Universidade Federal de Pernambuco ­ UFPE Centro de Informática ­ CIn Avaliação de Sistemas Críticos ­ IN1105 Paulo Maciel/Eduardo Tavares Aleciano F. L. Júnior, Carlos A. S. de Melo, Charles B. Moreira, Edson S. G. da Silva Jr. Lista I ­ Avaliação de Sistemas Críticos Prazo: 24/11 1. Fale o que entende por: a) fault Falhas ­ Tratam­se de inconsistências no sistema ou no hardware, que acarretam em um comportamento inesperado por parte do mesmo. Falhas geralmentes são inerentes aos componentes, uma falha de sistema, por exemplo, pode ser gerada por má programação ou por mau planejamento durante a etapa de design. O acumulo dessas falhas pode resultar em erros, e dependendo da complexidade do sistema pode acarretar diretamente em um defeito. b) failure Defeitos ­ A grosso modo, são aqueles que levam a indisponibilidade de um serviço que deveria estar sendo ofertado, serviço este que deve ter seu funcionamento descrito em seus modos operacionais, o provimento de um serviço de maneira inconsistente à descrita nos seus modos operacionais também pode ser considerado um defeito, entrando então em modo de falha. Defeitos por sua vez, também impactam na confiabilidade e na disponibilidade de um sistema computacional. c) reliability Confiabilidade ­ É uma métrica dentro do termo dependabilidade, que geralmente é associada a probabilidade de um determinado sistema ou serviço estar funcionado em um determinado instante de tempo T, previamente estabelecido. A confiabilidade é dada por 1 menos a função de densidade: R(t) = 1 − F T (t) d) steady state availability Disponibilidade Estacionária ­ Descreve a disponibilidade de um sistema ou componente a longo prazo, com o tempo/limite tendendo para o infinito, ou seja, quanto maior o tempo, mais próxima de zero será a disponibilidade. Sendo descrita pela seguinte equação: A(∞) = lim A(T ) T →∞
e) instantaneous availability Disponibilidade Instântanea ­ Refere­se a disponibilidade de um sistema ou componente em um determinado instante de tempo T, previamente estabelecido. A dispobilidade instântanea leva em consideração tempos de reparo e de falha, ou seja, métricas de manutenabilidade, caso o sistema ou componente não possua reparo a disponibilidade será dada pela própria confiabilidade R(t) naquele instante de tempo, caso contrário a obteremos a partir da seguinte equação: t
A(t) = R(t) + ∫ R(t − u)m(u)du 0
Onde u é o tempo em que foi realizado o último reparo, tal que 0 < u < t , e m(u) é a nova função de densidade. 2. Se a “cumulative hazard function” é uma reta com aclive (declividade crescente), o que você pode dizer sobre a distribuição do tempo de falha associada a essa função? Se a “cumulative hazard function” é representada por H(x)=xβx≥0;β>0 em uma reta crescente (aclive), e a A função densidade de probabilidade para um tempo de falha T com distribuição exponencial é dada por , sendo o tempo médio de vida (MTTF), por isso o parâmetro tem a mesma unidade do tempo de vida. Isto é, se o tempo é medido em horas, o valor de representa o tempo médio em horas. Podemos dizer que a taxa de falha aumenta com o tempo. Este é o comportamento esperado, mostrando um efeito gradual de envelhecimento. 3. Sobre modo operacional e modo de falha: a) O que compreende por modo operacional? Modo Operacional ­ São as condições que definem se um determinado sistema ou componente está em funcionamento, sendo de responsabilidade de quem modela ou gerencia o sistema definí­los. Os modos operacional geralmente podem ser representados por RBDs, que são modelos orientados a sucesso, neste caso, o funcionamento do sistema/componente. b) O que diferencia um modo operacional de um modo de falha? Modo de Falha ­ Geralmente podem ser representados por árvores de falha, que são modelos orientados ao insucesso, os modos de falha diferentemente dos modos operacionais, tratam das condições que definem o não funcionamento do sistema ou componente, de maneira total e/ou parcial. c) Qual a sua importância no processo de modelagem da confiabilidade ou da disponibilidade de um sistema? É preciso estabelecer previamente os modos operacionais e de falha de um sistema ou componente, para que então se possa calcular sua confiabilidade e sua disponibilidade, já que ambas as métricas possuem como principal requisito o funcionamento do mesmo. Se não definirmos um modo operacional para um determinado sistema, não será possível calcular a sua confiabilidade, bem como, a sua disponibilidade estacionária, por exemplo. 4. Considere um sistema S que tenha um tempo de falha com função de densidade f TTF (t) = 1e−1t . Sendo 1 = 5 × 10−5 falhas por hora, calcule: Considerando uma distribuição exponencial a. MTTF b. R(t), t=200h c. F(t), t=200h d. H(t), t=200h e. MedTTF 5. Faça um estudo sobre a distribuição exponencial e discuta sua utilidade para o estudo da confiabilidade de sistemas. A distribuição exponencial é uma função de distribuição contínua de probabilidade. Sendo uma das mais presentes quando se discute avaliação e desempenho de sistemas computacionais, entre as suas principais características estão: ● Variáveis aleatórias possuem apenas valores não­negativos; ● Possui ausência de memória (propriedade que possibilita a criação de cadeias de Markov do tipo CTMCs, sendo então uma contraparte da distribuição geométrica, que possibilita a criação de DTMCs); A distribuição exponencial é comumente utilizada na modelagem de tempos de falha e reparo de sistemas e componentes, o que já demonstra também a sua importância quando queremos calcular a disponibilidade de um sistema. Por tratar­se não somente de uma distribuição, mas sim de uma família de distribuições, cada uma das distribuições deste tipo pode ser representada por um parâmetro diferente, suas funções de densidade são descritas abaixo. A propriedade de ausência de memória também pode ser associada ao cálculo da confiabilidade de um sistema ou componente, através da seguinte equação: 6. Faça um estudo sobre a distribuição Weibull e discuta sua utilidade para o estudo da confiabilidade de sistemas. A distribuição de Weibull é uma distribuição bastante utilizada no contexto de confiabilidade de sistemas pelo fato de ter uma característica de versatilidade quanto à representatividade das formas as quais podem ser derivadas de sua função de taxa de falhas (representada pela função de densidade). Nesta conjuntura, a função de densidade, responsável por definir uma distribuição de forma matemática, passa a caracterizar a distribuição de Weibull através da seguinte expressão: f (x) = αγ ( x−μ
α )
(γ−1) −( x−μ )γ
e α , onde γ refere­se ao parâmetro de forma da função, μ
corresponde ao parâmetro de localização e α , ao parâmetro de escala. Uma das particularidades mais relevantes da função de densidade para a distribuição de Weibull é a formação da curva da banheira, expressando a variabilidade dos parâmetros da função de densidade e simbolizando a variação da taxa de falha ao longo do tempo. Este, por sinal, passa a ser compreendido em três fases. Na fase inicial, a taxa de falha é reduzida com o passar do tempo, justificada pela inclinação do gráfico (mortalidade prematura). Em seguida, ocorre uma fase de estabilização (vida útil), onde a taxa de falha permanece constante até o limiar da próxima fase. Na última fase, ocorre a decomposição do sistema pelo seu envelhecimento (desgaste) e desta forma, sua taxa de falha volta a ser alta novamente. 7. Considere um teste de acelerado de falha em que se analisaram 50 dispositivos móveis. O teste só foi concluído quando todos os dispositivos apresentaram defeito. O tempo de ocorrência do defeito ( T T F ) em cada dispositivo móvel foi precisamente registrado. Os dados ( T T F ) estão na planilha ttf1.xlsx. Use uma estratégia não­paramétrica para estimar R(t) , F (t) , f (t) e λ (t) em relação a cada instante registrado na planilha ttf1.xlsx. Primeiramente ordenamos os TTFs utilizando as planilhas do Microsoft Excel. Em seguida, no próprio software, calcularmos R(t) , F (t) , f (t) e λ (t) por meio das seguintes fórmulas: Ȓ = 1 − ni ̂ F = 1− Ȓ ̂ f(ti ) =
1
(ti+1−ti)*(n+1)
̂ λ(ti ) =
1
(ti+1−ti)*(n+1−i)
Onde i é o número de equipamentos que falharam até o momento; n é o total de equipamentos observados; ti é o tempo da falha do equipamento em questão em um dado tempo, e ti+1 é o próximo tempo de falha com relação a um dado tempo. Abaixo os gráficos mostrando os resultados: Os respectivos dados estão descritos na planilha do Microsoft Excel enviada em anexo. 8. Agora assuma que o T T F dos dispositivos móveis do experimento anterior seja adequadamente representado por uma distribuição exponencial. Utilize os dados da planilha ttf1.xlsx para calcular o intervalo de confiança de λ . Adote uma estratégia paramétrica e considere um nível de confiança de 95% Como estamos lidando com uma distribuição exponencial, podemos utilizar o qui­quadrado para estimar o intervalo de confiança para a taxa λ. Para isso, vamos utilizar a seguinte fórmula: ( ƛl , ƛ u ) = (
X2
2n−1, 1− α
2
2S n:r
,
X2
2n−1, α
2
2S n:r
) Onde o limite inferior é a primeira razão no segundo membro e o limite superior é a segunda razão no segundo membro. Sn:r representa o somatório dos tempos de falha, e, como neste caso não houve censuras, Sn:r pode ser obtido por: r
S n:r = ∑ T i i=1
Realizando os cálculos necessários para Sn:r e a função qui­quadrado com intervalo de confiança de 95%, obtivemos: ƛl = 4, 1 * 10−4 ƛu = 7, 17 * 10−4