Produção Didático Pedagógica - Folhas
“Olhando por outro ângulo!”.
André chegou correndo em casa, estava
eufórico e falante, queria logo contar seu grande feito
durante a aula de educação física. Nesse dia o
esporte trabalhado foi futebol e no finalzinho da partida
ele conseguira marcar um gol olímpico, seu time não
Fig. 01- Futebolhttp://www.diaadiaeducacao.pr.gov.b
r/portals/bancoimagem/
ganhou, mas André foi eleito o herói da partida. Apenas
um detalhe atrapalhara a alegria da turminha, na saída
da escola, ainda comemorando, André e seus amigos atravessaram a rua sem
olhar para os dois lados e quase foram atropelados, nossa que susto levaram.
Mas isso ele contaria mais tarde à sua mãe, agora só conseguia pensar no seu
lindo gol, quem sabe sua mãe poderia ver essa situação por outro ângulo. E você?
Alguma vez já lhe falaram para olhar para os dois lados antes de atravessar a
rua?Você sabe o que é um gol olímpico e por que são tão raros? Qual a
dificuldade em marcá-lo?Olhar por outro ângulo ajuda a marcar um gol olímpico?
“Olhe para os dois lados antes de atravessar a rua!”.
A visão é um assunto que, em diferentes períodos provocou muita
curiosidade, veja o que o escritor mineiro Bartolomeu Campos de Queirós , tem a
dizer sobre a visão num fragmento do poema Os cinco sentidos.
Por meio dos sentidos
suspeitamos o mundo.
Com os olhos nós olhamos a vida.
Olhamos as águas rolando
entre pedras, peixes, algas.
Olhamos as terras generosas
Fig.02 – Olho – Cleusa de F. Vaismann
onde vivem animais, frutos
sementes.(...)
Vale conferir o poema na íntegra, para isso acesse o site :
http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2001/ling/ling0.htm.
Olhando por outro ângulo
Será que seus olhos têm o poder de visão do qual o poema se refere?
Todas as coisas são vistas sob um certo ângulo. O ângulo de visão.
Mas o que vem a ser ângulo?
É hora da descoberta: Realize essa atividade em duplas. Pesquise em
dicionários ou outros o significado da palavra ângulo, pesquise também a
etimologia dessa palavra, ou seja, sua origem. Registre o que você encontrou
em seu caderno, junto com a turma compare o significado encontrado por você
MATEMATICAMENTE ......
ÂNGULO
Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas;
reunião de duas semi-retas de mesma origem não

colineares.
Ângulo e medida angular são conceitos matemáticos
Fig.03
que estão entre os primeiros a serem utilizados pela Astronomia.
Embora não se tenha idéia de quando o homem começou a medir
ângulos, isso com certeza já era feito pelos astrônomos da antiga Mesopotâmia,
cerca de dois milênios antes de Cristo.
Você sabia que eles dividiram um ciclo completo em 360 partes iguais, e que cada
uma delas foi chamada grau? Você conhece o significado da palavra destacada?
Grau
Nesse endereço você encontrará algumas curiosidades acerca da unidade Grau
http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c46.html . Escreva numa folha de
papel ofício a que lhe chamar mais atenção, posteriormente exponha no mural
de sua sala.
De acordo com sua etimologia ‘ Grau’ significa “degrau” ou “passo”.
O grau tem sido uma das unidades usadas para expressar a medida de
ângulos ao longo de muito tempo, acompanhado em algumas situações de
minutos e segundos cuja origem também se deve ao sistema sexagesimal
babilônico.
Os babilônios usavam um
sistema
de numeração bastante
desenvolvido cuja base era sessenta sendo adotado mais tarde pelos astrônomos
gregos e deixando como herança a marcação das horas (1 hora=60 minutos;
1minuto=60 segundos) e a medição dos ângulos em graus. Posteriormente
quando as obras astronômicas gregas foram traduzidas pelos árabes, os
sexagésimos (1/60) foram chamados de primeiras menores partes e os
sexagésimos (1/360) de segundos menores partes. Mais tarde essas expressões
foram traduzidas para o latim, respectivamente, como partes minutae primae e
partes minutae secundae.
Assim originaram-se as palavras minutos e
segundos.Será que um gol olímpico depende de minutos e segundos?
Se não depende, existem diversas situações em que é necessário utilizar
unidades de medidas menores que 1°. A geografia é uma ciência em que a
aplicabilidade dessas unidades (minutos e segundos) se faz muito presente, você
já deve ter ouvido falar em paralelos e meridianos, latitude e longitude,
Meridiano de Greenwich e Linha do Equador.
Entrevista: Você pode realizar essa atividade em grupo de até
quatro alunos.
Procure um professor de geografia e entreviste-o, peça uma explicação
sobre:
1- O que são paralelos e meridianos? Quem determinou e em que
contexto histórico? Por que são necessários?Qual a importância
do Meridiano de Greenwich e a Linha do Equador?
2- O que são longitude e latitude?
3- Pesquise com a ajuda do professor de geografia qual a latitude e
a longitude extremas do seu município. Caso não encontrem,
pesquise na Prefeitura de sua cidade e responda:
Em qual direção seu município é mais extenso: Na direção nortesul ou na direção leste-oeste?
Continuando com os ângulos
O autor Neto Rodrigues vem contribuir com a nossa aula com a música cujo
título é muito sugestivo:
360°
Neto Rodrigues
Nossa vida é como um giro em 360°[....]
[...]viver aqui
será o melhor
entre propostas e respostas o que responder
360°[...] [... 90°]
DEBATE: Veja a letra completa dessa música acessando o site
http://vagalume.uol.com.br/08centos/360.html.
Organize um grupo para pensar e trocar idéias a respeito da frase: “Nossa vida
é como um giro em 360°”. Registre em seu caderno o que vem a ser um giro
em 360°? E 180°? E 90°? Você já deu giros em 360°? O que é um círculo em
360°?Será que um jogador precisa dar um giro de 360° para marcar um gol
olímpico? Ou será que a trajetória da bola é que deve ser em 360°?
ATIVIDADE: Girando Girando......
Desenhe um círculo. Use um compasso ou trace o
contorno de um objeto circular. Recorte o círculo com
cuidado.
Fig.04. Cleusa de F. Vaismann
Dobre-o ao meio, de forma que as bordas se
encaixem perfeitamente. Não abra.
Dobre-o novamente ao meio, cuidando para que as
quatro bordas estejam exatamente sobrepostas.
Fig.05. Cleusa de F. Vaismann
Agora já pode abrir!
Em quantas partes o círculo foi dividido?
Fig.06
Trace as retas sobre as dobras. Gire o círculo até
que as dobras fiquem na horizontal e vertical.
Marque 0° no ponto de encontro da dobra vertical
com a borda superior da circunferência.
Fig.07
Com seu dedo, siga toda à volta da circunferência até
voltar ao 0°. Seu dedo percorreu uma volta completa,
uma revolução de 360°. O 0° e os 360° ocupam a
mesma posição na circunferência do círculo, ou seja,
o início e o fim.
Fig.08
Partindo de 0° siga até o ponto oposto ao 0°. Quanto
de uma volta foi percorrido? Não é a metade da
circunferência? Quanto é a metade de 360°? Escreva
a medida em graus.
Fig.09
Agora, siga no sentido horário pela circunferência,
partindo de 0° até o percorrer um quarto da volta
completa. Qual é essa medida em graus?
Fig.10
Partindo de 0° no sentido horário, siga até a posição
oposta a um quarto de volta. Que fração você
percorreu?
Quantos
graus
correspondem
percurso? Marque o valor no círculo.
esse
Fig.11
Seu círculo agora se parece com este.

Uma volta completa = 360°

Meia volta =

Um quarto de volta =

Três quartos de volta =
1
= 180°
2
1
= 90°
4
Fig.12
3
270°
4
Dobre mais uma vez o círculo ao meio. Trace
duas novas retas sobre as dobras. Então?
1- Em quantas partes iguais o círculo está
dividido?
2- Que fração de uma volta tem cada parte?
3- Marque o número correto de graus nas quatro
Fig. 13
Registre essa atividade completando a tabela abaixo:
Fração da volta
1
4
8
1
4
Medida em graus
3
8
3
4
45°
1
2
315°
Fig.14
Tabela 01
CLASSIFICAÇÕES DOS ÂNGULOS
vu
Ângulo Reto:
1 - Ângulo cuja medida é 90º;
2
-
Os
lados
se
apóiam
em
retas
perpendiculares.
m(AÔB)= 90°
Fig.15
Ângulo Agudo:
Ângulo, cuja medida é menor do que 90º.
m(AÔB) < 90°
Fig.16
Ângulo Obtuso:
Ângulo cuja medida é maior do que 90º.
m(AÔB) > 90°
Fig.17
Ângulo Raso:
1 - Ângulo cuja medida
2 - Os lados são semi-retas opostas.
Fig.18
m(AÔB) = 180°
Ângulos Complementares:
Dois ângulos são complementares se ao
somarmos as suas medidas obtemos
um ângulo de 90°
m(AÔB) + m(BÔC) = 90°
Fig.19
Ângulos Suplementares: Dois ângulos
são suplementares se ao somarmos
suas medidas obtemos um ângulo de
Fig 20
180º.
m(AÔB) + m(BÔC) = 180°
Ângulos Replementares:
Dois ângulos são replementares se a
soma das suas medidas é 360.
Fig.21
Ângulos
Congruentes:
Ângulos
que
possuem a mesma
medida.
m(AÔB)  (A’Ô’B’)
Fig.22
Fig. 23
Ângulos Opostos pelo Vértice:
Dois ângulos são opostos pelo
vértice se os lados de um são as
respectivas semi-retas opostas
aos lados do outro.
Fig. 24
Ângulos Consecutivos:
Todos os ângulos que têm vértice comum e um
dos lados comum são ângulos consecutivos.
AÔB e BÔC
AÔB e AÔC
BÔC e AÔC
São ângulos consecutivos
Fig.25
Ângulos
Adjacentes:
Dois
ângulos
consecutivos são adjacentes se, não têm
pontos internos comuns. Os ângulos AÔB e
Fig.26
BÔC da figura são ângulos adjacentes.
Fig.26
Hora de praticar
Você poderá praticar o que aprendeu
realizando diversas atividades com o software de matemática
GeoGebra no endereço eletrônico abaixo:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/ O GeoGebra é um software de
matemática
que
reúne
as
três
grandes
áreas
da
Matemática:
GEOmetria,álGEBRA e cálculo.
CONSTRUINDO ÂNGULOS
1- Vá até o terceiro quadrado da barra
de ferramentas;
2- Clique e encontre a janela: semireta definida por dois pontos;
3-Desenhe uma semi-reta AB com
origem em (0,0);
4-Volte à origem (0,0) e desenhe uma
semi-reta AC;
5-Vá até o sexto quadrado da barra de
ferramentas, clique na janela: ângulo;
clique em OC e em seguida clique OB
o ângulo formado aparecerá.
Fig.27 Interface do software GeoGebra - Cleusa de Fatima Vaismann
Voltando ao gol olímpico
Será que André, no início da aula percebeu que tipo de ângulo formava a
trave? E mais, será que tirou a medida do ângulo da trave? Se isso aconteceu,
como ele conseguiu a medida?
A resposta está num instrumento simples conhecido como transferidor
O transferidor é o instrumento usado
para medir ângulos. Você pode encontrá-lo
em formatos de 360° e 180°.
Para medir um ângulo é preciso
colocar o ponto central do transferidor no
vértice de um dos lados do ângulo alinhado
com o 0°.
Observe que no centro do transferidor há um ponto.
Fig. 28
Esse ponto é o centro do ângulo. Alinhe o centro do transferidor com o
vértice do ângulo a ser medido. Depois marque o ângulo na direção do aumento
da contagem do transferidor.
Veja os três tipos de transferidores mais comuns:
Fig.29
Fig.31
Fig.30
Vamos testar seus
conhecimentos ?
Fig.32
Na figura acima, você poderá ler diretamente as medidas de outros ângulos,
registre essas
medidas na tabela abaixo:
m(AÔB)=........ m(AÔC)=...... m(AÔD)=....... m(AÔE)=.....
m(EÔB)=....... m(EÔC)=...... m(EÔD)=....... m(EÔA)=.....
Fig.33.Tabela 02
Verifique se existem ângulos que suplementares, se existirem registre em seu
caderno. E ângulos complementares existem? E replementares existem ?Registre.
É preciso ter olho vivo
Ao atravessar a rua na saída da escola André não olhou para os dois lados,
o ângulo sob o qual você vê um objeto não depende só da distância. Depende
também da sua posição.
Você sabe qual é o seu ângulo máximo de visão?
Você pode mover os olhos. Por isso, com a cabeça parada é capaz de ver num
ângulo de até 180°, pois seus olhos se encontram na parte dianteira do rosto.
Você já prestou atenção nos olhos de um cavalo? E de uma coruja? E de outros
animais?
Pesquise o ângulo de visão de alguns animais, como o cavalo, a coruja, o tigre,
o gato, o camaleão, o coelho, o tubarão, as lulas e outros (pelo menos 10), que
achar interessante, organize os dados em uma tabela e responda as questões a
seguir:
a) Por que os animais têm ângulos diferentes de visão?
b) O que determina a extensão do campo visual dos animais?
c) Através dos dados obtidos na pesquisa construa uma nova tabela
classificando-os em ângulos: retos, agudos ou obtusos.
d) Desenhe com o auxílio de um transferidor cada um dos ângulos de sua
pesquisa, para cada um deles escreva seu completar e seu suplementar.
e) Organize um problema em que seja necessário realizar adições e/ou
subtrações com os ângulos obtidos na sua pesquisa.
Só acredito vendo
No entanto de nada adiantaria todos esses campos visuais diferentes se no
mundo não existisse a luz. Sem luz nenhum ser vivo poderia enxergar.
Os físicos entendem, que o fenômeno da visão resulta da
combinação desses dois elementos: A luz e o olho. A reação do
olho à luz desencadeia em nosso cérebro uma série de processos
como memória, conhecimento, reconhecimento, etc.
Retornando a pergunta inicial.
Agora que você já sabe o que é um ângulo, como medi-lo e como são
classificados será que já têm as condições necessárias para conseguir marcar um
gol olímpico como o André? Esse gol depende apenas do ângulo de visão do
jogador? Ao cobrar o escanteio, saber o ângulo que a bola deverá fazer é
condição para se obter sucesso e realizar esse grande feito? Como conseguir
atingir esse ângulo? Habilidade, cabeça fria e muito treino também ajudam?
Pense nisso e até a próxima!
Referências Bibliográficas:
1- DINIZ, M.I. de S; SMOLE, K. C. S. O conceito de ângulo e o ensino de
geometria. São Paulo: CAEM-IME/USP,1998.
2- FILHO, A. G.; TOSCANO, C. Física. São Paulo: Scipione,2005.
3- GRASSESCHI, M.C.;ANDRETTA, M. C.; SILVA, A. B. dos S. PROMATProjeto Oficina de Matemática. São Paulo: FTD, 1999.
4- IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade.São Paulo:
Saraiva, 2005.
5- LAROUSSE. Dicionário da Língua Portuguesa. São Paulo: Ática, 2001.
6- LELLIS, M.C. ; IMENES, L.M.P.; JAKUBOVIC, J. Pra que serve a
matemática? Ângulos. São Paulo: Atual, 1992.
7- MORI, I., ONAGA, D. S.. Matemática Idéias e desafios. São Paulo:
Saraiva, 2005.
8- SANTANA, O. ; FONSECA, A.; MOZENA, E. Ciências Naturais. São
Paulo: Saraiva, 2006.
9- SMOOTHEY Marion. Atividades e jogos com Ângulos.Tradução e
adaptação Sérgio Quadros.São Paulo: Scipione,1997
Documentos consultados on-line:
1- http://cienciahoje.uol.com.br/1969 . Acesso em: 22 de agosto de 2007
2- http://www.mdig.com.br/index.php?itemid=310 .Acesso em: 22 de agosto de
2007
3- http://vagalume.uol.com.br/08centos/360.html. Acesso em: 22 de agosto de
2007
4- http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2001/ling/ling0.htm . Acesso em:
22 de agosto de 2007
5- http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c46.html. Acesso em: 01 de
outubro de 2007
6- http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/. Acesso em: 01 de outubro
de 2007
7- www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/dg_ângulos.pdf . Acesso em : 24 de
outubro de 2007
Obs : Fotos Cleusa de Fátima Vaismann