UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO
GRANDE DO SUL – UNIJUÍ
MARCIA FRITSCH GONCALVES
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA BANCADA EXPERIMENTAL
ACIONADA HIDRAULICAMENTE PARA SIMULAÇÃO DE ACLIVES
IJUÍ, RS – BRASIL.
2012
MARCIA FRITSCH GONÇALVES
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA BANCADA EXPERIMENTAL
ACIONADA HIDRAULICAMENTE PARA SIMULAÇÃO DE ACLIVES
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós – Graduação em Modelagem Matemática
da Universidade Regional do Noroeste do
Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, como
requisito parcial à obtenção do título Mestre
em Modelagem Matemática
ORIENTADOR: DOUTOR ANTONIO CARLOS VALDIERO
IJUÍ, RS - BRASIL
2012
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
DCEEng DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA BANCADA EXPERIMENTAL
ACIONADA HIDRAULICAMENTE PARA SIMULAÇÃO DE ACLIVES
Elaborada por
MARCIA FRITSCH GONÇALVES
Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática
Comissão Examinadora
Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – UNIJUÍ (Orientador)
Prof. Dr. Eduardo André Perondi – UFRGS
Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia - UNIJUÍ
Ijuí, RS, 06 de junho de 2012.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela vida e por mais esta conquista, pelos momentos felizes e por ter me iluminado
em todos os períodos difíceis de minha vida.
A minha família, em especial meu esposo Daniel e meu filho Diego pelo amor, carinho e
compreensão, nos dias e noites em que minha atenção e meus pensamentos estavam voltados
para os estudos.
Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelos ensinamentos, orientação,
dedicação, compreensão e paciência nesta caminhada, também pelo exemplo profissional.
Aos professores e bolsistas do Campus Panambi em especial ao Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia,
pelo auxílio e apoio nas tarefas e estudos.
Aos professores e colegas do Mestrado, em especial Márcia, Daiane e Sandra, por terem
propiciado a oportunidade de trocarmos experiências e juntas construirmos conhecimentos.
Obrigada também, pelo convívio harmonioso e pelo incentivo.
À CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal em Nível Superior pelo apoio
concedido na realização desta pesquisa.
À MCT/FINEP e SEBRAE/RS pelos recursos destinados ao Projeto Kit Colheitadeira.
À UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul e ao
DCEEng - Departamento de Ciências Exatas e Engenharias pela oportunidade de realização
do Programa de Pós Graduação em Modelagem Matemática e, em especial à secretária Geni,
pela dedicação, atenção e amizade.
A todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.
"A mente que se abre a uma nova idéia,
jamais volta ao seu tamanho original".
Albert Einstein
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................................... 8
LISTA DE TABELAS......................................................................................................................................... 10
SIMBOLOGIA .................................................................................................................................................... 11
RESUMO ............................................................................................................................................................. 14
ABSTRACT ......................................................................................................................................................... 15
1
2
3
INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................... 16
1.1
GENERALIDADES ..................................................................................................................................... 16
1.2
OBJETIVOS E JUSTIFICATIVAS .................................................................................................................. 18
1.3
ANTECEDENTES DESTE TRABALHO NA UNIJUÍ........................................................................................ 19
1.4
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................................................................ 20
1.5
ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................................................................. 22
MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................................................................................ 24
2.1
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................... 24
2.2
DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL ............................................................................................... 24
2.3
MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR HIDRÁULICO ........................................................................... 26
2.3.1
Introdução ..................................................................................................................................... 26
2.3.2
Não Linearidade da Zona Morta ................................................................................................... 29
2.3.3
Equação da vazão nos orifícios da válvula proporcional direcional ............................................ 31
2.3.4
Dinâmica das pressões .................................................................................................................. 32
2.3.5
Equação do Movimento com a Dinâmica do Atrito....................................................................... 35
2.3.6
Modelo Matemático Não Linear de 5ª Ordem para o Atuador Hidráulico ................................... 39
2.4
MODELAGEM MATEMÁTICA DA DINÂMICA DO MOVIMENTO DA BANCADA ............................................ 41
2.5
DISCUSSÃO .............................................................................................................................................. 46
RESULTADOS DA SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA DINÂMICA DA BANCADA COM
ACIONAMENTO HIDRÁULICO .................................................................................................................... 47
4
3.1
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................... 47
3.2
PARÂMETROS DO ATUADOR HIDRÁULICO E DA BANCADA ........................................................................ 47
3.3
IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DO ATRITO......................................................................................... 49
3.4
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MODELO MATEMÁTICO ............................................................ 51
3.5
RESULTADOS DA SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL ...................................................................................... 57
3.6
DISCUSSÃO .............................................................................................................................................. 63
DESCRIÇÃO DA BANCADA DE AQUISIÇÃO DE DADOS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS
64
5
4.1
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................... 64
4.2
DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL ............................................................................................... 64
4.3
RESULTADOS EXPERIMENTAIS ................................................................................................................. 67
4.4
VALIDAÇÃO ............................................................................................................................................. 70
4.5
DISCUSSÕES ............................................................................................................................................. 74
CONCLUSÕES .......................................................................................................................................... 75
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................................... 76
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Fotografia de uma colheitadeira realizando trabalho em campo (John Deere, 2012)
.......................................................................................................................................... 18
Figura 2 – Fotografia do Protótipo da Bancada........................................................................ 25
Figura 3 – Fotografia da instrumentalização do protótipo de controle de nivelamento por
acionamento hidráulico e avaliação em laboratório ......................................................... 25
Figura 4 – Diagrama esquemático do sistema de atuação hidráulica ....................................... 27
Figura 5 – Vista em corte da válvula com destaque para a sobreposição no orifício de
passagem do fluido (Valdiero, 2005) ............................................................................... 29
Figura 6 – Representação gráfica da não linearidade da zona morta da válvula...................... 30
Figura 7 – Desenho esquemático em corte de um cilindro de haste simples ........................... 32
Figura 8 – Desenho esquemático do escoamento de um fluido na câmara genérica................ 32
Figura 9 – Desenho esquemático mostrando o contato microscópico entre as superfícies em
movimento relativo com a representação de uma rugosidade elástica (VALDIERO,
2005)................................................................................................................................. 35
Figura 10 – Desenho representativo da microdeformação média das rugosidades entre duas
superfícies de contato (MIOTTO, 2009). ......................................................................... 37
Figura 11 – Combinação das características de atrito em regime permanente......................... 39
Figura 12 – Desenho esquemático das forças atuantes da bancada.......................................... 41
Figura 13 – Desenho esquemático da bancada com representação dos sistemas coordenados
de referência e das forças atuantes ................................................................................... 43
Figura 14 – Diagrama de blocos esquemático dos principais componentes da modelagem
matemática da bancada..................................................................................................... 46
Figura 15 – Determinação do mapa de atrito estático em um cilindro hidráulico.................... 50
Figura 16 – Diagrama de blocos do modelo matemático da bancada hidráulica ..................... 52
Figura 17 – Diagrama de blocos da Equação da Vazão. .......................................................... 53
Figura 18 – Diagrama de blocos da dinâmica da força hidráulica. .......................................... 54
Figura 19 – Diagrama de blocos das forças presentes no atuador hidráulico........................... 55
Figura 20 – Diagrama de blocos do subsistema da dinâmica do atrito no cilindro.................. 55
Figura 21 – Diagrama de blocos da componente da força de gravidade. ................................. 56
Figura 22 – Diagrama de blocos da dinâmica da plataforma girante. ...................................... 57
Figura 23 – Diagrama de blocos da relação cinemática e suas derivadas. ............................... 57
Figura 24 – Inclinação angular da bancada para 3 V. .............................................................. 58
Figura 25 – Posição do êmbolo do cilindro hidráulico............................................................. 59
Figura 26 - Inclinação angular da bancada para 3 V. ............................................................... 59
Figura 27 - Inclinação angular da bancada para - 3 V.............................................................. 60
Figura 28 – Posição do êmbolo do cilindro hidráulico............................................................. 61
Figura 29 – Diagrama de blocos em malha fechada utilizado na simulação do modelo.......... 62
Figura 30– Representação gráfica da trajetória desejada e da trajetória da simulação
computacional................................................................................................................... 62
Figura 31– Representação gráfica da trajetória desejada e trajetória da simulação
computacional................................................................................................................... 63
Figura 32 – Fotografia da bancada de instrumentação para aquisição de dados...................... 65
Figura 33 – Fotografia do encoder incremental........................................................................ 66
Figura 34 - Fonte Instruthem para alimentação dos sensores e fonte HP para alimentação da
válvula direcional proporcional ........................................................................................ 66
Figura 35 – Fotografia da Válvula proporcional de Controle Direcional 4WRAE e
transdutores de pressão Zurich PSI - 420 ......................................................................... 67
Figura 36 – Inclinação da bancada experimental em graus...................................................... 68
Figura 37 – Inclinação da bancada experimental em graus...................................................... 68
Figura 36 – Inclinação da bancada experimental, em graus, com entrada senoidal................. 69
Figura 39 – Resultado experimental e computacional com entrada de 3V .............................. 71
Figura 40 – Resultado experimental e computacional com entrada de - 3V............................ 71
Figura 41 – Resultado experimental e computacional entrada senoidal .................................. 72
Figura 42 – Resultado experimental e computacional com corte para entrada senoidal.......... 73
Figura 43 – Resultado experimental e computacional com corte para entrada senoidal.......... 74
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Especificações dos equipamentos hidráulicos utilizados ....................................... 26
Tabela 2 – Parâmetros do atuador hidráulico utilizado ............................................................ 48
Tabela 3 – Parâmetros da plataforma girante ........................................................................... 48
Tabela 4 – Parâmetros estáticos e dinâmicos do atrito no cilindro hidráulico ......................... 51
11
SIMBOLOGIA
Alfabeto Grego
θ
Ângulo da plataforma girante
α (z, y& )
Função utilizada para representar o regime de atrito estático
β
Módulo de elasticidade
σ0
Coeficiente de rigidez das deformações microscópicas
σ1
Coeficiente de Amortecimento
σ2
Coeficiente de amortecimento viscoso
[rad ]
[N .m ]
[N .m ]
[N .s.m ]
[N .s.m ]
−2
−1
−1
−1
Símbolos
∆
Variação
(⋅)
Derivada primeira
(⋅ ⋅)
(⋅)
Derivada segunda
Derivada terceira
Alfabeto Latino
[m]
a
Distancia entre a origem dos sistemas A e B do atuador
A1
Área da seção transversal na câmara A do cilindro
A2
Área da seção transversal na câmara B do cilindro
Fh
Força hidráulica
f1 (y)
Função não linear
f 2 (y)
Função não linear
F
Força
Fatr
Força de atrito
Fatr ,ss
Força de atrito em regime permanente
[N ]
[N ]
[N ]
Fc
Força de atrito de Coulomb
[N ]
[m ]
[m ]
2
2
[N ]
12
FL
Força de carga
FS
Força de atrito estático
g
Aceleração da gravidade
[N ]
[N ]
[m / s ]
2
g 1 ( p a , sign(u )) Função não linear dos componentes do sinal de controle
g 2 ( p b , sign(u )) Função não linear dos componentes do sinal de controle
g ( y& )
Função de atrito
g ss ( y& )
Função de atrito em regime permanente
I
Momento de Inércia da Bancada
ks
Constante hidráulica
L1
Parâmetro construtivo de localização do atuador
[m]
L2
Parâmetro construtivo de localização do atuador
[m]
L3
Comprimento do atuador
[m]
[kg ⋅ s ]
[m .s.V .P ]
2
md
me
−1 / 2
2
a
Inclinação direita da zona morta
Inclinação esquerda da zona morta
[kg ]
M
Massa da haste + êmbolo + cilindro do atuador
M &y&
Força de inércia
P
Pressão
pa
Pressão na câmara A do cilindro
[Pa]
[Pa]
pb
Pressão na câmara B do cilindro
[Pa]
Pr
Pressão de retorno
Ps
Pressão de suprimento
Qa
Vazão na câmara A do cilindro
Qb
Vazão na câmara B do cilindro
r
Distância do centro de giro ao ponto de aplicação da força
t
Tempo
Tatr
Torque de atrito
Tg
Torque de gravidade
[kg .m . s ]
−2
[Pa]
[Pa]
[m
[m
3
⋅ s −1 ]
3
⋅ s −1 ]
[m]
[s ]
[N .m]
13
u
Sinal de entrada da válvula
V10
Volume inicial na câmara A
V20
Volume inicial na câmara B
(x A , y B )
Coordenadas do ponto de articulação A do atuador
(y A , yB )
Coordenadas do ponto de articulação B do atuador
(x0 , y 0 )
Coordenadas da base fixa da Bancada
(x1 , y1 )
Coordenadas do ponto fixo da Bancada
xv
Deslocamento do carretel da válvula
[m]
y
Posição do atuador
[m]
y& s
Velocidade de Stribeck
z
Deformação no movimento de pré-deslizamento
z ba
Deslocamento da força de quebra
[m]
[m]
z max
Valor máximo das microdeformações
[m]
z ss
Microdeformações em regime permanente
[m]
zmd
Limite direito zona morta
zme
Limite direito zona morta
[m ]
[m ]
3
3
[m ⋅ s ]
−1
[V ]
[V ]
14
RESUMO
Neste trabalho apresenta-se a modelagem matemática da dinâmica de uma bancada
acionada hidraulicamente para simulação de aclives. Os sistemas hidráulicos são um conjunto
de elementos físicos convenientemente associados, que utilizando um fluído óleo-hidráulico
como meio de transferência de energia, permite a transmissão e controle de forças e
movimentos. Os sistemas hidráulicos são usados onde há necessidade de forças e torques
relativamente altos, alta velocidade de resposta para o início, parada e reversão da velocidade.
Os atuadores hidráulicos têm grande aplicação em sistemas industriais, em robótica,
simuladores de movimento, plantas automatizadas, exploração de minérios, prensas, entre
outras. As características dinâmicas do sistema e as não linearidades presentes nos atuadores
hidráulicos dificultam seu controle e, conseqüentemente, precisam ser estudadas para melhor
definição das estratégias de controle. O objetivo deste trabalho é realizar a modelagem
matemática e a simulação computacional da dinâmica de uma bancada acionada por atuadores
hidráulicos
para
simulação
de
terrenos
inclinados
e,
posteriormente,
validar
experimentalmente o modelo no protótipo de uma bancada construído em laboratório. Para
realizar a modelagem matemática do sistema hidráulico da bancada utilizam-se as equações
da dinâmica da bancada, da vazão nos orifícios da válvula, da variação das pressões nas
câmaras do cilindro, do atrito dinâmico e a equação do movimento da carga do cilindro. Após
a modelagem matemática, implementou-se o modelo na forma de diagrama de blocos no
MatLab/Simulink para posterior análise e interpretação dos resultados da simulação. Os
resultados obtidos ilustram o comportamento dinâmico da bancada com acionamento
hidráulico. A partir dos resultados obtidos, pretende-se contribuir para a elaboração de
estratégias de controle e também para a realização de melhorias e modificações em protótipos
experimentais de inovações em máquinas agrícolas. A contribuição desta dissertação consiste
no acoplamento do modelo matemático de um atuador hidráulico do modelo dinâmico do
movimento do mecanismo da bancada.
Palavras-chave: Atuador Hidráulico, Simulação Computacional de Declives, Modelagem
Matemática
15
ABSTRACT
This paper presents the mathematical modeling of the dynamics of a hydraulically
actuated workbench for simulating uphill. Hydraulic systems are used where there is need for
relatively high forces and torques, high response speed to start, stop and reverse speed. The
hydraulic actuators have wide application in industrial systems, robotics, motion simulators,
automated plants, mineral exploration, presses, among others. Hydraulic systems are a set of
physical conveniently associated with that using oil hydraulic fluid as a means of energy
transfer allows the transmission and control forces and movements. The dynamic
characteristics of the system and the nonlinearities present in the hydraulic actuators make its
control difficult, and consequently need to be studied to better define the control strategies.
The objective of this study is to perform mathematical modeling and computer simulation of
the dynamics of bench-driven hydraulic actuators to simulate a slope and then experimentally
validate the model in a prototype constructed in laboratory bench. To perform the
mathematical modeling of the hydraulic system of the bench using the equations of the
dynamics of the bench, the flow into the holes of the valve, the pressure variation in the
chambers of the cylinder, of dynamic friction and the equation of motion of the loading
cylinder. After the mathematical model was implemented the model in the form of block
diagram in Matlab / Simulink for further analysis and interpretation of simulation results. The
results illustrate the dynamic behavior of the bench with hydraulic drive. From the results it is
possible contribution in the development of control strategies and also to carry out
improvements and modifications in experimental prototypes of innovations in agricultural
machinery. The contribution of this dissertation is the coupling of the mathematical model of
a hydraulic actuator in the dynamic model of the mechanism of movement of the bench.
Keywords: Hydraulic Actuator, Computer Simulation of Slopes, Mathematical Modeling
16
1
1.1
INTRODUÇÃO
Generalidades
Este trabalho trata da modelagem matemática e da validação do modelo proposto de
uma bancada experimental acionada hidraulicamente para simulação de aclives. A validação
do modelo é feita através da comparação dos dados experimentais com os dados obtidos por
meio de simulação computacional. Para a implementação e a validação do modelo inclui-se a
dinâmica do atrito, resultando em um sistema de equações diferenciais ordinárias de 5ª ordem.
A automação de processos vem crescendo cada vez mais em diversos setores da
atividade humana. Isto se deve, dentre outros fatores, à evolução da eletrônica, da informática
e dos dispositivos de acionamento e medição. A partir desta evolução surge a necessidade de
se desenvolver técnicas de trabalho que permitam ao homem o aprimoramento dos processos
produtivos e a busca da qualidade. Neste contexto, há um grande destaque para os sistemas
mecânicos, pois têm um papel fundamental na automação de tarefas que exigem o
posicionamento de materiais, objetos ou ferramentas. Os sistemas mecatrônicos compõem-se
de três principais componentes: mecanismo, acionamento e sistema de controle (VALDIERO,
2012) e podem ser acionados por atuadores elétricos, hidráulicos ou pneumáticos.
Em um sistema com acionamento hidráulico uma forma de energia de entrada fluída é
convertida e condicionada, de modo a se ter como saída energia mecânica útil (DE NEGRI,
2001). Os sistemas hidráulicos possuem amplo campo de aplicação onde há controle de forças
ou pressões com alta precisão e resposta rápida aos comandos.
Os atuadores hidráulicos são utilizados em diversas aplicações e diferentes áreas de
trabalho devido à sua capacidade de manipular grandes forças com baixa inércia, pouca
vibração e pela capacidade de trabalho por longos períodos de tempo. Porém, um dos maiores
problemas no uso deste tipo de atuador, para aplicações que requerem alto desempenho na
manipulação de objetos, são suas características dinâmicas que dificultam seu controle em
malha fechada (VALDIERO, 2005).
O uso dos atuadores hidráulicos possui vantagens conhecidas há muito tempo sobre os
atuadores pneumáticos e elétricos. As principais vantagens dos sistemas de acionamento
hidráulicos são: alta relação força/tamanho, paradas e partidas rápidas; facilidade de
instalação quando comparado aos acionamentos elétricos; produz perfil desejado de força de
17
carregamento na estrutura em teste. Abrange aplicações em diferentes áreas, tais como:
extração mineral, indústria aeroespacial, veículos de transportes e passeio, equipamentos
odontológicos, construção civil, entre outros.
Linsingen (2003) descreve o sistema hidráulico como um conjunto de elementos físicos
convenientemente associados que, utilizando um fluido como meio de transferência de
energia, permite a transmissão e controle de forças e movimentos. Aponta como
características importantes dos sistemas hidráulicos a baixa relação peso/potência; bom
comportamento em relação ao tempo, ou seja, resposta rápida a partida e inversão de
movimento sob carga devido aos baixos momentos de inércia; adaptação automática de força
ou torque; sistemas adequados tanto para o controle de processos em que o movimento é
rápido quanto para os de movimento de precisão lento; segurança eficaz contra sobrecargas;
componentes lubrificados pelo próprio fluido de trabalho e possibilidade de combinação com
outros sistemas.
Por outro lado, esse mesmo autor apresenta algumas desvantagens no uso dos atuadores
hidráulicos, tais como: custo elevado em relação aos sistemas mecânicos e elétricos
compatíveis; perda de potência devida à dissipação por atrito viscoso, o qual limita a
velocidade do fluido e, como conseqüência, a velocidade dos atuadores hidráulicos; perdas
por vazamentos internos; possibilidade de presença de ar no sistema e elevada dependência da
temperatura.
Miotto (2009) apresenta as vantagens, desvantagens e custo de cada tipo de atuador
(pneumático, óleo-hidráulico, hidro-hidráulico, elétricos rotativos e elétricos lineares).
Avila et al. ( 2004) propuseram uma técnica de controle integral para o controlador de
um atuador hidráulico impulsionado por uma servoválvula para compensar os erros de
posicionamento do atuador devido as constantes perturbações externas e às não linearidades
presentes no sistema, como o atrito. Através de simulações computacionais, validam o modelo
proposto e asseguram a estabilidade do sistema.
Rahmat
et al. (2011)
propuseram a criação de um controlador robusto para
compensar as não-linearidades e incertezas causadas pela presença de atrito e a identificação
do vazamento interno. O modelo matemático do sistema é representado pela relação do atrito
e por um modelo matemático que representa o vazamento interno. O atrito foi representado
pelo modelo LuGre. Por meio dos resultados indicam que o controlador melhora o
desempenho e a precisão de seguimento do sistema. Destacam também, a importância do
trabalho pela contribuição significativa no controle de aplicações de posicionamento dos
equipamentos modernos.
18
1.2
Objetivos e Justificativas
O objetivo geral deste trabalho é contribuir para a pesquisa em modelagem matemática
aplicada na utilização de atuadores hidráulicos numa bancada de simulação de aclives. Neste
sentido, podem-se destacar os seguintes objetivos específicos:
• Realização de revisão bibliográfica em literatura recente das características não
lineares de sistemas hidráulicos;
• Formulação de um modelo matemático que represente adequadamente o
comportamento de um atuador hidráulico acoplado a uma bancada experimental
que simula, em laboratório, o sistema mecânico de colheitadeiras de grãos durante
seu funcionamento em terrenos irregulares com inclinações transversais.
• Implementação dos algoritmos do modelo proposto, avaliando os resultados obtidos
na simulação computacional e validação do modelo comparando com os resultados
obtidos na bancada experimental.
A representação das irregularidades dos terrenos é importante e tem como principal
justificativa a prevenção em laboratório das condições de funcionamento de máquinas
agrícolas em campo e para o desenvolvimento e testes de inovações para sua adequada
compensação. Na Figura 1 está apresentada uma colheitadeira executando as tarefas em
campo.
Figura 1 – Fotografia de uma colheitadeira realizando trabalho em campo (John Deere, 2012)
19
1.3
Antecedentes deste trabalho na UNIJUÍ
Com o intuito de dar continuidade a trabalhos que já vem sendo realizado no programa
de Mestrado em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do
Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, e que de alguma forma já contribuíram para uma melhor visão
no que se refere a acionamentos hidráulicos, esta dissertação refere-se à modelagem
matemática, a simulação computacional e a validação da dinâmica de uma bancada acionada
por atuadores hidráulicos para simulação de aclives de terrenos. A simulação de terrenos
inclinados é importante para prever as condições de funcionamento em laboratório das
máquinas agrícolas nas condições em campo.
Na área que envolve o uso de atuadores hidráulicos, os trabalhos que contribuíram para
a pesquisa e que antecederam esta dissertação, são os de Dilda (2008), Miotto (2009) e
Fracaro (2011).
Dilda (2008) realizou a modelagem matemática, e o controle de um atuador hidráulico
trabalhando com um modelo matemático não linear de 4ª ordem, interpretado como dois
subsistemas interconectados: um subsistema mecânico acionado por um subsistema
hidráulico). Nesse trabalho, a autora propôs o uso de uma estratégia em cascata para o
atuador hidráulico, com o objetivo de projetar uma lei de controle para o subsistema mecânico
onde a saída siga uma trajetória desejada (ou o mais próximo possível) para então projetar
uma lei de controle para o sistema hidráulico, que gere como resposta a força hidráulica
necessária.
Miotto (2009) teve como objeto de estudo a modelagem matemática da dinâmica do
atrito e sua aplicação no projeto de controle ótimo de um atuador hidráulico. O atrito
considerado em Miotto é descrito através do modelo LuGre. O atuador modelado é composto
por uma válvula direcional de controle proporcional simétrica e um cilindro hidráulico de
dupla haste, que, com a inclusão do atrito, resultou num modelo de 5ª ordem.
Fracaro (2011) apresentou a modelagem matemática de um sistema de atuação com
hidráulica proporcional aplicado numa bancada para testes de vibração. Realizou a simulação
computacional, bem como, a validação experimental do modelo proposto.
Também antecede esta dissertação, o estudo de Valdiero (2005) que utilizou o modelo
LuGre de atrito, proposto por Canudas de Wit. et al. (1995), porém com uma modificação
conforme propõe o modelo de Dupont (2000).
20
1.4
Revisão Bibliográfica
Nesta seção apresenta-se uma breve descrição da revisão bibliográfica relacionada à
modelagem matemática de atuadores hidráulicos e suas aplicações.
A Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em
problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real
(Bassanezi, 2002). Através da modelagem matemática é possível fazer previsões e obter o
comportamento acerca de um determinado fenômeno e ou problema. Porem é preciso ter
consciência de que os modelos são apenas representações simplificadas da realidade.
Devido à crescente demanda por produtividade e a utilização de equipamentos com
grau de precisão cada vez mais elevado, algumas áreas tem se destacado, tais como:
modelagem e simulação dinâmica de sistemas. Recebem tanta atenção por parte das
indústrias, como das áreas da aeronáutica, da automobilística, das máquinas pesadas, quanto
de instituições de pesquisa e desenvolvimento tecnológico.
Atualmente os sistemas de atuação hidráulica são muito usados na indústria, por
exemplo, nas plantas automatizadas, em robótica, simuladores de movimento, plantas de
processamento de metal, exploração de minérios, prensas, maquinaria pesada, etc. Geralmente
são empregados onde são necessários forças e torques relativamente altos, alta velocidade de
resposta para o inicio, parada e reversão da velocidade, etc.
Conforme Valdiero et al. (2007), os sistemas hidráulicos são muito utilizados nas
industrias do setor metal – mecânica, na mecanização agrícola e no manuseio e transporte de
materiais. Do mesmo modo, Valdiero e Andriguetto (1999) mostram a aplicação de robôs
seriais acionados hidraulicamente em ambientes insalubres, como soldagem, pintura,
polimento, tratamentos térmicos e químicos, além da movimentação de cargas.
Os atuadores hidráulicos podem ser definidos como conversores de energia de uma
fonte externa em energia mecânica controlada. Utilizam a potência hidráulica para prover
determinado trabalho mecânico apresentando as seguintes vantagens: grandes forças e
densidade de trabalho (mais do que qualquer outro atuador) e hastes tão longas quanto
necessário (GOMIS-BELLMUNT. et al., 2008).
Os atuadores hidráulicos também podem ser chamados de cilindros hidráulicos e são
utilizados para fazer movimentos translacionais. São aplicados em sistemas hidráulicos de
controle para posicionar grandes cargas. De acordo com Linsingen (2003) a classificação de
cilindros hidráulicos é realizada de acordo com sua forma de ação (dupla ou simples), tipo
construtivo (tirante ou flanges) e pela forma de fixação. Além destas características, destaca a
21
importância de considerar as condições operacionais a que estes são submetidos para projetar
e analisar sistemas hidráulicos, visto que, situações de dinâmica extrema (elevada inércia das
massas associadas) afetam expressivamente o comportamento operacional do sistema.
As aplicações mais comuns da hidráulica são para transmissão e regulação de força e
velocidade, bem como para posicionamento. Sistemas de posicionamento hidráulico possuem
grande aplicação no meio industrial, pois apresentam baixa relação peso/potência, quando
comparados com sistemas elétricos equivalentes. Além disto, oferecem a versatilidade de um
controlador eletrônico (Merritt, 1967; Eryilmaz e Wilson, 1999). Outra característica que
favorece a utilização em larga escala dos sistemas hidráulicos é a repetibilidade, pois estes
sistemas têm vida útil prolongada.
Diversas aplicações de sistemas hidráulicos são citadas na literatura cientifica e
também na indústria em geral. Dentre elas podemos destacar: controle de robôs (Valdiero,
2005), simuladores de vôo (Plummer, 1995), controle de lemes e flaps na indústria naval e
aeronáutica (De Negri, et al. 1997), na abertura de válvulas de plantas químicas industriais
(De Negri, et al. 1997), no posicionamento de rolos laminadores em linhas de produção de
chapa (De Negri, et al. 1997). Pode-se citar ainda a aplicação de um simulador sísmico
acionado por um sistema hidráulico (Newell et al., 1995) e a utilização para posicionamento
e controle de pressão realizado com uma servo-válvula (Fink, 1997).
Muitas outras aplicações estão presentes na indústria bélica, aeronáutica e espacial.
Através da diversidade de aplicações percebe-se que os sistemas hidráulicos permitem
controlar o movimento da carga em condições estáticas e dinâmicas requeridas para cada área
de aplicação (Rodrigues et al., 2003).
Sun, J e Miao, Y. (2011) propuseram a criação de um sistema de auto-nivelamento
para um pulverizador agrícola com acionamento hidráulico. Destacam a importância na
escolha do cilindro hidráulico e da válvula de acordo com especificações e utilização dos
mesmos. Além disto, indicaram um controlador de compensação para o sistema hidráulico
para ter certeza de uma resposta rápida ao comando de nivelamento da barra do pulverizador
inclinado.
Já, Miotto
et al.. (2008), destacam a importância da utilização de atuadores
hidráulicos, pois possuem ampla variedade de aplicação de força e posicionamento. Porém,
destacam algumas dificuldades de modelagem, simulação e controle, como: dificuldade de
obtenção dos parâmetros, dinâmicas pouco amortecidas e não linearidades significativas em
suas dinâmicas, como a zona morta e a dinâmica do atrito. Na seção 2.3 serão apresentadas e
22
discutidas as não linearidades que afetam os atuadores hidráulicos, principalmente a zona
morta e o atrito dinâmico.
De acordo com Machado (2003), a compensação do atrito não linear é uma das
maiores dificuldades de modelagem do atuador hidráulico. Este mesmo autor realizou o
estudo do atrito e a sua compensação em malha fechada com um controlador em cascata fixo
comparando os resultados obtidos com dados experimentais. Destaca que este controlador
apresenta desempenho superior quando comparado aos controladores clássicos como PID e
controlador de estados, pois sua implementação no modelo possibilita a redução erros de
seguimento de trajetória.
Valdiero (2005) apresenta as características do atrito, definindo-o como um fenômeno
não linear multifacetado que exibe diversas características não lineares. Estas características
são compostas pelos conhecidos e clássicos atrito estático, atrito de Coulomb, atrito viscoso e
de arraste, os quais compõem os modelos baseados em mapas estáticos; além disso, são
formados por fenômenos dinâmicos mais complexos, tais como: atrito de Stribeck, atrito
estático crescente, memória de atrito e deslocamento de predeslizamento.
Já, Canudas de Wit e Lischinski (1997) enfatizam que o atrito ocorre em todas as
máquinas que incorporam peças com movimento relativo, causando assim erros típicos de
regime permanente em controle de posição e atrasos no seguimento, podendo até mesmo
causar instabilidade.
Autores como Wang e Su (2007) apud Dilda (2008), apresentam a modelagem e controle
do braço de um robô hidráulico para jateamento de concreto na construção de túneis.
1.5
Organização do Trabalho
Para a efetivação deste trabalho, realizou-se inicialmente uma ampla revisão
bibliográfica pertinente ao tema em estudo, seguido da definição do modelo a ser adotado e da
identificação dos parâmetros do atrito e da bancada a serem utilizados na simulação
computacional do modelo. O modelo tem sua validação experimental realizada em uma
bancada hidráulica no Núcleo de Inovação de Máquinas Automáticas e Servo Sistemas
(NIMASS) da UNIJUÍ/Campus Panambi.
Este trabalho está estruturado em 5 Capítulos. O primeiro capítulo é dedicado à
revisão bibliográfica do tema, apontando o que já foi pesquisado anteriormente. Traz também
23
os objetivos e a justificativa deste trabalho. No Capítulo 2, inicialmente, é feita descrição
bancada experimental acionada hidraulicamente. Após, é feita a modelagem matemática do
atuador hidráulico incluindo o modelo do atrito dinâmico (modelo de atrito de Lugre), e em
seguida, é feita a modelagem matemática da inércia da bancada utilizada para simulação de
aclives. No Capítulo 3 apresentam-se alguns resultados obtidos através da simulação
computacional da dinâmica da bancada em malha aberta e é feita a identificação dos
parâmetros do modelo e explicitado a implementação computacional do modelo. O Capítulo 4
traz os testes experimentais assim como, a descrição da bancada de teste, resultados obtidos e
validação do modelo. No Capítulo 5 apresentam-se as conclusões, discussões e perspectivas
para trabalhos futuros.
24
2
2.1
MODELAGEM MATEMÁTICA
Introdução
Neste capitulo é feita a modelagem matemática da dinâmica de uma bancada acionada
por atuadores hidráulicos para simulação de aclives de terrenos. Este estudo destaca-se pela
importância da realização de testes em laboratório prevendo, assim, erros que podem ser
corrigidos antes da criação dos modelos protótipos. A bancada construída em laboratório
prevê ainda o comportamento irregular do solo encontrado na maioria das lavouras,
simulando as variações de inclinação lateral das peneiras de separação e limpeza de grãos de
uma colheitadeira autopropelida de grãos.
Propõe-se apresentar um modelo matemático para a bancada experimental acionada
por um atuador hidráulico. Partindo das características não lineares dos sistemas hidráulicos,
incluindo também, o modelo da dinâmica inercial da bancada experimental para simular
aclives, realizar-se-á a simulação computacional e a validação do modelo proposto. Os
parâmetros do sistema são obtidos a partir de dados experimentais do protótipo da bancada
construída em laboratório.
2.2
Descrição da bancada experimental
A bancada experimental é formada por um mecanismo, composto de uma base fixa e
uma plataforma móvel que gera movimentos angulares. Seu acionamento é composto por uma
válvula de controle direcional descrita conforme Miotto (2009) e um cilindro hidráulico de
haste simples; e um sistema de controle composto por uma placa de controle e aquisição de
dados dSPACE 1104 que utiliza a integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk
como meio de programação. A Figura 2 apresenta a imagem do atuador hidráulico acoplado a
uma bancada experimental que simula, em laboratório, o sistema mecânico em colheitadeiras
de grãos durante seu funcionamento em terrenos irregulares com inclinações transversais.
Na Figura 3 está apresentada a representação da instrumentalização utilizada para a
aquisição dos dados do sistema de controle. Este sistema é composto por uma placa de
25
controle e aquisição de dados dSPACE 1104 que utiliza a integração dos softwares
MatLab/Simulink e ControlDesk como meio de programação.
Figura 2 – Fotografia do Protótipo da Bancada
Figura 3 – Fotografia da instrumentalização do protótipo de controle de nivelamento por
acionamento hidráulico e avaliação em laboratório
26
Na tabela 1, estão descritos os principais componentes utilizados na bancada
experimental da Figura 2:
Tabela 1 – Especificações dos equipamentos hidráulicos utilizados
Fabricante
Cilindro Hidráulico
Bosch RexRoth
Válvula Proporcional de
Controle Direcional
Bosch RexRoth
Transdutor de pressão
Zurich
Encoder Incremental
(medição da posição angular
da bancada)
Hohner
Unidade de Potência e
Acondicionamento
Hidráulico
2.3
2.3.1
Código
catálogo
Especificações:
CDT3MP3/4
0/28/500Z1X
/R1CDD
TWW
4WRAE6E1
15-2X/
G24K31/A1
V
PSI - 420
751006221000
Vazão nominal 15 l/minuto
Qb = Qa / 2 Vazão assimétrica
0 – 10v
-
Reservatório de 180 L
Vazão máxima de 50 l/min
Pressão máxima 100 bar
-
Curso = 0,5 m
Diâmetro = 0,04 m
0 a 100 bar
1000 pulsos por rotação
Modelagem matemática do atuador hidráulico
Introdução
Nesta seção é descrita a modelagem matemática que apresenta o comportamento
dinâmico do atuador hidráulico e suas principais características não lineares. O modelo
proposto é de 5º ordem e apresenta a combinação da dinâmica da válvula com a dinâmica do
cilindro, bem como, o modelo dinâmico do atrito, ou seja, o modelo Lugre. São apresentados
os princípios físicos e as deduções matemáticas para a obtenção de um modelo não linear de
um atuador hidráulico.
O sistema de atuação hidráulica considerado na modelagem é composto de um
cilindro de dupla ação e haste simples e uma válvula proporcional de controle direcional de 4
27
vias e 3 posições.
Na Figura 4 está ilustrado o desenho esquemático de um atuador
hidráulico.
Figura 4 – Diagrama esquemático do sistema de atuação hidráulica
O atuador hidráulico tem a seguinte forma de funcionamento: o fluido hidráulico é
fornecido a válvula proporcional por uma Unidade de Potência e Condicionamento Hidráulico
(UPCH) sob condições de pressão e vazão previamente reguladas. Durante a operação, o sinal
de controle u energiza o solenóide da válvula de modo que uma força resultante é aplicada no
carretel da válvula, produzindo o deslocamento do carretel. O deslocamento do mesmo gera
orifícios de passagem, fornecendo fluido a alta pressão para uma das câmaras do cilindro e
permitindo que o fluido da outra escoe para o reservatório. Conseqüentemente, há a variação
de pressão nas câmaras do cilindro, resultando numa força que movimenta a haste do cilindro
com deslocamento y , positivo ou negativo, dependendo do sinal de entrada. Esta força
hidráulica gerada pelo atuador hidráulico é dada pelo produto da área da seção transversal da
câmara 1, A1 , do cilindro pela pressão p a nesta câmara subtraída do produto da área da
seção transversal da câmara 2, A2 , do cilindro pela pressão p b na câmara 2.
Na modelagem do atuador hidráulico, utiliza-se a equação da conservação da energia
(Equação de Bernoulli) para a modelagem das vazões na válvula proporcional e são utilizadas
as equações da continuidade e do movimento para modelagem da dinâmica das pressões e o
movimento, respectivamente, no cilindro hidráulico. Também se inclui a modelagem
28
matemática das não-linearidades do atuador hidráulico, tais como: a zona morta e a dinâmica
do atrito.
Para a elaboração do modelo matemático, foram estabelecidas as seguintes
premissas:
•
Foi desprezada a dinâmica elétrica dos solenóides proporcionais e do
movimento da válvula por serem muito rápidas. Como conseqüência, dado o sinal
elétrico de controle u, considera-se o movimento do carretel da válvula seja instantâneo,
representado por xv = u. Foram desprezadas a dinâmica elétrica dos solenóides
proporcionais e do movimento da válvula.
•
O atrito entre o pórtico da válvula e o carretel não foi considerado.
•
Considera-se constante o coeficiente de vazão nos orifícios da válvula
(k a e k b ),
o qual agrega propriedades consideradas constantes para o escoamento e para
o fluido, por exemplo, o peso específico do fluido e as características geométricas da
válvula.
•
O módulo de elasticidade do fluido é considerado constante. Seu valor está
sujeito à pressão e à temperatura do fluido, portanto, esses efeitos não foram considerados
no modelo.
•
O vazamento que ocorre no cilindro não é considerado na modelagem e tem o
efeito de amortecimento do sistema.
•
O atrito que ocorre entre o embolo e o cilindro e também entre a haste e as
vedações do cilindro foi modelado através do Modelo LuGre, conforme descrição nas
seções seguintes.
Estas hipóteses simplificadoras são consideradas na modelagem matemática das
características não lineares do atuador hidráulico.
A zona morta é uma caracteristica comum em válvulas hidráulicas, pois na maioria
das vezes a largura do ressalto do carretel é maior que a largura do orifício de passagem do
fluido, de forma que para uma determinada posição não há passagem do fluido. Outra nãolinearidade é a relação entre vazão e pressão nos orifícios da válvula que depende da diferença
de pressão do orifício e da abertura da válvula. Igualmente, o modelo para a dinâmica das
pressões que é obtido através da equação da continuidade e resulta em duas equações não
lineares de primeira ordem.
29
O atrito é uma das principais não linearidades que perturbam o controle de atuadores
hidráulicos. Nestes, o atrito ocorre, principalmente, entre as superfícies de contato nas
vedações da haste com o cilindro, mas também nas paredes do cilindro com o êmbolo. O
atrito varia constantemente e depende de fatores ambientais, como temperatura e condições de
lubrificação. Neste trabalho será descrito o modelo de atrito pelo método de LuGre, que foi
proposto em Canudas et al. (1995) e aperfeiçoado por Dupont et al. (2000) para incluir as
características dinâmicas.
2.3.2
Não Linearidade da Zona Morta
A válvula considerada para a modelagem é uma válvula proporcional de controle
direcional do tipo carretel de quatro ressaltos, simétrica e de centro supercrítico, ou seja, a
largura do ressalto é maior que a largura do pórtico de passagem do fluido. A Figura 5 mostra
um desenho em corte da válvula destacando a sobreposição existente entre o ressalto do
carretel e o orifício do pórtico. Esta sobreposição é comum em sistemas mecânicos,
principalmente em válvulas de centro supercrítico e é a principal causa da não linearidade da
zona morta da válvula.
Figura 5 – Vista em corte da válvula com destaque para a sobreposição no orifício de
passagem do fluido (Valdiero, 2005)
30
Na Figura 6 está apresentada a representação gráfica da zona morta.
Esta não
linearidade ocorre quando é dado um sinal de entrada e o carretel não se desloca
suficientemente para liberar a passagem do fluido causando, deste modo, atrasos e erros na
resposta do sistema, requerendo a identificação e sua adequada compensação.
Figura 6 – Representação gráfica da não linearidade da zona morta da válvula
Valdiero et al. (2006) propuseram uma metodologia para a identificação da zona
morta, admitindo-a como uma não linearidade de entrada do sistema e que pode ser
compensada na saída do controlador e ter seus efeitos minimizados. A expressão que
caracteriza a zona morta é dada pelas condições da Equação (2.1):
md ( u( t ) − zmd ) se u( t ) ≥ zmd

u zm ( t ) = 0
se zme < u( t ) < zmd
me( u( t ) − zme ) se u( t ) ≤ zme

(2.1)
onde, u é o sinal de entrada, u zm é o valor de saída, zmd é o limite direito da zona morta,
zme é o valor esquerdo da zona morta, md é a inclinação direita da zona morta e me é a
inclinação esquerda da zona morta.
31
2.3.3
Equação da vazão nos orifícios da válvula proporcional direcional
Neste trabalho, a determinação das vazões nos orifícios da válvula em função do
sinal do deslocamento x v do carretel, pode ser obtida através da Equação de Bernoulli
(balanço de energia), resultando nas equações (2.2) e (2.3).
Qa ( x v , p a ) = k a xv g 1 ( p a , sign(u ))
(2.2)
Qb( xv , p b ) = − k s xv g 2 ( p b , sign(u ))
(2.3)
onde, k a e k b é o coeficiente de vazão dos orifícios a e b da válvula, xv é o deslocamento do
carretel da válvula e as funções g1 ( p a , sign( xv )) e g 2 ( pb , sign( xv )) , são definidas em Bu e
Yao (2000), apud Valdiero (2005) como:
 p s − p a
g 1 ( p a , sign( xv )) = ∆p a = 
 p a − p r
para
xv ≥ 0
para
xv < 0
 pb − p r
g 2 ( pb , sign ( xv )) = ∆pb = 
 p s − pb
para
xv ≥ 0
para
xv < 0
(2.4)
(2.5)
onde, p s é a pressão de suprimento, p r é a pressão de retorno, p a e pb são as pressões nas
câmaras 1 e 2 do cilindro hidráulico, respectivamente.
As não linearidades das vazões Qa ( xv , p a ) e Qb ( xv , pb ) fornecidas pela válvula são
representadas pelas funções g 1 ( p a , sign( xv )) e g 2 ( pb , sign( xv )) , as quais dependem do
deslocamento do carretel da válvula e da raiz quadrada da diferença de pressão nos orifícios
de controle. Se ∆p = 0 , pode-se observar que não há variação de pressão nos orifícios da
válvula. Logo, analisando as equações (2.2) e (2.3), verifica-se que não há vazão de fluído
entre a válvula e as câmaras do cilindro.
32
2.3.4
Dinâmica das pressões
Para a modelagem matemática o cilindro hidráulico usado é considerado simétrico e
de haste simples. Utilizou-se a equação da continuidade para determinação da dinâmica das
pressões nas câmaras do cilindro, e a equação do movimento da haste. A Figura 7 mostra um
desenho esquemático do cilindro.
Figura 7 – Desenho esquemático em corte de um cilindro de haste simples
Para compreender os fenômenos físicos que ocorrem no cilindro hidráulico, inicia-se
deduzindo a equação da continuidade do cilindro para uma câmara genérica. Esta equação
determina que a diferença da vazão que entra e a vazão que sai em um dado volume de
controle é igual à taxa de variação do volume com o tempo, somada a parcela correspondente
à expansão ou compressão do fluido neste volume de controle (DE NEGRI, 2001). Observe o
escoamento de fluido na câmara genérica mostrada na Figura 8.
Figura 8 – Desenho esquemático do escoamento de um fluido na câmara genérica.
33
Deste modo, aplicando-se o principio da conservação de massa para o volume de
controle genérico, tem-se (DE NEGRI, 2001; VALDIERO, 2001):
∫
r r
ρv d A +
∂
∂t
SC
∫ ρdV = 0
(2.6)
VC
Onde a primeira integral representa o fluxo liquido de massa através da superfície de
controle e a segunda integral representa a variação da massa no interior do volume de
controle. Considerando a massa especifica
ρ constante no espaço, pois se admite que a
massa seja uniformemente distribuída no volume de controle,
v
é a velocidade do fluido
através de uma área infinitesimal representada pelo vetor normal d A . Logo, a equação (2.6)
aplicada ao escoamento da Figura 7, resulta em:
Qe − Q s =
dV V ∂ρ
+
dt ρ ∂t
(2.7)
∂ρ
onde Qe e Q s são, respectivamente, as vazões entrando e saindo da câmara. O termo ∂t
representa o incremento de massa específica e pode ser relacionado com o módulo de
elasticidade do fluido β e com o incremento de pressão por meio da Equação (2.8) (PAIM,
1997). Em MERRIT (1967), encontra-se a dedução desta relação que é fundamentada na
aproximação de primeira ordem da série de Taylor para a variação da massa específica em
relação à variação da pressão.
β=ρ
∂p
∂ρ ∂p
⇒
=
∂ρ
ρ
β
(2.8)
Substituindo (2.8) em (2.7), tem-se uma expressão para a equação da continuidade
aplicada a uma câmara genérica dada por:
Qe − Qs =
dV V ∂p
+
dt β ∂t
(2.9)
34
Portanto, considerando-se o cilindro simétrico de haste simples, conforme mostrado na
Figura 6, no qual as expressões dos volumes V1 e V 2 , das câmaras 1 e 2, e suas variações são
dadas por:
V1 = V10 + A1 y
(2.10)
V2 = V20 − A2 y
(2.11)
dV1
= A1 y&
dt
(2.12)
dV2
= − A2 y&
dt
(2.13)
onde V10 e V 20 são, respectivamente, os volumes iniciais nas câmaras 1 e 2 (incluindo os
volumes das tubulações que ligam estas câmaras às saídas da válvula) . A1 e A2 referem-se
as áreas das seções transversais nas câmaras 1 e 2 do êmbolo do cilindro e y e y& são,
respectivamente, a posição e a velocidade do êmbolo do cilindro.
Aplicando-se a Equação (2.9) às câmaras 1 e 2 do cilindro de haste simples considerado
e substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.10), (2.11), (2.12) e (2.13) obtém-se :
Qa =
− Qb =
dV1 V1 dp a
 V + A1 ⋅ y  dp a

+
= A1 ⋅ y& +  10
dt
β dt
β

 dt
(2.14)
dV2 V2 dpb
 V − A2 ⋅ y  dpb

+
= − A2 ⋅ y& +  20
dt
β dt
β

 dt
(2.15)
A partir das Equações (2.14) e (2.15), pode-se escrever a expressão geral da variação
das pressões nas câmaras do cilindro hidráulico, dadas pelas equações a seguir:
dpa
= β ⋅ f1 ( y ) ⋅ (Qa ( xv , p a ) − A1 ⋅ y& )
dt
(2.16)
dpb
= β ⋅ f 2 ( y ) ⋅ (− Qb ( x v , pb ) + A2 ⋅ y& )
dt
(2.17)
35
onde, Qa ( x v , p a ) e Qb ( x v , p b ) são as vazões nos orifícios da válvula, dadas pelas
Equações (2.2) e (2.3) e f 1 ( y ) e f 2 ( y ) são funções não lineares:
2.3.5
f1 ( y ) =
1
(V10 + A1 ⋅ y )
(2.18)
f 2 (y) =
1
(V20 − A2 ⋅ y )
(2.19)
Equação do Movimento com a Dinâmica do Atrito
Devido à complexa natureza do atrito e à sua grande influência no comportamento
dinâmico do sistema, é preciso obter os parâmetros para os modelos de atrito utilizados, pois,
o atrito gera dificuldades de controle e a degradação do desempenho do sistema, podendo
gerar a instabilidade.
Na Figura 9 está representado um contato entre as superfícies com rugosidades e
descreve o sistema não linear envolvendo o atrito. O sistema consiste em uma massa,
representada por M, deslizando sobre uma superfície plana, sob influência de uma força de
entrada Fh tendo a ação contrária de uma força de atrito Fatr e apresentando um deslocamento
de corpo rígido (y), que pode ser decomposto em uma componente elástica (z) e em outra
plástica (inelástica) (w).
Figura 9 – Desenho esquemático mostrando o contato microscópico entre as superfícies em
movimento relativo com a representação de uma rugosidade elástica (VALDIERO, 2005)
36
Aplicando a 2ª Lei de Newton para o equilíbrio das forças no êmbolo resulta na
seguinte equação:
M &y& + Fatr + Fg = Fh
(2.20)
onde M é a massa total deslocada, composta pela massa da haste do cilindro mais carga e
pela massa do fluido deslocado, &y& é a aceleração do cilindro, Fg é força gravitacional, Fh é
a força hidráulica dada pela diferença de pressão nas câmaras do cilindro, ou seja,
A1 p a − A2 pb , A1 e A2 são as respectivas áreas nas seções transversais do êmbolo do cilindro
e Fatr é a força de atrito que será discutida e modelada na seqüência.
O atrito é um fenômeno não linear multifacetado que exibe diversas características não
lineares. Para sua modelagem, uma das maiores dificuldades, é a diversidade das suas
características dinâmicas, tais como: o atrito estático, o atrito de Coulomb, o atrito viscoso ou
o atrito de araste, o atrito de Stribeck, a memória de atrito e o deslocamento de
predeslizamento. Muitas vezes, estas características resultam em efeitos danosos ao controle,
como os efeitos conhecidos por adere-desliza (stick-slip), oscilações em torno da posição dos
eixos ortogonais (quadratureglitch). Suas características e os efeitos danosos provocados
podem ser encontrados no estudo realizado por Valdiero (2005).
Definir um modelo que inclua todas estas características do atrito não é uma tarefa tão
simples. Nos últimos anos, vários pesquisadores têm estudado o atrito e isto tem contribuído
significativamente para a melhoria no desempenho dos modelos de compensação do atrito.
O modelo de Dahl descreve o atrito na fase de predeslizamento, porém não inclui a
característica de atrito de Stribeck conforme Canudas de Witt et al., (1995). Já o modelo de
Lugre, proposto por Canudas de Witt (1995), é o modelo de Dahl aprimorado, ou seja, é
baseado no entendimento do mecanismo microscópio do fenômeno de atrito. Nessa escala, as
superfícies possuem irregularidades chamadas rugosidades e a complexa relação de contato
entre estas irregularidades das superfícies dificulta o deslizamento entre elas. Porem, este
modelo também apresenta algumas limitações na fase de predeslizamento conforme
verificadas por simulação (DUPONT
et al., 2000) e por meio de testes experimentais
(SWEVERS et al., 2000). A Figura 10 mostra o desenho representativo da microdeformação
média das rugosidades entre duas superfícies de contato.
37
Figura 10 – Desenho representativo da microdeformação média das rugosidades entre duas
superfícies de contato (MIOTTO, 2009).
Portanto, a equação da força de atrito entre as superfícies, conforme proposta por
Canudas de Wit et al.. (1995), é dada por:
Fatr = σ 0 z + σ 1 z& + σ 2 y&
onde
σ 0 representa o coeficiente de rigidez das deformações microscópicas,
(2.21)
z é um estado
interno não mensurável que representa a deformação média que ocorre entre as superfícies,
σ 1 é um coeficiente de amortecimento associado à taxa de variação de z , σ 2 é o coeficiente
de amortecimento viscoso e y& é a velocidade relativa entre as superfícies.
Para a dinâmica da microdeformação z , DUPONT et al.. (2000) propõem a equação:
σ
dz
= y& − α (z , y& ) 0 y& z
dt
g ss ( y& )
(2.22)
onde g ss ( y& ) é uma função positiva que descreve parte das características do atrito em regime
permanente, e é descrita por:
g ss ( y& ) = Fc + (Fs − Fc )e
 y&  2

−

 y& s 
onde Fc é o atrito de Coulomb, Fs é o atrito estático e y& s é a velocidade de Stribeck.
(2.23)
38
A função α (z , y& ) foi incorporada ao modelo LuGre, conforme proposto por Dupont et
al.(2000) e é usada para representar o regime de atrito estático em velocidades baixas. A
função é definida pelas equações:
0 ,



( y& ) + z ba
z
 z −  max

2

0 < 1 sen  π


α (z , y& ) = 
2
z max ( y& )− zba





1,

0 ,
0 < z ba < z max ( y& ) =

 
  < 1, se z
ba




g ss ( y& )
σ0




 sgn ( y& )
< z < z max ( y& )

 =
 sgn (z )

se z ≥ z ba 

se sgn ( y& ) ≠ sgn (z )
se z ≤ z ba
para
∀ y& ∈ ℜ
(2.24)
(2.25)
onde z ba representa o deslocamento de força de quebra, de modo que para z < z ba todo
movimento na interface de atrito é composto apenas de comportamento elásticos, e z max é o
valor máximo das microdeformações e depende da velocidade.
Considerando a dinâmica das microderformações como a expressão modelada na
equação (2.22), pode-se observar que, em regime permanente, a velocidade y& é constante,
α (z , y& ) = 1 e tem-se z& = 0. Ou seja, pode-se aproximar o desvio z por meio da equação
(2.26):
2
 y&  


−
 

&
y
 s
 Fc + (Fs − Fc )e



&y g ss ( y& )

z ss =
= sgn ( y& ) 
σ0
y& s σ 0
(2.26)
Deste modo, substituindo-se a Equação (2.26) na Equação (2.22), obtêm-se a Equação
(2.27), que representa a força de atrito em regime permanente para movimentos com
velocidades constantes:
39
Fatr ,ss
2

 y&  
 
−

y& 
= σ 0 z ss + σ 1 0 + σ 2 y& = sgn ( y& ) Fc + (Fs − Fc )e  s   + σ 2 y&




(2.27)
Esta equação é utilizada na identificação dos parâmetros estáticos do atrito
(σ 0 , y& s , Fc e Fs ) .
Na Figura 11 esta representada a Equação (2.27), no qual tem-se o gráfico
da combinação das características do atrito em regime permanente.
Figura 11 – Combinação das características de atrito em regime permanente
(Fonte: VALDIERO, 2005)
2.3.6
Modelo Matemático Não Linear de 5ª Ordem para o Atuador Hidráulico
Nesta seção será apresentada a modelagem matemática do atuador hidráulico com a
inclusão do modelo dinâmico do atrito. Combinando as equações da dinâmica das pressões
nas câmaras A e B, a equação do movimento de carga do cilindro com a equação do atrito
dinâmico obtêm-se um modelo matemático não linear de 5ª e é dado pelas seguintes
equações:
M&y& + Fatr = A( p a − pb ) − M ⋅ g
(2.28)
p& a = β ⋅ f 1 ( y ) ⋅ ( Qa ( x v , p a ) − A1 ⋅ y& )
(2.29)
40
p& b = β ⋅ f 2 ( y ) ⋅ (Qb ( xv , pb ) − A2 ⋅ y& )
(2.30)
Fatr = σ 0 z + σ 1 z& + σ 2 y&
(2.31)
z& = y& − α ( z, y& )
σ0
g ss ( y& )
y& z
(2.32)
onde Qa (u , p a ) e Qb (u , p b ) são funções descritas respectivamente pelas equações 2.2 e 2.3.
Porém, a variável xv foi substituída por u que é o sinal de controle, pois a dinâmica da
válvula foi desprezada, f1 ( y ) e f 2 ( y ) são representadas pelas Equações (2.18) e (2.19),
respectivamente.
O modelo matemático de 5ª ordem citado pelas equações (2.28), (2.29), (2.30), (2.31) e
(2.32) pode ser escrito como um sistema de equações na forma de variáveis de estado,
considerando y1 = y , y 2 = y& , y3 = p a , y 4 = pb e y 5 = z , fica:
y&1 = y 2
y& 2 = −
(2.33)
Fatr
A
A
x 2 x 5 + 1 x 3 − 2 x 4 − FG
M
M
M
y& 3 =
y& 4 =
β
V10 + A1 y1
β
V20 − A2 y1
y& 5 = y 2 − α ( y 5 , y 2 )
(2.34)
(Qa − A1 y 2 )
(2.35)
(Qb − A2 y 2 )
(2.36)
σ0
g ss ( y 2 )
sign( y 2 ) y 5
(2.37)
onde y1 é a posição do êmbolo, y 2 é a velocidade, y 3 e y 4 são as pressões na câmara A e B do
cilindro, e y 5 é a dinâmica das microdeformações, Fatr é dado pela Equação (2.21), Qa e Qb
são as vazões nas câmaras A e B do cilindro, dadas pelas equações (2.14) e (2.15)
respectivamente, A1 e A2 são as áreas do cilindro, V10 e V20 são os volumes iniciais nas
câmaras A e B, respectivamente, β é o módulo de elasticidade do fluido e M é a massa do
sistema.
41
2.4
Modelagem Matemática da Dinâmica do Movimento da Bancada
Para a dinâmica de rotação presente na bancada, é importante a determinação das
forças externas envolvidas no sistema de atuação, pois estas forças, além de promover a
rotação podem gerar a translação e ou repouso do sistema. A representação da dinâmica da
bancada é feita através do somatório dos torques, dada pela Equação (2.38), reescrevendo,
tem-se a equação semelhante, descrita pela Equação (2.39):
∑T
0
= I 0θ&&
r Fl − Tatr + Tg = I 0θ&&
(2.38)
(2.39)
onde I é o momento de inércia da plataforma girante em torno do eixo de giro, θ&& é a
aceleração angular da plataforma, r é a distância do centro de giro ao ponto de aplicação da
força, Fl é a força de carga, Tatr ( = σ 2θ& ) é o torque de atrito, considerado proporcional à
velocidade angular θ& e ao coeficiente de atrito viscoso σ 2 e Tg representa o torque de
gravidade (h ⋅ g ⋅ M ⋅ sen(θ )) que é diretamente proporcional a altura do centro de gravidade da
bancada, a aceleração da gravidade (9.8m / s 2 ) , a massa da bancada e o seno de teta
(deslocamento angular da bancada).
Representação das forças atuantes na dinâmica da parte fixa da bancada estão
representadas na Figura 12:
Figura 12 – Desenho esquemático das forças atuantes da bancada.
42
Para obter o equilíbrio dinâmico do atuador hidráulico, utiliza-se a 2ª Lei de Newton,
que é descrita pela Equação (2.40). Logo, o equilíbrio das forças atuantes no embolo do
atuador é obtido por meio da Equação (2.41):
∑F
y
= M&y&
(2.40)
− Fatr − Fg − Fl + Fh = M&y&
(2.41)
onde M é a massa deslocada, &y& é a aceleração do cilindro, Fh é a força hidráulica, Fl é a
força de carga, Fatr é a força de atrito dinâmico (modelo Lugre) e Fg é a componente da força
de gravidade.
A relação cinemática entre o movimento linear y da haste do atuador hidráulico e o
movimento angular θ da plataforma girante, conforme a Figura 13 pode ser obtida por meio
da metodologia proposta por Valdiero (2005) e é dada pela Equação (2.42).
y (θ ) = L1 + L2 − 2 L1 L2 cos(θ − ∆ϕ ) − L3
2
2
(2.42)
onde, os parâmetros construtivos L1 , L2 e ∆ϕ são dados pelas expressões:
L1 = x A + y A
2
L2 =
2
(a + xB )2 + yB 2
∆ϕ = ϕ1 − ϕ 2
(2.43)
(2.44)
(2.45)
onde ( xA , y A ) e ( xB , yB ) são as coordenadas que definem respectivamente os pontos de
articulação A e B do atuador hidráulico em relação aos sistemas de referência x0 , y 0 (da base
fixa) e x1 , y1 (da plataforma girante), a é a distância entre a origem destes sistemas de
referência e L3 representa o comprimento do atuador (seguimento AB) no ponto médio do
43
curso do cilindro, convencionado y = 0. E os valores dos parâmetros de ϕ1 e ϕ 2 são dados
por:
 yA 

 xA 
(2.46)
 yB 

 a + xB 
(2.47)
ϕ1 = ar tan 2
ϕ 2 = ar tan 2
Figura 13 – Desenho esquemático da bancada com representação dos sistemas coordenados
de referência e das forças atuantes
Já, a força gravitacional Fg presente na direção do movimento do atuador hidráulico
depende do ângulo de inclinação α do atuador, é descrita pela Equação (2.48):
44
Fg = m ⋅ g ⋅ senα
(2.48)
onde m é a massa do atuador em movimento, g é a aceleração da gravidade e é calculado
relacionando-se o ângulo de inclinação α do atuador hidráulico em função das variáveis,
conforme propõe Valdiero (2005) e por meio da Equação (2.49):
senα =
L2 sen(∑ θ + ϕ 2 ) − L1 sen(ϕ1 + ∑ θ )
(2.49)
y + L3
onde L1 , L2 ϕ1 e ϕ 2 são características construtivas da bancada definidas pelas equações
(2.43), (2.44), (2.46) e (2.47), respectivamente, e L3 é o comprimento do atuador na posição,
onde o deslocamento y é convencionado nulo ( y = 0 ) para a metade do curso do atuador.
A força hidráulica Fh é dada pela Equação (2.50):
Fh = A1 p a − A2 pb
(2.50)
onde A1 e A2 são as áreas das seções transversais das câmaras do cilindro hidráulico, e pa e pb
são as respectivas pressões nas câmaras A e B, descritas pelas equações (2.29) e (2.30).
Da Equação (2.41) isolando-se Fl , obtêm-se a Equação (2.51):
Fl = Fh − M&y& − Fatr − Fg
(2.51)
E, por fim, substituindo a Equação (2.51) na Equação (2.39) tem-se a Equação (2.52).
I 0θ&& + Tatr − Tg = r ( Fh − M&y& − Fatr − Fg )
(2.52)
45
onde M é a massa deslocada, &y& é a aceleração do cilindro, Fh é a força hidráulica dada pela
equação (2.48), Fl é a força de carga, Fatr é a força de atrito dinâmico (modelo Lugre) e Fg é
a componente da força de gravidade, I é o momento de inércia da plataforma girante em
torno do eixo d e giro, θ&& é a aceleração angular da plataforma, r é a distância do centro de
giro ao ponto de aplicação da força e Tatr (= σ2 θ& ) é o torque de atrito. Neste trabalho,
considera-se proporcional à velocidade angular θ& e ao coeficiente de atrito viscoso σ2 e Tg é
o torque de gravidade.
Reescrevendo as equações da dinâmica da bancada, Equação (2.52), e da dinâmica do
atuador, Equações (2.28), (2.29), (2.30), (2.31) e (2.32), onde x1 = θ , x2 = θ& , x3 = pa , x4 = pb e
x5 = z ,
obtém-se o modelo matemático não linear de 5ª ordem pelo conjunto de equações
diferenciais ordinárias em forma de variáveis de estado:
x&1 = x2
x& 2 =
(2.53)
r
1
( A1 x 3 − A2 x 4 − Fatr ( x 5 , y& ) − Fg − M&y&) − (σ 2 x 2 − T g )
I
I
x& 3 =
x& 4 =
β
V10 + A1 y1
β
V20 − A2 y1
x& 5 = y& − α ( x5 , y& )
(2.54)
( Qa − A1 y 2 )
(2.55)
( Qb − A2 y 2 )
(2.56)
σ0
g ss ( y& )
sign( y& ) x5
(2.57)
onde, x1 é o ângulo descrito pela plataforma, x2 é a velocidade angular, x 3 e x 4 as pressões
nas câmaras A e B do cilindro, x5 representa as microdeformações, y1 é a posição do êmbolo
e y& é a velocidade do atuador hidráulico.
Na Figura 14 está a representação esquemática por meio de um diagrama de blocos
onde estão ilustrados os principais dados da modelagem matemática utilizados na
representação do comportamento dinâmico da bancada acionada hidraulicamente para
simulação de aclives, resultando assim, num modelo não linear de 5ª ordem.
46
Figura 14 – Diagrama de blocos esquemático dos principais componentes da modelagem
matemática da bancada.
2.5
Discussão
Neste capítulo apresentou-se a modelagem matemática da dinâmica da bancada com
acionamento hidráulico considerando seus principais componentes, formando a partir da
combinação da dinâmica do atuador com a dinâmica da bancada, um modelo de 5ª ordem não
linear.
Na Seção 2.2 foi feita a descrição da bancada experimental com acionamento
hidráulico simulando inclinações laterais de uma máquina colheitadeira autopropelida de
grãos.
Na Seção 2.3 apresentou-se o modelo matemático para a dinâmica do atuador
hidráulico considerando o atrito dinâmico, conhecido como LuGre, proposto por Canudas
(1995). Este modelo, além de representar a maioria dos comportamentos não lineares do
atrito, é adequado para ser utilizado em esquemas de compensação do atrito baseado em
modelos reais. Na Seção 2.4 apresentou-se o modelo matemático para a dinâmica do
movimento angular da base móvel da bancada.
Devido à complexidade do modelo que descreve a dinâmica do atuador e do protótipo
da bancada utilizada, há também maior dificuldade na obtenção dos parâmetros para a
simulação numérica. No entanto, a modelagem matemática apresentada neste capítulo é
fundamental para a implementação e simulação do modelo da dinâmica da bancada que
simula em laboratório a simulação de aclives de terrenos.
47
3
RESULTADOS DA SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA DINÂMICA DA
BANCADA COM ACIONAMENTO HIDRÁULICO
3.1
Introdução
Neste capitulo são apresentados os resultados da simulação computacional do modelo
matemático não linear de 5ª ordem, conforme apresentado anteriormente no Capítulo 2, o qual
descreve a dinâmica do atuador hidráulico e a dinâmica da bancada que simula aclives de
terrenos.
As simulações computacionais foram implementadas com o auxilio do Software
MatlLab/Simulink, utilizando-se o método de Range-kutta de 4ª ordem com passo de
integração de 0,001 segundos para aproximar do sistema de equações diferenciais.
O MatLab é um software utilizado para realizar simulações numéricas de problemas
científicos associando ferramentas de análise numérica, cálculo matricial, processamento de
dados e geração de gráficos. O Simulink é uma ferramenta do MatLab, no qual a
representação do modelo matemático é feita por meio de diagramas de blocos, é apropriado
para a simulação numérica de sistemas dinâmicos, pois possibilita ao usuário a representação
de diferentes e distintos sistemas lineares e não lineares.
Na Seção 3.2 apresenta-se a descrição dos parâmetros utilizados na simulação
computacional. Na seção 3.3 apresenta-se o passo a passo para a identificação dos parâmetros
do atrito. Na Seção 3.4 estão representados os diagramas de blocos do modelo matemático
para a dinâmica da bancada e do atuador hidráulico. Já na Seção 3.5 está a representação dos
resultados computacionais obtidos na simulação.
3.2
Parâmetros do atuador hidráulico e da bancada
Os parâmetros do atuador hidráulico utilizado na simulação computacional e na
validação do modelo matemático são obtidos experimentalmente através do protótipo da
bancada montada em laboratório e estão descritos na Tabela 2:
48
Tabela 2 – Parâmetros do atuador hidráulico utilizado
Parâmetros
Valores
Obtenção
Área do êmbolo na Câmara A
A1 = 12.56 × 10 −4 m 2
Medido.
−4
Área do êmbolo na Câmara B
A2 = 6.408 × 10 m²
Medido
Pressão de suprimento
p s = 50 × 10 Pa
Medido
Pressão de retorno
p r = 1 × 10 5 Pa
5
−4
Medido
Volume inicial na Câmara A
V10 = 3.423 × 10 m
Volume inicial na Câmara B
V20 = 1.883 × 10 −4 m 3
Módulo de elasticidade do fluído
β = 1 × 10 9
3
Medido.
Medido
N / m2
Medido
Coeficiente de vazão orifícios da válvula
k a = 2.10 −8
m 2 / s / V / Pa
Medido
Coeficiente de vazão orifícios da válvula
k b = 1.10 −8
m 2 / s / V / Pa
Medido
l = 0,5 m
Comprimento do curso do cilindro
Tensão máxima de entrada
U T max = 10 v
Medido
Catálogo
Na Tabela 3 estão descritos os parâmetros do protótipo da plataforma girante
construída em laboratório para a simulação de aclives.
Tabela 3 – Parâmetros da plataforma girante
Parâmetros
Valores
Obtenção
Momento de inércia
Coordenadas do ponto A
I = 159.637 kg.m ²
Calculado
( x A , y A ) = (0.630m,−0.80m)
Medido
Coordenadas do ponto B
( x B , y B ) = (0m,0.17 m)
Medido
Distância da normal comum entre os
a = 0.630 m
Medido
Comprimento do atuador quando y = 0
L3 = 0.980m
Medido
Variação do ângulo entre os eixos
∆ϕ = −1.1673πrad
Medido
eixos
Para que o sistema hidráulico entre em funcionamento é dado um sinal elétrico que é
controlado por meio da fonte. A aquisição dos dados é feita através do computador com
sistema de controle composto por hardware e software, elementos necessários para
49
implementação dos algoritmos e também pelos transdutores de pressão e posição para auxílio
na medição dos estados do sistema. Os transdutores lêem os sinais analógicos e os enviam à
placa de aquisição onde estão ligados, para serem processados pelo software
MatLab/Simulink, que são produtos da empresa The MathWorks. Utiliza-se também a placa
de aquisição dSPACE – DS1102 integrada ao MatLab.
Conforme Bavaresco (2007), a placa dSPACE foi especialmente projetada para
facilitar o desenvolvimento e a implementação de controladores. Ela possui quatro
conversores analógico-digital (entradas ADC) e quatro conversores digital-analógico (saídas
DAC). Nestas conversões ADC e DAC, a placa utilizada apresenta um software para
gerenciamento e aquisição de dados e também, módulos de acoplamento para o
MatLab/Simulink. Esse acoplamento permite a programação do sistema de controle
diretamente no Simulink e, alem disto permite a captura dos dados das medições em tempo
real como banco de dados do MatLab. Post
eriormente, esse banco de dados pode ser
manipulado no MatLab, permitindo assim a validação do modelo proposto.
3.3
Identificação dos parâmetros do atrito
Para obter os resultados medidos nos experimentos de validação do modelo
descrito no Capítulo 2, quanto nas simulações computacionais apresentadas no Capítulo 3,
realizou-se a identificação dos parâmetros de atrito. Esta identificação é feita por meio da
elaboração de um mapa estático. Portando, para isto, são realizados vários experimentos em
malha aberta, com velocidades variando desde as mais baixas até a máxima velocidade de
trabalho do sistema, capturando-se os dados da bancada experimental, conforme metodologia
descrita por Gonçalves et al.. (2011). Cada experimento realizado está representado através
de um círculo no gráfico conforme a Figura 15.
Aplicando a Equação (2.27), da força de atrito em regime permanente, obtém-se uma
curva experimental onde os quatro parâmetros estáticos de atrito, Fc , Fs , y& s e σ 2 podem ser
facilmente identificados. Neste procedimento é utiliza-se o algoritmo nlinfit do MatLab. Os
ajustes resultantes do mapa estático são apresentados na Figura 15.
50
Mapa de Atrito Estático no Atuador Hidráulico
6000
4000
Força de Atrito [N]
2000
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
velocidade [m/s]
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 15 – Determinação do mapa de atrito estático em um cilindro hidráulico
(Fonte: GONÇALVES, 2011)
Por meio da aquisição dos parâmetros estáticos obtêm-se os parâmetros dinâmicos de
atrito, σ 0 e σ 1 . Entretanto, a obtenção destes parâmetros é de difícil verificação para
atuadores hidráulicos.
Perondi (2002) realizou a estimativa dos parâmetros dinâmicos de atrito de um
cilindro pneumático através de medições dos micro-deslocamentos em regime de prédeslizamento utilizando um equipamento óptico de precisão (roseta ótica), contudo teve os
resultados prejudicados devido à ocorrência de vibrações mecânicas no ambiente de trabalho
que foram transmitidas para a bancada de trabalho. Em decorrência disto, os parâmetros
foram ajustados através de simulações e utilizando valores menores que os obtidos nas
medições. No presente trabalho o parâmetro s0 também tem seu valor ajustado através de
simulações, conforme a metodologia proposta por Valdiero (2005), seguindo essencialmente
duas premissas: a ordem de grandeza das microdeformações obtidas dentro de um valor
aceitável e a viabilidade de implementação em tempo real de um observador de atrito sem a
perda da estabilidade numérica por limitações do tempo de amostragem. Conforme
Armstrong e Canudas (1996) apud Valdiero (2005), as deformações na região de prédeslizamento estão na faixa de 1 a 50 µm. Desta forma, o parâmetro σ 0 corresponde a:
51
σ0 =
Fc
1 a 50 ⋅ 10 −6
(3.1)
De acordo com Valdiero (2005), o parâmetro dinâmico σ 1 mede o amortecimento
adequado ao modelo de atrito na região de pré-deslizamento e seu valor é adaptado de forma a
garantir a propriedade de passividade de acordo com a condição deduzida por Barahanov e
Ortega (2000), citado por Valdiero (2005) e é dada através da aplicação da equação:
σ1 ≤
σ2
 Fs

 − 1
 Fc

(3.2)
Os valores dos parâmetros estáticos e dinâmicos do atrito e que foram utilizados na
validação experimental do modelo são apresentados na Tabela 4.
Tabela 4 – Parâmetros estáticos e dinâmicos do atrito no cilindro hidráulico
Parâmetros
Força de Atrito de Coulomb
Força de Atrito Estático
3.4
Valores
Fc = 100 N
Fs = 200 N
Coeficiente de rigidez das deformações
microscópicas
Coeficiente de amortecimento
σ 0 = 0.5 x10 7 N / m
Coeficiente de atrito viscoso
σ 2 = 150 Ns / m
Velocidade de Stribeck
y& s = 0,016855 m / s
σ 1 = 100 Ns / m
Implementação Computacional do Modelo Matemático
Nesta seção apresenta-se a descrição detalhada do procedimento utilizado na
implementação computacional em malha aberta do modelo matemático proposto de uma
52
bancada experimental acionada hidraulicamente para simulação de aclives de terrenos,
conforme modelo descrito no capitulo 2.
A Figura 16 apresenta o diagrama de blocos utilizado para a simulação computacional
do modelo matemático da bancada, representado pelas equações (2.53), (2.54), (2.55), (2.56)
e (2.57). No primeiro bloco, temos o sinal de entrada do sistema dinâmico, caracterizado
como sinal de controle em malha aberta u.
Ao realizar simulações computacionais em malha aberta dos modelos matemáticos,
tem-se como principal objetivo observar as características do sistema e suas respostas
dinâmicas. Entretanto, é preciso utilizar como entrada um sinal de controle em degrau ou
senoidal.
Figura 16 – Diagrama de blocos do modelo matemático da bancada hidráulica
Observa-se que o diagrama de blocos apresentado na Figura 16 contém diversos
subsistemas interconectados, onde: o primeiro bloco representa o sinal de entrada do sistema
(sinal de controle em degrau em malha aberta u), o segundo bloco representa a não
linearidade da zona morta (largura do carretel é maior que a largura do orifício por onde há a
passagem do óleo hidráulico). Em seguida, tem-se o terceiro bloco que representa a equação
das vazões volumétricas. O quarto bloco representa a dinâmica das pressões e,
posteriormente, o quinto bloco apresenta as forças atuantes no atuador hidráulico. Na
sequencia, o sexto bloco, apresenta a dinâmica da plataforma girante da bancada e, por fim, o
53
sétimo bloco representa a relação cinemática e suas derivadas. Os detalhes da programação de
cada bloco estão descritos a seguir.
A Figura 17 representa em forma de diagrama de blocos as Equações (2.29) e (2.30),
que representam a equação das vazões de fluido hidráulico nas câmaras 1 e 2,
respectivamente. Este subsistema possui como entrada o sinal de controle e a pressão nas
câmaras 1 e 2. Através de realimentação, resulta numa conexão dinâmica do subsistema da
equação da vazão com o subsistema da equação da continuidade. As variáveis de saída são
Q a e Qb .
Como visto no Capítulo 2, as Equações (2.29) e (2.30) apresentam suas não linearidades
através das funções g1 ( p a , sign(u) ) e g 2 ( p b , sign(u )) , pois dependem do sinal da entrada e da
raiz quadrada da diferença de pressão nos orifícios de controle da válvula.
ps
ps
|u|
sqrt
Abs
Raiz
Add 1
2
pa
Switch
Constant
pr
pr
Add
sinal de controle
Qa
qa
1
u
ka
Product
1
Qa
costante hidraulica
Add 3
3
pb
Switch 1
|u|
sqrt
Abs1
Raiz 1
2
Qb
Product 1
Qb
Add 2
- kb
qb
constante hidraulica
Figura 17 – Diagrama de blocos da Equação da Vazão.
A Figura 18 representa na forma de diagrama de blocos, o subsistema da dinâmica da
força hidráulica, onde estão as variações das pressões nas câmaras do cilindro hidráulico
dadas pelas equações (2.16) e (2.17). Neste subsistema, as variáveis de entrada são as vazões
Qa e Qb nas câmaras A e B do cilindro, respectivamente. A posição do êmbolo do cilindro
y
e a variação da posição do êmbolo em função do tempo, ou seja, velocidade dy dt , são
54
realimentadas e provém do subsistema seguinte. Deste modo, há mais uma interligação entre
os subsistemas, agora com o subsistema da Dinâmica do Movimento do Êmbolo.
Portanto, as variáveis de saída deste subsistema são as pressões nas câmaras do cilindro
. É importante destacar que as pressões iniciais nas câmaras
não são nulas,
conseqüentemente, é necessário determiná-las. As pressões iniciais devem ser informadas
como condição inicial nos respectivos blocos de integração.
pa
pressão na câmara A [Pa ]
1
beta /(V10 +A1*u(1))
dpa
y
Beta /(V10 +A1y)
taxa de variação da
pressão pa [Pa /s]
pa
1
s
2
Qa
Força hidráulica
no êmbolo do lado da
câmara A
A1
pressão na
Câmara A
pa '
A1
3
Qb
4
Força
Hidráulica
3
pb
Pb'
1
s
A2
pressão na
Câmara B
dy
dpb
beta /(V 20 -A2*u(1))
1
Fh
2
pa
taxa de variação da
pressão pb [Pa/s]
Pb
A2
Força hidráulica
no êmbolo do lado da
câmara B
pb
pressão na câmara B [Pa]
Beta /(V20 -A 2*y)
Figura 18 – Diagrama de blocos da dinâmica da força hidráulica.
Na Figura 19 estão representadas na forma de diagrama de blocos, as forças resultantes
no atuador hidráulico. Neste subsistema têm-se como entradas as seguintes forças: força
hidráulica (Fh) que resulta do bloco da dinâmica das vazões, a posição (y), a velocidade ( y& ) e
aceleração ( &y&) do êmbolo do cilindro hidráulico que resultam do bloco da relação cinemática
e a inclinação angular (θ ) que resulta da saída do bloco da dinâmica da plataforma girante e
como saída do subsistema tem-se a força de carga Fl
55
Figura 19 – Diagrama de blocos das forças presentes no atuador hidráulico.
A Figura 20 mostra o subsistema com o modelo de atrito utilizado para o cilindro
descrito na equação (2.57), conhecido como modelo LuGre. Este modelo de atrito é utilizado
com bastante freqüência no meio cientifico, pois se baseia no entendimento do mecanismo
microscópico do fenômeno de atrito.
s2
Coef . de amortecimento
viscoso
dz
1
dy
Fatr = s0z + s1dz + s2dy
1
Fatr
s1
do
Coef . de amortecimento
z
s0
alfa
gss
Dinâmica da
microdeformação z
Coef . de rigidez
das microdeformações
Add 1
z
alfa
gss
do
alfa
Figura 20 – Diagrama de blocos do subsistema da dinâmica do atrito no cilindro.
56
Na Figura 21 está a representação das forças que atuam no cilindro hidráulico, no qual,
tem-se o subsistema da componente da força de gravidade conforme apresentado Equação
(2.49). Esta força resultante atua na direção do movimento do atuador que está diretamente
relacionado com o ângulo de inclinação θ do atuador hidráulico.
2
Teta
L2*(sin(u+fi 2))
m
componente Fg atuador
massa atuador
g
Add 1
L1*(sin(fi 1+u))
gravidade
componente Fg atuador
1
1
Fg
y
Divide
Product
(u+L3)
componente Fg atuador
Figura 21 – Diagrama de blocos da componente da força de gravidade.
A Figura 22 representa o diagrama de blocos da dinâmica da plataforma girante da
bancada onde a variável de entrada é a força de carga Fl e as variáveis de saída do subsistema
()
()
são a aceleração angular θ&& , a velocidade angular θ&
e a inclinação angular (θ ) do
movimento da parte móvel da plataforma acionada hidraulicamente. A dinâmica do atrito
presente na parte móvel da bancada depende tanto do torque de atrito Tatr, considerado como
()
proporcional à velocidade angular θ& e ao coeficiente de atrito viscoso (σ 2 ) , bem como do
torque de gravidade Tg .
57
1
Fl
r
o''
1/I
o'
Integrator
Gain
Add
1
s
o
1
s
1
Teta
Integrator 1
Tatr =B*o'
B
(sin(u))*(h)*(g)*(M )
Tg =torque de gravidade
Figura 22 – Diagrama de blocos da dinâmica da plataforma girante.
A Figura 23 representa o diagrama de blocos da relação cinemática e suas
derivadas conforme equação (2.28), (2.29), (2.30) e (2.31) que apresenta o deslocamento
linear y, do atuador a partir da variável θ .
1
Teta
((((L1)^2+(L2)^2-2*(abs(L1))*(abs (L2))*cos(u-deltafi ))^(1/2))-L3)
du /dt
du /dt
Fcn1
Derivative
Derivative 1
2
y
3
dy 2
1
dy
Figura 23 – Diagrama de blocos da relação cinemática e suas derivadas.
3.5
Resultados da simulação computacional
Nesta seção apresentam-se os resultados das simulações do modelo matemático
não linear de 5ª ordem para a simulação de aclives de uma bancada experimental. A
implementação computacional do modelo através do diagrama de blocos exposto na Seção
3.4, os parâmetros do atuador e da bancada experimental foram expostos em tabelas na Seção
3.2 e os parâmetros do atrito foram relacionados na Seção 3.3.
Foram realizadas simulações para um sinal de entrada em degrau, pois este sinal de
entrada permite avaliar o comportamento das variáveis de estado do atuador hidráulico em
partidas rápidas, as quais são muito comuns em diversas de suas aplicações. Ao realizar as
58
simulações com sinal de entrada em degrau, é necessário que para cada valor de entrada seja
regulado um tempo de simulação que respeite os limites de curso do atuador bem como o
ângulo limite de inclinação da bancada, pois o diagrama de blocos utilizado na simulação não
considera tais limites. Os valores dos parâmetros das pressões iniciais, Pai e Pbi , nas
respectivas câmaras A e B do cilindro hidráulico, bem como, o ângulo de inclinação inicial da
bancada , θ i , foram obtidos através da bancada experimental.
Na Figura 24, para o sinal de entrada em degrau de 3 volts e, para um tempo de
simulação de 30 s, tem-se a inclinação angular da bancada, em graus, em função do tempo e a
Figura 25 apresenta a posição do êmbolo do cilindro hidráulico. A Figura 26 representa a
inclinação da banca, em radianos.
14
12
Posição angular (graus)
10
8
6
4
2
0
-2
0
5
10
15
Tempo t (s)
20
25
Figura 24 – Inclinação angular da bancada para 3 V.
30
59
Posição do êmbolo em relação ao tempo
0.14
0.12
0.1
Posição(m)
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
0
5
10
15
Tempo (s)
20
25
30
Figura 25 – Posição do êmbolo do cilindro hidráulico.
Ângulo descrito em relação ao tempo
0.3
0.25
Ângulo (rad)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
0
5
10
15
Tempo (s)
20
25
Figura 26 - Inclinação angular da bancada para 3 V.
30
60
Analisando os gráficos apresentados nas figuras 24 e 25, que representam,
respectivamente, a inclinação da plataforma girante da bancada e a posição do êmbolo do
cilindro hidráulico que movimenta a plataforma, percebe-se que as trajetórias delineiam o
mesmo comportamento. Consequentemente, comprova-se que a relação cinemática
estabelecida para converter do deslocamento angular em linear ou vice versa é valida.
A Figura 27 apresenta a inclinação angular, em graus, para uma entrada em degrau de
-3 Volts e para um tempo de simulação de 30s. A Figura 28 esboça a posição do êmbolo do
cilindro.
5
Posição angular (graus)
0
-5
-10
-15
-20
0
5
10
15
Tempo t (s)
20
25
Figura 27 - Inclinação angular da bancada para - 3 V.
30
61
Posição do êmbolo em relação ao tempo
0
Posição(m)
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0
5
10
15
Tempo (s)
20
25
30
Figura 28 – Posição do êmbolo do cilindro hidráulico.
Por meio dos resultados obtidos na simulação em malha aberta, se valida o modelo
matemático proposto e implementado no diagrama de blocos, pois descreve corretamente a
metodologia proposta para o comportamento da inclinação angular da bancada para distintos
valores de sinais de entrada.
Propõe-se, neste trabalho, uma lei de controle a fim de obter uma resposta desejada.
Portanto, a Figura 29 apresenta o diagrama de blocos em malha fechada do modelo
matemático não linear de 5ª ordem para a dinâmica da bancada acionada hidraulicamente para
simulação de aclives. Utilizou-se a estratégia de controle proporcional, que representa a
relação entre o sinal de saída do controlador e o sinal de erro, onde k p é denominado ganho
proporcional. Neste sentido, para direcionar a parte móvel da bancada para uma trajetória
senoidal, usou-se uma senóide com amplitude de 10V e frequência de 2π rad / s , com um
ganho proporcional de 1.
62
u
teta _desejado
Trajetória desejada
Teta
y
kp
controle
Y _bancada
Subsystem
erro
180 /pi
graus
Converte para Graus
Figura 29 – Diagrama de blocos em malha fechada utilizado na simulação do modelo.
A Figura 30 exibe a inclinação, em graus, para a simulação computacional em malha
fechada. Percebe-se que trajetória desejada confere com a trajetória obtida para um sinal de
entrada senoidal e para um ganho proporcional de 1. Já, a Figura 31 mostra o comportamento
realizado para diferentes valores do ganho proporcional.
desejado
realizado
Posição angular (graus)
10
5
0
-5
-10
0
20
40
60
Tempo t (s)
80
100
120
Figura 30– Representação gráfica da trajetória desejada e da trajetória da simulação
computacional.
63
desejado
kp=1.5
kp=1
kp=0.5
Posição angular (graus)
10
5
0
-5
-10
0
20
40
60
Tempo t (s)
80
100
120
Figura 31– Representação gráfica da trajetória desejada e trajetória da simulação
computacional.
Analisando a Figura 31, que apresenta as simulações experimentais para distintos
valores de ganho proporcional, Kp, percebe-se que quanto maior o valor do ganho melhor este
realiza a trajetória desejada. Porem, quanto maior o ganho proporcional maior a instabilidade
do sistema da bancada de simulações.
3.6
Discussão
Inicialmente, neste capítulo, apresentou-se a descrição dos parâmetros utilizados para
as simulações computacionais, posteriormente a descrição da implementação computacional
na forma de diagramas de blocos do modelo não linear de 5ª ordem para simulação da
inclinação angular da bancada acionada hidraulicamente para simulação de aclives.
Apresentou-se os resultados obtidos através de simulação computacional em malha aberta e
em malha fechada usando um controlador proporcional que mostrou-se eficiente para o
modelo proposto.
64
4
DESCRIÇÃO DA BANCADA DE AQUISIÇÃO DE DADOS E RESULTADOS
EXPERIMENTAIS
4.1
Introdução
Nesta seção apresentam-se os resultados dos testes experimentais realizados com a
bancada de simulação de aclives descrita na Seção 1.2 tendo como principal objetivo a
validação experimental do modelo matemático adotado.
A Seção 4.2 apresenta a descrição da bancada de aquisição de dados com seus
componentes e sensores. Na Seção 4.3 estão apresentados os resultados experimentais obtidos
com a bancada experimental e, em seguida, apresenta-se a validação do modelo de 5ª ordem
para a simulação de terrenos inclinados descritos na Seção 2.
4.2
Descrição da bancada experimental
Para a obtenção dos dados experimentais na bancada de testes, foi realizada a coleta de
dados de entrada e de saída com apoio de um sistema de aquisição de dados, conforme ilustra
a Figura 32. Este sistema é composto por um microcomputador (1), por uma placa dSPACE
1104 (2) que utiliza a integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk responsáveis
pela captura dos dados da bancada experimental, para que em seguida sejam analisados e
comparados com os dados obtidos nas simulações computacionais pois, permite a construção
de uma interface gráfica para controle e manipulação de um conjunto de parâmetros em
tempo real e por um conector de sinais da placa dSPACE (3) que possui oito conversores
analógico-digitais (entradas ADC) e oito conversores digital-analógicos (saídas DAC) onde se
faz a conexão dos cabos de comunicação dos sensores que transmitem o sinal até a placa
dSPACE que está instalada no microcomputador .
65
Figura 32 – Fotografia da bancada de instrumentação para aquisição de dados
Para obter dados experimentais sobre o deslocamento angular da bancada é utilizado
um encoder incremental. O encoder, conforme Figura 33, é um tipo de sensor de posição
angular, que tem como característica informar a posição por meio de contagem de pulsos. Faz
a leitura dos dados através de uma fonte de luz, de um receptor e de um disco perfurado, que
modela a recepção da luz ao girar. Na seqüência, os sinais capturados pelo encoder
incremental (deslocamento angular) são lidos por uma placa de aquisição de sinal analógico e
transformadas para sinais digitais via placa (dSPACE, modelo DS1104).
66
Figura 33 – Fotografia do encoder incremental
Para a alimentação dos componentes com corrente contínua, foram utilizadas uma
fonte de alimentação corrente continua Instrutherm e uma fonte controlada HP como mostra a
Figura 34.
Figura 34 - Fonte Instruthem para alimentação dos sensores e fonte HP para alimentação da
válvula direcional proporcional
67
A Figura 35 mostra em detalhes os dois transdutores de pressão, marca Zurich,
acoplados a válvula direcional de controle proporcional para aquisição de dados referente as
variações das pressões nas câmaras A e B do cilindro hidráulico.
Figura 35 – Fotografia da Válvula proporcional de Controle Direcional 4WRAE e
transdutores de pressão Zurich PSI - 420
4.3
Resultados experimentais
A seguir são apresentados alguns resultados experimentais de validação dos modelos
computacionais obtidos nos equipamentos do Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas
e Servo Sistemas (NIMASS) da UNIJUÍ campus Panambi.
Na Figura 36 está a representação do comportamento da parte móvel da bancada
experimental acionada hidraulicamente para simulação de aclives com um sinal de entrada em
degrau 3Volts, em malha aberta.
68
16
14
Posição angular (graus)
12
10
8
6
4
2
0
-2
0
5
10
15
20
Tempo t (s)
25
30
35
Figura 36 – Inclinação da bancada experimental em graus.
A Figura 37 apresenta o resultado experimental do comportamento da bancada de
simulação, em graus, para uma entrada em degrau de -3V para uma simulação de 30s.
5
Posição angular (graus)
0
-5
-10
-15
-20
0
5
10
15
Tempo t (s)
20
25
30
Figura 37 – Inclinação da bancada experimental em graus.
69
Os resultados experimentais obtidos em malha fechada para a inclinação angular da
parte móvel da bancada estão representadas na Figura 37. Para gerar a inclinação, foi dado um
sinal de entrada senoidal com amplitude 10V , frequencia 2π rad / s e ganho proporcional,
ous seja, kp= 1.
Curva desejada
Curva realizada
Erro (graus)
Posição angular (graus)
10
5
0
-5
-10
0
20
40
60
Tempo t (s)
80
100
120
Figura 38 – Inclinação da bancada experimental, em graus, com entrada senoidal.
70
0.2
0.15
0.1
Rad encoder
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
4.4
0
20
40
60
tempo(s)
80
100
120
Validação
Nesta seção realiza-se a validação experimental do modelo matemático adotado,
fazendo a comparação entre os resultados encontrados na simulação computacional e na
simulação experimental. Pode-se observar que os dados encontrados aproximam-se, logo
modelo matemático proposto é validado. Para validar o modelo matemático foi preciso
utilizar os mesmos parâmetros na simulação computacional quanto nos testes experimentais.
As Figuras 39 e 40 apresentam, respectivamente, os resultados para a validação do
modelo em malha aberta com entrada em degrau de 3 Volts e de -3 Volts.
71
14
experimental
computacional
Posição angular (graus)
12
10
8
6
4
2
0
5
10
15
Tempo t (s)
20
25
Figura 39 – Resultado experimental e computacional com entrada de 3V
experimental
computacional
Posição angular (graus)
0
-5
-10
-15
-20
5
10
15
Tempo t (s)
20
25
30
Figura 40 – Resultado experimental e computacional com entrada de - 3V
72
Percebe-se que na Figura 39 para um sinal de entrada em degrau de -3 Volts os dois
gráficos, um com os dados obtidos experimentalmente e, o outro com dados de simulação
numérica convergem para uma mesma trajetória em um tempo de simulação de
aproximadamente 1s. Mas para a Figura 40 onde o sinal de entrada também é um degrau, mas
de 3 V, as trajetórias obtidas para os mesmos gráficos não foram tão próximos quanto se
esperava, divergindo em um pouco mais de 0.4s. Mesmo assim, a validação do modelo
matemático em malha aberta pode ser comprovada com boa aproximação.
A Figura 41 mostra os resultados para a validação do modelo matemático adotado em
malha fechada usando um controlador proporcional tendo como entrada um sinal senoidal e
ganho proporcional, kp=1. A Figura 42 apresenta uma aproximação do resultado obtido na
comparação dos dados experimentais com os dados simulados para entrada senoidal.
experimental
computacional
Posição angular (graus)
10
5
0
-5
-10
0
10
20
30
Tempo t (s)
40
50
60
Figura 41 – Resultado experimental e computacional entrada senoidal
73
-1
experimental
computacional
Posição angular (graus)
-2
-3
-4
-5
-6
-7
35
36
37
38
39
Tempo t (s)
40
41
42
43
Figura 42 – Resultado experimental e computacional com corte para entrada senoidal
Na Figura 43 apresenta as trajetórias obtidas na simulação computacional, na bancada
experimental de aquisição de dados e a trajetória desejada para o comportamento dinâmico de
simulação de aclives.
74
desejada
experimental
computacional
Posição angular (graus)
10
5
0
-5
-10
0
10
20
30
Tempo t (s)
40
50
60
Figura 43 – Resultado experimental e computacional com corte para entrada senoidal
4.5
Discussões
Neste capítulo, inicialmente, apresentou-se a descrição da bancada de aquisição de
dados e seus principais componentes. Posteriormente, foram expostos os resultados obtidos na
bancada experimental, apresentou-se os resultados tanto em malha aberta quanto em malha
fechada. Após apresentados os resultados experimentais, foi feita a comparação entre os
dados computacionais e os dados experimentais.
Os resultados da validação experimental mostram que o modelo adotado é adequado e
que a metodologia proposta para a implementação do diagrama de blocos aceita o
comportamento dinâmico da bancada hidráulica de simulação de aclives.
75
5
CONCLUSÕES
O trabalho realizado nesta dissertação resultou na modelagem matemática da dinâmica
de uma bancada acionada hidraulicamente para simulação de aclives. A principal motivação
para esta pesquisa se deve ao crescente uso dos sistemas hidráulicos em diversas aplicações
como, por exemplo, em máquinas agrícolas.
Desenvolveu-se um modelo matemático não linear de 5ª ordem para uma bancada
acionada hidraulicamente, que permite realizar os movimentos angulares que representam a
dinâmica da declividade de terrenos.
Baseado nos resultados obtidos na simulação
computacional da dinâmica da bancada no software MATLAB/Simulink, e usando o modelo
do sistema com parâmetros identificados em uma bancada experimental, concluiu-se que este
trabalho pode ser aplicado no desenvolvimento de inovações em máquinas e equipamentos
acionados hidraulicamente. A coleta de dados foi realizada por meio de testes experimentais
em laboratório numa bancada construída para realizar os movimentos laterais de
colheitadeiras em terrenos com aclives e, em seguida, foi realizada a validação com os
resultados obtidos na simulação computacional do modelo desenvolvido. Os resultados foram
validados em malha aberta e também em malha fechada para um controlador proporcional
para seguimento de trajetórias senoidais e para posicionamento com referência em degrau.
Este controlador mostrou-se eficiente para o seguimento das trajetórias desejadas, uma vez
que não se requer precisão na realização dos movimentos laterais de aclives.
A principal contribuição deste trabalho é o desenvolvimento de um modelo
matemático completo que descreve o comportamento dinâmico de uma bancada acionada
hidraulicamente para simular em laboratório os aclives. O modelo inclui as principais
características não lineares do sistema dinâmico.
76
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