MODELAGEM E DINÂMICA DE PROCESSOS
Profa. Ofélia de Queiroz Fernandes Araújo
Escola de Química da UFRJ
[email protected]
VARIÁVEIS DE ESTADO
Definições
Estado: O estado de um sistema dinâmico é o conjunto mínimo de variáveis
(chamadas variáveis de estado) tal que o conhecimento destas variáveis em t = t0,
conjuntamente com as entradas em t ≥ t0, determinam totalmente o comportamento
do sistema para qualquer tempo t ≥ t0 .
Portanto, o estado de um sistema dinâmico em um instante t qualquer fica
determinado univocamente pelo estado no tempo t0 e as entradas para t ≥ t0, e é
independente do estado e das entradas antes de t0.
Variáveis de estado: As variáveis de estado de um sistema dinâmico é o conjunto
mínimo de variáveis que determinam o seu estado. Cabe ressaltar que as variáveis
de estado não necessariamente devem ser grandezas físicas.
Vetor de estado: Se forem necessárias n variáveis de estado x1(t), x2(t),..., xn(t),
para descrever um sistema, estas de variáveis de estado podem ser consideradas
como componentes de um vetor x(t), chamado vetor de estado.
Espaço de estado: O espaço n-dimensional, cujos eixos de coordenadas
correspondem ao eixo x1, eixo x2,..., eixo xn, é denominado espaço de estado. Um
estado qualquer pode ser representado através de um ponto no espaço de estado, e a
evolução do comportamento dinâmico de um sistema é representada por uma
trajetória no espaço de estado.
Um sistema dinâmico representado por uma equação diferencial ordinária de ordem
n pode ser descrito através de n equações ordinárias de 1a ordem, isto é, utilizando
notação vetorial - matricial é possível expressar uma equação diferencial ordinária
de ordem n através uma equação vetorial - matricial de primeira ordem. Esta
equação é chamada equação de estado.
Representação em espaço de estado de sistemas de enésima ordem
Função de perturbação não envolve termos derivativos.
Considere um sistema de ordem n cuja função de perturbação u (função excitadora),
não envolve termos derivativos. O sistema de enésima ordem é descrito pela
seguinte equação:
y ( n) + a1 y ( n −1) +L+ a n−1 y& + a n y = u
(1)
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onde y n K y& , são as derivadas de y.
Para este sistema o conhecimento das condições iniciais y ( 0 ), y& ( 0 ), L , y ( n − 1) ( 0 ) ,
conjuntamente com a entrada u(t ) para t ≥ 0, são suficientes para determinar o
comportamento futuro do sistema. Portanto, um conjunto possível de variáveis de
estado é y (t ), y&(t ),L , y ( n−1) (t ) .
x1 = y
x2 = y&
(2)
M
xn = y ( n− 1)
Portanto a equação (1) pode ser escrita como :
x& 1 = x
x& 2 = x 3
M
x& n −1 = x n
(3)
x& n = −a n x 1 −L− a1 x n + u
ou, na forma matricial, como:
x& = Ax + Bu
(4)
com
 x1 
 0
x 
 0
 2

x =  M , A =  M
 

M
 0
 x n 
− a n
1
0
0
M
1
M
0
−a n−1
0
− an − 2
E a resposta do sistema (equação de saída) é:
L
0 
0

0
L 0 
 
M , B =  M 

 
L 1 
0
1
L − a1 
(5)
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 x1 
x 
 2
y = [1 0 0 L 0] x3 
 
M
 x n 
(6)
ou em forma vetorial
y = Cx
(7)
C = [1 0 0 L 0]
(8)
onde
Exemplo:
Dado o sistema
&&&
y + 6 y&& + 11y& + 6 y = 6u
(9)
obter uma representação do sistema no espaço de estado.
Escolhendo as variáveis de estado como
x1
x2
=
=
x3
=
y
y&
(10)
y&&
pode-se escrever
x&1
x& 2
x& 3
=
=
x2
x3
= −6 x1
(11)
−11x 2
−6 x 3
Utilizando a notação vetorial - matricial
+6u
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x&1  0
1
0   x1  0

x& 2 =  0
0
1   x 2  + 0u
x&3 − 6 − 11 − 6  x 3  6
{
1442443
A
(12)
B
e a equação de saída é
 x1 
y = [1 0 0]  x 2 
1424
3
C
 x 3 
(13)
Caráter não único das variáveis de estado
O conjunto de variáveis de estado de um sistema não é único. Dado um conjunto de
variáveis de estado x1 , x 2 , K , x n é possível definir um novo conjunto de variáveis
de estado z1 , z2 ,K , zn através de um conjunto de funções X 1 , X 2 ,K, X n
z1
z2
M
zn
=
=
=
X 1( x1 , x2 ,K , xn )
X 2 ( x1 , x2 ,K, xn )
M
X n ( x1 , x2 ,K, xn )
(14)
sempre que, para cada conjunto x1 , x 2 , K , x n corresponda um único conjunto
z1 , z2 ,K , zn . Ou seja, define-se uma transformação linear entre os dois vetores de
estado.
z = Px
(15)
Para cumprir com as condições supracitadas, a matriz P não pode ser uma matriz
singular.
Exemplo:
Para o sistema apresentado no exemplo anterior, define-se um novo vetor de estados
z através da transformação:
 x1   1 1 1   z1 
 x  = −1 −2 −3 z 
 2 
 2 
 x 3   1 4 9   z3 
ou
(16)
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x = Pz
(17)
1 1 1
P = −1 −2 −3
 1 4 9 
(18)
com
substituindo (17) em (4) tem-se
Pz& = APz + Bu
(19)
Pré-multiplicando ambos os membros por P-1, e sabendo que P-1 P = I, obtém-se:
z& = P −1 APz + P −1 Bu
(20)
 z&1 
 z&  =
 2
 z&3 
(21)
ou
1
0  1 1
1   z&1 
 3 2.5 0.5  0
−3 −4 −1  0


0
1 −1 −2 −3 z&2  +



 
 1 15
. 0.5  −6 −11 −6  1 4 9   z&3 
 3 2.5 0.5 0
+ −3 −4 −1 0u

 
 1 15
. 0.5 6
simplificando
 z&1  −1 0 0   z&1   3 
 z&  =  0 −2 0  z&  + −6u
 2 
 2   
 z&3   0 0 −3  z&3   3 
(22)
A equação de saída é modificada e fica:
y = Cx = CPz
ou
(23)
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 1 1 1   z1 
y = [1 0 0]−1 −2 −3 z2 
 1 4 9   z3 
(24)
 z1 
y = [1 1 1]z2 
 z3 
(25)
Autovalores da matriz A
Os autovalores de uma matriz A são os escalares λ que resolvem a equação
Ax = λx
(26)
para x ≠ 0 . Portanto, os autovalores de A devem satisfazer
λI − A = 0
(27)
ou seja, são as raízes da equação característica (27). Por exemplo, para a matriz
1
0
0

0
1 
A=0
−6 −11 −6
(28)
a equação característica é
λ
−1
0
λI − A = 0 λ
−1
6 11 λ + 6
(27)
= λ3 + 6λ2 + 11λ + 6
= ( λ + 1)( λ + 2)( λ + 3) = 0
Os autovalores de A são as raízes da equação característica, que neste caso são -1, 2 e -3.
Como pode ser observado na equação (22), uma transformação linear P não altera
os autovalores do sistema, indicando que os autovalores, também chamados valores
característicos, estão associados ao sistema e não à sua representação. Formalmente,
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pode-se provar que os polinômios característicos de ambas as representações são
idênticos:
λI − A
=
λI − P −1AP
=
λIP−1P − P −1AP
=
P −1 (λI − A )P
=
P −1 (λI − A ) P
=
P −1 P (λI − A )
=
(λI − A )
(28)
Representação em espaço de estado de sistemas de equações diferenciais
lineares na qual a função de perturbação envolve termos derivativos.
Seja a equação diferencial do sistema representada por:
y ( n) + a1 y ( n −1) +L+ an − 1 y& + an y = b0u (n ) + b1u (n −1) +L+ bn− 1u& + bnu
(29)
y K, y ( n−1) não serve como conjunto de variáveis de
o conjunto de variáveis y , y& , &&,
estado pois o conjunto de equações diferenciais de primeira ordem obtidas a partir
delas pode não ter solução única. As variáveis de estado devem ser tais que
eliminem as derivadas de u na equação de estado.
Assim, uma forma de definir as variáveis de estado para este caso é :
x1 =
x2
x3
y − β 0u
= y& − β 0u& − β 1u = x&1 − β 1u
= &&y − β 0u&& − β 1u& − β 2 u = x&2 − β 2 u
xn
=
(30)
y (n − 1) − β 0u( n −1) −L− β n− 2u& − β n −1u = x&n− 1 − β n −1u
onde
β 0 = b0
β 2 = b1 − a1β 0
β 2 = b2 − a1β 1 − a2β 0
β 3 = b3 − a1β 2 − a2β 1 − a3β 0
β n = bn − a1β n− 1 −L− an −1β 1 − an β 0
(31)
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que garante a unicidade da solução da equação de estado. Com esta seleção de
variáveis de estado, as equações de estado para o sistema representado pela equação
(29) é dado por:
 x&1 
 x& 
 2 
 M =


 x&n − 1 
 x&n 
 0
 0

 M

 0
−an
1
0
0
M
1
M
0
0
− an− 1 − an − 2
L
0   x1   β 1 
L 0   x2   β 2 
M   M  +  M u

 

L 1   xn −1  β n − 1 
L − a1   xn   β n 
(32)
E a equação de saída é:
 x1 
x 
 2
y = [1 0 0 L 0] x3  + β 0u
 
M
 x n 
(33)
x& = Ax + Bu
y = Cx + Du
(34)
(35)
ou
onde
 x1 
 0
x 
 0
 2

x =  M , A =  M
M
 0
 

 xn 
− an
1
0
0
1
M
M
0
0
−an −1 − an − 2
L
L
0 
 β1 

 β 
0

 2 
M , B =  M 
β 
L 1 
n −1



L − a1 
 βn 
(36)
C = [1 0 0 L 0], D = β 0 = b0
Utilizando transformada de Laplace, a representação em forma de função de
transferencia do sistema dado pela equação (29) é:
Y ( s)
U ( s)
=
b0s n + b1sn −1 +L+bn− 1s + bn
sn + a1sn − 1 +L+ an− 1s + an
(37)
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Resolução da equação de estado invariante no tempo
A solução de uma equação diferencial escalar de primeira ordem
x& = ax
(38)
pode ser dada através de :
x (t ) = b0 + b1t + b2 t 2 +L+bk t k +L
(39)
Substituindo (39) em (38) tem-se:
(
)
b1 + 2b2 t + 3b3t 2L+ kbk t k − 1 +L = a b0 + b1t + b2t 2 +L+bk t k +L
(40)
Igualando coeficientes:
b1 = ab0
b2 = 12 ab1 = 12 a 2b0
b3 = 13 ab2 =
bk =
1
k!
1
3x 2
a 3b0
(41)
a k b0
Substituindo t=0 na equação (39) determina-se o valor de b0 :
x ( 0) = b0
Portanto, a solução pode ser escrita como:
(
)
x (t ) = 1 + at + 21! a 2t 2 +L+ k1! a k t k +L x (0) = e at x (0)
(42)
Para a equação diferencial vetorial - matricial
x& = Ax
(43)
por analogia com o caso monovariável a solução proposta é:
x (t ) = b0 + b1t + b2 t 2 +L+b k t k +L
Substituindo (44) em (43)
(44)
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(
)
b1 + 2b2 t + 3b 3t 2L+ kbk t k − 1 +L = A b0 + b1t + b2 t 2 +L+ bk t k +L
(45)
Igualando coeficientes tem-se:
b1 = Ab0
b 2 = 12 Ab1 = 12 A 2b 0
b 3 = 13 Ab2 =
1
3x 2
A 3b 0
(46)
b k = k1! A k b0
Substituindo t=0 na equação (44) obtém-se:
x ( 0 ) = b0
Portanto, a solução pode ser escrita como:
(
)
x(t ) = I + At + 21! A 2t 2 +L+ k1! A k t k +L x(0)
(47)
a expressão entre parêntesis é uma matriz nxn e, devido a sua semelhança com uma
série infinita de potências denomina-se matriz exponencial.
Exemplo:
Seja o sistema representado por:
−10 1
1 


A =  .2 −23 .4 
 .1
2 −15
com
1
 
x(0) = 1
1
t=linspace(0,1,100);
A=[-10,1,1;.2,-23,.4;.1,2,-15];
x0=[1;1;1];
x=[];
for i=1:length(t)
x=[x expm(A*t(i))*x0];
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end
plot(t,x)
xlabel('tempo')