Unidade 1 – Teorema de Tales
Segmentos proporcionais
Feixe de paralelas por uma
transversal
Teorema de Tales
RAZÃO ENTRE SEGMENTOS DE RETAS
Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão
limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um
deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por
duas letras como por exemplo, AB, sendo A o início e B o final do segmento.
Exemplo: AB é um segmento de reta que denotamos por AB.
A _____________ B
Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível
realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos.
Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:
A ________ B
m(AB) =2cm
C ______________ D
m(CD)=5 cm
A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, é definida como
a razão entre as medidas desse segmentos , isto é:
AB/CD=2/5
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
• Proporção é a igualdade entre duas razões
equivalentes.
• De forma semelhante aos que já estudamos
com
números
racionais,
é
possível
estabelecer
a
proporcionalidade
entre
segmentos de reta, através das medidas
desses segmentos.
Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro
segmentos de reta:
m(AB) =2cm
A______B
P__________Q
m(EF) =4cm
m(CD) =3cm
C__________D
R________________S
m(GH) =6cm
A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos EF e GH,
são dadas por frações equivalentes, isto é:
AB/CD = 2/3; EF/GH = 4/6
e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro
segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.
Diremos que quatro segmentos de reta, AB, CD, EF e GH, nesta ordem, são
proporcionais se:
AB EF
CD
=
GH
Os segmentos AB e GH são os segmentos extremos e os segmentos CD e EF
são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção
entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:
m ( AB ) m ( EF )
=
m (CD ) m (GH )
Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de
segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao
produto das medidas dos segmentos extremos.
m(AB) · m(GH) = m(CD) · m(EF)
Exemplo de aplicação
(UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em
três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD'
mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os
comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'.
AB
2
=
AB' AB'
BC
3
=
BC ' BC '
CD
5
=
CD ' CD '
AD 10
=
AD' 13
Exemplo de aplicação
Igualando as proporções :
AB
2
AD 10
=
e
= , temos :
AB' AB' AD' 13
AB AD
2
10
26
=
⇒
= ⇒ 10 AB ' = 26 ⇒ AB ' =
⇒
AB ' AD'
AB ' 13
10
Igualando as proporções :
AB'= 2,6cm
BC
3
AD 10
=
e
= , temos :
BC ' BC ' AD' 13
BC AD
3
10
39
=
⇒
= ⇒ 10 BC ' = 39 ⇒ BC ' =
⇒
BC ' AD'
BC ' 13
10
BC '= 3,9cm
CD
5
AD 10
Igualando as proporções :
=
e
= , temos :
CD ' CD ' AD' 13
CD AD
5
10
65
=
⇒
= ⇒ 10CD ' = 65 ⇒ CD ' =
⇒
CD ' AD'
CD ' 13
10
CD ' = 6,5cm
Teorema de Tales
Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a
razão entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das
transversais é igual à razão entre as medidas dos segmentos
correspondentes de outra.
A
B
C
D
AB
A' B '
=
CD C ' D '
A’
B’
C’
D’
As medidas dos segmentos
correspondentes nas transversais são
diretamente proporcionais
Exemplo – Saresp 2008
Tio Paulo, tio Bruno e tio Júlio têm sítios vizinhos. Os sítios são
delimitados, na frente, pela rodovia, e atrás, pela represa. Eles
sabem que os três sítios tomam 52 m da margem da represa. A
frente do sítio do tio Paulo tem 12 m, do tio Bruno, 16 m e do tio
Júlio, 20 m. Qual dos sítios pega a maior parte dos 52 m da
margem da represa?
A) Tio Bruno
B) Tio Paulo
C) Tio Júlio
D) Os três têm fundos de mesma
medida.
x
y
z
48 20 16 12
=
=
=
52 z
y
x
Resolução
48 20
1040
=
⇒ 48 z = 1040 ⇒ z =
⇒ z = 21,6m
52 z
48
48 16
836
= ⇒ 48 z = 836 ⇒ y =
⇒ y = 17,3m
52 y
48
48 12
624
= ⇒ 48 z = 624 ⇒ x =
⇒ x = 13m
52 x
48
Portanto a resposta do exercício é sitio do tio Julio (c).
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