08. SIMULANDO MODELOS QUANTITATIVOS
OBJETIVOS:
1. Escrever uma equação para a variação da quantidade, em um
tanque de depósito onde existe uma drenagem;
2. Usando uma tabela, calcular a quantidade e fluxo por hora,
plotando os resultados em um gráfico de quantidade versus tempo,
explicando como estes cálculos são capazes de simular processos
representados por modelos;
3. Representar a simulação com um fluxograma;
4. Escrever um programa em linguagem BASIC que faça a mesma
simulação em um computador;
5. Preparar um modelo de produção-consumo, fazer uma
simulação e comparar com a simulação do computador.
08. SIMULANDO MODELOS QUANTITATIVOS
Neste capítulo se introduzirá nas técnicas para simulação
de modelos quantitativos de sistemas.
Primeiro, usando um modelo de tanque com água, serão
feitos os cálculos a mão e será preparada uma tabela e
um gráfico com as mudanças em quantidade de água
armazenada em um tanque versus o tempo.
Aqueles que dispõem de um computador poderão fazer
os cálculos nele ("rodar o programa“).
8.1 INTRODUÇÃO.
Os diagramas de energia são uma maneira de visualizar o
comportamento os sistemas. Seis modelos de sistemas com
diferentes tipos de fontes de energia e depósito foram
introduzidos nos capítulos 6 e 7.
Logo após a leitura do capítulo e seus exercícios, estará
apto para fazer gráficos de como cada ecossistema
responde em função do tempo.
A linguagem simbólica de energia se tornará muito mais
compreensível, sobretudo quando se usar números reais
para mostrar o comportamento do sistema.
8.1 INTRODUÇÃO.
A linguagem de diagramas de energia, que temos estado
utilizando, são expressões matemáticas. Com ele temos
representado os processos e suas relações.
Eles se converterão em expressões matemáticas quando
colocaremos números nos símbolos de processo, depósito
e nas razões de fluxo, em cada trajetória de energia.
Se fizermos isto, teremos uma linguagem próxima a
aquela que os computadores conseguem compreender.
8.1 INTRODUÇÃO.
Se tiver acesso a um computador, poderá fazer exercícios
de simulação desta seção usando a máquina.
Se você tem um acesso restringido, pode obter uma
demonstração de simulação de computador usando os
programas do Capítulo 8.
Se não tem acesso a um computador, não se preocupe,
poderá fazer os cálculos manualmente.
8.2 Coeficientes para parâmetros simples.
Para representar quantitativamente o que está sucedendo em um
modelo, a qualquer hora, se escreve números sobre diagramas. As
razões de fluxo se escrevem sobre parâmetros de linhas e
quantidades em depósito se escrevem nos símbolos de depósito.
Imagine um tanque contendo 20 litros (20 l) de água. Uma
mangueira drena 10% do fluxo de água restante por hora. Durante as
primeiras horas, o tanque drenará 2 l de água. Os diagramas para
quantidade de energia destes sistemas são assim:
Figura 8.1 Modelo de tanque de drenagem.
Vazão de saída proporcional ao estoque
8.2 Coeficientes para parâmetros simples.
Este diagrama descreve quantitativamente o sistema
durante a primeira hora.
Não obstante, ao início da segunda hora, as coisas
mudam; a quantidade de água restante no tanque é
agora 18 l e a razão de fluxo de saída é 10% deste, ou
seja 1.8 l/h.
Como a cada hora que passa, mais água corre, e os
valores diminuem.
8.2 Coeficientes para parâmetros simples.
Devemos encontrar uma equação para estes cálculos:
•
Primeiro, representamos a quantidade de água em depósito com
Q (e admitimos que Q mudará com o tempo).
•
Segundo, descrevemos o fluxo como um coeficiente de
parâmetro, chamado k, que indica a fração de água restante
drenada por hora. Quanto maior o diâmetro da mangueira,
maior é o coeficiente. Neste exemplo o coeficiente de
parâmetro é 0.1 (ou 10%).
8.2 Coeficientes para parâmetros simples.
Note que:
Fluxo = coeficiente de fluxo x quantidade no depósito
Fluxo= k x Q,
onde
Coeficiente de fluxo = fração decimal do fluxo de depósito
por unidade de tempo.
O modelo para o tanque com drenagem seria assim:
Figura 8.2 Modelo de tanque mostrando Q e kQ,
sendo k = 0.1.
8.3 SIMULAÇÃO MANUAL.
Tabela 8.1 Cálculos do fluxo do depósito por hora.
Tempo
(horas)
Quantidade Q
(litros)
Taxa de saída
(litros/hora)
0
20
2
1
18
1.8
2
16.20
1.62
3
14.58
1.46
4
13.12
1.31
5
11.81
1.18
8.3 SIMULAÇÃO MANUAL.
Vamos examinar os cálculos que foram feitos para
formar a Tabela 8.1. O processo se calculou repetindo
uma série de subtrações, passo a passo, do depósito.
O processo de fazer cálculos repetidos como este se
chama interação. O processo nas Figuras 8.1 e 8.2
poderia ser exposto como segue:
A quantidade, a um intervalo de tempo próximo, é a
quantidade no momento presente, menos o fluxo:
(novo Q) = (anterior Q) - (k x Q)
8.3 SIMULAÇÃO MANUAL.
Em outras palavras, a equação diz:
“O novo Q igualará ao anterior Q menos k vezes o
anterior Q.”
Vamos escrever esta equação da forma como
aparece na tela de um computador, onde:
* significa multiplicação,
= significa "será igual".
Q=Q-k*Q
8.3 SIMULAÇÃO MANUAL.
No modelo do tanque com drenagem (Figura 8.1) o valor inicial
para Q é 20 lt e k = 0.1 por hora. Na tabela 8.1 o início é indicado
pela primeira linha, quando o tempo é 0, e Q é 20 l.
1.Para a primeira hora:
Fluxo de saída = K*Q
= 0.1/h * 20 lt
= 2 l/h (2 litros por hora)
Ao final da primeira hora a água no depósito se calcula pela
subtração do fluxo por hora:
Novo depósito = depósito anterior - fluxo
= 20 l - 2 l = 18 l
8.3 SIMULAÇÃO MANUAL.
2.Para a segunda hora:
Fluxo de saída = k*Q
= 0.1 l/h * 18 l
= 1.8 l/h
Ao final da segunda hora:
Novo depósito = depósito anterior- fluxo
= 18 l - 1.8 l
= 16.2 lt
A Tabela 8.1 mostra os cálculos para as primeiras cinco horas. Se
estendemos esta tabela para 20 horas e se plotamos os pontos
sobre o gráfico se obteria a seguinte figura:
Figura 8.3
Gráfico da quantidade em depósito (Q) versus tempo, como foi
calculado na Tabela 8.1, simulando o modelo da Figura 8.2.
8.4 DIAGRAMA DE FLUXO.
Quando uma série de cálculos são feitos uma e outra vez, podese escrever os passos do procedimento de cálculo, como um
diagrama de fluxo.
A Figura 8.4 é o diagrama de fluxo para os cálculos que são
feitos na Tabela 8.1.
Lendo desde o início até o fim, é necessário fornecer os números
iniciais; transladar os valores sobre um gráfico, calcular os
valores depois do intervalo de tempo, retornar, graficar e
calcular novamente, assim sucessivamente até chegar a 20
horas.
8.4 DIAGRAMA DE FLUXO.
A lista de passos, no procedimento, é chamado
programa.
O gráfico de fluxo (Figura 8.4) é uma maneira de
escrever um programa.
Escreve-se uma lista de instruções para um
computador, conhecido como programa de
computador.
Figura 8.4
Fluxograma para
simular o modelo da
Figura 8.2 e
calcular os valores
da tabela 8.1
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
Para fazer que um computador realize cálculos,
devemos dar uma lista de instruções na
linguagem na qual ele esteja programado para
responder.
As palavras e símbolos que necessitamos usar
para instruir um computador, estão na Tabela
8.2. Eles são parte da linguagem BASIC.
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
As instruções necessárias se dão na Tabela 8.3, estas se
numeram: 10, 20, 30, etc.
Depois de que o programa tenha sido digitado e esteja
armazenado na memória
de trabalho e na tela, digite RUN e o computador
seguirá a lista de instruções até que os cálculos estejam
completos.
Os números calculados a mão na Tabela 8.1 serão
listados na tela. Para que o programa apareça na tela,
digite LIST. Para salvar o programa em um disquete,
digite SAVE e o nome do programa.
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
Tabela 8.2. Algumas instruções em linguagem
Comando
O que faz
run
Roda o programa, listando as instruções em ordem
numérica
go to
Vai à instrução designada pelo número e o executa
no texto
if
Dá uma instrução para realizar alguma coisa, como
ir a outra linha ( ex: IF T é menor que 20, GO TO )
print
Mostra na tela o valor numérico das quantidades
que se listaram depois do comando PRINT
pset
Mostra na tela um ponto relativo aos novos valores
das variáveis
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
Tabela 8.2. Algumas instruções em linguagem
Comando
end
=
+
*
/
>
<
O que faz
Detém o programa
Dispõe uma parte igual para o que é especificada
Adiciona a próxima quantidade
Multiplica a próxima quantidade
Divide entre a próxima quantidade
Menor que
Maior que
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
Se o computador é compatível com IBM-PC,
imprima o programa teclando LLIST.
Para imprimir os cálculos,
tecle CTRL PRTSC e então RUN.
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
O que segue, é uma explicação das instruções no
programa (Tabela 8.3 e Figura 8.2).
Primeiro, dissemos ao computador o tamanho das
quantidades com as que se trabalharam ao princípio.
Assim, teremos (na Tabela 8.3):
10 Q = 20 (quantidade em depósito = 20).
20 k = 0.1 (coeficiente de parâmetro = 0.1).
30 T = 0 (tempo = 0).
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
Logo diremos ao computador que imprima estes
números:
40 PRINT T, Q, k*Q
A seguir, diremos ao computador o que fazer com estes
números:
50 Q = Q - k*Q
o qual significa, "novo Q é igual ao anterior Q menos k
multiplicado pelo anterior Q".
(Note: * significa multiplicar, para evitar confusão
sobre o significado de x).
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
Havendo feito isto, diremos ao computador para
avançar no tempo uma unidade:
60 T = T + 1
e então, se T é menor de que 20, repetirá as instruções
40, 50 e 60:
70 IF T < 20 GO TO 40
O computador repete os cálculos para cada novo
intervalo de tempo, imprime os resultados e avança o
tempo até chegar a T = 20. Neste ponto, quando chega
à instrução 70, não volta a 40, em lugar disto, vai à
linha 80 a qual diz:
80 END
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
A seqüência inteira dos cálculos leva poucos segundos;
os resultados são listados na tela em forma de tabela.
Agora pode simular a mão.
Tabela 8.3. Programa em BASIC para uma simulação de modelo
na Figura 8.1.
10 Q = 20
20 K = .1
30 T = 20
40 PRINT T, Q, K*Q
50 Q = Q – K*Q
60 T = T + 1
70 IF T < 20 GO TO 40
80 END
8.5 SIMULAÇÃO POR COMPUTADOR.
Para pôr o computador em modo gráfico e mudar a cor
do fundo para branco, é necessário outra instrução:
Em IBM PC as instruções são:
SCREEN 1,0: COLOR 0,0
e
PSET (T/0.07, 180-Q/200) , 3
A curva na Figura 8.3 mostra que a taxa de fluxo
diminui proporcionalmente à diminuição da pressão de
água no tanque. Um programa similar está no Apêndice
Tabela A.8.
8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.
Se puder trabalhar na simulação do tanque com drenagem sem
dificuldade, está pronto para um modelo mais complexo.
Figura 8.5 – Diagrama de ecossistema
8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.
Este modelo representa qualquer ecossistema.
Mostra que, a luz solar que chega aos produtores, é
capturada durante a fotossíntese e se armazena
como biomassa até ser consumida por tecidos
animais ou tecidos vegetais durante a noite.
Agora vamos adicionar alguns dados.
8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.
A incidência da luz do sol varia durante o ano, pode prover
as seguintes quantidades de energia:
Ano
Estação
Luz Solar
(E3 J/m²/estação)
1
Inverno
5.000
1
Primavera
10.000
1
Verão
15.000
1
Outono
10.000
8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.
Se as plantas capturam e armazenam 1% da energia solar disponível
(k1 = 0.001), e se os animais consomem 20% da energia total
armazenada nos tecidos das plantas (k2 = 0.2), então o modelo
quantitativo se parece à Figura 8.6.
Diagrama de ecossistema com coeficientes de parâmetros.
8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA
A simulação manual do sistema poderia
começar com Q=0.1.
Faça os cálculos em cada linha de esquerda a
direita, para ver se pode reproduzir os números
da Tabela 8.4.
Trabalhe com duas casas decimais.
8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA
Tabela 8.4. Cálculos para simulação manual do diagrama na
Figura 8.6. As unidades são E3 joules/m2/estação.
Vegetal
P=
0.001*S
Quantidade de
Consumo Animal matéria vegetal
C=0.2*(anterior
Novo Q= anterior
Q)
Q+P-C
Ano
Estação
Luz
Solar
S
0
Começo
-
-
-
0.1
1
Inverno
Primavera
Verão
Outono
5.000
10.000
15.000
.
5
10
15
.
0.2*0.1=0.02
0.2*5.1=1
0.214=2.8
.
0.1+5-0.02=5.1
5+10-1=14
14+15-2.8=26
.
Inverno
Primavera
Etc...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.
Continue os cálculos em outra folha de papel até
obter dados de cinco anos.
Grafique os valores para luz solar e quantidade de
matéria vegetal sobre a Figura 8.7, continuando o
gráfico iniciado acima.
8.6 UMA SIMULAÇÃO MAIS COMPLEXA.
Figura 8.7 Gráfico da simulação do modelo do sistema P-R versus tempo.
8.7 COMPUTADOR PARA SIMULAÇÃO DE
PRODUÇÃO E MODELO DE CONSUMO
O modelo na Figura 8.5, que foi "simulado
manualmente" na Figura 8.7 e que pode ser
escrito para simulações em computador como
se mostra na Tabela 8.5.
Os programas para este e outros modelos estão
listados no Apêndice A.
8.7 SIMULAÇÃO DE PRODUÇÃO E CONSUMO
Tabela 8.5. Programa de computador em BASIC para o modelo P-R na Figura
8.6. (resultados multiplicados por 1000.)
10 Q = 0.1
90 N = N + 1
20 K1 = 0.001
100 IF N=5 THEN N=1
30 K2 = 0.02
110 PRINT T, S, P, C, Q
40 N = 1
120 P = K1*S
50 IF N=1THEN S=5.000
130 C = K2*Q
60 IF N=2 THEN S=10.000
140 Q = Q + P – C
70 IF N=3 THEN S=15.000
150 T = T + 1
80 IF N=4 THEN S=10.000
200 IF T>20 GO TO 50
8.7 COMPUTADOR PARA SIMULAÇÃO DE
PRODUÇÃO E MODELO DE CONSUMO
Para o IBM PC, as mudanças seriam:
5 SCREEN 1,0: COLOR 0,0
6 LINE (0,0)-(320,180),1,B
110 PSET (T/.07, 50-S/350)
115 PSET (T/.07, 180-Q/.5)
200 IF T/.07<320 GO TO 50
8.7 COMPUTADOR PARA SIMULAÇÃO DE
PRODUÇÃO E MODELO DE CONSUMO
Para imprimir o gráfico na folha de papel, no
IBM PC pressione a tecla SHIFT com a tecla
PRINT SCREEN (PrtSc).
8.8 DISCUSSÃO.
O anterior gráfico de quantidade, mostra o
crescimento e o estado estacionário como no Modelo 3
(Figura 6.3). O sol é uma fonte renovável fixa com
fluxo constante.
Em conseqüência, a produção de material vegetal
aumenta rapidamente ao princípio, mas desde que o
consumo animal é uma porcentagem fixa de material
vegetal disponível, os consumidores começam a
aumentar rapidamente até que a produção e consumo
são iguais.
8.8 DISCUSSÃO.
O crescimento não é uniforme por causa das variações
da luz solar e o pico de crescimento vegetal está depois
do pico de luz solar porque há um atraso na formação do
depósito da energia (armazenamento).
Um exemplo deste tipo de crescimento é a sucessão
ecológica. O crescimento rápido de plantas em um
campo aberto muda a um crescimento líquido mais lento
de arbustos e logo árvores, e culmina em um estado
estacionário onde árvores e outros produtores estão em
balanço com os consumidores.
8.9 Perguntas e atividades para o capítulo 8
1. Defina os seguintes termos:
a. simulação
b. quantitativo
c. coeficiente
d. programa
e. interação
f. equação diferencial
g. BASIC
2. Faça o diagrama de uma descrição quantitativa de um
tanque de depósito mostrando depósito e fluxos.
8.9 Perguntas e atividades para o capítulo 8
3. Calcule os coeficientes de parâmetro de seu tanque
de depósito, se a quantidade armazenada é 100
litros e o primeiro fluxo é de 5 litros/hora.
4. Usando Tabela 8.1 como guia, faça uma lista dos
dados da pergunta #3 em forma de tabela, esta
será estendida para um mínimo de 15 horas.
5. Use seus dados do #4 para graficar quantidade (Q)
versus tempo (T) sobre eixos cartesianos.
8.9 Perguntas e atividades para o capítulo 8
6. Grafique os valores para luz solar e quantidade de
matéria vegetal na Figura 8.7, continuando o
gráfico já começado.
7. Explique porque o gráfico que completou na Figura
8.7 é semelhante a um gráfico de sucessão
ecológica.
8. Como provavelmente você sabe, há muito mais
sobre programação de computadores em
linguagem BASIC, mas você conhece o suficiente
para simular os Modelos nos Capítulos 6 e 7.
Tente então.