Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB14
2005/2006
Problema 4 – Os sacos de batatas
Temos 4 sacos de batatas e pesamos todos
os pares possíveis que se podem formar com
esses sacos.
Depois de registarmos os pesos dos pares de
sacos, ficámos com os seguintes valores (em
kg): 14, 15, 17, 18, 20, 21.
Sabe-se que o peso de cada saco é um número inteiro. Quanto pesa cada um
dos 4 sacos de batatas?
RESOLUÇÃO
Conhecemos o peso de cada um dos pares que se podem formar com 4 sacos de batatas: 14,
15, 17, 18, 20, 21. Sabemos ainda que o peso de qualquer um dos sacos é um número inteiro.
Para encontrarmos o peso de cada um dos sacos, podemos ir fazendo experiências com
números inteiros, isto é, podemos usar o método de tentativa e erro, como fizeram vários dos
alunos que chegaram à solução correcta. Mas pode não ser muito prático e dar algum trabalho
como revela o Maurício Ornelas da EB 2,3 Dr. Horácio Bento Gouveia (Funchal), ao afirmar
que encontrou os números pretendidos, depois de várias tentativas e de vários erros!
Antes de iniciarmos a pesquisa dos 4 números pedidos, interessa reflectir um pouco sobre os
dados e sobre a situação descrita no problema. Por exemplo, se analisarmos os pesos dos 6
pares de sacos, verificamos que são todos diferentes. Isto leva-nos a concluir que não há
sacos com pesos iguais. Porquê? Se dois sacos tivessem o mesmo peso, quando juntássemos
cada um destes a um terceiro saco, teríamos dois pares com pesos iguais, o que não
acontece.
A partir da análise dos valores dados para os pesos dos 6 pares de sacos, podem surgir
diferentes processos de chegar à solução.
1. Ordenar os pesos dos 4 sacos
Vários alunos, como o Roque Rocha da EB 2,3 Dr. Francisco Cabrita (Albufeira), a Andreia de
Oliveira e a Mécia Miguel, da EB 2,3 João de Deus (São Bartolomeu de Messines) e o
Francisco Chaves, da EB 2,3 Dr. António Francisco Colaço (Castro Verde), pensaram que os
pesos dos 4 sacos poderiam ser colocados por ordem crescente.
Seguindo esse raciocínio, vamos supor que os pesos dos 4 sacos são designados por A, B, C,
D e que os pesos estão ordenados por ordem crescente, ou seja:
A<B<C<D
Uma primeira conclusão a tirar é a de que os dois sacos mais leves (A e B) correspondem ao
par mais leve: A+B=14.
De modo análogo, os dois sacos mais pesados (C e D) correspondem ao par mais pesado:
C+D=21.
Mas, além destes dois pares, podemos ainda identificar outros. O par com o peso
imediatamente superior ao do par mais leve é o que inclui o saco A (o mais leve) e o saco C (o
mais leve depois de B). Portanto A+C=15.
Da mesma maneira, podemos identificar o par com peso imediatamente inferior ao do par mais
pesado. Só pode ser o par que inclui o saco D (o mais pesado) e o saco B (o mais pesado
antes de C). Portanto, B+D=20.
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Com estes pares encontrados, ficamos na posse de novas informações. Comparando o par
A,B com o par A,C, ficamos a saber que C pesa mais 1 kg do que B. Comparando o par A,B
com o par B,D, ficamos a saber que D pesa mais 6 kg do que A.
Deste modo, podemos considerar os 4 sacos da seguinte forma:
A
B
C
D
B+1
A+6
Resta-nos, nesta altura, identificar os pares que pesam 17 e 18 kg. Temos dois pares para
estes valores: o par B,C e o par A,D.
Se for B+(B+1) = 17, teremos B = 8. Então, fazendo A+(A+6) = 18, obtemos A = 6. Estes
valores estão de acordo com a nossa conclusão acerca do par A,B que pesa 14 kg.
Facilmente concluímos, depois, que C = 9 e D = 12.
Se tivéssemos experimentado fazer B+(B+1) = 18, chegaríamos a um resultado impossível,
pois B não seria um número inteiro e falharia uma das condições do problema.
2. Os pares e os ímpares
Outro método para resolver o problema baseia-se na observação da paridade dos valores
dados (os números pares e os números ímpares).
Foi com base nas propriedades da adição dos pares e dos ímpares que alguns dos "atletas"
chegaram à solução.
Reparemos no que disse o Rodrigo Teixeira da EB 2,3 de Sto. António (Faro), a propósito das
regras para a soma de números inteiros:
par + par = par
ímpar + ímpar = par
par + ímpar = ímpar
ímpar + par = ímpar (equivalente à anterior porque a adição é comutativa)
Estas propriedades são muito úteis quando pensamos nos pesos dos pares de sacos: 14, 15,
17, 18, 20, 21. Neste conjunto de números há três pares e três ímpares. Ora, isto significa que
os pesos dos 4 sacos não podem ser todos pares nem podem ser todos ímpares.
Só há duas situações possíveis:
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(a) 1 PAR e 3 ÍMPARES
(b) 1 ÍMPAR e 3 PARES
Se considerarmos o caso (a), o único peso que seria um número par estaria emparelhado com
os 3 pesos ímpares para dar os resultados ímpares: 15, 17, 21.
Se considerarmos o caso (b), o único peso que seria um número ímpar estaria emparelhado
com os 3 pesos pares para dar os resultados ímpares: 15, 17, 21.
Qualquer que seja o caso, podemos decidir que é o saco A que se repete nas três pesagens.
Poderemos dizer que:
A+B = 15
A+C=17
A+D=21
Também sabemos que a soma dos pesos dos 4 sacos é 35. Basta perceber que os dois mais
leves pesam 14 kg e que os dois mais pesados pesam 21 kg. Portanto,
A+B+C+D = 35
Conjugando estas informações, podemos determinar o peso de qualquer um dos sacos.
Sendo A+B = 15, podemos substituir na equação anterior:
15 + C+D = 35, ou seja, C+D = 20.
Se compararmos as igualdades A+C = 17 e A+D = 21, notamos que D é igual a C + 4.
Finalmente, podemos escrever:
C + (C+4) = 20.
Encontramos, deste modo, C = 8.
Imediatamente, concluímos que D = 8+4 =12.
Sendo A+C = 17, ficamos a saber que A = 9.
Sendo A+B = 15, ficamos a saber que B = 6.
Os pesos encontrados têm os valores 6, 8, 9, 12. Trata-se, afinal, de um ímpar e de três pares.
Também o Gonçalo Palma da EB 2,3 D. Jorge de Lencastre (Grândola) teve um bom palpite
ou uma intuição que o guiou na procura dos pesos dos sacos. A sua suposição foi a de que
seriam 3 números pares e um número ímpar. Isto orientou-o na procura, por tentativas, dos
pesos. Vejamos como respondeu ao problema:
"Então vamos lá... eu comecei por arranjar 3 números pares para fazer todas as combinações
possíveis dos números pares e vi que o 6, o 12 e o 8 davam (6+12=8, 12+8=20, 8+6=14) e
depois arranjei o número 9 que acabava as contas, 9+12=21, 9+8=17 e 9+6=15; para arranjar
estes números, tive que fazer algumas tentativas".
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3. Por meio de um esquema
Houve quem recorresse a um esquema para representar o problema. Uma das ideias
propostas foi a de imaginar que os 4 pesos a descobrir seriam colocados nos vértices de um
rectângulo. A partir daí, os lados do rectângulo e as suas diagonais terão de corresponder às
somas dos valores que ficam unidos.
Trata-se de transformar o problema e de criar um problema equivalente, que em Matemática
também se diz isomorfo ao primeiro Por vezes, esta estratégia é muito eficaz. Revela uma boa
compreensão do problema e, normalmente, leva a pessoa que está a resolver o problema a
sentir que este fica mais fácil de manejar.
A partir de esquemas, surgiram-nos resoluções como a do Pedro Marques, da EB 2,3 nº 2 de
Quarteira, a do Miguel Rodrigues, da ES/3 Antero de Quental (Ponta Delgada) e a do grupo
formado pelas alunas Cristiana Nóbrega, Nídia Teles e Eva Mendonça da EB/S Gonçalves
Zarco (Funchal). Eis o esquema que este grupo apresentou:
14
6
8
18
20
15
17
9
21
12
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