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Três cilindros A, B e C cujos eixos são horizontais e
cada um de peso P encontram~se em equilíbrio apoiados
sobre um sistema de dois planos inclinados cada um dele de
um ângulo de 30o em relação ao horizonte, como mostrado na
figura ao lado. Determinar as intensidades das forças de
reação em cada cilindro devido aos planos e aos demais
cilindros.
Dados do problema
•
•
peso de cada cilindro A, B e C:
ângulo entre o plano inclinado e a horizontal:
P;
30o.
Esquema do problema
Separando os corpos e analisando as forças que atuam em cada um temos:
figura 1
•
Cilindro A
 : peso do cilindro;
P
 AB : força de contato no cilindro A devido ao cilindro B;
F
 AC : força de contato no cilindro A devido ao cilindro C.
F
•
Cilindro B
 : peso do cilindro;
P
 BA : força de contato no cilindro B devido ao cilindro A;
F
 BC : força de contato no cilindro B devido ao cilindro C;
F
 BP : força de contato no cilindro B devido ao plano.
F
•
Cilindro C
 : peso do cilindro;
P
 CA : força de contato no cilindro C devido ao cilindro A;
F
1
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 CB : força de contato no cilindro C devido ao cilindro B;
F
 CP : força de contato no cilindro C devido ao plano.
F
•
Planos inclinados
 PB : força de contato no plano devido ao cilindro B;
F
 PC : força de contato no plano devido ao cilindro C.
F
Foram desprezados os pesos dos planos.
Solução
 BP ) é
O plano inclinado forma um ângulo 30 o com a horizontal, a força de reação ( F
o
normal ou perpendicular ao plano (forma um ângulo de 90 ). Prolongando a direção da força
de reação do plano inclinado no cilindro até o plano horizontal ela forma um ângulo α com este
(figura 2 – destacado no retângulo em azul), então o ângulo entre a força de reação e a
horizontal também é α (são ângulos correspondentes). A soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180o, então 30 o 90 o = 180 o ⇒  = 180 o −90 o −30 o ⇒ = 60 o .
figura 2
Supondo o três cilindros iguais ele possuem o mesmo raio, assim a distância entre
seus centros a,b e c são iguais e determinam os lados de um triângulo. Sendo os três lados
iguais (triângulo equilátero) os três ângulos são iguais. Como a soma dos ângulo internos de
o
180
o
um triângulo é igual a 180o, temos   = 180 o ⇒ 3  = 180 o ⇒  =
⇒  = 60 , assim as
3
 AB e F
 BA ), A e C ( F
 Ac e F
 CA ) e entre o cilindro B
forças de contato entre os cilindros A e B ( F


ou C e os planos inclinados ( F PB ou F PC ) formam com a direção horizontal ângulos de 60o.
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados podemos aplicar a condição
de equilíbrio
∑F
i
=0
(I)
i
•
Cilindro A
direção x
F AB x −F AC x = 0
sendo F AB x = F AB cos 60
o
o
e F AC x = F AC cos 60 , temos
o
o
F AB cos 60 −F AC cos 60 = 0
(II)
direção y
figura 3
F AB y F AC y −P = 0
2
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o
sendo F AB y = F AB sen 60 e F AC y = F
o
AC
sen 60 , temos
o
o
F AB sen 60 F AC sen 60 −P = 0
(III)
Como todos os cilindros possuem o mesmo peso as intensidades das forças de de
 AB e F
 AC serão iguais, possuindo direção e sentido diferentes. Assim F AB = F AC e
reação F
o
 3 , substituímos em (III)
lembrando da Trigonometria que sen 60 =
2
F AB
 3 F
2
 3 −P = 0
AB
2
3
2 F AB  = P
2
F AB  3 = P
P
F AB =
3
multiplicando o numerador e o denominador por
 3 , obtemos
P 3
3 3
3 P
F AB =
3
F AB =
 AB e F
 BA são forças de ação e reação possuem a mesma
Como as forças F
intensidade e a mesma direção, mas com sentidos opostos, da mesma forma para as forças
 AC e F
 CA , assim
F
F AB = F BA = F AC = F CA =
•
3
3
P
Cilindro B
direção x
F BP x−F BC−F BA x = 0
sendo F BP x = F BP cos 60
o
o
e F BA x = F BA cos 60 , temos
o
o
F BP cos 60 −F BC−F BA cos 60 = 0
sendo F BA a intensidade da força de reação no cilindro B devido ao
cilindro A, esta já foi determinada acima, e lembrando da
1
o
Trigonometria que cos 60 = , temos
2
1
 3 P 1 =0
−F BC −
2
3
2
1
3
 P
F −F BC =
2 BP
6
figura 4
F BP
direção y
F BP y−F BA y−P = 0
o
o
sendo F BP y = F BP sen 60 e F BA y = F BA sen 60 , temos
3
(IV)
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o
o
F BP sen 60 −F BA sen 60 −P = 0
novamente usamos o valor de F BA e o seno de 60 o, escrevemos
 3 − 3
F BP
2
3
P
3
 3 −P = 0
2
3
P−P = 0
3.2
 3 F − 1 P−P = 0
BP
2
2
2
F BP−
multiplicando a expressão acima por 2, obtemos
3
1
F BP− P −P = 0
2
2
 3 F BP−P−2 P = 0
 3 F BP−3 P = 0
 3 F BP = 3 P
3P
F BP =
3
multiplicando o numerador e o denominador por
x 2
 3 , obtemos
3P  3
 3 3
F BP =  3 P
F BP =
 BP e F
 PB são forças de ação e reação possuem a mesma
Como as forças F
intensidade e a mesma direção, mas com sentidos opostos, da mesma forma para as forças
 CP e F
 PC , assim
F
F BP = F PB = F CP = F PC =  3 P
Substituindo este valor na expressão (IV), temos
1
2
3
P −F BC =
3
P
6
3
3
F BC =  P −  P
2
6
do lado direito da igualdade o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 2 e 6 é 6, assim
3  3 P−  3 P
6
2 3
F BC =
P
6
3 P
F BC =
3
F BC =
 BC e F
 CB são forças de ação e reação possuem a mesma
Como as forças F
intensidade e a mesma direção, mas com sentidos opostos, assim
F BC = F CB =
4
3
3
P