Física 2 – Aula 1 – Conceitos: Estática e Dinamica do corpo rígido
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori



F’isica 2
ou
v

O
A
 AO
v

(
v
,
v
,
v
)
Objetivos: Fornecer aos alunos os conhecimentos que o
x
y
z
capacitem a compreender e manipular os conceitos da mecânica

v x : Componente x do vetor v na direção Ox .
clássica, para a aplicação das propriedades físicas, aos projetos de

equipamentos ou peças em geral. Proporcionar ao aluno
v y : Componente y do vetor v na direção Oy.
desenvolvimento dos procedimentos práticos da física.
Ementa: Equilíbrio Estático de um Corpo Rígido.
Sistemas de Partículas e Conservação do Momento. Cinemática dos
Corpos Rígidos. Estática: Baricentro. Treliças Planas e Espaciais.
Rotação dos Corpos Rígidos. Dinâmica do Movimento de Rotação.
Vibrações Mecânicas.

v z : Componente z do vetor v na direção Oz.
1

v A
Bibliografia Básica:
RESNICK, R; HALLIDAY D; WALKER, J. Fundamentos da Física,
V 1 - Mecânica. LTC, 2009.
TIPLER, Pl A; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. V 1.
LTC, 2009.
TIPLER, Pl A; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. V 2.
LTC, 2009.
Bibl;iografia complementar:
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para
engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo:
Makron, 1994.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 8.ed.
Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.
KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro:
LTC,2004.
Resumo: Vetores
Propriedades:
iˆ  iˆ  1
ˆj  ˆj  1
kˆ  kˆ  1
iˆ  ˆj  ˆj  iˆ  0
iˆ  kˆ  kˆ  iˆ  0
ˆj  kˆ  kˆ  ˆj  0
  
   
A B  C  A B  AC

v
 
ˆn     ; onde v  AB  B  A
AB
v v


(Normalização de um vetor).
 
A  B  Ay Bz  Az B y iˆ   Az Bx  Ax Bz  ˆj  Ax B y  Ay Bx kˆ
z
x
0
x vx
y
vy

y
Versores:
iˆ  1,0,0 ˆj  0,1,0 kˆ  0,0,1
Módulo do vetor:

v  v x2  v y2  v z2

Exercícios
1. Encontre a decomposição de cada força

indicada, escrevendo na forma F  Fxiˆ  Fy ˆj . Em
seguida encontre a força resultante que atua no
corpo A.
Mostre que: nˆ   cos  x iˆ  cos  y ˆj  cos  z kˆ
AB
Operações com Vetores no Espaço R3:
 Determinação dos ângulos x, y, z:
v
v
cos  x  x   x  arccos x
v
v
vy
vy
cos  y     y  arccos 
v
v
v
v
cos  z  z   x  arccos z
v
v
Representação dos ângulos no espaço R3:
 Representação:

v  v x  iˆ  v y  ˆj  v z  kˆ ou
2. Um muro está sustentado pelos cabos na
figura. Se as tensões nos cabos AB e AC forem 1200N e
1600N, respectivamente, escreva os vetores que
representam essas tensões e determine a resultante no
mancal A.
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3. Seja a estrutura abaixo:
 Momento ou torque de uma força:
Definição: Definimos o momento de uma força em
relação a O como sendo o produto vetorial de F e r:
Figura 1: Momento de uma força Mo em relação a O,
ĵ
C
(a) Encontre
os pontos A, B, C.
iˆos vetores:
(b)
Ache
k̂

AB  B  A

CB  B  C
(c) Normalize os vetores:
nˆ  
AB


AB
BC

;
nˆ  
BC
AB

BC
(d) Encontre as forças que atuam na
direção AB, sabendo que seus módulos são



F   2500 N e F   F   nˆ 
AB
AB
AB
AB
(e) Encontre os ângulos que essa força faz
com os eixos.

 
  
MO  r  F   o  r  F

r  xiˆ  yjˆ  zkˆ

F  Fxiˆ  Fy ˆj  Fz kˆ

 
M O  r F sen  Fd

M  M iˆ  M ˆj  M kˆ
O
x
y
z
M x  yFz  zFy
M y  zFx  xFz
M z  xFy  yFx
iˆ

MO  x
ˆj
kˆ
y
z
Fx
Fy
Fz
Exemplo 1 – Uma força vertical de 500N é
aplicada na extremidade de uma manivela fixada a
um eixo em O. Determinar:
(a) O momento da força de 500N em relação a O
(b) a intensidade da força horizontal aplicada em A
que produz o mesmo momento em relação a O.
(c) a menor força aplicada em A que produz o
mesmo momento em relação a O.
(d) a distância a que uma força vertical de 1200N
deverá estar do eixo para gerar o mesmo momento em
relação a O.
(e) se alguma das forças obtidas nos itens anteriores
é equivalente a força original.
2
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Solução:



M A  rCA  F

rCA : vetor que liga de A a C.


rCA  AC  0.3iˆ  0.08kˆ


CD
F  F  nˆCD ˆ
 nCD 

CD
Exemplo 2 – Uma força de 800N é aplicada como
ilustrado. Determine o momento da força em relação a
B.
Exemplo 5 – Calcule o torque (módulo, direção e

sentido) em torno de um ponto O de uma força F em
cada uma das situações esquematizadas na Figura 4. Em

cada caso, a força F e a barra estão no plano da página,
o comprimento da barra é igual a 4.00 m e a força
possui módulo de valor F = 10.0 N.
Figura 4
Exemplo 3 – Uma força de 150N atua na
extremidade de uma alavanca de 0.9m, como ilustrado.
Determinar o momento da força em relação a O.
Exemplo 4 – Uma placa retangular é sustentada por
suportes em A e em B e por um fio CD. Sabendo que a
tração no cabo é de 200N, determine o momento da
força exercida pelo fio na placa, em relação ao ponto A.
Exemplo 6 – Calcule o torque resultante em
torno de um ponto O para as duas forças aplicadas
mostradas na Figura 5.
Figura 5
Exemplo 7 – Uma placa metálica quadrda de
lado igual a 0.180 m possui o eixo pivotado
perpendicularmente ao plano da página passando pelo
seu centro O (Figura 6). Calcule o torque resultante em
3
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torno desse eixo produzido pelas três forças mostradas
na figura, sabendo que F1 = 18.0 N, F2 = 26.0 N e F3 =
14.0 N. O plano da placa e de todas as forças é o plano
da página.
Figura 6
Figura 8 - Regra da mão direita.
Em cada problema, esboce o diagrama de corpo livre.
1. Encontre as reações de apoio na barra mostrada.
Suponha peso da barra desprezível.
Exemplo 8 – As forças F1 = 7.50 N e F2 = 5.30
N são aplicadas tangencialmente a uma roda com raio
igual a 0.330 m, conforme mostra a figura 7. Qual é o
torque resultante da roda produzido por estas duas
forças em relação a um eixo perpendicular à roda
passando através de seu centro? Resolva o caso (b).
Figura 7 (a)
2. Determine a tensão na corda supondo que
não haja atrito e a polia seja ideal.
(b)
Exemplo 9 – Uma força atuando sobre uma
parte de uma máquina é dada pela expressão:

F   5.00 N   iˆ   4.00 N   ˆj
O vetor da origem ao ponto onde a força é
aplicada e dado por:

r   0.45m   iˆ   0.15m   ˆj
(a) Faça um diagrama mostrando
 
r Fe a
origem.
(b) Use a regra da mão direita para determinar
a direção e o sentido do torque.
(c) Determine algebricamente o vetor torque
produzido por essa torça. Verifique se a direção e o
sentido do torque são iguais aos obtidos no item (b).
3. A peça da figura está conectada no pono A
e apoiada em B. Determine as reações de apoio e forças
de contato.
4
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5
4. Determine a força de apoio na barra da figura:
6.
Determine as forças nos apoios A e B.
7. Compare as forças exercidas sobre os
pontos A e B do solo quando uma mulher de 120 lb
utiliza um sapato normal e um sapato de salto alto.
5. Um caminhão possui uma rampa de 400 lb de
peso conforme mostrado. Determine a tensão no fio que
a segura.
8. Determinar a tensão T no cabo de
sustentação da barra da figura, de massa 95 kg.
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12. Uma barra prismática AB bi-apoiada,
encontra-se em equilíbrio conforme ilustrado. Pedem-se
as reações de apoio em A e B.
3.0 m 2.0 m 2.0m
210N
140N
A
9. O centro de gravidade G do carro mostrado
está indicado. A massa do carro vale 1400 kg.
Determine as forças normais em cada ponto de contato.
B
Repita o problema 1 considerando o peso da
Barra de 150N.
13. Na figura o peso do bloco vale P = 200N. A
densidade linear da barra é  = 5 kg/m. Determine o
comprimento da barra L para que fique em equilíbrio na
posição horizontal.
3.0 m
C
B
10. Determine as forças nos apoios A e B que
a barra de 12 lb de peso faz sobre o carregador.
L
P
14. Na figura:
PAB  50kgf  Q  200kgf
Q
3.0 m
2.0 m
300
11. A barra de 450 kg suporta o barril na
posição indicada. Determine as forças nos apoios
indicados.
A
B
Determine as reações no apoio A e a tensão no
fio.
15. Uma barra prismática AB bi-apoiada,
encontra-se em equilíbrio conforme ilustrado. Se o peso
da barra for 200N, encontre as reações de apoio em A e
B.
4.0 m 3.0 m 3.0m
320N
A
260N
B
16. Uma força de 30 lb atua na extremidade de
uma alavanca de 3 ft, como ilustrado. Determinar o
momento da força em relação a O.
6
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19. Determine o momento da força de 200N
aplicada no ponto C da dobradiça em relação ao ponto
A.
7
17. Na estrutura indicada, a torre está amarrada
em dois suportes fixos no solo. A tensão no cabo AB é
2100 N; no cabo AC é 1800N e no cabo AD é 2300N.
Determine a força resultante no ponto A da estrutura.

Dados: Estática do corpo rígido:


BA .
BA  A  B e nˆ  

BA
BA

F  Fx  iˆ  Fy  ˆj  Fz  kˆ  F  Fx2  Fy2  Fz2
 Fx
F
 x  arccos 
 Fy

   y  arccos  F



 Fz 
   z  arccos  
F


 Momento de uma força FB aplicada no ponto B
de um sólido em relação ao ponto O:

18. Determine o centroide da figura plana com
densidade superficial de massa constante.


 O  OB  FB

OB  B  O
20. Uma esfera homogênea e lisa repousa sobre
a inclinação A e apoia-se contra a parede B. verticais
lisas. Calcular as forças de contato em A e B.
FA = 566 N, FB = 283 N
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21. O peso da bicicleta é 29 lb com o
centro de gravidade em G. Determine as forças
normais em A e B, quando a bicicleta está em
equilíbrio.
24. Determinar a magnitude de T a tensão
no cabo de suporte e a magnitude da força exercida
sobre o pino em A para a lança da grua mostrado.
A viga AB possui 5 m com uma massa de 95 kg
por metro de comprimento.
8
NA = 15.91 lb, NB = 13.09 lb
22. O feixe uniforme tem uma massa de 50
kg por metro de comprimento. Determinar as
reacções nos apoios.
Ay =1864 N, By = 2840 N
23. O feixe uniforme de 500 kg é
submetido às três cargas externas mostrados.
Calcule as reacções no ponto de apoio O. O plano
xy é vertical.
Ox = 1500 N, Oy = 6100 N
MO = 7560 N.m CCW
Ax = 17.77 kN; Ay = 6.37 kN; A = 18.88 kN
T = 19.61 kN
25. Calcular as forças de reações no ponto
O de base aparafusada do conjunto de sinais de
trânsito em cima. Cada sinal de trânsito tem uma
massa de 36 kg, enquanto as massas de membros
OC e AC são de 50 kg e 55 kg, respectivamente. O
centro de massa do membro AC está em G.
Ox = 0, Oy = 1736 N,
MO = 7460 N.m CW
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26. Três cabos estão ligados ao anel de
junção C. Determinar as tensões nos cabos de AC e
BC causada pelo peso do cilindro de 30 kg .
9
TAC = 215 N, TBC = 264 N
27. A localização do centro de gravidade
da caminhonete de 3600-lb está indicado para o
veículo sem carga. Se uma carga cujo centro de
gravidade se encontra atrás do eixo traseiro é
adicionado ao caminhão, determinar o peso da
carga para que as forças normais e sob as rodas
dianteiras e traseiras sejam iguais.
WL = 550 lb.
28. Um bloco colocado sob a cabeça do
martelo como mostrado facilita muito a extração
do prego. Se uma força de 50 lb é necessária para
puxar o prego, calcular a força de tensão T no
prego e a magnitude da força A exercida pela
cabeça de martelo sobre o bloco. As superfícies de
contato em A são suficientemente áspera para
evitar escorregamento.
T = 200 lb, A= 188.8 lb
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Cinemática da Partícula (Revisão)



Vetor Posição: r  x  iˆ  y  ˆj  z  kˆ

Vetor velocidade média vm :

Movimentos curvilíneos e MCU

r

vm 
t
10

 dr
v
dt

v

 Vetor aceleração média: am 
t

 dv
 Vetor Aceleração instantânea: a 
dt


Vetor Velocidade instantânea:
Movimento
Curvilíneos
Aceleração resultante
aR  acp2  aT2
Aplicação: Lançamento Oblíquo:
Aceleração tangencial
aT 
dv
dt
  MCU
v e a perpendiculares
aR  acp
aT  0
Aceleração centrípeta e Força centrípeta
acp 
v2
 a   2  R  Fcp  m  acp
R
x  x0  v0x  t

Eixo x: MU:

Eixo y: MUV: y  y0  v0  t  g  t
y
2
2
vy  v0 y  g  t

 Decomposição da velocidade inicial v0 :
v0x  v0  cos   v0 y  v0  sen
 Tempo de subida: ts 
v0 y
g
2
0
 Alcance: xm  v sen  2 
g
 Altura máxima: h 
v02
y
2g





Cinemática dos Corpos Rígidos
 Movimentos:
Translação.
Rotação sobre um eixo fixo.
Movimento Geral sobre um plano
Movimento sobre um ponto fixo
Movimento Geral qualquer.
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


    kˆ      kˆ     kˆ
     
a    r      r 


Rotação de um corpo rígido
Translação
11
  
rB  rA  rBA


vB  vA


aB  aA


Sendo     k̂
Rotação sobre um eixo fixo
  


 v    r  v    kˆ  r

Como k̂  r  v  r  
     
a    r      r 



a    kˆ  r    kˆ    kˆ  r



a    kˆ  r   2  kˆ  kˆ  r

kˆ  kˆ  r 
  
     
 u   v  w   u  w v   u  v  w



 kˆ  kˆ  r  kˆ  r kˆ  kˆ  kˆ r


kˆ  kˆ  r  r



a    kˆ  r   2  r



1 rev  2 rad  3600

 dr
v
dt
ds
v
 s  BP    BP  r  sen
dt
d
v  r
 sen  v  r   sen
dt

Velocidade angular:     k̂
 
Como o ângulo entre r e  é , lembrando da
propriedade do módulo do produto vetorial:
 
  r  r    sen  r   sen  v
  
v  r



 dv
 d   d   dr
a
 a    r  
r 
dt
dt
dt

 d   
a
r v
dt

 d
Aceleração angular:  
dt
dt




    
 

Aceleração tangencial:


aT    kˆ  r  aT    r

Aceleração normal


aN   2  r  aN   2  r
 Exercícios
1. Uma polia está conectada por cabos
inextensíveis conforme mostra a figura. O movimento
da polia é controlado pelo cabo C o qual tem uma
aceleração constante de 9 in/s2 e uma velocidade
inicial de 12 in/s, ambas para a direita.Determine:
(a) o número de revoluções executados pela
polia em 2 s.
(b) a velocidade e a mudança na posição do
corpo B após 2s.
(c) a aceleração do ponto D da polia interior no
instante t = 0s.
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
Solução:
12
2. O movimento de um corpo é dado por:
  t   t 3  9  t 2  15  t SI  .
Determine a posição angular, a velocidade
angular e a aceleração angular nos instantes:
(a) t = 0 s (b) t =3s.
3. No problema anterior, determine a posição
angular e a aceleração nos instantes em que a
velocidade angular se anula.