Administração de Florestas
Dupla: Flávio Almeida (faas)
Leonardo Vilaça (lhvs)
Monitor: Chico (fpms)
Introdução
• A idéia base desse trabalho é apresentar o
conceito matemático da utilização de matrizes
na administração eficiente e sustentável de
florestas;
• Tendo em vista que o rendimento sustentável
ótimo é alcançado com o corte ideal de cada
classe de árvores.
Considerações




Árvores são classificadas por altura;
Sua altura determina seu valor econômico;
Não será considerada a morte anual das árvores;
Mudas não possuem valor econômico.
O Modelo
Seja xi (i = 1,2,...,n) o número de árvores da
i-ésima classe sobrevivem aos cortes:

X=

x1
x2
.
.
.
xn
Sabe-se o total de árvores, que é fixo:
x1 + x2 +...+ xn = s
O Modelo

Considerando o crescimento da floresta teremos:
gi = a fração de árvores que crescem de uma classe
para outra imediatamente superior;
1- gi = fração de árvores que permanecem na
mesma classe depois do período de crescimento.
O Modelo
Ilustrativo do Modelo
O Modelo
Matriz do crescimento
G=
1 – g1 0
0
...
0
g1 1 – g2 0
...
0
0
g2
1 – g3 ...
0
:
:
:
:
:
0
0
0 ... 1 – gn – 1 0
0
0
0 ...
gn – 1 0
Matriz de multiplicação de G
por X
Gx =
(1 – g1)x1
g1x1 + (1 - g2) x2
g2x2 + (1 – gn-1)n-1
:
gn-2xn-2 + (1 – gn-1)xn-1
Gn-1xn-1 + xn
O Modelo
Matriz das árvores arrancadas:
Y=
Matriz de reposição:
y1
y2
.
.
.
yn
R=
1 1 ... 1
0 0 ... 0
: : :
0 0 ... 0
Multiplicação da matriz de reposição pela matriz de
árvores de corte, resultando a matriz coluna das árvores
que serão repostas:
Ry =
y1 + y2 ... yn
0
0
:
0
O Modelo - Conclusão
Configuração
no final
do periodo
de crescimento
-
corte
Reposição
de
mudas
+
=
Configuração
no início do período
de crescimento
Condição de corte sustentável: Gx - y + Ry = x
0
0
0
:
0
0
-1
1
0
:
0
0
-1
0
1
:
0
0
...
...
...
...
...
...
-1 -1
0 0
0 0
: :
1 1
0 1
y1
y2
.
.
.
yn
=
– g1
g1
0
:
0
0
0
– g2
g2
:
0
0
0
...
0
...
– g3 ...
:
:
0 ... – gn
0 ...
gn
0
0
0
:
0
0
x1
x2
.
.
.
xn
Rendimento Sustentável Ótimo
• y1 = 0
• Quaisquer x e y com entradas não negativas satisfazem a
equação:
x1 + x2 ... + xn = s.
Com esses dois tópicos satisfeitos a condição de corte
sustentável se reduz as equações abaixo:
y2 + y3 + ... + yn = g1x1
y2 = g1x1 - g2x2
y3 = g2x2 - g3x3
:
yn-1 = gn-2xn-2 - gn-1xn-1
yn = gn-1xn-1
Rendimento Sustentável Ótimo

Como nós devemos ter yi > = 0 para
i = 2,3,...,n, as equações exigem que:
g1x1  g2x2 ...  Gn - 1xn-1  0

Para que o corte seja sustentável, a
inequação a cima tem que ser satisfeita
Rendimento Sustentável Ótimo
Sabendo que cada árvore possui um valor
econômico p, e que removemos yi árvores da
i-ésima classe, obtém-se a equação do rendimento:
RT = p2y2 + p3y3 + ... + pnyn
 Substituindo a equação anterior na equção acima:
RT = p2g1x1 + (p3-p2)g2x2 + ... + (pn - p n-1)g n-1x n-1

Rendimento Sustentável Ótimo
Resolvendo a equação :
RT = p2g1x1 + (p3-p2)g2x2 + ... + (pn - p n-1)g n-1x n-1
e satisfazendo as as condições abaixo:
x1 + x2 ... + xn = s
e
g1x1  g2x2 ... Gn - 1xn-1  0
Chega-se o teorema do rendimento sustentável
ótimo:
O rendimento sustentável ótimo é obtido cortando
todas as árvores de uma classe de altura
específica e nenhuma árvore de qualquer outra
classe
Rendimento Sustentável Ótimo
Seja RTk o rendimento obtido cortando-se
todas as árvores da classe k;
 Como não serão cortadas nenhuma árvore
de outras classes,
yik = 0;
 E ainda, como todas as árvores da classe k
serão cortadas
xik = 0;

Rendimento Sustentável Ótimo
Então:
yk = g1x1
0 = g1x1 - g2x2
0 = g2x2 - g3x3
:
0 = gk-2xk-2 - gk-1xk-1
yk = gk-1xk-1
Ou seja,
x2 = g1x1/g2
x3 = g1x1/g3
xk-1 = g1x1/gk-1
Rendimento Sustentável Ótimo
Substituindo na equação:
x1 + x2 ... + xn = s
x1 = ____________s___________
1 + g1/g2 + g1/g3 + ... + g1/gk-1
Combinando as equações anteriores:
RT = p2y2 + p3y3 + ... + pnyn
= pkyk
= pkg1x1
= _________pks________
1/g1 + 1/g2 + ... + 1/gk-1
Rendimento Sustentável Ótimo

O rendimento sustentável ótimo é o maior
valor de:
_________pks________
1/g1 + 1/g2 + ... + 1/gk-1
para k = 2,3,...,n. O correspondente valor de k
é o número da classe que é complertamente
cortada.
Fim da apresentação
Preservem nossas florestas !!!