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C APÍTULO 2
D INÂMICA DA P ARTÍCULA : F ORÇA E A CELERAÇÃO
Neste capítulo será analisada a lei de Newton na sua forma diferencial,
aplicada ao movimento de partículas. Nesta forma a força resultante das forças
aplicadas numa partícula está relacionada com a sua aceleração.
2.1
L EIS DE N EWTON PARA M OVIMENTOS
A mecânica vetorial está baseada na teoria de Newton, apresentada
originalmente em 1687. Newton utilizou para o desenvolvimento de sua teoria os
trabalhos de outros cientistas que o precederam, especialmente de Galileo e de
Kepler. Através de experimentos práticos, Galileo demonstrou alguns princípios do
movimento dos corpos. Entretanto Newton foi o primeiro a estabelecer de uma
forma sistemática um conjunto de leis gerais para o estudo desses movimentos.
Estas leis foram formuladas inicialmente para partículas simples , assumindo a
existência de sistemas de referência, em relação aos quais são válidas. Estes
sistemas de referência, chamados sistemas inerciais ou galileanos, formam um
conjunto especial de sistemas de referência que estão em repouso ou em
movimento retilíneo uniforme, um em relação ao outro. Na mecânica newtoniana
um sistema inercial é definido como aquele que está em repouso ou em movimento
uniforme em relação a uma suposta posição média de estrelas fixas e distantes.
Entretanto, para muitos objetivos práticos é possível adotar como inercial um
sistema fixo ao sistema solar. Em muitas aplicações da engenharia é possível
adotar como inercial um sistema de referência fixo à superfície da terra. N ewton
enunciou suas leis como axiomas do movimento, hoje apresentadas da seguinte
forma:
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Primeira lei: Uma partícula se move em linha reta com velocidade
constante quando não há forças atuando sobre ela.
Uma partícula é a idealização de um corpo material cujas dimensões são
muito pequenas quando comparadas com as distâncias a outros corpos e cujo
movimento relativo entre seus pontos não é relevante para o movimento do corpo.
Matematicamente estes corpos são representados por massas pontuais.
Sendo F R a força resultante numa partícula e v a sua velocidade em relação
a um referencial inercial, a primeira lei pode ser estabelecida por:
FR 0
dv
dt
0
ou v = constante
(2.1)
Segunda lei: Uma partícula se move de maneira tal que a força resultante a
ela aplicada é igual à derivada em relação ao tempo da quantidade de movimento
linear.
A quantidade de movimento linear, ou simplesmente quantidade de
movimento, é definida como o produto da massa pela velocidade, ou seja, igual a
mv. Assim a segunda lei pode ser dada por:
FR
d ( mv )
dt
(2.2)
Sendo constante a massa da partícula, então a equação (2.2) pode ser escrita
como:
FR
d (mv )
dt
ma
(2.3)
Terceira lei: Quando duas partículas atuam uma sobre a outra, as forças
de interação correspondentes situam-se sobre a linha que une estas partículas;
são iguais em módulo e de sentidos contrários.
Esta lei também é conhecida como lei de ação e reação. Indicando por FAB a
força exercida pela partícula A sobre a partícula B e FBA a força que a partícula B
exerce em A, a terceira lei pode ser estabelecida matematicamente por:
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FAB
(2.4)
FBA
Newton também propôs uma lei para reger a atração mútua entre duas
partículas, denominada Lei de Newton da Atração Gravitacional, dada por
FG
G
m1m2
r2
(2.5)
onde
F G é força de atração entre as duas partículas
G = 66,73 (10 -12 ) m 3 /(kg.s 2 ) é uma constante universal de gravitação
m 1 , m 2 são as massas de cada uma das partículas
r é a distância entre as partículas
Analisando a lei dada por (2.5) poderemos considerar como desprezível esta
força quando se trata da atração entre dois corpos sobre a terra. Se considerarmos,
por outro lado, a atração que a terra exerce sobre um corpo em sua superfície,
pode-se mostrar que esta força é dada por
W
G
Mm
R2
mg
(2.6)
onde
W é a força de atração entre a terra e o corpo, denominada peso
M é a massa da terra
R é igual ao raio da terra
m é a massa corpo na superfície da terra
g
G
M
é denominada aceleração da gravidade
R2
Esta constante de fato varia ao longo da superfície da terra, mas estas
variações são consideradas pequenas na maioria das aplicações em engenharia. Os
valores de referência adotados universalmente são: g = 9,81 m/s 2 ou 32,2 ft/s 2 .
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2.2
E QUAÇÃO DE M OVIMENTO PARA PARTÍCULA
Quando várias forças atuam sobre uma partícula, a equação (2.3) pode ser
escrita como
FR
F
(2.7)
ma
onde F R é a força resultante do sistema de forças que atua na partícula de massa m.
A Figura 2.1 ilustra o diagrama do corpo livre de uma partícula P onde atuam duas
forças.
F1
P
P
=
FR = ma
F2
Figura 2.1 - Diagrama do corpo livre de uma partícula P.
2.3
E QUAÇÃO DE M OVIMENTO PARA UM S ISTEMA DE PARTÍCULAS
Seja um sistema de várias partículas e sejam as forças externas ao sistema
indicada por F e as internas indicadas por f. Aplicando a lei de Newton para cada
partícula deste sistema podemos escrever
Fi
f ji
mi ai
(2.8)
onde
F i é a força resultante externa na partícula i
f ji é a força da partícula j sobre a partícula i
m i é a massa da partícula i
Podemos agora somar a equação (2.8) aplicada a todas as partículas internas ao
sistema, cujo resultado é
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Fi
f ji
mi ai
(2.9)
Sendo as f ji forças internas ao sistema dado, sempre ocorrerão em pares de ação e
reação, resultando numa soma nula. Assim (2.9) é igual a
FR
Fi
mi ai
(2.10)
Agora vamos lembrar que a posição r G do centro de massa de um sistema de
partículas de massas m i é dada por
mrG
mi ri
(2.11)
onde
m
mi é a massa total do sistema
Derivando (2.11) duas vezes no tempo, obtemos
maG
mi ai
(2.12)
Substituindo (2.12) em (2.10), resulta
FR
maG
(2.13)
que é uma forma parecida com a equação de movimento para uma partícula, mas
cujos termos devem ser interpretados de forma diferente. A força F R é a força
resultante de todas as forças externas que atuam no sistema de partículas; a massa
m é a soma de todas as massas das partículas e a aceleração a G é a aceleração do
centro de massa do sistema. O centro de massa do sistema está localizado numa
posição que varia com o tempo, em geral não coincidente com nenhuma partícula
do sistema.
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2.4
E QUAÇÃO DE M OVIMENTO : C OORDENADAS R ETANGULARES
Vamos tomar um sistema inercial de referência nas coordenadas xyz. A força
resultante aplicada a uma partícula de massa m pode ser escrita como
FR
F
Fx i
Fy j
(2.14)
Fz k
e a equação do movimento
Fx i
Fy j
Fz k
(2.15)
m (ax i a y j az k)
Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares
Fx
m ax
Fy
m ay
Fz
m az
(2.16)
A Figura 2.2 mostra as componentes retangulares de uma dada força aplicada a
uma partícula P de massa m.
z
Fz
m
Fy
Fx
y
x
Figura 2.2 - Componentes Retangulares.
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2.5
E QUAÇÃO DE M OVIMENTO : C OORDENADAS T ANGENCIAL E N ORMAL
Em muitos movimentos que ocorrem em trajetórias curvilíneas conhecidas,
forças aplicadas podem ser escritas em função das coordenadas tangencial, normal
e binormal (esta completa o sistema de referência numa direção normal ao plano
do movimento) como
FR
F
Ft ut
Fn un
(2.17)
Fb ub
e a equação do movimento
Ft ut
Fn un
Fb ub
m (at ut
(2.18)
an un )
Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares
Ft
m at
Fn
m an
Fb
0
(2.19)
A Figura 2.3 mostra os versores das direções tangencial, normal e binormal num
dado instante do movimento de uma partícula P.
z
b
O
ub
n
t
un
ut
P
y
x
Figura 2.3 - Direções tangencial, normal e binormal.
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2.6
E QUAÇÃO DE M OVIMENTO : C OORDENADAS C ILÍNDRICAS
Alguns movimentos são mais facilmente escritos em função de coordenadas
cilíndricas. Nestes casos as forças aplicadas podem ser escritas como
FR
F
Fr ur
F u
(2.20)
Fz uz
e a equação do movimento
Fr ur
F u
Fz uz
m (ar ur
au
(2.21)
az uz )
Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares
Fr
m ar
F
ma
Fz
m az
(2.22)
A Figura 2.4 mostra os versores das direções tangencial, normal e binormal num
dado instante do movimento de uma partícula P.
uz
z
u
P
ur
y
r
u
x
ur
Figura 2.4 - Coordenadas cilíndricas.