FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS
ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO
MARCELO FERREIRA SANTOS
MODELOS DE RISCO COM FAT TAIL
ANÁLISE EMPÍRICA DE VALUE AT RISK E EXPECTED SHORTFALL PARA ATIVOS
FINANCEIROS BRASILEIROS
SÃO PAULO
2008
MARCELO FERREIRA SANTOS
MODELOS DE RISCO COM FAT TAIL
ANÁLISE EMPÍRICA DE VALUE AT RISK E EXPECTED SHORTFALL PARA ATIVOS
FINANCEIROS BRASILEIROS
Dissertação apresentada à Escola de
Economia de São Paulo da Fundação Getúlio
Vargas como requisito para obtenção do
título de Mestre em Finanças e Economia
Empresarial
Campo de conhecimento:
Finanças de Mercado Financeiro
Orientador:
Prof. Dr. José Evaristo dos Santos
SÃO PAULO
2008
Santos, Marcelo Ferreira.
Modelo de risco com Fat Tail: análise empírica de Value at Risk e Expected
Shortfall para ativos financeiros brasileiros / Marcelo Ferreira Santos. – 2008.
59 f.
Orientador: José Evaristo dos Santos
Dissertação (mestrado) – Escola de Economia de São Paulo
1. Value at Risk. 2. Expected Shortfall. 3. Risk Management. 4. Distribuição
Estável. 5. Mercado Financeiro – I. Santos, José Evaristo. II. Dissertação
(mestrado) – Escola de Economia de São Paulo. III. Título.
CDU 330.131.7
MARCELO FERREIRA SANTOS
MODELOS DE RISCO COM FAT TAIL
ANÁLISE EMPÍRICA DE VALUE AT RISK E EXPECTED SHORTFALL PARA ATIVOS
FINANCEIROS BRASILEIROS
Dissertação apresentada à Escola de
Economia de São Paulo da Fundação Getúlio
Vargas, como requisito para obtenção do
título de Mestre em Finanças e Economia
Empresarial
Campo de conhecimento:
Finanças de Mercado Financeiro
Data de aprovação:
__ / __ / __
Banca examinadora:
Prof. Dr. José
(Orientador)
FGV-EAESP
Evaristo
dos
Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto
FGV-EAESP
Prof. Dr. Marcos Eugênio da Silva
USP
SÃO PAULO
2008
Santos
Dedico
aos
meus
pais,
Maria Helena
e
Fernando, por terem me ensinado o verdadeiro
significado da palavra Amor. Desde sempre tive
e tenho exemplos de como a entrega à Vida
nos torna menos distantes da Perfeição.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, origem e fim de tudo que somos. Nunca nos esquecendo de que
se os homens criam oportunidades, Deus cria os homens.
Ao mestre e guru Evaristo pelo carinho e atenção desde os tempos da graduação e
agora, por ter nos exemplificado, a cada conversa, o verdadeiro sentido de que ao dividir seus
conhecimentos o homem torna-se mais nobre.
Ao senhor Nelson Sussumu Niskioka, ex-chefe e agora precioso amigo, que não
somente incentivou esse curso, mas tem auxiliado no desenvolvimento profissional e pessoal
do autor.
Ao senhor Fábio de Aguiar Faria, por confiar no trabalho desse profissional, mesmo em
momentos apertados do curso e, sobretudo, nos contratempos de vida.
Ao senhor Afonso de Campos Pinto, por seu grande profissionalismo e sua valiosa
amizade.
Ao senhor Marcos Eugênio da Silva, por suas fundamentais colocações que ajudaram a
enriquecer o presente trabalho.
Ao senhor Márcio Larini Polleti, professor do IBMEC-SP, que nos deu provas de grande
desprendimento e atenção nas discussões sobre a modelagem econométrica desse trabalho.
Aos senhores Milena Gordon, Sueli Bresciani, Rodrigo Grigolin, Éber Luciano da Silva,
Nicolau Assali, Marcelo Cano, Leonardo Curi, Octávio de Barros, Gilberto César e Arthur Lima,
os quais não foram somente colegas de curso, mas amigos para mais de uma vida.
À querida Mirian Kanashiro, a qual foi peça fundamental para que pudesse realizar esse
curso e me compreender melhor como profissional.
Aos professores e seus respectivos monitores pelo desprendimento em compartilhar
experiências.
Aos funcionários da escola (inspetores, faxineiros, seguranças, porteiros, bibliotecários e
quaisquer que tenha esquecido), sem os quais nada poderia transcorrer normalmente sem a
presença de tais.
Aos meus amigos, sejam eles de Ribeirão Preto, São Paulo ou desse “mundo afora”, os
quais souberam me ouvir, uma vez mais, quando a paciência parecia se esgotar.
Aos demais colegas do curso pela oportunidade da convivência.
RESUMO
O objetivo deste trabalho foi mostrar modelagens alternativas à tradicional
maneira de se apurar o risco de mercado para ativos financeiros brasileiros. Procurouse cobrir o máximo possível de fatores de risco existentes no Brasil; para tanto
utilizamos as principais proxies para instrumentos de Renda Fixa.
Em momentos de volatilidade, o gerenciamento de risco de mercado é bastante
criticado por trabalhar dentro de modelagens fundamentadas na distribuição normal.
Aqui reside a maior contribuição do VaR e também a maior crítica a ele. Adicionado a
isso, temos um mercado caracterizado pela extrema iliquidez no mercado secundário
até mesmo em certos tipos de títulos públicos federais. O primeiro passo foi fazer um
levantamento da produção acadêmica sobre o tema, seja no Brasil ou no mundo. Para
a nossa surpresa, pouco, no nosso país, tem se falado em distribuições estáveis
aplicadas ao mercado financeiro, seja em gerenciamento de risco, precificação de
opções ou administração de carteiras. Após essa etapa, passamos a seleção das
variáveis a serem utilizadas buscando cobrir uma grande parte dos ativos financeiros
brasileiros. Assim, deveríamos identificar a presença ou não da condição de
normalidade para, aí sim, realizarmos as modelagens das medidas de risco, VaR e ES,
para os ativos escolhidos,
As condições teóricas e práticas estavam criadas: demanda de mercado (crítica
ao método gausiano bastante difundido), ampla cobertura de ativos
(apesar do
eventual questionamento da liquidez), experiência acadêmica e conhecimento
internacional (por meio de detalhado e criterioso estudo da produção sobre o tema nos
principais meios).
Analisou-se, desta forma, quatro principais abordagens para o
cálculo de medidas de risco sendo elas coerentes (ES) ou não (VaR).
É importante mencionar que se trata de um trabalho que poderá servir de insumo
inicial para trabalhos mais grandiosos, por exemplo, aqueles que incorporarem vários
ativos dentro de uma carteira de riscos lineares ou, até mesmo, para ativos que
apresentem risco não-direcionais.
Palavras-chave: value at risk, expected shortfall, distribuição gausiana, distribuição
estável.
ABSTRACT
The goal of this work was to show alternatives models to the traditional way of
measuring market risk for Brazilian financial assets. In order to cover the maximum
possible risk factors in Brazil, we have used the main proxies for Fixed Income products.
In times of volatility, market risk management is highly criticized for working in
models based on normal distribution. Here it is the best contribution of the VaR and also
the greatest criticism of it. In addition, our financial market is characterized by extreme
illiquidity in the secondary market in spite of certain governmental bonds. The first stage
was to research academic production about the theme in Brazil or worldwide. To our
surprise, little has been said in country about stable distribution applied to financial
market, whether in risk management, options pricing, or portfolio management. After this
step, we selected a set of variables to be used aiming to cover a large part of Brazilian
financial assets. Thus, we were able to identify or not a presence of normality condition
so that we could model risk measure, VaR and ES, for chosen assets.
The theoretical and practical conditions were created: market demand (heavy
criticisms of Gausian approach), ample selection of assets (in spite of eventual doubts
about liquidity), academic experience, and international knowledge (by means of
detailed and meticulous study of the production about the theme in the main circles). In
this way, four principal approaches have been analyzed in order to calculate risk
measures whether they be coherent or not.
It is important to mention that this work might be useful for large initiatives, for
example, those which incorporate several assets within linear risk portfolios or, even, for
non-linear portfolios.
Key-words: value at risk, expected shortfall, gausian distribution, stable distribution.
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – INDICADORES DA FAMÍLIA IMA E PERÍODO DE ESTUDO ..................24
TABELA 2 – VALORES ADMISSÍVEIS DE TOLERÂNCIA PARA VAR ........................49
TABELA 3 – LIMITES DE TOLERÂNCIA PARA VAR...................................................49
TABELA 4 – EXCEÇÕES NOS MODELOS ESTUDADOS DE VAR PARA NÍVEL DE
SIGNIFICÂNCIA DE 95% .........................................................................................50
TABELA 5 – EXCEÇÕES NOS MODELOS ESTUDADOS DE VAR PARA NÍVEL DE
SIGNIFICÂNCIA DE 99% .........................................................................................50
TABELA 6 – P-VALORES NOS MODELOS ESTUDADOS ..........................................52
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1 – EVOLUÇÃO DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IBOVESPA..................28
GRÁFICO 2 – HISTOGRAMA DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IBOVESPA..............29
GRÁFICO 3 – EVOLUÇÃO DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IMA-S ..........................30
GRÁFICO 4 – HISTOGRAMA DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IMA-S......................30
GRÁFICO 5 – EVOLUÇÃO DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IMA-B ..........................31
GRÁFICO 6 – HISTOGRAMA DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IMA-B......................31
GRÁFICO 7 – EVOLUÇÃO DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IMA-C .........................32
GRÁFICO 8 – HISTOGRAMA DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IMA-C......................32
GRÁFICO 9 – EVOLUÇÃO DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IRF-M .........................33
GRÁFICO 10 – HISTOGRAMA DOS RETORNOS DIÁRIOS DO IRF-M....................33
GRÁFICO 11 – EVOLUÇÃO DOS RETORNOS DIÁRIOS DA PTAX-V.....................34
GRÁFICO 12 – HISTOGRAMA DOS RETORNOS DIÁRIOS DA PTAX-V .................34
GRÁFICO 13 – DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA NORMAL DO IBOVESPA ......................35
GRÁFICO 14 – DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA NORMAL DA PTAX-V ...........................35
GRÁFICO 15 – DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA NORMAL DO IRF-M...............................36
GRÁFICO 16 – DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA NORMAL DO IMA-B .............................36
GRÁFICO 17 – DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA NORMAL DO IMA-C .............................36
GRÁFICO 18 – DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA NORMAL DO IMA-S .............................36
GRÁFICO 19 – DISTRIBUIÇÃO DE RETORNOS NEGATIVOS DO IBOVESPA .....45
GRÁFICO 20 – DISTRIBUIÇÃO DE RETORNOS NEGATIVOS DA PTAX-V...........45
GRÁFICO 21 – DISTRIBUIÇÃO DE RETORNOS NEGATIVOS DO IRF-M .............45
GRÁFICO 22 – DISTRIBUIÇÃO DE RETORNOS NEGATIVOS DO IMA-B .............45
GRÁFICO 23 – DISTRIBUIÇÃO DE RETORNOS NEGATIVOS DO IMA-C .............45
GRÁFICO 24 – DISTRIBUIÇÃO DE RETORNOS NEGATIVOS DO IMA-S .............45
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................13
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................................17
3. ASPECTOS CONCEITUAIS..................................................................................21
3.1 SÉRIES ...............................................................................................................21
3.1.1 PTAX-V ..............................................................................................................22
3.1.2 IBOVESPA .......................................................................................................22
3.1.3 IMA - ÍNDICES DE MERCADO ANDIMA ..........................................................22
3.2 RETORNOS LOGARÍTMICOS ............................................................................25
3.3 HOLDING PERIOD..............................................................................................25
3.4 JANELA MÓVEL..................................................................................................25
3.5 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA .................................................................................25
3.6 THRESHOLD U DO POT.....................................................................................26
3.7 BACKTESTING ...................................................................................................26
4. ANÁLISE ESTATÍSTICA TRADICIONAL...............................................................28
4.1 IBOVESPA ..........................................................................................................28
4.2 IMA-S...................................................................................................................29
4.3 IMA-B...................................................................................................................30
4.4 IMA-C ..................................................................................................................31
4.5 IRF-M...................................................................................................................32
4.6 PTAX-V................................................................................................................33
4.7 IDENTIFICAÇÃO DE HEAVY FAT TAIL ..............................................................34
5. DEFINIÇÕES E MODELOS...................................................................................37
5.1 DEFINIÇÕES.......................................................................................................36
5.1.1 VALUE AT RISK ...............................................................................................37
12
5.1.2 EXPECTED SHORTFALL ................................................................................38
5.2 MODELOS...........................................................................................................39
5.2.1 ABORDAGEM EMPÍRICA OU HISTÓRICA......................................................39
5.2.2 ABORDAGEM GAUSIANA ...............................................................................40
5.2.3 ABORDAGEM DE VALORES EXTREMOS ......................................................40
5.2.4 ABORDAGEM PARETIANA ESTÁVEL ............................................................42
5.3 JUSTIFICATIVA ..................................................................................................44
6. RESULTADOS EMPÍRICOS .................................................................................47
6.1 TESTE DE HIPÓTESE ........................................................................................47
6.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................49
6.2.1 ANÁLISE DO VAR ............................................................................................49
6.2.1.1 IBOVESPA ....................................................................................................50
6.2.1.2 IMA-S.............................................................................................................50
6.2.1.3 IMA-B.............................................................................................................51
6.2.1.4 IMA-C ............................................................................................................51
6.2.1.5 IRF-M.............................................................................................................51
6.2.1.6 PTAX-V..........................................................................................................51
6.2.2 ANÁLISE DO ES...............................................................................................52
7.CONCLUSÕES ......................................................................................................54
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..........................................................................56
13
“…...the biggest problem we now have with
the whole evolution of the risk is the fat-tailed
problem, which is really creating very large
conceptual difficulties. Because as we all
know, the assumption of normality enables
us to drop off the huge amount of complexity
in our equations. Because once you start
putting in non-normality assumptions, which
is unfortunately what characterizes the real
world, then these issues become extremely
difficult."
Alan Greenspan
1) Introdução
Uma das principais atribuições das instituições financeiras é avaliar sua
exposição ao risco - a tarefa é chamada de Risk Management, isto é, controlar as
diversas modalidades de risco em que elas incorrem: risco de crédito, risco
operacional, risco de mercado, risco de jurídico e risco de modelagem, e seus interrelacionamentos. Este trabalho concentra-se em risco de mercado - o risco
decorrente da mudança no valor de posições em função de mudanças nos preços e
taxas dos ativos e passivos dos quais as posições dependem (preços de ações,
commodities e bônus, taxas de câmbio, taxas de juros e indicadores inflacionários,
por exemplo).
Embora Steinherr (1998) tenha descrito o Risk Management como “one of the
most important innovations of the 20th century” e que as técnicas a ele associadas se
tenham propagado a partir do início da década de 90 do século passado, suas
origens são anteriores a tal. Markowitz (1952) produziu o trabalho original que
resultou na teoria do portfólio, estabelecendo o binômio risco/retorno e rompendo o
viés até então existente de dedicar atenção somente ao retorno.
O trabalho original de Markowitz possibilitou a Sharpe (1964) e Lintner (1965)
desenvolverem o CAPM – Capital Asset Pricing Model, modelo de equilíbrio que
14
relaciona o retorno esperado de um ativo ao retorno esperado de um ativo livre de
risco, ao retorno esperado do mercado e à covariância entre os retornos do ativo e
do mercado. Nesse modelo os retornos do mercado são a única fonte de
aleatoriedade. Buscando assegurar maior robustez econométrica, Ross (1976)
desenvolveu sua APT – Arbitrage Pricing theory, a qual contempla mais fontes de
incerteza; estava criado assim um modelo multifatorial de apreçamento de ativos. Os
instrumentos de hedge e alavancagem já circulavam em mesas de operações de
derivativos – sem muito controle e sem que a real dimensão de eventuais impactos
negativos fosse bem avaliada. Teorias acadêmicas bem fundamentadas e alertas
da iniciativa privada apontavam para potenciais problemas, dando margem à
publicação, em julho de 1993, do relatório “Derivatives: Practices and Principles”
pelo Group of Thirty, organização não-governamental composta por banqueiros,
financistas e acadêmicos, que buscava mais bem compreender o ambiente
econômico financeiro da época.
O pano de fundo para o surgimento do efetivo gerenciamento de risco estava
pronto. A iniciativa privada tomou a frente: em outubro de 1994, l JP Morgan
apresentou ao mundo um sistema de gerenciamento de risco a que denominou Risk
Metrics, que contemplava a matriz de covariâncias para uma vasta gama de fatores
de risco. O VaR, termo cunhado inicialmente por Till Guldimann, na época chefe
mundial da área de Research do mesmo JP Morgan na década de 80, deveria
integrar tal matriz às posições inerentes a cada portfólio ou instituição. Em
seqüência, mais especificamente em abril de 1995, o Basle Committee da Basiléia
do BIS – Bank for International Settlements divulgou que os bancos estavam
autorizados a mensurar seu risco de mercado por meio de modelos proprietários.
Em janeiro de 1996, o mesmo comitê estabeleceu critérios quantitativos e
qualitativos que os modelos internos das instituições financeiras deveriam adotar.
Também estabeleceu a utilização do VaR para medir o risco de mercado,
autorizando os bancos a utilizar modelos internos para estimá-lo.
Legalmente nascia o VaR, cuja aceitação inicial não foi integral, apesar da
facilidade de compreensão do número por ele representado. Para reforçar a
importância de um eficaz gerenciamento do risco de mercado, foram necessários
alguns tristes episódios de significativas perdas financeiras - Banco Barings na
15
Inglaterra, Metallgesellschaft na Alemanha, Orange County e LTCM nos E.U.A,
Daiwa no Japão, Banco Marka e Fonte Cindam no Brasil e, mais recentemente, o
hedge fund Amaranth.
O VaR é uma realidade e muito se desenvolveu desde 1995; sobre essa
pequena sigla desenvolveu-se uma vastíssima produção acadêmica. Modelos de
otimização de carteiras migraram da abordagem tradicional de Markowitz para a
abordagem do VaR, novos matizes e adeptos eram e são conquistados, levando,
por exemplo, empresas não-financeiras a adotarem modelos de risco de mercado
nele calcados.
O VaR é uma poderosa e excelente maneira de controlar o risco, mas não é
“ciência pura” e muito menos um “conceito fechado”. O Risk Manager não se deve
iludir com o número obtido – deve analisá-lo antes de divulgá-lo, à luz das limitações
a ele inerentes. Tais limitações se associam principalmente ao risco de modelagem
– a saber, a escolha do sistema, parâmetros e fatores de risco. Este trabalho tem
foco justamente nessas limitações. Assim, o objetivo do trabalho será mostrar se
modelagens alternativas aos modelos histórico e gaussiano para a apuração do VaR
e do Expected Shortfall são aplicadas aos ativos financeiros brasileiros.
A dissertação encontra-se assim estruturada. No primeiro capítulo fazemos
uma breve revisão da bibliografia que explora as diferenças entre o VaR – que não é
coerente no sentido de Artzner et al (1997) - e o Expected Shortfall, - que o é. Na
parte final desse capítulo destacamos a produção bibliográfica brasileira e
internacional sobre o tema.
No segundo capítulo registramos a metodologia adotada. Definimos
formalmente as medidas de risco discutidas e os modelos empregados, e
justificamos as proxies, o chamado threshold u e o método de backtesting. No
terceiro capítulo mostramos resultados preliminares e respectivas conclusões e, por
fim, verificamos a existência ou não de fatos estilizados em séries temporais
financeiras.
16
No
quarto
capítulo
apresentamos
os
resultados
das
modelagens
desenvolvidas, salientando os principais aspectos quantitativos verificados, sem
negligenciar os aspectos qualitativos. Registramos o grau de precisão de cada
modelo e o modelo mais indicado para cada benchmark, chegando à determinação
da adequada relação entre ambos. Especial atenção é dedicada a conceitualização
de distribuição paretianas estáveis, matéria não tão difundida no universo brasileiro
de gerenciamento de risco de mercado.
No quinto e último capítulo, apresentamos as conclusões do estudo realizado,
em vista das evidências observadas, e ressaltamos as principais contribuições do
trabalho – que se encerra com o registro de que muitos passos ainda deverão ser
dados, pois a continuação ininterrupta de idéias promove o aprimoramento do
progresso da ciência e o engrandecimento do ser humano.
17
2) Revisão Bibliográfica
“As coisas mais importantes nunca devem
ficar
à
mercê
das
coisas
menos
importantes.”
Goethe
Realizando um exercício de abstração, é difícil imaginarmos as instituições
financeiras não mensurando seus riscos, sobretudo o financeiro. O VaR provocou
uma verdadeira revolução na maneira de como o negócio bancário e, mais
recentemente, empresas não-financeiras, devem construir suas estratégias. Como
usual em todo “fato novo”, a conseqüência natural é o debate, tanto acadêmico
quanto prático, sobre as principais características do VaR e sua eficiência.
Artzner et al (1997) deram origem a essa discussão, formalizando-a
matematicamente em Artzner et al (1998), com a apresentação de axiomas a que
medidas de risco devem obedecer1. A partir daí tanto a comunidade acadêmica
quanto à de risk managers começou a dar maior atenção ao chamado Expected
Shortfall – doravante, ES.
Yamai e Yoshiba (2002a, 2002b e 2002c) exploram as diferenças entre o
VaR e o ES. O primeiro aborda os aspectos de coerência2,
erro de estimação
(estimation error), possibilidade de decomposição e aplicabilidade de métodos de
otimização, e demonstra que: a) o ES é coerente, enquanto o VaR não é; b) para um
mesmo nível de precisão, o ES exige maior número de observações que o VAR; c) o
ES é facilmente decomponível e otimizável, diferentemente do VaR. No segundo, os
autores mostram que o ES é consistente com o paradigma de maximização da
utilidade esperada. No último, mostram que ambas as medidas podem subestimar o
risco de ativos que apresentem fat-tails e altos potenciais de perda, mas que,
quando o VaR é utilizado para o gerenciamento de risco, existe o perigo de
1
Mais adiante veremos quais são tais axiomas. Os artigos em questão provavelmente são os trabalhos mais
freqüentemente citados na área de gerenciamento de risco nos últimos dez anos.
2
Compreenderemos melhor o que caracteriza uma medida coerente de risco no capítulo 5 do presente trabalho.
18
investimento em posições sujeitas a perdas extremas, pois o VaR fornece uma
informação que não considera o risco caudal – contrariamente ao ES.
O aspecto de não-coerência do VaR e coerência do ES também é explorado
em Acerbi and Tasche (2001 e 2002) e Tasche (2002), que mostram os problemas
que possíveis descontinuidades na distribuição de perdas podem causar na
estimação de medidas de risco; em tais circunstâncias, o ES pode ser estimado de
maneira eficiente, enquanto o VaR pode falhar. Por sua vez, Acerbi et al (2006)
retomam a idéia de que VaR não é uma medida coerente de risco e adicionam
pontos interessantes à análise - por exemplo, a dificuldade de estimá-lo quando há
vários fatores de risco e a demora em capturar eventuais “estragos financeiros”.
Concluem, então, que o ES é um sucessor natural do VaR. Em linha semelhante,
Rau-Bredow (2002) analisa as implicações que a suposição de normalidade dos
retornos e a não obediência do VaR à propriedade de sub-aditividade (nãocoerência) trazem para os cálculos de exigência de capital. Estendidas ao ES, as
mesmas análises mostram a adaptabilidade dessa medida a tais situações. O
aspecto de não-normalidade dos retornos também é abordado em Bormetti et al
(2006), que propõem uma abordagem, em termos de uma distribuição de t-student,
o cálculo do VaR e do ES e os exemplificam com uma carteira de ações italianas.
A sensibilidade do VaR e do ES de portfolios sujeitos a netting de posições é
investigada em Fermanian e Scaillet (2004), que derivam distribuições assintóticas
das primeiras derivadas do VaR e do ES, enquanto Rosenberg e Schuermann
(2005) estudam a correlação entre os diferentes tipos de risco (de crédito, de
mercado etc.) a que uma instituição financeira está exposta. Em ambas as
dimensões, os resultados também são favoráveis ao ES.
A influência de fatores de risco elípticos é estudada em Kamdem (2004a e
2004bb), enquanto a mudança de regime é discutida em Guidolin e Timmermann
(2004), que fazem uso das chamadas cadeias de Markov e concebem um modelo
de quatro estado com o qual estudam de que maneira o VaR e o ES são
influenciados por mudanças de regime.
19
A preocupação em evitar que uma empresa possa quebrar é merecedora de
atenção de todos os agentes econômicos. Anderson et al (2005) mostram as
diferenças entre o VaR e o ES de empresas ditas too-big-to-fail. Na mesma linha,
porém sob a ótica de regulação, Leippold et al (2003) comparam a eficiência de
parâmetros regulamentares utilizando VaR e ES, e concluem: “If regulators were to
replace VaR by a coherent risk measure such as expected shortfall, the unattractive
effects of VaR-based regulation would disappear.”
Na vertente de trabalhos puramente empíricos, dois trabalhos se destacam. O
primeiro, Kerkhof et al (2003) focaliza a utilização de derivativos como instrumentos
de hedge, lançando mão de árvores binomiais. Somente foi possível a construção de
árvore para o cálculo do VaR, contudo, pois o do ES exigiria informações sobre a
distribuição na cauda inferior. A lição importante é que, independentemente da
medida de risco, a volatilidade implícita do contrato é fundamental para a boa
compreensão do risco de um derivativo a ser hedgeado, seja no mercado acionário
ou no mercado de moedas. O segundo, Glavan (2004), mostra o cálculo do VaR e
do ES de portfolios, detalhando ao máximo a distribuição de Profit and Losses
(P&L), à luz da qual pôde concluir que, diferentemente do VaR, o ES é medida
adequada de sensibilidade do portfólio a variações nos fatores de risco.
Da Silva (2004) nos fornece um aprofundado estudo sobre a coerência de
medidas de risco no contexto brasileiro, com base nos retornos de dez ações de alta
liquidez na Bolsa de Valores de São Paulo. Ratificando estudos empíricos
internacionais, seus resultados mostram a superioridade do ES.
Como se sabe, a validação do sistema de risco adotado – via backtesting - é
tão importante quanto o próprio sistema. Angelidis e Degiannakis (2004) descrevem
e analisam a potência (power) dos principais testes dessa natureza, enquanto Novak
(2004) verifica o comportamento e a magnitude do VaR e do ES no episódio do
crash de 1987.
Cada dia mais, em diferentes esferas do conhecimento humano, existe
grande preocupação com eventos raros e suas conseqüências. A Teoria de Valores
Extremos (TVE) fornece subsídios para mais bem compreendermos crashes ou
20
rupturas de mercado; todavia, é recente o reconhecimento de sua aplicabilidade em
Finanças. McNeil (1999) apresentou o trabalho seminal que emprega a TVE ao Risk
Management, dedicando especial atenção ao método do Peaks Over Threshold e
mostrando de que forma ele pode ser incorporado à estrutura de cálculo de
volatilidade
estocástica
na
determinação
das
medidas
de
risco
e
suas
particularidades. Rachev et al (2006) abordam modelos univariados para cálculo do
VaR e do ES, ancorados em stable laws3 e na TVE. Igualmente, muitos outros
estudos sobre o tema permeiam a academia e as áreas de Risk Management das
instituições.
Como se pode observar na breve revisão acima apresentada, uma das
maiores falhas do VaR é não capturar o comportamento de fat-tail dos retornos dos
ativos financeiros. Assim, o foco do presente dirige-se a essa questão. Veremos o
comportamento do VaR e do ES para proxies de ativos financeiros brasileiros para o
modelo histórico (ou empírico), gaussiano (ou normal), Pareto Generalizado
(utilizando POT – Peaks over Threshold) e distribuição paretiana estável (Stable
Paretian Distribution). A contribuição do trabalho reside na utilização dessa última
alternativa – até agora não adotada em nenhum estudo brasileiro, até onde
saibamos. Nossa principal referência metodológica é Harmantzis et al (2005).
3
Stable laws é uma expressão geral que engloba o conjunto de propriedades das distribuições
estáveis, não compartilhadas por outros modelos de distribuição estatística, que permitem a
generalização das teorias financeiras, favorecendo a criação de um estrutural coerente e geral para
realizarmos modelagens financeiras.
21
3) Aspectos Conceituais
“The role of science is nothing more than a
refinement of everyday thinking”
Albert Einstein
Nesta seção iremos mostrar o comportamento das variáveis analisadas frente
às medidas tradicionais de Estatística, realizando tratamentos individuais e
mostrando, por fim, o rompimento da condição de normalidade através de do teste
Jarque Bera. De posse das informações contidas nesse capítulo e no próximo
começaremos a questionar os modelos tradicionais de mensuração de risco de
mercado.
3.1) Séries
Buscando cobrir a maior parte possível dos ativos financeiros brasileiros,
optamos pela escolha de proxies dos principais fatores de risco existentes, a saber:
Ibovespa fechamento, PTAX-V(800) divulgada pelo Bacen (Banco Central do Brasil),
IRF-M (Índice de Renda Fixa de Mercado), IMA-S (Índice de Mercado da Andima
série S), IMA-B (Índice de Mercado da Andima série B) e IMA-C (Índice de Mercado
da Andima série C). Os três últimos são calculados e divulgados diariamente pela
Andima (Associação Nacional das Instituições do Mercado Financeiro) e se referem
aos mercados de ativos com os seguintes fatores de risco: juros prefixados, cupom
IPC-A e cupom de IGP-M.4
Escolhidas as proxies, determinou-se coletar as informações entre 1º de
março de 1999, após a flutuação da taxa de câmbio no Brasil, e 28 de setembro de
2007.5 O período compreendido é bastante rico para análises, pois cobre períodos
de estresse (de raízes internas ou externas) e de euforia. Por exemplo, o ano de
2001 foi marcado por momentos agudos de estresse no mercado financeiro
brasileiro em função do atentado a Nova Iorque, da ruptura da bolha do Nasdaq e do
4
O autor sente-se confortável com tais índices, pois participou de grupos de trabalho que estudaram
sua elaboração e divulgação.
5
O ativo utilizado como parâmetro de data foi a Ptax-V. Em feriados municipais em São Paulo não há
pregão da Bovespa, mas existe taxa de câmbio. Nessas circunstâncias, repetimos o valor de
fechamento da BOVESPA no último dia anterior; esse é o único ajuste de missing data existente no
trabalho. Os benchmarks divulgados pela Andima obedecem às datas nacionais - conseqüentemente,
às do Bacen.
22
apagão elétrico no Brasil. No ano seguinte, nosso mercado continuou sensível, em
decorrência das incertezas políticas acerca de um novo governo. Os anos de 2005 e
2006 caracterizaram-se por relativa euforia - redução de taxas de juros, alta nas
bolsas de valores, valorização do câmbio e descolamento entre economia e política.
Todavia, o início de 2007 mostrou que o ambiente de volatilidade baixa e controlada
não perduraria por muito mais tempo, culminando com a crise imobiliária norteamericana dos sub-primes a partir de agosto de 2007 e não finalizada até a
conclusão
desse
trabalho.
Assim,
mostrou-se
importante
compreender
o
comportamento dos ativos financeiros e administrar adequadamente o risco das
instituições.
Na próxima sub-seção iremos detalhar um pouco mais sobre as proxies de
ativos utilizadas no presente trabalho para auxiliar o leitor na posterior compreensão
do texto.
3.1.1) Ptax-V
Representa a taxa de câmbio entre a moeda local (Real) e a moeda norteamericana (Dólar), calculada ao final de cada dia. É a taxa média de todos os
negócios em dólares realizados no dia, no mercado interbancário de câmbio, com
liquidação em D+ 2. A base de dados para essa variável perfaz 2144 observações.
3.1.2) Ibovespa
De maneira semelhante à série da Ptax-V, a base de dados do Ibovespa
inicia-se em 1º de março de 1999 e se encerra em 28 de setembro de 2007,
perfazendo 2144 observações.
3.1.3) IMA – Índices de Mercado Andima
Diferentemente dos índices acionários, os índices de renda fixa no Brasil
ainda são pouco conhecidos pelos investidores. A tendência de maior disseminação
23
está em curso, motivada, principalmente, pela queda nas taxas de juros e pela
estabilidade macroeconômica, que levam a maior previsibilidade das variáveis.
Tais indicadores apresentam algumas vantagens que mostram por que
optamos por eles em nosso trabalho, a saber:
Transparente: os ativos constituintes e os pesos são claramente definidos;
Replicável: existe a possibilidade de comprar ativos de forma a replicar o(s)
índice(s) desejado(s);
Mensurável: seu retorno é facilmente apurado;
Segmentável: como existem vários índices, podem ser consistente com o
estilo do gestor ou da política de investimentos estipulada;
Abrangente: contemplam a grande maioria os títulos públicos federais
existentes no mercado;
Consistente: títulos novos ou antigos são inseridos ou retirados através de
critérios claros e objetivos; e
Confiáveis: calculados por entidades isentas e de reconhecido mérito no
mercado financeiro.
Criados em 2005 numa parceria entre a Andima e a Secretaria do Tesouro
Nacional, os índices representam uma carteira teórica de títulos públicos em
mercado, segregados por tipo de remuneração conforme tabela abaixo.
Os ativos componentes das carteiras dos IMAs sofrem o processo diário de
Marking to Market. Dessa forma, oscilações nas curvas de juros afetam diretamente,
em maior ou menor grau, a variação dos índices - mesmo aqueles com rentabilidade
definida na emissão. Assim, acreditamos que são excelentes proxies para refletir o
comportamento dos principais fatores de risco do mercado brasileiro de renda fixa.
24
Índice
IRF-M
Composição
LTN e NTN-F
Fatores de
Data de
Data final
Quantidade
Risco
início da
da
de
amostra
amostra
observações
Expectativa
de
02/02/2000 28/09/2007
1910
04/12/2001 28/09/2007
1452
17/09/2003 28/09/2007
1009
04/12/2001 28/09/2007
1452
inflação
+ prêmio +
maturidade
(prazo)
IMA-S
LFT
Prêmio
sobre a taxa
Selic
IMA-B
NTN-B
Expectativa
de
juros
reais e
maturidade
(prazo)
IMA-C
NTN-C
Expectativa
de
juros
reais e
maturidade
(prazo)
Tabela 1 – Indicadores da família IMA e período de estudo
Fonte: Andima - dados trabalhados pelo autor.
É importante mencionar que a família IMA passou a ser divulgada apenas a
partir de abril de 2005, mas que apresenta série retroativa disponível a partir de
dezembro de 2001. O IRF-M apresenta uma série maior, pois foi o primeiro índice
divulgado pela Andima, em fevereiro de 2002, em associação com a BM&F. Como
as NTN-Bs passaram a ser ofertadas pelo Tesouro Nacional somente em 2003, seu
índice pode estar capturando informações somente a partir desse ano.
25
3.2) Retornos Logarítmicos
Como assinalado por Morettin e Toloi (2006), é desejável a utilização de
retornos logarítmicos, pois são livres de escala e podem ser agregados
temporalmente – o retorno logarítmico de um mês é a soma dos retornos
logarítmicos dos dias que o compõem. Em um mês típico da Bovespa, por exemplo,
há 21 dias úteis de pregões, de modo que o log-retorno desse mês é dado por
rt (21) = rt + rt −1 + ........ + rt −20 para todo t.
Como nosso interesse é modelar as perdas e ganhos diários dos ativos
supramencionados, iremos nos valer dos log retornos e, em seguida, multiplicá-los,
por menos 1:
rt = −(ln Pt - ln Pt -1 ) , onde Pt e Pt -1 são os preços dos ativos em dois dias úteis
consecutivos.
3.3) Holding Period
De acordo com as melhores práticas de gerenciamento de risco para ativos
financeiros, iremos adotar 1 dia útil para o holding period no cálculo do VaR e do
Expected Shortfall. A título de ilustração, as câmaras de compensação de
derivativos também estipulam esse mesmo prazo para o cálculo das margens de
garantia que exigem de suas “contrapartes”.
3.4) Janela Móvel
Utilizamos a sistemática mais difundida nas áreas de Risk Management do
mercado brasileiro: janela móvel (em oposição à janela ancorada) com extensão de
252 dias úteis (1 ano).
3.5) Nível de Significância
Seguimos o padrão adotado pelas áreas de gerenciamento de risco de
mercado – o qual, por sua vez, acompanha o proposto pelo Acordo da Basiléia para
as exigências mínimas de capital – isto é, 95% e 99%. Poderíamos estipular outros
26
valores intermediários; todavia, a quantidade de informação prejudicaria a análise
dos resultados.
3.6) Threshold u do POT
Ao trabalharmos com valores extremos é fundamental determinar qual o nível
adequado de “corte” para afirmarmos com segurança qual o nível tido como valor
extremo. Em termos estatísticos formais, é o chamado índice de cauda e
poderíamos estimá-lo através do processo de Hill, porém não há clara definição de
critérios objetivos para qual o nível adequado para o corte (tail index) a ser realizado
no método POT conforme Embrechts et (1997). Ao realizar esse trabalho,
ratificamos a idéia de Souza (1999) na sua dissertação:“métodos automatizados” de
escolha ótima deveriam ser buscados, mas que não substituem por completo o bom
senso e as outras informações descritivas que um bom modelador pode extrair da
amostra e que o ajudam a encontrar ou corroborar um valor ótimo para o número de
estatísticas de ordem utilizadas na estimação.”
No nosso trabalho nos valemos do método utilizado e proposto por
Harmantzis et al. (2006): índice de cauda = 10%* k, ou seja, utilizaremos o 10%
maior valor das perdas históricas para a janela de volatilidade utilizada.
3.7) Backtesting
Nós realizaremos Backtesting para os quatro6 modelos apresentados adiante
no capítulo 5. Assim, a exceção ao VaR acontecerá quando a perda for superior ao
VaR calculado. Conforme mencionado na seção 2.2, as violações sempre serão
positivas. Também faremos uma breve análise sobre a magnitude dos eventuais
“estouros” na modelagem.
Existem várias formas de backtesting, mas nos valeremos do método de
Kupiec para determinar o grau de acurácia de cada modelo. Os detalhes mais
técnicos serão discutidos adiante. O Risk Manager deverá ter bastante cuidado com
6
Capítulo 5, seção 5.2, página 39.
27
o valor teórico estipulado e observado no dia a dia. Caso opte por seguir fielmente o
número de exceções estipulado, correrá o perigo de invalidar o processo inteiro.
28
4) Análise Estatística Tradicional
“No futuro, o pensamento estatístico será tão
necessário para a cidadania eficiente como
saber escrever e ler.”
Herbert George Wells
Nesta seção iremos mostrar o comportamento das variáveis analisadas frente
às medidas tradicionais de Estatística, realizando tratamentos individuais e
mostrando, por fim, o não atendimento à condição de normalidade, através do teste
Jarque-Bera,
cuja
hipótese
nula
afirma
que
os
retornos
encontram-se
estatisticamente distribuídos normalmente. De posse das informações contidas
nesse capítulo e no próximo, começaremos a questionar os modelos tradicionais de
mensuração de risco de mercado.7
4.1) Ibovespa
10,00000%
Distribuição dos Retornos Diários
8,00000%
6,00000%
4,00000%
2,00000%
0,00000%
-2,00000%
-4,00000%
-6,00000%
-8,00000%
-10,00000%
-12,00000%
Gráfico 1 – Evolução dos retornos diários do Ibovespa
Fonte: Bovespa; dados trabalhados pelo autor.
7
Não cabe aqui discutirmos quais as razões estruturais para a ausência de normalidade dos
retornos. Desconsideraremos eventuais problemas de microestrutura no mercado brasileiro de renda
fixa; em particular, questões de liquidez dos componentes dos índices da família IMA não foram
contempladas neste trabalho.
29
Análise visual da série não nos permite identificar nenhum comportamento
destoante da condição de normalidade. Assim, aplicamos o teste de Jarque-Bera
para nos certificarmos de tal. O resultado nos mostra que a hipótese nula de
normalidade deve ser rejeitada, para um nível de significância bastante superior a
99%, dado o p-valor praticamente nulo.
280
Series: IBOVESPA
Sample 1 2144
Observations 2144
240
200
160
120
80
40
0
-0.05
0.00
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
0.001041
0.001245
0.087630
-0.091850
0.018192
-0.092656
4.028356
Jarque-Bera
Probability
97.53930
0.000000
0.05
Gráfico 2 – Histograma dos retornos diários do Ibovespa
4.2) IMA-S
No gráfico 3, observamos concentração de picos e vales no início da série.
Como mencionado, razões de liquidez não serão consideradas nesse trabalho;
todavia, a explicação para tal efeito está baseada nisso. Em adição, tal efeito inicial
leva a série a apresentar um comportamento indesejável de fat tail, por se tratar de
uma proxy dos ativos constituintes de fundo referenciados existentes no mercado
brasileiro.
30
1,50000%
Distribuição de Retornos Diários
1,00000%
0,50000%
04/08/2007
04/06/2007
04/04/2007
04/02/2007
04/12/2006
04/10/2006
04/08/2006
04/06/2006
04/04/2006
04/02/2006
04/12/2005
04/10/2005
04/08/2005
04/06/2005
04/04/2005
04/02/2005
04/12/2004
04/10/2004
04/08/2004
04/06/2004
04/04/2004
04/02/2004
04/12/2003
04/10/2003
04/08/2003
04/06/2003
04/04/2003
04/02/2003
04/12/2002
04/10/2002
04/08/2002
04/06/2002
04/04/2002
04/02/2002
04/12/2001
0,00000%
-0,50000%
-1,00000%
Gráfico 3 – Evolução dos retornos diários do IMA-S
Fonte: Andima, dados trabalhados pelo autor.
Ao realizarmos o teste de normalidade dos retornos de tal ativo (Gráfico 4),
confirmamos o efeito mencionado no parágrafo anterior.
1200
Series: IMAS
Sample 1 1452
Observations 1452
1000
800
600
400
200
0
-0.005
0.000
0.005
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
0.000664
0.000660
0.011270
-0.006960
0.000554
0.201701
150.4588
Jarque-Bera
Probability
1315528.
0.000000
0.010
Gráfico 4 – Histograma dos retornos diários do IMA-S
4.3) IMA-B
A hipótese nula de normalidade dos retornos do IMA-B também é rejeitada
(Gráfico 5), confirmando o que uma análise visual sugere.
31
Distribuição de Retornos Diários
2,00%
1,50%
1,00%
0,50%
17/09/2007
17/07/2007
17/05/2007
17/03/2007
17/01/2007
17/11/2006
17/09/2006
17/07/2006
17/05/2006
17/03/2006
17/01/2006
17/11/2005
17/09/2005
17/07/2005
17/05/2005
17/03/2005
17/01/2005
17/11/2004
17/09/2004
17/07/2004
17/05/2004
17/03/2004
17/01/2004
17/11/2003
-0,50%
17/09/2003
0,00%
-1,00%
-1,50%
-2,00%
-2,50%
-3,00%
Gráfico 5 – Evolução dos retornos diários do IMA-B
Fonte: Andima
Nota: Dados trabalhados pelo autor
800
Series: IMAB
Sample 1 1009
Observations 1009
700
600
500
400
300
200
100
0
-0.02
-0.01
-0.00
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
0.000753
0.000600
0.016700
-0.027100
0.002271
-1.655441
37.79743
Jarque-Bera
Probability
51367.49
0.000000
0.01
Gráfico 6 – Histograma dos retornos diários do IMA-B
4.4) IMA-C
Tal como as demais variáveis analisadas, o IMA-C apresenta fortes
evidências de fat tail, seja pela análise visual das estatísticas descritivas e,
formalmente, por meio da rejeição da hipótese nula a que o teste Jarque-Bera leva.
32
Distribuição de Retornos Diários
3,00%
2,00%
1,00%
04/08/2007
04/06/2007
04/04/2007
04/02/2007
04/12/2006
04/10/2006
04/08/2006
04/06/2006
04/04/2006
04/02/2006
04/12/2005
04/10/2005
04/08/2005
04/06/2005
04/04/2005
04/02/2005
04/12/2004
04/10/2004
04/08/2004
04/06/2004
04/04/2004
04/02/2004
04/12/2003
04/10/2003
04/08/2003
04/06/2003
04/04/2003
04/02/2003
04/12/2002
04/10/2002
04/08/2002
04/06/2002
04/04/2002
04/02/2002
-1,00%
04/12/2001
0,00%
-2,00%
-3,00%
-4,00%
Gráfico 7 – Evolução dos retornos diários do IMA-C
Fonte: Andima; dados trabalhados pelo autor.
1200
Series: IMAC
Sample 1 1452
Observations 1452
1000
800
600
400
200
0
-0.025
0.000
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
0.000869
0.000700
0.026400
-0.035900
0.001937
-2.427285
121.0027
Jarque-Bera
Probability
843866.0
0.000000
0.025
Gráfico 8 – Histograma dos retornos diários do IMA-C
4.5) IRF-M
Análise visual dos retornos dos títulos governamentais prefixados (Gráfico 9)
nada permite inferir sobre normalidade, mas o teste Jarque-Bera (Gráfico 10) leva à
rejeição dessa hipótese.
33
1,00%
Retornos Diários
0,50%
02/08/2007
02/05/2007
02/02/2007
02/11/2006
02/08/2006
02/05/2006
02/02/2006
02/11/2005
02/08/2005
02/05/2005
02/02/2005
02/11/2004
02/08/2004
02/05/2004
02/02/2004
02/11/2003
02/08/2003
02/05/2003
02/02/2003
02/11/2002
02/08/2002
02/05/2002
02/02/2002
02/11/2001
02/08/2001
02/05/2001
02/02/2001
02/11/2000
02/08/2000
02/05/2000
02/02/2000
0,00%
-0,50%
-1,00%
-1,50%
Gráfico 9 – Evolução dos retornos diários do IRF-M
Fonte: Andima; dados trabalhados pelo autor.
700
Series: IRFM
Sample 1 1910
Observations 1910
600
500
400
300
200
100
0
-0.010
-0.005
0.000
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
0.000704
0.000700
0.008200
-0.011300
0.001158
-1.662072
21.65724
Jarque-Bera
Probability
28581.76
0.000000
0.005
Gráfico 10 – Histograma dos retornos diários do IRF-M
4.6) Ptax-V
A partir da análise visual do Gráfico 11, identificamos acentuados pontos de
picos e vales – sugerindo alta curtose – mas o comportamento de simetria não fica
muito claro. Mais uma vez, contudo, o teste de Jarque-Bera leva à rejeição formal da
hipótese nula de normalidade (Gráfico 12), em razão da alta curtose visualmente
identificada, já que a assimetria é praticamente nula.
34
8.00000%
Distribuição de Retornos Diários
6.00000%
4.00000%
2.00000%
1/9/2007
1/6/2007
1/3/2007
1/9/2006
1/12/2006
1/6/2006
1/3/2006
1/9/2005
1/12/2005
1/6/2005
1/3/2005
1/9/2004
1/12/2004
1/6/2004
1/3/2004
1/9/2003
1/12/2003
1/6/2003
1/3/2003
1/9/2002
1/12/2002
1/6/2002
1/3/2002
1/9/2001
1/12/2001
1/6/2001
1/3/2001
1/9/2000
1/12/2000
1/6/2000
1/3/2000
1/9/1999
1/12/1999
1/6/1999
-2.00000%
1/3/1999
0.00000%
-4.00000%
-6.00000%
-8.00000%
-10.00000%
Gráfico 11 – Evolução dos retornos diários da Ptax-V
Fonte: Bacen; dados trabalhados pelo autor
600
Series: PTAX
Sample 1 2144
Observations 2144
500
400
300
200
100
0
-0.05
0.00
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-8.91e-06
-0.000240
0.053930
-0.089350
0.009366
-0.112156
11.34515
Jarque-Bera
Probability
6225.809
0.000000
0.05
Gráfico 12 – Histograma dos retornos diários da Ptax-V
4.7) Identificação de Heavy Fat Tail
Existem técnicas econométricas para identificação da presença de fat tails,
como pode ser visto em detalhes em Rachev (2003), mas a análise gráfica de
quão distante da distribuição teórica a distribuição real se situa é de grande valia,
como acentua Da Silva (2006). Quanto mais próximo a uma reta de 45º a
distribuição dos retornos estiver, menor será o efeito de fat tails.
35
Theoretical Quantile-Quantile
Theoretical Quantile-Quantile
8
6
4
Normal Quantile
Normal Quantile
4
2
0
-2
0
-4
-8
-4
-6
-.10
-.05
.00
.05
.10
IBOVESPA
-12
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
PTAX
Gráficos 13 e 14 – Distribuições Teóricas Normais do Ibovespa e da Ptax-V
Apesar de ambas as séries apresentarem o mesmo número de observações e
não apresentarem problemas de liquidez, a distribuição de retornos do Ibovespa
tem caudas mais leves, em comparação com a distribuição de retornos da Ptax-V.
De um modo geral, nas proxies de renda fixa, o comportamento de fat-tails é
bastante acentuado. Uma explicação plausível para tal reside na liquidez dos
papéis que compõem cada índice. A título de curiosidade, os pontos mais
extremados da série de IMA-C, tanto o negativo (nosso interesse) como o positivo,
foram registrados em dias que não houve negociação de NTN-C no mercado
secundário de dívida. Isso sugere que em pesquisas futuras se incorpore um fator
de liquidez dos ativos analisados.
36
Theoretical Quantile-Quantile
Theoretical Quantile-Quantile
8
6
4
4
Normal Quantile
Normal Quantile
2
0
-2
-4
0
-4
-8
-6
-8
-.015
-.010
-.005
.000
.005
-12
-.03
.010
-.02
-.01
.00
.01
.02
IMAB
IRFM
Gráficos 15 e 16 – Distribuições Teóricas Normais do IRF-M e do IMA-B
Theoretical Quantile-Quantile
20
10
15
Normal Quantile
Normal Quantile
Theoretical Quantile-Quantile
15
5
0
-5
-10
10
5
0
-5
-10
-15
-.04 -.03 -.02 -.01
.00
IMAC
.01
.02
.03
-15
-.008
-.004
.000
.004
.008
IMAS
Gráficos 17 e 18 – Distribuições Teóricas Normais do IMA-C e do IMA-S
.012
37
5) Definições e Modelos
“É inútil dizer ao rio que ele pare de correr; a
melhor coisa a fazer é aprender a nadar na
direção da correnteza.”
Berthold Brecht
Neste capítulo apresentamos as principais definições e modelos testados. A
literatura é extensa e difundida, tanto no âmbito local quanto no internacional,
razão pela qual não tivemos preocupação entrar em detalhes de cada modelo, com
exceção do chamado stable model, em razão da inexistência de pesquisas
brasileiras sobre ele.
5.1) Definições
5.1.1) Value at Risk
Segundo Rachev e Mittinik (2000), o VaR é a máxima perda possível num
certo período de tempo, dado um certo intervalo de confiança. Formalmente, o VaR
é definido com o limite superior de um intervalo de confiança mono caudal
[
]
P ∆P(τ ) < - VaR = 1 - α
Onde: α é o intervalo de confiança e ∆P(τ ) = ∆Pt (τ ) é a mudança relativa
(retorno) no valor do portfólio num dado horizonte de tempo τ .
∆Pt (τ ) = P(t + τ ) - P(t)
Onde:
P(t + τ ) = log S (t + τ ) é o logarítmo do valor à vista S em t + τ , P(t) = log S(t),
S(t) é o valor do portfólio em t, o período de tempo é dado por [t, T ] com T-t =
τ
et
t é o tempo presente.
O horizonte de tempo ou holding period deve ser determinado pela liquidez do
ativo e pelo volume de negócios. O intervalo de confiança deve ser escolhido a
ponto de raramente ser excedido. As medidas de risco cada vez mais são utilizadas
pelas instituições financeiras, reguladores, acadêmicos, investidores institucionais e
38
empresas não-financeiras. O maior mérito de tal medida é conseguir resumir, em um
único número, a perda a que determinado agente está exposto.
Existem várias críticas à utilização do VaR. Uma das mais severas refere-se à
ausência de coerência como medida de risco - embora em alguns casos isso se
verifique (em distribuições elípticas, por exemplo). Acerbi et al (2001) e Artzner et
Al.(1997) caracterizam quais as condições necessárias para que uma medida seja
coerente. Sejam X, Y, ρ(X) ρ(Y), respectivamente, as perdas e medidas de risco de
dois ativos X e Y. Para ser considerada coerente, uma medida de risco deve atender
a quatro propriedades, a saber:
1) Sub-aditividade : ρ ( X + Y ) ≤ ρ ( X ) + ρ (Y)
A medida de risco da carteira deve ser igual ou inferior à soma das medidas
individuais. Percebe-se que a sub-aditividade reflete a idéia de diversificação: na
formação de carteiras, não há criação de risco adicional.
2) Monotonicidade : se X ≤ Y para cada cenário, então ρ ( X ) ≤ ρ (Y) .
3) Homogeneidade positiva : para todo λ ≥ 0 tem-se que ρ (λX ) = λρ (X) .
4) Invariância de translação : para toda constante c, tem-se que
ρ (c + X ) = ρ (X) + c .
Muitos trabalhos demonstram que o VaR viola o princípio da sub-aditividade penalizando a diversificação, ao invés de premiar. Outra crítica ao VaR se relaciona
com o fato de ele nada informar sobre o nível das perdas que podem acontecer
quando o intervalo de confiança estabelecido é excedido. O ES - Expected Shortfall
surgiu para tentar sanar tais deficiências, como veremos na seção seguinte.
5.1.2) Expected Shortfall
39
Expected Shortfall é definido em termos de esperança condicional, isto é,
dado que o VaR foi excedido, pergunta-se qual a perda possível.8 Arcebi et al (2001)
demonstram formalmente que o ES atende às propriedades de coerência de risco
acima relacionadas, no que é seguido por Fabozzi et al (2005), que adicionalmente
mostra que ele representa uma forma conveniente de apresentação de estudos de
otimização de carteiras.9
Recorremos a Föellmer et al (2002) para uma definição formal:
ESα (X) = - in f {E[X/A] : P(A) > α }
Seja X uma distribuição contínua. Então, especificamente para esse caso,
temos que o ES no α − quartil de X é:
ESα (X) = - E[X | X ≤ Q α (X) ]
5.2) Modelos
Foram quatro os modelos que estudamos: 1) abordagem empírica ou histórica.
2) abordagem gaussiana; 3) abordagem de valores extremos; e 4) abordagem
paretiana estável (stable Paretian).
5.2.1) Abordagem Empírica ou Histórica
Seja Fn um processo empírico de perdas observadas X 1 , X 2 ,..., X n , dado por:
Fn (t ) =
1 n
∑ I ( X i ≤ t) ,
n i =1
onde: I() é a função indicativa e
X i é uma variável independente e
identicamente distribuída (i.i.d) com distribuição não conhecida F.
Por procedimentos estatísticos usuais, segundo Van Der Vaart (1998), o
α − quartil F −1 (α ) pode ser estimado por:
8
O ES também é conhecido como ETL – Expected Tail Loss e CvaR – Conditional Value-at-Risk. Ver
Fabozzi et al (2005).
9
Alguns autores são “entusiastas” do ES. Embrechts et al (1997), por exemplo, chegam a afirmar que
“ETL – Expected tail loss gives an indication of extreme losses, should they occur. Although it has not
become a standard in the financial industry, ETL is likely to play a major role, as it currently does in
the insurance industry”.
40
 i -1 i 
−1
,
Fn (α ) = X n (i ) , α ∈ 
,
 n n 
onde X n (1) ≤ X n ( 2 ) ≤ X n ( 3) ... ≤ X n ( n ) são estatísticas de ordem.
Assim, o VaR para o método histórico ou empírico obedece à equação acima.
O ES histórico ou empírico pode ser estimado como:
 n

 ∑ X n(i) 


i =[nα ]

ES = E ( X / X > VaR) = 
(n − [nα ])
5.2.2) Abordagem Gaussiana
(
)
Seja uma amostra X i , i = 1,2,..., n, i.i.d, regida por N µ , σ 2 com µ e σ 2 não
conhecidos. Geralmente se supõe que µ é igual a zero.
Então temos que o VaR com certo nível de confiança igual α é dado por zα σ ,
onde zα é tal que P( Z > zα ) = α , com Z ≈ N(0,1) . Então o problema se reduz a
estimar σ :
σn =
2
1 n
1 n
2
com
(
X
−
M
)
M
=
∑ i
∑ Xi .
n - 1 i =1
n i =1
Já o ES gaussiano é dado por:
ES = E ( X / X > VaR) = E ( X / X > zασ ) = σ t E ( X / σ t | Xσ t > Zα ) ,
onde Zα é igual a uma função φ −1 (α ) que representa o α − quartil da
distribuição normal padrão e φ é a distribuição acumulada da função normal
padronizada.
Define-se também um threshold u dado por:
E ( Z | Z > u ) = ϕ (u ) /(1 − φ (u )) ,
em que ϕ é a distribuição normal padronizada.
5.2.3) Abordagem de Valores Extremos
Embrechts et al. (2003) registram duas possibilidades para a identificação de
valores extremos em distribuições, a saber:
41
a) Método dos máximo de blocos (BM - Block Maxima)
b) Picos acima do threshold (POT- Peaks over Threshold)
Neste trabalho pressupomos que as variáveis em estudo seguem a distribuição
paretiana generalizada (DPG), a qual depende de dois parâmetros, a saber:
1
− 


H ε ,σ ( x) = 1 − (1 + εx / σ ) ε  para ε ≠ 0


H ε ,σ ( x) = {1 − exp(− x / σ )} para ε = 0
O parâmetro ε é conhecido como o parâmetro de forma ou índice de cauda da
DPG e H ε ,σ define o tipo de distribuição, principalmente a família de distribuições
possíveis de acordo com os parâmetros de localização e de escala. A distribuição de
valores extremos acima é generalizada no sentido de que a forma da função assume
três tipos possíveis em função do parâmetro ξ .
O VaR e o ES para a distribuição paretiana generalizada são assim
apresentados:
σ  n
VaR p = u +  
ξ   Nu

ES p = VaR p +

p 

−ξ

− 1


σ + ξ (VaR − µ ) VaR σ − ξµ
=
+
1−ξ
1−ξ
1−ξ
Onde:
p é o intervalo de confiança;
σ é o parâmetro de escala;
u é o threshold; e
ξ é o parâmetro de forma ou índice de cauda.10
10
Outros aspectos da teoria de valores extremos - por exemplo, Teorema Fisher-Tippett, Teorema de
Picklands-Balkema, Teorema de Haan - podem ser vistos em Embrechts et al (2003).
42
5.2.4) Abordagem Paretiana Estável
O conceito de distribuição estável remonta a Pierre Lévy na década de 20 do
século passado. Utilizaremos a conceitualização apresentada em Fabozzi (2005);
Rachev e Mittnik (2000) também se constituem em excelente fonte. Adler et al
(1998) apresentam aspectos introdutórios porém fundamentais para a compreensão
de distribuições estáveis. John Nolan – em Nolan (2004) e em outros trabalhos - tem
contribuído sensivelmente para a difusão do conhecimento sobre essa área e
aplicações ao mundo financeiro. Idéias sobre simulações podem ser encontradas
em Janicki and Weron (1994).
Fabozzi et al (2005) mencionam que existem inúmeras distribuições nãonormais que podem ser utilizadas para modelar valores extremos, mas que somente
as distribuições estáveis apresentam propriedades matemáticas adequadas - seja
sob a óptica de trading, de otimização ou de gerenciamento de risco de mercado.
Temos uma distribuição bastante adequada para a modelagem financeira e que não
segue uma distribuição normal. Além disso, em meados do século passado, Benoit
Mandlebrot (1963) já havia estudado que as propriedades de estabilidade são
altamente desejáveis para os retornos dos ativos.
Como assinalam Khindanova and Rachev (2000), a preocupação inicial para
estimar os parâmetros de estabilidade e, por conseguinte, sua aplicabilidade para as
medidas de risco, VaR e ES, reside na dificuldade de existirem poucas observações
para estimar o índice de cauda (tail index). Assim, também supusemos que os
retornos das séries dos ativos financeiros seguem a lei da estabilidade. Da mesma
forma que os autores anteriores, derivamos medidas estáveis e analisamos suas
propriedades tendo como benchmark as medidas gaussianas de risco.
A estimação dos parâmetros foi realizada através método de máxima
verossimilhança, seguindo Embrechts et al (2003).11 Tendo em vista as dificuldades
inerentes ao fato de as distribuições paretianas não apresentarem “formas
11
Poderíamos ter optado por métodos alternativos, por exemplo, Transformação de Fourier ou
Transformação de Cauda de Fourier. Entretanto, a formalização do método adotado, bem como uma
análise mais detalhada dos demais também foge do escopo desse trabalho e podem ser encontradas
em Rachev (2003). Mais recentemente, Garcia et al (2006) mostram como estimar os parâmetros de
distribuiçoes estáveis por meio de métodos indiretos, utilizando distribuições t assimétricas.
43
fechadas”, esses autores demonstram que, mesmo utilizando simulação de Monte
Carlo, esse método de estimação se mostra robusto.
Seguindo a lei de estabilidade, cujas definições e formalizações encontram-se
em Rachev e Mittnik (2000) já citados anteriormente, o somatório de distribuições
idênticas e independentes segue uma distribuição conjunta com diferentes
parâmetros. Tal distribuição é caracterizada por quatro parâmetros:
Índice de estabilidade ou expoente característico: ( α ∈ (0;2] )
Parâmetro de escala (ou de dispersão): ( σ ≥ 0 )
Parâmetro de assimetria: ( β ∈ [1,1] )
Parâmetro de localização: ( µ ∈ ℜ )
Visto que tanto a função densidade quanto a função distribuição não possuem
formas fechadas conhecidas, as distribuições estáveis são especificadas pelas suas
funções características.
A variável aleatória
X
segue a uma distribuição estável com função
distribuição F se, e somente se, sua função característica apresentam as seguintes
expressões:
  α α
∏α
exp− σ | t | [1 − iβ sin al (t ) tan 2 ] + iµt , se α ≠ 1
 
F ( x) = 
exp− σ | t | [1 + iβ 2 sin al (t ) ln | t | ] + iµt , se α = 1
 
∏
A distribuição normal é denotada por X~N ( µ ,σ 2 ); já a distribuição estável pode
ser escrita da seguinte forma: X ~ Sα (σ , β , µ ) . Quando o β da distribuição estável é
zero, a distribuição será simétrica ao redor de µ . Verificamos a presença de
skewness quando o valor do parâmetro β for diferente de zero. Tal parâmetro oscila
entre -1 e +1. Quando é positivo, temos assimetria à direita; quando negativo, à
esquerda. Uma outra forma de analisarmos é verificarmos que o parâmetro µ indica
a posição da distribuição (direita ou esquerda) enquanto que o σ mostra se há
44
expansão ou contração ao redor de µ . Quando o parâmetro α é menor que 2, os
eventos extremos acontecem de maneira mais freqüente que na distribuição normal,
para a qual tal parâmetro é igual a 2.
Podemos assim assumir que a distribuição estável padrão é: X ~ Sα (1, β ,0) .
A partir da distribuição de retornos diários das variáveis, o VaR estável e o ES
estável são apurados a partir de diferentes intervalos de confiança utilizando o
método histórico descrito no tópico 2 dessa seção. Não há fórmulas analíticas para
tais cálculos.
5.3) Justificativa
De posse dos resultados encontrados no capítulo 3 e o início do mesmo, é
importante ressaltar que existem inúmeras críticas às modelagens tradicionais de
VaR ou ES. Nossa preocupação, contudo, está focada naquilo que observaram
Rachev e Mittinik (2000): “empirical observations on returns of financial instruments
do not exhibit the normal distribution and, thus, the tradicional VaR technique does
not fit well data with heavy tails”. Nos gráficos abaixo, podemos observar o efeito do
heavy ou fat tail nas proxies utilizadas.
Em todas as variáveis analisadas, o comportamento de não normalidade é
verificado. Algumas apresentam o comportamento de peso de cauda mais
pronunciado, justificado pelo elevado valor de curtose (o IMA-C e o IMA-S, por
exemplo). Por outro lado, alguns apresentam o coeficiente de assimetria elevado e
negativo (o IRF-M e IMA-B). A combinação desses dois efeitos deve ser uma
preocupação de qualquer profissional responsável por administração de risco.
Nos gráficos que se seguem podemos observar o comportamento de fat tail
para as principais proxies de fatores de risco para os ativos financeiros brasileiros.12
12
Para elaboração desses gráficos, utilizamos a modelagem encontrada em Zivot e Wang (2006) e
utilizamos os softwares S-Plus e R-Project.
0.04
0.01
0.01
0.02
0.03
Mean Excess
0.03
0.02
Mean Excess
0.04
0.05
0.05
45
-0.04
-0.02
0.0
0.02
0.04
-0.04
-0.02
0.0
Threshold
0.02
0.04
Threshold
1.0
Mean Excess
0.2
0.5
0.4
Mean Excess
0.6
1.5
Gráficos 19 e 20 – distribuição de retornos negativos do Ibovespa e Ptax-V
-0.5
0.0
-1.5
0.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Threshold
Threshold
0.8
0.6
Mean Excess
0.2
0.4
1.5
1.0
0.0
0.0
0.5
Mean Excess
2.0
1.0
2.5
Gráficos 21 e 22 – distribuição de retornos negativos do IRF-M e do IMA-B
-2
-1
Threshold
0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
Threshold
Gráficos 23 e 24 – distribuição de retornos negativos do IMA-C e do IMA-S
Segundo Zivot e Wang (2006), um boa forma de identificarmos o
comportamento de Fat-Tail é plotar os retornos negativos das séries e aquelas que
apresentam inclinação positiva, confirmam o comportamento bastante acentuado de
cauda. Poderíamos ainda tentar estimar qual o threshold adequado para cada
variável estudada, desde bom senso e análise criteriosa do pesquisador até
métodos de bootstrap ou abordagem de Hill, conforme podemos verificar em Mc
46
Neil, Frey e Embrechts (2005); todavia, como já citado anteriormente, foge ao
escopo do nosso trabalho.
Dessa forma, podemos concluir que os modelos tradicionais de modelagem
de risco podem ser prejudicados pela distribuição dos retornos dos ativos. A opção
por modelos baseados em condições de normalidade deve-se à sua facilidade de
implementação e à presença da leis dos grandes números, conforme destacam
Rachev and Mittniki (2000).
47
6) Resultados Empíricos
“Só se pode confiar num palpite que
possa ser explicado.”
7º grande axioma de Zurique, Max
Gunther
Como sabemos, após a elaboração de modelos de risco faz-se mister a
realização de backtesting para se saber a eficácia do modelo construído. Existem
inúmeros métodos quantitativos e qualitativos para realizar o backtesting, dos quais
o mais amplamente utilizado é o e sugerido por Kupiec (1995) que tem como
premissa o teste da freqüência binomial que exceda o valor estipulado pela
modelagem. Assim, ao estimarmos o VaR para certo intervalo de confiança α ,
espera-se que o número de violações ao modelo seja 1- α .
6.1) Teste de Hipótese
O teste de hipótese utilizado baseou-se no número de exceções comparado
com a precisão dos modelos construídos anteriormente.
Sendo α o intervalo de confiança para o cálculo do VaR. Iremos testar a
hipótese nula da equação abaixo para um holding period igual a 1 dia:
P[∆Pt < −VaRt ] = 1 − α
Onde:
∆Pt é a mudança relativa do valor do portfólio, isto é, a rentabilidade diária
nas nossas variáveis analisadas;
VaRt é a medida calculada para um holding period t igual a 1;
t ∈ [1, T ] donde T é o intervalo de tempo a ser analisado para cada modelo
das diferentes variáveis;
48
O modelo será considerado eficaz quando o número de violações estiver
próximo de relação 1- α .
Seja bt a função indicativa 1 {Rt < −VaRt },1 ≤ t ≤ T , a qual assume os valores
bt 1{Rt < −VaRt } = 1 , se probabilidade = 1- α
bt 1{Rt < −VaRt } = 0 , se probabilidade = α .
Seja E ( Rt < −VaRt ) o número de exceções ou violações nos modelos
apresentados nos respectivos períodos de análise para as diferentes séries
T
apresentadas. Segue-se então que a variável E, igual a
∑b
t =1
t
, segue a distribuição
binomial.
Assim, a regra do teste será a rejeição da hipótese nula dado um nível de
significância α :
T 
α
 (1 − α ) t α T −t ≤
ou
∑
2
t =0  t 
E
T 
α
(1 − α ) t α T −t ≥ 1 −
2
t =0  
E
∑  t
Como menciona Rachev (2000), para elevados valores de T e níveis de
confiança suficientemente altos, a distribuição binomial pode ser aproximada por
uma distribuição normal. Fizemos essa pressuposição, pois todas as amostras
apresentam T superior a 1000 observações, e, portanto, a hipótese nula será
rejeitada para certo nível de confiança α se:
E < T (1 − α ) − Z
1−
α
T (1 − α )α ou E > T (1 − α ) + Z
2
1−
α
T (1 − α )α ,
2
onde Z p é percentil da distribuição normal padronizada.
Apresentamos na Tabela 2, a seguir, os limites admissíveis de exceções para
o cálculo do VaR para as diferentes variáveis.
49
Apresentamos na primeira tabela abaixo os limites de valores admissíveis de
tolerância para o cálculo do VaR para as diferentes variáveis.
Tabela 2 – Valores admissíveis de tolerância para VaR.
Já na próxima tabela, a título de curiosidade, mostramos qual o nível de
tolerância dado cada intervalo de confiança.
Tabela 3 – Limites de tolerância para o VaR.
De maneira similar ao realizado para o VaR, o ES também deverá sofrer o
processo de validação. Todavia, o teste de validação do ES lida com a discrepância
existente entre a perda realizada e o ES estimado, dado que o VaR estourou. Como
pontuam bem Embrechts et al (2005), tais discrepâncias poderão ser positivas,
negativas ou zero, mas geralmente se supõe que elas sejam independentes e
identicamente distribuídas, com valor esperado igual a zero – o que fizemos.
De posse de tal arcabouço conceitual, passaremos aos resultados
encontrados para os diferentes modelos e variáveis estudadas.
6.2) Análise dos Resultados
6.2.1) Análise do VaR
As quantidades de exceções para cada série e modelo encontram-se nas
Tabelas 4 (nível de confiança de 95%) e 5 (nível de confiança de 99%), abaixo.
50
Tabela 4 – Exceções esperadas versus exceções observadas para nível de confiança igual
a 95%.
Tabela 5 – Exceções esperadas versus exceções observadas para nível de confiança igual
a 99%.
6.2.1.1) Ibovespa
Para os modelos apresentados, independente do nível de significância,
podemos verificar que os números de exceções observadas encontram-se entre os
limites inferior e superior do nível tolerável.
6.2.1.2) IMA-S
Pela própria natureza dos ativos subjacentes ao índice, a experiência
profissional prévia desse autor permite inferir que a abordagem de valores extremos
será descartada e, possivelmente, a histórica e gaussiana apresentarão resultados
adequados. De posse dos valores retirados do S-Plus a evidência materializa-se,
todavia, para intervalo de confiança igual a 95%, a abordagem gaussiana
superestima o VaR conferindo uma falsa sensação de tranqüilidade no
gerenciamento do risco. Já a abordagem de valores extremos mostrou-se
inadequada para os níveis de confiança estabelecidos, pois as exceções observadas
ficaram fora os limites de exceções esperadas, subestimando significativamente o
VaR. Já a abordagem estável subestima o VaR, uma vez que o número de exceções
51
observadas mostrou-se superior ao limite superior de aceitação. Já para o nível de
99%, o único modelo descartado é o de valores extremos.
6.2.1.3) IMA-B
Para tal ativo observamos que as abordagens histórica e estável
apresentaram-se bastante adequadas, independentes do nível de confiança
utilizado. Já o modelo gaussiano, para o nível de 95%, o número de exceções
observadas foi inferior ao número de exceções esperadas, levando assim uma
superestimativa do VaR; para um nível de 99%, o modelo apresentou-se dentro da
faixa de aceitação. Interessante observar que o modelo de valores extremos não é
adequado para o nível de significância mais elevado, uma vez que o número de
exceções observadas é superior ao seu limite superior, conferindo assim um VaR
subestimado.
6.2.1.4) IMA-C
Para nível de significância de 99%, qualquer modelo analisado o número de
exceções observadas situa-se dentro dos limites aceitáveis. Em contrapartida, para
nível de 95%, somente para o modelo histórico podemos afirmar o mesmo. Já os
demais modelos superestimam o VaR.
6.2.1.5) IRF-M
Fenômeno semelhante ao ocorrido para o ativo anterior, para um intervalo de
confiança de 95%, os modelos gaussiano, valores extremos (POT) e estável
superestimam o VaR. Exceção somente o modelo histórico. Já os modelos de
valores extremos e estável enquadram-se nos limites toleráveis para intervalo de
confiança igual a 99%, já os modelos histórico e gaussiano subestimaram o VaR.
6.2.1.6) Ptax-V
Pelo ativo ser uma excelente proxy, na realidade, ser um ativo financeiro com
bastante liquidez e pela série ser bastante longa, a tradicional lei dos grandes
52
números pode ser bem sentida aqui, sobretudo para nível de confiança mais
elevado, pois todos os modelos estão dentro da faixa aceitável de tolerância. Já para
o nível de 95%, o VaR gaussiano mostrou ser ineficaz, visto que está
superestimando o VaR, o que é bastante sério para um ativo vital dentro dos
portfólios das instituições financeiras nacionais.
6.2.2) Análise do ES
Os resultados do backtesting do ES encontram-se na Tabelas 613:
Tabela 6 – P-valores para os modelos apresentados.
Para o Ibovespa somente a modelagem de valores extremos mostrou=-se
adequada para nível de significância igual a 95%, as demais modelagens
mostraram-se adequadas, independente do intervalo de confiança.
Nenhuma abordagem apresentada se mostrou eficaz para apurar o risco de
mercado do O IMA-S, independente do nível de confiança. Isso é explicado pela
própria natureza dos ativos subjacentes ao indicador, bem como a observação inicial
dessa seção.
Já para a proxy dos títulos indexados a IPCA, nenhuma modelagem mostrouse adequada, independente do intervalo de confiança utilizado. Todos os modelos
super estimam as medidas de risco, exceto a abordagem dos valores extremos para
o intervalo de confiança igual a 99% subestima o ES, mas também não eficaz. Já os
modelos utilizados para mensurar o risco do IMA-C não são adequados. A
problemática é a mesma.
13
O backtesting do ES exige quantidade de observações bastante superior à do VaR, de modo que a
potência do teste aqui utilizado pode estar prejudicada. Assim, para um trabalho posterior, sugere-se
utilizar um período mais longo.
53
O que observamos em todos os casos, a modelagem de valores extremos
utilizando proxies para o mercado financeiro brasileiro não é uma tarefa bastante
simples, pelo contrário. Para um futuro trabalho poderíamos tentar compreender as
razões para tal. É tão verdade essa afirmação que, esse autor, apresenta
experiência razoável em gerenciamento de risco mercado e dificilmente encontra,
seja em fundações, fundos de investimentos ou tesourarias, a utilização razoável de
ES. Se o propósito do trabalho for determinar o modelo mais adequado às proxies
dos ativos financeiros brasileiros, o modelo histórico mostrou-se mais adequado
seguido pelo método gaussiano. Todavia, as sugestões aqui contidas visam ampliar
o escopo da discussão e não fornecer esse julgamento rápido e direto.
54
7) Conclusões
“Se você não mudar a direção,
terminará aonde exatamente partiu”
Provérbio Chinês
Como sabemos as medidas de VaR, em maior número, e ES, em menor
número, são amplamente utilizadas para tentar quantificar o risco de mercado. É
importante portanto sabermos quais as fraquezas e a força em cada modelagem
utilizada para a construção das medidas de risco citadas anteriormente. Sabemos
que os métodos tradicionais para a sua apuração, sejam eles simulação de Monte
Carlo, abordagem histórica, métodos delta, delta-gamma ou cenários de estresse,
não conseguem nos fornecer uma satisfatória avaliação das perdas potenciais.
Somente a título de curiosidade, os dois últimos podem apresentar problemas de
especificação e subjetividade de parâmetros.
O nosso principal objetivo foi mostrar abordagens diferenciadas para a
estimativa do VaR e do ES para proxies de ativos financeiros brasileiros. Algumas
conclusões interessantes já foram apresentadas: primeira, distribuições estáveis
produzem geralmente estimativas de VaR e ES mais adequadas num nível de
confiança igual a 99% para proxies de IGP-M, IPC-A, LFT e Ibovespa, fato que pode
ser desejável aos agentes reguladores, fundos de pensão ou instituições mais
conservadoras no gerenciamento de risco de mercado de suas carteiras centradas
em índices de preços. Segunda, a abordagem gaussiana é aceitável para um nível
de confiança igual a 99% para o cálculo do VaR, exceto para os ativos pré-ficados
para 99% de nível de significância.; já para um nível menor, 95%, somente ativos
bem líquidos, representados pelo Ibovespa, são adequados. Terceira, a utilização de
ES funciona bem para o Ibovespa com nível de 95% de confiança.
Acreditamos que muito deva se caminhar nessa área, uma vez que a
abordagem tradicional (gaussiana) para apurar o risco de mercado tem sido
bastante questionada, sobretudo em épocas de intensa volatilidade nos mercados
mundiais, sejam eles motivados por aversão ao risco em crise de crédito ou por
liquidez mundial excessiva, levando assim ao rompimento da normalidade dos
55
retornos dos ativos financeiros. Sugerimos que sejam testadas distribuições estáveis
aplicadas para diferentes produtos financeiros, por exemplo, para opções, forward
de moedas estrangeiras, swaps entre outros.
Após isso, quem sabe, realizar
estudos para diferentes categorias de carteiras, privilegiando àquelas que
contemplem riscos não-lineares, por exemplo, fundos multimercados ou até mesmo
renda fixa com alavancagem. Uma outra fronteira a ser explorada também será a
incorporação de liquidez nessa modelagem. Ao colocar esse aspecto, talvez as
modelagens para proxies de renda fixa apresentem ser mais robustas.
Então há muito a ser desenvolvido, testado e aplicado para a abordagem
paretiana estável nos ativos financeiros brasileiros, todavia, não há outra maneira;
ou seja, identificarmos as falhas nos procedimentos vigentes, debatermos e
propormos alternativas. E, ainda assim, corremos o risco de invalidarmos o processo
por problema de natureza exógena às metodologias, por exemplo, adequabilidade
de sistemas. Somente assim o homem continuará permanentemente a sair da
caverna e, conseqüentemente, a evoluir, deixando o mundo platônico na lembrança!
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