UM ESTUDO DOS QUADRILÁTEROS NO SOFTWARE GEOGEBRA
Maria Aparecida Fernandes1
João Cesar Guirado2
Márcia Maioli 3
RESUMO
Este artigo tem por objetivo propor a exploração da geometria dinâmica como
ferramenta auxiliar no processo ensino-aprendizagem, facilitando este processo
tanto para alunos, como para os professores. O uso adequado de recursos
computacionais pode ser um importante aliado para proporcionar aos estudantes
situações de aprendizagem significativa. Assim, apresentamos uma proposta de
utilização do software de geometria dinâmica Geogebra, sob uma abordagem
construtivista no processo de ensino e aprendizagem de Geometria. Para tanto,
apresenta-se um estudo de quadriláteros com alunos de ensino fundamental.
PALAVRAS-CHAVE: Educação. Matemática. Tecnologias. Construcionismo.
Geometria Dinâmica. Geogebra.
ABSTRACT
This article aims to propose the holding of dynamic geometry as auxiliary tool in
the teaching-learning process, facilitating this process for both students, teachers
and for the appropriate use of computing resources can be an important ally to give
students learning situations of significant. Thus, we present a proposal to use the
software for dynamic geometry Geogebra under a constructivist approach in the
process of teaching and learning of geometry. To that end, it presents a study of
quadrilaterals with primary school students.
KEY-WORDS: Education. Mathematics. Tecnology. Constructionism. Dynamical
Geometry. Geogebra.
1
Professora da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná – E-mail [email protected].
Professor Orientador – Universidade Estadual de Maringá – PR.
3
Professora Orientadora – Universidade Estadual de Maringá – PR.
2
INTRODUÇÃO
Há uma grande preocupação entre os professores de todas as
disciplinas no sentido de despertar o interesse dos alunos pela aprendizagem dos
conteúdos escolares, pois, atualmente, a escola enfrenta muitos problemas de
indisciplina e desinteresse dos alunos. Pouco do que é ensinado fica retido como
conhecimento acumulado.
Entre os professores de Matemática não é diferente; muito se tem
discutido para que o ensino desta disciplina contribua para o desenvolvimento
cognitivo dos alunos, que tenha aplicação prática e seja útil no atual contexto
social. Tudo isso leva o professor a uma reflexão sobre sua prática docente, no
que diz respeito a como socializar as idéias matemáticas com os alunos.
Dentre os ramos da Matemática, o da Geometria é o mais
preocupante, pois está quase ausente da sala de aula, fato este, comprovado em
pesquisas que apontam também as causas dessa deficiência. Uma delas é que
muitos professores não detêm os conhecimentos geométricos necessários para
sua prática pedagógica; a outra é que a prática do professor está (com raras
exceções) centrada nos livros didáticos, os quais, em sua maioria, apresentam a
Geometria apenas em seus últimos capítulos (o que contribui para que não seja
estudada no ano letivo), e, quando o assunto é apresentado aos alunos, tem sido
de forma bem superficial, desligada da realidade e sem integração com as outras
partes da Matemática, como por exemplo: a Aritmética e a Álgebra.
(LORENZATO,1995).
Essa ausência do ensino da Geometria no Brasil tem origem no
“Movimento da Matemática Moderna” que propôs que a geometria fosse
algebrizada e fracassou, mas fez com que o ensino da Álgebra se sobressaísse e
a Geometria fosse praticamente banida dos currículos escolares por muito tempo.
Isso justifica a falta de conhecimento dos professores sobre esse assunto, pois a
geração de professores que está em exercício é fruto dessa formação e ninguém
ensina o que não aprendeu. (LORENZATO E FIORENTINI, 2001).
Sabemos que a Geometria está presente em nossa vida, em toda
parte: na arquitetura, na organização das cidades, nas embalagens, na decoração,
nas máquinas, entre outras, ou seja, mesmo sem querer, nos deparamos com
conceitos geométricos. Portanto, o conhecimento de geometria contribui para o
desenvolvimento cognitivo do indivíduo, tornando-o mais organizado, com a
coordenação motora e a coordenação visual mais desenvolvidas, o que possibilita
a compreensão de gráficos, de mapas e de outras informações visuais. Enfim,
ajuda a compreender melhor o mundo em que vivemos. Além disso, a Geometria
esteve presente desde as primeiras produções matemáticas; foi ela que orientou
as antigas civilizações na divisão de terras, nas construções, nos desenhos de
objetos decorativos, nos monumentos construídos há milhares de anos, entre
outros.
Portanto, faz-se necessário resgatar o ensino da Geometria nas
escolas de maneira atrativa, rompendo com o processo educacional pautado na
transmissão e reprodução do conhecimento. Para isso, podemos lançar mão de
várias tendências e metodologias, aproveitando o interesse dos adolescentes a
tudo que se relaciona à tecnologia.
Atualmente, a escola tem que competir com muitos atrativos que
estão ao alcance dos alunos. As tecnologias se renovam com muita rapidez, há
uma grande facilidade ao acesso à informação, e, nesse sentido, é um desafio ao
professor colocar tudo isso a seu serviço para tornar suas aulas mais
interessantes e estimular a aprendizagem de seus alunos, tornando-os mais ativos
nesse processo.
Assim,
espera-se
que
os
professores
acompanhem
o
desenvolvimento tecnológico, criando ambientes de aprendizagem que levem em
conta as novas tecnologias da informação e da comunicação. (GOUVEA, 2006).
Nesse contexto, a preocupação é a utilização da informática no sentido de
propiciar ao aluno investigação, exploração, interpretação, visualização, abstração
e demonstração dos conceitos, favorecendo a construção do conhecimento
matemático.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
De acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, a
Educação Matemática deve formar estudantes críticos, capazes de agir com
autonomia nas suas relações sociais e, para isso, é preciso que eles se apropriem
de conhecimentos matemáticos.
Ainda nas diretrizes encontramos que:
“O ensino da matemática trata a construção do conhecimento matemático
sob uma visão histórica, de modo que os conceitos devem ser
apresentados,
discutidos,
construídos
e
reconstruídos
e
também
influenciar na formação do pensamento humano e na produção de
conhecimentos por meio das idéias e das tecnologias”. (Diretrizes
Curriculares do Estado do Paraná, p.24).
Segundo ALTOÉ (2005), na sociedade contemporânea há a
exigência do uso de equipamentos que incorporem os avanços tecnológicos.
Nesse contexto, a educação precisa passar por uma mudança de paradigma, pois
mudança na sociedade implica também em mudança na educação.
No Brasil, o uso das tecnologias na educação esteve primeiramente
voltado para o ensino a distância, com o grande desafio de provar que era
possível transmitir, pela televisão, uma aula agradável e eficiente. Nesse sentido,
vários projetos foram criados, como o Telecurso 2000 e o programa TV Escola.
(ALTOÉ E SILVA, 2005).
Atualmente, esta preocupação está mais centrada na utilização da
informática como ferramenta pedagógica. Contrariando o atual nível de
desenvolvimento tecnológico em que a sociedade se encontra, a escola pode ser
a única chance, para alguns indivíduos, de entrar em contato com as novas
tecnologias.
“Todavia, não se trata apenas da inserção da informática nos currículos
escolares e sim da alteração dos pressupostos do processo educativo de
modo a possibilitar a construção e a elaboração de conhecimentos a partir
das características específicas das novas tecnologias computacionais.
Além disso, como ferramentas didáticas auxiliares constituem-se em uma
das possibilidades de ação pedagógica e metodológica para a superação
de algumas dificuldades no ensino de Matemática em todos os níveis”.
(ANDRADE E NOGUEIRA, 2005, p.148).
ALTOÉ (2005) assegura que a escola precisa desenvolver o
indivíduo como um todo para que ele atue na sociedade tornando-a mais
ordenada, justa, humana, fraterna e estável. Por isso, a escola precisa se
preocupar
com
a
formação
de
pessoas
autônomas,
criativas,
críticas,
cooperativas, solidárias e fraternas.
Conforme GRAVINA e SANTAROSA, (1998, p.10), “as novas
tecnologias oferecem instâncias físicas em que a representação passa a ter
caráter dinâmico, e isto tem reflexos nos processos cognitivos, particularmente no
que diz respeito às concretizações mentais”.
Essas autoras asseveram que, na formação matemática dos alunos,
o professor deve visar construir uma base de conhecimento específico, mas,
sempre observando o desenvolvimento cognitivo do indivíduo quando a ele
oportuniza-se imersão no processo do ‘fazer matemática’, que é o processo de
construção simultânea de conhecimento matemático e de estruturas mentais.
Para isso, deve organizar um trabalho estruturado através de
atividades que favoreçam o desenvolvimento de exploração informal e da
investigação reflexiva, preservando nos alunos as suas iniciativas e controle da
situação, tornando-os aprendizes ativos. O suporte oferecido pelos ambientes
informatizados “favorece a exploração, a elaboração de conjeturas e o refinamento
destas, e a gradativa construção de uma teoria matemática formalizada (p.9)”.
Os autores, Valente e Almeida (1997), afirmam que o professor
precisa ter uma formação bastante ampla para integrar o conhecimento do
conteúdo a ser ensinado ao computador, usando-o como ferramenta educacional
com a qual o aluno aprende executando uma tarefa por intermédio desse
equipamento.
Na utilização dos ambientes informatizados deve-se lançar mão de
ferramentas com recursos para uma abordagem construtivista,
“(...)a qual tem como princípio que o conhecimento é construído a partir de
percepções e ações do sujeito, constantemente mediadas por estruturas
mentais já construídas ou que vão se construindo ao longo do processo” .
(GRAVINA E SANTAROSA, 1998, p.1).
Inúmeras são as pesquisas sobre a utilização da informática na
educação. Valente (1995) nos alerta afirmando que o objetivo da introdução do
computador na educação não deve ser um modismo ou estar atualizado com
relação às inovações tecnológicas. Esse tipo de argumentação tem levado a uma
subutilização do potencial do computador, que além de economicamente
dispendiosa, traz poucos benefícios para o desenvolvimento intelectual do aluno.
Segundo ele, o computador “deve ser usado como uma ferramenta que facilita a
descrição, a reflexão e a depuração de idéias” (VALENTE, 1995, p.22).
Afirma ainda que, ao utilizar o computador como ferramenta
pedagógica, devemos ter senso crítico para evitar futuras frustrações e para
obtermos benefícios na qualidade do trabalho educacional, devemos compreender
que o papel do computador na educação é de facilitador do processo de
expressão do nosso pensamento. Nesse sentido, a preocupação não é de
informatizar os métodos tradicionais de instrução, mas sim, utilizar uma nova
abordagem educacional que coloque o controle do processo de aprendizagem nas
mãos do aprendiz e o professor passa a ser o mediador ao invés de transmissor
de conhecimento.
Sabemos que uma mudança de paradigma não é tão simples de ser conseguida.
O professor tem que ter consciência e disposição para modificar suas concepções
de ensino-aprendizagem e, portanto, deve estar aberto a mudanças. Mudanças na
educação são necessárias e urgentes, mas devem ser feitas com muito critério.
Para isso devemos investigar e descobrir formas para desenvolver um trabalho
que promova o uso do computador segundo um paradigma construcionista.
“Se almeja uma mudança de paradigma para a Educação, é necessário
ser crítico e cuidadoso nesse processo de uso da informática. A
informática por si só não garante esta mudança, e muitas vezes se pode
ser enganado pelo visual atrativo dos recursos tecnológicos que são
oferecidos,
mas
os
quais
simplesmente
reforçam
as
mesmas
características do modelo de escola que privilegia a transmissão do
conhecimento”. (GRAVINA E SANTAROSA, 1998, p.02).
Valente (1995) assegura que se a escola conseguir uma mudança de
paradigma, visando formar profissionais criativos e pensantes, estará antecipando
uma mudança que contribuirá para a sobrevivência da humanidade, pois é
necessário e urgente outro método de produção de bens e serviços mais eficiente
e onde haja menos excessos para evitar um colapso no nosso planeta.
Segundo OLIVEIRA (2005, p.58), há a necessidade de compreensão
de que
“(...) existe um processo que integra, no trabalho educacional, os últimos
desenvolvimentos da ciência cognitiva, as descobertas sobre a sócioafetividade, sobre a inteligência emocional, as estruturas da inteligência
operatória descritas por Piaget, o construcionismo de Papert, entre outros
avanços teóricos e experimentais do século passado, favorecendo os
professores e os alunos na sua tarefa de ensinar e aprender.”
Ainda
segundo
a
mesma
autora,
dentro
da
concepção
construcionista, a tecnologia deve ser um instrumento facilitador do processo de
construção do conhecimento. “A intencionalidade dessa abordagem respeita a
evolução do raciocínio lógico do educando que será convidado a refletir sobre sua
ação, ressignificando-a.” (p. 58).
O construcionismo proposto por Seymour Papert (baseado na teoria
construtivista de Piaget), é uma teoria educacional que sugere uma forma de
aprendizagem baseada na interação do aluno com o computador. Nesta interação
o indivíduo deve assumir o comando de sua aprendizagem, além disso, “essa
teoria propõe que à medida que o aprendiz interage com o computador ele é
instigado a investigar, pesquisar e refletir sobre o objeto da sua investigação ou
criação”. (RICHIT E MALTEMPI, 2005, p.6).
Fundamentados na teoria de Papert, vários autores, dentre eles,
Bolgheroni e Silveira (2008), Jesus (2000), Brandão e Isotani (2007), Araújo
(2008) e Rodrigues et al. (2005), têm proposto o ensino da Geometria Dinâmica
através do uso de softwares, dentre eles, os softwares que exploram geometria de
forma dinâmica. Rodrigues et al (2005) afirmam que esse tipo de software
favorece
a
construção
dos
objetos
geométricos
com
muita
rapidez,
proporcionando um maior tempo para o aprendiz observar as propriedades
envolvidas na construção. Segundo eles:
As construções em softwares geométricos são muito exatas e permitem
que os alunos as reconstruam a todo momento, gerando uma maior
compreensão dos elementos envolvidos em uma construção geométrica.
(RODRIGUES et al, 2005, p.3).
A Geometria Dinâmica é ativa, exploratória e busca dar consistência
a conceitos matemáticos através da ‘deformação’ de objetos geométricos.
JESUS (2000, p.2) refere-se à geometria dinâmica como:
A geometria de softwares que favorece ambientes onde podemos criar e
construir figuras que podem ser arrastadas pela tela, mantendo os
vínculos estabelecidos nas construções, ou seja, um objeto ao ser
movimentado tem as medidas dos lados e os ângulos da figura atualizados
simultaneamente.
Ainda com relação à geometria dinâmica, BRANDÃO e ISOTANI
(2007, p.1) afirmam que sua maior vantagem sobre a geometria tradicional é a de
permitir que o aluno “teste conjecturas e procure descobrir propriedades”.
No caso do software Geogebra, (ARAÚJO E NÓBRIGA, 2008, p.2)
ressaltam que “é um programa que vai além da geometria dinâmica e é
classificado como software de Matemática dinâmica”, pois ele mostra tanto a
representação geométrica, quanto a representação algébrica, apresentando as
equações de retas, circunferências e qualquer objeto que esteja em sua janela de
visualização.
METODOLOGIA
Este artigo tem por objetivo propor a exploração da geometria
dinâmica como ferramenta auxiliar no processo ensino-aprendizagem, facilitando
este processo tanto para alunos, como para os professores. Para tanto, lançamos
mão do software Geogebra.
Ao incentivar o uso do Geogebra, buscamos fazer com que os alunos
concretizem seu aprendizado e construam seu conhecimento sobre geometria.
Para abordar de maneira eficiente os recursos do software, o grupo
de cinco professores da rede estadual de ensino, integrantes do projeto
PDE/2007, do Governo do Estado do Paraná, sob o comando de um orientador,
realizaram uma ampla revisão bibliográfica sobre o assunto, além de oficinas para
reconhecimento do software Geogebra e exploração de seus recursos. O grupo
elaborou uma parte do material em conjunto, intitulada “Um pouco sobre
Geogebra” com orientações básicas para o uso do software (tutorial). Depois,
cada professor elaborou algumas atividades utilizando o programa e as testou
com os demais integrantes do grupo e com o orientador.
Em uma segunda etapa, cada professor aplicou as atividades com
seus alunos durante o terceiro período do programa.
Este artigo trata especificamente das atividades relacionadas à
Geometria, intituladas “Construções Básicas no Geogebra – Quadriláteros”, que
foram aplicadas com alunos da 7ª série do Colégio Estadual Profª. Hilda T. Kamal
do Município de Umuarama.
Optamos pelo estudo dos quadriláteros, pois ele propicia a
abordagem de vários conteúdos geométricos. Exploramos algumas definições
encontradas nos livros didáticos para provocar uma discussão sobre a importância
da definição adotada como referencial no estudo de um objeto geométrico.
A seguir apresentamos as atividades aplicadas com os alunos e
algumas considerações quanto aos resultados obtidos, ressalvando que as
demonstrações podem ser consultadas no Caderno Pedagógico, apresentado
como uma das exigências do PDE.
QUADRILÁTEROS
Inicialmente,
foram
apresentadas
algumas
definições
desse
conceito, extraídas de livros didáticos.
1. “Quadrilátero é um polígono de quatro lados”. (BONGIOVANNI, 1997).
2. “Um quadrilátero é a reunião de quatro segmentos cujas extremidades
são quatro pontos coplanares não-situados numa mesma reta”.
(LONGEN, 2004).
3. “... são figuras formadas por quatro pontos A, B, C e D (três a três não
colineares) e pelos segmentos de reta AB , BC , CD e DA tais que os
segmentos podem se interceptar somente em seus extremos. Os pontos
A, B, C e D são chamados de vértices do quadrilátero”. (GERÔNIMO e
FRANCO, 2005).
Após discussões, optou-se pela definição dada por Gerônimo e
Franco e, a partir da conceituação, os alunos realizaram as seguintes atividades:
Atividade 1
Objetivos:
− identificar quadrilátero e suas notações;
− observar o número de pares de lados paralelos de um quadrilátero;
− observar as várias formas de designar um polígono.
Procedimentos:
1. Abra um arquivo novo e ativar as funções, Eixo, Malha e Janela Algébrica.
2. Localize os pontos: A(1,8); B(3,7); C(5,8); D(3,9); E(-5,1); F(-4,2); G (-2,2);
H (-3,1); I (2,2); J (5,2); K (5,3); L (2,4); M (5, -2); N (6,-3), O (8,-4); S (8,-2);
U (9,6); V (9,3); W(11,3); Y (11,6).
3. Crie os polígonos: ABCD; EFGH; IJKL; MNOS e UVWY.
4. Os polígonos ABCD e CDAB representam o mesmo quadrilátero?
5. Observe os polígonos formados, considerando o número de pares de lados
paralelos que possuem. O que você constatou?
6. Procure em alguns livros o significado dos termos: paralelogramo e
trapézio.
Nesta atividade os alunos perceberam que existem quadriláteros
com dois pares de lados paralelos, com apenas um par de lados paralelos e
quadriláteros sem nenhum par de lados paralelos.
É provável que, ao aplicar essa atividade, surjam questionamentos
sobre as diferentes definições de trapézio encontradas nos livros didáticos, mas,
esta questão será discutida na atividade 3.
Os alunos perceberam que se não ligarmos os vértices na ordem em
que o polígono está designado poderão formar outra figura.
Atividade 2
Objetivos:
− verificar e demonstrar que a soma dos ângulos internos de qualquer
quadrilátero convexo é 360º;
− identificar os lados, os ângulos, os vértices e as diagonais de um
quadrilátero.
Procedimentos:
1. Abra um arquivo novo sem Eixo e sem Malha.
2. Marque quatro pontos na área de trabalho: A, B, C e D.
3. Construa o quadrilátero (convexo) ABCD. Verifique se a figura formada
é um quadrilátero convexo. Caso não seja, mova os pontos.
4. Quais são os lados e os vértices do quadrilátero?
5. Quais são as diagonais desse quadrilátero?
6. Marque os ângulos internos desse quadrilátero.
7. Verifique, com o Geogebra, o valor da soma destes ângulos.
8. Mova um dos pontos e observe o que acontece com essa soma. Anote
suas observações.
Como se pode observar, na Janela de Álgebra, ao movimentarmos
os vértices do quadrilátero, as medidas dos ângulos se alteram, mas a soma dos
ângulos permanece inalterada. Esse fato foi constatado pelos alunos que, ao
final, chegaram à seguinte conjectura: “A soma dos ângulos internos de qualquer
quadrilátero é 360º”.
Ao aplicar esta atividade espera-se que os alunos identifiquem os
elementos de um quadrilátero e concluam que “quadriláteros são figuras formadas
por quatro pontos A, B, C e D (três a três não colineares) e pelos segmentos de
reta AB , BC , CD e DA tais que os segmentos podem se interceptar somente em
seus extremos. Os pontos A, B, C e D são chamados de vértices do quadrilátero”.
(GERÔNIMO E FRANCO, 2005).
TRAPÉZIOS
Sobre trapézios, apresentamos aos alunos as seguintes definições:
1. “É um quadrilátero que tem dois lados paralelos”. (MATSUBARA E
ZANIRATTO, 2002).
2. “Quadriláteros que têm um par de lados paralelos”. (PROMAT, 1999).
3. “É todo quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos”. (ISOLANI. et
al.,2002).
Observando essas definições, propusemos um questionamento:
Qual a diferença entre elas?
Como podemos observar nas definições acima, não há consenso
entre os autores sobre a definição de trapézio, pelo fato de não haver vantagens
nem desvantagens claras para adotar uma ou outra definição. (TINOCO, 1999,
Apud. MAIOLI, 2002).
Nesse estudo foram adotadas as definições (1) e (2), pois, em nosso
trabalho, nos baseamos no livro Geometria Plana e Espacial - Um estudo
Axiomático, dos autores Gerônimo, J. R e Franco, V. S.
Alguns trapézios, devido às suas características, recebem nomes
especiais:
− Trapézio isósceles: o que tem os dois lados não paralelos congruentes.
− Trapézio retângulo: o que tem dois ângulos retos.
Atividade 3
Objetivos:
− construir um trapézio retângulo;
− identificar as bases de um trapézio;
− reconhecer que o trapézio retângulo tem dois ângulos retos.
Procedimentos:
1. Abra um arquivo nov. Sem Eixo, Sem Malha nem Janela de Álgebra.
2. Trace uma reta t, horizontal.
3. Trace uma reta s perpendicular à reta t, passando pelo ponto A.
4. Marque sobre a reta s um ponto C.
5. Trace a reta u, paralela a t, passando pelo ponto C.
6. Marque o ponto D sobre a reta u, não coincidente com o ponto C e à sua
direita.
7. Esconda as retas t, s e u.
8. Trace um polígono ligando os pontos ACDB.
9. Observando o polígono, que lado você escolheria para chamar de base?
10. Marque os ângulos internos do polígono.
11. Exiba o valor da medida dos ângulos.
12. Movimente os vértices do polígono. Registre suas observações.
13. O que se pode observar em relação aos ângulos?
Ao final desta atividade discutiu-se com os alunos se é possível obter
um trapézio com apenas um ângulo reto. Foi proposto que experimentassem com
o Geogebra. Os alunos não apresentaram dificuldade na realização dessa
atividade e questionaram qual seria a base do trapézio. Nessa oportunidade,
comentou-se que “os autores escolhem os lados paralelos, provavelmente pelo
fato de a distância entre esses dois lados ser constante, facilitando definir a
altura”. (MAIOLI, 2002).
Atividade 4
Objetivos:
− construir um trapézio isósceles;
− observar as relações entre as medidas dos ângulos internos do trapézio
isósceles;
− conjecturar e demonstrar que os ângulos opostos são suplementares;
− conjecturar e demonstrar que os ângulos das bases são congruentes.
Procedimentos:
1. Abra um arquivo novo Sem Eixo, Sem Malha nem Janela de Álgebra.
2. Construa um círculo com centro em A e raio AB .
3. Construa um círculo com centro em B e raio AB .
4. Trace um terceiro círculo com centro C e raio BC , de forma que os pontos
A, B e C fiquem alinhados.
5. Utilize a função Novo Ponto, marque os pontos D e E na intersecção entre
os três círculos, acima dos pontos A, B e C.
6. Esconda os três círculos e o ponto B.
7. Construa o polígono ADEC.
8. Marque os ângulos do polígono.
9. Exiba a medida dos ângulos do polígono. O que se observa a respeito dos
ângulos do polígono?
10. Movimente os vértices do polígono, de modo que a figura permaneça um
trapézio isósceles. Registre suas observações sobre os ângulos do
polígono.
11. Qual o valor de: Â + Ê ? e de Ĉ + D̂ ?
Será que este resultado vale para qualquer trapézio?
Levantou-se a seguinte conjectura: “Dado um quadrilátero EFGH, se
∧
EF é paralelo a GH , então  + D̂ = B + Ĉ = 180º.”
12. Observe também os ângulos das bases. Será que em qualquer trapézio os
ângulos das bases são congruentes?
13. Trace um segmento unindo os pontos C e D.
14. Trace um segmento unindo os pontos A e E.
15. Compare as medidas dos segmentos CD e AE . O que podemos afirmar a
respeito das diagonais do trapézio?
16. Trace uma reta a perpendicular ao lado DE , passando pelo ponto D.
17. Trace uma reta b perpendicular ao lado DE , passando pelo ponto E.
Nesse momento, os alunos observaram a congruência dos triângulos
ADI e BEJ e chegaram à seguintes conjecturas:
− “Se um trapézio é isósceles, então os ângulos de uma mesma base são
congruentes”;
− “Se um trapézio é isósceles, então as suas diagonais são congruentes”.
Ao final desta atividade foi promovida uma discussão com os alunos
para levá-los a observar que:
− Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes;
− Os ângulos opostos são suplementares;
− As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes;
− Os lados não paralelos do trapézio isósceles são congruentes;
Retomou-se o conteúdo congruência de triângulos, destacando que
os triângulos são congruentes pelo caso LAL (lado, ângulo, lado).
− Os lados paralelos do trapézio são denominados bases. No trapézio DECA
construído, a base maior é o segmento AC e a base menor é o segmento
DE .
Retomaram-se também as propriedades dos ângulos definidos por
duas retas paralelas e uma transversal e casos de congruência de triângulos.
PARALELOGRAMOS
São quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos.
Os paralelogramos são estruturas onde o movimento das partes
envolvidas deve ser em paralelo. São muito utilizados na prática e podem ser
encontrados em diversos lugares tais como: janelas basculantes, persianas,
balanças, caixas de ferramentas, macacos de veículos, entre outros.
Atividade 5
Objetivos:
− construir paralelogramos e explorar suas propriedades com o auxílio do
software geogebra;
− fazer conjecturas e demonstrar a congruência entre os ângulos opostos e
lados opostos de um paralelogramo;
− fazer conjectura e demonstrar que as diagonais de um paralelogramo se
interceptam no ponto médio.
Procedimentos:
1. Abra um arquivo novo Sem Eixo, Sem Malha nem Janela de Álgebra.
2. Trace uma reta AB .
3. Nomeie a reta traçada de a.
4. Trace uma reta b paralela à reta a.
5. Trace uma reta c, transversal às retas a e b, passando pelos pontos A e C.
6. Trace uma reta d e paralela à reta c, passando pelo ponto B.
7. Marque as intersecções entre elas para formar o quarto vértice, ponto D.
8. Trace o polígono passando pelos quatro vértices formados.
9. Movimente a figura clicando sobre cada ponto. Em todos os pontos é
possível movimentar a figura? Ao movimentar a figura ela deixa de ser um
paralelogramo? Registre suas observações.
10. Esconda os objetos, deixando o polígono e os pontos A, B, C e D.
11. Compare as medidas dos lados opostos. O que você observa?
Com essa observação, os alunos levantam a seguinte conjectura:
“Se um quadrilátero tem os lados opostos congruentes, então é um
paralelogramo”.
12. Marque os ângulos internos do polígono, clicando sobre os pontos no
sentido horário. O que podemos observar em relação aos ângulos? Mova
os vértices e observe o que acontece com os ângulos opostos. O que você
observou? Será que em todos os paralelogramos acontece a mesma coisa?
13. A partir dessas observações, levantaram a seguinte conjectura: “Se o
quadrilátero EFGH é um paralelogramo, então seus ângulos opostos são
congruentes”.
14. Trace um segmento, ligando dois vértices não consecutivos do polígono.
15. Ache o ponto médio do segmento.
16. Trace outro segmento unindo os outros dois vértices não consecutivos. O
que você construiu? O segundo segmento traçado passou pelo ponto
médio? Mova os vértices e observe o que acontece com a intersecção das
diagonais.
17. Levantou-se a seguinte conjectura: “Se o quadrilátero ABCD é um
paralelogramo, então suas diagonais se interceptam em seus pontos
médios”.
18. Movimente novamente o polígono, observando os ângulos. Tente fazer com
que todos os ângulos fiquem com a mesma medida. Que medida é essa?
Quando deixamos os quatro ângulos internos de um paralelogramo
congruentes caímos em um caso particular de paralelogramo que é o retângulo.
Ao término desta atividade foi discutido com os alunos a respeito das
observações que eles fizeram, levando-os a perceber as propriedades do
paralelogramo:
− Lados e ângulos opostos congruentes dois a dois;
− Diagonais se interceptam no ponto médio e possuem medidas diferentes.
RETÂNGULO
Se a interseção de duas retas formarem quatro ângulos congruentes,
então as retas são perpendiculares entre si e os ângulos são chamados “retos”.
Todo quadrilátero que apresentar quatro ângulos retos é chamado retângulo.
Então para construirmos um retângulo é necessário garantirmos que
seus ângulos sejam retos, e para que os ângulos sejam retos é necessário que
tracemos retas perpendiculares.
Com a atividade a seguir, os alunos puderam aprofundar seus
conhecimentos com relação a este polígono.
Atividade 6
Objetivos:
− construir um retângulo com o auxílio do Geogebra;
− levantar conjecturas a respeito das propriedades do retângulo;
− compreender que o retângulo é um paralelogramo com os quatro ângulos
retos.
Procedimentos:
1. Inicie um arquivo novo. Sem Eixo, Sem Malha nem Janela de Álgebra.
2. Marque dois pontos, A e B, na área de trabalho.
3. Construa uma reta r passando por A e B.
4. Construa uma reta t perpendicular a r, passando pelo ponto B.
5. Marque um ponto C sobre a reta t não coincidente com o ponto B.
6. Construa uma reta s, paralela a r, passando por C.
7. Construa uma reta u, paralela a t, passando por A.
8. Marcar a interseção entre as retas, u e s. Nomear como ponto D.
9. Oculte as retas.
10. Selecione a ferramenta Polígono e construa o polígono com os vértices
A, B, C e D.
11. Com a ferramenta Relação entre dois Objetos, compare os lados
opostos do quadrilátero, Mova os vértices do retângulo e observe o que
acontece com os lados opostos. Além das medidas o que mais se pode
observar com relação a esses lados?
12. Registre suas observações.
13. Marque os ângulos internos no polígono.
14. Peça para exibir o valor dos ângulos internos.
15. Registre suas observações, quanto aos ângulos formados.
16. Movimente os vértices do polígono e observe o que acontece.
17. Com a ferramenta “Segmento de reta” selecionada, trace a diagonal AC
.
18. Marque o ponto médio do segmento AC .
19. Trace a diagonal BD . Qual é o ponto de interseção dessas diagonais?
20. Com a ferramenta Relação entre dois objetos, compare as duas
diagonais. O que você observa?
Os alunos constataram que “Se o paralelogramo ABCD é um
retângulo, então suas diagonais são congruentes”. Esse fato foi facilmente
observado ao manipularem o software Geogebra.
21.Registre com suas palavras todas as propriedades apresentadas pelo
retângulo.
Após a atividade realizada abriu-se uma discussão com as
observações registradas no item 21, levando-os a concluírem que:
− Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos retos;
− Um retângulo é um paralelogramo, pois apresenta lados opostos paralelos;
− As diagonais do retângulo são congruentes e se interceptam em um ponto,
que é ponto médio de ambas.
Concluiu-se que o retângulo é um caso particular de paralelogramo.
LOSANGO
Existe também um caso particular de paralelogramo que possui
todos os lados congruentes. Esse paralelogramo é denominado de losango.
Atividade 7
Objetivos:
− construir um quadrilátero com lados congruentes com o auxílio do
Geogebra;
− fazer conjecturas sobre a posição das diagonais do losango;
− demonstrar que as diagonais do losango são perpendiculares e que as
diagonais coincidem com as bissetrizes dos ângulos internos.
Procedimentos:
1. Abria um arquivo novo. Sem Eixo, Sem Malha nem Janela de Álgebra.
2. Construa um círculo definido por dois pontos, com centro em A e raio AB .
3. Trace outro círculo com centro em B e raio BA .
4. Marque a intersecção entre os dois círculos, que serão os pontos C e D.
5. Oculte os círculos, deixando somente os pontos A, B, C e D.
6. Construa o polígono ACBD, selecionando a função Polígono.
7. Compare as medidas dos lados do polígono. O que se observa? Faça suas
anotações.
8. Marque os ângulos internos do polígono. Exiba o valor dos ângulos,
observe e anote.
9. Trace um segmento unindo os pontos A e B.
10. Marque o ponto médio do segmento AB .
11. Trace o segmento CD . Observe a intersecção e as medidas desses
segmentos e anote.
12. Marque os ângulos formados pelas diagonais. O que se observa?
13. E quanto aos ângulos Â,
∧
B
,
Ĉ
e
D̂
. o que acontece com eles quando
traçamos as diagonais?
Com a realização desta atividade, os alunos formularam a seguinte
conjectura: “Se ABCD é um losango, então suas diagonais são bissetrizes dos
ângulos internos e são perpendiculares”.
Ao término desta atividade discutiu-se com os alunos a respeito das
observações que eles fizeram, levando-os a perceber as propriedades do losango:
− Quatro lados congruentes;
− Diagonais se cruzam perpendicularmente formando ângulos retos;
− As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
Como todo losango é também um paralelogramo, todas as
propriedades dos paralelogramos são herdadas pelos losangos.
QUADRADO
É um quadrilátero que tem os quatro lados congruentes e os quatro
ângulos retos.
O quadrado é mais um caso particular do paralelogramo, também é
um caso particular do retângulo e do losango.
Atividade 8
Objetivos:
− construir um paralelogramo de quatro lados e quatro ângulos congruentes
com o auxílio do Geogebra;
− verificar que um quadrado é ao mesmo tempo, um retângulo e um losango.
Procedimentos:
1. Abra um arquivo novo.
2.
Com o auxílio da ferramenta Círculo Definido pelo Centro e um de seus
Pontos, construa um círculo. No centro ficará marcado o ponto A e na
extremidade da circulo o ponto B.
3. Trace uma reta r definida por dois pontos, passando pelos pontos A e B.
4. Marque o ponto C na intersecção do círculo com a reta r.
5. Trace uma reta s perpendicular a CB passando pelo ponto A.
6. Marque a intersecção da reta s com o círculo. Pontos D e E.
7. Oculte o círculo e as retas r e s e o ponto A.
8. Trace o polígono CDBE.
9. Compare as medidas dos lados do polígono.
10. Marque os ângulos internos do polígono. Exiba o valor dos ângulos. Mova
os vértices e observe o que acontece com os lados e com os ângulos.
11. Trace o segmento CB .
12. Marque o ponto médio desse segmento.
13. Trace o segmento DE . Os dois segmentos se cruzaram no ponto F?
14. Compare a medida dos segmentos CB e DE . Mova os vértices. O que se
pode observar?
15. O que o quadrado tem em comum com o retângulo? E com o losango? O
quadrado pode ser um retângulo? O quadrado pode ser um losango?
Ao concluir esta atividade discutiu-se com os alunos que:
− As diagonais do quadrado são perpendiculares (losango) e congruentes
(retângulo);
− As diagonais do quadrado são bissetrizes dos ângulos internos.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Ao implementar a proposta pedagógica na Escola pude constatar o
quanto o ensino de Geometria pode se beneficiar desse recurso pedagógico. Em
conformidade com os autores Nogueira e Andrade, observei que quando
oportunizamos a construção e elaboração de conhecimentos através de recursos
computacionais contribuímos para a superação de dificuldades e facilitamos a
aprendizagem dos alunos.
Para se utilizar essa metodologia em sala de aula, faz-se necessário
uma mudança de postura do professor, pois é totalmente diferente de uma aula
tradicional. Surge constantemente a necessidade de retomar conceitos, isto é,
rompe completamente com o padrão de aula tradicional o qual estamos
acostumados.
Para desenvolver um trabalho com o auxílio do computador,
primeiramente, deve-se ressaltar a exigência um planejamento minucioso das
atividades por parte do professor.
Deve ser entregue aos alunos um roteiro do que será construído,
com os objetivos a serem alcançados, o que deverá ser observado e anotado.
Além disso, promover discussões com a turma sobre as observações anotadas,
fazendo as intervenções e retomadas de conceitos que o professor julgar
necessárias. Dessa forma estaremos colocando o controle do processo de
aprendizagem nas mãos do aluno, como nos recomendam vários autores, tais
como: Valente, Gravina e Santarosa, Richit e Maltempi.
A aplicação da proposta com os alunos, deu-se a princípio só com a
exploração dos recursos do software, primeiramente os alunos exploraram
livremente depois fizeram atividades bem simples e, gradativamente foi
aumentando o grau de dificuldade a cada atividade aplicada. De modo geral os
alunos não tiveram dificuldades em realizar as tarefas e exercícios solicitados,
inicialmente era necessário explicar alguns termos geométricos, mas conforme
foram avançando nos estudos isso já não era mais necessário.
Durante a aplicação das atividades pudemos observar vários
aspectos que merecem ser ressaltados. O primeiro é o aumento do interesse
pelas aulas, eles ficavam ansiosos pelas aulas desenvolvidas no Laboratório de
Informática, além de pedirem para os professores das outras disciplinas também
os levarem ao computador. Outra observação é que o desenvolvimento das
atividades utilizando um software demanda mais tempo para a formalização dos
conceitos, havendo a necessidade de adaptação curricular.
Trabalhar desta forma causa o rompimento da linearidade do
currículo, o que exige um domínio pleno do conteúdo por parte do professor, pois
o processo de aprendizagem está nas mãos do aluno, e o professor passa a ser
apenas o orientador, o mediador desse conhecimento.
O software oferece mecanismos bem acessíveis nas barras de
ferramentas os quais favorecem bastante as construções, mesmo que o aluno não
detenha muitos conhecimentos geométricos consegue realizar as construções
sem maiores dificuldades.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesse trabalho procurou-se verificar a eficácia dos ambientes
informatizados
no
ensino-aprendizagem
de
Geometria,
sob
uma
ótica
construcionista.
A utilização de ambientes informatizados ainda é um desafio, pois
envolve mudanças desde a formação de professores até mudanças curriculares.
Porém, este desafio vale à pena, sobretudo quando nos defrontamos com o
constante desinteresse dos alunos pela aprendizagem.
A inovação faz-se necessária em todas as áreas do conhecimento.
Então, surge uma questão: Por que esta inovação não se aplicar também dentro
da escola, na formação de alunos, de cidadãos?
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