X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
O MATERIAL DIDÁTICO “PEÇAS RETANGULARES”
Pedro Ribeiro Barbosa
Universidade Federal de Campina Grande – UFCG
[email protected]
Alexsandra Felix de Brito
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
[email protected]
Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar um relato de experiência sobre o
processo de criação do material didático “peças retangulares - PR”, como também,
descrever algumas experiências desenvolvidas com esse recurso. A fonte que inspirou a
criação do “PR” foi o material “blocos lógicos”, especialmente na busca de superar os
equívocos conceituais no uso dos atributos da espessura e dos termos “triângulo”,
“quadrado” e “retângulo”. Criamos e lançamos o material em 1997, mas procuramos
explorar atributos que o diferem do criado por Dienes. Enquanto o material “blocos
lógicos” explora os atributos forma, cor, tamanho e espessura, por meio das “peças
retangulares” é possível explorar os atributos cor, tamanho e largura, sendo trivial destacar
a forma porque todas as peças são retangulares. Por fim, é mais de uma década de
experiências com esse material, sendo testado com alunos e professores, tanto da rede
pública quanto privada, nas quais constatamos bastante receptividade desses dois
segmentos educacionais.
Palavras-chave: Materiais Concretos; Materiais Didáticos; Peças Retangulares.
CONTEXTUALIZANDO O MATERIAL
Na década de oitenta, vivíamos um contexto em que o construtivismo estava em
alta, tanto em termos mundiais quanto em nosso país. Uma das maiores implicações dessa
influência, no que diz respeito ao trabalho com os conhecimentos matemáticos nas séries
iniciais, em termos práticos mais explícitos, foi a marcante presença do uso de materiais
concretos em sala de aula. Na academia, havia alguns cursos em que também se procurava
incrementar metodologias contemplando tais recursos.
Particularmente,
tivemos
oportunidade,
quando
cursávamos
a
disciplina
Metodologia do Ensino da Matemática, de conhecer o material didático “blocos lógicos”,
criado por Dienes e divulgado mundialmente, usado tanto para trabalhar aspectos da
formação do pensamento, quanto aspectos do tópico denominado Teoria dos Conjuntos.
Foi nesse período que conhecemos os trabalhos de Dienes & Golding (1976), além do de
Kothe (1977).
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Havia um equívoco no uso do atributo da espessura ao se trabalhar com as peças do
material “blocos lógicos”. Trata-se de um atributo que explora conceitos (grosso e fino)
específicos para entes associados ao espaço (tridimensional). No entanto, tais peças eram
usadas como representantes de figuras planas (bidimensional). Como exemplo, podemos
citar expressões comumente empregadas: “triângulo fino”, “quadrado grosso”, “retângulo
fino” e “círculo grosso”. Havia duplo equívoco na relação estabelecida entre a
terminologia e o conceito. Primeiro, como já foi destacado, o atributo espessura diz
respeito a entes do espaço. Segundo, porque os termos “triângulo”, “quadrado” e
“retângulo” se referem aos contornos de figuras e não a superfícies. Nesse sentido, as peças
deveriam ser nomeadas respectivamente como “região triangular”, “região quadrangular”1
e “região retangular”.
As peças tidas como representantes de figuras planas causavam ambigüidades
porque, a partir delas, eram trabalhados os conceitos grosso e fino, que são explorados para
as situações com elementos espaciais. Esse foi um dos fatores que nos estimulou a começar
a pensar em um material que “superasse” essas dificuldades. Com isso não queremos
diminuir os méritos dessa produção de Dienes, sobretudo, por quatro pontos de vista.
Inicialmente, toda tentativa de se criar um “modelo didático” é sempre uma tarefa difícil.
Por mais que se procure aproximá-lo do “modelo matemático”, não deixa de ser didático,
logo suscetível a alguma arbitrariedade. Segundo, porque foi uma grande contribuição
didática para a época e o material continua muito presente nas nossas escolas,
especialmente na Educação Infantil. Terceiro, a consideração de que o foco maior de
Dienes talvez não tenha sido o aspecto conceitual matemático, mas provocar situações que
permitissem o estabelecimento de relações para formação do pensamento. No entanto, isso
não significa que o uso das referidas nomenclaturas não influenciou para algumas
concepções equivocadas. Por último, porque o espírito da criação de um material não deve
nunca ser a dimensão “o material”, mas “um material”. O princípio não deve ser de
substituir o material didático anterior, mas por meio desse novo material estabelecer
algumas comparações, outras relações e construir novos conhecimentos, ora porque não se
1
Estamos considerando “região quadrangular” como equivalente a uma região de uma superfície que possui
formato de um “quadrado”.
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trabalhava com outros atributos, ora porque foi o estabelecimento da comparação que veio
enriquecer a compreensão sobre esses materiais.
Optamos por criar um recurso didático que não trabalhasse com o atributo da
“espessura” (grosso e fino), daí introduzirmos o atributo da “largura” (largo e estreito).
Como havia a pretensão de introduzir no atributo “tamanho” a modalidade “média”,
terminamos optando para trabalhar apenas com peças retangulares. Só posteriormente é
que descrevemos os atributos de cada peça, mas já podemos antecipar algumas facilidades
mais gerais proporcionadas pelo uso do material.
Ele é composto por 24 peças. Essa quantidade permite um domínio mais rápido dos
atributos envolvidos. Como não exploram os conceitos da “espessura”2, isto é, as peças
envolvem uma única espessura, é muito fácil reproduzir esse material didático, seja com
cartolina colorset, cartão guache, EVA, ou outro material. Também há facilidade de
encontrar materiais com as cores utilizadas (amarela, azul, verde e vermelha). Essa
facilidade de confecção o torna acessível para qualquer público, além do que o seu uso é
extremamente viável, pois pode ser transportado num bolso de uma camisa, no interior das
folhas de um caderno, no interior de um estojo de lápis etc. O próprio aluno pode
confeccioná-lo, o que já se constitui uma boa atividade pedagógica, permitindo que cada
um tenha o seu para usar na escola, ou em casa, com a família e amigos. Algumas das
atividades que podem ser exploradas por meio do material permitem agradáveis situações
de interação, aliás, não só entre crianças, mas até entre adultos.
Oferecer mais um material didático à comunidade escolar nos alegra bastante,
especialmente porque atende a algumas funções didáticas, cabendo destacar a função
acessibilidade3, por poder ser socializado de forma abrangente, permitindo que cada aluno
tenha até mais de um kit. Reconhecemos que se trata de mais um material didático.
Portanto, a intenção não é de substituir outros, mas de ser mais uma opção para o professor
em sala de aula.
DESCREVENDO AS PEÇAS E A ESTRUTURA DO MATERIAL
2
É bom lembrar que mesmo as peças retangulares sendo confeccionadas de cartolina colorset, cartão guache
ou algo parecido elas são em si (enquanto peças confeccionadas) entes tridimensionais, assim como as peças
dos blocos lógicos, embora estejam fazendo a representação de entes bidimensionais.
3
A função acessibilidade é uma função didática destacada por Barbosa (2008), que diz respeito ao acesso ao
material, isto é, se há facilidade em confeccionar ou não um determinado material didático (p. 8).
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Criamos e lançamos o material em 1997 e tivemos como fonte principal de
inspiração o material “blocos lógicos”, mas procuramos explorar atributos que o diferem
do criado por Dienes. Enquanto o material “blocos lógicos” explora os atributos forma,
cor, tamanho e espessura, por meio das “peças retangulares” é possível explorar os
atributos cor, tamanho e largura, sendo trivial destacar a forma porque todas as peças são
retangulares. No quadro sinóptico a seguir, é possível verificar as representações das peças
do material.
P
M
G
Am
Az
Vd
Vm
E
L
E
L
E
L
São quatro linhas e seis colunas. As linhas estão formadas pelos seguintes
subgrupos: 1.ª linha – “peças retangulares amarelas”; 2.ª linha – “peças retangulares azuis”;
3.ª linha – “peças
retangulares verdes” e 4.ª linha – “peças retangulares vermelhas”.
Am
Quanto aos subgrupos das colunas, temos: 1.ª coluna – “peças retangulares pequenas
estreitas”; 2.ª coluna – “peças retangulares pequenas largas”; 3.ª coluna – “peças
retangulares médias estreitas”; 4.ª coluna – “peças retangulares médias largas”; 5.ª coluna –
“peças retangulares grandes estreitas” e 6.ª coluna – “peças retangulares grandes largas”.
Portanto, quanto ao aspecto quantitativo o “PR” possui 24 peças, distribuídas da
seguinte forma: 6 peças de cada cor (6 peças amarelas + 6 peças azuis + 6 peças verdes + 6
peças vermelhas = 24 peças); 8 peças de cada tamanho (8 peças pequenas + 8 peças médias
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+ 8 peças grandes = 24 peças) e 12 peças de cada largura (12 peças estreitas + 12 peças
largas = 24 peças).
As medidas dos lados maiores4 das peças são as seguintes: 6cm (peça pequena),
9cm (peça média) e 12cm (peça grande). A peça grande é o dobro do tamanho da peça
pequena, enquanto a intermediária é uma média entre a peça pequena e a peça grande. Os
lados menores possuem 2cm e 4cm, respectivamente. Com essa diferença, a peça larga
tem exatamente o dobro da dimensão da peça estreita. Assim sendo, há uma relação de
proporção entre esses tamanhos. Por meio dos atributos tamanho e largura é possível
estabelecer relações de sobreposição de peças, permitindo que o aluno perceba tais
relações. Ao apresentar a estrutura do material “peças retangulares”, temos como objetivo
favorecer a construção do próprio kit pelo leitor.
EXPERIMENTOS REALIZADOS COM O MATERIAL
Nos anos 1997 e 1998, começamos a fazer as primeiras experiências com o material
“peças retangulares”. Iniciamos um estudo em caráter piloto numa escola da rede privada,
na cidade de Campina Grande – PB. Ministramos alguns cursos orientando as professoras
de turmas de Educação Infantil e das séries iniciais do Ensino Fundamental da referida
escola. O grupo teve facilidade de absorver as atividades exploradas. Aliás, é bom lembrar
que quase toda a equipe já havia trabalhado ou ainda trabalhava com os “blocos lógicos”,
visando, sobretudo, contribuir para a formação do pensamento dos alunos, que está
associado ao conteúdo relacional5. No entanto, também eram explorados alguns aspectos
do tópico conjuntos, que está associado ao conteúdo informacional6. Constatamos bastante
receptividade da equipe, desde os primeiros contatos com o material.
Após essa etapa, passamos a acompanhar as professoras em planejamentos
quinzenais, nos quais o grupo era dividido em três: um da Educação Infantil; um do 1.º
4
No cotidiano, é comum usar o lado menor como largura (por exemplo, a frente das casas ou imóveis) e lado
maior como comprimento. No entanto, isso não passa de convenção, até porque a largura envolve uma
dimensão de comprimento. Além do mais, nem toda frente de imóvel tem comprimento menor que o fundo.
5
A função de conteúdo relacional está associada ao ato de explorar conteúdos relacionais, que favorecem ao
desenvolvimento das operações de pensamento da observação, comparação, ordenação, classificação,
visualização e outras (Barbosa, 2008, p. 8).
6
A função conteúdo informacional está associada ao ato de explorar conteúdos específicos e está muito
presente nos materiais que visam trabalhar com aspectos desses conteúdos (Idem, p. 8).
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ciclo (primeira e segunda séries) e um do 2.º ciclo (terceira e quarta séries) do Ensino
Fundamental. Orientamos as professoras, tendo a preocupação de fazer os ajustes
necessários das atividades de acordo com os níveis de escolaridade dos alunos.
As atividades/jogos eram elaboradas em função do trabalho desenvolvido nas
situações concretas. No geral, sempre houve boa aceitação dos alunos. Alguns deles
possuíam kits confeccionados com duratex; outros possuíam kits feitos com materiais
alternativos, tipo borracha miolo (EVA), polionda ou cartão guache. Foi uma experiência
rica que nos estimulou a investir mais na divulgação do material.
No período de 1997 a 2007, alguns outros cursos foram ministrados, em eventos ou
não, em cidades paraibanas e pernambucanas. Dentre eles, gostaríamos de destacar os
seguintes: o que foi desenvolvido com uma equipe da Fundação Centro Integrado de Apoio
ao Portador de Deficiência – FUNAD, bem como o que realizamos com estudantes de
Licenciatura em Matemática e em Pedagogia, durante os eventos de Ensino, Pesquisa e
Extensão, ambos na cidade de João Pessoa – PB; e ainda os que foram ministrados a
professores da rede pública municipal de Campina Grande, em Seminários de Educação
Infantil e Semanas Pedagógicas, além do que foi aplicado com docentes da APAE –
Associação de Pais e Amigos dos Excepcionais, dessa mesma cidade. Outrossim, tivemos
também o que foi realizado no I Encontro de Educação Matemática da Região
Metropolitana Norte de Recife, na cidade de Paulista; o que foi realizado com professores
da cidade de Itambé, na V Expo-ciência; e, finalmente, o que desenvolvemos com alunos
do Curso de Licenciatura em Pedagogia da FACOL, na cidade de Vitória do Santo Antão,
esses últimos, no estado de Pernambuco.
Paralelamente, começamos a explorar esse material com as turmas de Metodologia
do Ensino de Matemática, no Curso de Licenciatura em Pedagogia da UFPB e no Curso
Normal Superior do CESAC, na cidade de Santa Cruz do Capibaribe – PE. Houve muito
entusiasmo dos alunos em trabalhar com o “PR” e bons trabalhos foram realizados por
meio desse recurso. Com essas turmas foi possível aprimorar mais as atividades e os jogos
explorados.
Era comum, quando divulgávamos o material, haver algum tipo de cobrança quanto
à existência de um manual em que constassem orientações mais gerais de como era
possível explorar as “peças retangulares”, para que fosse desenvolvido um trabalho mais
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sistemático. No entanto, preferimos adiar mais um pouco e tentar algo nesse sentido apenas
em momento posterior.
No ano de 2000, resolvemos escrever um manual que abordasse o uso do material
“peças retangulares”. Com esse propósito, desenvolvemos um estudo mais sistemático e
que constou basicamente de dois momentos. No primeiro, foi aplicada, na UFPB, uma
proposta metodológica para trabalhar com o respectivo material didático. Houve a
participação de professoras de quatro escolas da rede pública da cidade de Campina
Grande, uma da rede estadual e três da rede municipal, totalizando 23 professoras que
ensinavam nas 3.ª e 4.ª séries do Ensino Fundamental. Foram entregues versões iniciais da
escrita das atividades/jogos propostos para que as docentes, em grupos de três ou quatro,
fizessem a leitura e tentassem realizar o que estava sendo sugerido. Tínhamos o interesse
de, além de verificar a aceitação do material e das atividades/jogos, identificar se a escrita
era compreensiva a ponto de quando o manual estivesse pronto, outras professoras
pudessem utilizá-lo sem maiores dificuldades.
Antes de aplicarmos a citada proposta, tivemos que desenvolver algumas atividades
que demandaram um bom tempo, afetando assim o andamento da escrita do manual.
Dentre elas, destacamos: treinamento da equipe participante do estudo quanto ao uso do
material; construção de kits do “PR” e dos seus acessórios em número suficiente, tanto
para capacitação das professoras, quanto para serem doados às escolas onde foram
desenvolvidos os trabalhos; primeira escrita dos procedimentos de cada atividade/jogo;
realização de minicursos às professoras das escolas; aplicação inicial das atividades/jogos
pelas professoras aos seus alunos; aplicação do mesmo material junto aos alunos do Curso
de Licenciatura em Pedagogia. Foi possível perceber que o entusiasmo era muito grande,
mostrando que não só o uso do material é um tanto agradável, mas também as atividades
são desafiadoras.
O segundo momento do experimento foi realizado diretamente com os alunos das
professoras que participaram da etapa inicial. A aplicação foi realizada por cada uma
dessas profissionais, sendo acompanhada por mais de uma aluna de Licenciatura em
Pedagogia, que as auxiliavam, anotando os passos de desenvolvimento das aulas e não só
verificando a desenvoltura do trabalho que realizavam, mas a receptividade dos alunos em
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relação às atividades/jogos. No geral, houve um bom desempenho por parte das
professoras e um grande envolvimento dos alunos nos desafios propostos.
Houve muita receptividade quanto ao trabalho com o material didático e isso talvez
decorra do fato dele atender muito bem ao aspecto da função lúdica7. Considerando o
aspecto do conteúdo relacional, em determinadas atividades/jogos as dificuldades foram
maiores quando o aluno foi chamado a comparar, ordenar e classificar. É provável que
essas dificuldades sejam decorrentes da necessidade do aluno em mobilizar conhecimentos
cognitivos. O mais interessante foi perceber que professoras e alunos têm desempenhos
próximos. Embora a função conteúdo informacional também estivesse presente em
algumas atividades, mesmo no momento da nomeação das peças ela ocorreu de forma mais
tímida, pois não tínhamos como prioridade investir nessa natureza de função, no referido
experimento. A interação, não só entre os próprios alunos, mas, também, das professoras
com os alunos foi mais uma característica a ser destacada.
Entendemos que são necessários outros estudos que aprofundem as funções de
conteúdo relacional e conteúdo informacional. Nesse sentido, é pertinente que algumas
atividades sejam analisadas por meio de um estudo mais minucioso, considerando os
momentos de análise a priori e, conseqüentemente, a posteriori.
No ano seguinte, em 2001, avançamos em alguns aspectos da escrita e da
elaboração de atividades/jogos, mas não foi possível concluir o manual, pois resolvemos
inserir novas atividades, voltadas a explorar conteúdos específicos – conteúdo
informacional. Se não fosse esse novo desafio, além das dificuldades de uma maior
participação dos membros que estavam engajados no ano anterior, que precisaram se
afastar por motivos profissionais, inclusive para complementar os estudos de PósGraduação, muito provavelmente teríamos encerrado a escrita do manual. Apenas em
2008, após a nossa volta do doutorado, foi possível retomar a elaboração da escrita final.
Para verificar a viabilidade do material didático “PR”, utilizamos a observação e a
entrevista no tocante as professoras. Quanto aos alunos apenas observamos a aplicação das
atividades/jogos por parte das professoras. Ficamos satisfeitos com o que constatamos. Foi
um estudo exploratório, mas é importante investir em outros que procurem verificar
7
A função lúdica está associada ao aspecto da diversão e também diz respeito à possibilidade de uma maior
interação em sala de aula, que está muito presente nos materiais que possuem essa função de forma mais
acentuada (BARBOSA, 2008, p. 8).
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aspectos mais pontuais. Por exemplo, como foi dito antes, é necessário estudar se as peças
do material dão margem para algum tipo de obstáculo didático. Fica a sugestão para
futuras investigações.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, Pedro R. Algumas reflexões sobre materiais concretos de Matemática.
Campina Grande: UFCG, 2008 (mimeo).
DIENES, Zoltan. P.; GOLDINE, E. W. Lógica e jogos lógicos. 3.ª ed. São Paulo: E. P. U.
1976. (tradução de Euclides J. Dotto).
KOTHE, Siegfried. Pensar é divertido. São Paulo: E.P.U., 1977. (tradução de Tomás
Johann Burchard).
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