Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB14
2005/2006
Problema 6 – O Professor Gonçalo
O Professor Gonçalo é uma daquelas pessoas que anda sempre à procura de
relações entre os números.
Um certo dia, descobriu que o número da sua casa
e das casas das suas duas amigas eram três
números primos consecutivos que multiplicados
entre si davam o seu número de telefone.
O número de telefone do Professor Gonçalo tem 6
dígitos e começa por 3.
Qual é o número de telefone do Professor Gonçalo?
E qual é o número da sua porta?
RESOLUÇÃO
Este problema, que fala de um certo Professor Gonçalo, deve ter agradado especialmente a
um dos nossos “atletas” chamado Gonçalo Palma, da EB 2,3 D. Jorge de Lencastre (Beja)…
O Gonçalo Palma começa por resumir os dados do problema de uma forma muito pronta: 3
casas, 3 números primos consecutivos, 6 dígitos e o primeiro é 3. De seguida, explica que foi à
procura de números primos e que foi fazendo multiplicações até chegar ao resultado. Portanto,
usou o método de tentativa e erro, como fizeram muitos dos alunos que responderam
acertadamente ao problema.
Houve outros alunos que usaram um método mais dirigido e que, provavelmente, pouparam
tempo e esforços nas suas pesquisas. Começaram por identificar os números primos inferiores
a 100, organizando-os numa tabela, por exemplo.
Antes de mais, há que recordar que um número é primo quando admite somente dois divisores:
o próprio número e o 1. Depois, é necessário encontrar uma forma de evidenciar os sucessivos
números primos. O Sérgio Romualdo, da EB 2,3 João da Rosa (Olhão) foi um dos alunos que
sugeriu o crivo de Eratóstenes. Numa lista de números de 1 a 100, vamos eliminando, primeiro
o 1, e depois os múltiplos de 2 maiores do que 2, os múltiplos de 3 maiores do que 3, os
múltiplos de 5 maiores do que 5 e os múltiplos de 7 maiores do que 7. Eis o resultado que se
obtém, tal como apresentou a Catarina Cabrita da EB 2,3 Jacinto Correia (Lagoa):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
A seguir, precisamos de encontrar os 3 primos consecutivos cujo produto é um número com
seis dígitos começado por 3. Aqui, podemos começar a fazer experiências… É certo que se
pode usar um método exaustivo, ou seja, efectuar todos os produtos de três primos
consecutivos até chegarmos ao resultado pretendido. Nesse caso, uma calculadora ajudará. A
Nídia Silva, da EB 2,3 de Cercal do Alentejo testou todas as hipóteses! Concluiu que os três
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números primos procurados só poderiam ser o 67, o 71 e o 73. Então, o número de telefone
será 347261. Este processo não está errado mas é demorado e dá algum trabalho.
A outra forma de chegar à mesma resposta, de forma mais económica, é tentar encontrar um
atalho. Isto significa que podemos pensar um pouco mais sobre as condições do problema e
com isso tentar concentrar as tentativas num conjunto de números mais pequeno.
Foi o que alguns “atletas” conseguiram quando se esforçaram por restringir as hipóteses a
testar, tendo em conta as condições dadas para o número de telefone do Professor Gonçalo.
Assim pensaram o Ivo Ferreira, da EB 2,3 Dr. Manuel de Brito Camacho (Aljustrel) e a Joana
Lopes, da EBI Francisco Ornelas da Câmara (Praia da Vitória). Ambos esqueceram, por uns
momentos, a questão dos números primos. O Ivo verificou que 503=125000, 603=216000,
703=343000, 803=512000. Com isto, ele ficou em condições de afirmar que os números das
casas vão estar compreendidos entre 60 e 80 porque o produto desses números fica
compreendido entre 216000 (primeiro algarismo inferior a 3) e 512000 (primeiro algarismo
superior a 3). Desta forma, as buscas ficam reduzidas aos números primos: 61, 67, 71, 73, 79.
A Liliana Fernandes, da EB 2,3 D. Manuel I (Tavira) também resolveu começar no meio da
tabela de números primos, afirmando que seria aconselhável começar por um número primo
próximo de 50, uma vez que o produto pretendido é um “número grande” da seguinte forma:
3 _ _ _ _ _ . Então, fazendo o produto de 53 por 59 e por 61, percebeu que o resultado
(190747) era um número ainda muito pequeno e foi “dando saltos” até chegar à solução.
Por último, o grupo formado pelos alunos Yuri Wentink, Filipe Raimundo e Joaquim
Laranjinha, da EB 2,3 Eng. Nuno Mergulhão (Portimão) encontrou um outro processo de
resolver o problema. Foram ver quais os números primos que elevados ao cubo davam um
número começado por 3 e com seis algarismos. Esses números são o 67, o 71 e o 73. Claro
que só podem ser estes os três números primos consecutivos que multiplicados entre si dão o
número de telefone do Professor Gonçalo.
Uma vez encontrados os três números primos consecutivos que permitiam saber qual era o
número de telefone, estavam conhecidos os números das casas do Professor Gonçalo e das
suas duas amigas. Como saber o número da porta da respectiva casa? Temos três números e
três casas mas não temos indicações adicionais sobre a posição relativa das casas. Como
responderam muitos dos “atletas”, não podemos saber ao certo. O número da porta do
Professor Gonçalo poderá ser o 67, o 71 ou o 73. Esta é uma questão para a qual não é
possível dar uma resposta conclusiva. A Sofia Cruz da EB 2,3 Dr. António Francisco Colaço
(Castro Verde) transmitiu essa ideia de forma clara: “como não se refere se o número da porta
do Professor Gonçalo é o primeiro ou o segundo ou o último, não consigo saber qual deles é o
seu!”.
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Embora não se encontrem no enunciado do problema indicações exactas sobre qual das casas
é a do Professor Gonçalo, obtivemos respostas em que houve uma tentativa de achar uma
pista na forma como era apresentado o problema. Diz-se, com efeito, que o número da casa do
Professor Gonçalo e das casas das suas duas amigas são três números primos consecutivos…
Ora, poderia interpretar-se que as três casas se dispõem pela ordem em que são referidas: a
casa do Professor Gonçalo em primeiro lugar e as casas das amigas depois. Vários alunos
acharam razoável supor que a casa do Professor Gonçalo terá o nº 67. Concordamos com esta
suposição. Faz sentido, mas apenas como suposição.
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