Revista Eletrônica de Educação de Alagoas
Volume 01. Nº 01. 1º Semestre de 2013
O TRABALHO DOCENTE MEDIADO PELAS ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS MATEMÁTICOS DAS CRIANÇAS
Rosemeire Roberta de LIMA1
Juliane dos Santos MEDEIROS2
Resumo
O presente artigo objetiva investigar as estratégias de resolução de problemas de divisão
partitiva que crianças do 4º ano do ensino fundamental registram em suas atividades
escolares. A coleta dos dados teve origem da aplicação de situações-problema em uma escola
pública de Maceió, caracterizando abordagem qualitativa, na modalidade Estudo de Caso.
Como aporte teórico utilizou-se a categoria campo multiplicativo de Vergnaud e da resolução
de problemas. Os resultados apontam que as crianças embora sejam criativas nas soluções de
seus problemas, predominam em suas respostas procedimentos canônicos que muitas vezes
revelam que elas não compreendem as ideias da divisão, demonstrando não ter estudando o
conteúdo ou não ter vivenciado práticas pedagógicas que promovem a construção de conceito,
proporcionando aprendizagem.
Palavras-chave: Divisão; Estratégias de solução; Prática Docente
Introdução
Optou-se trabalhar sobre resolução de problemas matemáticos devido a grande
importância deste tema para o ensino da matemática. Além disso, percebe-se uma grande
deficiência do trabalho em sala de aula por meio de problemas matemáticos na perspectiva da
construção de conceitos. E ainda, porque a temática é abordada nas avaliações oficiais do
MEC como o Sistema de Avaliação da Educação Básica e a Provinha Brasil, que é aplicada
nos 5º e 9º anos do ensino fundamental.
Faz-se referência a formação de professores que ensinam matemática nos anos iniciais
do Ensino fundamental na perspectiva de serem profissionais com domínio nos conceitos da
área em estudo e, sobretudo, por serem capazes de desenvolver metodologias em que
favoreçam a evolução da aprendizagem dos estudantes, partindo de uma função de mediação
como elemento essencial para a organização do planejamento de sala de aula com possíveis
intervenções que promovam o desequilíbrio e pensar ativo dos agentes da aprendizagem –
1
Rosimeire Roberta de Lima - Pedagoga, Mestra em Ensino de Ciências e Matemática (PPGCIM UFAL) atua como Técnica de Assuntos Educacionais – UFAL. E-mail: [email protected]
2
Juliane dos Santos Medeiros- Bióloga, Mestra em Educação Brasileira (PPGE - UFAL) atua como
professora de Ciências e Matemática do Ensino Fundamental da Rede Pública de ensino de Alagoas.
E-mail: [email protected]
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alunos e docentes.
O trabalho com a divisão foi escolhido por caracterizar um conteúdo em que tanto
aluno quanto professor demonstra apresentar dificuldades nos procedimentos de solução,
revelando desconhecimento ou incompreensão nos conceitos das ideias do referido assunto. A
divisão e a multiplicação fazem parte da estrutura multiplicativa. Nesse sentido, fez-se uso da
categoria abordada por Vergnaud quando coloca que a estrutura multiplicativa é “um
aglomerado de situações e um aglomerado de conceitos em que tanto se relacionam com as
estruturas aditivas, mas elas também têm a sua própria organização intrínseca, a qual não é
redutível aos aspectos aditivos” (CUNHA, 1997, p.4).
Com isso, vale ressaltar que no início dos estudos da operação de multiplicação a
criança tende a resolver os problemas que lhes são apresentados utilizando seus
conhecimentos acerca do campo aditivo, assim como geralmente resolve os problemas de
divisão por meio da distribuição, que é uma ação que a criança já realiza no seu cotidiano.
Entretanto, dividir socialmente é diferente da ideia de divisão na matemática e, também, ao
analisar as estratégias utilizadas buscou-se identificar se esses alunos compreendem as
regularidades do sistema de numeração decimal.
Este trabalho busca investigar as estratégias utilizadas por crianças do 4º ano do ensino
fundamental, nos problemas de divisão, envolvendo ideias de partição (distribuição) com a
intenção de verificar o processo de compreensão da operação de divisão em detrimento da
repetição de técnicas.
Procedimentos Metodológicos
Trata-se de um estudo de abordagem qualitativa, na modalidade Estudo de Caso. Para
Yin (2005), esta modalidade tem a capacidade de lidar com uma ampla variedade de
evidências, como aplicação de atividade, material das crianças (cadernos), instrumentos
utilizados em nossa investigação. Já Godoy (2006) explica que a referida modalidade é de
caráter interpretativo, em que se buscam procedimentos que possam concorrer para dar mais
qualidade a esta modalidade de pesquisa, sendo reafirmada essa ideia por Ludke e André
(2003) quando coloca que não são as técnicas que definem o tipo de estudo, e sim o
conhecimento que dele advém.
Segundo Lüdke e André (op. cit), o estudo de caso é diferente de outras pesquisas no
que diz respeito ao conhecimento gerado, pois ele é mais concreto, mais contextualizado,
mais voltado para a interpretação do leitor e é baseado em população de referência
111
determinadas pelo leitor. Nesse sentido, para essa investigação participou uma escola que
oferta os anos iniciais do ensino fundamental, tanto no turno matutino, quanto vespertino e
que a professora aceitou colaborar na pesquisa, aplicando a atividade para que as estratégias
dos alunos não fossem influenciadas pelas concepções da pesquisadora. A escolha da escola
atendeu aos seguintes critérios: pertencer a rede pública de ensino, situada na cidade de
Maceió, cuja localização seja de fácil acesso.
Em nossa análise está participando 36 alunos do 4º ano do ensino fundamental, na
faixa etária entre 8 a 10 anos.
Utilizou-se, como instrumento principal, uma atividade com quatro situaçõesproblema que envolveu divisão partitiva e divisão quotitiva.
Quadro 1 – Situações-problema aplicadas as turmas do 4º ano do Ensino Fundamental
Problema 1 – Maria fez 30 brigadeiros e irá colocar 5 em cada saquinhos. De quantos saquinhos
ela irá precisar? Explique como chegou a resposta.
Problema 2 – Se repartirmos 24 pães para 6 crianças, quantos pães receberão cada uma? Explique
como você chegou a resposta.
Problema 3 – Quantas cédulas de 5 reais há em 50 reais? Explique como você chegou a resposta.
Problema 4 – Carlos vai fazer aniversário. Cada amigo que vier a sua festa vai ganhar 3 balões.
Ele comprou 18 balões. Quantos amigos ele pode convidar? Explique como você chegou a
resposta.
Fonte: Situações-problema extraídas do livro Números, de Mercedes Carvalho (2010) e do livro Introdução à
Educação Matemática, de Terezinha Nunes et al (2002).
Há analise das estratégias de solução de problema de três crianças frente ao conteúdo
de divisão, considerando o cálculo numérico. A atividade foi aplicada de forma coletiva e
resolvida individualmente, em aproximadamente uma hora e meia.
Para a análise das estratégias de solução das crianças, utilizou-se das concepções de
análise de conteúdo de Franco (2008), cujas categorias foram escolhidas a posteriori,
obedecendo a delimitação dos dados coletados, bem como da teoria presente no estudo, em
que foram orientadas pela unidade de registro que visa levantar categorias com base no tema,
que representam as estratégias recorrentes na atividade de Resolução de Problemas que
envolvem o conteúdo de divisão.
Foram analisadas as estratégias frequentes da turma investigada, sendo selecionados
três alunos para análise, cujas categorias de análise tem como base as discussões apontadas
por Smole e Diniz (2001) e Pozo (1998), presentes nos estudos de Resolução de Problema. As
categorias de análises da presente investigação são oriundas das estratégias utilizadas pelas
crianças ou isoladamente ou combinadas, como: estratégia (estratégia pessoal) e algoritmo da
divisão direta.
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A prática docente por meio de resolução de problema e do campo multiplicativo
O estudo da teoria do campo conceitual, que contempla as estruturas aditivas e
multiplicativas, trata-se de conduzir caminhos que permitam a construção de conceitos a partir
de um ensino real e contextualizado, considerando o que acontece de fato na relação ensinoaprendizagem, focalizando teoria e prática, bem como o nível de desenvolvimento cognitivo
dos alunos e a formação do educador na realização de mediação em prol de um saber
significativo e, sobretudo, aceito no âmbito escolar. A referida teoria pretende direcionar a
evolução do conhecimento dos estudantes, como coloca Moreira (2009). No entanto, sabe-se
que é um processo lento e que depende essencialmente de um ensino de qualidade que, por
sua vez, tem forte relação com a formação do professor. Sendo assim, o papel do professor,
nessa teoria, é sistematizar e propor desafios às crianças, propondo desafios para que elas
evoluam no entendimento dos conceitos matemáticos a partir de dados reais e
contextualizados.
D'Ambrosio (apud PEREZ, 1999), por sua vez, coloca que se faz necessário o
professor de matemática compreender o que vem a ser esta disciplina na educação básica,
especificamente, nos anos iniciais e do que caracteriza a legítima atividade matemática,
apontando as seguintes reflexões: o futuro professor deve saber os conteúdos específicos da
disciplina, abordando-a por meio de diferentes metodologias, entre elas, a resolução de
problemas, como é apontada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais dos anos iniciais do
ensino fundamental; os professores devem ter conhecimento do perfil da turma,
caracterizando assim, a importância do planejamento e mediação para progressão conceitual
da aprendizagem das crianças.
Lerner (1995) referencia os procedimentos de solução de problemas das crianças,
apontando que as estratégias utilizadas pelos alunos, em geral, não estão relacionadas com
dificuldades para compreender as operações em si mesmas, uma vez que a maioria das
crianças sabe quando se deve somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Para a autora, a utilização
de problemas-padrão pode levar algumas crianças a centrar-se em certas palavras-chave,
dificultando a explicitação de seus saberes matemáticos. Neste sentido, a autora desaconselha
o uso de problemas-padrão (convencional, arme efetue). Carvalho (2010, p. 10), porém, em
seu trabalho comenta que “independente de sua classificação, esses problemas trabalham com
a ideia das operações matemáticas além de favorecerem às crianças pequenas o processo de
contagem”. Carvalho (op cit) também alerta que os problemas não podem ser classificados
em função das operações, mas sim a partir dos procedimentos utilizados.
113
Vale ressaltar que os problemas matemáticos podem ser tanto numéricos quanto nãonuméricos e que, além disso, um enunciado pode caracterizar um problema para um estudante
como atividade complexa, mas simples para outros, o que depende da relação que o aprendiz
faz entre a situação enfrentada e o conhecimento que já possui. Tal ideia evidencia que o
trabalho com resolução de problema auxilia na construção de conceitos, exigindo da criança
pôr a prova de tudo que se sabe, exigindo, para tanto, exposição explícita do raciocínio e
dedicação para novas descobertas.
Neste sentido, o papel do professor nesse processo de aprender e não memorizar é
fundamental para a aprendizagem da criança, de modo que direcione um trabalho em que a
criança seja capaz de verificar o resultado que obteve e, por conseguinte o seu progresso. A
resolução de problema, embora complexa, deveria ser uma prática frequente nas diferentes
áreas do conhecimento, principalmente da matemática.
Diante do exposto, acredita-se que o que deve estar em jogo para o processo de
aprender matemática em que o professor assume papel primordial acerca do ensino da
matemática convencional (sistema de numeração), bem como de intervir para a construção de
um novo conhecimento ou mesmo para superar equívocos registrados ou expressos pelos
alunos. É preciso um trabalho que considere as estratégias dos alunos como ponto de partida
para o planejamento, de modo que direcione ações coerentes e efetivas para a aprendizagem
dos mesmos.
Discussão e resultados
Sendo o objeto da presente pesquisa os procedimentos e não os resultados postos, por
si só, tabulou-se as respostas considerando as categorias “algoritmo, estratégia ou algoritmo +
estratégia canônica”.
Tabela 1 – Frequência das estratégias do Problema 2 de cada aluno participante
Classificação das Estratégias
Problema 2
Qtde
%
Algoritmo
16
44,4
Estratégia
12
33,3
Algoritmo+Estratégia
5
13,8
A tabela acima revela que há predominância da divisão partitiva do procedimento por
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meio do desenho. Tal característica evidencia a aproximação que a criança consegue
estabelecer dos dados do enunciado com a sua vivência, representando a situação-problema
conforme o conhecimento social, que embora consiga chegar a resposta correta, o
procedimento não apresenta conceito matemático, o que pode prejudicar a construção de
conhecimentos das crianças, deixando-as limitadas a uma representação para chegar a
solução.
Por estar em um nível de escolaridade já avançado, última etapa nos anos iniciais do
EF, tal ênfase no procedimento via ilustração torna-se incoerente, pois o uso do algoritmo
seria a forma mais simples de resolver o problema matemático. Esse problema revela que esta
turma está com atraso no currículo matemático ou não vivencia propostas de atividades que
contribuem para a sua progressão conceitual.
No problema matemático de divisão partitivo a criança embora tenha registrado
estratégia isoladas, 44,4% usando somente algoritmo da divisão e da adição, não apresentando
o algoritmo da multiplicação; mas nos 33,3% nas respostas via ilustração, a maioria das
estratégias parece fazer uso da inversão da divisão, não sendo necessário dar sentido ao resto.
Como a ênfase das soluções desta situação-problema foi o resultado final, tal resposta
caracteriza procedimento incoerente ao campo multiplicativo, o que representa limitação do
pensamento matemático da criança em ter como conceito essencial o uso da estrutura aditiva
para resolver uma situação que envolve estrutura multiplicativa. Cada estrutura tem a sua
especificidade e deve ser compreendida por professores e alunos.
Tabela 2 – Frequências das estratégias de solução dos participantes
Situação-problema
Se repartirmos 24 pães para 6 crianças,
quantos pães receberão cada uma? Explique
como você chegou a resposta.
Estratégias de Solução de Problemas
Algoritmo
Estratégia
Algoritmo +
Estratégia
16
12
5
Diante da diversidade de resolução de problemas matemáticos da situação problema 2,
selecionamos aquelas que contemplam a representatividade da turma, em que aponta-se
análise nos procedimentos registrados:
Estratégia de Solução do Sujeito 6
Quadro 2 – Solução do Problema 2 por meio do algoritmo da divisão.
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Essa criança revela conhecer o sistema de numeração decimal e a sua função na
operação da divisão. Aqui, ela demonstrou conhecer o conceito de valor relativo,
caracterizando o uso da base dez ao adotar o procedimento de que 24 unidades é divisível por
6 unidades; resolvendo o algoritmo por meio da divisão longa, obtendo resto zero. A referida
criança ao registrar “eu dividi é 24 por 6 que deu 4”, embora esteja utilizando uma linguagem
espontânea, revela conhecer a técnica operatória para a solução do problema.
Podemos inferir que está claro para o sujeito 6 o conceito de numeração, porque
interpreta a dezena pela ordem que ocupa. Assim, em sua explicação escrita (resposta), a
criança não registrou “2 não pode ser dividido por 6 porque é menor, juntemos 2 ao 4 para
dividir 24 por 6”, linguagem muito utilizada no ensino das operações fundamentais que, por
sua vez, prejudica no entendimento do sistema de numeração decimal. Essa criança demonstra
ter compreendido a técnica da divisão, mas não nos revela ter entendido o enunciado, já não
que registrou “quantos pães receberam cada criança”. Podemos apontar que para essa criança
resolver problema corresponde apresentar a “conta”.
Estratégia de Solução do Sujeito 7
Quadro 3 – Solução do Problema 2 por meio da representação gráfica.
O procedimento do sujeito 7 assemelha-se ao procedimento utilizado na multiplicação
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em que trabalhamos com a propriedade comutativa, “a ordem dos fatores não altera o
resultado”, sendo 4 x 6 ou 6 x 4 encontraremos o produto 24. Os traços, por sua vez, trazem
indícios de que a criança fez uso da adição de parcelas iguais para verificar o resultado. A
solução apresenta uso da contagem e do cálculo mental. No entanto, o raciocínio não é
adequado matematicamente para os conceitos que são necessários para o enunciado que
requer ideia de divisão partitiva, conceito de parte-todo.
Estratégia de Solução do Sujeito 30
Quadro 4– Solução do Problema 2 por meio de estratégias combinadas (representação gráfica e algoritmo da
divisão).
O procedimento utilizado pelo sujeito 30 apresenta estratégia combinada (estratégia +
algoritmo); mas a criança parece ter partido da representação para o algoritmo. No entanto, a
ilustração traz subconjuntos em que há 4 pães em cada um, demonstrando que foi feito a
distribuição um-a-um para chegar a correspondência quatro pães (quantidade de elementos do
subconjunto) para cada criança. O algoritmo da divisão não revela se a criança faz uso do
processo de subtração sucessiva ou longa ou se ainda diferencia o valor relativo de valor
absoluto do dividendo 24, necessário para a realização da operação.
A ilustração apresenta evidências de distribuição social e a operação revela uma
mecanização do algoritmo da divisão no início da aprendizagem em que é guiado pela
estrutura da divisão horizontal, que não exige sentido para o resto.
Considerações Finais
O estudo da divisão é um conteúdo importante a ser trabalhado no início do ensino
fundamental, especificamente no 4º ano, uma vez que as crianças têm oportunidades de
vivenciar diferentes situações-problema que contribuem no planejamento do educador e que
se bem mediado favorece à progressão das ideias e conceitos matemáticos da estrutura
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multiplicativa dos aprendizes nessa etapa de escolaridade. Além disso, porque favorece a
criança ter oportunidade de integrar aos seus conhecimentos novas situações que possibilitam
o desvelar de um novo conhecimento matemático, contribuindo assim para uma aprendizagem
dinâmica que engloba a formação de novos conceitos matemáticos.
Os estudos mostram, também, a potencialidade de trabalhar com resolução de
problema, uma vez que o seu uso enquanto recurso meio e não fim propicia aos alunos
encorajamento em registrar o seu pensamento matemático, confirmando, de fato, que essa
proposta de trabalho revela diferentes estratégias de solução de problema, e ainda, que a
inserção desse recurso no espaço de sala de aula pode superar a crença de que para resolver
problema é apenas para quem sabe ler e escrever; tais competências ajudam, mas não são
critérios de exclusividade para a aprendizagem do conteúdo matemático, pois os alunos
podem dar diversas soluções conforme seu nível de desenvolvimento de aprendizagem,
utilizando-se desde o registro do desenho ao uso do algoritmo, objeto essencial para o ensino
da matemática.
Há uma forte relação entre estratégias explícitas dos alunos e a mediação do professor.
Para tanto, precisa-se de um ensino que permita ao aluno enfrentar desafios, registrando tanto
conhecimento espontâneos quanto conhecimentos aceitos na matemática convencional, afinal,
o papel da escola é aproximar conhecimento espontâneo de conhecimento escolar, buscando a
sistematização desse saber.
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