GEOMETRIA EUCLIDIANA I
AULA 09: POLÍGONOS REGULARES
TÓPICO 04: MEDIDA DE UM ÂNGULO EM RADIANOS
Considere um ângulo central, côncavo ou convexo, de uma circunferência de
centro O e raio R. Seja
o arco que esse ângulo subtende. Indiquemos por
C o comprimento desse arco.
Definimos a medida do ângulo central em radianos como sendo a quantidade
de vezes que o comprimento C do arco contém o raio R da circunferência, ou
seja, se x é essa medida, então
.
OLHANDO DE PERTO
Por exemplo, uma volta completa, que corresponde a um ângulo de 360º
em radianos, vale
, isto é 2 radianos, já que 2 R é o
comprimento total da circunferência.
Outro exemplo, um ângulo de 90º,em radianos, vale quanto?
Vejamos: O comprimento do arco associado ao ângulo central de 90º é 1÷4
do comprimento total da circunferência. De acordo?
Assim sendo, a medida de um ângulo de 90º, em radianos, é igual a
.
Enfim, as medidas em graus e em radianos são diretamente proporcionais.
Se x é a medida de um ângulo em radianos e y é a medida do mesmo ângulo
em graus, então x = k • y, sendo k a constante de proporcionalidade. O valor
de k podemos determinar do seguinte modo:
sabemos que quando y = 360 º, então x=2 , logo, 2 =k.360º e daí
Por conseguinte, temos:
OLHANDO DE PERTO
Essa relação nos permite passar de uma medida para outra. Ela também
pode ser expressa do seguinte modo:
.
.
Nessa notação, lemos: x está para y assim como 2 está para 360º. Podemos
ainda, a partir dessa relação e da relação
expressar o comprimento de
um arco em função do raio da circunferência e da medida do ângulo central
em graus.
Substituindo
em
, obtemos
.
Daí,
Essa relação também pode ser expressa em termos de uma proporção:
Responsável: Professor José Aílton Forte Feitosa
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