CINEMÁTICA ESCALAR
Setor 3206
Prof. Calil
ENCONTRO DE PONTOS MATERIAIS
Velocidade relativa = Vr
Encontro de pontos em movimento uniforme.
Quando dois pontos materiais A e B separados pela distância inicial D, deslocam-se
sobre uma mesma trajetória orientada, é conveniente supor que um deles está parado,
passando a ser um referencial, e o outro se aproxima ou se afasta dele com uma velocidade
relativa VA,B (velocidade de A em relação à B), ou VBA (velocidade de B em relação a A). Notar
que VAB = VBA.
Caso aconteça o encontro dos pontos, o tempo e a posição do encontro ficam
facilmente definidos usando-se a noção da velocidade relativa. Podem acontecer duas
situações:
a) Os pontos movem-se em sentidos opostos
A velocidade relativa é a soma das velocidaD
des dos pontos: VAB = VBA = VR = VA + VB
VA
VB
Monta-se a seguinte regra e três:
A

B
inicial
Se em 1 Instante se aproximam VR, para se
SA
=0
aproximarem D (distância inicial) gastarão TE
ponto do encontro: D = 0
tempo gasto para se encontrarem
Exemplo: Sejam dois pontos materiais A e B, separados pela distância inicial
D = 100m, movendo-se com velocidades VA = 3 m/s e VB = 7 m/s. Para um
observador, em cada 1 segundo A avança 3m, enquanto no mesmo segundo
B volta 7m. Portanto, neste segundo eles se aproximaram 10m. Se em cada
1 segundo se aproximam 10m, para se aproximarem os 100m iniciais que os
separava,levarão 10s. O tempo gasto para os pontos se encontrarem é: TE = 10s.
Posição do encontro: Supondo-se que A saia da posição SoA = 0 m, como ele
avança 3m em cada 1s (V = 3m/s), em 10s, que é o tempo gasto para que A se
encontre com B, ele desloca-se 30m. Como saiu da posição zero, chega à posição
do encontro: S
= 30m
b) Os pontos movem-se no mesmo sentido.
encontro
A velocidade relativa é a subtração das velocidaencontro: SA=SB
des dos pontos: VR = VAB = VBA = VA - VB
D
O procedimento para se obter o tempo de encon- 


tro é o mesmo descrito no item a.
VA
VB
D=0
Lembrar que VA tem que ter valor maior que VB.
Seja o ponto A aquele o ponto que está atrás de B. No instante em que
começamos a resolver o problema, supor que a sua posição inicial seja a origem
(SoA = 0). Se o ponto A mantém a velocidade VA, então em cada 1 instante ele
avança VA posições. Se TE é o tempo do encontro de A com B, então:
Em 1 segundo A avança VA posições. Em TE segundos avança X posições, e
chega à posição de encontro: SE = SoA + X
Procedimento Matemático para se obter o tempo e o ponto do encontro
Escrevem-se as funções horárias de cada ponto. No encontro, a posição é mesma para
os dois pontos. Então igualamos as funções horárias para obter o instante do encontro. Em
seguida, substituindo-se o instante do encontro obtido em qualquer uma das funções
horárias, obtemos a posição do encontro. Vamos usar os dados do exemplo apresentado no
item a:
Supondo que o ponto A saia da origem, o ponto B estará neste instante na posição SB=
100m, pois a distância inicial entre eles é D = 100m. Temos:
SA = S0 + VA.t  SA = 0 + 3.t
 SA = 3.t
SB = So + VB.t  SB = 100 + (- 7).t  SB = 100 – 7.t
0
SE
100
No encontro: SA = SB: 3.t = 100 - 7.t  10.t = 100, 
e:


TE = 10s.
VA=3m/s
VB = - 7m/s
Considerando-se a função horária de A: SA = 3.t  SA = 3.10 e: SA = SE = 30m
Considerando-se a função horária de B: SB = 100 – 7.t  SB = 100- 7.10 e: SB = SE = 30m
Ultrapassagem de corpos extensos
Quando os corpos têm dimensões apreciáveis em relação aos dados do problema,
para facilitar a solução dos problemas de ultrapassagem envolvendo estes corpos,
consideramos um ponto em cada corpo os mais distantes entre si . Ao determinarmos o
tempo gasto para que estes pontos se encontrem, estaremos determinando o tempo gasto na
ultrapassagem dos corpos extensos. Exemplo:
Sejam dois trens, A e B, com
A (200m)
A
200m e 600m respectivamente de
VA
comprimento. Sendo a velocidade de
●
B (400m)
●
B
●
de A igual a 40m/s e a de B é 10 m/s,
Os trens se movimentam no SA = 0
mesmo sentido. O ponto na trasei-
VB
VA = 40m/s
●
●
● VB = 10m/s
●●
seira de A avança 40 m em cada 1 s
D=600m
D = zero
e o ponto na dianteira de B avança
10 m neste mesmo 1 segundo. Então, em cada 1 segundo a distância entre os pontos diminui
30m (VR = VA – VB), e para se aproximarem os 600m iniciais gastam 20 segundos, que é o
tempo que os trens gastam para completarem a ultrapassagem.
O tempo de ultrapassagem pode ser também calculado igualando-se as funções
horárias dos pontos A e B.
SA = 0 + 40.t
40.t = 600 + 10.t
SB = 600 + 10.t
40.t -10.t = 600
30.t = 600
T = 20s