Capítulo – IV
ESTÁTICA DE FLUIDOS OU FLUIDOESTÁTICA
RESUMO
Neste capítulo serão vistas as noções básicas de equilíbrio de um fluido e qual é a
sua condição de repouso ou de movimento uniforme, o Teorema de Pascal e de Stevin. As
equações deduzidas neste capítulo serão úteis para o calculo de manômetro, barreiras
submersas, determinação do centro de pressão de corpos submersos, equilíbrio de
embarcações e corpos flutuantes. Elas também fornecerão subsídios técnicos para os cálculos
que se seguirão nos capítulos posteriores.
Palavras Chave: Gradiente de pressão, manômetros, equilíbrio, empuxo, centro de pressão
PACS números:
4. 1 – Objetivos do capítulo
i) Saber definir o gradiente de uma grandeza escalar, ii) entender o significado
físico e geométrico do operador gradiente, iii) saber escrever a equação básica do equilíbrio
para um fluido estático, iv) entender o principio de Pascal e reconhecer a equação de Stevin
aplicando-a a problemas em fluidostática, v) aplicar a equação de Stevin a problemas
envolvendo variação de pressão com a altitude, manômetros de pressão, empuxo, forças sobre
superfícies planas e curvas, equilíbrio de corpos submersos e flutuantes, distinguir os difertens
tipos de manômetros e de leitura de pressão.
4. 2 - Introdução
Consideremos um fluido em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Nosso
objetivo inicial é obter uma equação que nos permita determinar o campo de pressões no
interior da massa fluida. Para tanto, escolhemos um elemento diferencial de massa, dm, de
arestas dx, dy e dz, como mostra a Figura - 4. 1.
Figura - 4. 1. Elemento diferencial de volume de um fluido sob forças e pressão em todas as faces.
4.1.1- Gradiente de uma grandeza ou de um campo escalar
Vamos agora estudar um novo operador diferencial, o gradiente de uma grandeza.
Seu significado físico e suas diferentes representações nos diversos sistemas de coordenadas
conforme se encontra no Apêndices. Chamamos de gradiente ao operador diferencial que
relaciona campos vetoriais e escalares. Como conceito geométrico o gradiente de um escalar
transforma essse escalar em um vetor. Basicamente o gradiente é uma operação de derivada
na direção de máxima variação do campo escalar determinando um campo vetorial.
Uma forma específica de gradiente, muito útil na Mecânica dos Fluidos, é o
gradiente de pressão, que relaciona campos vetoriais e escalares de tal maneira que passamos
de uma distribuição de pressão, ∇P, (força superficial) para um campo vetorial f (força
volumétrica). Esta relação pode ser tomada como base a Figura - 4. 1. Para isso vamos agora
calcular a força superficial sobre as faces do cubo da Figura - 4. 1.
Usando-se uma expansão em Série de Taylor até a primeira ordem, a pressão nas
faces do cubo da Figura - 4. 1 pode ser calculado da seguinte forma:
A pressão na face frontal, de área ∆y∆z, do cubo
PF = P +
∂P
( x F − x)
∂x
(4. 1)
1 ∂P
∆x
2 ∂x
(4. 2)
ou
PF = P +
A pressão na face traseira, de área ∆y∆z, do cubo
PT = P +
∂P
( xT − x)
∂x
(4. 3)
1 ∂P
∆x
2 ∂x
(4. 4)
ou
PT = P +
A pressão na face esquerda, de área ∆x∆z do cubo, é dada por:
PL = P +
∂P
( y L − y)
∂y
(4. 5)
1 ∂P
∆y
2 ∂y
(4. 6)
ou
PL = P −
A pressão na face direita, de área ∆x∆z, do cubo
PR = P +
∂P
( yR − y)
∂y
(4. 7)
1 ∂P
∆y
2 ∂y
(4. 8)
ou
PR = P +
A pressão na face superior, de área ∆x∆y, do cubo
PS = P +
∂P
( zS − z)
∂z
(4. 9)
1 ∂P
∆z
2 ∂z
(4. 10)
ou
PS = P −
A pressão na face inferior, de área ∆x∆y, do cubo
PI = P +
∂P
( z I − z)
∂Z
(4. 11)
1 ∂P
∆z
2 ∂y
(4. 12)
ou
PI = P +
Calculado a força superficial resultante ao longo das três direções ortogonais
temos que:
FS = ( PL − PR )∆x∆z + ( PS − PI ) ∆x∆y + ( PF − PT ) ∆y∆z
(4. 13)
Substituindo as equações (4. 6), (4. 8), (4. 10), (4. 12), (4. 2), (4. 4) em (4. 13) temos:
FS = −(
∂P
∂P
∂P
)∆x∆y∆ziˆ − ( ) ∆x∆y∆zˆj − ( ) ∆x∆y∆zkˆ
∂z
∂x
∂y
(4. 14)
∂P ˆ ∂P ˆ ∂P ˆ
)i + ( ) j + ( ) k ∆V
∂x
∂y
∂z
(4. 15)
Logo
FS = − (
Definindo-se o gradiente de p como sendo a força superficial por unidade de
volume, em um ponto:
∇p ≡
A equação (4. 15) fica:
∂P ˆ ∂P ˆ ∂P ˆ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(4. 16)
FS = −∇P∆V
(4. 17)
Será mostrado posteriormente que toda vez que houver um gradiente de uma
determinada grandeza intensiva, que não se anula, ocorre um fluxo da sua grandeza extensiva
correspondente.
4.1.2 – Derivada direcional e o significado físico do Vetor gradiente
Considere a derivada direcional do campo escalar, dada pela função P(x, y, z),
conforme mostra a Figura - 4. 2.
Figura - 4. 2. Derivada direcional na direção
r̂
e gradiente de um campo escalar
Esta derivada do campo escalar P na direção de um vetor r é dado por:
dP
= − ∇P nˆ.rˆ
dr
(4. 18)
dP
= − ∇P cosθ
dr
(4. 19)
dP
≤ ∇P
dr
(4. 20)
Como cos θ = nˆ.rˆ temos:
sndo que cosθ ≤ 1 temos:
Portanto o módulo do gradiente corresponde está na direção de máxima variação
da derivada direcional, ou máxima variação do campo escalar.
4.1.3 - Equilíbrio de forças em um fluido estático - Teorema de Stevin-Pascal
Como só existem duas naturezas de forças que podem atuar sobre um fluido, isto é
as volumétricas e superficiais, logo para que haja um equilíbrio mecânico em um fluido
estático, as somatória das forcas volumétricas deve ser igual a somatória das forças
superficiais. Portanto, para que o fluido esteja em equilíbrio (repouso ou em movimento
uniforme) a somatória das forças superficiais deve ser igual
a resultante das forças
volumétricas, temos que:
FV + FS = 0
(4. 21)
Substituindo (4. 17) em (4. 21) temos:
FV − ∇P∆V = 0
(4. 22)
Definindo a densidade volumétrica de força como sendo:
f ≡
dFV
dV
(4. 23)
portanto no limite onde ∆V → 0 , temos que
f − ∇P = 0
(4. 24)
Esta equação significa que, para um corpo, toda força aplicada na superfície (força
superficial), no caso de um fluido em equilíbrio, se transmite para o seu interior, isto é, para o
volume e vice-versa. Esta é uma equação muito geral utilizada em outros ramos da mecânica,
tais como, a mecânica da fratura a elastostática dos sólidos, etc.
4. 3 - Equações básicas da fluidoestática
A partir da conclusão geral da equação (4. 24) vamos calcular a variação de
pressão em um fluido devido a sua profundidade.
4.2.1 - Variação de pressão para um fluido em repouso
Vamos considerar o equilíbrio de forças presente em um fluido em repouso ou em
movimento uniforme. Portanto, para o caso de pressão apenas na direção vertical e f = ρg
temos que:
∇P =
∂P
∂z
(4. 25)
Logo substituindo (4. 25) em (4. 24) temos:
ρg −
∂P
=0
∂z
(4. 26)
integrando entre dois pontos de pressão diferentes temos:
P2 − P1 = ρg ( z 2 − z1 )
(4. 27)
Para P1 = Pa (pressão atmosférica) com nível de energia potencial gravitacional
zero a nível do mar tem-se z1 = 0 e z2 = h. Portanto
P = Pa + ρgh
(4. 28)
Esta equação é conhecida como equação de Stevin e será muito útil para resolver problemas
de equilíbrio de pressão e de corpos submersos.
4. 4 – Variação da pressão com a elevação (altitude) para um
fluido estático compressível.
Voltando a equação diferencial (4. 26), relacionado pressão, peso específico
elevação, devemos admitir agora que γ = ρg é uma variável e é passível de efeitos de
compressibilidade. Devemos nos restringir ao gás perfeito (ou ideal), que é válido para o ar ou
a maioria de seus componentes para grandes faixas de temperatura e pressão. A equação de
estado, contendo v, ajuda-nos a avaliar a necessária variação funcional do peso específico, γ,
porque 1/v e γ são relacionadas por suas definições, que são respectivamente, a massa e o peso
de um corpo por unidade de volume do corpo. Assim, usando a unidade de massa
conveniente, temos para uma massa unitária que:
1
g =γ
v
(4. 29)
Se fosse usado a outra unidade para massa (por exemplo, lbm), a relação acima ficaria
1 g
=γ
v go
(4. 30)
e, como g e go podem ser considerados com os mesmos valores numéricos na maioria das
aplicações práticas de fluidos, freqüentemente achamos a relação 1/v = γ empregada em tais
circunstâncias. Devemos formular nossos resultados em termos de slugs (ou kgm) e fazer as
conversões apropriadas quando necessário durante a solução dos problemas.
Devemos calcular agora a relação entre pressão e elevação para dois casos, a
saber, o fluido isotérmico (temperatura constante) e o caso em que a temperatura do fluido
varia linearmente com a elevação. Estes ocorrem em certas regiões de nossa atmosfera.
Caso - 1. Gás perfeito isotérmico.
Para esse caso, a equação de estado PV = nRT indica que o produto PV é
constante. Assim, em qualquer posição no fluido podemos dizer,
PV = P1V1 = cte
(4. 31)
Onde cte é uma constante e o índice 1 indica dados conhecidos. Resolvendo para v na equação
P
g
γ
= P1
g1
γ1
= cte
(4. 32)
Devemos admitir que a faixa de elevação é tão pequena que g pode ser considerado constante.
Assim
P
γ
=
P1
γ1
=
cte
=C
g
(4. 33)
Usando a relação acima, podemos exprimir a equação diferencial básica (4. 26) da seguinte
forma:
dP
P
=−
dz
C
(4. 34)
Separando as variáveis e integrando de P1 a P e de z1 a z, temos:
P2
z
dP
dz
=−
P
C
P1
z1
Efetuando a integração obtemos:
(4. 35)
z
ln P P1 = −
C
P
z
(4. 36)
z1
Substituindo os limites, a equação fica
ln
P
1
= − ( z − z1 )
P1
C
(4. 37)
Da equação (4. 33), temos que P1/γ1 = C, e resolvendo para P, obtemos
P = P1 exp −
γ
P1
( z − z1 )
(4. 38)
Isso nos fornece a relação desejada entre elevação e pressão em termos das condições
conhecidas P1, γ1, na elevação z1. Se a referência (z = 0) é colocada na posição dos dados
fornecidos, então z1, na equação acima, pode ser considerada nula.
Caso – 2. A temperatura varia linearmente com a elevação.
A variação de temperatura para esse caso é dada por:
T = T1 + Kz
(4. 39)
Onde T1 é a temperatura na referência (z = 0) e K é uma constante. A fim de podermos
separar as variáveis da equação (4. 28), devemos resolver para γ da equação de estado e, além
disso, determinar dz pela equação (4. 39). Esses resultados são
γ=
Pg
RT
(4. 40)
dz =
dT
K
(4. 41)
e
Substituindo na equação (4. 28), obtemos, após reordenar os termos,
dP
g dT
=−
P
KR T
(4. 42)
Para integrar essa equação, devemos conhecer como g varia com a temperatura ou com a
pressão, para este problema. Entretanto, devemos admitir outra vez que g seja constante.
Assim, integrando da referência (z = 0), onde P1, T1, etc. são conhecidas, temos:
T
T
P
g
ln =
ln 1 = ln 1
P1 KR T
T
g / KR
(4. 43)
Resolvendo para P e substituindo a temperatura T por T1 + Kz, encontramos para expressão
final.
T1
P = P1
T1 + Kz
g / KR
(4. 44)
Onde se deve observar que T1, deve ser em graus absolutos.
Ao concluir esta secção sobre fluidos compressíveis estáticos, devemos ressaltar
que se conhecemos a forma pela qual o peso específico varia, podemos usualmente separar as
variáveis na equação básica (4. 28) e integrá-la para obter uma equação algébrica entre
pressão e elevação.
4. 5 - Manometria
Na secção anterior, estudamos as leis de variação das pressões. Agora veremos a
Manometria, isto é, a medida das pressões.
4.3.1 - Atmosfera normal
De acordo com a experiência de Torricelli o valor da pressão atmosférica ao nível
do mar é:
Pa = 10328kgf / m 2 = 1,033kgf / cm 2 = 760mmHg
(4. 45)
Esta atmosfera física ou atmosfera normal que equilibra uma coluna de mercúrio
com 760 mm de altura.
4.3.2 - Atmosfera técnica (metros de coluna de água MCA)
Para simplificar, é costume adotar
Pa = 10.000kgf / m 2 = 1kgf / cm 2
(4. 46)
Que é chamada de atmosfera técnica
Se, em vez de mercúrio, Torricelli tivesse usado a água (γ = 1000 kgf/m3), o valor
da atmosfera técnica corresponderia a 10mca (10 metros de coluna de água):
Pa = 1atm = 10.000kgf / m 2 = 1kgf / cm 2
= 10mca = 0,968 An = 736mmHg
(4. 47)
4.3.3 - Atmosfera local
A pressão atmosférica diminui quando a altitude aumenta: a coluna de mercúrio
desce, aproximadamente 1mm para cada 15m de aumento de altitude. Para um ponto a 900m
de altitude, a atmosfera local será, de 900/15 = 60mmHg, logo
Pa = 13590.(0,76 − 0,60) = 9.513kgf / m 2 = 0,951kgf / cm 2
(4. 48)
Portanto, para uma altura qualquer tem-se:
Pa = ρ m g (0,76 −
altitude
)
15
(4. 49)
onde ρm é a densidade do mercúrio ou do liquido barométrico, g é aceleração da gravidade
local.
4.3.4 - Pressão efetiva e pressão absoluta
Na medição das pressões em diferentes pontos de um fluido em repouso, como os
pontos A e B mostrados na Figura - 4. 3, toma-se Pa (pressão atmosférica) como referência
ou origem das medidas. Cada uma das medições será a pressão efetiva no ponto.
Figura - 4. 3. Pressão em diferentes pontos de um fluido em repouso.
Essa pressão efetiva pode ser: positiva, quando for superior a Pa e negativa
quando for inferior a Pa (vácuo parcial), nula, quando for igual a Pa.
A pressão efetiva é igual a pressão manométrica. A pressão em um ponto também
pode ser medida a partir do zero absoluto (vácuo perfeito ou total) obtendo-se a pressão
absoluta que é sempre positiva. Para os pontos citados acima têm-se:
PA = Pa + PAef
(4. 50)
PB = Pa + PBef
(4. 51)
e
4.3.5 - Definições
i) Manômetro: é um instrumento usado para medir a pressão efetiva
ii) Vacuômetro: é um manômetro que indica as pressões efetivas negativas,
positivas e nulas
iii) Piezômetro: é a mais simples forma de um manômetro, mede somente
pressões em um líquido.
iv) Barômetro: mede o valor absoluto de pressão atmosférica.
v) Altímetro: é um barômetro construído especialmente para medir a altitude,
esses podem ser encontrados no painel de aeronaves medindo a altitude em relação ao nível
do mar.
4.3.6 - Classificação dos manômetros
Os manômetros se classificam em manômetro de líquidos e manômetros
metálicos.
i) Manômetros de líquidos: esses manômetros são tubos recurvados contendo
líquidos manométricos, conforme mostra a Figura - 4. 4.
Figura - 4. 4. Manômetro líquidos a) com uma extremidade em contato com a atmosfera b)
com as duas extremidades em contato com a atmosfera.
ii) Manômetros metálicos: são aqueles que medem a pressão do fluido por meio
da deformação de um tubo metálico recurvado ou de um diafragma que cobre o recipiente
hermético do metal.
4.3.7 – Tipos de manômetros
i) Manômetro diferencial: é o manômetro de líquido utilizado para medir a
diferença de pressão entre dois pontos
ii) Micromanômetro: é o manômetro utilizado para medir pressões muito
pequenas, quando torna-se dificil e impreciso a leitura das alturas manométricas em tubos
verticais. Para uma melhor leitura, inclina-se o tubo manométrico sob um ângulo α com a
horizontal.
4. 6 – Forças sobre superfícies planas submersas
Vamos agora estudar as forças hidrostáticas que atuam sobre uma superfície plana
submersa em um fluido incompressível estático. O objetivo desta parte é calcular e força
hidrostática resultante para que seja possível estimar a resistência mecânica de uma barreira
submersa. Como é estático não há tensão de cisalhamento, logo a força deve ser normal à
superfície.
Considere a Figura - 4. 5, onde a pressão, P, em uma altura, h, qualquer é dada
por:
P = Pa + ρgh
(4. 52)
Figura - 4. 5. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do centro de massa.
Se quisermos calcular a força resultante sobre a placa, desprezando-se a pressão
atmosférica, esta é dada por:
F = PdA = ρgdA = γ dA
(4. 53)
Como uma altura, h, qualquer é dada por:
h = y sen θ
(4. 54)
hc = y c sen θ
(4. 55)
Logo, teremos que:
Onde θ é o ângulo de inclinação da placa submersa.
A força resultante, FR, é dada a partir da substituição de (4. 54) em (4. 53), onde:
FR = ρgy sen θdA = γ sen θ ydA
Sabendo que y c A =
(4. 56)
ydA , temos:
FR = γ sen θy c A
(4. 57)
Usando (4. 55) em (4. 57) ficamos com:
FR = γhc A = p c A
(4. 58)
O centro de pressão da placa submersa poderá ser em um ponto diferente do
centro de massa e, por isso, um torque poderá se desenvolver sobre esta placa tentando girá-la
em torno de sua posição de equilíbrio. Portanto, vamos calcular o torque resultante sobre a
placa da seguinte forma:
T = FR y´
(4. 59)
Por outro lado, o torque é dado pela composição de todos os elementos de força sobre a placa
integrada sobre toda sua área, ou seja:
T = FR y´= γ h yA = γ sen θ y 2 dA
y sen θ
I xx
(4. 60)
Logo
y´=
γ sen θ I xx
FR
(4. 61)
Substituindo (4. 57) em (4. 61) temos:
y´=
I xx
yc A
(4. 62)
Sabemos pelo teorema dos eixos paralelos que:
I xx = I εε + Ay c 2
Logo substituindo (4. 63) em (4. 62) temos:
(4. 63)
I εε
Ay c 2
y´=
+
yc A yc A
(4. 64)
Onde a coordenada do centro de pressão é dada por:
y´= y c +
I εε
yc A
(4. 65)
Observe que:
y´≥ y c
(4. 66)
Quando será que y´ = yc ?. Resposta quando Iεε = Ixx, ou seja, quando yc = 0, logo
observe a Figura - 4. 6.
Figura - 4. 6. Centro de pressão coincidente com o centro de massa do corpo.
4. 7 – Forças sobre superfícies curvas submersas
Para barreiras curvas a força resultante será dada por:
FR = γ senθydA = γ senθ ydA
(4. 67)
Para barreiras nos três eixos cartesianos temos:
FR = FRx iˆ + FRy ˆj + FRz kˆ
Mas o gradiente de pressão só possui componente z, ou seja:
(4. 68)
∇P =
∂P
∂z
(4. 69)
E para barreiras curvas temos:
Figura - 4. 7. Forças de pressão sobre barreiras curvas submersas.
4. 8 – Empuxo em corpos submersos
A partir da equação de Stevin vamos considerar a resultante das forças sobre um
corpo de geometria qualquer, tomando um elemento cilíndrico de área, dA, conforme mostra a
Figura - 4. 8.
Figura - 4. 8. Corpo de geometria qualquer submerso é um fluido estático de densidade , ρ.
dFR = dF2 − dF1
(4. 70)
dFR = p 2 dA − p1dA
(4. 71)
Onde
Usando a equação de Stevin dada em (4. 28) temos:
dFR = ( Pa + ρgh2 )dA − ( PA + ρgh1 )dA
(4. 72)
dFR = ρg ( h2 − h1 ) dA
(4. 73)
Logo
Mas h = h2 –h1, é a altura do cilindro elementar inscrito no corpo de volume total, V, logo
dFR = ρghdA
(4. 74)
Integrado sobre todo o volume do corpo temos:
dFR = ρg hdA
(4. 75)
FR = ρg dV
(4. 76)
FR = ρgV
(4. 77)
Portanto
Ou simplesmente
Observe que ρ é a densidade do fluido e V é o volume deslocado pelo corpo
submerso. Portanto, o empuxo sobre um corpo de geometria qualquer é proporcional ao seu
volume,V, que corresponde ao volume deslocado do fluido, que foi substituído pela presença
do corpo. Este princípio é chamado de Principio de Arquimedes, pois foi ele que descobriu ao
utilizar o calculo para resolver o problema da coroa de Hirão na Grécia Antiga.
4. 9 – Equilíbrio de corpos flutuantes
Vamos agora estudar uma parte da mecânica dos fluidos que possui grande
aplicação a Engenharia Naval. Se um corpo está imerso ou flutua em um líquido, a força que
nele atua denomina-se “empuxo de flutuação”.
4. 10 – Exercícios
1) Escreva a equação básica da Estática dos Fluidos e dê o significado de cada termo e da
equação como um todo.
2) A partir da equação básica da estática dos Fluidos desenvolva-a e encontre a Lei de Stevin
P = Pa + ρgh.
3) Defina as condições de pressão e temperatura para a atmosfera padrão.
4) Diga qual é a diferença entre pressão absoluta e manométrica.
5) Um bloco de ferro com 5Kg está pendurado em um dinamômetro e é imerso em um líquido
de densidade desconhecida. A escala do dinamômetro indica um peso aparente de 6,16N.
Qual é a densidade do líquido.
Solução
A resultante das forças em um corpo, imerso em um fluido, é dado pelo peso
aparente, Pap, que nada mais é do que a subtração do peso do corpo, P, pelo empuxo, E.
Pap = P − E ,
(4. 78)
Explicitando os termos em termos da massa do corpo, mc, da aceleração da gravidade, g, da
densidade do líquido, ρliq, e do volume do corpo, Vc, temos:
Pap = mc g − ρ liq gVc
(4. 79)
Logo a densidade do líquido é dada por:
ρ liq =
(m c g − Pap )
gVc
Observe que é um ótimo método para determinar a densidade de um fluido.
(4. 80)
Capítulo – V
FUNDAMENTOS DA ANÁLISE DIFERENCIAL E
INTEGRAL DO MOVIMENTO E DO
ESCOAMENTO DOS FLUIDOS
RESUMO
Neste capítulo serão vistas as noções básicas de dinâmica dos fluidos, ou seja,
estudaremos o que significa volume de controle e as equações de conservação de massa e
energia para um fluido em movimento. Deduziremos alguns teoremas fundamentais que serão
úteis para o cálculo fluxos e processos com fluidos não viscosos e incompressíveis.
Palavras Chave:
PACS números:
5. 1 – Objetivos do capítulo
i) Entender o escoamento de fluidos
ii) Conhecer as leis básicas que regem o movimento e o escoamento de fluidos
iii) Aprender a usar o conceito de volume e superfície de controle no cálculo de escoamento
de fluidos
iv) Aprender a expressar matematicamente a derivada material de uma função qualquer
v) Saber fazer uso da equação da continuidade nos cálculos de escoamento de fluidos
vi) Saber expressar matematicamente e aplicar a condição de incompressibilidade nos
cálculos de escoamento de fluidos.
5. 2 – A segunda lei de Newton para fluidos
Consideremos uma partícula fluida em movimento causada por uma força. Na
mecânica a segunda lei de Newton é dada por:
Fi =
dp i
dt
(5. 1)
Ou, de uma forma mais simples para uma massa constante temos:
Fi = mi
dv i
.
dt
(5. 2)
Definindo um elemento de força resultante, sobre o fluido, como sendo:
dF = dm
dv
.
dt
(5. 3)
Em termos de um elemento de massa, dm, qualquer e a partir da definição de densidade, ρ ≡
dm/dV, podemos escrever a seguinte equação:
dm = ρdV .
(5. 4)
Logo substituindo (5. 4) em (5. 3) temos:
dF = dVρ
Como a aceleração a =
dv
dt
(5. 5)
dv
podemos definir a densidade volumétrica de forças como sendo
dt
dada por:
dF = ρadV
(5. 6)
Mas a força resultante pode ser escrita a partir da soma das forças superficiais e volumétricas
como:
FV + FS = F
(5. 7)
E de acordo com Erro! A origem da referência não foi encontrada. e Erro! A origem da
referência não foi encontrada. ou (4. 17)
dF = fdV − ∇P.dV
(5. 8)
fdV − ∇P.dV = ρadV
(5. 9)
f − ∇P = ρa
(5. 10)
Logo (5. 6) fica
Portanto:
Esta equação representa a deslocamento de um fluido sujeito apenas a pressão, ou
seja, forças na direção normal da superfície do fluido. Uma equação mais completa que
envolve forças tangenciais será vista posteriormente, onde será também incluída a lei da
viscosidade de Newton.
5. 3 – Movimento de fluidos como corpos rígidos
Um cilindro contendo um líquido encontra-se girando como um corpo rígido com
velocidade angular, ω, ao redor do seu eixo. Determine a forma da superfície de pressão
formada no fluido deformado.
corpo rígido.
Figura - 5. 1. Rotação de um cilindro contendo um fluido (líquido) que se comporta como um
A única força que age sobre o corpo é a devido a ação da gravidade, ou seja:
f = ρg
(5. 11)
A pressão que gera a deformação no cilindro de fluido deve ser dependente das
seguintes coordenadas:
P = P( r ,θ , z )
(5. 12)
Mas como a deformação é isotrópica devemos reduzir a
P = P(r , z )
(5. 13)
Neste caso temos que:
dP =
∂P
∂P
dz
dr +
∂r
∂z
(5. 14)
e o gradiente em coordenadas cilíndricas é dado por:
∇P =
∂P
1 ∂P ˆ ∂P
rˆ +
θ+
zˆ
∂r
r ∂z
∂z
(5. 15)
Logo, a equação (4. 24) pode ser reescrita como:
f − ∇ P = ρa
(5. 16)
ou de forma explicita
ρgzˆ −
∂P
zˆ = ρa z zˆ
∂z
(5. 17)
Sabemos pela deformação da curva que a altura z deve ser uma função apenas do raio, ou seja,
z = z(r), a qual deve ser calculada da seguinte forma:
dFr = ar dm = ar ρdV
(5. 18)
Como ac = v2/R = w2R, temos que:
v2
a r ( r ) = acentripeta (r ) =
= w2 r
r
(5. 19)
dFr = −ω 2 .r.ρ .r.dr.dθdz
∂P dr
dr
∂P dr
dr
(r − )dθdz − P +
(r + ) dθdz
∂r 2
2
∂r 2
2
dθ
+ 2 Pdr.dz sen( ) = −ω 2 r 2 ρ .dr.dθ .dz
2
(5. 20)
dFr = P −
dFr = − r
∂P
dr dθdz = −ω 2 .r 2 ρdr.dθ .dz
∂r
(5. 21)
(5. 22)
∂P
= ρω 2 r
∂r
(5. 23)
P = ρgz
(5. 24)
dP = ρgdz
(5. 25)
Como
Temos que:
Logo a equação (5. 14) poder ser escrita como:
dP = ρw 2 rdr − ρgdz
(5. 26)
Integrando temos
P
r
z
dP = ρw rdr − ρgdz
P1
2
r1
(5. 27)
z1
Logo
P − P1 = ρ
w2 2
2
(r − r1 ) − ρg ( z − z1 )
2
Mas, P = P1 = Patm, r1 = 0, e z1 = h1, logo
(5. 28)
w2 2
0=ρ
r − ρg ( z − h1 )
2
(5. 29)
w2 2
z ( r ) = h1 +
r
2g
(5. 30)
Portanto,
Uma vez sabendo como varia a altura z com o raio precisamos fazer ainda as
seguintes considerações geométricas:
V = πR 2 ho
(5. 31)
Mas também temos que:
R
z
0
0
V = dV = 2πrdr dz
(5. 32)
Logo
R
R
V = 2πrz (r )dr = 2π r h1 +
0
ω 2r 2
0
2g
dr
(5. 33)
Ou
V = π h1 R +
2
ω 2R4
4g
(5. 34)
Igualando (5. 31) com(5. 34) temos:
πR ho = π h1 R +
2
2
ω 2R4
4g
(5. 35)
Logo
h1 = ho −
Substituindo (5. 36) em (5. 30) temos:
(ωR) 2
4g
(5. 36)
(ωR) 2 1
r
−
z ( r ) = ho −
2g 2
R
2
(5. 37)
Donde tiramos as seguintes conclusões:
i) A forma do perfil do fluido é uma parábola
ii) Para um referencial não-inercial como o referencial em rotação do problema acima o
volume do fluido se deforma.
iii) Existe um perfil geométrico visível formado pela deformação do fluido.
5. 4 - Métodos de análise de escoamento dos fluidos.
Dependendo se estamos utilizando um sistema ou um volume de controle existem
dois métodos básico de análise dos fluidos.
5.3.1 - Sistema e volume de controle
Em termodinâmica chamávamos de sistema de interesse àquilo que queríamos
estudar e o resto de vizinhança ou sistema externo.
fluidos.
Figura - 5. 2. Diferença entre sistema e volume de controle para a descrição matemática dos
Nesse sistema tínhamos as variáveis extensivas (U = energia, V = volume, S =
entropia, N = número de partículas) são ditas extensivas porque dependem do tamanho do
sistema.
Variáveis intensivas (T = temperatura, P = pressão e µ = potencial químico) são
aquelas que não dependem do tamanho do sistema.
Cada grandeza extensiva possui a sua intensiva correspondente:
S, U → T; V → P; N → µ
Classificamos os tipos de sistema como:
Sistema isolado: é aquele sistema que não troca calor e nem massa com o meio
externo ou ambiente.
Sistema fechado: é aquele que não troca massa com o meio externo ou ambiente
Sistema aberto: é aquele que troca calor e massa com o meio externo
Volume de controle: é um volume arbitrário do espaço através do qual o fluido
escoa.
Superfície de controle: é o contorno do volume de controle, que pode ser real ou
imaginário e pode estar em repouso ou em movimento.
5. 5 - Forma integral e diferencial das equações básicas para
sistemas e volume de controle
Existem dois métodos de análise de escoamento de fluidos, o primeiro é o método
diferencial devido a Lagrange e o outro é o método integral devido a Euler. Estes métodos
possibilitam estudar os fluidos sob o ponto de vista puntual e espacial (ou volumétrico)
respectivamente, conforme veremos a seguir.
5.4.1 - Método diferencial versus método integral
Um fluido pode ser descrito na forma integral e na forma diferencial
Método de Análise Diferencial de Lagrange: estuda o comportamento do fluido a
partir de um ponto considerando que um conjunto infinito destes pontos descreverá todo o
corpo do fluido, por meio de equações diferenciais.
∇.J +
∂ρ
=0
∂t
(5. 38)
Método de Análise Integral de Euler: estuda o comportamento do fluido em um
volume extenso considerando que este é resultado das contribuições de cada ponto do fluido,
por meio de equações integrais.
J .dA +
S
∂
∂t
ρdV = 0
(5. 39)
5.4.2 – Relação entre os métodos descritivos de Euler e de Lagrange
A relação entre estes dois formalismos matemáticos pode ser estabelecida da
seguinte forma:
Para Euler o fluido atravessa o volume de controle por isso as equações são do
ponto de vista estático.
Para Lagrange o observador acompanha o movimento do fluido ponto a ponto.
Figura - 5. 3. Método descritivo do movimento dos fluidos. a) Euler b) Lagrange
5. 6 – Campo de velocidades
Para se caracterizar o escoamento de um fluido é necessário conhecer a
velocidade e a posição de cada partícula deste fluido. Tomando-se como base as equações de
movimento de uma única partícula, podemos perceber a dificuldade que a caracterização de
um escoamento representa.
Figura - 5. 4. Comparação entre o campo de velocidades de: a) uma partícula b) um sistema de
partículas c) um corpo sólido d) um corpo fluido.
Considerando-se o caso de um sistema de partículas discretas que se movem no
espaço, cada uma com uma velocidade vi independente uma das outras, suas velocidades
podem ser descritas pelas seguintes equações escalares:
v xi = f i (t )
v yi = g i (t )
(5. 40)
v zi = hi (t )
Observe que a identificação de uma partícula é facilitada pelo uso de um índice, i.
Entretanto, em um sistema deformável, tal como um fluido, há um número infinito de
partículas que se movem simultaneamente. A descrição matemática dos movimentos
individuais de cada partícula é impossível de ser realizada, a menos que se encontre uma
forma alternativa de simplificar a descrição pelo uso de coordenadas espaciais, que retratem o
compromisso que o conjunto delas tem com o movimento do todo, como acontece na
descrição do movimento das partículas que compõem um sólido (Figura - 5. 4c), quando se
utiliza a trajetória do centro de massa de um corpo para descrever o seu movimento. No caso
de fluidos, o uso de coordenadas espaciais ajudam a diminuir o número de equações
necessárias para se descrever o movimento das partículas, facilitando a sua identificação em
um escoamento. Desta forma, a velocidade de todas as partículas de um escoamento pode ser
expressa como:
v ( x, y , z , t ) = f ( x, y , z , t )iˆ + g ( x, y, z , t ) ˆj + h( x, y, z , t ) kˆ
(5. 41)
assim o emprego de coordenadas espaciais resolve o problema da descrição matemática,
substituindo o índice “ï” do sistema de partículas, estudadas na mecânica, por funções espaçotemporais, do tipo:
v x = f ( x, y , z , t )
v y = g ( x, y , z , t )
(5. 42)
v z = h( x. y , z , t )
É preciso perceber que na maioria das vezes o movimento de cada partícula estará
comprometido com o movimento da sua vizinha descrevendo assim um comportamento de
um conjunto infinito delas. Estes comportamentos podem ser classificados, quanto as suas
características espaço-temporais em, linhas de emissão, trajetória, filetes e linhas de corrente,
conforme veremos a seguir.
Portanto, um campo de velocidades é definido como sendo aquele em que ocorre
uma distribuição contínua de pontos no espaço cada um deles caracterizado por uma
velocidade, de tal forma que esta pode ser escrita como funções das coordenadas (x, y, z, e t)
da seguinte forma:
v ( x, y , z , t ) = v x ( x, y, z , t )iˆ + v y ( x, y, z , t ) ˆj + v z ( x, y, z , t ) kˆ
(5. 43)
Tal campo determina o regime de escoamento de um fluido. E de acordo com
dependência temporal de suas grandezas podemos ter dois tipos de regimes de escoamento, o
escoamento não-permanente (ou não-estacionário) e o escoamento permanente (ou
estacionário).
5. 7 – Características físicas de um fluido
As principais características físicas de um fluido em escoamento são definidas
como:
5.6.1 – Linhas de emissão
É o número de partículas fluidas, próximas, em um campo de escoamento,
assinaladas em um determinado instante, cujas observações subseqüentes desta linha podem
fornecer informações a respeito do campo de escoamento.
Como exemplo, consideremos a Figura - 5. 5.
Figura - 5. 5. Linhas de emissão para diferentes tempos de observação em um regime nãopermanente (ou não-estacionário) onde v = v(x,y,z,t).
Observe que o enfoque da linha de emissão está sobre o instante em que o fluido
foi observado, ou seja, cada linha de emissão representa uma fotografia instantânea do
escoamento. Observe também que neste caso a trajetória das partículas é descrita por uma
função, s, dada por:
s = s ( x, y , z , t )
(5. 44)
5.6.2 – Trajetórias
É a linha traçada por uma partícula em movimento no interior de um fluido.
Observe que o enfoque do conceito de trajetória está sobre uma determinada partícula do
fluido, tanto na Figura - 5. 5 como na Figura - 5. 7 as trajetórias se confundem com as linha de
emissão descrita nesta figura.
Figura - 5. 6. Trajetória de uma partícula fluida no intervalo de tempo, ∆t = tn – to.
Observe a partir da Figura - 5. 6 que se a trajetória de uma partícula, como um
todo, mudar de lugar (posição) com o tempo, o conjunto dessas trajetórias descritas por um
determinado número de partículas todas assinaladas nesse intervalo de tempo determina uma
linha de emissão. Contudo, se as linhas de emissão não variam com o tempo, isto é, não
mudam de lugar, podemos utilizar um outro conceito chamado de filete.
5.6.3 – Filetes
É a linha que une todos as partículas que passam por um determinado ponto fixo
do espaço, após um curto intervalo de tempo.
Figura - 5. 7. Filetes para diferentes pontos fixos no espaço em um regime permanente
(estacionário) onde v = v(x,y,z).
Como exemplo, consideremos a Figura - 5. 7. Observe que o enfoque do filete
está sobre um determinado ponto fixo no espaço (ou seja, cada filete representa uma raia na
qual as partículas fluem de forma análoga a uma corrida de equipes de atletas, onde cada
equipe veste uma cor determinada e corre na sua raia correspondente, conforme mostra a
Figura - 5. 8.
a)
turbulento.
b)
Figura - 5. 8. Equipes de corredores colorido correndo em raias coloridas; a) fluxo laminar b) fluxo
Se cada equipe permanecer na sua raia (filete) temos um escoamento permanente
(laminar). Se uma equipe cruzar de uma raia (filete) para a raia (filete) de outra equipe temos
um escoamento não-permanente (ou turbulento). Se alguém tira uma foto da corrida cada
equipe determina uma linha de emissão. Se observarmos um corredor em particular
descreveremos uma trajetória.
Além das linhas de emissão,trajetórias e filetes, é preciso também caracterizar o
aspecto geométrico do campo de velocidades no fluido, através do que chamamos de linha de
corrente.
5.6.4 – Linhas de corrente
É a linha formada, em um dado instante, pelo conjunto de vetores tangentes à
direção do fluxo em todos os pontos. Estas linhas são traçadas, em um campo de escoamento,
de modo que, em um dado instante, são tangentes a direção do fluxo em todos os pontos do
campo, conforme mostra a Figura - 5. 9.
Figura - 5. 9. Linhas de corrente em um escoamento de um fluido.
Como as linhas de corrente são tangentes a cada ponto, então elas estão no sentido
do vetor velocidade, onde:
r = xiˆ + yˆj + zkˆ
(5. 45)
logo
v=
dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ
= i+
j+ k
dt dt
dt
dt
(5. 46)
Portanto
v = v x ( x, y, z , t )iˆ + v y ( x, y , z ) ˆj + v z ( x, y, z ) kˆ
(5. 47)
Um campo de velocidades é também classificado quanto ao seu comportamento
no tempo como:
5.6.5 - Regime não-permanente (ou não-estacionário) e permanente (ou
estacionário)
É o regime de escoamento de um fluido cuja descrição matemática de suas
grandezas não variam com o tempo.
η = η ( x , y , z , t ) → η = η ( x, y , z )
(5. 48)
permanente.
Figura - 5. 10. Características físicas de um fluido para; a) regime não-permanente; b) regime
Neste caso a trajetória para um regime não-permanente é dada por:
r = r ( x, y , z , t )
(5. 49)
e para um regime permanente é dado por:
r = r ( x, y , z )
(5. 50)
No caso da velocidade temos que:
v = v ( x, y , z , t )
(5. 51)
v = v ( x, y , z )
(5. 52)
para o caso não-permanente e
para o caso permanente. No regime permanente, linha de emissão, trajetória e filete se
confundem.
Mudando-se o referencial (sistema de coordenadas) é possível escrever um campo
não-permanente como um campo permanente através de uma transformação de coordenadas,
conforme mostra a Figura - 5. 11.
Figura - 5. 11. a) Transformação de coordenadas para mudança de regime não-permanente para
permanente; a) Fluido inicialmente parado e torpedo em movimento, v(xo.yo) = v(t); b) Fluido em movimento e
torpedo parado, v(εo, ηo) = vo = cte.
No regime permanente temos que:
∂η
=0
∂t
(5. 53)
Onde η é uma propriedade qualquer do fluido, por exemplo, a densidade que é um escalar:
∂ρ
= 0 ou ρ = ρ ( x, y , z )
∂t
(5. 54)
Ou a velocidade que é um vetor:
∂v
= 0 ou v = v ( x, y, z )
∂t
(5. 55)
5.5.2 - Tipos de escoamento de fluidos
Quanto aos graus de liberdade para descrição matemática de um escoamento
existem três tipos, a saber:
Escoamento unidimensional: é o escoamento de um fluido cuja descrição
matemática pode ser feita com um mínimo de três coordenadas independentes
Figura - 5. 12. Escoamento unidimensional
Escoamento bidimensional: é o escoamento de um fluido cuja descrição
matemática pode ser feita com um mínimo de duas coordenadas independentes.
Figura - 5. 13. Escoamento bidimensional
Escoamento tridimensional: é o escoamento de um fluido cuja descrição
matemática pode ser feita com um mínimo de três coordenadas independentes.
5. 8 – Leis básicas da mecânica dos meios contínuos para sistemas
e volumes de controle
5.7.1 - Conservação da massa e a derivada material
A quantificação da massa de um fluido deve levar em conta o volume na qual esta
massa se encontra sob controle. Normalmente ao se deslocar de um ponto a outro um fluido
pode sofrer variação de volume, mas a massa total permanece constante. Contudo, em relação
a uma região delimitada do espaço, denominada volume de controle, esta massa pode está
variando e por isso torna-se necessário equacioná-la de forma a saber quanta massa atravessa
(chega e sai) por unidade de tempo, conforme mostra a Figura - 5. 14. Logo, de uma forma
geral, se M = M(x,y,z,t) temos:
dM ( x, y, z ) ∂M ∂x ∂M ∂y ∂M ∂z ∂M
=
+
+
+
dt
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
∂t
(5. 56)
dM ∂M
∂M
∂M
∂M
=
vx +
vy +
vz +
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
(5. 57)
ou
Simplificando temos:
dM
∂M
= v .∇M +
dt Transpote ∂t
(5. 58)
Local
Figura - 5. 14. Volume e superfície de controle na qual atravessa uma massa fluida, dm = ρdV, em
um intervalo infinitesimal de tempo, dt, com velocidade, v.
De forma análoga, vamos considerar a derivada material de qualquer grandeza
generalizada, denominada, MX, como sendo dada por:
dM X
∂M X
= v .∇M X +
dt
∂t
(5. 59)
Definido-se a grandeza MX como sendo da por meio de uma densidade generalizada, ρX,
temos:
ρ X dV
MX =
(5. 60)
V
A equação (5. 59) torna-se:
d
dt
ρ X dV = v .∇M X +
VX
∂
∂t
ρ X dV
VX
(5. 61)
Esta expressão é absolutamente geral para as grandezas MX = Q (calor), q (carga
elétrica), C (concentração), p (momento), etc e suas respectivas densidades, ρX, de, calor,
carga elétrica, concentração, momento, etc.
5. 7.2 – O fluxo de generalizado, JX, através de uma superfície
Vamos a partir de agora definir o fluxo generalizado, JX, das grandezas
generalizadas, MX, consideradas anteriormente, como sendo:
JX =
1 dX
A dt
(5. 62)
Desde que dX/dt é uma derivada material para as grandezas X = Q (calor), q
(carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. O fluxos correspondentes podem ser
definidos como JX = JQ (fluxo de calor), Jq (fluxo de corrente elétrica), Jρ (fluxo de massa), Jp
(fluxo de momento = pressão + tensão tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de
Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc.
Portanto, a partir da equação (5. 58) temos:
JX ≡
∂X
1
(v .∇X +
)
A
∂t
(5. 63)
Reescrevendo o primeiro termo do lado direito da equação acima temos:
1
1 ∂X
(v .∇X ) =
v .∇ρ x
A
A ∂ρ X
(5. 64)
1 ∂X
∂X
v .∇ρ x +
A ∂ρ X
∂t
(5. 65)
Logo
JX =
Chamando de kX a constante de acoplamento dada por:
kX = −
1 ∂X
v
A ∂ρ X
(5. 66)
Ficamos com:
J X = − k X ∇ρ x +
∂X
∂t
(5. 67)
Para uma grandeza X que não varia explicitamente no tempo, temos que ∂X ∂t = 0 , ficamos
finalmente com:
J X = − k X ∇ρ x
(5. 68)
Observe que, para as grandezas ρX = T (temperatura), φ (potencial elétrico), C
(concentração), v (velocidade), etc, correspondem aos fluxos JX = JQ (fluxo de calor), Jq
(fluxo de corrente elétrica), Jρ (fluxo de massa), Jp (fluxo de momento = pressão + tensão
tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc. Onde
em cada caso temos kX = -k (condutividade térmica), -σ (condutividade elétrica), -D
(coeficiente de difusão), µ (coeficiente de viscosidade), etc.
5. 7.3 – Teorema de Gauss para o fluxo de massa
Retornando a derivada material dada em (5. 58) podemos escrever a versão
integral desta equação. Para realizarmos este cálculo devemos considerar o fato que sendo ρ =
dm/dV, logo:
ρdV
M=
V
(5. 69)
Tomando o primeiro termo do lado direito de (5. 58) temos:
ρdV .v
v .∇M = ∇
V
(5. 70)
Passando o operador gradiente para dentro da integral, temos:
∇( ρv ) dV =
v .∇M =
V
( ρ∇v + v .∇ρ )dV
V
(5. 71)
Mas dV = dxdydz, logo:
v .∇M =
∂
∂
∂
( ρv ) + ( ρv ) + ( ρv )]dxdydz
∂x
∂x
∂x
(5. 72)
∂ ( ρv )dydz + ∂ ( ρv )dxdz + ∂ ( ρv ) dxdz
(5. 73)
[
V
Então
v .∇M =
V
Logo
v .∇M =
ρv dydz +ρv dxdz + ρv dxdy
(5. 74)
ρv dAx +ρv dA y + ρv dAz
(5. 75)
ρv .dA
(5. 76)
S
Ou
v .∇M =
S
Portanto
v .∇M =
S
Por outro lado, tomando o segundo termo do lado direito de (5. 58) temos que a taxa de
variação temporal de massa é:
∂M ∂
=
∂t ∂t
ρdV =
V
V
∂ρ
dV
∂t
(5. 77)
Substituindo de volta (5. 76) e (5. 77) em (5. 58) temos que:
dM
=
dt
ρv .dA +
S
V
∂ρ
dV
∂t
(5. 78)
Chamando de J = ρv ao fluxo de massa que atravessa a superfície do volume de controle
temos o seguinte resultado geral:
dM
=
dt
J .dA +
S
V
∂ρ
dV
∂t
(5. 79)
Para o caso em que a massa total se conserva, ou quando o volume de controle não envolve a
fonte de massa, temos que dM/dt = 0, logo
J .dA +
S
V
∂ρ
dV = 0
∂t
(5. 80)
Esta equação diz que quando a massa é constante, o que o fluxo de massa que
atravessa a superfície é igual a variação de massa no seu volume de controle.
Figura - 5. 15. Volume e superfície de controle nos quais atravessam um fluxo, J, de massa fluida
compressível, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, com velocidade, v.
5. 7.4 – Teorema da divergência
Vamos agora definir, assim como o gradiente, um novo operador diferencial que
ajudará muito na solução de problemas de fluxo de massa e energia. No apêndice se encontra
a interpretação física deste operador. Na verdade ele determina qual é a fonte do campo, isto,
se o volume de controle inclui essa fonte nos cálculos. Portanto, a partir de (5. 76) vamos
tomar a derivada em relação ao volume desta grandeza de tal forma que:
d (v .∇M ) d
=
dV
dV
ρv .dA (grandeza intensiva)
(5. 81)
S
A qual chamaremos de divergente da grandeza escalar φ(x,y,z,t) definida por:
φ ≡ v .∇M =
ρv .dA ( vazão)
S
(5. 82)
Como
J = ρv
(fluxo)
(5. 83)
J .dA
(5. 84)
Logo φ(x,y,z,t) pode ser escrito como:
φ≡
S
Podemos chamar de divergente de J a equação:
∆φ dφ
=
∆V →0 ∆V
dV
∇.J ≡ lim
(5. 85)
logo
∇.J =
d
dV
J .dA
(5. 86)
S
Do qual podemos escolher o volume do cálculo do divergente coincidente com o volume de
controle da área utilizada no cálculo da vazão, e escrever:
∇.J dV = d ( J .dA)
V
S
(5. 87)
Ou integrado no volume temos:
∇.J dV =
V
J .dA
S
(5. 88)
Desde que a superfície de controle, S, contenha o volume de controle, V.
Este teorema , de uma forma geral, relaciona integral de volume com a integral de
superfície.
5. 7.5 – Tensor das tensões generalizado descrito como fluxo de momento
Observe da equação Erro! A origem da referência não foi encontrada. e Erro!
A origem da referência não foi encontrada. que o fluxo de momento pode ser escrito como
uma parte normal e outra tangencial, onde a normal é chamada de pressão e a tangencial é
chamada de tensão de cisalhamento, todas as duas são devidas a Newton, ou seja,
Jp ≡
1 dp
=
A dt
ii
+
ij
(5. 89)
Portanto, a força superficial, FS , pode ser escrita como:
FS =
J p .dA
S
Usando o teorema da divergência teremos:
(5. 90)
FS =
∇.J p dV
V
(5. 91)
Logo, a densidade volumétrica de força superficial, f S , é dada por:
fS ≡
dFS
d
=
dV dV
∇.J dV
(5. 92)
V
Portanto,
f S ≡ ∇.J p .
(5. 93)
Apesar deste ser um resultado aplicado para forças superficiais ele também á válido para
forças volumétricas e para qualquer um dos fluxos definidos anteriormente.
Sendo o fluxo J p dado pela identidade (5. 89), podemos escrever:
f S = ∇.
ii
+ ∇.
ij
(5. 94)
como sempre o divergente reduz a ordem do tensor, transformando uma matriz em um vetor,
por exemplo, observe que, como f S , é um vetor, necessariamente, as grandezas
ij devem
ii e
fazer parte de uma matriz completa, ou seja, de acordo com Erro! A origem da
referência não foi encontrada. temos:
[ ] = [ ] − P[I] ,
(5. 95)
No caso, esta matriz corresponde ao tensor das tensões dada em Erro! A origem da
referência não foi encontrada., onde:
f S = ∇.[ ]
(5. 96)
Esta equação será muito útil para se deduzir a equação de Navier–Stokes para um
fluido viscoso. Mas, por enquanto estamos tratando com fluidos sem viscosidade. Neste caso
as componentes tangenciais da matriz dada em Erro! A origem da referência não foi
encontrada. são nulas e a matriz é dada apenas em termos de Erro! A origem da referência
não foi encontrada., Erro! A origem da referência não foi encontrada. e Erro! A origem
da referência não foi encontrada. logo:
−P 0
− P[I ] ≡ 0 − P
0
0
0
(5. 97)
−P
0
Logo,
∇.[ ] = −∇.P[I ] = −∇P
(5. 98)
Observe que somente neste caso um divergente é igual a um gradiente, por esta razão a
equação (5. 10) fica
f + ∇.[ ] = ρa
(5. 99)
Esta equação é uma passo a mais na generalização da equação (5. 10). Ela
representa a 2a Lei de Newton para os fluidos e será, de agora em diante, cada vez mais
acrescentado termos até se chegar a equação final de Navier-Stokes onde o comportamento de
um fluido com viscosidade e compressibilidade será considerado completamente.
5. 7.6 – Equação da continuidade
Vejamos agora a utilidade do teorema da divergência para transformar a equação
integral dada em (5. 79) em uma equação diferencial. Portanto substituindo (5. 88) em (5. 79)
temos que:
dM
=
dt
∇.JdV +
S
V
∂ρ
dV
∂t
(5. 100)
Tomando-se os mesmo volume de controle tanto para o divergente como para o
fluxo temos que:
∂ρ
d dM
(
) = ∇.J +
dV dt
∂t
(5. 101)
Ou trocando a ordem das derivadas totais temos:
∇.J +
∂ρ dρ
=
∂t dt
(5. 102)
Considerando o caso em que a massa total se conserva (dρ/dt = 0) temos:
∂ρ
= 0 (escoamento incompressível)
∂ρ
∂t
∇.J +
=0
∂ρ
∂t
≠ 0 (escoamento compressível)
∂t
(5. 103)
Esta equação diz a mesma coisa que a equação (5. 80), porém em uma linguagem
diferencial, ou seja, quando a massa é constante, o que variação volumétrica do fluxo de
massa que atravessa a superfície é igual a variação temporal da massa no seu volume de
controle. Esta equação decide se o escoamento é incompressível ou não.
Para a situação de fluxo generalizado, J X , temos:
∇.J X +
∂( ρ X )
=0
∂t
(5. 104)
Explicitando, JX, temos:
∇.( ρ X v ) +
∂( ρ X )
=0
∂t
(5. 105)
Usando a identidade diferencial temos:
∇.( ρ X v ) = ρ X (∇.v ) + v .∇ρ X
(5. 106)
Logo
ρ X (∇.v ) + v .∇ρ X +
∂( ρ X )
=0
∂t
(5. 107)
Esta equação explicita a equação da continuidade em termos da densidade
generalizada, ρX, e da velocidade, v .
5. 9 – Movimento de um elemento fluido
Antes de formular os efeitos de forças no movimento de fluidos (dinâmica)
consideremos o movimento (cinemática) de um elemento fluido no campo de escoamento. Por
conveniência seguiremos um elemento infinitesimal de identidade constante (massa) como na
figura 5. 4. Como o elemento infinitesimal de massa, dm, se move em um campo de
escoamento muitas coisas podem acontecer. Talvez, a mais óbvia de todas é que o elemento
desloca-se. Ele sofre um deslocamento linear do ponto x, y, z ao outro diferente x1, y1,z1. O
elemento pode também girar. A orientação do elemento como indicada na fig.5.4 na qual seus
lados são paralelos aos eixos coordenados, x,y,z, pode variar como resultado de uma rotação
pura ao redor de um (ou de todos três) eixos x,y,z. Além disto o elemento pode deformar-se. A
deformação pode ser de duas maneiras: deformação linear e deformação angular. A
deformação linear envolve variação da forma sem mudança na orientação do elemento: é a
deformação na qual as faces, que originalmente perpendiculares não mais o são. Em geral, um
elemento fluido pode sofrer certa combinação de translação, com rotação, e deformação linear
com angular durante seu movimento. Estas quatro componentes do movimento dos fluidos
estão ilustradas na Figura - 5. 16 para movimentos no plano xy. Para os escoamentos
tridimensionais, movimentos similares das partículas podem ser representados.nos planos yz e
xz. No caso de movimento de translação pura, o elemento fluido mantém sua forma não há
deformação. Assim não surgem tensões tangenciais nos movimentos de translação ou rotação
puros (lembremo-nos do Capítulo - 3 no qual vimos que, nos fluídos Newtonianos, as tensões
tangenciais são proporcionais à deformação angular).
Figura - 5. 16. Representação esquemática dos componentes dos movimentos dos fluidos. a)
translação pura a) rotação pura c) deformação angular ou tangencial d) deformação linear ou normal.
5. 10 – Aceleração de uma partícula fluida em um campo de
velocidades
Lembremo-nos primeiramente de que estamos tratando com um elemento de
massa constante, dm. Como discutimos na Seção - 1.5.3, podemos obter a equação do
movimento de uma partícula pela aplicação da segunda lei de Newton a esta partícula. A
desvantagem do método é que seria necessária uma equação para cada partícula. Assim, o
registro de tantas partículas seria problemático.
Descrição mais geral da aceleração pode ser obtida considerando-se a partícula
movendo-se em um campo de velocidade. A hipótese básica do contínuo, em Mecânica dos
Fluidos, conduziu-nos à do campo de escoamento de um fluido no qual as propriedades deste
campo são definitivas por funções contínuas das coordenadas, no espaço e no tempo.
Em particular, o campo de velocidades é dado por V = V (x, y,z ,t). A descrição do
campo é sobremaneira útil porque as informações para o fluxo todo são fornecidas por uma
única equação.
Então o problema consiste em obter a descrição das propriedades do fluido no
campo, e deduzir uma expressão para a aceleração das partículas fluidas à medidas que se
movimentam nesse campo. Enunciando de maneira simples o problema consiste em:
Dado o campo de velocidades, V = V(x, y, z, t), determinar a aceleração da
partícula a .
De uma forma geral, se a = a ( x, y, z ) logo temos:
a=
dv ( x, y , z ) ∂v ∂x ˆ ∂v ∂y ˆ ∂v ∂z ˆ ∂v
=
i+
j+
k+
dt
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
∂t
(5. 108)
ou
dv ∂v
∂v
∂v
∂v
= vx + v y + vz +
∂y
∂z
dt ∂x
∂t
(5. 109)
Onde:
ax =
e
∂v x ∂x ∂v x ∂y ∂v x ∂z ∂v x ˆ
+
+
+
i
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
∂t
(5. 110)
ay =
∂v y ∂x ∂v y ∂y ∂v y ∂z ∂v y
ˆj
+
+
+
∂x ∂t ∂y ∂t
∂z ∂t
∂t
(5. 111)
az =
∂v z ∂x ∂v z ∂y ∂v z ∂z ∂v z ˆ
k
+
+
+
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
∂t
(5. 112)
e
Simplificando temos:
a=
dv
∂v
= (v .∇)v +
dt
∂t
(5. 113)
5. 11 – A condição de incompressibilidade e compressibilidade de
um fluido
Podemos analisar a condição de incompressibilidade ou compressibilidade a partir
da variação infinitesimal do volume do fluido, dada por:
V = x. y.z
(5. 114)
∆V ≅ yz∆x + xz∆y + xy∆z
(5. 115)
onde
Dividindo (5. 115) por (5. 114) temos:
∆V ∆x ∆y ∆z
≅
+
+
V
x
y
z
(5. 116)
Tomando o limite para intervalos infinitesimais, ou seja, ∆x, ∆y, ∆z e ∆t → 0 , a
taxa de variação volumétrica é dada por:
Q≡
Considerando que:
dV
∂x
∂y
∂z
= yz + xz + xy
dt
∂t
∂t
∂t
(5. 117)
d(
dV
dr
) = dA.
dt
dt
(5. 118)
Então a equação (5. 117) fica:
Q≡
dV
∂x
∂y
∂z
= Ax
+ Ay
+ Az
∂t
∂t
dt
∂t
(5. 119)
Logo, a partir de (5. 118) uma forma geral temos que:
Q≡
dV
= v .dA
dt S
(5. 120)
Integrada sobre a superfície, S, do fluido que varia com a deformação do volume.
Portanto, durante a deformação linear (na direção normal a superfície), a forma de
um elemento fluido, descrita pelos ângulos de seu vértices (Figura - 5. 16), permanece
invariável porque todos os ângulos retos continuam retos (veja a Figura - 5. 16d). O elemento
variará de comprimento na direção x somente se ∂v x / ∂x for diferente de zero.
Analogamente, a variação do tamanho y requer que o valor de ∂v y / ∂y seja diferente de zero
e a variação da dimensão z exige que ∂v z / ∂z seja também não nulo. Estas quantidades
representam as componentes das tensões longitudinais (ou normais) nas direções x, y, e z
respectivamente. As variações dos comprimentos dos lados podem produzir variações de
volume do fluido. Logo, a taxa de dilatação do volume por unidade de volume pode ser
escrita como:
dQ d dV
1 ∂x 1 ∂y 1 ∂z
=
=
+
+
dV dV dt
∂x ∂t ∂y ∂t ∂y ∂t
(5. 121)
Reescrevendo em termos das componentes do vetor velocidade temos:
∂v y ∂v z
∂v
dQ
d dV
=
= x +
+
dV dV dt
∂x
∂y
∂z
(5. 122)
Para o escoamento de fluido incompressível a taxa de dilatação volumétrica é
nula.
dQ
d dV
=
=0
dV dV dt
(5. 123)
Observe que a expressão (5. 122) é exatamente o divergente da velocidade do fluido, ou seja:
∇.v =
∂v x ∂v y ∂v z
+
+
∂x
∂y
∂z
(5. 124)
A partir da equação (5. 103), no caso particular de fluxo de massa, podemos
escrever que se um fluido é incompressível, temos:
ρ = constante
(5. 125)
∂ρ
=0
∂t
(5. 126)
∇.J = 0
(5. 127)
Logo
Portanto
Mas de (5. 83) temos que:
∇.( ρv ) = 0
(5. 128)
ρ∇.v + v ∇ρ = 0
(5. 129)
ou
Usando (5. 125) em (5. 129) temos que ∇ρ = 0 , finalmente:
∇.v = 0
(5. 130)
Esta é a condição essencial para um escoamento incompressível, como já avia
sido mencionada acima.
5. 12 – Problemas
1. Qual é a diferença entre grandezas extensivas e intensivas?
Capítulo – VI
ESCOAMENTO DE FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS
SEM VISCOSIDADE
RESUMO
Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento de fluidos
incompressíveis sem viscosidade. As equações básicas desenvolvidas neste capítulo serão
úteis para as generalizações que serão feitas nos capítulos posteriores.
Palavras Chave: Teorema de Bernoulli; equação de Laplace; conservação da energia
PACS números:
6. 1 - Introdução
Nós vimos no capítulo anterior os conceitos gerais que serão aplicados a partir
deste ponto em diante para se resolver problemas de escoamento em fluidos. Neste capítulo
trataremos especificamente do caso de fluidos incompressíveis, que são na sua maioria os
líquidos em situações onde a sua viscosidade pode ser desprezada. Nós vimos no capítulo
anterior a conservação da massa que corresponde a lei da inércia (1a Lei de Newton) da
Mecânica das Partículas agora na sua versão aplicada a fluidos, da qual decorreu o teorema da
divergência e equação da continuidade. Agora passaremos a estabelecer a 2a lei de Newton na
sua versão aplicada a fluidos como é mostrado a seguir.
(6. 1)
6. 2 - Equações da quantidade de movimento:
f − ∇P = ρa
(6. 2)
Substituindo (5. 113) em (6. 2) temos:
f − ∇P = ρ (v .∇)v + ρ
∂v
∂t
(6. 3)
Para um fluido incompressível temos que:
∇.v = 0
(6. 4)
Usando a condição de incompressibilidade dada em (5. 130) em (5. 113) temos
que:
a=
dv ∂v
=
dt ∂t
(6. 5)
Substituindo (6. 5) na equação (5. 10) temos:
f − ∇P = ρ
∂v
∂t
(6. 6)
A expressão (6. 6) acima corresponde a equação de um fluido acelerado como um
corpo rígido sem nenhum efeito de compressibilidade ou variação no volume.
6. 3 - A conservação do momento linear
f − ∇P = ρa
(6. 7)
Substituindo (5. 113) em (6. 7) temos:
f − ∇P = ρ (v .∇)v + ρ
∂v
∂t
A partir da condição de regime permanente temos:
(6. 8)
∂v
=0
∂t
(6. 9)
f − ∇P = ρ (v .∇)v
(6. 10)
logo
Usando a seguinte identidade vetorial
1
(v .∇)v = [∇.(v v )]
2
(6. 11)
Substituindo a identidade vetorial (6. 11) em (6. 10) a equação (6. 3) fica:
f − ∇P =
ρ
2
[∇.(v v )]
(6. 12)
Esta equação descreve o movimento de um fluido sem viscosidade onde se
considera apenas a condições de pressão, sua energia potencial devida a força de massa e a
sua energia cinética, dado pelo termo
ρ
2
[∇.(v v )] .
6. 4 - Fluxo estacionário – Teorema de Bernoulli
Considere um fluxo de um fluido não viscoso em escoamento permanente dado
pela seguinte equação diferencial:
f − ∇P = ρa
(6. 13)
cuja forca de massa, f, é igual a ação do campo gravitacional, g, sobre a massa fluida, isto é:
f = ρg
(6. 14)
e a partir de (5. 113) a aceleração generalizada é dada por:
a=
dv
∂v
= (v .∇)v +
dt
∂t
Substituindo (6. 14) e (6. 15) na equação (6. 13) temos:
(6. 15)
ρg − ∇P = ρ (v .∇)v + ρ
∂v
∂t
(6. 16)
Considerando a seguinte identidade diferencial vetorial nós temos
1
(v .∇)v = (∇ × v ) × v + ∇(v .v )
2
(6. 17)
Logo, substituindo (6. 17) na equação (6. 16) ficamos com:
1
∂v
f − ∇P = ρ [(∇ × v ) × v + ∇(v .v )] + ρ
2
∂t
(6. 18)
Chamando de vorticidade a grandeza
Ω =∇×v,
(6. 19)
a qual é perpendicular ao plano que contém o campo de velocidades, temos:
1
∂v
f − ∇P = ρ [Ω × v + ∇(v .v )] + ρ
2
∂t
(6. 20)
Multiplicando toda a equação de movimento do fluido pelo produto escalar de v , temos:
1
∂v
v .( f − ∇P) = ρv .[Ω × v + ∇(v .v ) + ]
2
∂t
(6. 21)
Observe que o produto vetorial de Ω × v é um vetor que está no próprio plano das
velocidades. Reescrevendo (6. 21) temos:
v .[ f − ∇P −
1
∂v
ρ∇(v .v )] = ρv .[Ω × v + ] .
2
∂t
(6. 22)
Considerando o caso em que o produto escalar entre a vorticidade, Ω, e a
velocidade, v , é nula, porque são perpendiculares, Ω × v ⊥ v ,ou seja, uma rotação pura,
temos:
v .(Ω × v ) = 0 ,
(6. 23)
então:
v .[ f − ∇P −
1
∂v
ρ∇(v .v )] = ρv . .
2
∂t
(6. 24)
Considerando o fato de que o campo gravitacional é proveniente de um gradiente de um
potencial,
ϕ = gz , logo para f = − ρ∇ϕ temos:
1
∂v
ρ (v .v )] = ρv . .
2
∂t
(6. 25)
∇[ − ρϕ − P −
1
∂v
ρ (v .v )] = ρ
2
∂t
(6. 26)
− ∇[ P + ρϕ +
1
∂v
ρ (v .v )] = ρ
2
∂t
(6. 27)
v .∇[− ρϕ − P −
Logo dividindo tudo por v temos:
Ou
Como
df
= ∇f .nˆ.rˆ
dr
(6. 28)
df
= ∇f . cosθ
dr
(6. 29)
Ou
Todo o termo do lado esquerdo de (6. 26) pode ser escrito como uma integral em r, ficando da
seguinte forma:
− [ P +ρϕ +
1
∂v
ρ (v .v )]dr = nˆ.rˆρ dr
2
∂t
(6. 30)
Supondo que ∂v / ∂t = 0 , ou seja, o escoamento é permanente,
1
ρ (v .v )]dr = 0
2
(6. 31)
1
ρ (v .v ) = constante .
2
(6. 32)
[P + ρϕ +
Necessariamente devemos ter:
P + ρϕ +
Essa é a equação de Bernoulli para uma linha de corrente em um escoamento permanente de
um fluido incompressível. Observe que ela é a solução das equações (6. 13) e (6. 16) desde
que se considere válida a condição (6. 23).
6. 5 – Fluxos irrotacionais e a equação de Laplace
Partindo da condição de fluxo irrotacional dada por:
Ω =∇×v = 0,
(6. 33)
Podemos usar a identidade diferencial vetorial em que o rotacional de qualquer gradiente é
sempre nulo, ou seja;
∇ × ∇[] = 0 ,
(6. 34)
e supor que para a condição dada em (6. 33) podemos escrever que a velocidade v provém de
um gradiente de um potencial de velocidade dado por:
v = ∇ψ ,
(6. 35)
Logo, retornando (6. 35) em (6. 33) teremos necessariamente que:
∇ × (∇ψ ) = 0 ,
(6. 36)
Considerando o caso de um fluido incompressível em que:
∇.v = 0 ,
(6. 37)
∇.(∇ψ ) = 0 ,
(6. 38)
∇ 2ψ = 0 ,
(6. 39)
a partir de (6. 35) temos que:
ou simplesmente
a qual é a equação de Laplace para linhas de corrente de um fluido incompressível.
6. 6 – Primeira lei da termodinâmica para um fluxo estacionário
A primeira lei da Termodinâmica é o enunciado da conservação da energia.
Lembremo-nos de que a formulação da primeira lei é:
Q −W =U ,
(6. 40)
Tomando a derivada temporal temos:
dQ dW dU
−
=
,
dt
dt
dt
(6. 41)
Onde a energia interna do sistema é dada por:
U = dU =
dU
dm ,
dm
(6. 42)
Considerando que
e=
dU
,
dm
(6. 43)
e dm = eρdV temos:
U = eρdV ,
(6. 44)
Sendo e dado pela equação de Bernoulli temos:
eρ = P + ρϕ +
1 2
ρv ,
2
(6. 45)
ou ainda
e=
P
1
+ ϕ + v2 ,
ρ
2
(6. 46)
ϕ = gdz ,
(6. 47)
ϕ = gz ,
(6. 48)
Onde
Logo
Portanto
e=
P
1
+ gz + v 2 ,
ρ
2
(6. 49)
Na equação (6. 41) a quantidade de calor, dQ/dt, transmitida é positiva, quando o
calor é adicionado ao sistema pelo meio ambiente, e o trabalho, dW/dt, é positivo, quando
efetuado pelo sistema sobre o ambiente que o cerca.
Da equação da continuidade temos que:
∂
dU
= eρv .dA +
∂t
dt SC
eρ dV ,
(6. 50)
VC
Ao deduzirmos a equação ( ) o sistema e o volume de controle coincidem no
instante de tempo t = 0, e então.
dQ dW
−
dt
dt
=
Sistema
dQ dW
−
dt
dt
,
Volume de Controle
(6. 51)
Logo
dQ dW
∂
−
= eρv .dA +
dt
dt SC
∂t
eρdV ,
(6. 52)
VC
Substituindo e temos:
dQ dW
−
=
dt
dt
1
1
P
∂
P
=
+ gz + v 2 ρv .dA +
+ gz + v 2 ρdV
ρ
2
∂t VC ρ
2
SC
(6. 53)
Ou
dQ dW
−
=
dt
dt
P + ρgz +
=
SC
1 2
∂
1
ρv v .dA +
P + ρgz + ρv 2 dV
2
∂t VC
2
(6. 54)
Esta equação serve para calcular as taxa temporais de calor e trabalho durante o
escoamento de um fluido ideal (sem viscosidade), incompressível.
6. 7 – Segunda lei da termodinâmica para um fluxo estacionário
A segunda Lei da termodinâmica é dada pela desigualdade de Clausius, ou seja:
dQ
≤0
T
(6. 55)
Considerando o caso em que a taxa de calor liberada ou absorvida pelo sistema pode ser
escrita como:
1 dQ dS
≤
T dt dt
(6. 56)
Sistema
Onde
S = dS =
dS
dm
dm
(6. 57)
Considerando que:
s=
dS
dm
(6. 58)
e dm = ρdV temos:
S = sρdV
(6. 59)
Considerando o caso em que:
dS
dt
Sistema
∂
∂t
sρv .dA +
=
SC
sρdV ,
(6. 60)
VC
Substituindo a equação (6. 56) temos:
1 dQ
∂
≤ sρv .dA +
T dt SC
∂t
sρdV ,
(6. 61)
VC
Considerando que o sistema e o volume de controle coincidem no instante t = 0, temos que:
1 dQ
T dt
Logo
=
Sistema
1 dQ
T dt
=
VC
1 dQ
dA
T
Adt
SC
(6. 62)
1 dQ
∂
dA ≤ sρv .dA +
sρdV
T
Adt
∂
t
SC
SC
VC
Na equação (6. 63) o termo
(6. 63)
1 dQ
representa o fluxo de calor por unidade de
dt
A
área para o interior do volume de controle através do elemento de área, dA. Para avaliar o
termo:
1 dQ
dA
T Adt
SC
O fluxo de calor local J =
(6. 64)
1 dQ
, e a temperatura local, T, precisam ser conhecidas para
A dt
cada elemento de área da superfície de controle. Lembrando que da lei de Fourier temos:
J Q = −k∇T
(6. 65)
Temos a partir de (6. 63) que:
−k
SC
∂
∇T
dA ≤ sρv .dA +
sρdV
T
∂t VC
SC
(6. 66)
Capítulo – VII
ESCOAMENTO DE FLUIDOS COMPRESSÍVEIS
SEM VISCOSIDADE
RESUMO
Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento de fluidos
compressíveis em condições onde sua viscosidade é desprezível.
Palavras Chave:
PACS números:
7. 1 - Introdução
(7. 1)
Figura - 7. 1.
7. 2 – Fluido invíscido compressível irrotacional em regime
permanente
Se o fluido é compressível temos que:
∇.v ≠ 0
(7. 2)
Logo, usando a condição de compressibilidade dada em (5. 130) em (5. 113) temos que:
a=
dv
∂v
= ρ (v .∇)v +
dt
∂t
(7. 3)
Substituindo (7. 3) em (5. 10) temos:
f − ∇P = ρ (v .∇)v + ρ
∂v
∂t
(7. 4)
A partir da condição de regime permanente temos:
∂v
=0
∂t
(7. 5)
f − ∇P = ρ (v .∇)v
(7. 6)
logo
7. 3 – Teorema do Transporte de Reynolds
Para derivar as equações que governam o escoamento de um fluido compressível,
nós precisamos considerar integrais de qualquer função de posição e tempo
ρ X ( r , t ) sobre
um volume de fluido. Este volume se moverá com o fluido mas consiste das mesmas
partículas fluidas. Tal volume é chamado de um volume material e será denotado por VX(t).
Consideremos a expressão:
M X (t ) =
ρ X (r , t ) dV
VX (t )
(7. 7)
A qual define a função de t. O teorema de transporte de Reynolds’s nos diz como calcular a
derivada de M X (t ) em relação ao tempo.
dM X (t ) d
=
ρ X (r , t ) dV
dt
dt VX (t )
(7. 8)
Note que por causa do volume V(t) variar com o tempo e mover-se com o fluido, não é
possível tomar a derivada sob o sinal de integração, Contudo, é necessário usar a derivada
material de M X (t ) . Portanto o teorema pode ser escrito como:
∂ρ
d
∇.( ρ X v ) + X dV
ρ X (r , t ) dV =
dt VX (t )
∂t
V (t )
(7. 9)
Onde v é a velocidade da partícula fluida.
Aplicando o teorema da divergência a equação (7. 9) nós obtemos a seguinte
forma equivalente do teorema de transporte:
∂ρ X
d
ρ X ( r , t ) dV = ρ X v .ndA +
dV
dt VX (t )
∂t
S X (t )
VX (t )
(7. 10)
Onde SX(t) é a superfície de VX(t) e n̂ é o vetor unitário normal dirigido para fóra de SX(t).
Fisicamente, a equação (7. 10) estabelece que a taxa de variação da integral de
ρ X ( r , t ) é igual a integral da taxa de variação de ρ X ( r , t ) sobre uma região fixada mais a
resultante do fluxo de através da superfície SX(t). O resultado pemanece para qualquer função
escalar, vetorial ou tensorial.
7. 4 - Equações da quantidade de movimento:
A conservação do momento requer que a taxa de variação do momento de uma
partícula fluida no tempo em um volume material, VX(t) dever ser igual a soma das forças
externas que atuam sobre VX(t).
d
ρ X ( r , t )dV =
dt VX (t )
Fext
(7. 11)
As forças externas que atuam sobre VX incluem ambas as forças de massa (devido a
gravidade) e as de superfície (devido as tensões). A força de massa total, f, é dada por:
FV =
d
ρ ( r , t ) gdV
dt V (t )
(7. 12)
Onde g é a força total por unidade de massa. Usualmente g é devido a efeitos
gravitacionais.
A força superficial devido as tensões que atuam sobre o elemento dA, do contorno
da superficie de V(t) é dada por:
T = [ ].nˆ
(7. 13)
Onde T é o vetor tensão. A força de tensão total, FS, portanto dada por:
FS =
T dA
(7. 14)
S (t )
ou
FS =
[ ].nˆdA
(7. 15)
S (t )
Onde S(t) é a superfície de contorno de V(t), σ é o tensor das tensões e n̂ é o vetor normal
unitário apontado na direção de S(t). Aplicando o teorema da divergência nós obtemos:
FS =
(∇. )dV
(7. 16)
V (t )
A partir das equações (7. 12) e (7. 16) a força externa total é dada por:
Fext = FV + FS
(7. 17)
Ou
Fext =
ρ (r , t ) gdV +
V (t )
(∇. )dV
V (t )
(7. 18)
Substituindo este resultado em (7. 11)
d
ρ X ( r , t )dV = ρ ( r , t ) gdV + (∇. )dV
dt VX (t )
V (t )
V (t )
Aplicando o teorema do transporte de Reynolds na equação acima nós obtemos:
(7. 19)
∇.( ρv v ) +
VX (t )
∂ ( ρv )
dV = ρ ( r , t ) gdV + (∇. )dV
∂t
V (t )
V (t )
(7. 20)
Desde que V(t) é arbitrário, nós temos depois de rearranjado os termos que:
ρ ( r , t ) g + ∇. − ∇.( ρv v ) =
∂ ( ρv )
∂t
(7. 21)
Esta equação é chamada de equação do momento.
7. 5 – Equações da Conservação da Energia
A energia total de um fluido em um volume material V(t) é dada pela soma de
suas energias cinéticas e internas. Se u é a energia interna por unidade de volume, a energia
total é portanto dada por:
dU
1
1 2
=
ρ v 2 + u dV =
ρv dV + ρudV
dt VX (t ) 2
2
V (t )
V (t )
(7. 22)
A primeira lei da termodinâmica estabelece que o aumento na energia interna total
de um volume material V(t), com contorno S(t) é igual ao trabalho sobre o volume menos o
calor perdido através de S(t).
A taxa temporal de trabalho realizado sobre um volume material por forças
externas é devido a ambas as forcas de superfície (ou contato) e de volume (ou de massa).
A taxa temporal de trabalho realizado por forças de superfície é dada por:
dWS
= (v .T )dA = ( v .[ ].nˆ )dA
dt
S X (t )
S X (t )
(7. 23)
Onde nós temos usado a definição de vetor tensão T. Usando o teorema da divergência, a
equação acima pode ser escrita como uma integral de volume, isto é:
dWS
= (v .T )dA = ∇.(v .[ ])dV
dt
S X (t )
S X (t )
(7. 24)
Nós consideraremos somente forças de massa devido a gravidade. Denotando a aceleração
devido a gravidade por g, a taxa de trabalho realizado sobre o volume material pelas forças
gravitacionais é dado por:
dWg
dt
ρ ( g.v )dV
=
(7. 25)
VX (t )
A taxa total do trabalho realizado sobre o volume material devido a ambas, tensão
e forcas gravitacionais é, portanto a soma das equações (7. 24) e (7. 25).
dW
= ρ ( g .v )dV + ∇.(v .[ ])dV
dt VX (t )
VX (t )
(7. 26)
Considere agora o fluxo de calor através da superfície S(t). Seja J Q o fluxo de
calor em um ponto sobre S(t). A taxa de calor perdido a partir de S(t) é dado por:
dQ
= ( J Q .nˆ )dA = (∇.J Q ) dV
dt S X (t )
VX ( t )
(7. 27)
Onde novamente, nós temos usado o teorema da divergência para transformar a integral da
superfície em uma integral de volume.
Equacionando a soma das equações (7. 24), (7. 25) e (7. 26) para a taxa de
aumento total na energia dadas, usando-se a equação (7. 22).
1
d
d
ρ v 2 dV +
ρudV = ρ ( g.v )dV − (∇.J Q )dV
dt VX (t ) 2
dt VX (t )
VX (t )
VX ( t )
(7. 28)
Neste ponto é importante considerar o significado físico da equação (7. 28). Por
conveniência cada expressão na equação (7. 28) foi rotulada. Os significados físicos dos
termos são:
i)
A taxa de variação da energia cinética do volume material
ii)
A taxa de variação da energia interna do volume material
iii)
A taxa de trabalho realizado sobre o fluido dentro do volume material pelas forças
viscosas.
iv)
A taxa de trabalho realizado sobre o fluido dentro do volume material pelas forças
gravitacionais.
v)
A perda de calor a partir do fluido dentro do volume material devido a condução
através da superfície S(t).
Pode-se mostrar que a taxa de variação da energia cinética é dada por:
d
1
ρ v 2 dV = ρ ( g.v )dV − ([ ] : [∇v ])dV + ∇.(v .[ ])dV
dt VX (t ) 2
(7. 29)
VX (t )
VX (t )
VX (t )
Substituindo este resultado na equação (7. 28) nós obtemos:
d
ρudV = ([ ] : [∇v ])dV − ∇.J Q dV
dt V X (t )
VX (t )
V X (t )
(7. 30)
Aplicando a teorema de transporte de Reynolds temos:
V X (t )
∂
( ρu ) + (∇.ρuv ) dV = ([ ] : [∇v ])dV − ∇.J Q dV
∂t
VX (t )
V X (t )
(7. 31)
Como V(t) é uma região arbitrária nós temos:
∂
( ρu ) + (∇.ρuv ) = ([ ] : [∇v ]) − ∇.J Q
∂t
(7. 32)
Expandindo a expressão (7. 32) e usando a definição de derivada material dada
em (5. 87) nós temos:
∂
∂
( ρu ) + (∇.ρuv ) = ( ρu ) + ρu (∇.v ) + v .(∇ρu )
∂t
∂t
(7. 33)
∂
d
( ρu ) + (∇.ρuv ) = ( ρu ) + ρu (∇.v )
∂t
dt
(7. 34)
∂
du
dρ
( ρu ) + (∇.ρuv ) = ρ
+u
+ ρu (∇.v )
∂t
dt
dt
(7. 35)
Usando da equação da continuidade o fato de que:
dρ
=0
dt
Temos:
(7. 36)
∂
du
( ρu ) + (∇.ρuv ) = ρ
+ ρu (∇.v )
dt
∂t
(7. 37)
Usando a equação acima em (7. 32) nós obtemos:
ρ
du
+ ρu (∇.v ) = ([ ] : [∇v ]) − ∇.J Q
dt
(7. 38)
7. 6 – Relação entre a energia específica e a temperatura
7. 7 – Equações da conservação da energia em termos da
temperatura
7. 8 – Equações para o potencial velocidade
Capítulo – VIII
ESCOAMENTO DE FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS
COM VISCOSIDADE
RESUMO
Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento com viscosidade.
Descobriremos que, conhecendo-se a lei de viscosidade de um fluido, é possível calcular o
seu campo de velocidades quando este atravessa um determinado volume de controle
conhecido, e vice-versa. A partir da determinação do campo de velocidades todas as demais
propriedades de um fluido podem ser conhecidas através dos cálculos que se seguirão nos
capítulos posteriores
Palavras Chave:
PACS números:
8. 1 – Objetivos do Capítulo
8. 2 – Introdução
Se o produto escalar de dois vetores perpendiculares se anulam, portanto devemos
necessariamente ter que eles são perpendiculares. Contudo, existe o caso em que,
necessariamente:
8. 3 – Características físicas de um escoamento viscoso
Considere o caso prático de movimento de um fluido ao redor de uma asa delgada
ou do casco de um navio. Tal escoamento pode ser grosseiramente representado pelo
escoamento sobre uma placa plana conforme mostra a Figura - 8. 1.
semi-infinita.
Figura - 8. 1. Escoamento laminar de um fluido viscoso incompressível sobre uma placa plana
Estamos interessados em obter uma figura qualitativa da distribuição de
velocidades em várias secções transversais ao longo da placa. Duas destas secções são
denotadas por x1, x2, consideremos inicialmente a secção x1.
Digitar o texto do Livro do Fox
Da condição de não-deslizamento sabemos que a velocidade do fluido no ponto A
deve ser nula. E quanto aos demais pontos? Será possível determinar qualitativamente as suas
velocidades? Consideremos então a seguinte questão:
Se a placa influencia no escoamento e o fluido é viscoso deve certamente haver
uma distribuição de velocidades desde o ponto A colado com a placa até um ponto D afastado
infinitamente da placa. Porque a placa estacionária dá origem a um certo esforço de
retardamento tangencial sobre o escoamento. Ela desacelera o fluido a medida que ele se
aproxima da placa, de tal forma que, no limite do ponto D tendendo a infinito a velocidade é
uniforme, porque o fluido escoa sem de pender da placa. Se a pressão variar ao longo de x
como é o caso, veremos que o perfil de velocidades tende a mudar de forma ao longo de x.
Pois,
Pdinâmica =
1 2
ρv
2
(8. 1)
Portanto, parece razoável supor que a velocidade varia suave e monotonicamente ao longo do
eixo y. Desde y = 0 até y = B. Desta forma, o perfil de velocidades fica determinado. Logo em
um ponto intermediário, tal como o ponto C, entre os pontos A e B a velocidade vc deve ser do
tipo:
v A ≤ vC ≤ v B
(8. 2)
Destas características do perfil de velocidades concluímos pela Lei da Viscosidade de Newton
que as tensões tangenciais, ou de cisalhamento, estão presentes desde os pontos 0 ≤ y ≤ yB.
Contudo, para valores de y > yB o gradiente de velocidade é nulo, portanto, nesta região não
há tensões tangenciais.
E quanto ao que acontece na abscissa x2? Será exatamente igual ao traçado para a
secção de abscissa x1? Vemos pela Figura - 8. 1que não! Pelo menos não foi traçado do
mesmo modo! Mesmo que seja qualitativamente igual, não é exatamente o mesmo que
acontece neste ponto. Logo, devemos supor que a placa influencia regiões maiores do campo
de escoamento à medida que caminhamos no sentido do fluxo. Portanto, deve existir também
um campo de tensões tangenciais opostas a direção x (negativo) responsável pelo freiamento
do fluido, atuando como uma força retardadora tanto na direção de y positivo como na
direção de x negativo. Portanto, os pontos em que a placa deixa influenciar o escoamento nas
coordenadas x1 e x2 são diferentes, ou seja, yB’ ≥ yB e vC < vC’. Pensando-se me todos os
pontos intermediários entre x1 e x2 e os anteriores desde x = 0 e os posteriores para x ≥ x2 e
cada um deles com uma posição y, diferente na qual a placa deixa de afetar o escoamento do
fluido, como sendo diferentes. Logo podemos definir o que denominamos de camada limite.
8.2.1 - Camada limite
De acordo com o parágrafo anterior, chamamos de camada limite ao conjunto dos
pontos que formam o contorno ou fronteira geométrica que delimita duas regiões do fluido, a
região afetada daquela não-afetada por uma superfície submersa sobre a qual um fluido escoa.
Portanto, fora da camada limite o gradiente de velocidades é nulo, desse modo as
tensões tangenciais são nulas e o fluido escoa com velocidade uniforme (a resultante das
forças tangenciais são nulas e o fluido escoa por inércia). Nesta região podemos aplicar a
teoria do escoamento de fluidos não viscosos vista até o Capitulo - VI, para analisar seus
movimentos.
Figura - 8. 2. Camada limite em um escoamento laminar de um fluido viscoso incompressível
sobre uma placa plana semi-infinita.
Lembrando que a linha de corrente é tangente ao vetor velocidade em cada ponto
do escoamento e não pode haver escoamento através da linha de corrente, podemos perguntar:
Será que ocorre fluxo através da camada limite? Ou seja, será que ela é uma linha de
corrente?
Figura - 8. 3. Linhas de corrente através de uma camada limite.
Como a camada limite intercepta regiões de velocidades diferentes, ela não é uma
linha de corrente, porque existe velocidade ou fluxo através dela, especificamente para seu
interior.
Para uma dada velocidade v∞ a espessura da camada em y dependerá das
propriedades do fluido em x. Como a tensão tangencial é proporcional a viscosidade, é de se
esperar que a espessura da camada limite dependerá da viscosidade do fluido. A expressão
para o cálculo da espessura da camada limite e de sua taxa de aumento será deduzida
posteriormente.
Figura - 8. 4. Escoamento simétrico e anti-simétrico para um fluido invíscido e viscoso
respectivamente.
Considere a Figura - 8. 4
8.2.2 – Ponto de estagnação
É o ponto no qual o campo de velocidades se anula
8.2.3 – Ponto de descolamento
É o ponto a partir do qual a camada limite descola da superfície do corpo imerso em
um fluido.
8.2.4 – Arrasto
É a resultante das tensões tangenciais na direção do escoamento. Todos os corpos
que se deslocam no seio de um fluido viscoso (real) sofrem arraste.
8.2.5 - Esteira
É a região de baixa pressão deficiente de quantidade de movimento atrás de um
corpo imerso em um fluido. Sabemos que quanto maior for a esteira maior será o arraste.
Figura - 8. 5. Escoamento de um fluido viscoso com camada limite, ponto de descolamento, ponto
de estagnação e esteira.
8. 4 – A deformação de fluidos
A deformação angular de um elemento fluido envolve variações do ângulo entre
duas linhas perpendiculares deste elemento. Referindo-se a Figura - 8. 6, vemos que a
deformação angular do elemento fluido é a diminuição do ângulo entre as linhas oa e ob, ou
seja,
Figura - 8. 6. Deformação angular de um elemento fluido em campo de escoamento bidimensional.
cuja deformação total é dada por:
−
dγ dα dβ
=
+
.
dt
dt
dt
(8. 3)
Então
dα
∆α
∂η / ∆x
= lim
= lim
.
dt ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
(8. 4)
Como
∆η =
∂v y
∂x
∆x∆t ,
(8. 5)
temos:
(∂v y / ∂x )∆x∆t / ∆x ∂v y
dα
= lim
=
.
dt ∆t →0
∆t
∂x
(8. 6)
dα ∂v y
=
dt
∂x
(8. 7)
dβ
∆β
∂ζ / ∆y
= lim
= lim
dt ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
(8. 8)
Logo,
e
Como
∆ζ = −
∂v x
∆y∆t
∂y
(8. 9)
Temos:
(∂v x / ∂y )∆y∆t / ∆y
∂v
dβ
= lim −
=− x
dt ∆t →0
∆t
∂y
(8. 10)
dβ ∂v x
=
dt
∂y
(8. 11)
Logo,
Conseqüentemente, a deformação angular no plano xy é:
−
dγ dα dβ ∂v y ∂v x
=
+
=
+
dt
dt
dt
∂x
∂y
(8. 12)
A tensão tangencial é relacionada com a deformação angular através da
viscosidade do fluido (Lei de Hooke para o fluido). No escoamento viscoso (em que estão
presentes os gradientes de velocidade) é altamente improvável que ∂v y / ∂x seja igual e
oposto a ∂v x / ∂y no campo de escoamento (por exemplo, consideremos o escomento dentro
da camada limite). A presença de forças de viscosidade significa que o escoamento é
rotacional.
8. 5 – Lei da viscosidade de Newton para um fluido incompressível
Agora que estamos de posse da equação de movimento de um fluido dada em ()
que já inclui termos de compressibilidade, só falta agora incluir o termo de viscosidade. Mas
nós sabemos que a lei de Newton dada em Erro! A origem da referência não foi
encontrada. por:
τ xy = µ
Observe que a partir de (8. 12) temos
∂v y
∂x
+
∂v x
∂y
(8. 13)
τ xy = µ
dγ xy
dt
(8. 14)
Naturalmente a Lei de Newton escrita dessa forma possui sua interpretação em termos da Lei
de Hooke generalizada para envolver o caso de deformação em fluidos ao invés de sólidos,
onde o tensor gradiente de velocidade é substituído pelo tensor taxa de deformação. Agora só
nos resta escrever a equação (8. 13) e (8. 14) em termos na notação vetorial, ou seja:
τ xy = µ (∇v + v ∇)
(8. 15)
f visc = ∇.[ µ (∇v + v ∇)]
(8. 16)
Portanto,
8. 6 – A força viscosa de Newton
Conforme vimos a densidade volumétrica de força, f visc é dado pelo divergente
do campo de tensão. Logo, no caso da força viscosa temos:
f visc = ∇.τ xy
(8. 17)
8. 7 – A equivalência entre a Lei de Newton e a Lei de Hooke para
a viscosidade
8. 8 – Tensor taxa de deformação
O movimento geral de um fluido envolve translação, deformação e rotação. A
translação de um ponto em um fluido é definida por seu vetor velocidade, v A deformação e a
rotação de um fluido de pende do tensor gradiente de velocidade ∇v .
Nós trataremos agora com a taxa na qual os fluidos se deformam. Esta é
caracterizada pelo tensor das deformações,
, definido como:
= ∇v + v ∇
(8. 18)
onde v ∇ é o transposto da matriz ∇v .
Usando-se coordenadas cartesianas,
, pode ser escrito como uma matriz de suas
componentes:
2
=
∂v x
∂y
∂v z
∂x
∂v x
∂x
∂v y
+
∂x
∂v
+ x
∂z
∂v y
∂x
2
+
∂v x
∂y
∂v y
∂y
∂v z ∂v y
+
∂y
∂z
∂v x ∂v z
+
∂z
∂x
∂v y ∂v z
+
∂z
∂y
∂v
2 z
∂z
(8. 19)
Este tensor descreve a taxa na qual o material muda de forma. Como o tensor das
tensões, ele é também simétrico, ou seja:
∂vi ∂v j ∂v j ∂vi
+
=
+
∂x j ∂xi ∂xi ∂x j
(8. 20)
8. 9 – Rotação de um fluido viscoso
A rotação, w , de uma partícula fluida é definida pela velocidade angular média
de duas linhas mutuamente perpendiculares que se cortam no centro da partícula.
Figura - 8. 7. Rotação de uma partícula em torno de um ponto.
A rotação é uma grandeza vetorial. Uma partícula movendo-se em um campo de
escoamento tridimensional, geral, pode girar em torno de três eixos coordenados.
w = wx iˆ + w y ˆj + wz kˆ
(8. 21)
Em que wx é a rotação em torno do eixo x, wy é a rotação em torno do eixo y, wz é a rotação
em torno do eixo z. O sentido positivo da rotação é dado pela regra da mão direita.
direita.
Figura - 8. 8. Rotação em torno dos três eixos cartesianos, cujo sentido é dado pela regra da mão
Para obtermos a expressão matemática da rotação nos fluidos, consideremos o
movimento de um elemento fluido no plano xy. As componentes da velocidades no campo de
escoamento são dada por vx(x, y) e vy(x, y). A rotação do elemento de um fluido em tal campo
de escoamento é ilustrada pela Figura - 8. 9.
Figura - 8. 9. Rotação de um elemento fluido em um campo de escoamento bidimensional.
As duas linhas mutuamente perpendiculares ao e ob (se as velocidades nos pontos
a e b forem diferentes da velocidade em o) giram para posições indicadas na figura, no
intervalo de tempo ∆t.
Consideremos, inicialmente, a rotação da linha oa de comprimento ∆x. A rotação
desta linha é devida à variação da componente da velocidade segundo o eixo dos y. Se esta
componente, y, da velocidade, no ponto O, for designada por voy, a componente de velocidade
no ponto a, segundo o eixo y, pode ser assim escrita, usando o desenvolvimento em série de
Taylor, da seguinte forma:
v y = voy +
∂v y
∂x
∆x
(8. 22)
A velocidade angular da linha oa é dada por:
∆α
∂η / ∆x
= lim
.
∆t →0 ∆t
∆t →0
∆t
woa = lim
(8. 23)
Como
∆η =
temos:
∂v y
∂x
∆x∆t ,
(8. 24)
woa = lim
(∂v y / ∂x )∆x∆t / ∆x
∆t
∆t →0
=
∂v y
∂x
(8. 25)
A rotação da linha ob de comprimento ∆y é devida à variação da componente da
velocidade segundo o eixo dos x. Se esta componente, x da velocidade, no ponto O, for
designada por vxo, a componente de velocidade no ponto b, segundo o eixo x, pode ser assim
escrita, usando o desenvolvimento em série de Taylor, da seguinte forma:
v x = v xo +
∂v x
∆y
∂y
(8. 26)
A velocidade angular da linha oa é dada por:
∆β
∂ζ / ∆y
= lim
∆t →0 ∆t
∆t →0
∆t
wob = lim
(8. 27)
Como
∆ζ = −
∂v x
∆y∆t
∂y
(8. 28)
Temos:
woa = lim −
∆t →0
(∂v x / ∂y )∆y∆t / ∆y
∂v
=− x
∆t
∂y
(8. 29)
(o sinal negativo é aplicado para dar valor positivo a wob. De acordo com a nossa convenção, a
rotação em sentido anti-horário é positiva).
A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angular média das
duas linhas mutuamente perpendiculares oa e ob, do elemento, no plano xy, é:
1 ∂v y ∂v x
wz = (
−
)
2 ∂x
∂y
(8. 30)
Considerando a rotação das duas linhas perpendiculares nos planos yz e xz,
podemos mostrar que:
∂v y
1 ∂v
wx = ( z −
)
2 ∂y
∂z
e
(8. 31)
∂v
1 ∂v
wy = ( x − z )
2 ∂z
∂x
(8. 32)
Então de acordo com (8. 21) temos:
w = wx iˆ + w y ˆj + wz kˆ =
w=
∂v y ∂v x ˆ
∂v x ∂v z ˆ
1 ∂v z ∂v y ˆ
i+
j+
k
−
−
−
2 ∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(8. 33)
Verificamos que o termo entre colchetes é o rotacional de ∇ × v . Então usando a nptação
vetorial, podemos escrever:
1
w= ∇×v
2
(8. 34)
Sob que condições devemos esperar que determinado escoamento seja
irrotacional?
A partícula fluida, movendo-se, sem rotação, em um campo de escoamento, não
pode desenvolver rotação sob a ação de forças de massa ou de forças de superfícies normais a
ela (pressões). O desenvolvimento de rotação em uma partícula fluida, inicialmente sem
rotação, requer a ação de tensão tangencial na superfície desta partícula. Como a tensão
tangencial é proporcional a deformação angular, segue-se que a partícula, inicialmente sem
rotação, não desenvolverá rotação sem que haja deformação angular simultaneamente. A
tensão tangencial está relacionada com a deformação angular pela viscosidade. A presença de
forças de viscosidade significa que o escoamento é rotacional(1).
A condição de irrotacionalidade, só pode ser uma hipótese válida para aquelas
regiões do escoamento nas quais as forças de viscosidade são desprezíveis(2). (Esta região
existe, por exemplo, fóra da camada limite do escoamento sobre uma superfície sólida). O
fator ½ pode ser eliminado da equação (8. 33) definindo-se a entidade denominada vórtice,
, que vale o dobro da rotação.
= 2w = ∇ × v
Onde
1
2
(8. 35)
∇=
∂
1 ∂ ˆ ∂
rˆ +
θ + zˆ
r ∂θ
∂r
∂z
(8. 36)
O vórtice, em coordenadas cilíndricas, tem por expressão.
∇×v =
∂vr ∂v z ˆ 1 ∂ (rvθ ) ∂vr
1 ∂v z ∂vθ
−
rˆ +
−
θ+
zˆ
−
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
(8. 37)
8. 10 – A equação de movimento de um fluido viscoso
A força resultante pode ser escrita a partir da soma das forças superficiais e
volumétricas como:
dF = fdV − ∇P.dV + f vis dV
(8. 38)
fdV − ∇P.dV + f visc dV = ρadV
(8. 39)
f − ∇P + f visc = ρa
(8. 40)
Logo (5. 6) fica
Portanto:
Esta equação representa a deslocamento de um fluido sujeito apenas tanto a
pressão, ou seja, forças na direção normal da superfície do fluido, como a forças tangenciais
onde se inclui a lei da viscosidade de Newton dada em Erro! A origem da referência não foi
encontrada..
Usando o fato de que:
a=
dv
∂v
= (v .∇)v +
∂t
dt
(8. 41)
isto é, substituindo (5. 113) em (8. 40) temos:
f − ∇P + f visc = ρ (v .∇)v +
∂v
∂t
(8. 42)
8. 11 – A equação de movimento de um fluido viscoso
incompressível
Considerando que a força viscosa é dada por:
f visc = ∇.τ
Onde
(8. 43)
τ é dado a partir da Lei de Newton para a viscosidade, ou seja,
τ = µ∇v
(8. 44)
f visc = ∇.( µ∇v )
(8. 45)
∇.( µ∇v ) = ∇µ∇v + µ∇ 2 v
(8. 46)
Logo
Ou pela identidade temos:
Substituindo (8. 45) em (8. 42) temos:
f − ∇P + ∇µ∇v + µ∇ 2 v = ρ (v .∇)v +
∂v
∂t
(8. 47)
Considerando que a viscosidade do fluido é constante, ou seja, ∇µ = 0 , temos:
f − ∇P + ∇µ∇v + µ∇ 2 v = ρ
∂v
∂t
(8. 48)
8. 12 – Circulação, rotacional e vorticidade
A vorticidade é a medida da rotação de um elemento fluido em movimento em um
campo de escoamento. A circulação,
, é definida pela integral da componente tangencial da
velocidade em trono de uma linha curva fechada, fixa, do escoamento.
Γ = v .ds
C
(8. 49)
Em que ds é o vetor elementar, de módulo ds, tangente à curva. O sentido positivo
corresponde ao sentido anti-horário de integração ao longo da curva. A relação entre
circulaçào e vórtice pode ser obtida pelo elemento fluido da Figura - 8. 10. As variações de
velocidade ai mostradas concordam com as usadas para determinar a expressão da rotação dos
fluidos.
Figura - 8. 10. Componentes da velocidade nos limites de um elemento fluido.
Para a curva fechada Oacb temos:
dΓ = v x ∆x + v y +
∂v y
∂x
∆x ∆y − v x +
∂v x
∆y ∆x − v y ∆y
∂y
(8. 50)
donde
dΓ =
∂v y
∂x
−
∂v x
∆x∆y
∂y
(8. 51)
Logo
dΓ = 2 wz ∆x∆y
(8. 52)
Então
Γ = v .ds = 2wz dA = (∇ × v ) dA
C
z
(8. 53)
A equação (8. 53) é o enunciado do Teorema de Stokes para escoamento bidimensional. Assim, a circulação ao longo de um contorno fechado é a soma da vorticidade
no seu interior.
8. 13 – Teorema de Stokes
Vamos agora definir, assim como o divergente, um outro operador diferencial que
nos ajudará muito na solução de problemas de fluxos de massa e energia em direções
tangenciais a superfície. Portanto, a partir de ( ) vamos tomar a derivada em relação a
superfície da componente tangencial do fluxo de massa dado por:
d (∇M × v )
d
=−
dV
dV
ρv × dA
(8. 54)
S
A qual chamaremos de rotacional da grandeza escalar φτ(x,y,z,t) definida por:
φτ ≡ ∇M × v = − ρv × dA
S
(8. 55)
Como
J = ρv
(8. 56)
Logo φτ(x,y,z,t) pode ser escrito como:
φτ ≡ − J × dA
S
(8. 57)
Podemos chamar de rotacional de J a equação:
∆φτ dφτ
=
∆V →0 ∆V
dV
∇ × J ≡ lim
(8. 58)
logo
∇× J = −
Do qual podemos escrever:
d
dV
J × dA
S
(8. 59)
(∇ × J ) dV = d ( J × dA)
S
(8. 60)
Ou integrado no volume temos:
∇ × J dV = − J × dA
V
S
(8. 61)
Este teorema, de uma forma geral, relaciona integral de volume com a integral de
superfície.
8. 14 - Fluxo estacionário – Teorema de Bernoulli
A partir de (5. 113) nós temos a seguinte identidade vetorial
1
(v .∇)v = (∇ × v ) × v + ∇(v .v )
2
(8. 62)
Logo a equação (6. 6) fica:
1
∂v
f − ∇P = ρ [(∇ × v ) × v + ∇(v .v )] + ρ
2
∂t
(8. 63)
Chamando de vorticidade a grandeza
Ω =∇×v,
(8. 64)
a qual é perpendicular ao plano que contém o campo de velocidades, temos:
1
∂v
f − ∇P = ρ [Ω × v + ∇(v .v )] + ρ
2
∂t
(8. 65)
Aplicando o produto escalar de v temos:
1
∂v
v .( f − ∇P) = ρv .[Ω × v + ∇(v .v ) + ]
∂t
2
(8. 66)
Observe que o produto vetorial de Ω × v é um vetor que está no próprio plano das
velocidade. Reescrevendo (6. 21) temos:
v .[ f − ∇P −
1
∂v
ρ∇(v .v )] = ρv .[Ω × v + ] .
2
∂t
(8. 67)
Considerando o caso em que o produto escalar entre a vorticidade, Ω, e a
velocidade, v , é nula, porque são perpendiculares, ou seja,
v .(Ω × v ) = 0 ,
(8. 68)
então:
v .[ f − ∇P −
1
∂v
ρ∇(v .v )] = ρv . .
2
∂t
(8. 69)
1
∂v
ρ (v .v )] = ρv . .
2
∂t
(8. 70)
1
∂v
ρ (v .v )] = ρ
2
∂t
(8. 71)
Para f = − ρ∇ϕ temos:
v .∇[− ρϕ − P −
Logo dividindo tudo por v temos:
∇[ − ρϕ − P −
Supondo que ∂v / ∂t = 0 , ou seja, o escoamento é permanente,
∇[ − ρϕ − P −
1
ρ (v .v )] = 0
2
(8. 72)
Necessariamente devemos ter:
P + ρϕ +
1
ρ (v .v ) = constante .
2
(8. 73)
Essa é a equação de Bernoulli para uma linha de corrente em um escoamento permanente de
um fluido incompressível.
8. 15 – Campo rotacional de velocidades
A partir da equação
f − ∇P + f visc = ρ (v .∇)v + ρ
∂v
∂t
(8. 74)
Substituindo a identidade vetorial dada em temos:
1
∂v
f − ∇P + f visc = ρ [Ω × v + ∇(v .v )] + ρ
2
∂t
(8. 75)
(8. 76)
Capítulo – IX
ESCOAMENTO DE FLUIDOS COMPRESSÍVEIS
COM VISCOSIDADE
RESUMO
Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento compressível com
viscosidade, onde será deduzida a equação de Navier-Stokes, que consiste em uma
generalização da 2a Lei de Newton para fluidos. Neste capítulo faremos a devidas
generalizações da Lei da Viscosidade de Newton para as situações de fluidos newtonianos e
não-newtonianos.
Palavras Chave: Fluidos não-newtonianos;
PACS números:
9. 1 – Introdução
Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento compressível com
viscosidade. Esta é a condição mais geral possível para o escoamento de um fluido. A
equação mais importante a ser deduzida nesta parte é a equação de Navier-Stokes, que
consiste em uma generalização da 2a Lei de Newton para fluidos
(9. 1)
Se o fluido é compressível temos que:
∇.v ≠ 0
(9. 2)
Logo, usando a condição de compressibilidade dada em (5. 130) em (5. 113) temos que:
a=
dv
∂v
= ρ (v .∇)v +
dt
∂t
(9. 3)
Substituindo (9. 3) em (5. 10) temos:
f + f visc − ∇P = ρ (v .∇)v + ρ
∂v
∂t
(9. 4)
∂v
∂t
(9. 5)
Logo a equação (7. 4) fica:
f + f visc − ∇P = ρ (v .∇)v + ρ
9. 2 – A força viscosa de Navier-Stokes
Considerando a equação (5. 89) em (5. 88) podemos escrever
∇.J p dV =
V
Sabendo que Fvisc =
J p .dA
S
(9. 6)
J p .dA corresponde a uma força viscosa generalizada, temos:
S
Fvisc =
∇.J p dV .
V
(9. 7)
Derivando a equação (9. 7) em relação ao volume, ficamos com:
dFvisc
d
=
dV
dV
∇.J p dV .
V
(9. 8)
Ou
dFvisc
= ∇.J p .
dV
(9. 9)
Logo de forma análoga a densidade volumétrica de forcas definida em Erro! A origem da
referência não foi encontrada. e (4. 23) podemos escrever:
f visc = ∇.J p .
(9. 10)
É preciso lembrar, a partir de (5. 89), para que f visc seja um vetor é preciso que, de uma
forma geral, J p seja uma matriz, isto é, J p ≡ S ij . Logo, acrescentando um termo de força
viscosa a equação (5. 10) temos:
f + f visc − ∇P = ρa .
(9. 11)
f + ∇.S ij − ∇P = ρa .
(9. 12)
onde
Esta equação amplia o conceito de 2a Lei de Newton para os fluidos a partir da
equação (5. 10). Porém, nos resta agora identificar como é o campo de velocidades em um
fluido devido a um campo de tensão. Para isto vamos considerar a analogia entre a
deformação limitada de um sólido e a deformação contínua de um fluido, ou seja uma Lei de
Hooke que seja válida para os fluidos, a partir da lei de Hooke para sólidos elásticos, como
veremos a seguir.
9. 3 – A lei da viscosidade de Navier-Stokes para um fluido
incompressível desenvolvida a partir da Lei de Hooke.
Desenvolveremos a segunda parte da lei de Stokes para a viscosidade
considerando inicialmente a ação de um corpo elástico isotrópico. Como nós já havíamos dito,
um fluido pode ser considerado como um sólido que se deforma continuamente, onde é válida
a Lei da Viscosidade de Newton de forma análoga a Lei de Hooke. Esta lei pode ser escrita,
na sua forma generalizada, para um corpo isotrópico da seguinte forma:
Considere um corpo em sua forma primitiva não deformada como mostrado pela
linha cheia na Figura - 9. 1. O corpo em sua geometria deformada está mostrado pela linha
interrompida.
Figura - 9. 1. Corpo deformado mostrando o ponto a deslocado após a deformação local s.
Um elemento a desloca-se para a posição a’, por uma velocidade v . Usando
componentes paralelas a uma referência convenientes x, y, z temos S .
S = ξiˆ + ηˆj + ζkˆ .
Onde
(9. 13)
ξ ,η , e ζ , para dada deformação são funções das coordenadas de posição primitiva x, y,
z dos elementos do corpo. Podemos então definir deformações normais da seguinte maneira:
ε xx =
∂ξ
,
∂x
(9. 14)
ε yy =
∂η
,
∂y
(9. 15)
ε zz =
∂ζ
.
∂z
(9. 16)
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões e deformações normais estão
relacionadas com pequenas deformações pela Lei de Hooke da seguinte maneira:
ε xx =
1
[σ xx − v(σ yy + σ zz )] ,
E
(9. 17)
ε yy =
1
[σ yy − v(σ xx + σ zz )] ,
E
(9. 18)
ε zz =
1
[σ zz − v(σ xx + σ zz )] .
E
(9. 19)
Onde E é o módulo elástico de Young e v é o coeficiente de Poisson. Recordamos que o
módulo de cisalhamento, G, é relacionado com E e v, pela seguinte relação
G=
E
.
2(1 + v)
(9. 20)
Para chegar a lei da viscosidade de Stokes, obtemos as tensões normais em termos
dos deslocamentos. Para fazê-lo, somamos as equações (9. 17) a (9. 19) e coletamos os termos
da seguinte forma:
ε xx + ε yy + ε zz =
1 − 2v
[σ xx + σ yy + σ zz ] .
E
(9. 21)
Observando as definições de (9. 13) a (9. 16) pode-se verificar que o primeiro
membro da equação (9. 21) é o divergente de S, ou ∇.S, logo reordenando (9. 21), obtemos:
σ xx + σ yy + σ zz =
E
∇.S .
1 − 2v
(9. 22)
Resolvendo a equação (9. 17) para σxx, temos:
σ xx = Eε xx + v(σ yy + σ zz )] ,
(9. 23)
Somando e subtraindo vσxx no segundo membro da equação acima e substituindo εxx por
∂ξ/∂x, obtemos:
σ xx = E
∂ξ
+ v (σ xx + σ yy + σ zz ) − vσ xx ,
∂x
(9. 24)
Empregando a equação (9. 22) para substituir a soma das tensões normais, podemos reordenar
a equação acima da seguinte forma:
σ xx (1 + v) = E
∂ξ
vE
+
∇.S ,
∂x 1 − 2v
Dividindo por (1 + v) e observando a equação (9. 22) junto com a definição de
σ =
(9. 25)
σ , dada por:
1
(σ xx + σ yy + σ zz ).
3
(9. 26)
1 E
∇.S ,
3 (1 − 2v)
(9. 27)
A partir de (9. 22) temos que:
σ =
Logo podemos escrever a equação (9. 25) na forma:
σ xx =
E ∂ξ
vE
1 E
+
∇.S −
∇.S + σ ,
(1 + v ) ∂x (1 + v )(1 − 2v)
3 (1 − 2v)
(9. 28)
Onde os últimos termos são adicionais, cuja soma é zero. Logo, pondo em evidência os
termos semelhantes
σ xx =
E ∂ξ
v
1
E
+
−
∇.S + σ ,
(1 + v) ∂x
(1 + v ) 3 (1 − 2v)
(9. 29)
e combinado os coeficientes do termo ∇.S, obtemos:
σ xx =
E ∂ξ
2v − 1
E
+
∇.S + σ ,
(1 + v) ∂x
3(1 + v) (1 − 2v)
(9. 30)
E ∂ξ 1 E
−
∇.S + σ ,
(1 + v ) ∂x 3 (1 + v )
(9. 31)
Ou
σ xx =
Substituído agora E /(1 + v ) por 2G, dado de acordo com (9. 20), obtemos:
σ xx = 2G
∂ξ 2
− G∇.S + σ ,
∂x 3
(9. 32)
Coletando os termos e exprimindo as equações correspondentes para outros componentes de
tensão, obtemos as relações desejadas de tensão-deslocamento, ou seja:
σ xx = 2G
∂ξ 2
− G∇.S + σ ,
∂x 3
(9. 33)
σ yy = 2G
∂ξ 2
− G∇.S + σ ,
∂y 3
(9. 34)
σ zz = 2G
∂ξ 2
− G∇.S + σ ,
∂z 3
(9. 35)
e
e
9. 4 – O campo de tensão de Navier-Stokes
Considere um fluido com propriedades isotrópicas sujeito a uma tensão qualquer
em uma direção genérica. De acordo com Poisson, para cada tensão aplicada na direção
normal, σii, (onde i = 1, 2, 3) , de um total de três deformações possíveis, εii, εjj, εkk, cada uma
das tensões, σxx, σyy, σzz, é responsável por duas deformações nas direções perpendiculares, εjj,
εkk e apenas uma deformação, εii, na direção da tensão normal, conforme mostra a Figura - 9.
2, ou seja:
σ xx = 2G
∂ξ 2
− G∇.S ,
∂x 3
(9. 36)
De acordo coma lei de Hooke para fluidos temos:
2
[S] = µ [ ] − (∇.v )[I ]
3
(9. 37)
Como o tensor taxa de deformação é idêntico ao tensor gradiente de velocidades,
isto é,
= ∇v , para obter a Lei de Stokes, basta substituir o módulo de cisalhamento pelo
coeficiente de viscosidade, µ, e as componentes de deslocamento pelas componentes de
velocidade. Assim, ficamos com:
σ xx = µ 2
∂v x 2
− ∇.v + σ ,
∂x 3
(9. 38)
e
σ yy = µ 2
∂v y
2
− ∇.v + σ ,
∂y 3
(9. 39)
∂v z 2
− ∇.v + σ ,
∂z 3
(9. 40)
e
σ zz = µ 2
Ou de uma forma geral temos para i = j que:
σ ji = µ 2
∂vi 2
− ∇.v + σ ,
∂x j 3
(9. 41)
∂vi ∂v j
−
,
∂x j ∂xi
(9. 42)
e
τ ij = µ 2
superfície.
Figura - 9. 2. Componentes das deformações de um fluido para cada tensão normal aplicada na
De forma análoga a deformação em um sólido, podemos considerar para cada uma
das três deformação normais, εii, εjj, εkk, proveniente de cada tensão normal incidente, σii,
(onde i = 1, 2, 3), como sendo uma componente de velocidade, vii, vjj, vkk. Logo, trocando G
por µ, ξ por vi e S por v, na linguagem de fluidos temos:
[S] = µ
∂v x 2
− (∇.v )[I ]
∂x y 3
(9. 43)
Desta forma, podemos escrever:
2
S = µ[∇v − (∇.v )]
3
(9. 44)
Desta forma, para uma direção genérica, v , da velocidade de um fluido nós
podemos considerar que para qualquer vetor tensão aplicada a um fluido o campo de
velocidades, este pode ser decomposto em três direções principais, onde duas delas são
responsáveis pela viscosidade devido as duas componentes de cisalhamento e uma apenas
responsável pela direção normal devido a uma componente de pressão, conforme mostra a
Figura - 9. 3.
Portanto, como força é dada pelo divergente do campo de tensão temos:
2
f visc = ∇.S = µ[∇ 2 v − (∇.v )]
3
(9. 45)
Esta é a lei de força viscosa que deve ser acrescentada a equação de movimento
(2a Lei de Newton) do fluido.
normal
Figura - 9. 3. Componentes das velocidades de um fluido sujeito a duas tensões cisalhantes e uma
9. 5 - A lei da viscosidade de Navier-Stokes para um fluido
compressível
Para um fluido incompressível, o tensor das tensões tangenciais em três
dimensões, de acordo com a Lei da Viscosidade de Newton, para i ≠ j, pode ser definido
como sendo:
τ ij = µ (
∂v j
+
∂xi
∂vi
).
∂x j
(9. 46)
e para i = j temos:
σ jj = 2µ
∂v j
∂x j
−λ
∂vi
.
i =1 ∂xi
3
(9. 47)
Em notação tensorial temos:
σ jj = 2µ
∂v j
∂x j
− λ∇.v .
(9. 48)
Como
S ij = [
jj ] + [ ij ] .
(9. 49)
Substituindo (9. 48) e (9. 46) em (9. 49) temos:
S ij = µ (
∂v j
∂xi
+
∂vi
) − λδ ij ∇.v .
∂x j
(9. 50)
Onde λ = 2/3µ. Logo, para um fluido compressível, o tensor das tensões tangenciais em três
dimensões, de acordo com a Lei da Viscosidade de Newton, pode ser definido como sendo:
S ij = µ (
∂v j
∂xi
+
∂vi
2
) − δ ij ∇.v .
∂x j
3
(9. 51)
A densidade volumétrica de força viscosa pode ser definida como o divergente
deste tensor dado por:
∇.S ij =
3
∂S ij
j =1
∂x j
=µ
3
∂vi
∂ ∂v j ∂vi
(
+
)−λ
.
∂xi ∂x j
j =1 ∂x j
i =1 ∂xi
3
(9. 52)
A densidade volumétrica de força viscosa pode ser definida como o divergente
deste tensor dado por:
∇.S ij =
3
∂S ij
j =1
∂x j
=µ
∂ ∂v j ∂vi
2
(
+
) − δ ij ∇.v
∂xi ∂x j
3
j =1 ∂x j
3
(9. 53)
cujo resultado é:
2
f visc = ∇.S = µ[∇ 2 v − ∇(∇.v )] .
3
(9. 54)
9. 6 – A equação de movimento de Navier-Stokes para um fluido
viscoso compressível
A partir de (8. 40) e (9. 52) temos:
f − ∇P + ∇.S = ρa
(9. 55)
Substituindo (9. 54) em (8. 40) temos:
2
f − ∇P + µ[∇ 2 v − ∇(∇.v )] = ρa
3
(9. 56)
Usando o fato de que:
a=
dv
∂v
= (v .∇)v +
dt
∂t
(9. 57)
Usando (5. 113) em (9. 56) e substituindo temos:
2
∂v
f − ∇P + µ [∇ 2 v − ∇(∇.v )] = ρ (v .∇)v +
3
∂t
(9. 58)
Figura - 9. 4. Interpretação dos termos da equação de Navier-Stokes para um fluido.
9. 7 – Fluidos newtonianos e não-newtonianos
Para se tratar com fluidos é necessário ter uma relação entre o tensor de
viscosidade [ττ] e a taxa do tensor das deformações [ ] tal relação é chamada de equação
cosntitutiva (ou equação de consistência)
Uma classe de fluido para a qual a equação de consistência tem uma simples
forma particular é aquela de fluidos Newtonianos. Esta classe possui a seguinte equação de
consistência.
[ ] = µ[ ] −
2
µ − µ d (∇.v )[I]
3
(9. 59)
onde, µ é a viscosidade e µd é a viscosidade dilatacional, muito comum em materiais
viscoelásticos.
A viscosidade dilatacional é zero para simples gases. Também para fluxos
incompressíveis, nós temos, ∇.v = 0 , e da equação (9. 59) nós vemos que neste caso a
viscosidade dilatacional não tem efeito. Desde que a viscosidade dilatacional não tem efeito
para estes dois extremos: um gás altamente compressível e um fluido incompressível; nós
supomos que seu efeito é desprezível para um polímero fundido e portanto ignoramos no que
segue:
A equação de consistência para fluidos Newtonianos então torna-se:
2
[ ] = µ[ ] − µ (∇.v )[I ]
3
(9. 60)
Colocando o coeficiente de viscosidade em evidência podemos escrever:
2
[ ] = µ [ ] − (∇.v )[I ]
3
(9. 61)
[ ] = µ[ '
]
(9. 62)
ou simplesmente
onde [ '
] é chamado de tensor de taxa de defomação deviatório, e é definido como:
2
[ '
] = [ ] − (∇.v )[I ]
3
(9. 63)
Para um fluido incompressível (veja secção ) o tensor da taxa de deformação deviatório é
igual ao tensor da taxa de deformação. Neste caso a equação (9. 61) torna-se:
[ ] = µ[ ]
(9. 64)
A equação (9. 64) mostra que para um fluido Newtoniano incompressível, o tensor das
tensões viscosa é linearmente relacionado ao tensor da taxa de deformação. Note que para tais
fluidos a viscosidade é constante a uma dada temperatura. Contudo, a viscosidade pode variar
com a temperatura.
9. 8 – Os coeficientes de viscosidade generalizados
Fluidos para os quais a equação (9. 64) não é válida são chamados de nãonewtonianos. Polímeros fundidos são não-newtonianos. Além do mais eles exibem efeitos
viscoelásticos. Podemos modificar a equação (9. 61) e escrevê-la na forma newtoniana, como
segue:
[ ] = µ ( )[ ]
Escrita desta forma a viscosidade aparente
seja,
(9. 65)
µ ( ) torna-se uma função da deformação, ou
µ = µ ( ) , também chamada de função viscosidade. No que segue nós simplificaremos
chamando esta simplesmente de viscosidade.
9. 9 - A lei da viscosidade generalizada
A equação (9. 65) define uma classe de fluidos chamada de fluidos newtonianos
generalizados. Estes tipos de fluidos são úteis para o modelamento de fluxo de polímeros em
situações dominadas por forças tangenciais. Exemplos incluem fluxos em tubos e entre placa
planas. Claramente este é o que nós necessitamos para o modelamento no processo de
moldagem por injeção.
Substituindo a equação (9. 65) em Erro! A origem da referência não foi
encontrada. nós obtemos a seguinte relação, válida para um fluido newtoniano generalizado
compressível:
[S] = [ ] − P[I ] ,
(9. 66)
[S] = µ ( )[ '
] − P[I ] ,
(9. 67)
2
[S] = µ ( )[ '
] − µ ( )(∇.v )[I ] − P[I ] ,
3
(9. 68)
Ou
Logo
Para o caso incompressível, é também possível usar o conceito de um fluido
newtoniano generalizado. Nós simplesmente substituímos a taxa deviatória do tensor das
deformações pela taxa do tensor das deformações para obter:
[S] = [ ] − P[I ] ,
(9. 69)
[S] = µ ( )[ ] − P[I ] ,
(9. 70)
Ou
9. 10 - A força viscosa generalizada de Newton-Navier-Stokes em
termos do rotacional de velocidades
Aplicando o produto vetorial do rotacional de ambos os lados temos:
1
∂v
∇ × ( f − ∇P + f visc ) = ρ∇ × [Ω × v + ∇(v .v )] + ρ∇ ×
2
∂t
(9. 71)
E reescrevendo temos:
1
∂ (∇ × v )
∇ × ( f − ∇P + f visc ) = ρ∇ × [Ω × v + ∇(v .v )] + ρ
2
∂t
(9. 72)
Como Ω = ∇ × v ficamos com:
∇ × f − ∇ × ∇P + ∇ × f visc = ρ∇ × Ω × v +
1
∂Ω
ρ∇ × ∇(v .v ) + ρ
2
∂t
(9. 73)
Lembrando que ∇ × ∇[ ] = 0 temos:
∇ × f + ∇ × f visc = ρ[∇ × Ω × v +
∂Ω
]
∂t
(9. 74)
Logo para f = − ρ∇ϕ temos:
∇ × f = − ρ∇ × ∇ϕ = 0
(9. 75)
Portanto:
∇ × f visc = ρ[∇ × Ω × v +
Sabendo que
∂Ω
]
∂t
(9. 76)
Ω =∇×v,
(9. 77)
temos que:
f visc = ρΩ × v + ρ
∂v
.
∂t
(9. 78)
Mas
1
Ω × v = ∇ × v × v = (v .∇)v − ∇(v .v ) ,
2
(9. 79)
Logo
f visc = ρ (∇.v )v −
ρ
2
∇(v .v ) + ρ
∂v
.
∂t
(9. 80)
9. 11 - A equação para o movimento generalizada para um fluido
viscoso compressível
A partir de (8. 40) e (9. 52) temos:
f − ∇P + ∇.S =
∂ ( ρv )
∂t
(9. 81)
Substituindo (9. 54) em (8. 40) temos:
2
∂ ( ρv )
f − ∇P + ∇.( µ∇v ) − ∇[( µ − µ d )(∇.v )] =
3
∂t
(9. 82)
Usando o fato de que:
a=
dv
∂v
= (v .∇)v +
dt
∂t
(9. 83)
E substituindo temos:
2
∂ρ
f − ∇P + ∇.( µ∇v ) − ∇[( µ − µ d )(∇.v )] = ∇ρ .(v .v ) +
v
3
∂t
∂v
+ ρ (∇.v )v +
∂t
(9. 84)
Esta é uma equação geral capaz de descrever o escoamento de fluidos
compressíveis e viscosos.
9. 12 – Fluxo rotacional não-permanente com viscosidade
Capítulo –X
ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
RESUMO
Neste capítulo será visto as noções básicas de análise dimensional e semelhança
aplicada a problema de fluidos. Mostraremos a origem das diferentes relaçoes adimensionias
úteis no cálculo de problemas de escala em fluidos.
Palavras Chave:
PACS números:
10. 1 –Introdução
(10. 1)
Apêndices
A 1 - Tabela de Conversão de Unidades
A 2 - Momento Linear e Centro de Massa
A 3 - Momento Angular e Momento de Inércia
A 4 – Expansão em Série de Taylor
A 5 - Análise de Fluxos e Gradientes
A 6 - Operadores diferenciais
Vejamos agora os principais operadores diferenciais estudado neste curso e suas
respectivas interpretações físicas.
Operador
Gradiente ( ∇v )
(transforma escalar em
Representação
∇v =
∂v
∂v
∂v
xˆ +
yˆ + zˆ
∂x
∂y
∂z
Interpretação
É um operador diferencial que
calcula a máxima variação de
um campo escalar, apontando
vetor)
nesta direção.
Divergente ( ∇.v )
(transforma vetor em
∇.v =
∂v x ∂v y ∂v z
+
+
∂x
∂y
∂z
É um operador diferencial que
calcula a fonte do campo
vetorial, se o volume contiver
escalar)
a
fonte
deste
campo
o
divergente é zero.
Rotacional ( ∇ × v )
(transforma vetor em vetor)
iˆ
∂
∂x
vx
ˆj
∂
∂y
vy
kˆ
∂
∂z
vz
É um operador diferencial
sobre o contorno do volume
de controle que calcula o
efeito da rotação do,campo e
suas
consequências
sobre este.
físicas
A 7 - Operadores diferenciais em Coordenadas Cartesianas
A7.1 - Gradiente
∇v =
∂v
∂v
∂v
xˆ +
yˆ + zˆ
∂x
∂y
∂z
(A7. 1)
∂v x ∂v y ∂v z
+
+
∂x
∂y
∂z
(A7. 2)
A7.2 - Divergente
∇.v =
A7.3 - Rotacional
∇×v =
∂v y ∂v x
∂v x ∂v z
∂v z ∂v y
−
xˆ +
−
yˆ +
−
zˆ
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(A7. 3)
A 8 - Operadores diferenciais em Coordenadas Cilíndricas
A8.1 - Gradiente
∂v
1 ∂v ˆ ∂v z
rˆ +
θ+
zˆ
∂r
r ∂θ
∂z
(A8. 1)
1 ∂ (rvr ) 1 ∂vθ ∂v z
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
(A8. 2)
∇v =
A8.2 - Divergente
∇.v =
A8.3 - Rotacional
∇×v =
∂vr ∂v z ˆ 1 ∂ (rvθ ) ∂vr
1 ∂v z ∂vθ
−
rˆ +
−
θ+
−
zˆ
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
(A8. 3)
A 9 - Operadores diferenciais em Coordenadas Esféricas
A9.1 - Gradiente
∂v
1 ∂v ˆ
1 ∂v
rˆ +
θ+
ϕˆ
∂r
r ∂θ
r senθ ∂ϕ
(A9. 1)
1 ∂ (r 2 vr )
1 ∂ (vθ senθ )
1 ∂vϕ
+
+
r senθ
∂θ
r senθ ∂ϕ
r 2 ∂r
(A9. 2)
∇v =
A9.2 - Divergente
∇.v =
A9.3 - Rotacional
∇×v =
∂ (vϕ senθ ) ∂vθ
1
1 1 ∂vr ∂ (rvϕ ) ˆ
rˆ +
θ
−
−
r senθ
∂θ
∂ϕ
r senθ ∂ϕ
∂r
1 ∂ (rvθ ) ∂vr
ϕˆ
+
−
r
∂r
∂θ
(A9. 3)
A 10 - Teoremas Diferenciais e Integrais da Mecânica dos Meios
Contínuos
d
dt
ρdV =
V
J .dA +
S
V
∇.J dV =
V
∂ρ
dV
∂t
J .dA
S
∇ × J dV = − J × dA
V
S
(A10. 1)
(A10. 2)
(A10. 3)
A 11 - Formulário Geral da Mecânica dos Fluidos
A 12 - A segunda lei de Newton para fluidos
Na mecânica as segunda lei de Newton é dada por:
FR =
dp
dt
(A12. 1)
Onde
dp = d ( mv )
(A12. 2)
dp = mdv + v dm
(A12. 3)
Ou
Para os fluidos podemos escrever a equação do momento linear p = mv em
termos de um elemento de massa dm qualquer, a partir da definição de densidade, ρ ≡ dm/dV,
da seguinte forma:
dm = ρdV + Vdρ .
(A12. 4)
Retornando (A12. 4) em (A12. 3) temos:
dp = ( ρdV + Vdρ )v + mdv
(A12. 5)
Definindo a densidade volumétrica de momento linear J como sendo:
dp
dV
(A12. 6)
dp dm
= ρv
dm dV
(A12. 7)
J≡
Logo de (A12. 5) temos:
J=
Agora substituindo (A12. 5) em (5. 1) temos:
FR =
dp
dV
dρ
dv
= (ρ
+V
)v + m
dt
dt
dt
dt
(A12. 8)
Bibliografia
- Fox, R. W.; McDonald, A. T., Introdução à mecânica dos fluidos, Editora GuanabaraKoogan, 4ª Edição.
- Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol. I e II, Ed. Edgar Blücher
- Peter Kennedy, Flow analysis of Injection Molds, Carl Hanser Verlag, New York 1995.
- Richard Feymann, Lectures on Physics, Vol. I, II and III, Cap. 38, 39, 40, 41.,
- Incopera, P. I. DeWitt, D. P. Fundamentos de transferência de calor e de massa, Editora
LTC, 4ª Edição, 1998