Setor 1202
CINEMÁTICA ESCALAR
Prof. Calil
MOVIMENTO UNIFORME – ENCONTRO DE PONTOS MATERIAIS
ULTRAPASSAGEM DE CORPOS EXTENSOS – aula 06 e 06 extra
O corpo que executa o movimento uniforme mantém o valor absoluto da
velocidade constante, e, portanto a aceleração escalar (tangencial) é nula. Obtém-se
apenas a posição S num dado instante t, pois o valor da velocidade fica inalterado. Para se
obter a posição S, podemos adotar dois procedimentos:
1- Procedimento Físico
- Saber o valor da posição ocupada pelo corpo no instante inicial da cronometragem (t = 0). É o espaço inicial = S0 ou posição inicial.
-Saber como as posições variam com o tempo, dado pelo valor da velocidade =V
-Usando a regra de três: Se o corpo se desloca V posições em cada 1 instante,
em t s irá se deslocar ∆S. Como saiu da posição So, e deslocou-se ∆S, chega no
instante t considerado, na posição So + ∆S = S, que é a posição do corpo no
instante t.
Em 1s desloca-se V
Sno instante t = Sinicial + ΔS
V.t = ΔS
Em ts desloca-se ΔS
2- Procedimento Matemático
Determina-se a função horária, equação que fornece o valor da posição S do
corpo, em cada instante t. Retrata o fenômeno físico. “Se o corpo sai da posição So e
avança V posições em cada instante, então:
Sno instante t = So + V.t
3- Gráficos
S=f(t)
S
So
α
v=f(t)
aescalar=f(t)
V
a
v
ângulo α = zero
T
tg α = V
T
área = ΔS
T
tgα = ΔV = zero
(v constante)
ENCONTRO DE PONTOS MATERIAIS que executam mU
Cálculo do valor da velocidade relativa = Vr
Quando dois pontos materiais A e B separados pela distância inicial D, deslocam-se
sobre uma mesma trajetória orientada, é conveniente supor que um deles está parado,
passando a ser um referencial. Então, o outro corpo se aproxima ou se afasta daquele que
está sendo considerado como referencial, com uma velocidade relativa VA,B (velocidade de A
em relação à B), ou VBA (velocidade de B em relação a A). Notar que VAB = VBA.
Caso aconteça o encontro dos pontos, o tempo e a posição do encontro ficam
facilmente definidos usando-se a noção da velocidade relativa. Podem acontecer duas
situações:
a) Os pontos movem-se em sentidos opostos
A velocidade relativa é a soma das velocidaD
des dos pontos: VAB = VBA = VR = VA + VB
VA
VB
Monta-se a seguinte regra e três:
A
B
inicial
inicial
Se em 1 Instante se aproximam VR, para se
SA
=0
SB
=D
aproximarem D (distância inicial) gastarão TE
ponto do encontro: D = 0
tempo gasto para se encontrarem
Exemplo: Sejam dois pontos materiais A e B, separados pela distância inicial
D = 100m, movendo-se com velocidades VA = 3 m/s e VB = 7 m/s. Para um
observador, em cada 1 segundo A avança 3m, enquanto no mesmo segundo
B volta 7m. Portanto, neste segundo eles se aproximaram 10m. Se em cada
1 segundo se aproximam 10m (VR), para se aproximarem os 100m iniciais que os
separava,levarão 10s. O tempo gasto para os pontos se encontrarem é: TE = 10s
Posição do encontro: Supondo-se que A saia da posição SoA = 0 m, como ele
avança 3m em cada 1s (VA = 3m/s), em 10s, que é o tempo gasto para que A se
encontre com B, ele desloca-se 30m. Como saiu da posição zero, chega à posição
do encontro: S
encontro
= 30m
b) Os pontos movem-se no mesmo sentido.
A velocidade relativa é a subtração das velocidaencontro: SA=SB
des dos pontos: VR = VAB = VBA = VA - VB
D
O procedimento para se obter o tempo de encontro é o mesmo descrito no item a.
VA
VB
D=0
Lembrar que VA tem que ter valor maior que VB.
Seja o ponto A aquele o ponto que está atrás de B. No instante em que
começamos a resolver o problema, sua posição inicial é a origem (SoA = 0). Se o
ponto A mantém a velocidade VA, então em cada 1 instante ele avança VA posições
enquanto B avança menos, pois a sua velocidade VB é menor. A velocidade relativa
de B em relação a A será: VA,B = VA – VB. Então:
1 segundo A avança VA,B posições. Para avançar D posições, (distância
inicial entre A e B), gastará o tempo TE .
Procedimento Matemático para se obter o tempo e o ponto do encontro
Escrevem-se as funções horárias de cada ponto. No encontro, a posição é mesma para
os dois pontos. Então igualamos as funções horárias para obter o instante do encontro. Em
seguida, substituindo-se o instante do encontro obtido em qualquer uma das funções
horárias, obtemos a posição do encontro. Vamos usar os dados do exemplo apresentado no
item a:
Supondo que o ponto A saia da origem, o ponto B estará neste instante na posição SB=
100m, pois a distância inicial entre eles é D = 100m. Temos:
SA = S0 + VA.t  SA = 0 + 3.t
 SA = 3.t
SB = So + VB.t  SB = 100 + (- 7).t  SB = 100 – 7.t
0
SE
100
No encontro: SA = SB: 3.t = 100 - 7.t  10.t = 100:
TE = 10s
VA=3m/s
VB = - 7m/s
Considerando-se a função horária de A: SA = 3.t  SA = 3.10 e: SA = SE = 30m
Considerando-se a função horária de B: SB = 100 – 7.t  SB = 100- 7.10 e: SB = SE = 30m
Ultrapassagem de corpos extensos
Quando os corpos têm dimensões apreciáveis em relação aos dados do problema,
para facilitar a solução dos problemas de ultrapassagem envolvendo estes corpos
consideramos um ponto em cada corpo os mais distantes entre si . Ao determinarmos o
tempo gasto para que estes pontos se encontrem, estaremos determinando o tempo gasto na
ultrapassagem dos corpos extensos. Exemplo:
Sejam dois trens, A e B, com comprimentos de 200m e 600m respectivamente. Se a
velocidade de A for igual a 40m/s e a
LA=200m
de B 20 m/s, e os trens se movimentam
A
LB=600m
A
B
B
em sentidos opostos.
D
O ponto na traseira de A avança 40 m
em cada 1 segundo, e o ponto na traseira
VA
VB
de B volta 20 m no mesmo 1 segundo.
D=0
Então, em cada 1 segundo a distância
entre os pontos diminui 60m (VR = VA + VB).Para se aproximarem os 600m iniciais gastaram
10 segundos, que é o tempo que os trens gastam para completarem a
ultrapassagem.
O tempo de ultrapassagem pode ser também calculado matematicamente igualandose as funções horárias dos pontos A e B.
SA = 0 + 40.t
40.t = 600 - 20.t
SB = 600 - 20.t
40.t + 20.t = 600
60.t = 600
T = 10s