponibilidade de calculadoras, planilhas eletrônicas e, principalmente,
computadores, que permitem programar ou empregar programas de informática já
existente, para resolvê-las.
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58
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Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Estes instrumentos não estavam antigamente disponíveis e, por este motivo, a Lei
da Projeção CEC de Mercator é geralmente conhecida por outra expressão matemática, que
se demonstrará a seguir.
Parte-se da Lei da Projeção de Mercator:
⎛ 1
⎞
+ tgϕ ⎟⎟
y = R ⋅ ln ⎜⎜
⎝ cos ϕ
⎠
⎛ 1 + senϕ
⎛ 1
⎞
⎛ 1
senϕ ⎞
Tem-se que: y = R ⋅ ln ⎜⎜
+ tgϕ ⎟⎟ = R ⋅ ln ⎜⎜
+
⎟⎟ = R ⋅ ln ⎜⎜
⎝ cos ϕ
⎝ cos ϕ
⎠
⎝ cos ϕ cosϕ ⎠
⎞
⎟⎟
⎠
ϕ⎞
⎛
Como: 1 + senϕ = 1 − cos(90º +ϕ ) = 2 sen 2 ⎜ 45º + ⎟
2⎠
⎝
E
ϕ⎞
ϕ⎞
⎛
⎛
cos ϕ = sen(90º +ϕ ) = 2 sen⎜ 45º + ⎟ ⋅ cos⎜ 45º + ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
Substituindo em y tem-se:
⎛
ϕ⎞
⎛
2 sen 2 ⎜ 45º + ⎟
⎜
2⎠
⎝
y = R ⋅ ln ⎜
⎜
ϕ⎞
ϕ⎞
⎛
⎛
⎜ 2 sen⎜ 45º + ⎟ ⋅ cos⎜ 45º + ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
⎞
⎛
ϕ⎞
⎛
⎟
⎜ sen⎜ 45º + ⎟
2⎠
⎝
⎟ = R ⋅ ln ⎜
⎟
⎜
ϕ⎞
⎛
⎟
⎜ cos⎜ 45º + ⎟
2⎠
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟ = R ⋅ ln tg ⎛⎜ 45º + ϕ ⎞⎟
⎟
2⎠
⎝
⎟
⎠
De onde:
ϕ⎞
⎛
y = R ⋅ ln tg ⎜ 45º + ⎟
2⎠
⎝
Esta é a fórmula mais aplicada para a construção da
Projeção Cilíndrica Equatorial Conforme de Mercator.
Para calcular o valor de x, conforme já apresentado anteriormente, aplica-se a
fórmula:
x = R ⋅ dλρ
A seguir, apresenta-se um exemplo numérico, com os mesmos dados de Raio da
esfera-modelo e do meridiano origem das projeções cilíndricas anteriores :
Tomando-se o mesmo intervalo de latitudes e longitudes do exemplo anterior,
obtêm-se os valores representados na Tabela 19.
O reticulado da projeção cilíndrica equatorial conforme de Mercator, com os
valores da Tabela 19, está representado na Figura 16.
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59
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Tabela 19 – Valores de x e y do reticulado da PCEC (de Mercator)
λ (º)
d λ (º)
x (mm)
ϕ (º)
y (mm)
- 11
- 16
- 21
- 26
- 31
- 36
- 41
- 46
- 51
- 56
- 61
- 66
- 71
- 76
- 81
- 86
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
- 10
- 15
- 20
- 25
- 30
- 35
73,30
64,14
54,98
45,81
36,65
27,49
18,33
9,16
0,00
- 9,16
- 18,33
- 27,49
- 36,65
- 45,81
- 54,98
- 64,14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-5
- 10
- 15
- 20
- 25
- 30
- 35
0,00
9,17
18,42
27,81
37,42
47,34
57,68
68,55
80,11
-9,17
- 18,42
- 27,81
- 37,42
- 47,34
- 57,68
- 68,55
Figura 16. Reticulado da Projeção Cilíndrica Equatorial Conforme, de Mercator
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60
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Nesta projeção os comprimentos dos paralelos e meridianos aumentam na mesma
proporção, para manter a conformidade. Isto faz que as pequenas áreas, em torno de um
ponto, conservem a sua forma.
As áreas grandes apresentam-se com distorções de forma. Essas distorções de
forma sofrem aumento progressivo à medida que as áreas se afastam do equador.
Esta projeção conforme apresenta eqüidistância na linha do equador.
Se na Lei da Projeção de Mercator assumir ϕ = 90º , o resultado de y será um valor
que tenderá ao infinito. Portanto, os pólos, nesta projeção, não podem ser representados.
Nas projeções cilíndricas equatoriais abordadas neste item (existem muitas outras
projeções cilíndricas equatoriais), foi mostrado, somente, como se representa o reticulado
formado pela projeção de paralelos e de meridianos. Salienta-se que qualquer ponto da
superfície terrestre, com coordenadas geodésicas ou geográficas conhecidas, pode ser
representado, seguindo-se a mesma sistemática adotada. O procedimento pode ser
estendido para mapear uma determinada área.
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61
Introdução à Cartografia
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PROJEÇÃO CILÍNDRICA TRANSVERSA
Esta projeção é uma variante da projeção cilíndrica equatorial, em que a superfície
do cilindro envolve a esfera-modelo, tangenciando-a segundo um meridiano qualquer. Ela
corresponde, assim, a uma rotação de 90o em azimute da modalidade equatorial.
Para determinar a lei da projeção para a construção da projeção cilíndrica
transversa, devem-se considerar, como paralelos, os círculos menores cujos planos são
paralelos ao meridiano de tangência; e, como meridianos, os círculos máximos que passam
pelos pontos E e E' (Figura 17). E, a partir destas mudanças, segue-se o mesmo raciocínio
da projeção cilíndrica equatorial para a obtenção da lei da projeção.
Os pontos E e E' são denominados pólos fictícios, os círculos menores paralelos ao
meridiano de tangência são chamados de paralelos fictícios, e os arcos de círculos
máximos que passam pelos pontos e E e E' são chamados de meridianos fictícios. Os
pontos E, E' e as áreas próximas não poderão ser representadas nesta projeção, no entanto,
permite-se a representação dos pólos e suas áreas de influências.
Figura 17. Projeção cilíndrica transversa
4.4.5. PROJEÇÕES CILÍNDRICAS TM
A bibliografia norte-americana costuma denominar de TM (Transversa de
Mercator), projeções em que o cilindro é transverso ao modelo matemático. Pertencem ao
grupo TM as seguintes projeções cilíndricas transversas conformes: a projeção de Gauss; a
projeção Gauss-Krüger; a projeção Gauss-Tardi; a projeção Universal Transversa de
Mercator (UTM); a projeção Local Transversa de Mercator (LTM); e a projeção Regional
Transversa de Mercator (RTM). Esta última também é conhecida como Sistema SPC (State
Plane Coordinate System).
A Projeção de Gauss é semelhante à Projeção Cilíndrica Conforme da Lambert,
com a diferença de que, em lugar de tomar a esfera como modelo, adota o elipsóide de
revolução como modelo substitutivo da Terra. Esta projeção (de Gauss) foi desenvolvida
para mapear o território de Hannover na Alemanha. Krüger dividiu esta projeção em fusos
parciais de 3o de amplitude, em longitude, dando origem à Projeção Gauss-Krüger. Em
ambos os sistemas, o cilindro é tangente ao elipsóide no meridiano central.
Posteriormente, Tardi aumentou os fusos para 6o de amplitude e transformou o
cilindro, de tangente para secante, sendo chamada esta Projeção de Gauss-Tardi. Com
pequenas modificações desta última projeção, chegou-se à projeção UTM (Brunetti, 1993).
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62
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
PROJEÇÃO DE GAUSS E PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR (UTM)
Entre as projeções cilíndricas, estão a Projeção de Gauss e a Projeção Universal
Transversa de Mercator. Esta última é conhecida também por sua sigla UTM. Ambas as
projeções são conforme e pertencem ao grupo das chamadas TM (Transversa de Mercator).
A Projeção de Gauss será tratada sucintamente, enquanto que a projeção UTM será
desenvolvida mais profundamente a seguir.
PROJEÇÃO DE GAUSS
A projeção de Gauss, denominada Transversa de Mercator pela bibliografia norteamericana, é uma projeção Conforme. Portanto, tem a propriedade de conservar os ângulos
e a forma das pequenas áreas, com a vantagem de apresentar deformações mínimas de
distâncias.
A projeção de Gauss foi já adotada pelo Brasil para o mapeamento sistemático
nacional, tendo como datum horizontal o ponto Córrego Alegre (MG); como datum
vertical o marégrafo de Torres (RS), e o elipsóide de Hayford como modelo matemático.
A projeção de Gauss foi desenvolvida a partir da projeção de Mercator,
modificando-se a posição do cilindro com relação ao elipsóide de revolução, onde o eixo
do cilindro passou, de paralelo ao eixo de rotação, para perpendicular ao eixo de rotação do
elipsóide. Em ambas as projeções, o cilindro é tangente no meridiano central do fuso do
modelo adotado.
A projeção de Gauss, quanto ao método de construção, é classificada como
analítica; quanto à superfície adotada, é uma projeção: por desenvolvimento, cilíndrica,
transversa e tangente; quanto à propriedade que conserva, é conforme.
Como toda projeção, a projeção de Gauss deve permitir transformar as coordenadas
geodésicas: latitude ϕ e longitude λ em coordenadas planas E e N, e vice-versa, isto é,
também transformar as coordenadas planas E e N em coordenadas geodésicas ϕ e λ. A
primeira denomina-se transformação direta, e a segunda, transformação inversa.
PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR (UTM)
A Projeção Universal Transversa de Mercator foi o nome adotado pelo serviço de
cartografia do exército dos Estados Unidos em 1947 para designar a projeção utilizada na
elaboração de mapas militares utilizados na segunda guerra mundial (Snyder, 1987).
As cartas elaboradas no sistema de coordenadas planas, para atender às
necessidades militares, segundo Richardus; Adler (1974), deveriam cumprir os critérios
específicos, discriminados a seguir:
¾ conforme, para minimizar erros direcionais,
¾ “continuidade”, das áreas cobertas, com um mínimo número de zonas,
¾ erros de escala causados pela projeção não devem exceder uma tolerância
especificada,
¾ referência única para o sistema de coordenadas planas para todas as zonas,
¾ fórmulas de transformação de uma zona para outra uniforme, para um elipsóide de
referência,
¾ convergência meridiana não deve exceder cinco graus.
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63
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
A U.G.G.I (União Geodésica e Geofísica Internacional) recomendou, em 1951, esta
projeção para ser aplicada no mundo inteiro. Esta recomendação foi seguida pelo Brasil a
partir de 1955, quando foi adotada esta projeção pela Diretoria do Serviço Geográfico do
IBGE, para o mapeamento sistemático nacional.
Esta projeção, do ponto de vista do princípio construtivo de elaboração, é
classificada como analítica; segundo a superfície adotada é classificada por
desenvolvimento, sendo a superfície desenvolvível um cilindro transverso secante ao
elipsóide; e, segundo a propriedade que conserva, é classificada como conforme.
O cilindro, ao ser transverso, tem seu eixo contido no plano do equador; por ser
secante tem seu diâmetro menor que o do modelo e, conseqüentemente, gera duas linhas de
contato entre o cilindro e o modelo (Figura 18).
Figura 18. Cilindro transverso e secante ao modelo
Para o caso desta projeção, a esfera-modelo foi substituída pelo elipsóide-modelo.
Ao aplicar esta projeção, os pontos estão teoricamente localizados sobre o elipsóide de
revolução, e são projetados sobre o cilindro secante; posteriormente, esse cilindro é
desenvolvido em um plano. Os pontos a mapear ficam limitados a uma parte do modelo,
chamada fuso.
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64
Introdução à Cartografia
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CARACTERÍSTICAS MAIS IMPORTANTES DA PROJEÇÃO UTM
As características mais importantes desta projeção são:
a) Divisão do elipsóide em Fusos
O elipsóide é dividido em Fusos de 6o de amplitude em longitude (sentido leste-oeste),
resultando portanto em 60 fusos; os fusos são numerados a partir do anti-meridiano de
Greenwich para o leste (observador localizado no anti-meridiano de Greenwich). A
numeração é feita da seguinte maneira :
fuso no 01, limitado pelas longitudes 180o W e 174o W
fuso no 02, limitado pelas longitudes 174o W e 168o W
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
fuso no 30, limitado pelas longitudes de 6o W e
fuso no 31, limitado pelas longitudes de 0o
e
0o
6o E
fuso no 60, limitado pelas longitudes de 174o E e 180o E
A longitude limite do fuso é múltipla de seis e coincide com a carta internacional ao
milionésimo. A longitude do meridiano central do fuso é igual à longitude do meridiano
limite leste do fuso menos três graus. Cada fuso consiste em um sistema parcial de
coordenadas.
Para determinar os números dos fusos do Brasil e seus respectivos limites, é só
consultar o mapa da Figura 19, onde é apresentado o território nacional dividido em fusos
UTM. Quanto à latitude, a referida figura mostra que, a partir do equador, tanto no sentido
norte como no sentido sul em latitude, apresenta divisões de 4o em 4o coincidindo com as
quadrículas da carta internacional ao milionésimo.
Caso não haja a possibilidade de se consultar um mapa para se determinar os
limites do fuso, e sabendo-se o seu respectivo número e que suas longitudes são valores
múltiplos de 6º, esses limites podem ser calculados do seguinte modo:
¾ Limite Leste do fuso:
λL = −(180º − nº do fuso ⋅ 6º )
¾ Limite Oeste do fuso:
λO = λL − 6º
Conhecendo-se os limites do fuso, a longitude do meridiano central (λMC ) calculase da seguinte forma:
λMC = λL − 3º
A outra alternativa é determinar-se o nº do fuso em função da longitude de um
ponto. Para esta finalidade, a fórmula a se aplicar é:
Nº F =
180º +λ º
6º
Onde: Nº F : nº do fuso
λº
: longitude do ponto, em grau (deve-se tomar da longitude somente os
graus, sem se considerar minutos e segundos).
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65
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Tome-se o exemplo:
Para o ponto de longitude λ = −53º 50' 10" , deve-se tomar somente o valor - 53º
(desprezando-se os 50' 10" ). Atente-se para o fato de que o resultado desta operação será
sempre arredondado por excesso, sem seguir o critério matemático de arredondamento,
como se mostra a seguir:
Nº F =
180º +(− 53º )
= 21,1666
6º
→
N º F = 22
Quando a longitude é o limite do fuso (valores múltiplos de 6º), a fórmula fornece o
número do fuso que fica a Oeste desse limite.
Os fusos se superpõem nas proximidades dos pólos, o que impossibilita o
mapeamento de áreas próximas a eles.
b) Latitude de origem
Latitude de origem: equador.
c) Longitude de origem
A longitude de origem é o Meridiano Central do fuso.
d) Limites de Aplicação em Latitude
A Projeção UTM é aplicável entre as latitudes de 84o norte e 80o sul, segundo
Richardus; Adler (1974) e IBGE (1995). Outros autores especificam, como latitudes
limites, os valores de 80o, tanto ao norte como ao sul.
e) Transformada do equador, do Meridiano Central dos Fusos, dos Meridianos, dos
Paralelos e de Linhas Geodésicas
As respectivas transformadas, do equador e do meridiano central de cada fuso, são
linhas retas na projeção. As transformadas dos paralelos são linhas curvas, com a
convexidade orientada para a linha do equador; as transformadas dos meridianos (exceto
do meridiano central) são linhas curvas, com a concavidade orientada para o meridiano
central (Figura 20).
A transformada de uma linha geodésica, assim como qualquer outra distância entre
dois pontos (linha curva sobre o elipsóide), é também uma linha curva com a concavidade
orientada para o meridiano central do fuso.
Esclarece-se que, assim como o arco de circunferência máxima é a menor distância
existente entre dois pontos sobre a esfera, a linha geodésica é a menor distância existente
entre dois pontos sobre o elipsóide de revolução.
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66
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Figura 19. Fusos UTM no território nacional
Figura 20. Transformadas dos paralelos e meridianos na projeção UTM
f) Origem das Coordenadas Planas (E e N)
A origem da coordenada plana E (do inglês East, que corresponde à coordenada X
do sistema cartesiano) é o meridiano central do fuso. Por convenção, atribui-se ao
meridiano central do fuso a constante 500.000m; com esta constante evita-se trabalhar com
coordenadas negativas dentro do fuso. A coordenada E, na linha do equador, varia
aproximadamente entre 166.000m e 834.000m (1º = 111.111m aproximadamente). A
coordenada E cresce de Oeste para Leste.
A distância entre o meridiano central e o ponto considerado indica-se por E ' ,
designação válida tanto para ponto localizado a Leste quanto a Oeste do meridiano central,
como se ilustra para os pontos P e Q na Figura 21. Desta figura depreende-se que:
E ' = 500.000m − E (para pontos localizados a oeste do meridiano central)
E ' = E − 500.000m (para pontos localizados a leste do meridiano central)
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67
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Este parâmetro E ' era de grande utilidade quando ainda não se dispunha de meios
computacionais para transformar coordenadas geodésicas em coordenadas planas UTM, e
vice-versa, sendo necessário o uso de tabelas para efetuar essas transformações.
A origem da coordenada plana N (do inglês North, que corresponde à coordenada Y
do sistema cartesiano) é a linha do equador. Para o hemisfério sul a linha do equador tem o
valor de N igual a 10.000.000m. O valor de N no hemisfério sul diminui no sentido do pólo
sul, o que significa que a constante 10.000.000m evita também de se trabalhar com
coordenadas negativas. Para o hemisfério norte, na linha do equador, o valor de N é igual a
zero metro.
No hemisfério Sul a distância do equador até o ponto considerado é designada
geralmente por N ' (como ilustra a Figura 21). No hemisfério Norte, N ' = N.
Figura 21. Parâmetros E' e N' para o hemisfério Sul.
Tendo em vista que as coordenadas planas (E, N) repetem-se em cada fuso, quando
se localizar um ponto, por meio destas coordenadas UTM, deve-se indicar a que fuso
pertence este ponto, para evitar ambigüidade.
A translação de 500.000m denomina-se “falso Este” e a translação de 10.000.000m
denomina-se “falso Norte”. Considera-se que essas qualificações de “falso” são
equivocadas, embora estejam em bibliografia e em alguns softwares, pois tratam-se de
constantes atribuídas a pontos localizados, respectivamente, ao longo do meridiano central
de cada fuso e na linha do equador.
A letra N, que representa uma das coordenadas UTM, não deve ser confundida com
a grande normal ou a ondulação geoidal, parâmetros que também são representados com a
mesma letra N, pela maioria dos autores da área de Geodésia.
g) Coeficiente de Deformação Linear
O Coeficiente de deformação linear é chamado também de fator de escala. O fator
de escala no meridiano central, para qualquer projeção do grupo TM, chama-se de “Fator
de Escala Básico”.
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68
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Para a projeção UTM, o fator de escala no meridiano central é k0 = 0,9996. Este
valor de k0 obtém-se da fórmula:
1
k0 = 1 −
2.500
Isto implica em que o erro de escala fica limitado, dentro de cada fuso, a 1/2.500.
Este fator de escala aumenta a partir do meridiano central, tanto no sentido leste
como no sentido oeste, alcançando o valor 1 nas linhas de contacto entre o cilindro e o
elipsóide; e chega o fator de escala a seu valor máximo no limite do fuso. A variação de
escala é lenta e uniforme em torno de um ponto (teoricamente a escala é válida apenas para
um ponto, porém, escala de um ponto não tem sentido na prática), e esta lenta variação
implica que a escala pode ser considerada constante ou uniforme para áreas pequenas.
A variação de escala indica que a carta elaborada na projeção UTM não tem escala
única, visto que há faixas de áreas que são reduzidas e faixas de áreas que são ampliadas.
Na projeção, a área de redução está compreendida entre as linhas de contacto entre o
cilindro e o elipsóide; enquanto que as áreas de ampliação estão compreendidas entre as
linhas de contacto e os extremos dos fusos. As áreas de redução e ampliação, em
perspectiva e em corte, estão representadas na Figura 22.
h) Fator de escala para uma determinada região
O fator de escala para uma determinada região pode ser calculado pela fórmula
aproximada, dada por Richardus; Adler (1974), apresentada a seguir:
⎛
E '2 ⎞
⎟
k = k0 ⎜⎜1 +
2 ⎟
⎝ 2⋅ R ⎠
onde:
k = fator de escala para uma determinada região (coeficiente de deformação
para o ponto de latitude média e de longitude média da área de uma região)
k0 = 0,9996 fator de escala básico (fator de escala no meridiano central do fuso)
E' = distância na projeção existente entre o ponto e o meridiano central
R = raio médio da Terra, calculado por:
R= M ⋅N
sendo:
M - raio de curvatura da seção meridiana calculada pela fórmula:
a (1 − e 2 )
M=
e
(1 − e 2 sen 2 ϕ )3 / 2
N - grande normal calculada pela fórmula seguinte (atenção: N não
corresponde à coordenada plana UTM):
a
N=
onde:
1 − e 2 sen 2 ϕ
ϕ = latitude geodésica
a 2 − b2
= primeira excentricidade
a2
a = semi-eixo maior do elipsóide
b = semi-eixo menor do elipsóide
e =
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69
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
Figura 22. Áreas de ampliação e de redução
Beraldo; Soares (1995) propõem também uma fórmula que permite calcular o
coeficiente de deformação para uma determinada região, cuja expressão é:
k=
k0
{1 − [cosϕ ⋅ sen (λ − λ ) ] }
2 1/ 2
0
sendo:
k = fator de escala para uma determinada região
k0 = fator de escala básico (Meridiano Central do fuso)
λ = longitude do ponto
λ0 = longitude do meridiano central
O IBGE apresenta também uma fórmula para calcular o coeficiente de deformação
linear, resolvida por meio de tabelas publicadas no livro “TABELAS PARA CÁLCULOS
NO SISTEMA DE PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSO DE MERCATOR UTM”.
É aconselhável calcular o coeficiente de deformação, aplicando-se uma das
fórmulas, para o ponto de coordenadas geodésicas médias da área levantada.
Ao mapear ou levantar uma área usando a projeção UTM, sempre se deve
especificar qual é o elipsóide tomado como modelo, e qual é o datum horizontal ao qual
estão amarradas as coordenadas UTM, E e N, haja vista que elipsóides diferentes e/ou data
diferentes fatalmente conduzem a valores de coordenadas E e N diferentes.
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70
Introdução à Cartografia
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i) Zonas UTM
Existem dois critérios para a divisão do elipsóide em zonas UTM, usados
freqüentemente. Um critério é utilizado para a sistematização das cartas topográficas e o
outro é adotado para o sistema de posicionamento global GNSS.
O primeiro critério corresponde ao adotado para a Carta Internacional ao
Milionésimo, que tem uma amplitude de 6º em longitude por 4º em latitude, o qual permite
a geração do Índice de Nomenclatura dentro das articulações das cartas do mapeamento
sistemático nacional. Os fusos, em longitude, são numerados conforme a projeção UTM,
exposta anteriormente.
Cada fuso é subdividido, em latitude, de 4º em 4º, a partir do equador, tanto ao
norte como ao sul. A primeira quadrícula, compreendida entre 0º e 4º, é designada com a
letra A. A segunda quadrícula, compreendida entre 4º e 8º, é designada com a letra B; e
assim sucessivamente, tanto ao norte como ao sul do equador. Para a projeção UTM, a
subdivisão em latitude fica limitada a ± 80º, conforme o prescrito pela literatura técnica,
embora se saiba que, a partir de 40º, as distorções em áreas e distâncias sejam
crescentemente agravadas. As quadrículas de 6º x 4º, para o território nacional, estão
ilustradas na Figura 19.
O outro critério de zonas UTM, adotado pelo sistema GPS (Sistema de
Posicionamento Global) e provavelmente pelos demais sistemas GNSS, será explicitado a
seguir. Este segundo critério foi desenvolvido para uso no levantamento de pontos por
meio do Sistema de Posicionamento Global (GPS).
Cada fuso é subdividido em latitude, a partir do equador para o sul e para o norte,
de 8o em 8o. As latitudes limites são de 80º para o hemisfério Sul e de 84º para o
hemisfério Norte. A denominação e orientação dos fusos segue conforme a Figura 23:
Figura 23. O mundo dividido em fusos e zonas UTM (conforme o critério para GNSS)
(Fonte: http://www.dmap.org.uk)
Para o hemisfério Sul, à quadricula compreendida entre as latitudes de 80o e 72o é
atribuída a letra C; de 72º a 64º, a quadrícula denomina-se D; de 64º a 56º, a quadrícula
denomina-se E; de 56º a 48º, a quadrícula denomina-se F; de 48º a 40º, a quadrícula
denomina-se G; de 40º a 32º, a quadrícula denomina-se H; de 32º a 24º, a quadrícula
denomina-se J; de 24º a 16º, a quadrícula denomina-se K; de 16º a 8º, a quadrícula
denomina-se L; de 8º a 00º, a quadrícula denomina-se M. Destaca-se que os idealizadores
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71
Introdução à Cartografia
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do sistema evitaram o uso da letra I para não se confundir como número 1 (um), e o uso da
letra O para não se confundir com o número 0 (zero).
Seguindo-se o mesmo procedimento, para o hemisfério Norte, de 0º a 08º, a
quadrícula denomina-se N; de 08º a 16º, a quadrícula denomina-se P; de 16º a 24º, a
quadrícula denomina-se Q; de 24º a 32º, a quadrícula denomina-se R; de 32º a 40º, a
quadrícula denomina-se S; de 40º a 48º, a quadrícula denomina-se T; de 48º a 56º, a
quadrícula denomina-se U; de 56º a 64º, a quadrícula denomina-se V; de 64º a 72º, a
quadrícula denomina-se W; de 72º a 84º, a quadrícula denomina-se X. Observa-se que,
para o hemisfério Norte, as zonas UTM são estendidas até o limite de 84º.
Cada quadrícula, neste segundo critério, pode ser identificada pelo número do fuso
e pela letra correspondente à subdivisão. Assim, por exemplo, um ponto de latitude 30o S,
e de longitude de 53o W, está inserido no fuso 22 e subdivisão J. Esta identificação pode
ser resumida por: 22-J. Esta forma de combinação alfa-numérica denomina-se também
Zona UTM.
A Figura 24 mostra o Brasil dividido em fusos e Zonas UTM, conforme este
segundo critério, adotado pelo sistema GNSS.
Os receptores GPS, que aceitam coordenadas UTM, na função de edição de pontos,
conforme enfatizam Beraldo; Soares (1995), solicitam ao usuário a indicação da Zona a
que pertence o ponto editado, depreendendo-se disto a importância de se compreender os
conceitos que diferenciam os dois critérios, para se utilizar a zona UTM correta. A maioria
dos receptores GPS de navegação (recreação) indica a Zona à qual pertence o ponto, cujas
coordenadas geodésicas e/ou UTM estão sendo levantadas.
Figura 24. Brasil dividido em fusos e zonas UTM (para sistema GNSS).
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72
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4.5 OPERAÇÕES NA PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR
Segundo Silveira, existem várias operações inerentes à projeção UTM, entre elas se
tem:
¾ Transformação de coordenadas geodésicas em coordenadas planas UTM. Esta
transformação denomina-se transformação direta.
¾ Transformação de coordenadas planas UTM em coordenadas geodésicas. Esta
transformação denomina-se transformação inversa.
¾ Transformação de distâncias geodésicas em planas na projeção UTM.
¾ Transformação de distâncias planas UTM em geodésicas.
¾ Transformação de azimutes planos UTM em azimutes geodésicos.
¾ Transformação de coordenadas UTM em coordenadas locais.
¾ Transformação de coordenadas locais em coordenadas UTM.
¾ Transporte de coordenadas planas no sistema UTM.
Estas operações podem ser calculadas com relativa facilidade, utilizando-se
aplicativos computacionais.
Transformações direta e inversa na projeção UTM
A maneira mais simples e rápida de efetuar as transformações, como foi exposto
anteriormente, é por meio de programas de computação. Porém, por se considerar a
importância de se conhecerem as variáveis envolvidas nestas operações, serão apresentadas
as fórmulas empregadas pelo IBGE (1995) para realizar as transformações.
Salienta-se que o valor de S (comprimento do arco de meridiano desde o ponto
considerado até o equador) calcula-se por processo iterativo, cujas fórmulas não serão aqui
apresentadas, por não constituir objetivo de estudos introdutórios da Cartografia.
As fórmulas são:
(I ) = S ⋅ k 0
(II ) = ν ⋅ senϕ ⋅ cosϕ ⋅ sen 1
2 ''
⋅ k0 ⋅ 108
2
4 ''
3
(III ) = sen 1 ⋅ν ⋅ senϕ ⋅ cos ϕ (5 − tg 2ϕ + 9 ⋅ e'2 ⋅ cos 2 ϕ + 4 ⋅ e'4 ⋅ cos4 ϕ )⋅ k0 ⋅ 1016
24
(IV ) = ν ⋅ cosϕ ⋅ sen1'' ⋅ k0 ⋅ 104
3 ''
3
(V ) = sen 1 ⋅ν ⋅ cos ϕ (1 − tg 2ϕ + e'2 ⋅ cos 2 ϕ )⋅ k0 ⋅ 1012
6
(VII ) =
tgϕ
1012
'2
2
ϕ
1
+
e
⋅
cos
⋅
2 ⋅ν 2 ⋅ sen1''
k 02
(VIII ) =
tgϕ
1024
2
'2
2
'2
2
'4
4
'4
2
2
+
ϕ
+
⋅
ϕ
−
⋅
ϕ
−
ϕ
−
ϕ
⋅
ϕ
5
3
tg
6
e
cos
6
e
sen
3
e
cos
9
e
cos
sen
24 ⋅ν 4 ⋅ sen1''
k04
(IX ) =
(
)
(
sec ϕ ⋅ 106
ν ⋅ sen1'' ⋅ k0
Departamento de Engenharia Rural – CCR – Universidade Federal de Santa Maria
)
73
Introdução à Cartografia
Argentino José Aguirre e José Américo de Mello Filho
1018
sec ϕ
2
'2
2
(X ) = 3
1 + 2 ⋅ tg ϕ + e ⋅ cos ϕ ⋅ 3
6 ⋅ν ⋅ sen1''
k0
(
)
( XII ) = senϕ ⋅ 104
2 ''
( XIII ) = sen 1
( XV ) =
⋅ senϕ ⋅ cos 2 ϕ
1 + 3 ⋅ e '2 ⋅ cos 2 ϕ + 2 ⋅ e'4 ⋅ cos 4 ϕ ⋅ 1012
3
(
)
tgϕ ⋅ 106
ν ⋅ sen1'' ⋅ k0
( XVI ) =
1018
tgϕ
2
'2
2
'4
4
ϕ
ϕ
ϕ
(
1
tg
e
cos
2
e
cos
)
+
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
3 ⋅ v 3 ⋅ sen 1"
k 03
( XVIII ) = (1 + e
)
⋅ cos 2 ϕ ⋅ 1012
2 ⋅ν 2 ⋅ k02
'2
( XIX ) = (1 + 6 ⋅ e
'2
)
⋅ cos 2 ϕ + 9 ⋅ e'4 ⋅ cos 4 ϕ + 4 ⋅ e'6 ⋅ cos 6 ϕ ⋅ 1024
24 ⋅ν 4 ⋅ k04
senϕ ⋅ cos ϕ
(A 6) = sen 1 ⋅ν ⋅720
(61 − 58 ⋅ tg ϕ + tg ϕ + 270 ⋅ e
6 ''
'
5
2
4
⋅ν ⋅ cos ϕ
(B 5) = sen 1 120
(5 − 18 ⋅ tg ϕ + tg ϕ + 14 ⋅ e
'
5 ''
5
2
4
ϕ ⋅ cos ϕ
(C 5) = sen 1 ⋅ sen
(2 − tg ϕ )⋅ 10
15
'
4 ''
4
2
'2
'2
)
⋅ cos 2 ϕ − 330 ⋅ e '2 ⋅ sen 2ϕ ⋅ k0 ⋅ 1024
)
⋅ cos 2 ϕ − 58 ⋅ e'2 ⋅ senϕ ⋅ k0 ⋅ 1020
20
tgϕ
1036
2
4
'2
2
'2
2
'2
2
2
D6 =
61 + 90 tg ϕ + 45 tg ϕ + 107 e cos ϕ − 162 e sen ϕ − 45 e tg ϕ sen ϕ 6
720ν 6 sen1''
k0
( )
(
'
)
sec ϕ
1030
2
4
'2
2
'2
2
E5 =
5 + 28 ⋅ tg ϕ ⋅ 24 ⋅ tg ϕ + 6 ⋅ e ⋅ cos ϕ + 8 ⋅ e ⋅ sen ϕ 5
120 ⋅ν 5 ⋅ sen1''
k0
( )
(
'
)
(F 5) = 15 ⋅νtg⋅ϕsen1 (2 + 5 ⋅ tg ϕ + 3 ⋅ tg ϕ )10k
'
2
5
''
4
30
5
0
onde:
ϕ = latitude do ponto
ν = raio de curvatura da vertical principal
S = comprimento do arco de meridiano desde o ponto considerado até o equador
k0 = coeficiente de deformação linear no meridiano central, igual a 0,9996
e' =
a 2 − b2
= segunda excentricidade
b2
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Transformação de coordenadas geodésicas em coordenadas planas UTM
As fórmulas para se efetuar esta transformação, dadas por IBGE (1995), são:
( )
N ' = (I ) + (II ) ⋅ p 2 + (III ) ⋅ p 4 + A' 6 ⋅ p 6
( )
E = 500.000 m + (IV ) ⋅ p + (V ) ⋅ p 3 + B ' 5 ⋅ p 5
No hemisfério norte: N = N '
No hemisfério sul: N = 10.000.000 m − N '
''
p = 0,0001 ⋅ (λ − λmc ) ;
λ = longitude do ponto
λmc = longitude do meridiano central do fuso
Transformação de coordenadas planas UTM em coordenadas geodésicas
As fórmulas para esta transformação são:
ϕ = ϕ ' − (VII ) ⋅ Q 2 + (VIII ) ⋅ Q 4 − (D ' 6) ⋅ Q 6
λ = λmc + (IX ) ⋅ Q − ( X ) ⋅ Q 3 + (E ' 5) ⋅ Q 5
onde:
ϕ ' = argumento para entrar na tabela na coluna (I ) = N '
Para o hemisfério norte: N ' = N
Para o hemisfério sul : N ' = 10.000.000 m − N
Q = 0,000001 ⋅ (E − 500.000 m )
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4.6 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS NA PROJEÇÃO UTM
Como exposto anteriormente, as transformadas de paralelos, meridianos e de linhas
geodésicas são curvas, enquanto as coordenadas planas UTM, E e N, correspondem a um
sistema de eixos cartesianos normal.
A distância entre dois pontos, no modelo elipsoidal, é materializada por uma linha
curva. Esta linha, na projeção UTM, será representada também por uma linha curva. A
curva na representação admite os elementos geométricos: corda entre os dois pontos e,
tangente nos pontos do arco que une os dois pontos. Considerando-se, além destes
elementos, o norte de quadrícula e o norte geodésico, formam-se os ângulos: convergência
meridiana, redução à corda ou redução angular, azimute plano (azimute de quadrícula),
azimute geodésico, e azimute geodésico projetado.
Convergência meridiana
As direções norte-sul geodésicas (Ng = tangente ao meridiano, em um ponto)
convergem para os pólos.
Na projeção UTM estas direções (norte-sul) são representadas paralelamente ao
meridiano central (linha reta), que representa a direção norte-sul da quadricula (Nq).
Por outro lado, tem-se que as transformadas dos meridianos são curvas com as
concavidades orientadas no sentido do meridiano central, admitindo, portanto, tangente em
cada ponto; obviamente, com direção diferente em cada ponto.
O ângulo formado pela tangente ao meridiano (Ng), com a reta paralela ao
meridiano central (Nq), no ponto considerado, recebe o nome de convergência meridiana
(Figura 24).
No hemisfério sul, a convergência meridiana em pontos localizados a oeste do
meridiano central, por convenção, é considerada positiva; e, em pontos localizados a leste é
negativa. No hemisfério norte os sinais se invertem.
Para pontos localizados no meridiano central e sobre a linha do equador, a
convergência meridiana é nula, havendo coincidência, portanto, entre o norte geodésico e o
norte da quadrícula.
Redução à corda ou redução angular ( δ )
Redução angular é o ângulo formado pela corda da transformada e a tangente à
curva no ponto considerado.
Para determinar o sinal da Redução Angular, deve-se levar em conta o sentido da
geração deste ângulo, tendo como origem a corda até atingir a tangente à curva, no ponto
considerado. Quando a geração é no sentido anti-horário, considera-se o ângulo positivo.
Caso contrário, o ângulo será negativo.
Azimute plano (Azp)
Azimute plano é o ângulo formado pelo norte da quadrícula e a corda que une dois
pontos da transformada.
Azimute geodésico ou elipsoidal (Azg)
Azimute geodésico é o ângulo formado pelo norte geodésico e a tangente à curva
no ponto considerado.
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Azimute geodésico projetado (Aproj)
Azimute geodésico projetado é o ângulo formado pelo norte da quadrícula e a
tangente à curva no ponto considerado.
Os elementos geométricos analisados da projeção UTM estão representados na
Figura 25:
Figura 25. Elementos geométricos da projeção UTM
(Ng: norte geodésico; Nq: norte da quadrícula; tc: tangente à curva no ponto A)
Na Figura 25, o Azimute Geodésico, a Convergência Meridiana e a Redução
Angular são positivos, e o Azimute Plano pertence ao primeiro quadrante. Portanto, disto
depreende-se que:
Azg = Azp + c − δ
onde:
Azg = azimute geodésico
Azp = azimute plano
δ = redução angular
c = convergência meridiana
A fórmula do azimute geodésico apresentada é válida para pontos localizados a
oeste ou a leste do meridiano central, tanto ao norte como ao sul do equador, levando-se
sempre em consideração os respectivos sinais.
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O azimute plano ou azimute de quadrícula calcula-se pela fórmula:
E − EA
Azp = arctg B
NB − NA
Esta fórmula fornece o ângulo no primeiro quadrante; portanto deve-se efetuar uma
análise do sinal do numerador e o do denominador, para encontrar o valor definitivo do
azimute plano. Salienta-se neste caso que o azimute plano varia de 0º a 360º, contando-se
do norte para o leste. Destaca-se que a numeração dos quadrantes, para o azimute plano, é
diferente ao usado pela trigonometria.
A convergência meridiana pode ser calculada por uma das fórmulas seguintes,
segundo IBGE (1995):
( )
C = ( XII ) ⋅ p + ( XIII ) ⋅ p 3 + C ' 5 ⋅ p 5
( )
C = ( XV ) ⋅ Q − ( XVI ) ⋅ Q 3 + F ' 5 ⋅ Q 5
Os termos destas fórmulas foram apresentados anteriormente no item 4.5.
O valor da redução angular, no ponto A, pode ser calculado mediante as expressões
dadas por Silva; Erwes (1996):
δ A'' = 6,8755 ⋅ 10−8 ⋅ ( XVIII ) ⋅ ( N B − N A ) ⋅ (2 E A' + EB' )
onde:
δ A'' = redução à corda no ponto A, em segundos
'2
12
( XVIII )A = (1 + e cos2 ϕ A 2)⋅ 10
2 ⋅ν A ⋅ k0
N A = coordenada N de A
a 2 − b2
= segunda excentricidade
b2
ϕ A = latitude do ponto A
ν = raio de curvatura da vertical principal ao elipsóide no ponto A
k 0 = fator de escala no meridiano central = 0,9996
e' =
E ' ⇒ o valor de E ' , para o ponto A, calcula-se em função da posição do
ponto com relação ao meridiano central do fuso (Figura 21).
Se o ponto A estiver localizado a oeste do meridiano central
E A' = 500.000m − E A
Se o ponto A estiver localizado a leste do meridiano central
E A' = E A − 500.000m
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Para o cálculo da Redução Angular, no ponto B, a fórmula é semelhante, onde se
devem tomar os elementos correspondentes ao ponto B. Portanto, a fórmula será:
δ B'' = 6,8755 x10−8 ⋅ ( XVIII ) ⋅ ( N A − N B ) ⋅ (2 EB' + E A' )
Os termos desta fórmula são conhecidos.
Segundo Silveira (1990), a convergência meridiana é utilizada para transformar o
azimute verdadeiro, determinado por via astronômica, em azimute plano (norte da
quadrícula) e vice-versa.
O azimute plano é utilizado, em Geodésia, para o cálculo das coordenadas planas
da projeção UTM (E , N).
O azimute verdadeiro é utilizado, em Topografia, para orientação do sistema de
coordenadas local (X , Y).
O azimute elipsoidal, ou geodésico, é referido à superfície elipsoidal, enquanto o
azimute verdadeiro é referido à superfície real da Terra. A pequena diferença existente
entre ambos pode ser negligenciada sem prejuízo à precisão dos levantamentos
topográficos.
Nos levantamentos topográficos, realizados na superfície terrestre (e não sobre o
elipsóide), adota-se geralmente um sistema local de coordenadas cartesianas ortogonais,
para referir as coordenadas planimétricas de pontos. Na projeção UTM é também usado
um sistema de coordenadas planas, porém, proveniente de um modelo elipsoidal projetado
sobre um cilindro e transformado em plano. A conseqüência disto é que os resultados dos
cálculos de distâncias e de áreas de polígonos, obtidos por meio topográfico e a partir das
coordenadas UTM, serão diferentes.
Uma maneira de aproximar o valor da distância, calculada por meio das
coordenadas UTM, à distância sobre o elipsóide e, portanto, mais próxima à distância
topográfica, é dividir aquela distância pelo fator de escala. Portanto, passa-se da superfície
cilíndrica para a superfície elipsoidal. Atente-se que este cálculo ainda não levou a
distância para a superfície terrestre verdadeira. Como o fator de escala varia ponto a ponto,
deve-se tomar um fator de escala correspondente ao ponto central da distância em questão.
A fórmula que sintetiza o exposto é:
Dci ≅
DUTM
k2
onde:
Dci = distância no cilindro
DUTM = distância na projeção UTM
k = fator de escala do ponto central da distância
As áreas também podem ter o mesmo tratamento, com a diferença que deve ser
dividida pelo fator de escala ao quadrado. O fator de escala, então, deve ser calculado para
o ponto central da área.
Caso sejam adotadas estas aproximações, elas devem ser especificadas.
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Uma segunda aproximação, entre ambos os sistemas planos, consiste em
transformar as coordenadas de um sistema para o outro, isto é, transformar o sistema local
(X, Y) para o sistema UTM (E, N) ou vice-versa. Mas, ainda assim, continuará havendo
diferenças. Como as transformações não estão normalizadas, seu emprego requer cuidado
e, caso for adotada, deve-se deixar explicitamente especificada.
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5. BIBLIOGRAFIA
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250p.
BERALDO, P. ; SOARES, S. M. GPS Introdução e Aplicações Práticas. Brasília - DF.
Editora e Livraria Luana Ltda. 1965. 141p.
BRUNETTI, M. F. Os sistemas TM. In: Fator Gis – A revista do Geoprocessamento.
Abril/maio/junho 1993 – 01.
GRIPP, J.; SILVA, A. S. Representações Cartográficas.Ed. UFV. Viçosa, 1996.
(Polígrafo).
IBGE. Tabelas para cálculos no sistema de Projeção Universal Transverso de Mercator.
Elipsóide Internacional de 1967. 2 ed. Rio de Janeiro, 1965.
PEARSON, F. Map Projection Methods. Sigma Scientific, inc. Blaksburg, Virginia, EUA.
1984. 291 p.
RICHARDUS, P.; ADLER, R. K. Map Projections for Geodesists, Cartographers and
Geographers. American Elsevier Publishing Company inc. New York, EUA. 1974. 173 p.
SILVA, I. ; ERWES, H. Curso de Atualização em Topografia e GPS. Escola de
Engenharia de São Carlos – USP. São Carlos, SP. 1996.
SILVEIRA, L. C. da. Cálculos Geodésicos no sistema UTM aplicados à Topografia.
Editora e Livraria Luana Ltda. 2 ed. 1993.
SNYDER, J. P. Map Projection - a Working Manual. U. S. Geological Survey
Professional Paper 1395. 1987. 381 p.
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