ELE-48 Laboratório de Sinais e Sistemas Aleatórios
Guia de experimento 2 - Simulação de Ventos e Meteoros
April 22, 2015
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Objetivos do simulador
O objetivo final do simulador é simular o controle de uma aeronave sujeita a várias forças externas, aplicando os conceitos vistos nas aulas teóricas. Neste guia apresentaremos uma primeira
versão simplificada da dinâmica da aeronave e modelos simples para duas forças externas:
ventos e meteoros.
1.1
Dinâmica simples da aeronave
Antes de apresentar os modelos é preciso estabelecer alguns parâmetros da nossa simulação:
• O espaço é um cubo com lateral de 10000m. Além disso, quando um objeto ”‘sai”’ por
qualquer uma das faces do cubo, ele reaparece imediatamente na face oposta, mantendo
os valores das outras dimensões. O espaço é contı́nuo: qualquer valor entre (0,0,0) e
(10000,10000,10000) é possı́vel.
• Por definição, as dimensões são ordenadas como XYZ, respectivamente comprimento,
largura e altura.
• O tempo é discreto com passo de 1 segundo.
• A aeronave tem os seguintes dados:
–
–
–
–
A projeção da área da aeronave no plano horizontal é constante e vale 40m2 .
O seu peso é de 8000kg
A princı́pio, não há força de gravidade
O seu coeficiente aerodinâmico é constante em todas as direções e vale
No tempo contı́nuo, a força aplicada sobre um objeto é definida como sendo a derivada do
seu momento linear em função do tempo. No tempo discreto, a derivada é aproximada por
uma equação de diferenças, de forma que a força será definida como, na ausência de variação
de massa:
F [n] = m · a[n]
(1)
onde [n] é o ı́ndice temporal.
A aceleração a[n], por sua vez, é definida como:
a[n] = (v[n] − v[n − 1])/1s
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(2)
e a velocidade v[n] é definida como:
v[n] = (p[n] − p[n − 1])/1s
(3)
onde p[n] é a posição no instante n. Todas as grandezas anteriores são vetorias com três
dimensões.
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Meteoros
Para nosso modelo, os meteoros são eventos que ocorrem com uma taxa média de λ = 10 meteoros/segundo. O intervalo entre eventos τ é uma variável aleatória contı́nua com distribuição
exponencial, cuja pdf é:
f (τ ) = λexp(−λτ ), τ ≥ 0
(4)
Os meteoros tem velocidade vetorial constante para cada simulação, mas esta velocidade
é aleatória. O termo vertical é constante em 100m/s e o termo vertical está uniformemente
distribuı́do entre todas as possibilidades. Os meteoros também tem energia cinética uniformemente distribuida entre 1000J e 50000J. Para fins de simulação, os meteoros são simplesmente
pontos.
3
Ventos
3.1
Arrasto
O vento causa arrasto (FA ), uma força aplicada sobre a aeronave cuja equação é dada por:
FA =
v 2 ρ(z)CD · AE
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(5)
onde:
• v → velocidade relativa entre vento e aeronave
• ρ(z) → densidade do ar na altura z
• CD → coeficiente de arrasto
• AE → área efetiva.
Na prática, CD e AE depende do sentido do vento em relação à aeronave. Nesta simulação
utilizaremos CD · AE = 6.1, em todas as direções. Esta aproximação não é boa quando a
velocidade da aeronave em relaçao ao vento é pequena, mas é boa quando a velocidade da
aeronave é muito maior do que a velocidade do vento.
A densidade do ar varia de acordo com uma equação pré-determinada (vide
http://en.wikipedia.org/wiki/Air_density)
2
3.2
Dinâmica simples da velocidade dos ventos
A cada instante, a velocidade do vento W [n] é uma variável Gaussiana com média zero e
variância finita. Entretanto, a velocidade do vento em instantes consecutivos não será independente. De fato, definiremos simplesmente a autocorrelação destas variáveis como sendo, em
cada uma das dimensões:
RW [k] = E{W [n]·W [n−k]} = 300δ[k]+200(δ[k−1]+δ[k+1])+110(δ[k−2]+δ[k+2])+40(δ[k−3]+δ[k+3])
(6)
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Atividades
O algoritmo deve executar os seguintes passos, para cada instante de simulação:
1. Calcular quantos meteoros caı́ram na região de interesse, assim como a sua energia e
velocidade
2. Calcular quantos meteoros atingiram a aeronave, assim como os seus efeitos sobre a aeronave
3. Simular a velocidade instantânea do vento
4. Calcular o arrasto sobre a aeronave
5. Calcular a posição da aeronave no próximo instante
6. Desenhar a trajetória da aeronave, destacando os instantes em que um meteoro atingiu a
aeronave
Para o último item, utilize os comandos plot3 (vide help plot3 e help plot) e hold on ,
utilizando uma cor diferente para o marcador quando a aeronave for atingida por um meteoro.
Simule por 600 segundos de simulação.
4.1
Análises a serem feitas
Responder as perguntas abaixo facilitará o entendimento dos conceitos deste laboratório e a
obtenção do simulador final.
• Qual é a probabilidade de pelo menos um meteoro cair em um segundo?
• Qual é a probabilidade de pelo menos um meteoro cair E atingir a aeronave?
• Qual é a probabilidade de pelo menos um meteoro cair E atingir a aeronave E causar por
si só um aumento de velocidade da aeronave (em módulo) maior do que 1m/s? Considere
que a aeronave está em repouso.
• Encontre a autocorrelação da posição da aeronave. Esta função depende tanto da dinâmica
da aeronave como da dinâmica dos ventos.
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