SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ
DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇÃO
DISCIPLINA: FÍSICA APLICADA I
PROF.: ALESSANDRO FREITAS
Texto 03 – FORÇA E LEI DE NEWTON
OBJETIVO
Fazer o aluno entender o significado de força na Física e por que as
forças são vetores; Significado da força resultante sobre um objeto
e o que acontece quando essa força é nula; Relação entre a força
resultante sobre um objeto, a massa do objeto e sua aceleração;
Como se relacionam as forças que dois corpos
c
exercem
mutuamente; Como usar a primeira lei de Newton para resolver
problemas referentes as forças que atuam sobre um corpo em
equilíbrio; Como usar a segunda lei de Newton para resolver
problemas referentes as forças que atuam sobre um corpo em
aceleração;
leração; A natureza dos diversos tipos de forças de atrito - atrito
estático, atrito cinético, atrito de rolamento e resistência de fluido e como resolver problemas que envolvem estas forças; Como
resolver problemas referentes as forças que atuam sobre um
u corpo
que se move ao longo de uma trajetória circular; As principais
propriedades das quatro forças fundamentais da natureza.
Primeira Lei De Newton Ou Lei Da Inércia (Referenciais
Inerciais)
O estudo da dinâmica de corpos envolvendo grandezas
vetoriais e escalares, no âmbito da mecânica clássica, (baixas
velocidades e objetos fora da escalar atômica) é completamente
descrito pelas três leis de Newton.
Um objeto permanecerá em repouso ou em MRU,
MR
movimento retilíneo uniforme indefinidamente para um dado
referencial, se nenhuma força atuar sobre ele.
O vetor força, F = m.a, no SI tem a dimensão Kg.m/s2
= (N), Em homenagem ao filósofo, Sir Isaac Newton.
No sistema CGS será:
segurando numa bóia salva-vidas.
vidas. Para que possamos determinar a
força resultante sobre ela, devemos primeiramente descrever o seu
diagrama de força, figura (b). Para em seguida decompor esses
vetores nos eixos, “x” e “y”, o que facilitará sobremaneira a
determinação da resultante, isto é, para onde, ângulo e sentido, e
com que força ela irá se deslocar, em relação um dado referencial?
FIGURA 1 – TRÊS PESSOAS SEGUNDO UM BOTE SALVA
VIDAS
Fonte: BOOK - Physics
ysics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
Por exemplo
Dois objetos de 11 kg estão ligados a um dinamômetro,
conforme figura abaixo.
FIGURA 2 – DOIS OBJETOS LIGADOS A UM
DINAMÔMETRO
F = g.cm/ s2 ( d) dina ⇒ F = 10−3Kg.10−2 m/ s2 = 10−5 Kg.m/ s2ou 1d = 10−5 N.
3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
n
∑F = m.a ,
a. Quanto marca o dinamômetro?
i
i =1
esta equação pode ser traduzida como: em um sistema
fechado o somatório do produto de todas as massas mi pela sua
aceleração ai é igual ao vetor força F. Podemos representar o vetor
força e suas componentes no espaço tridimensional da seguinte
forma:
R: Como não movimento, e o módulo da força que atua
no dinamômetro são de,
F = 11 Kg.9,8m / s 2 , ⇒ F = 10, 78 N ,
então o Dinamômetro marcará 10,78 N.
 n
∑Fx = m.ax
 x =1
 n
F = ∑Fy = m.a y
 y =1
 n
∑Fz = m.az
 z =1
b. Para a situação da figura abaixo, qual será a leitura
no dinamômetro?
A representação do vetor força em suas componentes
retangulares, como feita acima, tem a finalidade de proporcionar
uma maneira que facilite a resolução de situações que se encontram
no dia a dia daqueles envolvidos com essa problemática. Assim
como na situação
uação mostrada na figura abaixo, temos três pessoas
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
FIGURA 3 – UM OBJETO LIGADO A UM DINAMÔMETRO
R: Será a mesma, pois a força atuando sobre ele é de 10,78 N.
1
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3.2 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
Na figura abaixo duas forças atuam, sobre a caixa de 2 kg, mas
somente uma é mostrada. A caixa se move sobre o eixo “x”.
A aplicação da 2ª. Lei de Newton para as forças
atuantes em “y” será:
∑F
y
FIGURA 4 – DUAS FORÇAS ATUANDO SOBRE UMA CAIXA
repouso = 0 logo
= N − m.g = m.a y , como o objeto está em
N = m.g .
3.4 A FORÇA DE ATRITO
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
Determine a segunda força para os seguintes valores da
componente ax da aceleração da caixa:
2
Ao tentarmos deslizar um objeto sobre uma superfície qualquer,
uma força no sentido contrário à do movimento, força f, mostrada
na figura ao lado, surgirá instantaneamente em função do atrito
existente entre o corpo e superfície, fazendo com que um esforço
maior (trabalho) seja necessário para realizar a tarefa.
(a) 10m/s ;
FIGURA 6 – OBJETO DESLIZANDO SOBRE UMA
SUPERFÍCIE PLANA COM ATRITO
2
(b) 20m/s ;
(c) 0;
2
(d) -10m/s
2
(e) -20m/s .
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
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Resp.
a ) ⇒ F = m.a
F1 + F2 = m.a ⇒
F2 = m.a – F1 = 2 Kg .10 m / s 2 – 20 N ⇒ F2 = 0
.
Caixa em repouso.
O papel dessa força e suas atuações em função da
superfície e da velocidade do objeto, serão considerados em
detalhes no próximo Texto.
3.5 TENSÃO OU FORÇA DE TRAÇÃO
2
b ) F2 = m.a – F1 = 2 Kg .20 m / s – 20 N
F2 = 20 N , sentido positivo de “x”.
c ) F2 = m.a – F1 = 2 Kg .0 m / s 2 – 20 N ⇒ F2 = − 20 N
, sentido negativo de “x”.
d ) F2 = m.a – F1 = 2 Kg. −10m / s 2
(
(
FIGURA 7 – OBJETO SUSTENTADO POR UMA CORDA
)
– 20 N ⇒ F2 = − 40 N
)
– 20 N ⇒ F2 = − 60 N
, sentido negativo de “x”.
e) F2 = m.a – F1 = 2 Kg. −20m / s 2
Quando um ou mais objetos ficam sustentados por uma corda, fio
ou cabo, uma força atuará sobre esses meios de sustentação, essa
força é conhecida como tração, T.
, sentido negativo de “x”.
3.3 A FORÇA NORMAL
Quando um objeto apóia sobre uma superfície como mostrado na
figura (a) ao lado uma força na mesma direção, porém em sentido
contrário surge em resposta à força peso P = mg é a chamada força
normal N. O diagrama de forças dessa situação está figurado em
(b).
FIGURA 5 – OBJETO APOIADO SOBRE UMA SUPERFÍCIE
PLANA
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
Em geral por uma questão de simplicidade de
tratamento do problema, esse cabo, cordão ou fio será,
didaticamente, considerado como tendo massa desprezível. O que
facilitará a análise da situação, mas ainda fornecendo resultados
com boa aproximação, do evento real.
FIGURA 8 – OBJETO SUSTENTADO POR UMA CORDA
ATRAVÉS DE UMA POLIA
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
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2
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3.6 TERCEIRA LEI DE NEWTON
Forças atuam sempre em pares, isto é, se alguma coisa
exerce uma força sobre
obre um determinado ponto, uma força de
mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário se oporão a
essa força. Como figurado abaixo a aplicação desse enunciado
resulta em:
FIGURA 9 – FORÇAS ATUANDO EM PARES
Para determinar o vetor aceleração em módulo e direção
evidenciando o ângulo com o eixo “x”. Devemos obtê-la
obtê a partir
das duas componentes encontradas acima e resolver a equação:
2
( −1,2i ) + ( −0,36 j )
aR =
2
= 1,44 + 0,13 = 1,25 m s2
Sendo o ângulo com o eixo “x” dado por:
 −0,36 
0
 = x60
 −1, 2 
θ = arctag 
3.7 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
FAB = − FBA .
Essa é a terceira lei de Newton.
As três leis de Newton com as particularidades
mostradas acima nos permitirá a resolução e o melhor
entendimento de um grande
de número de situações plausíveis de
serem tratadas com essas poderosas ferramentas. Vejamos algumas
de suas aplicações:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
A figura abaixo mostra cinco forças atuando sobre um
bloco de massa 4 kg. Determine a sua aceleração:
3.7.1 Atrito
O Atrito ocorre, devido à atração mútua entre os
átomos de superfícies em contato; Exemplos: andar, correr, parar,
escrever, fixar prego, costurar e muitas outras atividades de nosso
cotidiano, só são possíveis de se realizarem devido ao atrito.
3.7.2 A força de atrito
É a força que se opõe ao movimento de um objeto,
devido ao atrito entre as superfícies de contato entre eles. A
intensidade dessa interação é uma função direta do coeficiente de
atrito µ e da condição em que se encontra
enc
o objeto em relação à
superfície. Se em repouso estaremos lidando com o atrito estático
µe , se em movimento estaremos tratando com o atrito dinâmico
µd .
Conseqüentemente estaremos abordar em nossos
estudos as forças de atrito estático
fe
e dinâmica
fd .
Veremos
também que a força de atrito estático será sempre maior ou igual à
força de atrito dinâmica. Assim:
µe > µ d
f > f
e
d
e
As quatro figuras abaixo representam uma situação de
mudança de força, mas que não chegam a movimentar o bloco de
peso W.
FIGURA 10 – DIAGRAMA DE FORÇAS
(a) na notação de vetores unitários e
(b) o seu módulo e direção evidenciando o ângulo com o eixo “x”.
R: Devemos primeiramente determinarmos as componentes “x” e
“y” da força de 14N que faz 30º com eixo “x”, para depois
encontrarmos a aceleração resultante.
Na direção “y” temos:
FRY = 5N + 14N ( sen300 ) −17 N = 12 N −17 N = −5N
Na direção “y” temos:
FRX = −11N +14N ( cos300 ) = −11N + 9,57N = −1,43N
A aceleração em termos dos vetores unitários fica:
ax = −
ay = −
5N i = −1,2 m s2 i
4kg
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1, 43 N j = −0,36 m s 2 j
4kg
3
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O diagrama de forças em (a) mostra a força peso W e a
normal N em reação ao peso.
O diagrama de forças na (b) mostra a aplicação da
força
F
, onde
na direção x e o surgimento da força de atrito estático
fe
f e < F , além é claro das duas forças já evidenciadas em
(a).
Nas figuras (c) e (d) temos acréscimos da força F
porém essa não supera a força de atrito, permanecendo portanto o
bloco em repouso.
A figura abaixo mostra que a força F colocou o bloco
em movimento, surgindo então uma aceleração a , evidenciando
neste caso que a força
F > f e . Para esta situação, a aplicação da
2ª. Lei de Newton fornece:
FIGURA 11 – MOVIMENTO DO BLOCO ATRAVÉS DA
FORÇA F .
Propriedades da força de atrito
1ª. Se v = 0 então
F = fe
2ª. A força de atrito estático fe tem um valor máximo dado por
f e = µ e .N
f d = µ d .N
3ª. Se v ≠ 0 e a > 0 então
O coeficiente de atrito µ , é adimensional, depende da
forma do objeto, da superfície de
d deslocamento e da sua
velocidade. Neste estudo analisaremos somente situações nas quais
o coeficiente de atrito µ é independente da velocidade.
EXEMPLO RESOLVIDO
A figura abaixo mostra uma moeda sobre um livro, que está
inclinado de um ângulo θ em relação
rela
à superfície de uma mesa.
Quando o ângulo se torna igual 13º, a moeda começa a se deslizar,
para baixo. Qual é o coeficiente de atrito estático entre a moeda e o
livro?
FIGURA 13 – MOEDA SOBRE UM LIVRO DE FÍSICA
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
n
∑ F = m .a
i
t
i =1
s
⇒ F − f e = mb .a ⇒ a =
F − fe
mb
A figura abaixo apresenta a situação de velocidade
constante v, logo a aceleração a = 0, o que fornece segundo a
última equação acima
FIGURA 12 – MOVIMENTO DO BLOCO COM VELOCIDADE
CONSTANTE
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
Aplicação da 2ª. Lei de Newton
FIGURA 14 – FORÇAS ATUANDO SOBRE A MOEDA
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
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A figura abaixo relaciona a crescimento da força de
atrito estático
fe , com o aumento de intensidade de outra força,
sobre um objeto em uma superfície com atrito. Fica claro que a
força de atrito atinge um valor máximo, para imediatamente após,
diminuir, dando origem à força de atrito dinâmico, evidenciando
experimentalmente que:
FIGURA 13 – MAGNITUDE DAS FORÇAS
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
Serway And Jewett.
n
∑ F = m .a
i
t
s
i =1
Fornece:
n
∑ F = m .a
i
t
s
= fe + W + N
i =1
Fonte: BOOK - Physics For Scientists And Engineers 6E By
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No instante antes da moeda iniciar o movimento temos
n
∑ F = m .a
i
t
s
=0
i =1
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Assim no eixo x temos:
Wx = f e
w. ( sen 130 ) = µe .N , onde N = m.g. ( cos 130 ) , logo
µe = ( tg 130 ) = 0, 23
ou
µe = h d
Suponha que a moeda comece a se movimentar, qual seria a
equação que forneceria o coeficiente de atrito cinético? Quando ela
começa o movimento temos:
n
∑ F = m .a
i
t
Que na direção x fornece:
ou
− f d + Wx = m.a
− µd .m.g . cos 130 + m.g. sen 130 = m.a
(
)
6 - Se um nêutron livre é capturado por um núcleo, ele pode ser
parado no interior do núcleo por uma força forte. Esta força, que
mantém o núcleo coeso, é nula fora do núcleo. Suponha que um
7
nêutron livre com velocidade inicial de 1,4 X 10 m/s acaba de ser
-14
capturado por um núcleo com diâmetro d = 1,0 X 10 m.
Admitindo que a força sobre o nêutron é constante, determine a sua
-27
s
i =1
f d + Wx = m.a
5 - Um foguete experimental pode partir do repouso e alcançar a
velocidade de 1778,4 km/h em 2s, com aceleração constante. Qual
a intensidade da força média necessária, se a massa do veículo é
500 kg?
R: 123500 N
(
)
intensidade em módulo. A massa do nêutron é 1,67 X 10
Observação: considere duas casas decimais.
R: 16,36 N
kg.
7 - Vejaa a Figura abaixo. Vamos considerar a massa do bloco igual
a 8,5 kg e o ângulo θ = 30º. Determine:
− µd .g. cos 130 + g. sen 130 = a
(
µd . =
)
(
)
− a + g. sen 130
(
(
0
g. cos 13
)
)
3.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Obs: Para todos os casos iremos considerar g = 10m/s2.
1 - Qual é o peso de um trenó de 630 kg?
R: 6300 N
2 - Qual é o peso de uma bomba térmica de 421 kg?
R: 4210 N
3 - Uma determinada partícula tem um peso de 20 N num ponto
onde g = 10 m/s2. Qual é o peso da partícula, se ela for para um
2
ponto do espaço onde g = 5 m/s ?
R: 10 N
Qual o peso da partícula, se ela for deslocada para um ponto do
espaço onde a aceleração de queda livre seja nula?
R; 0
Dados: Sen 30º = 0,50 e cos 30º = 0,86
A tensão na corda
R: 25 N
A força normal aplicada sobre o bloco.
R: 43 N
O módulo da aceleração do bloco, se a corda
c
for cortada.
R: - 5 m/s2
8 - Um elétron é lançado horizontalmente com velocidade de 1,5
7
X10 m/s no interior de um campo elétrico, que exerce sobre ele
-16
uma força vertical constante de 9,11 X 10 N. Amassado elétron é
-31
9,11 X 10 kg. Determine a distância
dist
vertical de deflexão do
elétron, no intervalo de tempo em que ele percorre 30 mm,
horizontalmente.
R: 2 mm
-3
4 - Um salame de 11 kg está preso por uma corda a uma balança de
mola, que está presa ao teto por outra corda figura (a) abaixo.
9 - Uma esfera de massa 3,0 X 10 kg está suspensa por uma
corda. Uma brisa horizontal constante empurra a esfera de maneira
que ela faça um ângulo de 37° com a vertical de repouso da
mesma. Determine a intensidade da força aplicada. Dado tg 37º =
0,75
R: 0,0225 N
10 - Um elevador e sua carga, juntos, têm massa de 1.600 kg.
Determine a tensão no cabo de sustentação, quando o elevador,
inicialmente
mente descendo a 12 m/s, é parado numa distância de 30m
com aceleração constante.
R: 19840 N
Qual a leitura na balança nos três casos?
R: 110 N
11 - Um armário de quarto, com massa de 45 kg, incluindo gavetas
e roupas, está em repouso sobre o assoalho. Se o coeficiente de
atrito estático entre o móvel e o chão for 0,5, qual a menor força
5
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horizontal que uma pessoa deverá aplicar sobre o armário para
colocá-lo em movimento?
R: 225 N
Se as gavetas e as roupas, que têm 17 kg de massa, forem
removidas antes do armário ser empurrado, qual a nova força
mínima?
R: 140 N
12 - Um jogador com massa m = 79 kg escorrega no campo e seu
movimento é retardado por uma força de atrito f = 474 N. Qual o
coeficiente de atrito cinético µK centre o jogador e o campo?
R: 0,6
17 - Um porco desliza para baixo, num plano inclinado de 35°, no
dobro do tempo que levaria deslizando no mesmo plano sem atrito.
Qual o coeficiente de atrito cinético entre ele e o plano? Dado tg
35º = 0,70. R: 0,52
13 - Uma pessoa empurra horizontalmente uma caixa de 50 kg,
para movê-la
la sobre o chão, com uma força de 220 N. O coeficiente
de atrito cinético é 0,5. Qual o módulo da força de atrito?
R: 250 N
14 - Uma alpinista de 49 kg está escalando uma "chaminé" entre
duas lajes de rocha, como mostrado na Figura
Figu
abaixo. O
coeficiente de atrito estático entre seus sapatos e a rocha é 1,2;
entre suas costas e a rocha é 0,80. Ela reduziu sua compressão
sobre a rocha até o limiar de deslizamento de seus pés e suas
costas.
18 - Duas massas, m = 2 kg e m = 3 kg, deslizam para baixo sobre
1
2
um plano inclinado, conectadas por um bastão de massa
desprezível, figura ao lado, com m seguindo m . O ângulo de
1
2
inclinação é θ = 30°. O coeficiente de atrito cinético entre m e o
1
plano é µ = 0, 3; e entre m e o plano é µ = 0, 4. Dados sen 30º =
d
2
0,5 e cos 30º = 0,86 e g = 10 m/s2.
d
Com que força ela comprime a rocha?
R: 245 N
15 - Uma casa é construída em cima de uma montanha com 450 de
inclinação, aproximadamente Figura abaixo. Um estudo de
engenharia indica que o ângulo de inclinação deve ser reduzido
porque as camadas superiores do solo, ao longo da inclinação,
podem deslizar sobre as camadas inferiores. Se o coeficiente de
atrito estático entre duas dessas camadas é 0,5, qual o menor
ângulo de redução cada atual inclinação, de forma a evitar um
deslizamento? Considere duas casas decimais. Dado tg 26,56º =
0,5.
R: 18,44º
Calcule a aceleração conjunta das duas massas.
R: 1,90 m/s2.
19 - Calcule a força de viscosidade sobre um míssil de 50 cm de
diâmetro, viajando na velocidade de cruzeiro de 250 m/s, a baixa
3
altitude, onde a densidade do ar é de 1,5 kg/m . Suponha C = 0,8,
onde C é o coeficiente de Viscosidade.
R: 37500π N
20 - A massa m está sobre uma mesa, sem atrito, presa a um peso
de massa M, pendurado por uma corda que passa através de um
furo no centro da mesa, figura abaixo. Determine a velocidade
escalar com que m deve se mover para M permanecer em repouso.
R:
v 2 = Mgr / m
16 - Um trabalhador deseja empilhar um monte de areia, em forma
de cone, dentro de uma área circular. O raio do círculo é R e
nenhuma areia vaza para fora do círculo figura abaixo. Se µ é o
e
coeficiente de atrito estático entre a camada de areia da superfície
inclinada e a camada logo abaixo sobre a qual ela pode deslizar,
mostre a equação que dá o maior volume de areia que pode ser
empilhado dessa forma. Sabendo que o volume de um cone é Ah/3,
onde A é a área da base e h a altura do cone. R:
πµ e R 3 / 3
6