Programa de Iniciação a Docência em Matemática
(UEM 2010)- Outubro 9: 1–7.
c
PIBID-MAT
www.dma.uem.br/pibid
Razão e Proporção
Dário Sodré e Dionata Diemis Maeda
Resumo: Neste trabalho apresentamos os conceitos mais fundamentais sobre razão e proporção, demonstramos as
suas principais propriedades e apresentamos algumas sugestões de exercı́cios.
Sumário
1 Razão
1
2 Proporção
2
3 O Número Áureo
3
4 Propriedade das Proporções
4.1 Divisão em partes diretamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
5 Artes e a razão áurea
6
Bibliografia
6
1. Razão
A palavra razão vem do latin ratio que significa divisão. Assim, por razão entendemos a divisão entre duas
grandezas.
Denominamos razão entre dois numeros a e b, (b 6= 0) ao quociente ab . Representamos também por a : b.
A razão a : b ou ab é lida como a está para b. Chamamos o número a de antecedente e b de consequente.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.1
1. Para cada 100 alunos em uma sala de aula, 75 eram alunas.
A razão entre o número de alunas e o número de alunos da sala é:
75 : 100 =
75
3
= .
100
4
Assim, de cada 4 alunos, 3 eram mulheres.
2. Em um concurso foram inscritos 1200 candidatos e deste total passaram apenas 240.
Razão entre o número de candidados que passaram e o total dos candidatos inscritos no concurso é
240 : 1200 =
1
240
= .
1200
5
Assim, a cada 5 candidatos inscritos, apenas 1 foi aprovado.
Definição 1.1 (Razões inversas) Duas razões
à 1.
As razões
a
b
e
c
d
são inversas entre si quando o produto
11
4
11
4
e
são razões inversas, pois
×
= 1.
11
4
11
4
1
Typeset by style.
c Pibid – Mat.
a
b
×
c
d
for igual
2
Razão e Proporção
Definição 1.2 (razões equivalentes) Dizemos que as duas razões
kc
k não nulo tal que ab = kd
.
a
b
e
c
d
são equivalentes, se existe um número
Assim, multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma dada razão por um mesmo número k (diferente
de zero), obtemos uma razão equivalente à razão dada.
Exemplo 1.2 Dado a razão 52 , multiplicando o antecedente e o consequente por 2 obtemos a razão
5
10
2 e 4 são razões equivalentes.
10
4 .
Assim,
Uma razão estabelece uma uma relação entre grandezas que podem ser de mesma espécie ou não. Vejamso
algumas situações.
Calcular a razão entre as alturas de duas crianças, sabendo que a primeira possui altura H1 = 1, 20m e a
H1
1, 20m
1, 2
4
segunda uma altura H2 = 1, 50m. A razão entre as alturas H1 e H2 é dada por
=
=
= .
H2
1, 50m
1, 5
5
Do mesmo modo, a razão entre duas grandezas de espécies diferentes é um quociente. Essa razão deve ser
acompanhada da notação que relaciona as unidades de medidas das grandezas envolvidas.
Exemplo 1.3
João foi de Campinas à São Paulo no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de gasolina. Qual a razão
entre a distância e o combustı́vel consumido? O que significa essa razão?
Como a distância entre São Paulo e Campinas é 88km, temos
km
88km
= 11
8l
l
A razão 11 km é lida como “11 quilômetros por litro”. Essa razão significa que a cada litro gasto o carro
l
percorria em média 11 quilômetros.
Outro exemplo envolvendo grandezas diferentes.
Exemplo 1.4
A cidade de Maringá, de acordo com o censo demográfico de 2009, tem 335.511 habitantes. Sua área é de
487,9km2 . Determine a razão entre o número de habitantes e a área da cidade. A esta razão denominamos de
densidade demográfica. A razão é calculada por
335.511hab.
hab
= 687, 6 2 .
487, 9km2
km
Assim, lemos 687,6 habitantes por quilômetro quadrado e significa que a cada quilômetro quadrado existe
uma média de 687,6 habitantes.
2. Proporção
Chamamos de proporção à igualdade entre duas razões. Se ab = dc ou a : b = c : d, lemos a está para b assim
como c está para d.
Os números a, b, c e d são termos desta proporção, sendo que a e d os extremos desta proporção e c e b
chamados de os meios desta proporção.
a
c
Proposição 2.1 (Propriedade fundamental das proporções) Em uma proporção
= , o produto dos
b
d
a
c
meios é igual ao produto dos extremos. Isto é,se = então a.d = b.c
b
d
Demonstração: A prova desta propriedade é imediata, basta multiplicar a igualdade por bd.
105
7
e 720
formam uma proporção pois o produto dos meios = 48 × 105 = 5040 é igual ao produto
A as razões 48
dos extremos = 7 × 720 = 5040.
3
Razão e Proporção
Definição 2.1 (4a proporcional) Chamamos de a quarta proporcional de três números dados a, b, c, ao número
x que satisfaz
a
c
= .
b
x
Para determinar a 4a Proporcional de 5,10 e 4 , basta resolver a equação
5
4
= .
10
x
De onde obtemos que x = 8.
Definição 2.2 (Proporção contı́nua) Chamamos de proporção contı́nua a toda proporção em que os meios
são elementos iguais. Isto é, são proporções da forma
a
b
= .
b
c
Definição 2.3 (3a proporcional) Chama-se de a terceira proporcional de dois números a, b, ao número x que
satisfaz
b
a
= .
b
x
Note que da igualdade
b
a
= ,
b
x
obtemos que x =
b2
a.
212
Assim, para determinar a terceira proporcional entre os números 7 e 21 basta resolver a equação x =
7
para obter x = 63.
3. O Número Áureo
Uma razão que aparece em diversas situações é a razão áurea. Dizemos que dois números a e b estão em
razão áurea se satisfazem
a+b
a
=
.
b
a
Se a e b são medidas de segmentos, dizemos que os dois segmentos estão em razão áurea se os números a e b
estão em razão áurea.
Figura 1: Segmentos em razão áurea
a+b a
e são iguais, chamaremos a este número comum de φ. Segue de
a
b
a+b
Substituindo em a = φ, obtemos
bφ + b
= φ.
bφ
Como as razões
Simplificando, temos que
φ+1
= φ.
φ
a
b
= φ que a = bφ.
Razão e Proporção
Obtendo como solução os seguintes valores
4
√
1± 5
φ=
.
2
√
1+ 5
Chamamos de razão áurea ou o número de ouro ao valor φ =
.
2
O número de ouro aparece em inúmeras situações na natureza e na matemática. Na Sequência de Fibonacci
an+1
(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...) podemos provar que lim
= φ.
n→∞ an
No pentagrama regular encontramos a razão áurea em diversos segmentos, um deles está exemplificado
abaixo.
Figura 2: Pentagrama
Podemos encontrar razão áurea em diversas áreas das nossas vidas. Em geral, encontramos esta razão
relacionada com estética, beleza e equilı́brio.
A seguir mostraremos a razão áurea, em particular o retângulo áureo. Chamamos de retângulo áureo aquele
onde a razão entre o lado maior a e o lado menor b é igual a φ. No exemplo temos que ab = φ.
4. Propriedade das Proporções
Nesta seção vamos demonstrar algumas das principais propriedades das proporções.
Propriedade 1 Se
a
c
a+b
c+d
= então
=
.
b
d
b
d
Isto é, a soma dos dois primeiros termos está para o 2o termo, assim como a soma dos dois últimos está para
o4 .
a
c
A demonstração desta igualdade é imediata, basta somar 1 a ambos os lados da proporção = .
b
d
o
Propriedade 2 Se
a
c
a−b
c−d
= então
=
.
b
d
b
d
Isto é, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2o termo, assim como a diferença dos dois últimos
está para o 4o .
c
a
A demonstração desta igualdade é imediata, basta subtrair 1 a ambos os lados da proporção = .
b
d
Propriedade 3 Se
c
a
a+c
a
= então =
.
b
d
b
b+d
5
Razão e Proporção
Figura 3: Retângulo áureo
a
c
=
então ad = bc. Somando o termo ab a ambos os lados, obtemos ad + ab = bc + ab.
b
d
Reescrevendo, temos a(b + d) = b(a + c) e portanto,
De fato, como
a
a+c
=
.
b
b+d
Analogamente, somando o termo cd a ambos os lados de ad = bc, obtemos
a+c
c
= .
b+d
d
Isto é, em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada
antecedente está para seu consequente. Resumindo, temos
a
c
a+c
= =
.
b
d
b+d
Este resultado pode ser facilmente estendido para um número finito de razões iguais entre si.
De fato,
a2
an
a1
=
= ··· =
b1
b2
bn
então vale
a2
an
a1 + a2 + . . . + a n
a1
=
= ··· =
=
.
b1
b2
bn
b1 + b2 + . . . + b n
Propriedade 4 Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim
como cada antecedente está para seu consequente.
A prova é análoga à propriedade 3.
Propriedade 5 Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como
o quadrado de cada antecedente está para o quadrado do seu consequente.
c
a
Considere a proporção = . Segue que ad = bc, multiplicando ambos os lados por ab, o btemos (ad)(ab) =
b
d
(bc)(ab). Reagrupaondo, obtemos (ac)b2 = (bc)a2 que pode ser escrito na seguinte proporção
a2
ac
= 2.
bc
b
Razão e Proporção
6
4.1. Divisão em partes diretamente proporcionais. Como primeiro exemplo, vamos apresentar o seguinte
problema. Decompor o número 200 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 6.
Para a solução deste problema, vamos usar a propriedade 3.
a
b
a
b
a+b
200
De fato, como = segue que = =
=
= 20. Logo, a = 80 e b = 120.
4
6
4
6
4+6
10
O mesmo procedimento pode ser aplicado para a igualdade entre muitas razões. Como segundo exemplo,
consideremos o seguinte problema. Decompor o número 200 em três partes a, b e c diretamente proporcionais a
4 e 6 e 10.
Para a solução deste problema, vamos usar a propriedade 3. Veja 3.
a
b
c
a
b
c
a+b+c
200
De fato, como
=
=
segue que
=
=
=
=
= 10. Logo, a = 40, b = 60 e
4
6
10
4
6
10
4 + 6 + 10
20
c = 100.
5. Artes e a razão áurea
Talvez o exemplo mais conhecido da razão áurea é o Homem Vitruviano, desenho de 1492, feito por Leonardo
Da Vinci, no qual expõe o traçado e a razão áurea no corpo humano.
Figura 4: Homem Vitruviano, de Leonardo Da Vinci
No conceito da “Divina proporção”, expresso em obras do renascentista, há a busca e definição das partes
corporais do ser humano.Entende-se que a “Divina proporção” teve uma das suas origens na Grécia Antiga,
onde se conhecia os quatros sólidos geométricos perfeitos: “tetraedro”,“hexaedro”, “octaedro” e “icosaedro”,
associados aos quatros elementos da natureza.
Agradecimentos
Agradecimentos especiais à profa. Alexandra Abdala e ao prof. Doherty Andrade pelas inúmeras sugestões.
Referências
1. Dante, Matemática: Contexto e Aplicação, volume único, editora ática.
2. Mário Livio, Razão Áurea, A história de FI, editora Record.
3. http://www.infoescola.com/desenho/o-homem-vitruviano/
4. Walter Spinelli/Maria Helena Souza, Matemática 6a Série, editora ática