6ª Série de Problemas
Mecânica e Ondas
MEBM, MEFT, LEGM, LMAC
1. Uma maçã com 100 g de massa cai de uma altura de 4,9 m.
1.a) Qual o valor da Acção entre o instante inicial (t=0) e o instante em que a
maçã atinge o chão (t=1) ?
1.b) Se na lei da queda dos graves, a velocidade fosse constante ou
variasse com t2, quanto valeria a acção calculada entre os mesmos pontos
(t0 = 0 s, x0 = 4,9 m; e t1 = 1 s, x1 = 0 m)?
1.c) Pode concluir, a partir destes cálculos, isto é, sem resolver as equações
de Euler-Lagrange, qual destas três leis descreve a queda dos graves?
2. Escreva a função de Lagrange e as equações do movimento para uma
partícula de massa pontual (projéctil) lançada com velocidade inicial v0
segundo um ângulo θ com a horizontal. Resolva as equações do movimento.
3. Uma pedra atada por um fio inextensível a um ponto central descreve um
movimento circular no plano vertical (ver figura).
3.a) Determine a velocidade mínima que a pedra
deve ter em B (ponto mais alto da trajectória), para
que o movimento (circular) seja possível ?
3.b) Nas condições da alínea anterior, determine a
tensão do fio nos pontos A, B, e C.
3.c)
O que acontece se o fio se partir ?
4. Escreva a função de Lagrange e a equação do movimento para uma
partícula de massa pontual que se desloca sobre um plano inclinado que faz
um ângulo θ com o plano horizontal.
5. Um corpo de massa m=500 g suspenso por um fio fino de comprimento
ℓ=1m executa um movimento circular no plano perpendicular ao peso como se
vê na figura. A massa do pêndulo ao rodar nesse plano faz um ângulo de 20º
com a vertical.
5.a) Determine a tensão no fio.
5.b) Determine a velocidade linear da massa do pêndulo.
5.c) Determine o tempo de uma rotação completa do pêndulo.
5.d) Sabendo que é necessário aplicar a potência de 10 W para que o
pêndulo permaneça em movimento cónico, determina a força média de
atrito a que a massa do pêndulo está sujeita.
6. Uma massa m está presa ao tecto por um fio inextensível de comprimento l
(pêndulo cónico). Considere o fio leve e sob tensão, e despreze a resistência
do ar.
6.a) Escreva o lagrangeano do sistema em função do ângulo polar que o fio
faz com a vertical e em função do ângulo azimutal que um plano vertical
contendo o fio faz com outro plano vertical fixo (de referência).
6.b) Escreva as equações do movimento a partir das equações de Lagrange.
6.c) Estude o caso particular em que o ângulo polar é constante, obtendo a
relação entre esse ângulo polar e a velocidade de rotação em torno do
eixo vertical.
7. Uma esfera encontra-se no topo de uma calote esférica de raio igual a 2m. A
esfera escorrega sem rodar e sem atrito.
7.a) Escreva a expressão do potencial em função de q e verifique que o
ponto inicial (q=0) é um ponto de equilíbrio instável.
7.b) Determine a velocidade da esfera em função de q antes da esfera
perder o contacto com a calote.
7.c) Determine o ângulo q do ponto em que a esfera abandona a calote.
7.d) Determine o ponto de impacto da esfera no chão.
2m
q
8. Considere o pêndulo simples representado na figura, com movimento apenas
no plano vertical. O fio tem comprimento l = 2 m, e a esfera
A tem a massa m = 1 kg.
8.a) Identifique os graus de liberdade e escreva o
Lagrangeano do sistema (sugestão: considere como
coordenada o ângulo θ do pêndulo com a vertical).
8.b) Escreva a equação do movimento.
8.c) Resolva a equação do movimento e determine a
frequência angular.