Problema 1.1
1) O valor da resistência R pode ser determinado recorrendo à expressão
A
0, 01
R=
=
= 1000 Ω ⇒ R = 1 kΩ
σS 5× 2×10−6
2) Supondo a densidade de corrente uniforme na secção da resistência
i 10×10−3
i = JS ⇒ J = =
= 5000 A / m 2
S 2×10−6
O campo eléctrico relaciona-se com a densidade de corrente pela lei de Ohm na forma
local
J 5000
= 1000 V/m = 1 kV/m
J = σE ⇒ E = =
σ
5
3) A tensão aos terminais da resistência, ou a diferença de potencial entre os terminais
vale
u = E A = 1000× 0, 01 = 10 V
A resistência R pode ser confirmada pela lei de Ohm:
u
10
R= =
= 1000 Ω
i 10×10−3
4) A potência de Joule valerá
u2
= 10×10×10−3 = 0,1 W = 100 mW
PJ = Ri 2 = ui =
R
Problema 1.2
1) A configuração do esquema de Norton é a seguinte:
I
IN
RN
U
em que IN é a corrente de curto-circuito (corrente que se verifica quando U=0) e RN é a
resistência que se verifica aos terminais do circuito. Assim
E 12
I N = I cc = =
= 120 A
RN = Ri = 0,1 Ω
,
Ri 0,1
2) O esquema dado tem a configuração que se representa na figura seguinte. Circulando
na malha representada a tracejado obtém-se
U − E + U Ri = 0 ⇒ E = U + U Ri
Como, pela lei de Ohm se tem
e
U = Rext I
U Ri = Ri I
temos
E = Rext I + Ri I = ( Rext + Ri ) I
Gerador
I
URi
Ri
Rext
E
U
donde se obtém o valor da intensidade da corrente I:
E
12
I=
=
= 24 A
Rext + Ri 0, 4 + 0,1
A tensão aos terminais será:
Rext
U = Rext I =
E = 0, 4 × 24 = 9, 6 V
Rext + Ri
Note-se na expressão anterior que a tensão U tanto pode ser vista como o produto da
resistência exterior pela corrente, como a divisão da tensão E (força electromotriz do
gerador) pelas resistências exterior e interna do gerador.
3) Temos três potências em jogo:
PG = EI = 12× 24 = 288 W - é o ritmo a que o gerador despende energia.
U2
PRext = UI = Rext I =
= 9, 6× 24 = 230, 4 W - é o ritmo a que a energia se
Rext
dissipa na resistência exterior.
2
PRi = Ri I 2 = 0,1× 24 2 = 57, 6 W - é o ritmo a que a energia se dissipa na
resistência interna do gerador.
Note-se que se tem
PG = PRext + PRi
4)
U (V)
PRi
U = Rext I
12
9,6
U = E − Ri I
PRext
I (A)
24
120
O cruzamento das duas rectas representa o ponto de funcionamento, e as potências são
proporcionais às áreas tracejadas. A soma das áreas dos dois rectângulos corresponde à
potência posta em jogo pelo gerador.
5) A potência na carga é dada por
PRext = Rext I 2 .
Para calcular o modo como a potência na carga varia com Rext é necessário que na
expressão anterior só apareça a variável Rext . Assim, substituindo a corrente I tem-se
Rext
E
I=
⇒ PRext =
E2
2
Rext + Ri
( Rext + Ri )
O valor de Rext que maximize a potência obtém-se calculando a derivada
dPRext
( Rext + Ri ) 2 − 2 Rext ( Rext + Ri )
= 0 ⇒ Rext = Ri
( Rext + Ri ) 4
Note-se que o valor obtido corresponde a um máximo da potência. Para provar isso deve
raciocinar-se fisicamente e não matematicamente (cálculo da 2ª derivada... ). De facto,
para valores finitos de Rext a potência é sempre positiva, mas tende para zero quando
dRext
=
Rext tende para zero ou quando Rext tende para infinito. Note-se ainda que a potência na
carga para Rext = Ri = 0,1 Ω vale
Rext
0,1
×122 = 360 W .
PRext =
E2 =
2
2
( Rext + Ri )
0, 2
Na figura seguinte está representada esta potência como função de Rext .
Potência na carga
400
Potência em Rext (watt)
350
300
250
200
150
100
50
0
0
0,1
0,2
0,3
Rext (ohm)
0,4
0,5
0,6