Fatorial
k
2
Alan Birck
Cecília Martins

Planejamentos Fatoriais são amplamente
utilizados em experimentos envolvendo
vários fatores onde é necessário estudar o
efeito conjunto destes fatores na resposta.

Os que serão abordados nesse trabalho
serão:
22 , 23
e
2k
Fatorial 22

Nesse caso tem-se 2 fatores cada um com
dois níveis, produzindo 4 tratamentos ((1), a,
b e ab).
A
a1
a2
TOTAL
B
b1
(1)
a
(1)+a
TOTAL
b2
b
ab
b+ab
(1) + b
a + ab
Fatorial 22

A estimativa dos efeitos fatoriais (efeitos
médios) é dada por:
1  (a  (1)) (ab  b)  1
A 

  (a  ab)  ((1)  b)

 2r
2
r
r
1  (b  (1)) (ab  a)  1
B 

 (b  ab)  ((1)  a)

2 r
r  2r
1  (ab  b) (a  (1))  1
AxB  

  ((1)  ab)  (a  b)

 2r
2
r
r
Fatorial 22

O quadro de sinais (coeficientes dos
contrastes) para obtenção dos Efeitos é:
Combinação de
Tratamento
(1)
a
b
ab
I
+
+
+
+
Efeito Fatorial
A
B
+
+
+
+
AB
+
+
Fatorial 22

As somas de quadrados dos efeitos fatoriais
são dados por:


a  ab  (1)  b 
SQA 
2
4r


b  ab  (1)  a 
SQB 
2


(1)  ab  a  b 
SQAxB 
4r
2
4r
2
...
Y
SQtotal Y 
4r
ijk
SQE  SQtotal SQA SQB  SQAB
2
ijk
Exemplo de Fatorial 22




Fator A: efeito de concentração do reagente:
níveis de 15% (baixo) e 25% (alto)
Fator B: presença de catalisador: ausência
(baixo) e presença (alto)
Resposta: tempo de reação de um processo
químico
Nº de repetições: 3
Exemplo de Fatorial 22
Repetição
3
2
1
Tratamentos
A baixo, B baixo  (1) 28 25 27
36 32 32
A alto, B baixo  a
18 19 23
A baixo, B alto  b
31 30 29
A alto, B alto  ab

Total=330
Total
80
100
60
90
Exemplo de Fatorial 22
1
50
A
(100  90)  (80  60) 
 8,33

2 ( 3)
6
1
30
B
( 60  90)  (80  100) 
 5,00

2 ( 3)
6
1
10
AxB 
(80  90)  (100  60) 
 1,67

2 ( 3)
6
(50) 2
SQA 
 208,33
4 ( 3)
( 30) 2
SQB 
 75,00
4 ( 3)
(10)2
SQAxB 
 8,33
4(3)
Exemplo de Fatorial 22

SQErro = SQTotal - SQA-SQB-SQAxB =
323,00 - 208,33 - 75,00 - 8,33 = 31,34
SQTotal  Yijk
ijk
2
2
2
Y ...
330
2
2

 28  ...29 

4(3)
4(3)
9398 9075 323
Exemplo de Fatorial 22
Fonte de
Variação
A
B
AB
Erro
Total
Soma de
Quadrados
208.33
75.00
8.33
31.34
323.00
**Significativo a 1%
Graus de
Liberdade
1
1
1
8
11
Quadrado
Médio
208.33
75.00
8.33
3.92
F0
53.15**
19.13**
2.13
Fatorial 23

Nesse caso tem-se 3 fatores cada um com 2
níveis, produzindo 8 tratamentos ((1), a, b, c,
ab, ac, bc e abc).
Fatorial 23

A estimativa dos efeitos fatoriais (efeitos
médios) é dada por:
1  (a  (1)) (ab  b) (ac  c) (abc  bc) 
A 




4 r
r
r
r
1
= a  ab  ac  abc  ((1)  b  c  bc)
4r
1
B
b  ab  bc  abc  (1)  a  c  ac

4r
1
C
c  ac  bc  abc  (1)  a  b  ab

4r
Fatorial 23
1  1  ( ab  b) ( a  (1))  1  abc  bc ( ac  c) 
AB   

 




2 2 
r
r
r
r 
 2
1
=  ab  b  a  (1)  abc  bc  ac  c
4r
1
AC 
(1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc

4r
1
BC 
(1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc

4r
1
ABC 
abc  bc   ac  c   ab  b   a  (1)

4r
1
=  abc  bc  ac  c  ab  b  a  (1)
4r


Fatorial 23
Combinação de
Tratamento
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
I
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
Efeito Fatorial
AB
C
+
+
+
+
+
+
+
+
AC
+
+
+
+
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
Fatorial 23

As somas de quadrados dos efeitos fatoriais
são dadas por:
SQ efeito fatorial =
 contraste
8r
2
Exemplo de Fatorial 23





Fator A: efeito da porcentagem de
gaseificação: 10% e 12%
Fator B: pressão de operação no
enchimento: 25 psi e 25 psi
Fator C: velocidade da esteira: 200 e 250
Resposta: volume de bebida gaseificada
embalada em cada garrafa
Nº de repetições: 2
Exemplo de Fatorial 23
Pressão de Operação (B)
% de
Gaseificação
10
12
25 psi
Velocidade da Esteira (C)
200
250
30 psi
Velocidade da Esteira (C)
200
250
-3
-1
-1
-0
-1
-0
1
1
- 4 = (1)
-1=c
-1=b
2 = bc
0
1
2
1
2
3
6
5
1=a
3 = ac
5 = ab
11 = abc
Exemplo de Fatorial 23

As estimativas dos efeitos médios são:
1
A  a  (1)  ab  b  ac  c  abc  bc
4r
1
1
= 1  (4)  5  (1)  3  (1)  11 2  24  3.00
8
8
1
B  b  ab  bc  abc  (1)  a  c  ac
4r
1
1
  1  5  2  11 (4)  1  (1)  3  18  2.25
8
8
1
C  c  ac  bc  abc  (1)  a  b  ab
4r
1
1
  1  3  2  11 (4)  1  (1)  5  14  1.75
8
8
Exemplo de Fatorial 23
1
ab  a  b  (1)  abc  bc  ac  c
4r
1
1
 5  1  (1)  (4)  11 2  3  (1)  6  0.75
8
8
1
AC  (1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc
4r
1
1
  4  1  (1)  5  (1)  3  2  11  2  0.25
8
8
1
BC  (1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc
4r
1
1
  4  1  (1)  5  (1)  3  2  11  4  0.50
8
8
1
ABC  abc  bc  ac  c  ab  b  a  (1)
4r
1
1
 11 2  3  (1)  5  (1)  1  (4)  4  0.50
8
8
AB 
Exemplo de Fatorial 23

As somas de quadrados dos efeitos Fatoriais
são:
2
(24)
SQA 
 36.00
16
(18) 2
SQB 
 20.25
16
2
(14)
SQC 
 12.25
16
2
(4)
SQABC 
 1.00
16
( 6) 2
SQAB 
 2.25
16
2
(2)
SQAC 
 0.25
16
(4) 2
SQBC 
 1.00
16
SQTotal = 78.50
SQErro = 5.50
Exemplo de Fatorial 23
Fonte de Variação
Percentagem de Gaseificação (A)
Pressão (B)
Velocidade da Esteira (C)
AB
AC
BC
ABC
Erro
Total
** significativo a 1%
Soma de
Quadrados
36.00
20.25
12.25
2.25
0.25
1.00
1.00
5.00
78.00
Graus de
Liberdade
1
1
1
1
1
1
1
8
15
Quadrado
Médio
36.00
20.25
12.25
2.25
0.25
1.00
1.00
0.63
F0
57.14**
32.14**
19.44**
3.57
0.40
1.59
1.59
Fatorial 2k
Os métodos de análise podem ser
generalizados para o caso do fatorial 2k (k
fatores com 2 níveis).
 Assim, o contraste
AB...K = (a ± 1) (b ± 1)...(k ± 1)

Por exemplo o contraste AB no fatorial 23 é
dado por:
(a-1)(b-1)(c+1) = abc+ab+c+(1)-ac-bc-a-b
Fatorial 2k

As somas de quadrados dos efeitos fatoriais
são dados por:
SQ efeito fatorial =
 contraste AB...K
r2
k
2
Fatorial 2k

A tabela de análise de variância tem a
seguinte estrutura geral; supondo o
Delineamento Completamente Casualizado
na aleatorização dos Tratamentos.
CAUSAS DE VARIAÇÃO
K efeitos principais
A
B
.
.
.
K
C2k INTERAÇÕES SIMPLES
AB
AC
.
.
.
JK
C3k INTERAÇÕES TRÍPLICES
ABC
ABD
.
.
.
1 INTERAÇÃO DE K FATORES
ABCD...K
ERRO EXPERIMENTAL
TOTAL
GL
1
1
.
.
.
1
1
1
.
.
.
1
1
1
.
.
.
1
2k(r-1)
r2k - 1
Fatorial 2k com 1 repetição



O nº de tratamentos em um delin. fatorial 2k
aumenta com o número de fatores.
Nesses casos é impossível obter uma
estimativa propriamente dita do erro
experimental.
Para poder testar os efeitos fatoriais
considera-se as interações de ordem elevada
desprezíveis e assume-se que as mesmas
produzem uma estimativa do erro
experimental.
Ex. Fatorial 2k com 1 rep.






Fator A: temperatura: A0; A1
Fator B: pressão: B0; B1
Fator C: concentração de reagente:C0; C1
Fator D: taxa de mistura: D0; D1
Resposta: a influência de fatores (quatro) na
taxa de filtração de um produto químico
Nº de repetições: 1
Ex. Fatorial 2k com 1 rep.
A0
A1
B0
D0
D1
C0
45
43
B1
C1
68
75
C0
48
45
B0
C1
80
70
C0
71
100
B1
C1
60
86
C0
65
104
Vamos assumir que as interações tríplices e
quádrupla são desprezível.
 SQErro=
SQABC+SQABD+SQACD+SQBCD+SQABCD
com 5 GL

C1
65
96
Ex. Fatorial 2k com 1 rep.
Fonte de Variação
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
Erro
Total

Soma de
Quadrados
1870.56
39.06
390.06
855.56
0.06
1314.06
1105.56
22.56
0.56
5.06
127.84
5730.94
Graus de
Liberdade
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
15
Quadrado
Médio
1870.56
39.06
390.06
855.56
0.06
1314.06
1105.56
22.56
0.56
5.06
25.57
ABC, ABD,ACD,BCD,ABCD são as interações
desprezíveis
F0
73.15
1.53
15.25*
33.46**
<1
51.39**
43.24**
<1
<1
<1
Ex. Fatorial 2k com 1 rep.
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
d
ad
bd
abd
cd
acd
bcd
abcd
A
B
AB
C
AC
BC
ABC
D
AD
BD
ABD
CD
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ACD BCD ABCD
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Algoritmo de Yates
Tratamento
Resposta
(1)
(2)
(3)
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
d
ad
bd
abd
cd
acd
bcd
abcd
45
71
48
65
68
60
80
65
43
100
45
104
75
86
70
96
116
113
128
145
143
149
111
166
26
17
-8
- 15
57
59
11
26
229 502
273 619
292 20
327 153
43
14
-23
11
116 -16
37 17
-3
44
17 35
6 -66
5 -79
-9 20
-7 -1
2
2
15 13
(4)
1121
173
25
1
79
-145
19
15
117
133
-3
33
-9
-13
-21
11
estimativa do
efeito
21,23
33,13
0,13
9,88
-18,13
2,38
1,88
14,63
16,63
-0,38
4,13
-4,13
-1,63
-2,63
1,38
SQ
Efeito
1870,5625
39,0625
0,0625
390,0625
1314,0622
22,5625
14,0625
855,5625
1105,5625
0,5625
68,0625
5,0625
10,5625
27,5625
7,5625
A
B
AB
C
AC
BC
ABC
D
AD
BD
ABD
CD
ACD
BCD
ABCD
Algoritmo de Yates




coluna (1): 1a metade soma dos adjacentes
na coluna resposta
2a metade segundo-primeiro na
coluna resposta
coluna (2): idem na coluna (1)
coluna (3): idem na coluna (2)
coluna (4): idem na coluna (3)
Efeito: (4)  r 2  (4)  8

1 23
k-1
SQ: (4)  r 2  (4)  16

4
12
2
k
2
Comentários:

As interações de ordem elevada poderão não
ser desprezíveis. Mas como saber quais são
ou não são desprezíveis?
Uma maneira simples de verificar se os efeitos
são desprezíveis seria plotar as estimativas
dos efeitos em papel de probabilidade
normal. Os efeitos desprezíveis são
normalmente distribuídos e estarão numa
reta num gráfico de probabilidade normal.
Cálculos para construção do gráfico de
Probabilidade Normal
Ordem (j)
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Efeito
A
AD
D
C
ABD
B
BC
ABC
ABCD
AB
CD
BD
ACD
BCD
AC
(Eixo x):Estimativa
21,23
16,63
14,63
9,88
4,13
3,13
2,38
1,88
1,38
0,13
-0,38
-1,13
-1,63
-2,63
-18,13
(Eixo y):(j - .5)/15
.9667
.9000
.8333
.7667
.7000
.6333
.5667
.5000
.4333
.3667
.3000
.2333
.1667
.1000
.0333
Comentários:




Efeitos pequenos  sobre uma reta
Efeitos Grandes  fora da reta
interações tríplices e quádrupla sobre a reta
 desprezíveis
Desde que o efeito de B (pressão) é não sig.
e todas interações que envolvem B são
desprezíveis podemos descartar B do
experimento e analisar como se fosse um
experimento 23 com os fatores A, C e D com
2 repetições.
Assumindo que o fator B é desprezível
C. Variação
A
C
D
AC
AD
CD
ACD
Erro
TOTAL
GL
1
1
1
1
1
1
1
8
15
SQ
1870,56
390,06
855,56
1314,06
1105,56
5,06
10,56
179,52
5730,94
QM
1870,56
390,06
855,56
1314,
1105,56
5,06
10,56
22,44
F
83,36**
17,35**
38,13**
58,56**
49,27**
<1
<1
FIM
(fim da primeira aula)
Adição de pontos centrais ao
k
planejamento 2




Um aspecto importante a ser observado é a suposição da
linearidade em delineamentos 2k. É preciso verificar se podemos
sustentar que o modelo é linear (1ª ordem) ou se há possibilidade
de ser quadrático (2ª ordem).
Quando rodamos um delineamento 2k assumimos antecipadamente
um ajuste linear, entretanto se as variáveis explicativas forem
quantitativas há a possibilidade de esta relação não ser dessa
ordem.
Uma maneira de nos preservarmos quanto à possibilidade de ser
um modelo de segunda ordem é adicionando pontos centrais no
delineamento 2k.
Uma importante razão para adicionarmos pontos centrais é o fato
de eles não impactarem na estimativa dos efeitos em
delineamentos 2k.
Adição de pontos centrais ao
k
planejamento 2
k
y  0    j x j  ij xi x j  
j 1
k
i j
k
y   0    j x j   ij xi x j    ij x 2j 
j 1
i j
nF nC  yF  yC 
SSpurequadra tic 
nF  nC
2
k
H 0 :   ij  0
j 1
k
H 1 :   ij  0
j 1
j 1
Exemplo para Adição de pontos centrais
k
ao planejamento 2



Engenheiro químico está estudando um
processo, com 2 var. de interesse
Ele não tem certeza que a suposição de
linearidade está satisfeita
Decide conduzir um experimento 2k com
uma repetição, aumentando 5 pontos
centrais
Exemplo para Adição de pontos centrais
k
ao planejamento 2
SS E
MSE 

nC  1



2


y

y
 i
centerpo int s
nC  1

2


y

40
,
46
 i
4
0,1720

 0,0430
4
Média dos ptos centrais=40,46
Média dos ptos do delin. Fatorial=40,425
40,425 - 40,46 = -0,035 (pequeno)
Exemplo para Adição de pontos centrais
k
ao planejamento 2
2
nF nC  yF  yC 
SS

purequadra tic
nF  nC

45 0,035

2
SS purequadra tic
45
 0,0027
H 0  11   22  0


A hipótese nula não pode ser rejeitada
Conclusão: o modelo é de 1ª ordem (linear)
Exemplo para Adição de pontos centrais
k
ao planejamento 2
y   0  1 x1   2 x 2  12 x1 x 2  
y  0  1 x1  2 x2  12 x1 x2   x   x  
2
11 1
2
22 2
C.V.
G.L.
Soma dos
quadrados
Quadrado
médio
F0
P-Value
A(tempo)
1
2,4025
2,4025
55,87
0,0017
B(temperatura)
1
0,4225
0,4225
9,83
0,0350
AB
1
0,0025
0,0025
0,06
0,8185
Quadrático
1
0,0027
0,0027
0,06
0,8185
Erro
4
0,1720
0,0430
Total
8
3,0022