CUFSA - FAFIL
Números Complexos
Um pouco de História:
(Resumo Teórico)
Já no início do Século Dezesseis, os Matemáticos concordavam com a afirmação de que
“Não existe
raiz quadrada de um número negativo, pois um número negativo não é quadrado de nenhum número”.
Desta
forma uma equação do tipo x2 + 4x +5 =0, não admite solução, pois o Discriminante é –4 e √-4
não existe no conjunto dos números Reais.
Entretanto em 1545, o matemático Cardano apresentou o seguinte problema: “Dividir o número 10 em duas
partes, de modo que seu produto seja igual a 40”. Trata-se de um problema que quando equacionado resulta na
procura da solução de uma equação de segundo grau. Chamando os números em que dividimos o número 10
de x1 e x2 teremos o sistema:
x1 + x2 = 10
x1 • x2 = 40
A solução do sistema recai na solução da Equação x2 - 10x +40 =0,
cujas soluções são x1 = 5 + √ -15 e x2 = 5 - √ -15 .
Embora saibamos que não existe raiz negativa de número real, se verificarmos se realmente
estes números são as soluções do problema concluímos que de fato estes são os números
procurados pois:
Soma: (5 + √ -15) + ( 5 - √ -15) = 5 + √ -15 + 5 - √ -15 = 10 e
Produto: (5 + √ -15) • ( 5 - √ -15) = 25 -5 •√ -15 + 5 •√ -15 - √ -15 • √ -15 = 25 –(√ -15) 2 =
= 25 – (-15) = 40. Desta forma Cardano mostrou que os números procurados de fato existem.
Nos séculos seguintes continuaram aparecendo raízes quadradas de números negativos e não só
nas equações. Esses números quando manipulados de acordo com as regras usuais da Álgebra,
levavam os matemáticos a resultados corretos que, as vezes, não podiam ser obtidos de outra
maneira e por isso eram chamados de números “místicos”, “impossíveis”, “fictícios”, ou
"imaginários”, este último nome em uso até hoje.
Os números deste tipo podem ser escritos na forma de( a+b√-1 ), onde a e b são números reais.
Até uma determinada época estas operações eram apenas jogo de símbolos pois √-1 não é real.
Em 1831 o Gauss deu uma interpretação geométrica para esses símbolos e os chamou, pela
primeira vez, de “Números Complexos”. A teoria de Gauss consistia em considerar os números
a e b do símbolo ( a+b√-1 ), como coordenadas cartesianas de um ponto do plano e associar
este símbolo a cada ponto do plano cartesiano e vice-versa.
Introdução aos Números Complexos:
A forma idealizada por Gauss, pode ser melhor operacionalizada quando adotamos para o símbolo
√-1 a convenção de chamá-lo de “Unidade Imaginária” e representá-lo por “ ί ”.
Com essa convenção as operações da adição e Multiplicação ficam como mostradas a seguir:
Adição: (a+bί) + ( c+dί) = (a+c) + (b+d)ί , com a,b,c,d ∈ IR.
Multiplicação: (a+bί) • ( c+dί) = (ac−bd) + (ad+bc)ί , com a,b,c,d ∈ IR.
Exemplificando: (3+2ί) + ( 5−8ί) = (3+5) + (2−8)ί = (8 −6ί).
(3+2ί) • ( 5−8ί) = [3•5−2•(−8)] + [3•(−8)+2•5]ί = (15+16) + (−24+10)ί = (31 −14ί).
Lembramos que o significado correto do que convencionamos é quando substituímos a notação
criada por Gauss ί por √−1 , ou ί2 por −1.
Gauss também usou a simplificação do símbolo (a+bί) pelo par ordenado de reais (a,b). Desta forma
as operações de Adição e Multiplicação definidas como adição e multiplicação de pares ordenados,
assim:
Adição:
(a,b) + (c,d) = (a+c , b+d).
Multiplicação: (a,b) • (c,d) = [(ac−bd) , (ad+bc)].
Definição dos Números Complexos:
O conjunto dos pares ordenados de números reais (IR2), com as operações de Adição e Multiplicação
definidas por (a,b) + (c,d) = (a+c , b+d) e (a,b) • (c,d) = [(ac−bd) , (ad+bc)], é definido como
“Conjunto dos Números Complexos” e indicado pela letra C.
Igualdade de Números Complexos: Dois números Complexos (a,b) e (c,d) são iguais quando e,
somente quando a=c e b=d, ou seja
(a,b) =(c,d) ⇔ a=c e b=d .
Geralmente utilizamos as letras u,v,w,x e principalmente z para notar o complexo (a+b ί) =(a,b).
assim: z = (a+b ί) =(a,b) .
Propriedades das Operações de Adição e Multiplicação em C.
Considerando os números complexos u, z e w:
1. Comutativa:
u+z = z+u;
u•z = z•u;
2. Associativa;
(u+z)+w = u+(z+w);
(u•z) •w = u• (z•w);
3. Elemento Neutro:
∃ z0 ∈ C / z+z0 = z0+z = z, (z0 = (0,0), para ∀ z∈C;
∃ z1 ∈ C / z•z1 = z1•z = z, (z1 = (1,0), para ∀ z∈C;
4. Elemento Oposto :
Elemento Inverso :
∃ zʹ ∈ C / z+zʹ = zʹ+z = z0, (z0 = (0,0), para ∀ z∈C;
∃ zʹ ∈ C / z•zʹ = zʹ•z = z1, (z1 = (1,0), para ∀ z≠(0,0)∈C;
5. Distributiva:
z•(u+w) = z•u + z•w, para ∀ z, u, w ∈C.
Forma Algébrica dos Números Complexos:
Os Números Complexos da forma (a,0), se comportam como Números Reais, assim podemos
identificar o complexo (a,0) e o Real a: a= (a,0), para ∀ a∈ IR .
Desta forma, observamos que o Conjunto dos Números Reais é um Subconjunto dos Números
Complexos (IR ⊂ C ), assim por exemplo (2,0)=0, (-5,0) = -5, (1,0) =1, (0,0) =0 etc.
Considerando o complexo z=(a,b), podemos escrever que (a,b) = (a,0) + (0,b), como (a,0) = a e
(0,b) = (b,0) • (0,1), então (a,b) = (a,0) + (b,0) • (0,1). Enquanto (a,0) é identificado com o real
a e (b,0) com o real b, o par (0,1) não tem identificação no campo Real. Por isso criamos um
“novo número” que associamos ao par (0,1) e o simbolizamos com (0,1) = ί, que denominamos
de “unidade imaginária” . Assim obtemos a “forma algébrica” do complexo z:
z = (a,b) = (a + bί)
O número a passa ser chamado de “parte real” e o b de “parte imaginária” do complexo z.
Particularmente (a,0)=a+0ί , é chamado de “real puro” e (0,b)=0+bί de “imaginário puro”.
Potências da Unidade Imaginária:
Considerando ί=√−1 portanto ί2 = −1, de modo geral para n ∈ IN teremos:
I.
ί2n = (ί2)n = −1n
i.
para n par: ί2n = 1
ii.
para n impar: ί2n = −1
i.
para n par: ί2n+1 = ί
II. ί2n+1 = (ί2n) • ί = (−1)n • ί
ii.
para n impar: ί2n+1 = − ί
Operações com Números Complexos na Forma Algébrica:
Considerando: z1 = (a+bί) e z2 = ( c+dί), com z2 ≠ 0, teremos:
Igualdade:
z1 = z2 : (a+bί) = ( c+dί) ⇔ a=c e b=d ;
Adição:
z1 + z2 : (a+bί) + ( c+dί) = (a+c) + (b+d)ί ;
Subtração:
z1 − z2 : (a+bί) − ( c+dί) = (a−c) + (b−d)ί ;
Multiplicação:
z1 • z2 : (a+bί) • ( c+dί) = (ac−bd) + (ad+bc) ί ;
z1

z2
Divisão:
(a+bί)
:  =
( c+dί)
(ac+bd)

c2 + d2
+
(bc−ad)

c2 + d2
ί
;
Conjugado de um Número Complexo:
Definimos como Conjugado do complexo z = (a+bί) ao complexo z = (a − bί), assim:
z = (a+bί)
e
z = (a − bί)
z = (a+b)
e
z = (a, − b)
Norma e Módulo de um Número Complexo:
I. Definimos Norma do complexo :
z = (a,b) = (a+bί), ao número real não negativo (a2 + b2) e
II. Definimos Módulo do complexo :
z = (a,b) = (a+bί), a raiz quadrada não negativa da Norma e
2
2
indicamos por: N(z) = (a + b ) .
indicamos por:
z
√a 2 + b2
=
ou
(a+bί) = √a2 + b2
Freqüentemente, indicamos o módulo do complexo z pela letra grega ρ , assim: z = ρ .
Representação da Forma Geométrica dos Números Complexos:
Ao complexo z=(a+bί) associamos, no Sistema de Coordenadas Cartesianas, o ponto cujas
coordenadas são a e b . O ponto P=(a,b), que representa o Número Complexo z=(a+bί) ,
chamamos de afixo ou imagem de z . O plano onde representamos os elementos de C é
denominado de “Plano de Argand-Gauss”. Quando o número for um real puro, sua imagem
está sobre o eixo-x, chamado de eixo real. Quando o número é imaginário puro, sua imagem
está sobre o eixo-y, chamado de eixo imaginário.
Observamos que a “Relação de Ordem” não é, usualmente, válida para os Números Complexos.
y
b
•
a
P=(a,b)
x
Módulo e Argumento de um Número Complexo:
Interpretando o módulo z=√a2 + b2 de z=(a+bί) no Plano de Argand-Gauss conforme abaixo:
No triângulo OAP temos: (OP) 2 = (OA) 2 + (AP) 2
y
isto é,
b
•
P=(a,b)
ρ
θ
A
0
a
x
ρ2 = a2 + b2
ρ=√a2 + b2 =z
e
Definimos como Argumento do complexo z=( a+ bί )≠0
→
ao ângulo θ, 0 ≤ θ < 2π, formado por OP, com orientação
positiva do eixo real x.
Forma Trigonométrica ou Polar de um Número Complexo:
Considerando o Número Complexo z=( a+ bί )≠0, teremos:
ρ=√a2 + b2 =z , sendo:
y
cosθ = a/ρ ⇒ a= ρ cosθ
b
e senθ = b/ρ ⇒ a= ρ senθ
Sendo z= a+ bί
P=(a,b)
•
ρ
Podemos escrever z= ρ cosθ + (ρ senθ)ί
ou z= ρ (cosθ + ί senθ) , que é a Forma
θ
0
a
x
Trigonométrica do Número Complexo z.
z= ρ (cosθ + ί senθ)
Assim:
Multiplicação de Números Complexos na Forma Trigonométrica ou Polar:
O produto de dois complexos é um complexo cujo módulo é o produto dos módulos e cujo
argumento é a soma dos Argumentos:
Assim:
z1
•
z2= ρ1 • ρ2 [cos(θ1+ θ2)+ ί sen(θ1+θ2)]
Potenciação e Radiciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica ou Polar:
1a Fórmula de Moivre:
zn = ρn[cos nθ + ί sen nθ]
2a Fórmula de Moivre:
n
√z = u ⇔ u n = z (para n≥2)
θ+kπ
n
√z = √ρ
n
θ+kπ
cos  + ί sen 
n
n
Centro Universitário da FSA – FAFIL
Prof.: Anastassios H.K.