Árvores Equilibradas
Sumário
 Splay
 B-tree
 Vermelho-Preto
 AA e BB
 Multidimensionais
 quaternárias
 k-d
 Pesquisa Lexicográfica
 tries multivia
 tries binárias
 PATRICIA
VP
Árvores Vermelho-Pretas

correspondem a uma transformação de árvores-B, em particular a de ordem 4 para uma
representação em árvore binária de pesquisa

os filhos de um nó da árvore-B podem ser representados por uma lista ligada ou por outra
estrutura, como as árvores binárias de pesquisa

os ramos desta, internos a um nó da árvore-B, são os ramos vermelhos e os ramos que ligam
diferentes nós da árvore-B são os ramos pretos (a cor de um nó é a cor do ramo que lhe fica
imediatamente acima; a raiz é preta)

a pesquisa e a travessia é a de uma árvore binária; inserção e apagamento leva em conta a cor;
processamentos O(log n)
Uma árvore vermelho-preta é uma árvore binária de
pesquisa em que cada nó tem a cor vermelho ou preto
e que satisfaz
1. Cada caminho simples da raiz até uma subárvore vazia
passa pelo mesmo número de nós pretos (equilíbrio).
2. Se um nó é vermelho, então tem um pai e este é preto.
- a condição 2 garante a identificação das subestruturas internas a cada nó
VP
Árvore-B como Vermelho-Preta
j
f
m
d
s
u
h
e
b
g
i
k
o
c
a
l
n
p
w
r
t
v
x
VP
Transformação de nós
b
a b c
T1
T2 T3
a
T1
T4
c
T2 T3
T4
a
a b
b
b
a
T1
T1
T2
T3
T3
T2
T3
T1
T2
VP
Inserção

genericamente, o algoritmo de inserção começa na raiz, compara as chaves para escolher a subárvore e é
recursivo até encontrar uma subárvore vazia, onde cria um nó

o novo nó é vermelho, para garantir a condição preta (nas árvores-B a inserção também começava por
ser num nó pre-existente)

se o pai do novo nó for preto, termina; se for vermelho, viola-se a condição 2; adia-se a correcção do
problema; retorna-se indicação de estado de que se processou um nó vermelho

está-se agora no pai: se for preto, tudo bem; se for vermelho, anota-se no estado o problema, em conjunto
com a indicação de o filho ser esquerdo ou direito

estamos no avô, que tem que existir e é preto; neste nível recursivo corrige-se o problema do neto:

-
se o tio for preto (ou não existir), basta fazer uma rotação simples ou dupla, para o lado do tio;
-
se o tio for vermelho, troca-se o pai e o tio para preto e o avô para vermelho
o problema recomeça, agora entre o avô e o bisavô, com a indicação de estado de nó vermelho; pode-se
chegar a mudar a cor da raiz para vermelho, o que obriga a chamada exterior a repor a cor em preto
VP
Repor condições de vermelho e preto
avô
pai
pai
tio
T4
filho
T1
avô
filho
tio
T3
Rotação à direita
T1
T2 T3
T4
T2
avô
filho
pai
tio
T4
Dupla rotação à direita
filho
avô
pai
T1
tio
T2
T3
T1
T2 T3
T4
VP
Repor condições de vermelho e preto
avô
pai
avô
pai
tio
Mudança de cor
filho
T1 T2
filho
T3
T1 T2
avô
pai
tio
T3
avô
pai
tio
tio
Mudança de cor
T1
filho T2
T3
T1
filho T2
T3
VP
Árvores BB e AA

Árvore BB: B e Binária
 vermelho-preto
 cada nó tem no máximo 1 filho vermelho

Árvores AA como BB mas
 só filhos direitos podem ser vermelhos
 reduz casos de reequilíbrio
 remoção: filho único de nó interno é vermelho (da condição VP); chave do nó a apagar é
substituída pela menor da subárvore direita
 em vez de cor, nível do nó
 nível = 1
 nível = nível do pai
 nível = nível do pai -1
nas folhas
em nó “vermelho”
em nó “preto”
VP
Árvores AA

Propriedades
 filho esquerdo tem nível 1 unidade abaixo do do pai
 filho direito tem nível 0 ou 1 unidade abaixo do do pai
 ligação ao filho direito: horizontal
30
70
15
5
10
50
20
35
40
60
55
85
65
80
90
VP
Árvores AA - Equilíbrio
Desequilíbrio por ligação horizontal à esquerda

 resolve com rotação à direita (skew)
X
A
2
P
B
X
C
A
5
10
P
B
C
Desequilíbrio por ligação horizontal à esquerda

 resolve com rotação à esquerda (split)
35
40
45
R
X
R
G
X
G
C
A
B
C
A
B
VP
Inserção em Árvores AA
insere(Elemento x, Arvore t)
if ( x < t.elemento)
t.left = insere( x, t.left);
else if (x > t.elemento)
t.right = insere( x, t.right);
else return t;
t = skew(t);
t = split(t);
skew:
split:
rotação com filho esquerdo se
rotação com filho direito se
t.left.level == t.level
t.right.right.level == t.level
VP
Árvores AA - Inserir
3
30
70
2
15
50
60
85
1
5
10
20
35
40
45
depois de split em 35
...
80
90
3
...
70
3
70
2
40
35
65
depois de skew em 50
2
1
55
50
45
...
60
55
65
40
1
35
50
45
...
60
55
65
VP
Árvores AA - Inserir
depois de split em 40
3
30
...
70
50
2
40
85
60
1
35
55
45
65
80
90
depois de skew em 70
3
30
70
50
2
40
...
1
35
85
60
45
55
65
80
90
VP
Árvores AA - Inserir
depois de split em 30
4
50
3
70
30
2
15
40
85
60
1
5
10
20
35
45
55
65
80
90
Árvore aumentou 1 nível
Crescimento é na raiz, à maneira das árvores B
VP
Árvores AA - Remover

Nó que não é folha
 tem filho direito (se tem filho esquerdo, pela condição de Vermelho-Preto)
 pode substituir-se pelo menor da subárvore direita - este tem de estar ao nível 1 porque
não pode ter filho esquerdo (é o menor) e se tiver filho direito é do mesmo nível
 para remover, descer na árvore mantendo registo do nó a apagar e do mínimo
 ao chegar ao fundo da árvore: substituir nó a apagar pelo mínimo e remover o mínimo
 ajustar nós e seus níveis, e reequilibrar se necessário
5
2
1
3
4
6
7
Ao apagar 1:
. 2 passa a ser nível 1
. 5 passa a ser nível 1
Se 5 é nível 1,
. 6 e 7 são nível 1
. Ligação a 3 é horizontal
. 3 e 4 são de nível 1
VP
Árvores AA - Remover
5
2
1
3
2
3
4
6
3
4
5
6
7
depois de skew em 5 (com 4)
2
7
3
depois de split em 2
4
5
6
7
depois de split em 4
3
2
6
4
7
depois de skew em 5 (com 3)
2
5
3
4
5
6
7
2
5
4
6
7
VP
Treaps

Características
 Nó da árvore: 1 elemento, 2 nós filhos e a prioridade
 Prioridade de um nó não inferior à do seu pai

Propriedades
 nó de menor prioridade é raiz
 colecção de elementos distintos com prioridades distintas: árvore é única
 código simples
 eficiência esperada O(log N)

Operações
 Inserção: inserir folha e rodar para cima até satisfazer prioridades
 Apagamento: pesquisar elemento, passar prioridade a , rodar para baixo até ser folha, apagar
VP