Apostila de Matemática Básica
Sumário
Esta apostila tem por finalidade auxiliar os
Aula 1 ............................................................
2
Exercícios Aula 1 .........................................
6
Links videoaulas : Aula 1................................
9
Aula 2 ............................................................
12
Exercícios Aula 2 .........................................
15
Links videoaulas : Aula 2................................
18
Aula 3 ............................................................
19
serão
Exercícios Aula 3 .........................................
27
abordados em outras disciplinas do curso.
Links videoaulas : Aula 3................................
30
Nela, as definições matemáticas aparecem
Aula 4 ............................................................
33
de forma clara e objetiva, além de apresentar
Exercícios Aula 4 .........................................
36
exemplos e vários exercícios para a fixação
Links videoaulas : Aula 4...............................
36
dos conceitos.
Aula 5 ............................................................
37
Exercícios Aula 5 .........................................
41
Links videoaulas : Aula 5................................
43
Aula 6 ....................................................
44
Exercícios Aula 6 .................................
46
Links videoaulas : Aula 6........................
49
Aula 7 ....................................................
50
Exercícios Aula 7 .................................
52
Links videoaulas : Aula 7........................
54
Aula 8 .....................................................
55
Exercícios Aula 8 .................................
57
Links videoaulas : Aula 8.........................
60
Aula 9 ....................................................
61
Exercícios Aula 9 ..................................
64
Links videoaulas : Aula 9........................
66
Aula 10 ..................................................
68
Exercícios Aula 10...................................
69
Links videoaulas : Aula 10.......................
71
Aula 11 ...................................................
72
Exercícios Aula 11 ................................
74
Links videoaulas : Aula 11......................
77
alunos
matriculados
na
disciplina
“Matemática Básica – Nivelamento” do Curso
de Licenciatura em Matemática do Campus
Universitário de Sinop. Nela, estão inseridos
os principais conceitos matemáticos em nível
básico, sendo requisitos necessários para a
compreensão
de
conteúdos
que
Profa. Ms. Luciana M. Elias de Assis
1
AULA 1
valor absoluto ou módulo de um número
associado a esse ponto.
Conjuntos Numéricos
Por exemplo: o valor absoluto do número +4
é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4).
1. Conjunto dos Números Naturais
Os números naturais são usados para
indicar uma contagem, uma ordem ou um
código. A sequência dos números naturais
é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa
esta sequência de números é denotado por:
Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a
distância do ponto -3 à origem é 3)
Notação de módulo: |-a| = a
Conjunto dos Números Racionais
= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6,
}
Os números racionais são todos os
números que podem ser colocados na forma
de
fração,
com
o
numerador
e
denominador
, ou seja, o conjunto
Conjunto dos Números Inteiros
Com o passar dos tempos os números
naturais tornaram-se insuficientes para a
resolução
de
todos
os
problemas
matemáticos e, na busca de suprir essas
necessidades, foi criado o conjunto dos
números inteiros, que é composto pelos
números naturais (inteiros positivos e o zero)
e os números inteiros negativos.
dos números racionais é a união do
conjunto dos números inteiros com as
frações positivas e negativas.
Pode ser representado por:
= {x | x =
Exemplos:
,
}
,
O conjunto dos números naturais é denotado
por:
={
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
}
Podemos representar os números inteiros em
uma reta numérica. Veja:
Módulo, ou valor absoluto de um número
inteiro
Podemos determinar na reta numérica, a
distância de qualquer ponto em relação à
origem (representada pelo zero).
Conjunto dos Números Irracionais
Os números irracionais são decimais
infinitas não periódicas, ou seja, são números
que não podem ser escrito na forma de
fração.
Exemplos: Os números abaixo têm uma
representação decimal não periódica com
infinitas ordens decimais.
= 1,41421356
= 1,73205080
Assim, a distância entre qualquer ponto e a
origem da reta numérica é chamanda de
= 3,14155926
2
Conjunto dos Números Reais
conjunto dos números inteiros negativos:
O conjunto dos números reais é a união
entre o conjunto dos números racionais com
o conjunto dos números irracionais.
conjunto dos números racionais:
Pode ser representado por:
conjunto dos números racionais não nulos:
=
= {x | x é racional ou irracional}
conjunto dos
negativos:
Diagrama geral
números
racionais
não
conjunto dos números racionais positivos:
conjunto dos
positivos:
números
racionais
não
conjunto dos números racionais negativos:
De onde temos:
conjunto dos números reais:
e
conjunto dos números reais não nulos:
Resumo das notações utilizadas para os
conjuntos numéricos
conjunto dos números reais não negativos:
conjunto dos números naturais:
conjunto dos números reais positivos:
conjunto dos números naturais com exceção
do zero:
conjunto dos números inteiros:
conjunto dos números inteiros não nulos:
conjunto dos números reais não positivos:
conjunto dos números reais negativos:
conjunto dos números inteiros não negativos:
Intervalos reais
conjunto dos números inteiros positivos:
conjunto dos números inteiros não positivos:
São
subconjuntos
definidos
por
desigualdades.
Para
observarmos
os
diferentes tipos de intervalos reais,
consideramos os números reais a e b, tal que
a < b.
3

Intervalo fechado:
ou
a


Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à
direita:
ou
b
a
Intervalo aberto:
ou
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
a

b
Intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita:
ou
a
Estudaremos agora, as quatro operações
possíveis no conjunto dos números naturais.
Praticamente, toda a matemática é
construída a partir dessas operações: adição,
subtração, multiplicação e divisão.
b
Adição de Números Naturais

Intervalo aberto à esquerda e fechado à
direita:
ou
a

b
A primeira operação fundamental na
matemática é a adição. Onde esta operação
esta ligada a ideia de juntar, acrescentar
algo.
Exemplo:
Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à
direita:
ou
Propriedades da Adição
a


Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à
direita:
ou
Fechamento: A adição no conjunto dos
números naturais é fechada, pois a soma
de dois números naturais resulta em um
número natural.
a + b = c, onde a, b, c
a

Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à
direita:
ou
Exemplo: 19 + 3 = 22

Associativa: A adição no conjunto dos
números naturais é associativa, pois na
adição de três ou mais parcelas de
números naturais quaisquer, é possível
a
4
associar de quaisquer modos, conforme
ilustrado a seguir.
(a + b) + c = a + (b + c)

O conjunto
não é fechado em relação à
operação de subtração, pois 4 – 5 não
pertence a .

O conjunto
neutro, em relação à operação
subtração:
6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6
Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1)
Logo: 0 – 6

Elemento Neutro: No conjunto dos
números naturais, existe o elemento
neutro que é o zero, pois tomando um
número natural qualquer e somando com
o elemento neutro (zero), o resultado
será o próprio número natural. Assim,
a+0=a
não possui elemento

6–0
A subtração no conjunto
não admite a
propriedade comutativa, pois: 4 – 5

de
4.
A subtração no conjunto
5-
não aceita a
propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2
10 – (4 -2)
Exemplo: 5 + 0 = 5
Multiplicação de Números Naturais

Comutativa: No conjunto dos números
naturais, a adição é comutativa, pois a
ordem das parcelas não altera a soma.
Assim:
a+b=b+a
É a operação que tem por finalidade
adicionar o primeiro número denominado
multiplicador ou parcela, tantas vezes
quantas são as unidades do segundo número
denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9
quatro vezes:
Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6
Subtração de Números Naturais
A subtração é o ato ou efeito de subtrair
algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma
coisa. O resultado obtido através dessa
operação e denominado diferença.
Exemplo:
O
resultado
da
multiplicação
é
denominado produto e os números dados
que geram o produto, são chamados fatores.
Usamos x ou •, para representar a
multiplicação.
Propriedades da Multiplicação

Diante da operação de subtração, são
retiradas algumas propriedades.
Fechamento: A multiplicação é fechada
no conjunto dos números naturais , pois
realizando o produto de dois ou mais
números naturais, o resultado estará em
.
5

Associativa: Na multiplicação, podemos
associar 3 ou mais fatores de modos
diferentes. Assim,
(a b) c = a (b c)
Por exemplo:
(3 4) 5 = 3 (4 5) = 60

Elemento Neutro: No conjunto dos
números naturais existe um elemento
neutro para a multiplicação que é 1.
Qualquer que seja o número natural n,
tem-se que: 1 n = n 1 = n
No conjunto dos números naturais, a divisão
não é fechada, pois nem sempre é possível
obter um número natural como resultado na
divisão de outros dois números naturais.
Por exemplo: 8
3 = 2,66
Logo 2,66 não
Por exemplo: 1 7 = 7 1 = 7
pertence ao conjunto .

Relação essencial numa divisão de
números naturais
Comutativa: Quando multiplicamos dois
números naturais quaisquer, a ordem dos
fatores não altera o produto, Assim,
a b=b a
Por exemplo: 3 4 = 4 3 = 12

Distributiva: Multiplicando um número
natural pela soma de dois números
naturais, é o mesmo que multiplicar o
fator, por cada uma das parcelas e a
seguir adicionar as resultados obtidos.
Assim,
a (p + q) = a p + a q
Por exemplo: 6 (5 + 3) = 6 5 + 6 3 = 48
1. Em uma divisão exata de números
naturais, o divisor deve ser menor que o
dividendo.
Por exemplo: 35 : 7 = 5
2. Em uma divisão exata de números
naturais, o dividendo é produto do divisor
pelo quociente.
Por exemplo: 35 = 5 x 7
3. A divisão de um número natural n por
zero
não
é
possível
pois,
se
admitíssemos que o quociente fosse q,
então poderíamos escrever:
n 0=q
Divisão de Números Naturais
e isso significaria que: n = 0 x q = 0
Dados dois números naturais, às vezes
necessitamos saber quantas vezes o
segundo está contido no primeiro. O primeiro
número que é o maior é denominado
dividendo e o outro número que é menor é o
divisor. O resultado da divisão é chamado
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo
quociente obteremos o dividendo.
o que não é correto! Assim, a divisão de n
por 0 não tem sentido ou ainda é dita
impossível.
EXERCÍCIOS – Aula 1
01) Pensei em dois números pares cuja soma
é 184. Um deles é o dobro do outro mais
4 unidades. Em que números pensei?
6
02) A diferença entre dois números é 103.
Quais podem ser esses números? (tente
encontrar pelo menos 5)
03) Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se
vender 484 delas para seu compadre,
ambos ficarão com a mesma quantidade
de vacas. Quantas vacas o compadre
possui?
04) Responda: Quantas unidades há em 43
dúzias de bananas? Quantos dias há em
50 meses? (considere um mês com 30
dias)
05) Em um trem com 8 vagões de
passageiros, cada vagão tem 28
poltronas de dois lugares cada uma.
Além disso, permite-se que, em cada
vagão, até 20 pessoas possam viajar em
pé. Qual é a lotação máxima permitida
nesse trem?
06) Compare e escreva igualdades aplicando
a
propriedade
distributiva
da
multiplicação em relação à adição (ou à
subtração):
a) 6.(10 + 5) =
b) 4.(8 – 7 ) =
c) 5.(a + 8) =
d) 3.4 + 3. 7 =
07) Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas
completas de picolés e 8 picolés avulsos.
Cada caixa completa contém uma dúzia
de picolés.
a) Quantos picolés ele vendeu nessa
semana?
b) Se sua cota semanal de vendas é de
80 caixas completas, quantos picolés
faltam para ele atingi-la?
08) Marcos pensou em um número e, em
seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi
exata e o quociente foi 15. Em qual
número ele pensou?
09) Numa divisão, o quociente é 18, o resto é
7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo.
10) Uma loja de produtos de limpeza possui
em seu estoque 130 caixas de
detergente. Cada caixa contém duas
dúzias de frascos. Um cliente fez uma
encomenda de 1200 frascos. Quantas
caixas restaram no estoque dessa loja?
11) Célia e Maria colecionam papéis de carta.
Célia tem o triplo da quantidade de
papéis de Maria. As duas juntas possuem
244 papéis de carta. Quanto tem cada
uma?
12) Três amigos brincavam de adivinhar
quantas figurinhas havia na coleção de
Anne. Seus palpites foram 294, 363 e
356. Um deles errou por 33 figurinhas,
outro errou por 36 e outro por 29,
quantas figurinhas Anne tem?
a) 323
b) 261
c) 352
d) 327
e) 341
13) A professora Daniela deseja presentear
os 22 alunos da sua classe com lápis e
canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32
canetas. Sabendo que nenhum aluno
ficou sem receber presentes e que todos
os presentes foram distribuídos, o que
podemos afirmar com certeza?
(a) Algum aluno ficou sem lápis.
(b) Todos os alunos receberam pelo
menos duas canetas.
(c) Algum aluno recebeu mais de três
itens.
(d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis.
(e) todos receberam o mesmo número
de itens.
14) Uma cidade ainda não tem iluminação
elétrica, portanto, nas casas usam-se
velas à noite. Na casa da Joana, usa-se
uma vela por noite, sem queimá-la
totalmente, e com quatro desses tocos
de velas, Joana fabrica uma nova vela.
Durante quantas noites Joana poderá
iluminar sua casa dispondo de 39 velas?
(a) 10
(b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50
15) Responda:
a) Qual é o menor número natural?
b) Existe o maior número natural?
c) Quantos números naturais existem? É
possível responder?
16) Responda:
a) Existe o menor número inteiro?
7
b) Quais os números naturais entre -3 e 5?
c) Quais os números inteiros entre -5 e 5?
17) Pedro pensou em um número inteiro.
Multiplicou o valor absoluto por 10 e
obteve 250. Em que número Pedro
pensou?
18) O antecessor de -100 é:
a) 99
b) 101
c) -99
19) Complete usando
a) -20 ___ ;
ou um número:
b) 67 ___ ; c) -22 ___
20) O que ocorre com os módulos de dois
números opostos ou simétricos?
21) Responda:
a) Qual é o valor de –(-35)?
b) Qual é o oposto do oposto de -86?
22) Qual é o valor destas expressões?
a) |+27| + |+35| =
b) |-81| + |-35| =
c) |-13| - |-15| =
d) |-21| - |+35| =
23) As letras m e n representam números
inteiros. Se m = |-49| e n = |+66|, então:
a) Qual é o valor de m? E o valor de n?
b) Qual é o valor da expressão m – n?
24) Responda:
a) Que número está mais distante da
origem: -900 ou -1000?
b) Que número está mais próximo da
origem: -60 ou 200? Qual deles é o
maior?
25) Calcule:
a) (+12) + (-8) =
b) (-25) + (-3) =
c) (+ 34) – (-56) =
d) (-320) – (-320) =
e) (+2) . (-3) =
f) (-4) . (-3) =
26) As letras a, b, x e y represntam números
naturais.
a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o
valor de 2.(x.y)?
b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o
valor de 7.(a + b)?
c) Se a diferença (x – y) é 50, então qual é
o valor de 6.(x – y)?
27) O produto de dois números é 40.
a) Multiplicando-se um dos fatores por 3,
qual será o novo produto?
b) Multiplicando-se os dois fatores por 3,
qual será o novo produto?
c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o
outro por 5, qual será o novo produto?
28) A soma de dois números é 80.
Multiplicando-se
cada
um
desses
números por 6, qual será a nova soma?
29) Considere que as letras a e b
representam números naturais e que a +
b = 45 Responda:
a) Qual é o valor de (a + b) + 100?
b) Qual é o valor de (a + b) - 100?
30) Quatro
números
naturais
são
consecutivos. Um deles é 99. Nessa
situação podemos afirmar que a soma
desses números:
a) Pode ser maior que 400.
b) É sempre maior que 400
c) É sempre menor que 400.
d) Nenhuma das anteriores é verdadeira.
31) Nesta figura, as letras x, y e z
representam números naturais. Podemos
afirmar que:
y
402
x
1000
z
a) x, y e z são escritos com 4 algarismos.
b) y< x < 1000
c) x < y < z
d) x + y + 402 = z
32) Luis tem uma coleção de bolinhas de
gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas
novas de seu primo e ficou com 150.
8
Desse modo, podemos afirmar que, antes
de ganhar esse presente de seu primo,
Luís tinha:
a) 124 bolinhas
b) 125 bolinhas
c) 174 bolinhas
33) As letras a e b representam números
naturais e a+b=500. Então, podemos
afirmar que (a + b) 20 é igual a:
a) 5000
20;
b) 25;
c) 2500; d) 250
34) Represente cada conjunto escrevendo
seus elementos entre chaves.
a)
b)
c)
d)
35) Represente geometricamente:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
36) Escreva o intervalo correspondente a
cada representação geométrica:
a)
-3
4
-5
Gabarito:
1) 60 e 124
2) 176 e 73; 183 e 80, etc
3) 426 vacas
4) 516; 1500 dias
5) 608 pessoas
6) –
7) 788; 172
8) 120
9) 817
10) 80 caixas
11) Célia: 183 e Maria:61
12) 327
13) c
14) 48
15) a) 0; b) não; c) infinitos; não
16) a) não; b) 0,1,2,3,4,5; c) -5,-4,...,5
17) -25 ou 25
18) -99
19) a) ; b) ; c)
20) são iguais
21) a) 35; b) -86;
22) a) 62; b) 116; c) -2; d) -14
23) a) 49;66 b) -17
24) a) -1000 e b) -60;200
25) a) 4; b) -28; c) 90; d) 0; e) -6; d) 12
26) a) 60; b) 70; c) 300
27) a) 120; b) 360; c) 400
28) 480
29) a)145; b)
10
30) a
31) b
32) c
33) b
34) –; 35) –
36)a) [3,4], b) ]- ,10]; c) ]2,11]; d) ]-15,
11
0[;e) [-23, -5[;
b)
c)
2
-23
d)
Links videoaulas: aula 1
-15
e)
0
Videoaula 1 – Conjuntos Numéricos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/conjuntos-numericos
9
Videoaula 2 – Conjuntos Numéricos 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/conjuntos-numericos-1
Videoaula 3 – Adição Básica
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-basica
Videoaula 4 – Adição nível 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-nivel-2-video-1
Videoaula 5 – Soma nível 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-2-video-21
Videoaula 6 – Soma nível 3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-31
Videoaula 7 – Soma nível 4
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-41
Videoaula 8 – Somando números negativos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-numeros-negativos
Videoaula 9 – subtração, método alternativo
mental
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-metodo-alternativo-mental
Videoaula 10 – subtração Básica
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-basica
Videoaula 11 – subtração nível 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-2
Videoaula 12 – subtração nível 3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-31
Videoaula 13 – subtração nível 4
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-41
Videoaula 14 – Método de multiplicação por
grades
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/metodo-de-multiplicacao-por-grades1
Videoaula 15 – Multiplicação Básica
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-basica1
Videoaula 16 – Multiplicação nível 2 tabuadas
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-2-tabuadas
Videoaula 17 – Multiplicação nível 3 –
tabuadas 10, 11 e 12
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-3-tabuadas-do-1011-e-121
Videoaula 18 – Multiplicação nível 4 – dois
dígitos vezes um digito
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-4-dois-digitos-vezesum-digito1
Videoaula 19 – Multiplicação nível 5 – dois
dígitos vezes dois dígitos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-5-dois-digitos-vezesdois-digitos1
Videoaula 20 – Multiplicação nível 6 –
múltiplos dígitos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-6-multiplos-digitos1
Videoaula 21 – Multiplicação nível 7 – mais
exemplos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-7-mais-exemplos1
Videoaula 22 – multiplicação (porque
negativo vezes negativo da positivo)
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/por-que-negativo-vezes-negativo-dapositivo
Videoaula 23 – divisão básica
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-basica1
Videoaula 24 – divisão entre números
racionais
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-de-numeros-racionais
Videoaula 25 – divisão nível 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-21
Videoaula 26 – divisão nível 3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-31
10
Videoaula 27 – divisão nível 4
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-41
Videoaula 28 – divisão parcial de quociente
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-parcial-de-quociente
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-distributiva-exemplo-1
Videoaula 39 – propriedade do zero
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-do-zero
Videoaula 29 – propriedade inversa da
adição
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-inversa-da-adicao
Videoaula 30 – propriedade inversa da
multiplicação
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-inversa-da-multiplicacao
Videoaula 31 – propriedade do 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-numero-1
Videoaula 32 – propriedade do 1 – segundo
exemplo
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-numero-1-segundoexemplo
Videoaula 33 – propriedade associativa da
adição
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-associativa-da-adicao
Videoaula 34 – propriedade associativa da
multiplicação
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-associativa-damultiplicacao
Videoaula 35 – propriedade comutativa da
adição
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-comutativa-da-adicao
Videoaula 36 – propriedade comutativa da
multiplicação
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-comutativa-damultiplicacao
Videoaula 37 – a propriedade distributiva
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/a-propriedade-distributiva
Videoaula 38 – propriedade distributiva –
exemplo 1
11
=11
Aula 2
CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Para
calcular
corretamente
qualquer
expressão numérica, é necessário obedecer
algumas prioridades. Então, devemos ter em
mente que devemos fazer os cálculos na
seguinte ordem:
1. parênteses( ), colchetes [ ] e chaves{ }
2. potência e raiz
d) 36 + 2{25 + [18 – (5 – 2)3]} =
=36 + 2{25 + [18 – (3)3]} =
=36 +2{25 + [18 – 9]} =
=36 +2{25 + 9} =
=36 + 2 34 =
=36 + 68 =
=104
e) [(5² - 6 2²)3 + (13 – 7)² : 3] :5 =
=[(25 – 6 4)3 + 6² : 3] :5 =
=[(25 – 24)3 + 36 :3] :5 =
=[1 3 + 12] :5 =
=[3 + 12] : 5 =
=15 : 5 = 3
3. multiplicação e divisão
4. soma e subtração
Introdução à aritmética dos Números
Obs.:
Números Primos
i) Sinais nas operações de multiplicação e
divisão de números reais:
Chamamos de número primo qualquer
número natural n>1 que tenha apenas dois
divisores diferentes: 1 e ele próprio.
x
+
-
+
+
-
+
ii) Na soma e subtração entre números reais
prevalece o sinal do maior.
Os números que têm mais
divisores são chamados de
compostos.
de dois
números
Exemplos:
a) 23 é um número primo. Seus únicos
divisores são: 1 e 23.
Exemplos:
a) 15 + (-4) 3 – 10 =
=15 – 12 – 10 =
=-7
b) 5² +
– [ 20 : (-4) + 3] =
=25 + 3 – [(-5) + 3] =
=25 + 3 – [-2] =
=25 + 3 + 2 =
=30
c) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} =
=2 + {3 – [1 + 1] +8} =
=2 + {3 – 2 + 8} =
=2 + 9 =
b) 42 é um número composto. Além de ser
divisível por 1 e 42, é também divisível por 2,
3, 6, 7, 14 e 21.
Reconhecendo números primos
Crivo de Eratóstenes
O Crivo de Eratóstenes foi um dos primeiros
métodos conhecidos para se encontrar
números primos, que consiste em organizar
os números inteiros positivos a partir do
número 2, em ordem crescente, numa tabela
composta por números de 2 a n, e remover
os múltiplos de cada primo determinado.
12
Logo, aparecerão nessa sequência números
que não serão múltiplos dos anteriores e,
portanto, não serão removidos da tabela.
Estes números serão os números primos
procurados.
Inicialmente, colocamos na tabela, uma
sequência de inteiros positivos numerados de
2 a 100 conforme segue:
1º) Dado um número natural n, calcule
.
Se a raiz for exata, significa que temos um
número quadrado perfeito e, portanto
composto. Se a raiz quadrada não for exata,
pegue somente a parte inteira do número
obtido.
2º) Divida n por todos os naturais maiores do
que 1 até chegar ao número obtido a partir
do calculo da raiz quadrada de n.
3º) Se n não for divisível por nenhum dos
números da sequência iniciada em 2 e
terminada no maior número inteiro menor do
que
, dizemos que este número n é primo.
Caso exista algum divisor nessa sequência,
então n será composto.
Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo.
1º)
Aplica-se o conceito de número primo para o
inteiro positivo 2. Sabendo-se que o número
2 é um número primo, marca-se na tabela
todos os números que sejam múltiplos de 2;
2º) Seja 34 o maior natural menor do que
O primeiro número da sequência que
aparecer sem estar marcado será um
número primo, que neste caso, é o número 3.
temos que 3 é um divisor de 1167.
3º) Dividindo 1167 por 2, 3, 4, 5, 6, ...., 34
Portanto,1167 não é um número primo, pois
389 x 3 = 1167
Em seguida, marca-se todos os números que
sejam múltiplos de 3;
O próximo número que aparecer sem estar
marcado, que neste caso, é o número 5, será
o nosso terceiro número primo da sequência
numérica da tabela.
Seguindo este raciocínio um número finito de
vezes, é possível ao final determinar todos os
números primos p compreendidos entre 2 e
100 da tabela acima.
Decomposição em fatores primos
Um
número
composto
pode
ser
decomposto em fatores primos. sendo
utilizado o método das divisões sucessivas.
Exemplo:
Obs: é possível ainda, criar uma sequência
de números primos acima de 100 a partir do
crivo de Eratóstenes.
Além disso, para saber se um número é
primo, podemos utilizar o seguinte algoritmo:
13
630 = 2 x
x5x7
Números primos entre si
Dois números são denominados primos
entre si, quando o único divisor comum entre
os dois é o número 1.
Exemplo: Determine os divisores comuns
de 15 e 16
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é
1.
Máximo divisor comum (m.d.c)
O máximo divisor comum de dois ou mais
números, na forma fatorada, é o maior divisor
comum entre eles.
Cálculo do m.d.c.

Um dos modos de calcular o m.d.c de
dois ou mais números consiste em utilizar
a decomposição desses números em
fatores primos.
1º) Decompor os números em fatores primos;
2º) Realizar o produto dos fatores primos
comuns (os fatores primos comuns são
considerados com o menor expoente).
Exemplo:
Acompanhe o calculo do m.d.c entre 84 e 90:
84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 36 =
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 =
O m.d.c é o produto dos fatores primos
comuns com menor expoente (neste caso, os
expoentes são iguais nos dois números,
então, basta pegar o fator primo de qualquer
um dos números) . Portanto, m.d.c (84,90) =
2x3=6
O m.d.c de dois ou mais números, quando
fatorados, é o produto dos fatores comuns a
eles, cada um elevado ao menor expoente.

Calculo do m.d.c pelo processo das
divisões sucessivas.
Neste processo efetuamos sucessivas
divisões utilizando o algoritmo da divisão, até
chegar a uma divisão exata. O último resto
não nulo das sucessivas divisões será o
m.d.c. procurado.
Exemplo: Calcule m.d.c (48,30)
1. Dividimos o número maior pelo número
menor;
48 30 = 1 (com resto 18)
2. Realize uma nova divisão entre o divisor
30 com o resto 18 obtido.
Repita este processo até que o resto seja
zero.
Assim:
dividendo =
48
30
18
12
=
=
=
=
quociente
1
1
1
2
x divisor +
resto
x
x
x
x
18
12
6
0
30
18
12
6
+
+
+
+
3. O último resto não nulo obtido a partir das
sucessivas
divisões
feitas
acima
corresponde ao número 6. Portanto,
m.d.c (48,30) = 6
Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números naturais é o menor dos múltiplos
comuns a eles, diferentes de zero.
Ou ainda:
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números escritos na forma fatorada, é o
produto dos fatores comuns e não comuns
desses números. Os fatores comuns são
considerados com o maior expoente.
14
25 = 52
Cálculo do m.m.c
Para calcular o m.m.c de dois ou mais
números podemos usar:

Então, mmc (18,25,30) = 2 x 32 x 52= 450
Decomposição simultânea em fatores
primos.
EXERCÍCIOS – Aula 2
Exemplo:
Calcular o m.m.c entre 18,25 e 30.
01) Três crianças com idades acima de um
ano estão brincando em um pátio. Sabe-se
que o produto das idades delas é igual a 105.
Qual é a idade da mais velha? Justifique sua
resposta.
02) Dentre os números abaixo, existe um que
é o resultado da multiplicação do número
quatro com certo número primo. Qual é este
número?
a) 252
b) 84 c) 200 d) 204 e) 124
m.m.c (18,25,30) =
=
03) O professor de Matemática disse que
tinha uma certa quantidade de dinheiro que
era divisível por 5, por 6 e por 7. É claro que
essa quantidade pode ser zero. Mas, se ela
não for nula, qual é o seu menor valor?
= 450

Decompondo
separadamente.
1º) decompor
número;
cada
em fatores
número
primos
cada
2º) multiplicar os fatores primos comuns e
não comuns e, entre os fatores comuns,
escolher aquele que apresenta maior
expoente.
Exemplo:
18 = 2 x 32
04) Em uma mercearia o proprietário deseja
estocar 72 garrafas de água, 48 de suco e 36
de mel em caixas com o maior número
possível de garrafas, sem misturá-las e sem
que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a
quantidade de garrafas por caixa?
05) Pense em um número natural e em seu
dobro. Diga qual é o mmc dos dois e dê um
exemplo.
06) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F)
cada uma das seguintes afirmações:
a) Todos os números pares são múltiplos de
dois.
b) Qualquer número é divisor de si próprio.
c) Todos os múltiplos de três são números
ímpares.
d) O número um é múltiplo de todos os
números naturais.
e) O conjunto dos múltiplos de sete, é um
conjunto infinito.
f) Um é divisor de qualquer número
g) Qualquer número é múltiplo de si próprio
30 = 2 x 3 x 5
15
07) Paulo está doente. O médico receitou-lhe
um comprimido de 6 em 6 horas e uma
colher de xarope de 4 em 4 horas. Seu pai
deu-lhe um comprimido e uma colher de
xarope à zero hora (meia noite). Qual é o
primeiro horário em que Paulo voltará a
tomar comprimido e xarope ao mesmo
tempo?
08) Uma escada tem 30 degraus. Rubinho
está subindo essa escada de 3 em 3 degraus
e Felício de 2 em 2 degraus. Responda:
a) Algum deles vai pisar no 15º degrau?
b) Algum deles vai pisar no 23º degrau?
c) Algum deles vai pisar no 18º degrau?
d) Em quais degraus os dois irão pisar
juntos?
09) Daniel escreveu a lista, em ordem
crescente, de todos os números inteiros de 1
a 100 que são múltiplos de 7 ou tem o
algarismo 7. Os três primeiro números da
lista são 7, 14 e 17. Quantos números possui
essa lista?
a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32
10) De que forma explícita podemos escrever
o conjunto de todos os múltiplos de um
número natural n?
11) Quantos elementos possui e como é
escrito o conjunto dos múltiplos do elemento
0?
a) três fatores 2
b) cinco fatores 2
c) seis fatores 2
d) dois fatores 3
e) um fator 3
18) Usando a decomposição em fatores
primos calcule:
a) mdc ( 28, 70 )
b) mmc ( 49, 15 )
c) mmc ( 32, 56 )
d) mmc ( 48, 72 )
e) mmc ( 28, 70 )
f) mmc ( 12, 14, 16 )
g) mdc ( 60, 46 )
h) mdc ( 64, 80, 52 )
19) Indique, dentre estas opções, aquela que
apresenta todas as informações corretas:
a) 12 é múltiplo de 2,3 e de 9;
b) 2, 3 e 7 são divisores de 7;
c) 2,3 e 6 são divisores de 12;
d) 12 é múltiplo de 24 e 39.
20) Determine apenas o sinal de cada
produto:
a) (-5).(+2).(-2).(+3).(-3)
b) (-1).(+3).(-7).(+2).(+5)
c) (-27).(+118).(+76).(-17).(+125)
21) Qual é o quociente da divisão de -204
pelo oposto de -12?
12) Para obter os divisores de um número
natural a, basta saber quais os elementos
que, multiplicados entre si, têm por resultado
o número a. Com base nessa afirmação,
obtenha o conjunto de divisores de cada um
dos números: 13, 18, 25, 32 e 60.
22) Observe este produto: (+14).(-65) = -910
a) Qual é o valor do quociente (-910) (-65)?
b) Qual é o valor do quociente (-910) (+14)?
13) Conhecendo um método para identificar
os números primos, verifique quais dos
seguintes números são primos:
a) 49; b) 37; c) 12; d) 11
23) Calcule mentalmente e anote o resultado:
a) (-18) (+6) =
b) (-35) (-5) =
c) (+70) (+7) =
d) (-49) (+7) =
14) Qual é o menor número primo com dois
algarismos?
15) Qual é o menor número primo com dois
algarismos diferentes?
16) Exiba todos os números
existentes entre 10 e 20?
primos
17) Decompondo o número 192 em fatores
primos encontramos:
24) Decomponha -60 em um produto de dois
números inteiros. Apresente no mínimo três
respostas diferentes.
25) O produto de dois números inteiros é
900. Um deles é -25, qual é o outro?
26) Calcule o quociente do oposto do oposto
de -768 por -16.
16
27) A letra n representa um número inteiro.
Descubra o valor de n nesta igualdade: n +
(- 25) = - 8
28) O dobro de um número inteiro é igual a
-150. Descubra que número é esse.
29) Resolva as expressões numéricas:
recebeu 39 reais. Como eles sempre
dividem a gorjeta por igual, quantos reais
cada um recebeu nesse dia?
34) Resova:
a) 2 + 3 x 5 : 4 – 3 =
b) 30 . 2 + 5 – (12 : 3) + 5 . 4 =
c) 4.(5 + 4 . 4) – 2.(8 – 3) . 12 : 4 =
a) (12 + 37) 5 =
b) 5 + 2 4 – 9 : 3 =
c) 507 – (123 : 3) =
d) [100 + (6² - 23) 7] =
e) 80 – 5(57 – 18) : (9 + 4)7 =
f) {[
+ (50 : 5) – (- 3)] + 45} =
g) 91 + 5823 : 647 =
h) 6(10000 + 100 + 1) – 6(3 7 13
i)
j)
37) =
[(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 =
25 + {3³ : 9 + [3² 5 – 3(2³ - 5)]}
k) (-2)³ + (-3)² - 25 =
l) 24 6 + {[89 – 30 7] (5 + 8) 6}=
m) [30 (9 – 6)] + [30 : (9 + 6)]=
n) 5(8 + 15 – 7 + 23 +3) =
o) {20 + [12 + 3(6 – 2) – 8] 7} =
p) 3(5 +3) – [(12 + 4²) : 2] =
30) Dividindo 100 por 9, o resto encontrado é
diferente de zero. De acordo com essas
informações, responda.
a) Qual o resto da divisão de 100 por 9?
b) 100 é múltiplo de 9?
c) Qual o primeiro múltiplo de 9 antes e
após 100?
31) Um livro tem 190 páginas. Li 78 e quero
termina-lo em 4 dias, lendo o mesmo
número de páginas em cada dia. Quantas
páginas lerei por dia?
32) Uma quitanda recebeu uma remessa de
25 caixas de ovos. Cada caixa contém 10
dúzias. Quantas cartelas, com 30 ovos
cada uma podem ser formadas com essa
quantidade?
33) Ao final de um dia de trabalho de três
garçons, um deles contou 24 reais de
gorjeta, o segundo 57 reais e o terceiro
35) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso).
a) ( ) 1000 = 7 x 142 + 4.
b) ( ) 200 é múltiplo de 8.
c) ( ) 169 = 13 x 13.
d) ( )12 x 12 = 144.
35) Resolva as expressões numéricas:
a) (125 + 85) · 16 =
b) 621 − (50 ÷ 5) =
c) 5 + 3 · 2 − 6 ÷ 2 =
d) (3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5) − 24 ÷ 3 ÷ 4 =
e) (10 + 5) · 2 − (5 + 5) ÷ 2 =
f) (6 · 3 + 2 · 2 + 5 · 0) + 12 ÷ 3 =
g) 2 · {[20 · (3 + 4) − 5 · (1 + 3)] − 3} =
h) 1000 − [(2 · 4 − 6) + (2 + 6 · 4)] =
i) [6+(9÷3)·(2+2+42)·170·(40÷8−3)]÷1−2 =
j) 24 · 6 + {[89 − 30 · 7] · (5 + 8) · 6} =
k) 2 · [−3 + (5 − 6)] =
l) [−(−3) − 5 − (+1)] · [10 ÷ (−5)] =
m) 60 + 2 · {[4 · (6 + 2) − 10] + 12} =
n) [(4 + 16 · 2) · 5 − 10] · 100 =
o) {10 + [5 · (4 + 2 · 5) − 8] · 2} − 100 =
p) 80 − 5 · (28 − 6 · 4) + 6 − 3 · 4 =
q) 4 · (10 + 20 + 15 + 30) =
r) (10 · 6 + 12 · 4 + 5 · 8) − 40 =
s) [6 · (3 · 4−2 · 5)−4]+3 · (4−2)−(10÷2) =
t) 67 + {50 · [70 ÷ (27 + 8) + 18 ÷ 2] + 21} =
u) [30 · (9 − 6)] + [30 ÷ (9 + 6)] =
v) 58 − [20 − (3 · 4 − 2) ÷ 5] =
w) 40 + 2 · [20 − (6 + 4 · 7) ÷ 2] =
36) Escreva a expressão numérica associada
às operações indicadas:
a) Adicionei 10 com 18 e multipliquei o
resultado por 2.
b) Adicionei 10 com 8 e dividi o resultado por
2.
c) Subtraí 20 de 50 e multipliquei a diferença
por 3.
d) Subtraí 20 de 50 e dividi a diferença por 5.
37) Apresente uma expressão numérica que
resolva o problema a seguir:
17
O Álbum de figurinhas de Giuliano contém 10
folhas com espaço para 6 figurinhas, 12
folhas para 4 figurinhas e 5 folhas para 8
figurinhas. Se Giuliano já colou 40 figurinhas,
quantas ainda faltam para completar o
álbum?
38) Numa divisão, o quociente é 12, o divisor
vale 15 e o resto, o maior possível.
a) Qual o resto?
b) Qual o dividendo?
39) Carlos dividiu 1000 por 12 e encontrou
resto diferente de zero. De acordo com essa
informação, responda.
a) 1000 é múltiplo de 12?
b) Qual é o resto da divisão de 1000 por 12?
c) Qual o primeiro múltiplo de 12 após 1000?
Links de videoaulas – aula 2:
Videoaula 01 –introdução a ordem das
operações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/introducao-a-ordem-das-operacoes
Videoaula 02 –ordem das operações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/ordem-das-operacoes
Videoaula 08 – encontrando os divisores de
um número
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/encontrando-os-divisores-de-umnumero
Videoaula 09 – divisores comuns - exercícios
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisores-comuns-exercicios
Videoaula 10 – máximo divisor comum (mdc)
www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/
maximo-divisor-comum-mdc
Videoaula 11 – encontrando denominadores
comuns
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/encontrando-denominadores-comuns
Videoaula 12 – mínimo múltiplo comum
(mmc)
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/minimo-multiplo-comum1
Videoaula 13 – testes de divisibilidade por 2,
3, 4, 5,6,9 e 10
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/testes-de-divisibilidade-para-2-3-4-5-69-10
Videoaula 03 –ordem das operações 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/ordem-das-operacoes-1
Videoaula 04 – exemplo mais complexo
sobre a ordem das operações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/exemplo-mais-complexo-sobre-ordemdas-operacoes
Videoaula 05 – números primos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/numeros-primos
Videoaula 06 – o Teorema Fundamental da
Aritmética
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/o-teorema-fundamental-da-aritmetica
Videoaula 07 – reconhecendo números
primos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/reconhecendo-numeros-primos
18

Registramos a décima parte da unidade
como 0,1, que é a forma decimal de .

A
centésima
parte
corresponde a 0,01:

A milésima parte da unidade corresponde
a 0,001:
Aula 3
Representações Decimais
Frações Decimais
São frações em que o denominador é uma
potência de 10.
Exemplos:
da
unidade
Toda fração decimal pode ser escrita na
forma decimal (escrita numérica com
vírgula)
Para uma melhor compreensão vamos ver
como funciona o nosso sistema de
numeração.
O sistema de numeração decimal é
posicional, isto é, o valor do algarismo
depende da posição que ele ocupa no
numeral conforme segue.
.... Unidades de Milhar
dezena
Unidade ....
centena
Cada posição da esquerda para a direita
corresponde a um grupo 10 vezes menor que
o anterior.
Por exemplo: Numeral
potências positivas de 10:
descrito com
Assim, se continuarmos uma casa a direita
da casa das unidades, ela deve representar
uma quantidade 10 vezes menor, ou seja,
representar o “décimo”.
Por exemplo: usamos as décimas partes da
Se prosseguirmos com o mesmo padrão,
criando ordens à direita da unidade, teremos:
.... Unidades ,
Milésimos ....
Décimos
unidade,
,
que
são
potências negativas de 10, para representar
as frações.
Centésimos
Exemplo:
Coloca-se uma vírgula para
separar a parte inteira da parte
Assim:
fracionária
Transformando uma fração decimal na
forma decimal finita
19
A representação decimal de um número
racional consiste em escrever o numerador e
separar à direita da vírgula, tantas casas
quantos são os zeros do denominador.
• O numerador é o número decimal sem a
vírgula.
• O denominador é o número 1 seguido de
tantos zeros quantos forem os algarismos do
número decimal depois da vírgula.
Exemplos:
Exemplos:
a)
a)
b)
b)
c)
c)
OBS: Quando a quantidade de algarismos do
numerador não é suficiente para colocar a
vírgula, acrescentamos zero à esquerda do
número.
Exemplos:
OBS: O número de casas depois da vírgula é
igual ao número de zeros do denominador.
Propriedades:
a)
b)
Zeros
após
o
último
algarismo
significativo: Um número decimal não se
altera quando se acrescenta ou se retira um
ou mais zeros à direita do último algarismo
não nulo de sua parte decimal.
Fique atento....
Exemplos:
A fração
a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
pode ser escrita na forma mais
simples, como:
, onde 1 representa
a parte inteira e 27 representa a parte
decimal.
Esta notação subentende que a fração
pode se decomposta na seguinte forma:
b) 1,002 = 1,0020 = 1,00200
Multiplicação por uma potência de 10:
Para multiplicar um número decimal por 10,
por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula
para a direita uma, duas, ou três casas
decimais.
Exemplos:
a) 7,4 x 10 = 74
b) 7,4 x 100 = 740
Transformando um número na forma
decimal finita em uma fração decimal
Para obter um número racional a partir de
sua representação decimal basta escrever
uma fração em que:
c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para
dividir um número decimal por 10, 100, 1000,
20
etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda
uma, duas, três, .... casas decimais.
Exemplo: 1,34 <1,39 pois
Exemplos:
a) 247,5
10 = 24,75
b) 247,5
100 = 2,475
c) 247,5
1000 = 0,2475
u d c
1, 3 4
1, 3 9
iguais
Leitura dos números com representação
decimal
iguais 9>4
Obs: Para compararmos números racionais
ou racionais na forma decimal que são
negativos, basta compararmos os valores
absolutos dos números.
Exemplos:
0,6 = seis décimos
0,37 = trinta e sete centésimos
0,189 = cento e oitenta e nove milésimos
3,7 = três inteiros e sete décimos
13,45 = treze inteiros e quarenta e cinco
centésimos
Valor absoluto ou módulo de um número é
a distância do ponto que o representa até a
origem.
Exemplo: Determine o módulo de - 3.
O módulo de -3 é 3, pois -3 está a 3 unidades
de distância do ponto de abscissa zero.
130,824 = cento e trinta inteiros e oitocentos
e vinte e quatro milésimos
Comparação entre números na forma
decimal
Para compararmos dois números escritos na
forma decimal, primeiro comparamos as
partes inteiras. O maior número será aquele
que tiver a maior parte inteira.
Notação: |-3| = 3
Exemplo: 2,12 >1,98
Como
os
números
são
negativos,
comparamos os módulos. O número que
possui maior módulo é o menor deles.
Se as partes inteiras forem iguais,
comparamos as ordens dos décimos. Se
estas forem iguais, comparamos as ordens
dos centésimos e assim por diante, até
encontrarmos a ordem que seja ocupada por
algarismos diferentes. O maior número será
aquele que tiver o algarismo dessa ordem
com maior valor.
Exemplo: Determine qual número é menor:
?
Observe que:
Assim,
>
e
e
. Logo,
.
e
.
21
Operações
decimal
com
números
na
forma
3,19
b) 9,1 - 4,323=4,777
Adição de números na forma decimal
Para adicionar números na forma decimal
basta realizar os seguintes passos:
- iguale o número de casas decimais dos
números a serem somados, acrescentando
zeros. Dessa forma, as vírgulas ficarão
alinhadas;
- depois some milésimos, centésimos,
décimos, unidades e coloque todas as
vírgulas alinhadas.
Exemplos:
a) 0,3 + 0,81= 1,11
0,30
+ 0,81
--------1,11
b) 1,42 + 2,03 = 3,45
1,42
+ 2,03
-------3,45
9,100
- 4,323
-------4,777
Multiplicação
decimal
de
números
na
forma
Para compreender como a multiplicação
entre números na forma decimal, vejamos
um exemplo:
Uma torneira despeja 13,4 litros de água por
minuto em um tanque. Mantendo a mesma
vazão, quantos litros de água essa torneira
despejará em 17 minutos?
Solução: Podemos resolver este problema de
duas maneiras diferentes:
1ª maneira: transformando os decimais em
frações
c) 7,4 + 1,23 + 3,122= 11,752
7,400
+ 1,230
3,122
---------11,752
2ª maneira: multiplicando 13,4 por 10,
calculando 17x134 e dividindo o resultado
por 10.
Subtração de números na forma decimal
A subtração de números na forma decimal é
efetuada de maneira análoga a adição.
Exemplos:
a) 4,4 - 1,21=3,19
4,40
- 1,21
--------
Em 17 minutos, a torneira despejará 227,8
litros de água.
22
Exemplo: 4,21 x 2,1= 8,841
Exemplos:
a) 7,2
Divisão de números na forma decimal
Na divisão de números a forma decimal, o
dividendo e o divisor devem ter o mesmo
número de casas decimais. Devemos igualálas antes de começar a divisão.
3,51 =
Observe que o número de casas decimais é
o mesmo, pois 7,2=7,20. Para efetuar a
divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos
os números e e dividi-los normalmente.
b) 11,7
2,34
Por exemplo: Faça a divisão de 42,5 por 5.
Para realizar a divisão entre esses números,
temos 2 opções:
1ª) transformar os números que estão na
forma decimal em uma fração.
O número de casas decimais é o mesmo,
pois 11,7=11,70. Para efetuar a divisão,
basta eliminar as vírgulas de ambos os
números e dividi-los normalmente.
c) 23
7=
Feito isso, basta dividir 425 por cinquenta.
2ª) Utilizar o algoritmo da divisão.
Neste caso, como 42,5 tem uma casa
decimal e o divisor não tem nenhuma,
igualamos as casas decimais escrevendo o
divisor 5 como 5,0.
Observe que após dividir 23 por 7, o resto
desta divisão é 2. Assim, como 2 é menor do
que 7, temos que adicionar um zero em 2 e,
dessa forma, acrescentamos uma vírgula no
quociente. Além disso, a divisão não é
exata, ou seja, o número 3,2 é um número
que representa um quociente aproximado por
falta, até o décimo. Podemos continuar a
divisão obtendo mais casas decimais para o
número 3,2.
Frações
Fração pode ser entendida como sendo um
número que exprime uma ou mais partes
iguais em que foi dividida uma unidade ou
um inteiro.
23
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza
inteira e a dividirmos em quatro partes iguais,
cada parte representará uma fração (um
quarto) da pizza.
Frações equivalentes
Duas ou mais frações que representam a
mesma quantidade de uma grandeza são
chamadas frações equivalentes.
Exemplo:
Então, uma fração significa dividir algo em
partes iguais. Assim: indica
, sendo a
e b números naturais, e
Luiz e Otávio ganharam barras de chocolate
do mesmo tamanho. Luiz dividiu seu
chocolate em 6 partes iguais e comeu 4
delas. Otávio preferiu dividir o seu em três
partes iguais e comeu 2 partes. Quem comeu
mais chocolates?
. O número a
representa o numerador e o número b
representa o denominador.
Solução:
Exemplo:
Observamos que
quantidades iguais:
Considerando fração
Otávio comeu
os
dois
comeram
do chocolate e Luiz comeu
do chocolate conforme ilustrado a seguir:
Temos que a unidade foi dividida em quatro
partes. Conforme a figura:
1/4
1/4
1/4
1/4
As frações
A parte sombreada indica uma parte da
figura, que representa
Leitura de frações
e
representam a mesma parte
da unidade e,
equivalentes.
por
Indicamos assim:
=
isso,
são
frações
Como reconhecer frações equivalentes?
Metade (um meio)
Quatro quintos
Para saber se
Três sétimos
equivalentes,
maneira:
Dois doze avos
1º Multiplicamos o numerador da primeira
fração pelo denominador da segunda fração:
e
, por exemplo, são
precedemos
da
seguinte
24
2º Multiplicamos o denominador da primeira
fração pelo numerador da segunda fração:
3º Comparamos os resultados obtidos. Se
obtermos dois produtos iguais, as frações
são equivalentes:
9 x 8 = 72 = 12 x 6
Portanto concluímos que:
=
Tipos de Frações
Fração propria: é aquela em que
numerador é menor que o denominador.
Ex.:
Exemplo:
- Duas frações que possuem a mesma forma
irredutível são equivalentes.
Simplificação de frações
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la
em uma forma mais simples, para que a
mesma se torne mais fácil de ser
manipulada.
a)
(9
b)
(2=2)
5)
Propriedades das Frações
Uma fração não se altera, quando se
multiplica seus dois termos pelo mesmo
número, sendo ele diferente de zero, ou
mesmo, fazendo a divisão dessa fração pelo
mesmo divisor comum.
Exemplos:
a)
A simplificação pode ser feita através dos
processos de divisão sucessiva ou pela
fatoração.
1) A divisão sucessiva corresponde a dividir
o numerador e o denominador pelo
mesmo número.
2)
Fração impropria: é aquela em que o
numerador é maior ou igual que o
denominador.
OBS:
- Quando multiplicamos ou dividimos os
termos de uma fração por um mesmo
número natural, diferente de zero, obtemos
uma fração equivalente à fração inicial.
(1
o
b)
Uma fração é alterada quando é adicionado
ou subtraido um valor igual tanto do
numerador quanto do denominador.
Exemplo:
Exemplos:
a)
2) A fatoração corresponde em obter o
máximo
divisor
comum
entre
o
numerador e o denominador e dividir
ambos por esse valor.
Exemplo: Simplifique
.
Como m.d.c. (36,60) = 12, então:
b)
Operações fundamentais com frações
Adição: Há dois casos possiveis:
1º) Frações com denominadores iguais.
25
Neste caso, somamos os numeradores e
conservamos o valor do denominador.
Exemplos:
Subtração: Procede-se de maneira análoga
à adição.
a)
Por exemplo:
1º) Frações com denominadores iguais.
b)
Exemplo:
2º) Frações com denominadores diferentes.
Neste caso, reduzimos as frações ao mesmo
denominador comum e, em seguida
procedemos como no caso anterior.
2º) Frações com denominadores diferentes.
Exemplo:
Para reduzir duas ou mais frações ao mesmo
denominador comum, procedemos do
seguinte modo:
Como mmc (2,6) = 6, então:
-Calculamos o mmc dos denominadores.
Esse mmc será o menor denominador
comum.
mesmo denominador comum.
Multiplicação: O produto de duas ou mais
frações resulta em uma fração cujo
numerador
é
a
multiplicação
dos
numeradores
das
frações
a
serem
multiplicadas e o denominador é a
multiplicação dos denominadores das frações
a serem multiplicadas.
Como mmc(3,5,6)=30 então:
Exemplos:
-Dividimos o denominador comum pelo
denominador de cada fração e multiplicamos
o resultado pelo numerador dessa fração.
Exemplo: Reduza as frações
, ao
a)
b)
Inverso Multiplicativo:
Logo temos que:
=
Exemplo: Usando a redução ao mesmo
denominador comum, calcule:
a)
Toda fração (número racional) diferente de
zero possui um inverso multiplicativo.
Exemplo: é o inverso de , pois:
=
Como mmc (4,2) = 4, então,
Para que um número seja o inverso
multiplicativo de outro número, o produto
entre eles deverá ser igual a 1.
26
Divisão: Para que haja a divisão entre
frações, multiplicamos a primeira fração pelo
inverso da segunda fração.
Exemplo:
Representando esses três números em uma
mesma reta numerada, teremos:
a)
As frações e a reta numérica
EXERCÍCIOS – Aula 3
As frações podem ser representadas
geometricamente na reta numerada.
Sejamos
um
exemplo:
representação geométrica
Obtenha
a
das frações
.
Quando os números estão na forma
fracionária, dividimos o segmento de reta que
representa a unidade de referência em partes
iguais, conforme o denominador da fração:
Dividimos a unidade em 2 partes iguais
Dividimos a unidade em 3 partes iguais
Dividimos a unidade em 6 partes iguais
01) Escreva por extenso, os seguintes
números decimais:
a) 4, 4
b) 0, 25
c) 3, 456
d) 2, 034
e) 15, 200
f) 25, 63
g) 65, 354
h) 78, 1234
i) 321, 225
j) 154, 890
k) 759, 1233
l) 564, 2000
m) 410, 6
n) 11, 312
o) 0, 005
02) Efetue as adições e subtrações:
a) 12, 48 + 19 =
b) 12, 5 + 0, 07 =
c) 12, 8 + 3, 27 =
d) 31, 3 + 29, 7 =
e) 107, 03 + 32, 7 =
f) 83, 92 + 16, 08 =
g) 275, 04 + 129, 3 =
h) 94, 28 + 36, 571 =
i) 189, 76 + 183, 24 =
j) 13, 273 + 2, 48 =
k) 85, 3 − 23, 1 =
l) 97, 42 − 31, 3 =
27
m) 250, 03 − 117, 4 =
n) 431, 2 − 148, 13 =
o) 400 − 23, 72 =
p) 1050, 37 − 673, 89 =
q) 3 − 1, 07 =
r) 98 − 39, 73 =
s) 43, 87 − 17 =
t) 193 − 15, 03 =
06) Se um número racional está na forma
fracionária e um outro está na forma decimal,
é possível compará-los, escrevendo, por
exemplo, a fração na forma decimal. Podese, também, escrever o número decimal na
forma fracionária e efetuar a comparação
com o número que está na forma fracionária.
Qual é o maior número: 0,815 ou ?
03) Efetue as multiplicações e divisões:
a) 200 × 0, 3 =
b) 130 × 1, 27 =
c) 93, 4 × 5 =
d) 208, 06 × 3, 15 =
e) 0, 3 × 0, 7 =
f) 112, 21 × 3, 12 =
g) 12, 1 × 4, 3 =
h) 243, 5 × 2, 53 =
i) 357 × 0, 5 =
j) 793 × 0, 07 =
k) 3 ÷ 2 =
l) 21 ÷ 2 =
m) 7 ÷ 50 =
n) 9, 6 ÷ 3, 2 =
o) 4064 ÷ 3, 2 =
p) 1, 5 ÷ 2 =
q) 4, 8 ÷ 30 =
r) 1, 776 ÷ 4, 8 =
s) 7, 502 ÷ 12, 4 =
t) 0, 906 ÷ 3 =
u) 50, 20 ÷ 5 =
v) 21, 73 ÷ 1, 06 =
w) 35, 28 ÷ 9, 8 =
07) Compare os números a seguir, colocando
<, > ou =
a)
04) Efetue as expressões:
a) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) =
b) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2 =
c) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] =
d) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] − 12, 33 =
e) 3 − (0, 7 + 0, 4) · 2 =
f) 1, 5 · 2 − (2 − 0, 5 · 2) =
g) 1 − (0, 7 + 0, 3 · 0, 7) =
05) Efetue:
a) 36, 9 x 721 =
b) 36, 9 x 7, 21 =
c) 0, 369 x 7, 21 =
d) 3, 69 x 7, 21 =
e) 3, 69 x 0, 721 =
f) 0, 369 x 0, 721 =
g) 1, 2 0, 08 =
h) 3, 2 x 0, 25 =
i) 0, 15 x 0, 12 =
j) 123, 45679 x 0, 9 =
b)
c)
08) Represente as frações na forma decimal:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
09) Converta os números que estão forma
decimal para a forma de fração irredutível:
a) 0,4
b) 1,2
c) 0,065
d) 3,75
e) 0,125
f) 0,025
10) Paulo Pintou
de uma figura que
representa um inteiro. Represente na forma
decimal a parte não pintada.
11) Identifique os decimais equivalentes a
1,2:
a) 102; b) 1,20; c) 1,200; d) 1,0020
12) Coloque uma vírgula no número 25314
de modo a obter:
a) um número menor que 3
b) um número maior que 100
c) um número maior que 2500 e menor que
2600.
28
13) Pensei em um número, adicionei 0,73 e
obtive 1,27. Em que número pensei?
14) Um reservatório de água tem um
vazamento e perde 0,15 litro por hora.
Supondo que o vazamento continue no
mesmo ritmo e que o reservatório continue
recebendo água, responda:
a) quantos litros esse reservatório perderá
em 27 horas?
b) quantos litros esse reservatório perderá
em uma semana?
15) Simplifique as frações:
a)
b)
c)
d)
16) Calcule:
a)
=
c) Quantas horas correspondem a
do dia?
d) Quantos minutos correspondem a
de
hora?
e) Quantos anos correspondem a
de
século?
19) Qual é o quociente?
a) 28,5 0,15
b) 0,625
c) 10,24 3,2
d) 3,408 0,04
e) 1,743 24,9
(resolva este exercício utilizando a divisão
pelo método da chave e também resolva-o
convertendo os decimais em fração para
fazer divisão entre frações)
21) A parede de uma cozinha tem 5,7 m de
comprimento. Ela será revestida com
azulejos de 0,15 m por 0,15 m. quantos
azulejos inteiros poderão ser colocados em
casa fila?
=
e)
=
f)
=
g)
=
i)
semana?
b) Quantos dias correspondem a do mês?
20) Cálcule o quociente aproximado com
uma casa decimal após a vírgula.
a) 38
b) 138
c) 267 45
=
d)
h)
da
=
b)
c)
18) Responda:
a) Quantos dias correspondem a
22) Nesta igualdade n
0,07 = 2, a letra n
representa um número racional. Qual é o
valor de n?
23)
=
Determine
qual
número
é
menor:
=
17) Em julho de 1969, os astronautas
americanos Armstrong e Aldrin foram os
primeiros homens a pisar na Lua, lá
permanecendo cerca de 21 horas. Mais
tarde, o segundo grupo que pisou na Lua
permaneceu cerca de uma vez e meia o
tempo dos primeiros. Quantas horas o
segundo grupo permaneceu na Lua?
23) Transforme as frações mistas a seguir
em frações impróprias:
a)
b)
29
c)
24)
Converta
cada
fração
decimal
em
número decimal.
3
10
a)
Videoaula 5 – aproximando números inteiros
2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-numeros-inteiros-2
Videoaula 6 – aproximando números inteiros
3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-numeros-inteiros-3
=
b)
5
100 =
c)
7
1000
d)
56
10
e)
43
1000
f)
1234
10
g)
51005
=
100
h)
57803
=
100
=
=
=
=
25) Coloque os números racionais em ordem
crescente:
____<____<____<_____<____<____
Links videoaulas – aula 3
Videoaula 1 – valor posicional 1
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gues/valor-posicional-1
Videoaula 2 – valor posicional 2
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gues/valor-posicional-2
Videoaula 3 – valor posicional 3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/valor-posicional-3
Videoaula 4 – aproximando números inteiros
1
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gues/aproximando-numeros-inteiros-1
Videoaula 7 – aproximando valores decimais
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-valores-decimais
Videoaula 8 – comparando decimais
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gues/comparando-decimais
Videoaula 9 – pontos em uma reta numérica
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gues/pontos-em-uma-reta-numerica
Videoaula 10 – posição dos valores decimais
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gues/posicao-dos-valores-decimais
Videoaula 11 – posição dos valores decimais
2
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gues/posicao-dos-valores-decimais-2
Videoaula 12 – convertendo decimais para
frações 1 – exemplo 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-1exemplo-1
Videoaula 13 – convertendo decimais para
frações 1 – exemplo 2
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Videoaula 14 – convertendo decimais para
frações 1 – exemplo 3
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Videoaula 15 – convertendo decimais para
frações 2 – exemplo 1
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gues/convertendo-decimais-para-fracoes-2exemplo-1
30
Videoaula 16 – convertendo decimais para
frações 2 – exemplo 2
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Videoaula 17 – convertendo frações em
decimais
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Videoaula 18 – convertendo frações para
decimais (exemplo 1)
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Videoaula 19 – convertendo frações para
decimais (exemplo 2)
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Videoaula 20 – decimais e frações
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Videoaula 21 – decimais na reta numérica
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Videoaula 22 – ordenando expressões
numéricas
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Videoaula 23 – dividindo decimais
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Videoaula 24 – dividindo decimais 2.1
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Videoaula 25 – multiplicando decimais
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Videoaula 26 – multiplicando decimais por
potências de 10
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Videoaula 27 – somando números reais aplicação
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Videoaula 28– subtraindo problemas com
decimais
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Videoaula 29 – frações próprias e impróprias
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Videoaula 30 –frações equivalentes
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Videoaula 31 – exemplo de frações
equivalentes
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Videoaula 32 – numerador e denominador de
uma fração
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/numerador-e-denominador-de-umafracao
Videoaula 33 – adição de números racionais
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-de-numeros-racionais
Videoaula 34 – alterar um numero misto para
uma fração impropria
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/alterar-um-numero-misto-para-umafracao-impropria
Videoaula 35 – adicionando e subtraindo
números mistos -exemplo 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numerosmistos-05-exemplo-1
Videoaula 36 – adicionando e subtraindo
números mistos – exemplo 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numerosmistos-05-exemplo-2
Videoaula 37 – adicionando e subtraindo
números mistos 1 – exemplo 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numerosmistos-1-exemplo-1
31
Videoaula 38 – adicionando e subtraindo
números mistos 1 – exemplo 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numerosmistos-1-exemplo-2
Videoaula 49 – problema prático de
multiplicação de frações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problema-pratico-de-multiplicacao-defracoes
Videoaula 39 – comparando frações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes
Videoaula 50 – somando números mistos
com denominadores diferentes
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-numeros-mistos-comdenominadores-diferentes
Videoaula 40 – comparando frações 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes-2
Videoaula 41 – comparando frações
impróprias e números mistos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes-improprias-enumeros-mistos
Videoaula 42 – convertendo números mistos
em frações impróprias
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-numeros-mistos-emfracoes-improprias
Videoaula 43 –transformando uma fração
imprópria para um número misto
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/transformando-uma-fracao-impropriapara-um-numero-misto
Videoaula 51 – somando e subtraindo
frações com denominadores diferentes
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-fracoes-com-denominadoresdiferentes
Videoaula 52 – somando frações com sinais
diferentes
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-fracoes-com-sinais-diferentes
Videoaula 53 – problema de expoentes
envolvendo quocientes
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-expoente-envolvendoquocientes
Videoaula 54 – subtraindo frações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtraindo-fracoes
Videoaula 44 – dividindo frações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-fracoes
Videoaula 45 – dividindo números mistos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-numeros-mistos
Videoaula 46 – dividindo números mistos e
frações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-numeros-mistos-e-fracoes
Videoaula 47 – exemplo de divisão de
frações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/exemplo-de-divisao-de-fracoes
Videoaula 48 – problema prático de divisão
de frações
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problema-pratico-de-divisao-de-fracoes
32
b) Represente a fração
Aula 4
na forma decimal.
Dízimas Periódicas
c) Represente a fração
na forma decimal.
Veremos agora, que todo número racional
pode ser representado por uma fração
decimal finita ou por uma fração decimal
infinita periódica.
Para obter a forma decimal de uma fração,
temos 3 possibilidades:
1. Representação ou forma decimal finita de
uma fração;
2. Representação decimal infinita de uma
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
4) Represente a fração
A fração
na forma decimal.
se converterá em uma fração
cujo denominador é formado por uma
potência de 10, pois 125 = 53. Sua
representação decimal terá 3 casas decimais
já que o expoente do fator 5 é 3, ou seja,
3. Representação decimal infinita de uma
fração ordinária – DÍZIMA
PERIÓDICA
COMPOSTA
1. Representação ou forma decimal finita
de uma fração.
Uma fração ordinária e irredutível
(número racional), terá uma representação
decimal finita, quando seu denominador
contiver apenas os fatores primos 2, 5 ou 2 e
5. Neste caso, o número de casas decimais,
será dado pelo maior expoente dos fatores 2
ou 5.
Caso Geral
, onde, a, b, m, n e
são inteiros.
Exercício: Obtenha a representação decimal
da fração ordinária
.
Exemplo:
a) Represente a fração
A fração
na forma decimal.
se converterá em uma fração cujo
denominador é formado por uma potência de
10, pois 25 = 52. Sua forma decimal terá 2
casas decimais já que o expoente do fator 5
é 2. Para tanto, basta multiplicar o numerador
e o denominador por 22.
2. Representação decimal infinita de uma
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
Uma fração ordinária e irredutível se
transformará
numa
dízima
periódica
simples
quando
seu
denominador
apresentar apenas fatores primos diferentes
de 2 e 5 ou de 2 ou de 5, ou seja, sua forma
decimal será infinita possuindo um grupo de
algarismos que se repetem indefinidamente.
Exemplos:
33
a)
, converteu-se em um dízima
periódica simples, já que 11 é o único fator
primo do denominador e é diferente de 2 e 5.
Uma notação conveniente e usual para
indicar uma dízima periódica consiste usar
uma barra sobre a parte que se repete. Por
exemplo:
.
Voltando ao exemplo dado: 0,333..., vamos
justificar porque a geratriz é .
Seja a equação dada por:
x = 0,333...
(1)
Multiplicando a equação (1) por 10 obtemos
a equação:
10x = 3,333....
b) Represente a fração
na forma decimal.
Inicialmente, vamos dividir 1 por 3.
Subtraindo
obtemos:
(2)
a equação (2) da equação (1)
10x = 3,333....
x = 0,333....
-------------------------9x = 3,000...
Assim,
Resumindo....
Observe que o processo de divisão não
termina. Sempre teremos um resto diferente
de zero, ou seja, resto 1 e sempre menor que
o divisor 3.
Coloca-se o período no numerador da fração
e, para cada algarismo dele, coloca-se um
algarismo 9 no denominador.
Exemplo: 0,4444...
Observe que:
Período 4 e (1 algarismo)
0,444... =
( é a fração geratriz dessa dízima).
Veja a seguir!
Determinando a fração geratriz da dízima
periódica simples
A geratriz de uma dízima periódica simples é
a fração cujo numerador é o período (parte
que se repete) e cujo denominador é formado
por tantos “noves” quantos forem os
algarismos do período. Se a dízima possuir
parte inteira, ela deve ser incluída na frente
dessa fração, formando um número misto.
Exemplo: 0,313131...
Período é 31 e possui 2 algarismos.
Então: 0,3131....=
3. Representação decimal infinita de uma
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA
COMPOSTA
Uma fração ordinária e irredutível se
transformará em uma dízima periódica
34
composta quando seu denominador, além
dos outros fatores primos 2, 5 ou 2 e 5,
possuir outros fatores primos quaisquer.
.
Exemplo:
Portanto,
a)
é uma dízima periódica
composta, pois além dos fatores 2 e 5, tem o
fator 3.
Determinando a fração geratriz da dízima
composta
A geratriz de uma dízima periódica composta
é a fração cujo numerador é o anteperíodo,
acrescido do período e diminuído do
anteperíodo e cujo denominador, é formado
por tantos “noves” quanto forem os
algarismos do período, acrescido de tantos
“zeros” quantos forem os algarismos do anteperíodo.
Resumindo...
Para cada algarismo do período se coloca
um algarismo 9 no denominador. Mas, para
cada algarismo do antiperíodo se coloca um
algarismo zero, também no denominador.No
caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) –
(parte inteira com antiperíodo).
Exemplo: 0,27777....
Se a dizima possuir parte inteira, ela deve ser
incluída à frente dessa fração formando um
número misto.
Exemplos:
a) Calcule a fração geratriz de 0,03666.....
Observe que o anteperíodo dessa dízima é
03 (possui 2 algarismos) e o período é 6
(possui 1 algarismo).
b) Calcule a fração geratriz de 2,14272727....
Fique atento....
Observe que 2,14 é a representação decimal
finita do número racional procurado. Agora, o
número 0,002727... é a representação
decimal periódica infinita, cujo período é 27,
ou seja, possui 2 casas decimais. Assim,
Todo número real ou é racional, ou é
irracional.
Quando um número real é um número
racional, sua representação decimal ou
forma decimal pode ser finita ou infinita
periódica.
35
Quando um número real não é um número
racional, será neste caso um número
irracional e sua forma decimal será infinita
e não periódica. Por exemplo:
04) Classifique os numerais abaixo em
racionais ou irracionais:
a) 0,2222222.... ______________
b) 12,5 _____________________
c) 2,3434...__________________
d) 0,54789 ... ________________
e) 2,4458___________________
f) 0,444444... _______________
g)
______________________
h)
____________________
05) Obtenha as frações geratrizes das
dízimas a seguir:
EXERCÍCIOS – Aula 4
01) Determine a fração geratriz de cada número
decimal abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
0,525252 ... =
0,666 ... =
0,32444 ... =
5,241241241 ... =
0,48121121121 ... =
34,212121 ... =
5,131131131 ... =
0,643777 ... =
02) Assinale as sentenças
(verdadeiras) ou f (falsas):
a)
b)
c)
d)
e)
a) 0,777... =
b) 0,444... =
c) 0,1818... =
d) 2,333 ... =
e)
=
f)
=
g)
=
06) O resultado da expressão 0,555... +
3,777... é igual a:
a) 4; b) 20/3; c) 56/9; d) 69
+
07) Calcule a dízima periódica e diga se ela é
simples ou composta:
com
v
a) 5/9
b) 7/3
c) 1029/180
d) 1/36
e) 5/11
f) 1/3
08)
O número 0,1357911 ... foi obtido
colocando-se sucessivamente a sequência
de números ímpares positivos, a partir do 1.
Esse número é um racional ou um irracional?
Por quê?
09) Entre as afirmações a seguir, qual é a
verdadeira?
a) toda dízima periódica é um número
irracional.
b) todo número inteiro é natural.
c) todo número racional é real.
36
d) todo número real é irracional.
Links de videoaulas – aula 4
Não possui videoaulas
37
De um modo geral, tomando o número real
temos que
pois:
Aula 5
POTENCIAÇÃO
Potência de expoentes naturais
Definição: Dado certo número
real, e um
número natural n, chama-se potência de grau
n do número e denota-se por
o produto
Propriedades da potenciação

de n fatores iguais a .
Produto de potência de mesma base:
Na operação de multiplicação entre
potências de mesma base, o produto é
igual à potência que se obtém
conservando-se a base e somando-se os
expoentes.
Exemplos:
Exemplos:
4
2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 ( dois a quarta
potência)
a)
63 = 6 x 6 x 6 = 216 ( seis ao cubo)
3x3x3
3x3
3 vezes 2 vezes
Alguns casos particulares:
5 vezes
1. Expoente igual a 1: qualquer número com
expoente igual a 1, tem como resultado o
número base.
b) 15 x 17 = 15 + 7 = 112 = 1
c) 5 x 52 = 51 + 2 = 5
Exemplos:
(2)1 = 2
(3/5)1 = 3/5
(100)1 = 100

2. Expoente igual a 0: a potência de
qualquer número real não nulo a com
expoente 0, tem como resultado o
número 1.
Divisão de potencia de mesma base:
Na operação de divisão de potências de
mesma base, o quociente é igual a
potencia que se obtém conservando-se a
base e subtraindo-se os expoentes.
Exemplos:
(8)0 = 1;
(1/3)0 = 1;
(30)0 = 1
38

Exemplos:
a) 55
52 = 55 – 2 = 53 , pois:
Potência de Fração: Para calcular a
potência de uma fração, eleva-se o
numerador e o denominador da fração a
essa potência.
=
,b
0
104 = 1010 – 4 = 106
b) 1010
Exemplos:
c) 3
4
4–1
3=3
=3
3
a)

Potência de Potência: Podemos elevar
uma potência a outra potência. Para
efetuar este cálculo conserva-se a base e
multiplicam-se os expoentes.
b)
=
=
;y
c)
Exemplos:

a) (34)2 = 38, pois 34 34 = 34 + 4 =
32 x 4
b) (62)5 = 610, pois 62 62 62 62 62 =
=62 + 2 + 2 + 2 + 2 = 65 x 2
0
;y
0
Potência com expoente negativo
Toda e qualquer potência que tenha
expoente negativo é equivalente a uma
fração a qual o numerador é 1 e o
denominador é a mesma potência com
expoente positivo.
c) (23)3 = 29, pois 23 23 23 = 23 x 3

Potência de um produto: Para se
efetuar a operação de potência de um
produto, basta elevar cada fator a esta
potência.
Exemplos:
Exemplos:
a) (2 5)7 = 27 57
3
=
=
b)
=
=
c)
=
=
Observação: as propriedades aplicadas
aos expoentes naturais, também são
validas para os expoentes negativos.
b) (42 53 75)4 = 48 512 720
c) (
a)
=

Potência de 10: Todas as potências de
10 têm a função de simplificar e
39
padronizar o registro de números e ainda,
facilitar o cálculo de várias expressões.
Para isso utilizaremos as seguintes
técnicas:

Se o número for menor que 1.
Exemplos:
a) 0,002 = 2 x 0,001 = 2 x
1. Se o expoente for positivo na potência
( n
0), escreve-se à direita do 1
b) 0,0006 = 6 x 0,0001 = 6 x
c) 0,00003 = 3 x 0,00001 = 3 x
tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente.
Potência de números relativos:
Exemplos:
4
a) 10 = 10000
b) 107 = 10000000
c) 108 = 100000000
2. Se o expoente for negativo na potência
( n 0), escreve-se à esquerda do 1
tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente, colocando uma vírgula
depois do primeiro zero.
Exemplos:
a) 10-4 = 0,0001
Observe que:
Caso o expoente seja par o resultado dará
sempre positivo.
Exemplo:
a)
=4
b)
=4
Caso o expoente seja ímpar, o resultado
trará sempre o sinal da base da potência.
Exemplos:
a)
= 27
b)
=
Obs:
, pois
=
e
= . A diferença é que na primeira
potência apenas o número 2 esta elevado ao
quadrado, enquanto que na segunda, o sinal
e o número 2 estão elevados ao quadrado,
tornando o resultado positivo.
b)
= 0,00001
c)
= 0,0000000001
3. Decompondo números em potências de
10: Existem dois casos de decomposição
de números em potência de 10.

Se o número for maior que 1.
RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa a
potenciação. De um modo geral podemos
escrevê-la:
Exemplos:
a) 100 = 1 x 100 = 1 x
b) 5000 = 5 x 1000 = 5 x
Onde para
temos que:
c) 20000 =2 x 10000 = 2 x
O número
é chamado radicando,
O número
é chamado índice do radical,
40
O número b é a raiz,
;
é o radical.
;
Exemplos:
;
= 2 pois
= 2 pois
= 16
;
=8
Exemplos:
Expoentes fracionários
*
a)
,
b)
c)
Exemplos:
d)
Fatoração na radiciação
Fatorar um número é achar uma
multiplicação de números que resulte ao
número a ser fatorado.
Propriedade de radiciação
Agora aplicaremos este conceito para a
radiciação.
, pois
Tomando
:
, pois
Temos
que
=
, pois
Exemplos:
Portanto:
a)
=
Racionalização na radiciação
b)
=1
Consiste
em
eliminar
radicais
denominador em uma fração.
c)

Propriedades
radiciação
de
operações
para
Denominador igual a
fator
de
racionalização
do
: neste caso o
é
.
Para
eliminar este fator do denominador de
uma
fração,
basta
multiplicar
o
;
41
numerador e o denominador da fração
por este fator.
j) 122.62 =
k) (-2)2.(-3)2.(4)2 =
l) (23.5.33)2 =
m) 55
55 =
n)
Exemplo:
o)
=
a)
p)
=
q)
b)
r) 20-1 =
s) (32.4-2)1 =

Quando o denominador de uma fração é
do
tipo:
,
, para eliminar
os radicais do denominador basta
multiplicar o numerador e o denominador
da
fração
pelo
conjugado
do
denominador.
Exemplos:
a)
t) 53
57 =
u) 203-1 . 2-1 =
v) 0-19 =
01) Represente e efetue quando necessário,
os números a seguir, utilizando potências
de 10.
a) 200 =
b) 5.300.000.000 =
c) 10.000 =
d) 0,01 =
e) 0,002 =
f) 0,00000032 =
g) (20.000 x 35.000) / 100 =
02) Verdadeiro ou falso:
a) 1,345 = 1345 x 10-3
Exercícios - Aula 5
b) 2 x 10-4 = 0,002
c) 23 x 10-2 = 0,23
01) Calcule as potências:
d) 33 . 35 = 98
e) 73
75 = 7-5 . 73
a)
f)
b) 15 =
g) (10000.315000000.150-2)/30000.10000
c) 03 =
5-3 . 53 = 1
= 7/15
d) 34 =
e) (-3)4 =
03) Efetue:
f) (-2)3 =
g) h) 45
3
a)
42 =
b)
3
i) 2 . 5 =
c)
42
d)
e)
e)
f)
06) Simplifique os radicais:
a)
g)
b)
h)
i)
c)
j)
d)
k)
l)
e)
m)
07) Calcule o valor das expressões:
04) Racionalize o denominador das frações a
seguir:
a)
a)
b)
b)
c)
=
c)
d)
08) A letra a representa o produto:
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
09) Claudio calculou o cubo de
por
05) Expresse os números a seguir na forma
de radical:
a)
Qual é o valor de a?
Qual é o dobro de a?
Qual é o valor do quadrado de a?
Qual é o valor da quarta parte de a?
e o dividiu
. Que resultado obteve?
10) Calcule a raiz quadrada da soma do
quadrado de e o quíntuplo de .
11) Qual é o valor de
?
b)
c)
12) Calcule o valor das expressões:
a)
d)
b)
43
c) O valor de
de
é igual ao valor
em uma potência de
base 5.
?
25) O quociente entre dois números é 14.
Qual é o valor do quociente de seus
quadrados?
13) Calcule as potências:
a) (0,1)2
b) (2,3)3
c) (18,95)0
26) Transforme as expressões a seguir em
um produto de potências:
14) Calcule o valor de (0,5)2 e (0,5)3. Qual
deles é maior?
15) Calcule:
a) O quadrado de 6,2
b) O quadrado de 3,1
c) A soma do quadrado de 6,2 com o
quadrado de 3,1
16) Carlos calculou o cubo de 2,8 e o dividiu
por 1,6. Que resultado ele obteve?
17) Qual é o valor da expressão: (4,3)2 –
2.1,8 ?
18) Calcule:
a)
;
24) Transforme
b)
19) Obtenha
os
resultados
expressões numéricas:
a)
b)
c)
destas
20) Determine o valor das expressões a
seguir:
a)
b) (a3b2c)-3
27) Transforme cada potência em um produto
de potências de bases iguais:
a) 10n-2
b) 8-n+6
28) Analise cada uma das igualdades e
indique as que estão corretas. Reescreva
as incorretas, de modo que sejam
verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
29) Escreva com todos os dígitos, o resultado
de 3,42 . 10-4 .
30) Um número em notação científica é o
produto de um número escrito entre 1 e
10 (incluindo e excluindo 10) por uma
potência de base 10. Sabendo disso,
escreva os números a seguir usando
notação científica:
a) 7500000000
b) 0,0000192
a)
31) Escreva com todos os algarismos, os
números cujas notações cinetíficas são:
a) 1,06 . 108;
b) 5,024 . 10-6
b)
c)
21) Qual é o valor de (-5)-3 ?
32)
é um número:
a) Real; b) racional; c) inteiro; d) natural
33) Simplificando
22) Como escrever
usando fatores primos
e expoente inteiro negativo?
23) Mário obteve estas notas nas provas de
Matemática de certo bimestre: 6,5; 7,0;
5,0; 8,5; 6,0. Calcule a média aritmética
dessas notas.
a
,
expressão
obtém-se
um
número:
a) Compreendido entre -2 e 0
b) Compreendido entre -1 e 2
c) Compreendido entre 2 3
d) Maior do que 3.
44
Links videoaulas – aula 5
Videoaula 01 – entendendo os expoentes
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/entendendo-os-expoentes1
Videoaula 02 – entendendo os expoentes 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/entendendo-os-expoentes-2
Videoaula 03 – expoente nível 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/expoentes-nivel-1
Videoaula 04 – expoentes positivos e
negativos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/expoentes-positivos-e-negativos
Videoaula 05 – entendendo a raiz quadrada
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/entendendo-a-raiz-quadrada
Videoaula 06 – regras de potência parte 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/regras-de-potencia-parte-1
Videoaula 07 – regras de potência parte 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/regras-de-potencia-parte-2
45
AULA 6
Forma reduzida e monômios semelhantes
Expressões Algébricas
Podemos escrever o monômio 6.a.(-3).x2 em
uma forma reduzida sendo dada por
-18ax2.
São expressões matemáticas que envolvem
números, letras e as operações indicadas
entre eles. As letras são as variáveis de uma
expressão algébrica e podem representar
qualquer número real.
Além disso, dois ou mais monômios são
chamados semelhantes quando têm partes
literais iguais.
Exemplo: 2a2b e -5a2b são monômios
semelhantes.
Exemplos:
a) 10ax + 4b
Operações entre monômios
2
b) ax + bx + c
c) 7a
Adição e Subtração entre monômios
Valor numérico
algébrica
A soma ou a diferença de dois monômios
semelhantes é um monômio com:
 Coeficiente igual à soma algébrica dos
coeficientes;
 Parte literal igual à desses monômios.
de
uma
expressão
É o resultado que obtemos quando
atribuímos às letras dessa expressão valores
numéricos e efetuamos as operações nela
indicadas.
Exemplo: A expressão 20t representa a
quantidade de parafusos produzidos em t
horas. Determine quanto parafusos são
produzidos em 4 horas.
Substituindo t por 4 na expressão 20t
obtemos a quantidade de parafusos
produzidos em 4 horas. Assim, 20t=20.4=80
parafusos.
Monômio
São expressões algébricas que representam
um produto de números reais por uma parte
literal formada por letras e seus expoentes,
que devem ser números naturais.
Exemplo:
Exemplos:
a) 3x2y3 + 5 x2y3 = (3 + 5) x2y3 = 8 x2y3
b) 39x5y4 − 25 x5y4 = (39 − 25)x5y4=14x5y4
Multiplicação e Divisão entre monômios
Multiplicação entre monômios
A multiplicação entre dois ou mais monômios
é um monômio com:
 Coeficiente igual ao produto dos
coeficientes desses monômios;
 Parte literal igual ao produto das partes
literais desses monômios.
Exemplo:
(2ax2).(5a3xy) = (-2.5).a.a3.x2.x.y=
= -10.a1+3.x2+1.y =
= -10a4x3y
Divisão entre monômios
A divisão ou quociente entre dois monômios
com divisor diferente de zero, tem:
 Coeficiente igual ao quociente entre os
coeficientes desses monômios;
46

Parte literal igual ao quociente entre as
partes literais desses monômios.
Exemplo:
Trinômio: é uma soma algébrica de três
monômios. Exemplo: ax2 + bx + c
Polinômio:
monômios.
é
uma
soma
Obs: Monômios também
chamados de polinômios.
algébrica
de
podem
ser
Grau de um polinômio (não nulo) com uma
variável é o maior expoente da variável que
tem coeficiente diferente de zero.
Potência de um monômio
A potência de um monômio é um monômio
com:
 Coeficiente
igual
à
potência
do
coeficiente desse monômio;
 Parte literal igual à potência da parte
literal desse monômio.
Exemplo:
Simplificação de expressões algébricas
Podemos
simplificar
as
expressões
algébricas
que
envolvem
operações
procedendo da mesma forma que em
expressões numéricas. Efetuamos primeiro
às potências, em seguida calculamos os
produtos e o quocientes e, finalmente, as
somas algébricas, reduzindo os termos
semelhantes.
Exemplo: Simplifique a expressão algébrica
Exemplo:O grau do polinômio 6t2 + 20t -3 é 2,
pois é o maior expoente de t com coeficiente
diferente de zero.
Operações entre polinômios
Adição e subtração de polinômios
Para somar ou subtrair polinômios,
colocamos termo semelhante abaixo de
termo semelhante e efetuamos a adição ou
subtração. Veja os exemplos a seguir:
a) (a + 4ab) + (9a - 6ab - 6) =
=10ª – 2ab – 6
a + 4ab
+ 9a – 6ab – 6
---------------------10a – 2ab – 6
b) (8x3 + 6x2 – 7) – (7x2 – 5) =
= 8x3 - x2 – 2
Para calcular a diferença, eliminamos os
parênteses trocando os sinais de 7x2 – 5. Em
seguida, efetuamos a adição entre os
polinômios.
8x3+ 6x2 – 7
+
- 7x2 + 5
é o oposto 7x2 – 5.
---------------------8x3 - x2 – 2
Multiplicação e divisão de polinômios
Binômios Trinômios e Polinômios
Binômio: é uma soma algébrica de dois
monômios. Exemplo: ax + b
Calculamos o produto de dois polinômios
multiplicando cada termo de um deles por
todos os termos do outro e reduzindo os
termos semelhantes.
Exemplo: Determine o produto:
47
Exemplo:
Para calcular o quociente e o resto da divisão
entre x4+ 4x3 + 4x2 + 9 por x2 + x – 1,
escrevemos os polinômios na forma
completa e na ordem decrescente dos
expoentes dos monômios.
Inicialmente, dividimos o termo de maior grau
do dividendo pelo termo de maior grau do
divisor.
Dividimos um polinômio por um monômio,
não nulo, dividindo cada termo desse
polinômio por esse monômio.
Exemplo: Faça a divisão de 36x6 – 12x5 por
6x2.
(36x6 – 12x5)
Em seguida, calculamos x2 . (x2 + x – 1) e
subtraímos o resultado do dividendo. ... ou
adicionamos o oposto a ele.
Faremos este processo, até que o resto da
divisão resulte em um polinômio cujo grau é
menor do que o grau do divisor. Assim:
6x2 =
Dividimos um polinômio por outro
polinômio, não nulo, de maneira semelhante
ao utilizado para os números.
Em geral, em uma divisão de polinômios
podemos escrever uma relação entre
multiplicação e divisão: quociente x divisor +
resto = dividendo.
Por exemplo: Na divisão de (6x3 – 5x2 – 17x
– 1) por (x-2):
EXERCÍCIOS – Aula 6
01) Escreva cada frase a seguir usando
uma expressão algébrica:
a) A soma do quadrado de um número x
com um número y.
b) O quociente entre o quadrado de um
número a e o quadrado de um
número b, diferente de zero, nessa
ordem.
c) O quadrado da diferença entre um
número x e um número y, nessa
ordem.
02) Determine o valor numérico da
expressão a2 + 2ª + 3 para a = - 5
Temos:
03) Qual é o valor numérico da expressão
algébrica:
para y = 4?
04) Determine o valor de x para o qual
não existe o valor numérico destas
expressões algébricas:
48
a)
;
b)
;
13) Efetue as operações e simplifique as
expressões algébricas:
c)
05) Para quais valores de x o valor
numérico da expressão
não é um número real?
a) x = 0; b) x = 4; c) x = 6,4 d) x = 10
Determine o valor numérico dessa
expressão algébrica quando ele for um
número real.
06) Os monômios
e
são
semelhantes? Justifique sua resposta.
a) (3y2) - y2 + 3y2
b)
c)
14) Qual é o quadrado de – 11ª2b3?
15) Calcule as potências:
a) (-3x2y3)3
b) (0,2y2z)5
07) Quando um monômio é nulo?
c)
08) Calcule a soma e a diferença, na
ordem dada, entre estes monômios:
d)
0,3ay4)2
a) -5x2 e -7x2
e)
1,2ª4b2)2
b) –ay3 e 10ay3
f)
c)
e
d)
e
16) Simplifique as expressões algébricas:
a)
b)
e)
e
c)
09) Qual é o monômio que na forma
reduzida
corresponde
a:
17) Qual é o resultado de
?
10) Calcule estas somas algébricas:
?
18) Considere a expressão algébrica
(5y+4y)2 - (5y – 4y)2 e responda:
a) Ela é um monômio? Qual?
b) Qual é o valor numérico da expressão
para y = -3?
a)
b)
11) Qual é o monômio que multiplicado
por 20x3y tem como produto -18x4y2?
12) Calcule os produtos:
a)
b)
19) O valor numérico da expressão a3 –
3a2 . x2 . y2 , em que a = 10, x = 3 e y
= 1, é igual a: _____
20) Um polinômio que possui monômios
semelhantes pode ser escrito na
forma reduzida, ou seja, com um
número menor de termos. Em posse
dessa informação, determine a forma
reduzida dos polinômios:
c)
a)
b)
49
21) Qual é o valor numérico do polinômio
y4 – y2 + 1 para y = -1/2
22) Qual é o valor numérico do polinômio
para y = - 4
23) Calcule o valor de y para o qual o
valor numérico do polinômio 5y – 7 é
13.
24) Para qual valor de a o valor numérico
do binômio
é igual a zero?
25) Quais são os valores de m e n para
que o polinômio (m – 2)y3 + (2n – 1)y2
seja nulo?
26) Obtenha a soma de (-25ª + 7ab) com
(-4ab + 16a)
27) Calcule (32a – 40b – 18c) – (27a –
18c – 27b)
2
28) Calcule A – B, sendo A = -3m + 20m
+ 14 e B = 14 + 31m – 10m2
29) Calcule a soma de
com
30) Que polinômio adicionado a 8a3 +
14a2 – 9 resulta em –a3 + a2 – 2ª + 6 ?
31) A soma de dois polinômios é igual a
.
Um
deles
é
.
Qual
é
o
outro
polinômio?
32) Considere os polinômios A = x2 –
2xy+ 4y2 e B = -2x2 + 2xy + 4y2.
33) Que monômio deve ser adicionado a
7a4 – 4a2 – 12a + 19 para se obter um
trinômio do 2º grau?
34) Qual é o produto do monômio -13ab2
pelo polinômio (-2ª + 5b – 3a2b – 6)?
35) Considere P =
e
Q =
a) Qual é o produto de P por Q?
b) Qual é o valor numérico de P.q
para m = - 2 e n = 0?
36) Calcule o produto dos seguintes
polinômios:
a) (x + 3).(x + 3)
b) (5a + 1).(5a + 2)
c) (y + 4).(y2 + 3y)
d) (12x + 30).(x/6 + 1/3)
e) (x + 1/3).(9x + 15)
f)
(x + 2).(x2 – 2x + 4)
g) (12x2 + 6x – 3).(2x – 1)
h) (7y2 + 2y + 2).(10y2 + 4y – 4)
37) Sabendo que P = 9a2 – 3ª, M = 3ª + 1
e R = 9a2 + 1, responda:
a) Qual é o polinômio P.M.R ?
b) Qual é o polinômio
?
38) Dados os polinômios A = x – 1, B = x2
+ x e C = x, determine os polinômios:
a) A.B
b) B.C
c) A.a ou A2
d) A.B – B.C + A.C
39) Calcule o produto dos polinômios e
reduza os termos semelhantes:
a) a.(2a + b + 2) + b.(- a – b+ 12) –
12.(a + b- 1)
a) Qual é o resultado de (A – B)?
b) Qual é o valor numérico de (A –
B) para x = 1 e y = ¼ ?
c) Que expressão algébrica se
obtém para –(A - B)?
d) Relacione o valor numérico de
–(A – B) para x = 1 e y = ¼ com o
valor de (A – B) obtido no item b.
b) (3x - 2).(2x + 3) – 6x.(x + 1)
40) Se A = x.(3x – 1) e B = (x + 5).(3x – 2)
determine os polinômios:
a) A – B
b) – 13.(A – B)
41) Que polinômio é o resultado da
divisão de 36x2 – 12x5 por 6x2?
50
42) O produto de um polinômio pelo
monômio
é
.
Qual é esse polinômio?
43) Determine o quociente da divisão de
81a5 – 21a2 por 3a2 .
44) Calcule o quociente e o resto de (24x2
– 28x – 10) (-3x + 2)
45) Qual o quociente e qual o resto da
divisão de 22x3 – 6x4 – 12 + 35x por –
x + 4?
46) Considere os polinômios A = 63x3 –
62x2 + 51x – 20 e B = - 9x + 5.
Responda:
a) Qual é o quociente da divisão do
polinômio A pelo polinômio B?
b) Qual é o valor numérico desse
quociente para x = -2?
c) O polinômio A é divisível pelo
polinômio B? Por quê?
47) A divisão de um polinômio P por (-3x
+ 1) é exata e tem quociente igual a (9x2 – 3x + 4). Determine o polinômio
P.
48) O polinômio A é divisível pelo
polinômio B = -6x – 2, e o quociente
da divisão de A por B é (x2 – 3x + 1).
Qual é o polinômio A?
49) Calcule o quociente e o resto de
50) Calcule:
a)
Videoaula 2 – propriedades exponenciais – 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-2
Videoaula 3 – propriedades exponenciais – 3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-3
Videoaula 4 – propriedades exponenciais – 4
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-4
Videoaula 5 – propriedades exponenciais – 5
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-5
Videoaula 6 – propriedades exponenciais – 5
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-6
Videoaula 7 – propriedades exponenciais – 5
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-exponenciais-7
Videoaula 8 – fatoração por agrupamento e
fatorar completamente
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/fatoracao-por-agrupamento-e-fatorarcompletamente
Videoaula 9 – somando e subtraindo
polinômios 1
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gues/somando-e-subtraindo-polinomios-1
Videoaula 10 – somando e subtraindo
polinômios 2
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gues/somando-e-subtraindo-polinomios-2
Videoaula 11 – somando e subtraindo
polinômios 3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-e-subtraindo-polinomios-3
Videoaula 12 – adicionando e subtraindo o
mesmo valor de ambos os lados
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gues/adicionando-e-subtraindo-o-mesmovalor-de-ambos-os-lados
b)
c)
Links videoaulas: aula 6
Videoaula 1 – o que é uma variável?
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/o-que-e-uma-variavel
Videoaula 13 – dividindo monômios
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-monomios
Videoaula 14 – multiplicando e dividindo
monômios 1
51
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicando-e-dividindo-monomios-1
Videoaula 15 – multiplicando e dividindo
monômios 3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicando-e-dividindo-monomios-3
Videoaula 16 – multiplicando monômios por
polinômios
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicando-monomios-por-polinomios
52
Aula 7
Obs: a2 + 2ab + b2 também é chamado de
trinômio quadrado perfeito, porque é igual
ao quadrado de a+b.
Exemplo: Calcule
Produtos Notáveis
Alguns produtos, resultados da multiplicação
de binômio por binômio, são chamados de
produtos notáveis, por suas frequentes
aplicações nos cálculos algébricos.
Vejamos alguns deles:
Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro termo, mais duas
vezes o produto do primeiro termo pelo
segundo e mais o quadrado do segundo
termo.
As letras a e b representam termos que
podem ser usados para expressar as
medidas dos lados de um quadrado.
O polinômio que representa essa área pode
ser determinado usando-se áreas de
quadrados e retângulos. Veja a figura a
seguir:
OBSERVAÇÃO:
-Um trinômio de 2º grau é quadrado perfeito
quando dois dos seus termos são quadrados
perfeitos.
Por exemplo: O trinômio x2 + 5x + 6 não é um
trinômio quadrado perfeito porque não tem
dois termos que sejam quadrados perfeitos.
OBSERVAÇÃO:
- Para fatorar um trinômio qualquer ax2 + bx
+ c na forma (x + m).(x + n) basta existirem
dois números cuja soma é b e cujo produto é
c.
Exemplo: O trinômio x2 + 5x + 6 não é um
trinômio quadrado perfeito, entretanto
podemos fatorá-lo na forma (x + m)(x + n).
Para este exemplo, temos que:
3+2=5
3.2 = 6
Onde 5 = b e 6 = c.
Observe a figura geométrica:
Podemos também, desenvolver (a+b)2
efetuando o produto de (a+b).(a+b) usando a
propriedade distributiva da multiplicação em
relação à soma algébrica:
(a+b).(a+b)= a(a+b) + b(a+b) =
= a2 + ab + ba + b2 =
= a2 + 2ab + b2
Completando esta figura com retângulos
obtemos:
53
Logo, dentre os valores listados na tabela,
temos que m = -3 e n = -4 ou m = -4 e n = -3.
Portanto, x2 – 7x + 12 = (x - 3).(x - 4)
Quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença de dois termos é
igual ao quadrado do primeiro termo, menos
duas vezes o produto do primeiro termo pelo
segundo e mais o quadrado do segundo
termo.
Assim, a área do retângulo maior é dada por:
x2 + 3x + 2x + 3.2 = x2 + 5x + 6
Algebricamente:
Ou, podemos também escrever:
Exemplo:
(2x – 5)2 = (2x)2 – 2.(2x).(5) + (5)2 =
= 4x2 – 20x + 25
Produto da soma pela diferença de dois
termos
Que é a forma fatorada do trinômio dado.
Assim, x2 + 5x + 6 = (x + 3).(x + 2)
O produto da soma de dois termos pela
diferença desses mesmos termos é igual ao
quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do segundo.
Exemplo: Deterrmine a forma fatorada do
trinômio x2 – 7x + 12.
A forma fatorada deste trinômio é dada por
Assim,
(x + m).(x + n), onde:
m+n=-7
e m.n 12
Para encontrar os valores de m e n, vamos
elaborar uma tabela onde listamos dois
números cujo produto seja 12 e cuja soma
seja -7:
m
-1
1
-2
2
-3
3
n
-12
12
-6
6
-4
4
m.n
12
12
12
12
12
12
m+n
-13
13
-8
8
-7
7
Exemplo:
(x + 2).(x - 2) = x(x – 2) + 2(x - 2) =
= x2 – 2x + 2x – 4 =
= (x)2 - (2)2 = x2 – 4
Diferença de dois quadrados
54
a2 – b2 = (a + b).(a - b)
= a3 – 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 – b3 =
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Exemplo:
Exemplo:
(3x – 1)3 =
x2 – 4 = (x + 2).(x - 2)
= (3x)3 – 3.(3x)2.(1) + 3.(3x).(1)2 – (1)3
Cubo da soma de dois termos
O cubo da soma de dois termos é igual ao
cubo do primeiro termo, mais três vezes o
produto do quadrado do primeiro termo pelo
segundo, mais três vezes o produto do
primeiro termo pelo quadrado do segundo e
mais o cubo do segundo termo.
= 27x3 + 27x2 + 9x + 1.
Diferença de dois cubos
a3 – b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)
Exemplo:
x3 - 27 = (x – 3).(x2 + x.3 + 32)
Soma de dois cubos
a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
Exemplo:
x3 + 8 = (x + 2).(x2 - x.2 + 22)
Exemplo:
(2x + 3)3 =
= (2x)3 + 3. (2x)2.(3) + 3.(2x).(3)2 + (3)3=
EXERCÍCIOS – Aula 7
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27
Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos é igual
ao cubo do primeiro termo, menos três vezes
o produto do quadrado do primeiro termo
pelo segundo, mais três vezes o produto do
primeiro termo pelo quadrado do segundo e
menos o cubo do segundo termo.
01) Analise cada uma das igualdades e
indique as que estão corretas.
Reescreva as incorretas, de modo eu
sejam verdadeiras:
a)
b)
c)
(a – b)3 =
= (a – b).(a – b)2 =
2
d)
2
= (a – b).(a – 2ab + b ) =
e)
55
14) Que expressão se deve adicionar a
(a2 + b4) para se obter o quadrado de
(a – b2) ?
f)
02) Que polinômio obtemos quando
efetuamos as potências e os produtos
e reduzimos os termos semelhantes
da expressão (2 + a)2 – 2a.(2 – 2a) ?
03) Represente o polinômio (x – 3)2 – 3.(3
– 2x) na forma reduzida.
04) Desenvolva os produtos notáveis e
obtenha a forma reduzida de (2n + 9)2
– (2n – 1)2
05) Qual monômio deve ser adicionado
ao binômio 4a2 + 4ab2 para obter (2a
+ b2)2 ?
06) Que monômio deve ser adicionado ao
binômio (a4 – a3) para obter (a2 - a)2 ?
07) Que monômio deve ser subtraído do
binômio x4 + 9y2 para obter (x2 – 3y)2
?
08) Que monômio deve ser subtraído do
trinômio x2 – 2xy + 4y2 para que ele
seja o quadrado de (x – 2y)?
09) Se a.b = 96
responda:
e a2 + b2 = 208,
a) Quais são os valores de a e b?
b) Qual é o quadrado da soma
desses números?
10) Sabendo que m2 + n2 = 52 e m.n =
24, responda:
a) Que
expressão
algébrica
corresponde a (m – n)2 ?
b) Qual é o valor dessa expressão?
11) Dados A = 3x – 1 e B = 3x + 1,
calcule:
a) A2 – B2
b) (A – B)2
12) Calcule
o
produto
15) Se A = 2m2 – m e B = m2 – 5m, qual
é o resultado da diferença A2 – B2?
16) Qual o quociente de (2a + y2).(2ª – y2)
por 4a2 – y4 , para 4a2 y4 ?
17) Calcule o valor de m2 – n2, sendo: m +
n = 22 e m – n = -2
18) A soma de dois números a e b é igual
a-9 e a diferença entre esses
números é 15. Qual o valor de a2 – b2
?
19) Observe esta expressão: [3 + (x-y)] .
[3 – (x-y)]. Desenvolvendo o produto,
que polinômio se obtém?
20) O produto de dois binômios é x2 – 6x
– 27, dos quais um é igual a x +3.
Determine o outro.
21) Efetue as operações indicadas na
expressão (a + c)3 – a.(a + c)2 – c.(a –
c)2
representando-a
na
forma
reduzida.
22) Se P = x3 – 3x2 – 2 e Q = 3x + 1, a
expressão P + Q é igual a (x – 2)3 ou
igual a (x – 1)3 ?
23) Efetue as operações utilizando os
produtos notáveis:
a) [(a + b)+ c].[(a+ b) - c]
b) (x - y + z).(x – y – z)
24) Efetue os produtos notáveis e reduza
os termos semelhantes da expressão:
de
13) Represente esta expressão em uma
forma reduzida. (am2 – m3)2 – (a2m4 +
m6) + am2.(1 + m3)2
25) Qual é a forma reduzida da expressão
algébrica (x + 3y)2 + (3x – y)2 ?
56
26) Simplifique a expressão (x – 2y)3 – (x3
+ y3) e calcule seu valor numérico
para x = 1 e y = -1.
2
27) Observe este binômio: 54ma – 9.
a) Quais são os fatores comuns a
esses termos?
b) Escreva uma forma fatorada
desse binômio.
28) Considere o polinômio 12x4y2 – 48x3y2
+ 60x2y5
a) Quais são os fatores comuns das
partes numéricas desses termos?
b) Quais são os fatores comuns das
partes literais desses termos?
c) Escreva uma forma fatorada
desse polinômio.
29) Qual é o produto que se obtém
fatorando a expressão
?
30) Fatorando o binômio 81 – y2 , que
produto se obtém?
31) Observe o binômio: 16m4 – a2
a) Escreva uma forma fatorada
desse binômio.
b) Qual é o valor numérico desse
binômio para 4m2 + a = 40 e 4m2
–a=8?
32) Fatore os polinômios:
a) 25x2 – a2
b) X2y4 – 64
c) -121a2 + b4
d)
36) Fatore os polinômios:
a) y2 – 8y + 16
b) x2y2 + 10xy + 25
37) Considere o trinômio: x2 + 13x + 42
a) Verifique se esse trinômio é
quadrado perfeito
b) Existem dois números cujo
produto é o termo independente
de x e cuja soma é o coeficiente
de x. Quais são esses números?
c) Indique uma forma fatorada desse
trinômio.
38) Determine
os
monômios
que
podemos acrescentar aos binômios
para obtermos trinômios quadrados
perfeitos:
a) 9x2 + 49
b) 81x2 + 16
c) 49y4 + 1
d) y4 + (2/3)y2
39) O produto de dois binômios é x2 – 2x
– 24. Quais são esses binômios?
40) Qual é a forma fatorada para o
polinômio (a + b)2 – 49 ?
Links videoaulas – aula 7
Não possui.
33) Observe o trinômio: 36m4n2 + 12m2n +
1.
a) Que termos desse trinômio são
quadrados perfeitos?
b) O polinômio 36m4n2 + 12m2n + 1 é
um trinômio quadrado perfeito?
c) Escreva uma forma fatorada
desse trinômio.
34) O polinômio 4a2 + 81 + 9a2 é um
trinômio quadrado perfeito?
35) Escreva a forma fatorada de 25m6 +
10m3 +1.
57
Quando uma equação se transforma em uma
sentença verdadeira para um valor atribuído,
esse valor é chamado solução ou raiz dessa
equação.
Aula 8
Equação de 1º Grau com uma variável
Exemplo:
18 é a solução ou raiz da equação
, pois,
Vamos aprender a escrever uma equação
que traduza as informações de um problema,
trabalhar com letras como se elas fossem
números e obter soluções da equação.
Equações Equivalentes
Forma geral de uma equação de 1º grau e
dada por: ax + b = 0, onde a e b são números
reais e a 0.
Duas equações são equivalentes quando têm
exatamente as mesmas raízes.
Por exemplo:
Exemplo:
e
são equivalentes pois as duas têm a mesma
solução que é - 3.
Equações Fracionárias
=
É toda equação que apresenta frações
algébricas em cujo denominador aparecem
as variáveis.
Exemplo:
O valor de x pode ser determinado usando os
princípios da igualdade:
- aditivo da igualdade: podemos adicionar ou
subtrair um mesmo número aos dois
membros de uma igualdade;
- multiplicativo da igualdade: podemos
multiplicar os dois membros de uma
igualdade pelo mesmo número e também,
dividi-los por um mesmo número (diferente
de zero).
Assim,
Equações Literais
São equações que apresentam outras letras
além daquela que representa a variáveis.
Exemplo:
Resolva a equação 2ax = 10 na variável x.
Inequações do 1º grau com uma variável
Observação:
58
Definimos por inequação do 1º grau toda
equação do 1º grau que é expressa por uma
desigualdade entre expressões algébricas
que envolvem operações com números e
números representados por letras.
De um modo geral:
Onde a e b são números reais e e a
Determine as soluções da inequação:
Para resolvê-la, adicionamos 4 a cada
membro, subtraímos x de cada membro e
dividimos cada membro por 2.
0
Exemplo:
2x + 2 < 3 é uma inequação de 1º grau com
uma variável.
Os valores possíveis para x são todos os
números reais maiores que-2.
Solução de Inequações de 1º grau com
uma variável
Resolver uma inequação de 1º grau com
uma variável significa determinar suas
soluções.
Para obtermos a solução de uma inequação,
levaremos em conta os princípios das
desigualdades:
- Princípio aditivo das desigualdades:
Quando adicionamos (ou subtraímos) um
mesmo numero aos dois membros de uma
desigualdade verdadeira, obtemos outra
desigualdade, também verdadeira.
Princípio
desigualdades:
Multiplicativo
Equações de 1º grau com duas variáveis
Uma equação de 1º grau com duas variáveis
é do tipo ax + by = c onde a, b e c são
números reais com a e b não nulos.
Exemplo: x + y = 2 é uma equação de 1º
grau com duas variáveis. Algumas soluções
inteiras são os pares ordenados: (-2,4); (1,3); (0,2); (2,0); (5,-3);(6,-4). Podemos
representar essas soluções por pontos no
plano cartesiano através de uma reta.
y

das
Quando multiplicamos (ou dividimos) os
dois membros de uma desigualdade
verdadeira por um mesmo número positivo,
obtemos outra desigualdade, também
verdadeira e de mesmo sentido.




x











Quando multiplicamos (ou dividimos) os
dois membros de uma desigualdade
verdadeira por um mesmo número negativo,
invertemos o sentido da desigualdade e
obtemos outra desigualdade, também
verdadeira.
Vejamos alguns exemplos:



Observação: Chamamos de par ordenado
dois números a e b, considerados em certa
ordem e indicados entre parênteses. Se a
59
ordem é primeiro o número a e depois o
número b, indicamos o par ordenado por
(a,b). Se a ordem é primeiro b e depois a,
indicamos por (b,a).
Então, 7x = -21, ou seja, x = -3
Sistemas de equações de 1º grau com
duas variáveis
3) Método da Comparação
Estudaremos três métodos diferentes para
resolução de sistemas de equações com
duas variáveis.
Este método, consiste em isolar a mesma
variável nas duas equações e comparar os
resultados, obtendo-se desta forma uma
equação do 1º grau.
1) Método da Substituição
Exemplo:
Substituindo x por -3 em uma das equações
desse sistema, calculamos o valor para y:
5(-3) + 4y = 4
y = 19/4 ou y = 4,75
Neste método, isolamos uma das variáveis
em uma das equações.
Exemplo:
Vamos escolher uma das variáveis (y por
exemplo) e isolá-la nas duas equações:
Escolhendo, por exemplo, a 1ª equação,
vamos isolar a variável y:
Agora vamos igualar as duas equações e
determinar o valor de x:
Agora, basta substituir o valor encontrado
para y na 2ª equação e determinar x:
Finalmente, basta substituir x por 45 no valor
encontrado para y a partir da 1ª equação:
2) Método da Adição
Podemos resolver um sistema adicionando,
membro a membro, as duas equações.
Exemplo:
Como - 4y e 4y são termos opostos,
-4y+4y=0. Então adicionamos membro a
membro as duas equações e cancelamos -4y
com 4y:
2x – 4y = -25
5x + 4y = 4
-----------------7x + 0y = -21
Substituindo o valor encontrado para x em
qualquer
uma
das
duas
equações,
encontramos o valor de y:
EXERCÍCIOS – Aula 8
01) Leia este problema: “A terça parte da
idade de Zeca diminuída de 4 anos é 9”.
a) Equacione o problema
b) Qual é a idade de Zeca?
02) Resolva as equações:
a) 16 + 8y = 3y + 81
b) 5x = 12x + 49
c) 20 – 8x = -19 – 21x
d) 4x – 31 = 34x – 13
e) 15 – 9x = 5x + 64
f) -18 + 2x + 6 = 7x – 12 – 8x
03) Represente o problema a seguir,
utilizando uma equação e resolva-o.
Em um determinado dia, a temperatura
no Ártico chegou a -48º C. Essa
60
temperatura ocrrespondeu a ¾ da
temperatura média da Groenlândia. Qual
foi a temperatura média da Groenlândia
nesse dia?
04) Zeca é o cestinha do time de basquete de
sua escola. Nos jogos da Primavera do
ano passado, seu time foi campeão. O
quádruplo do número de pontos que ele
fez, na final, diminuído de 29 pontos,
resultou em 127 pontos. Quantos pontos
ele fez nesse jogo?
05) Determine a raiz das equações de 1º
grau com uma incógnita a seguir:
a) 6x – 17 = 13(x – 1) – 4
b) 12(t – 3) + 1 = 6(t + 1) – 5
c) 6(-3n + 5) - 4(2n + 2) = -3(6 + 8n)
06) Determine
a
raiz
da
equação
07) A casa de José fica em um terreno
retangular com 84 metros de perímetro.
O comprimento desse terreno é o triplo
da largura. Quais são as medidas dos
lados do terreno onde está a casa de
José?
08) Em uma corrida, a velocidade média
alcançada por uma avestruz excede a de
um cavalo em 2 quilômetros por hora. A
diferença entre o triplo da velocidade
média do avestruz e o dobro da do cavalo
é de 76 quilômetros por hora. Qual é a
velocidade média que cada um deles
consegue atingir?
09) Determine as raízes das equações a
seguir:
a)
11) A raiz da equação
está
situada entre dois números inteiros.
Quais são eles?
12) Pensei em três números consecutivos,
cuja soma é – 72. Em que números
pensei?
13) Uma urna contém ao todo 108 bolas,
entre azuis, vermelhas e amarelas. O
número de bolas azuis é o dobro do de
vermelhas, e o número de bolas
amarelas é o triplo do de azuis. Quantas
bolas de cada cor existem na urna?
14) Observe a equação:
a) Que valor de y é a raiz dessa
equação?
b) Se, nessa sentença, y representasse
um número inteiro negativo, então a
raiz encontrada poderia ser aceita
como resposta?
15) Qual é o número que, adicionado à sua
sétima parte, é igual a 19?
16) Considere a expressão 2n em que n
representa um inteiro positivo para
responder:
a) As expressões 2n e 2n+2 representam
números pares ou ímpares?
b) para n = 11, as expressões 2n e 2n + 2
representam
números
pares
consecutivos?
17) Uma empresa tem três sócias. Uma delas
recebeu a metade do lucro anual, a outra
recebeu um terço desse lucro anual mais
R$ 24.000,00, e a terceira sócia recebeu
R$ 76.000,00. Qual foi o lucro da
empresa?
b)
c)
d)
10) Destas equações, duas são equivalentes.
Quais são elas?
a)
b)
c)
18) De seu saldo bancário, Gabriela retirou a
metade do que tinha, depois um terço do
restante e ainda ficou R$ 200,00. Qual
era o salário inicial de Gabriela?
19) Em um certo restaurante, as pessoas
pagam uma quantia fixa de R$ 3,00 mais
R$ 20,00 por um quilograma de comida
consumida em cada prato. Quantos
quilogramas de comida consumiu um
cliente que gastou R$ 18,20?
61
b)
20) Um comerciante pagou R$ 930,00 por
uma encomenda de 30 camisetas.
Algumas delas custaram R$ 40,00 e
outras, R$ 25,00. Quantas camisetas de
cada preço havia nessa coleção?
21) Arlete foi ao açougue e comprou 3 kg de
contrafilé e ½ kg de patinho. Deu R$
70,00 e recebeu R$ 4,60 de troco.
Sabendo que o quilo de contrafilé custa
R$ 3,60 a mais do que o quilo de patinho,
qual foi o preço de 1 kg de patinho?
22) Mariana tem 7 anos de idade e sua tia 41
anos. Daqui a quantos anos a idade de
Mariana será um terço da idade de sua
tia?
23) Determine a solução de cada uma das
equações fracionárias:
a)
c)
d)
29) A diferença entre dois números é 20. Um
deles é 2/7 do outro. Que números são
esses?
30) A soma de dois números racionais é 70 e
a diferença dividida pelo número menor
dá quociente 8. Determine esses
números.
31) A razão entre dois números inteiros é de
12 para 7 e a diferença entre eles é 25.
Que números são esses?
32) Determine o par ordenado (a,b) que é
solução de cada um dos sistemas de
equações a seguir:
a)
b)
b)
c)
d)
24) Determine
a
.
soluço
da
equação
25) Nas equações a seguir, a incógnita é y.
Qual é a solução de cada uma?
33) Escolha um dos métodos explorados e
resolva os sistemas abaixo:
a)
b)
a)
b)
26) Escreva três números que são soluções
da inequação 9x – 4 < 5, considerando o
conjunto dos números racionais positivos
como um conjunto de números que
podem ser atribuídos a x.
27) Qual é o maior número inteiro que é
solução da inequação:
28) Resolva as inequações:
a)
c)
34) A soma dos números da casa em que
mora Mônica e de onde ora sua mãe é
132. Esses números são escritos com os
mesmos algarismos, porém em posições
trocadas, e a diferença entre esses
algarismos é 2. Qual é o número da casa
de cada uma delas?
35) Um número é escrito com dois
algarismos. O quociente do algarismo
das dezenas pelo das unidades é 3.
Invertendo a ordem dos algarismos,
obtemos um novo número, que tem 36
62
unidades a menos que o primeiro. Que
número é esse?
36) Paulo e Mariana gastaram R$ 48,00
tomando lanche juntos. Tirando-se R$
6,00 do que cada um pagou, o restante
da quantia paga por Paulo é o dobro do
que restou da despesa de Mariana.
Quanto gastou cada um deles?
Gabarito dos exercícios – aula 8
7) comp. 31,5 m e larg. 10,5 m
8) cavalo: 70 quilômetros por hora e aveztruz
72 quilômetros por hora.
9) a) y=3; b) z = -3; c) x = -17; d) t=-3/5
10) a e b
11) 1 e 2
12) -25, -24, -23
13) 12 vermelhas, 24 azuis e 72 amarelas
14) a) 2; b) não
15) 133/8
16) a) números pares; b) sim
17) R$ 600.000,00
18) R$ 600,00
19) 0,76 kg
20) 12 camisetas de R$ 40,00 e 18
camisetas de R$ 25,00
21) R$ 15,60
22) 10 anos
23) a) 3/10; b) 4; c) ¾; d) -28/93
24) não existe solução.
25) a) 3m/7; b)
26) 0,25; ½; 0 (existem outras respostas)
27) 11
28) a)
; b)
; c)
29) 8; 28
30) 7; 63
31) 60; 35
32) a) (-22/3; 56/9) b) (2/5; -3/4)
33) a) (3/2; -1/2) b) (-5,4) c) (1/2; -4/15)
34) 57; 75
35) 62
36) Paulo gastou R$ 30,00 e Mariana R$
18,00
Links de videoaulas – aula 8
Não possui
63
Aula 9
Razão e proporção
Densidade de um material
Razão: A razão entre grandezas de mesma
natureza é a razão entre os números que
expressam as medidas dessas grandezas,
na mesma unidade.
A razão entre a massa de um material e o
volume ocupado por ela nos dá a ideia de
densidade desse material.
Exemplo: João é o cestinha da equipe de
basquete de sua escola. Em um jogo, de 16
arremessos, João acertou 12. E Pedro, seu
colega de equipe, acertou 12 dos 24
arremessos que fez. Qual deles teve um
aproveitamento melhor nesse jogo?
Para resolvermos este problema, devemos
relacionar o número total de acertos com o
total de arremessos de cada um:
João:
Exemplo: Uma placa de chumbo com volume
de 0,001 dm3 tem massa de 11,3 g. Qual é a
densidade do chumbo?
(João teve
3 acertos para cada 4 arremessos)
Pedro:
(Pedro
teve 1 acerto para cada 2 arremessos)
Como 0,75 > 0,50, concluímos que João
teve um aproveitamento melhor que Pedro.
Densidade demográfica
O conceito de densidade demográfica é
muito utilizado em Geografia.
A densidade demográfica de uma região é
a razão entre o número de habitantes e a
área dessa região.
Observação: Se a e b são dois números
racionais, e b é diferente de zero, dizemos
que a b ou é a razão entre a e b, nessa
ordem. Lemos: “razão de a para b” ou “a está
para b”.
Razões especiais
Velocidade Média
A velocidade média de um objeto é a razão
entre a distância percorrida pelo Objeto e o
tempo gasto para percorrê-la.
Exemplo: Em 2010, a população brasileira
era de aproximadamente 191 milhões de
habitantes, distribuídos em uma área de
8547403 km2, ou seja, cerca de 8500000
km2. Qual era o número de habitantes por
quilômetro quadrado nesse ano?
Para resolver este problema, basta dividir o
número de habitantes, em 2010, pela área.
Exemplo: João percorreu 4200 km de avião
durante 6 horas. Qual é a velocidade média
desenvolvida pelo avião durante esse
percurso?
64
Proporção: A proporção é uma igualdade
entre duas razões.
Uma proporção envolve quatro termos: a, b,
c e d. Nessa ordem, temos:
( b e d são diferentes de zero)
Lê-se: “a está para b, assim como c está
para d”.
Propriedade fundamental:
Em uma proporção, o produto dos extremos
é igual ao produto dos meios.
Proporcionalidade entre grandezas
Muitas vezes, a variação de uma grandeza
provoca a variação de outra, em uma razão
direta ou inversa. Dizemos então que essas
grandezas são proporcionais e que essa
variação
pode
se
dar
em
uma
proporcionalidade direta ou em uma
proporcionalidade inversa.
Duas
grandezas
são
inversamente
proporcionais quando os produtos dos
valores de uma delas pelos valores
correspondentes da outra são iguais.
Em outras palavras,duas grandezas são
inversamente proporcionais quando uma
varia sempre na razão inversa da outra.
Assim, ao dobrar o valor de uma, o valor de
outra se reduz pela metade; ao dividir por 3 o
valor de uma, o valor de outra é multiplicado
por 3; e assim por diante.
Exempo: Renato comprou 240 figurinhas da
Copa do Mundo de futebol para dividir entre
alguns de seus sobrinhos. O número de
figurinhas que cada sobrinho receberá
depende de quantos sobrinhos Renato vai
considerar. Veja a tabela:
no sobrinhos
no figurinhas por sobrinho
2
120
3
80
4
60
5
48
A razão entre o número de sobrinhos e o
inverso do número de figurinhas que cada
um recebeu é sempre a mesma:
Grandezas diretamente proporcionais
Duas
grandezas
são
diretamente
proporcionais quando as razões entre os
valores de uma delas e os valores
correspondentes da outra são iguais.
Exemplo:
Em uma papelaria, cobram-se 20 centavos
por página xerocada. Assim:
Quantidade
páginas
Preço total
(R$)
1
2
3
4
5
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
A razão entre a quantidade de páginas
xerocadas e o preço é sempre a mesma:
O preço total é, então, diretamente
proporcional à quantidade de páginas
xerocadas.
Grandezas inversamente proporcionais
Logo, o número de sobrinhos é inversamente
proporcional ao número de figurinhas que
cada um recebeu.
Regra de três Simples
Podemos resolver problemas que envolvem
proporcionalidade entre duas grandezas com
uma regra prática, que chamamos regra de
três simples.
Passos utilizados numa regra de três
simples
1) Construir uma tabela, agrupando as
grandezas da mesma espécie em
colunas e mantendo na mesma linha
as grandezas de espécies diferentes
em correspondência.
2) Identificar se as grandezas são
diretamente
ou
inversamente
proporcionais.
3) Montar a proporção e resolver a
equação.
65
Variantes da Regra de três simples
1) Regra de três simples direta:
Nesta modalidade de regra de três, são
envolvidas duas grandezas diretamente
proporcionais, ou seja, quando a variação de
uma delas corresponde à mesma variação da
outra grandeza dada, no problema a ser
resolvido.
A montagem da solução deste tipo de
problema é feita na mesma ordem de todas
as grandezas.
Exemplo:
Em um dia de sol, Janete e Paulo mediram
suas sombras. Janete tem 165 cm de altura e
Paulo, 180 cm. Sabendo que, em
determinado horário, o comprimento da
sombra de Paulo era 60 cm, qual era o
comprimento da sompra de Janete?
(Considere que o comprimento da sombra,
em determinado instante, é proporcional à
altura da pessoa).
Altura da pessoa (cm)
Janete = 165 cm
Paulo = 180 cm
Comprimento da
sombra (cm)
x
60 cm
Como as grandezas são diretamente
proporcionais, podemos montar a seguinte
proporção:
Aplicando a propriedade fundamental das
proporções e resolvendo a equação:
Exemplo:
Uma torneira enche um barril em 20 minutos,
com uma vazão de 15 l/min. Se a vazão
fosse 5 l/min, quantos minutos seriam
necessários para encher o barril?
vazão (l/min)
15
5
Tempo (min)
20
x
Nesse caso, se dobrarmos a vazão, o tempo
para encher o barril ficará reduzido à metade,
e assim por diante. Então, as grandezas são
inversamente proporcionais e, por isso,
montamos a seguinte proporção:
Portanto, se a vazão fosse 5 l/min, seriam
necessários 60 minutos para encher o barril.
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em
problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
Exemplo:
Trabalhando 5 dias, duas
produzem 60 pares de brincos.
pares
de
brincos
três
trabalhando no mesmo ritmo
outras, produzirão em 2 dias?
artesãs
Quantos
artesãs,
que as
Vamos organizar os dados:
Portanto, nesse horário, a sombra de Janete
tinha 55 cm de comprimento.
2) Regra de três simples inversa:
Nesta modalidade de regra de três são
envolvidas duas grandezas inversamente
proporcionais, ou seja, quando existe a
variação de uma das grandezas a outra
varia, porém de forma contrária, mais na
mesma proporção.
A montagem da solução deste tipo de
problema é feita invertendo as ordens das
grandezas.
no de dias
5
2
no de artesãs
2
3
no de pares de
brincos
60
x
Vamos comparar a grandeza número de
pares de brincos (na qual está o termo
desconhecido) com as outras duas
grandezas:
 O número de dias é diretamente
proporcional ao número de pares de
brincos;
66

O número de artesãs também é
diretamente proporcional ao número
de pares de brincos.
Para resolver o problema, usaremos o
fato de que, se uma grandeza é
proporcional a outras grandezas, então é
proporcional ao produto delas.
Assim:
Aplicando a propriedade fundamental das
proporções:
Exercícios - Aula 9
Aplicando a propriedade fundamental das
proporções:
Portanto, 3 artesãs produzirão 36 pares de
brincos em 2 dias.
Exemplo:
Em um prédio, 6 pintores pintam uma área
de 300 m2 em 2 horas. Quantos pintores,
trabalhando no mesmo ritmo que os outros,
são necessários para pintar uma área de 400
m2 em 1 hora?
no de pintores
6
x
Área (m2)
300
400
Tempo (h)
2
1
Comparando a grandeza número de pintores
(na qual está o termo desconhecido) com as
outras duas:
 O número de pintores é diretamente
proporcional à área pintada;
 O número de pintores é inversamente
proporcional ao tempo gasto.
01) Marcos e Renato se destacaram em um
campeonato de futebol interclasses da
escola. De 50 chutes a gol, Marcos
acertou 20 e, de 60 chutes a gol, Renato
acertou 40. Qual deles teve o melhor
aproveitamento nesse campeonato? Por
quê?
02) Em um jogo de vôlei, de cada 12 saques
que Rita deu, ela acertou 8.
a) Qual é a razão entre o número de
acertos e o número de saques?
b) Se ela tivesse dado apenas 3 saques
com o mesmo aproveitamento,
quantos deles teria acertado?
03) Em uma empresa, 12 pessoas concorrem
a uma vaga de secretário. A razão entre
o número de candidatos e o total de
vagas e 3/2. Quantas vagas estão sendo
oferecidas?
04) Em 2010, Brasília, a capital brasileira,
que ocupa uma área aproximada de 5800
km2, tinha cerca de 2563000 habitantes.
Qual era a densidade demográfica de
Brasília, naquele ano?
Então, podemos escrever:
05) Em 2010, a população de Belém, capital
do Pará, era de aproximadamente
1400000 habitantes, e sua área era de
1065 km2. Já João Pessoa, capital da
Paraíba,
tinha
724000
habitantes,
aproximadamente, em uma área de 210
km2. Qual era a densidade demográfica
67
de Belém em 2010? E a de João
Pessoa?
dias, o segundo, 12 dias e o terceiro, 25
dias. Quanto recebeu cada um?
06) A distância entre Campo Grande e
Dourados
é
de
224
km,
aproximadamente. Qual a velocidade
média desenvolvida por:
a) Uma moto que fez esse percurso em
4 horas?
b) Um automóvel que fez esse percurso
em 5 horas?
c) Uma bicicleta que fez esse percurso
em 12 horas e 30 minutos?
14) Em um passeio ciclístico, Fernando
percorreu 36 km em 3 horas. Mantendo a
mesma velocidade média, ele percorreu 6
km em meia hora.
a) Que tipo de proporcionalidade existe
entre o espaço percorrido e o tempo?
b) Qual é o fator de proporcionalidade?
07) A letra x representa um número racional.
Os números 12, 15, 4 e x formam uma
proporção, nessa ordem. Qual é o valor
de x?
08) Na prova de Matemática, uma professora
propôs questões envolvendo o cálculo do
termo desconhecido das proporções:
;
;
. Determine x, a
e n.
09) Nos jogos escolares do ano passado, a
razão entre o número de moças e o de
rapazes que participaram foi 2/3. O
número de rapazes foi 168. Quantas
pessoas participaram desses jogos?
10) Os números 3, 5 e x são diretamente
proporcionais aos números 15, y e 45,
nessa ordem. Quais são os valores de x
e y?
11) São necessários 2 minutos para encher
um balde usando determinada torneira.
Se usássemos 2 torneiras com a mesma
vazão, demoraria 1 minuto. Quanto
tempo levaria para encher o balde se
usássemos 4 torneiras?
12) Lúcia desenhou um retângulo de
comprimento 15 cm e largura 3 cm.
Bruno desenhou outro retângulo de
mesma área e comprimento 9 cm. Qual é
a largura do retângulo desenhado por
Bruno?
13) Três pintores cobraram R$ 5200,00 pela
pintura de uma casa e combinaram que
receberiam o valor em partes diretamente
proporcionais ao número de dias
trabalhados. O primeiro trabalhou 15
15) Uma universidade comunicou que, para o
vestibular do curso de História, o número
de candidatos por vaga era igual a 16. Se
a universidade ofereceu 300 vagas,
quantos candidatos havia?
16) Uma indústria fornece refeições aos
empregados. Um balanço revelou que
100 funcionários, alimentados durante 10
dias, custam à empresa R$ 1600,00.
Quanto custam as refeições para 150
funcionários durante
esse mesmo
período?
17) Três mangueiras iguais, juntas, têm
vazão de 12 litros de água por minuto.
Qual será a vazão por minuto de 7
dessas mangueiras juntas?
18) Elisa trabalha como tradutora de livros e
recebe um valor fixo por página
traduzida. Para traduzir um livro de 127
páginas, ela recebeu R$ 1789,00. Nesta
semana, ela recebeu uma proposta para
traduzir um livro de 587 páginas. Quanto
ela deverá receber por essa tradução?
19) Márcia queria ampliar uma fotografia. Na
loja de revelação de fotos, a funcionária
anotou as medidas da fotografia, 2 cm de
altura e 3 cm de comprimento, e
perguntou qual deveria ser o tamanho da
foto ampliada. Márcia respondeu apenas
que a foto deveria ter 15 cm de altura.
Qual será o comprimento da foto
ampliada se as proporções forem
mantidas?
20) Em uma hora, 4 torneiras despejam 1000
litros de água num reservatório.
a) Se fossem 9 torneiras, com a mesma
vazão, quantos litros de água seriam
despejados por hora?
68
b) Se a capacidade do reservatório é de
18000 litros e ele está completamente
vazio, quanto tempo será necessário
para enchê-lo com as 9 torneiras?
21) Meire é proprietária de uma fábrica de
calças. Atualmente, a fábrica produz 78
calças por dia, utilizando 260 metros de
tecido. Para o próximo mês, Meire deverá
aumentar sua produção, passando a
fabricar 99 calças por dia. Considerando
que os modelos das calças serão os
mesmos, quanto de tecido será usado a
mais por dia para essa nova produção?
22) Pedro vai viajar para o Rio de Janeiro.
Com velocidade média de 60 km/h,
levará 3 horas para percorrer o trajeto.
Quanto tempo ele gastaria se a
velocidade média fosse de 90 km/h?
23) Na indústria de bicicletas Aro Azul, 4
máquinas produzem 48 guidões de
bicicletas em 6 dias. Quantos guidões de
bicicletas serão produzidos em 9 dias por
10 máquinas?
24) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam
160 m3 de terra. Quantos caminhões
serão necessários para descarregar 125
m3 de terra em 5 horas?
25) Lúcia viajou de automóvel durante 6 dias,
dirigindo 6 horas por dia, com velocidade
média de 80 km/h. Determine quantos
dias duraria a viagem de Lúcia se ela
dirigisse durante 8 horas por dia à
velocidade média de 90 km/h?
26) Uma empresa gasta R$ 6500,00 no café
da manhã de 180 funcionários durante 30
dias. Quanto a empresa gastaria para
oferecer o mesmo café da manhã para
300 funcionários durante 90 dias?
27) Um navio de passageiros precisa de
180000 litros de água potável para
atender 1500 pessoas durante um
cruzeiro de 15 dias. Quantos litros de
água potável deverão ser armazenados
para atender 1800 pessoas durante uma
viagem de 9 dias?
28) Quatro trabalhadores colhem, em média,
200 caixas de laranjas em 5 dias,
trabalhando em um certo ritmo. Quantas
caixas de laranjas iguais a essas serão
colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores,
no mesmo ritmo de colheita?
29) Uma viagem entre duas cidades foi feita
de carro, em 4 dias, a uma velocidade
média de 75 quilômetros por hora,
viajando-se 9 horas por dia. Viajando a
90 quilômetros por hora, durante 5 horas
por dia, em quantos dias iríamos de uma
cidade à outra?
30) Claudia tem em uma confecção 36
funcionárias que produzem em média
5400 camisetas por dia, trabalhando 6
horas. O verão trouxe novidades e muitas
encomendas, e a fábrica passou a ter 96
funcionárias,
produzindo
21600
camisetas por dia. Quantas horas por dia
elas passaram a trabalhar?
Gabarito – exercícios – aula 9
01) Renato, porque 2/3 > 2/5
02) a) 8/12 ou 2/3; b/ 2 saques
03) 8 vagas
04) 441,9 hab/km2
05) 1314,55 hab/km2; 3447,62 hab/km2
06) a) 56km/h; b) 44,8km/h c) 17,92km/h
07) 5
08) 98; 14; 9/2
09) 280 pessoas
10) X=9 e y=25
11) 30 segundos ou 0,5 minutos
12) 5 cm
13) 1º: R$ 1500,00; 2º: R$ 1200,00; 3º:
R$ 2500,00
14) Proporcionalidade direta; 12 ou 1/12
15) 4800 candidatos
16) R$ 2400,00
17) 28 litros de água por minuto
18) Aproximadamente R$ 8268,84
19) 22,5 cm
20) a) 2250 litros; b) 8 horas
21) 70 metros
22) 2 horas
23) 180 guidões
24) 25 caminhões
25) 4 dias
26) R$ 32500,00
27) 129600 litros
28) 180 caixas
29) 6 dias
30) 9 horas por dia
69
Links videoaulas – aula 9
Videoaula 1 – introdução a razões
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/introducao-a-razoes-nova-versao-hd
Videoaula 2 –razão e proporção
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/razao-e-proporcao
Videoaula 3 –razões como frações na
expressão mais simples
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/razoes-como-fracoes-na-expressaomais-simples
Videoaula 4 –problemas avançados de razão
e proporção
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problemas-avancados-de-razao
Videoaula 5 –problemas sobre proporção
com álgebra básica
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problema-sobre-proporcao-comalgebra-basica
Videoaula 6 –encontrando uma variável em
uma proporção
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/encontre-uma-variavel-em-umaproporcao
70
Assim,
Aula 10
26% de 2900 =
PORCENTAGEM
Porcentagem é uma forma usada para
indicar uma fração de denominador 100 ou
qualquer representação equivalente a ela.
Exemplos:

50% é o mesmo que
ou
ou 0,50 ou
ou
ou 0,75
0,5 (metade)

75% é o mesmo que

9% é o mesmo que

é o mesmo que

é o mesmo que 0,40 ou

8
pessoas
em
correspondem a
um
ou
2) Na escola de Maria há uma quadra de
esportes. A quadra, com área de 140 m2,
corresponde a 28% da área do terreno da
escola. Qual é a área do terreno da escola de
Maria?
1ª solução: Podemos resolver este problema
utilizando a regra de três simples. Vejamos:
ou 0,09
ou
Dessa forma, 754 km do rio São Francisco
banham as terras mais áridas dos estados de
Minas Gerais, Bahia, Pernambuco, Alagoas e
Sergipe.
ou 15%
140 m2 ------------------ 28%
ou 40%
grupo
de
x m2 ----------------- 100%
10
ou 80% do
grupo.
A área e a porcentagem são diretamente
proporcionais. Assim, obtemos a proporção
Representamos porcentagem pelo símbolo
%, que se lê “por cento”.
Exemplos:
1) O rio São Francisco é o maior rio
totalmente brasileiro. Ele tem uma extensão
de 2900 km e banha cinco estados: Minas
Gerais, Bahia, Pernambuco, Alagoas e
Sergipe. Aproximadamente 26% de sua
extensão atravessa as regiões mais áridas
desses estados. Quantos quilômetros do rio
São Francisco banham as regiões mais
áridas desses estados?
Solução:
Extensão total do rio São Francisco: 2900 km
e corresponde a 100%.
26% dessa extensão banha a parte mais
árida dos estados.
2ª Solução: Podemos resolver este
problema usando uma equação do 1º grau
com uma incógnita x que representa a área
do terreno:
28% =
da área do terreno
2
corresponde a 140 m .
Assim, 0,28.x = 140
x = 500 m2
3ª Solução: Podemos resolver
problema usando proporcionalidade:
este
28% da área corresponde a 140 m2
1% da área corresponde a
100%
da
área
corresponde
a
71
3) A produção de café de uma certa fazenda,
em determinado ano, foi de 800 sacas. No
ano seguinte, as condições climáticas foram
mais favoráveis, e a produção subiu para
1300 sacas de café.
De quantos por cento foi o aumento da
produção nesse ano em relação à do ano
anterior?
Solução:
Resolveremos este problema calculando a
razão do aumento da produção em relação à
produção do ano anterior:
Assim, 1300 – 800 = 500 sacas de aumento
na produção.
Logo, podemos obter a seguinte proporção:
Portanto, o aumento da produção desse ano
em relação à do ano anterior foi de 62,5%.
Ou ainda:
2ª Solução:
x% de 800 sacas = 1300 sacas
Assim, como 100% + 62,5% = 162,5%,
concluímos que houve um aumento na
produção de 62,5%.
72
Exercícios - Aula 10
01) Nos 7os anos da escola de Maria, 69 de
cada 100 alunos são meninas. Qual o
percentual de meninas que estudam nos
7ºs anos dessa escola?
02) Complete:
a) 25% de 840 pessoas são:
b) 50% de R$ 12.400,00 são:
c) 6% de 350 m2 são:
d) 7,5% de R$ 1.280,00 são:
03) Complete a tabela abaixo:
Fração
decimal
Usado
%
0,5
18%
0,06
85,4%
04) A classe de Celso tem 45 alunos e 27
deles foram promovidos em Matemática.
Qual é o percentual de aprovação dessa
classe em Matemática?
05) Uma frota de ônibus foi acrescida de 44
veículos. Como essa frota tinha 352
ônibus, que percentual da frota antiga
representa esse acréscimo?
06) Célia comprou um objeto em uma
liquidação, ganhando 10% de desconto
sobre seu valor. Se ela pagou R$ 540,00,
qual era o preço inicial desse objeto?
07) João ganhava R$ 2.400,00. Teve um
aumento e passou a ganhar R$ 2.604,00.
Quantos por cento de aumento ele teve?
08) Um criador de gado bovino começou sua
criação com 212 cabeças de boi. Após
um
ano,
sua
boiada
havia
aumentado100%.
a) Quantas cabeças de boi havia e sua
criação no final desse período?
b) Quantas cabeças de boi haveria com
um aumento de 300%?
c) Quantas cabeças de boi haveria com
um aumento de 500%?
09) Em uma farmácia, aposentados recebem
descontos de 15% sobre o preço de cada
remédio. Renato, Marta e Isabel são
aposentados.
a) Renato pagou R$ 51,00 por um
remédio. Qual era o preço inicial
desse remédio?
b) Marta
comprou
remédios
que
custavam, sem desconto, R$ 23,80 e
R$ 18,20. Que quantia ela obteve de
desconto? Quanto ela gastou?
c) Isabel comprou vários remédios,
obtendo descontos de R$ 19,50.
Calcule o preço dos remédios sem o
desconto de 15%.
10) Um Patinete anunciado em um jornal
custava R$ 275,00 em uma liquidação.
Três meses depois, seu preço sofreu um
aumento de 18%. Quanto o patinete
passou a custar?
11) Uma mercadoria que custava R$236,00
teve um aumento de 20%. Qual o novo
preço dessa mercadoria?
12) Nos restaurantes é comum acrescentar à
conta 10% do total de gastos, como taxa
de serviço ou gorjeta. A conta de Renato
ficou em R$ 56,00, sem a taxa de
serviço. Quanto ele vai pagar se incluir a
taxa de serviço?
13) Em uma classe, haviam 40 estudantes.
Certo dia, faltaram 25% dos rapazes,
diminuindo para 36 o número de
estudantes presentes.
a) Quantos rapazes estavam na classe
naquele dia?
b) Qual era o número de moças
presentes naquele dia?
c) Quantos por cento dessa turma era
do sexo masculino?
14) Para a eleição de diretoria do grêmio de
uma escola, candidataram-se 10% dos
900 alunos. Foram eleitos 10% dos
candidatos.
a) Quantos alunos eram candidatos?
b) Quantos alunos foram eleitos?
c) Quantos por cento dos alunos da
escola representavam os eleitos?
15) Represente:
a) 65% em forma de fração irredutível;
b) 4% na forma decimal;
c)
em forma de porcentagem;
d)
em forma de porcentagem;
e) 40%
de
30%
numa
única
porcentagem.
73
16) Calcule a responda:
a) Qual é o valor de 60% de 95?
b) Quanto por cento de 70 é igual a 56?
c) 6 são 15% de que número?
d) Quanto valem 3,5% de R$ 650,00?
e) R$ 75,20 correspondem a 20% de
que quantia?
f) Em relação a um total de R$ 300,00,
a quantia de R$ 171,00 corresponde
a quanto por cento?
g) 0,5% de R$ 85,00 dá um valor maior
ou menor do que 1% de R$ 170,00?
17) Helena fez uma pesquisa com 100 alunos
da escola onde estuda sobre a
preferência por matéria do currículo. Veja
os resultados na tabela:
Preferência dos alunos
Ciências
Educação Artística
Educação Física
Geografia
História
Língua Inglesa
Língua Portuguesa
Matemática
8
7
23
14
11
5
17
15
a) Qual é a razão entre o número de
alunos que preferem Educação Física
e o número total de alunos que
participaram da pesquisa?
b) Qual é a porcentagem dos alunos que
preferem Matemática?
18) Calcule:
a) R$ 112,00 mais 14% de R$ 112,00;
b) R$ 208,50 mais 4% de R$ 208,50;
c) R$ 58,30 mais 26% de R$ 58,30;
d) R$ 47,80 mais 32,5% de R$ 47,80.
19) Ao reduzir R$ 99,00 em 1% qual será o
valor obtido?
20) Os 78% do total de figurinhas de Mariana
correspondem a 156 figurinhas. Qual é a
quantidade total de figurinhas que
Mariana tem?
21) De 210 candidatos que participaram de
um concurso, 70 foram aprovados. Qual
foi, aproximadamente, a porcentagem
dos reprovados?
22) Paulo foi jantar com sua família em um
restaurante. A conta, incuindo os 10% de
gorjeta da garçonete, foi de R$ 165,00.
Qual seria o valor da conta sem a
gorjeta?
23) Em
uma
pesquisa
com
1200
telespectadores, foi questionado quantas
famílias assistiram às competições das
últimas olimpíadas. Concluiu-se que 65%
dos telespectadores não assistiram a
mais de 50% das competições. Quantos
telespectadores entrevistados assistiram
a mais de 50% das competições
olímpicas?
24) Márcia revendeu uma casa por R$
113.000,00, obtendo lucro de 15% sobre
o preço de compra. Quanto Márcia havia
pago pela casa?
25) Um empresário investiu R$ 8.400,00 em
um projeto. Depois de um ano, seu lucro
foi de R$ 1.680,00. Qual foi a
porcentagem do lucro em relação ao
investimento?
26) Um grupo de alunos comprou um
presente que custava R$ 240,00 para a
professora. Como pagaram à vista,
obtiveram um desconto de 22%. Quanto
eles pagaram pelo presente?
Gabarito:
01) 69%
02) a) 210 pessoas; b) R$ 6.200,00; c) 21
m2; d) R$ 96,00
03) 2%; 18/100; 50%; 0,854; 6%
04) 60%
05) 12,5%
06) R$ 600,00
07) 8,5%
08) a) 424; b) 848; c) 1272
09) a) R$ 60,00; b) R$ desconto de 6,30
e gasto de R$ 35,70; c) R$ 130,00
10) R$ 324,50
11) R$ 238,20
12) R$ 61,60
13) a) 12; b) 24; c) 40%
14) a) 90; b) 9; c) 1%
15) a) 13/20; b) 0,04; c) 64%; d) 70%;
e) 180%; f) 12%
16) a) 57; b) 80%; c) 40; d) R$ 22,75;
e) R$ 376,00; f) 57%; g) menor
17) a) 23/100; b) 15%
18) a) R$ 127,68; b) R$ 216,84; c) R$
73,46; d) R$ 63,34
19) R$ 98,01
20) 200
74
21) 66,66%
22) R$ 150,00
23) 420 telespectadores
24) Aproximadamente R$ 98.260,87
25) 20%
26) R$ 187,20
Links videoaulas – aula 10
Videoaula 1 –descrevendo o significado de
porcentagem
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/descrevendo-o-significado-deporcentagem
Videoaula 2 –descrevendo o significado de
porcentagem 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/descrevendo-o-significado-deporcentagem-2
Videoaula 45 –representando um número na
forma decimal, porcentagem e fração
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/representando-um-numero-em-formade-decimal-porcentagem-e-fracao
Videoaula 46 – crescimento percentual
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/crescimento-percentual
Videoaula 3 –identificando porcentagens
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/identificando-porcentagens
Videoaula 4 –solucionando problemas de
porcentagem
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/solucionando-problemas-deporcentagem
Videoaula 5 –solucionando problemas de
porcentagem 2
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/solucionando-problemas-deporcentagem-2
Videoaula 6 –solucionando problemas de
porcentagem 3
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/solucionando-problemas-deporcentagem-3
Videoaula 7 –porcentagem e decimal
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/porcentagem-e-decimal1
Videoaula 8 –problemas de porcentagem
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problemas-de-porcentagem
Videoaula
44
–outro
problema
de
porcentagem
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/outro-problema-de-porcentagem
75
Aula 11
Grandezas e Unidades de Medidas
Para realizar a conversão dessas unidades,
segue-se uma regra bem simples, que
envolve multiplicação ou divisão por
dezenas.
A unidade é um nome particular que
relacionamos às medidas de uma grandeza.
X10
km
hm
X10
dam
X10
m
X10
dm
cm
X10
mm
Existem dois tipos de grandezas físicas:
10
- vetorial: nesta grandeza, além do valor
numérico, é necessária uma representação
espacial que determina direção e sentido.
Exemplo: aceleração, velocidade e força.
Escalar: esta grandeza necessita somente de
um valor numérico e uma unidade para
determinar uma grandeza física.
10
10
10
10
Exemplos:
a) 12 m = 12000 mm
b) 10 mm = 0,001 dam
c) 5,3 m = 0,0053 km
d) 9 mm = 0,009 m
e) 10 mm =0,01 m
Exemplo: massa, comprimento e tempo.
Nas grandezas e suas unidades, as medidas
são expressas pelo Sistema Internacional de
Unidade (SI). As principais são:
- comprimento (metro: m)
- massa (quilograma: kg)
- tempo (segundo: s)
Conversão de unidades
Convertendo unidade de massa
Quadro geral de unidades de massa
Múltiplos
Unidade
Submúltiplos
Padrão
kg
hg dag
g
dg
cg
mg
1000g 100g 10g
1g
0,1g 0,01g 0,001g
As unidades podem ser convertidas de
acordo com sua respectiva grandeza.
Significado das siglas:
kg
quilograma
hg
hectograma
dag
decagrama
g
grama
dg
decigrama
cg
centigrama
mg
miligrama
Convertendo unidade de comprimento
Quadro geral de unidades de comprimento
Múltiplos
Unidade
Submúltiplos
Padrão
km
hm dam
m
dm
cm
mm
1000m 100m 10m
1m
0,1m 0,01m 0,001m
Significado das siglas:
km
quilômetro
hm
hectômetro
dam
decâmetro
m
metro
dm
decímetro
cm
centímetro
mm
milímetro
Para realizar a conversão dessas unidades, a
regra é a mesma realizada na grandeza de
comprimento, envolvendo multiplicação ou
divisão por dezenas.
X10
kg
hg
10
X10
dag
10
X10
g
dg
10
X10
cg
10
X10
mg
10
76
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Exemplos:
a) 21 kg = 21000 g
b) 8 kg = 80 hg
c) 3 mg = 0,003 g
d) 10 mg = 0,01 g
e) 12 g =0,012 kg
Convertendo unidade de tempo
Para realizar a conversão dessas unidades,
segue-se uma regra bem simples, que
envolve operações de multiplicação ou
divisão.
quilômetro quadrado
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
Para realizar a conversão dessas unidades,
segue-se uma regra bem simples, que
envolve multiplicação ou divisão por
centenas.
X100
km2
X100
hm2
100
dam2
100
X100
m2
100
X100
dm2
cm2
100
X100
mm2
100
Fique atento!
Assim, para transformar um segundo em um
minuto, divide-se o valor por sessenta,
basicamente, pode-se afirmar que um minuto
equivale á sessenta segundos.
Metro quadrado (m2) significa a medida da
área da superfície de um quadrado com um
metro de lado.
Exemplos:
De forma semelhante, para transformar uma
hora em um minuto, multiplica-se o valor em
horas por sessenta. Desse modo, tem-se que
uma hora equivale á sessenta minutos.
a) 300 dm2 = 3 m2
b) 6 dam2 = 600 m2
c) 23 km2 = 23.000.000 m2
d) 83,2 cm2 = 8.320 mm2
e) 1,95 km2 = 1.950.000 m2
Exemplos:
a) 660 s = 11 min
Convertendo unidade de volume
b) 720 s = 0,2 h
c) 3 h = 180 min
Convertendo
superfície
unidade
de
área
de
Como acontece com as demais grandezas,
existem múltiplos e submúltiplos do metro
cúbico para medir volumes. Veremos aqui,
apenas as unidades mais utilizadas.
quadro geral de unidades de área
múltiplos
Und
submúltiplos
padrão
km2
hm2 dam2
m2
dm2 cm2
mm2
1.000.0 10.00 100
1m2
0,01 0,00 0,00000
2
2
2
00m
0m
m
m2
01
1 m2
2
m
Significado das siglas:
77
1 L = 1 dm3
Como 1m3 = 1000 dm3 e 1 dm3 = 1L, então:
1m3 = 1000 L
Significado das siglas:
km3
quilômetro cúbico
hm3
hectômetro cúbico
dam3
decâmetro cúbico
m3
metro cúbico
dm3
decímetro cúbico
cm3
centímetro cúbico
3
mm
milímetro cúbico
Para realizar a conversão dessas unidades,
segue-se uma regra bem simples, que
envolve multiplicação ou divisão por
milhares.
X1000
km3
hm3
1000
X1000
dam3
1000
X1000 X1000 X1000
m3
1000
dm3
1000
cm3
mm3
1000
Notação:
L = litro e mL = mililitro
Para medir pequenos volumes, utilizamos
submúltiplos do litro, e o mililitro é o mais
comum.
1mL =
L = 0,001 L e 1 L = 1000 mL
Exemplos:
a) 3,68 L = (3,68 x 1000) mL = 3680 L
a) 12,5 mL = (12,5
1000) L = 0,0125 L
Fique atento!
Metro cúbico (m3) significa a medida do
espaço ocupado por um cubo com um metro
de aresta.
Exemplos:
a) 1000 dm3 = 1 m3
b) 6000 cm3 = 6 dm3
c) 478 m3 = 578.000 dm3
d) 7000 mm3 = 0,007 dm3
e) 0,5 m3 = 500.000 cm3
Convertendo unidades de capacidades
Os líquidos e os gases em geral tomam a
forma do recipiente que os contém. Quando
o recipiente está cheio de um líquido ou gás,
o volume contido no recipiente é a sua
capacidade.
Assim,
Exercícios - Aula 11
01) Angela dividiu um pedaço de fita de
50 mm em dois pedaços iguais.
Quantos centímetros mede cada
pedaço?
02) Faça as conversões:
a)
b)
c)
d)
1000 m = _____km
10 m = _____dam
1000 mm = 1 _____
100 cm = 1 ____
03) O passo de André mede 65 cm. Ele
anotou 16 passos ao medir o
comprimento de um corredor. Qual é
o comprimento desse corredor em
metros?
04) Faça as conversões:
78
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5,2 cm = _____ mm
0,9 cm = _______m
____km = 3000m
1,80 m = _____cm
2,3 km = _____m
_____ m = 300 mm
05) Um caminhoneiro saiu de Recife com
destino a Belo Horizonte. Depois de
percorrer 1543,6 km, ele pediu
informação em um posto de
combustível e soube que ainda
faltavam 595,4 km para chegar a seu
destino. Qual é a distância de Recife
a Belo horizonte?
06) Patrícia comprou 5,50 m d tecido para
fazer um conjunto de calça e casaco.
Para a calça são necessários 2,50 m
de tecido e para o casaco 2,30 m.
Com esse tecido ela ainda poderá
fazer uma blusa que precisa de 80 cm
de tecido? Por quê?
07) Para revestir um sofá, coloca-se uma
manta de algodão com 8mm de
espessura, uma manta acrílica com
16 mm de espessura e uma camada
de espuma com 3cm de espessura.
Qual é a espessura total do
revestimento? Apresente a resposta
em centímetros.
08) Um terreno retangular de 82 m por
4300 cm será cercado com três voltas
de arame.
a) Quantos metros de arame serão
necessários?
b) Se cada rolo de arame tem 25 m,
quantos rolos serão necessários?
09) Alice quer comprar renda para
enfeitar a borda de uma toalha
retangular. Essa toalha tem 3 m de
largura, e seu comprimento é o dobro
da largura.
a) Para não faltar material, Alice vai
comprar 2 m a mais de renda.
Quantos metros de renda ela terá
de comprar?
b) Se um metro de renda custa R$
6,60, quanto Alice gastará?
10) Laura escolheu três frangos em um
supermercado, que foram colocados
em uma balança, um após o outro se
retirar o anterior. Colocado o primeiro
frango, a balança registrou 3 kg.
Colocado o segundo, ela registrou 5
kg. Colocado o último, a balança
marcou 9 kg.
a) Quanto pesa o segundo frango?
b) Quanto pesa o último frango?
11) Em uma agência de transporte há 3
caixas que devem ser enviadas para
uma cidade. Elas têm 28,5 kg, 30,4 kg
e 27,25 kg. Uma quarta caixa é
acrescentada e o total agora é 100
kg. Calcule a massa da quarta caixa.
12) Os cães de um canil consumiram em
um dia 35% de ração de um saco que
continha 25 kg. Quantos quilogramas
restaram?
13) Toninho tem um caminhão que pode
transportar, no máximo, 2,5 t. Dentre
estas cargas, quais ele poderá
transportar no caminhão?
a) 250 kg; b) 2500 kg; c) 2501 kg;
d) 2,5 kg; e) 250 000 kg
14) Qual é o número mínimo de viagens
necessárias para transportar 39
caixas de 38 kg cada uma? Após
todas as viagens com carga máxima,
quantas caixas serão levadas ao
terceiro andar na última viagem?
15) A
carga
máxima
que
uma
caminhonete pode transportar é uma
tonelada.
a) Qual é o número máximo de
caixas de 120 kg cada uma que
podem ser transportadas por essa
caminhonete?
b) Ao transportar 20 caixas de 52 kg
cada uma, quanto será a carga
excedente?
c) Sem exceder a carga máxima,
essa
caminhonete
consegue
transportar,
em
uma
única
viagem, uma máquina que pesa
348 kg, 9 sacos de arroz de 60 kg
79
cada um e duas caixas de 45 kg
cada
uma?
Justifique
sua
resposta.
16) Odete foi ao açougue e pediu ¼ kg de
músculo.
a) Quantos gramas de músculo ela
comprou?
b) Se tivesse pedido ¾ kg, quantos
gramas de músculo teria levado?
17) A
quantos
gramas
de
café
correspondem 10 pacotes de 1/8 kg?
18) Maria
tem
cinquenta
e
seis
quilogramas e meio. Ao ir à escola,
ela carrega uma mochila de três
quilogramas e quatrocentos gramas,
que contém, além de estojo e
cadernos, um livro de trezentos e
quarenta e cinco gramas. Represente
as medidas citadas, usando números
e a unidade kg.
19) Um pão é feito com 300 g de farinha
de trigo. Quantos pães desse tipo
podem ser feitos com 12,9 kg de
farinha?
20) Transforme:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3,5 g em mg
5 kg em g
1,2 g em kg
80 mg em g
100 g em mg
0,018 kg em g
21) Transforme em metro quadrado:
a) 3 km2
b) 50 cm2
c) 0,03 km2
d) 13 568 cm2
22) Luiza tem um tecido com 1 m2 .
a) Quantos lenços quadrados de 900
cm2 ela poderá fazer com esse
tecido?
b) Sobrará algum pedaço?
c) Se sim, de quantos cm2?
23) João tem um sítio com 2 km2 de área.
Nesse sítio ele reservou 18 000 m2
para fazer um pomar. Qual é a área
restante? Escreva a respostas em
km2 e em m2.
24) A área de um ladrilho é 400 cm2. Qual
é a área desse ladrilho em mm2?
25) Faça a conversão:
a) 5 m2 = ____ dam2
b) 3,21 km2 = ____ m2
c) 1,82 m2 = _____ cm2
d) 584 m2 = ___ km2
26) Uma caixa tem a forma de um cubo
de 40 cm de aresta. Qual é o volume
dessa caixa?
27) Faça a conversão:
a)
b)
c)
d)
e)
1000 dm3 = ____ m3
1000 cm3 = ___ dm3
1 m3 = ___ cm3
1000 cm3 = ___ m3
0,001 cm3 = ____ m3
28) Um carro percorre 9 km com 1 L de
gasolina. Supondo que esse consumo
de gasolina seja sempre o mesmo,
responda:Quantos litros o carro
consumirá para percorrer 180 km?
29) Transforme em mL:
a) 3,5 L
b) 0,19 L
c) 0,072 L
30) Se a capacidade de um frasco é de
2,25 L, qual é a sua capacidade em
mL?
31) Um frasco de detergente pode conter
600 mL. Quantos frascos serão
necessários para acondicionar 1200 L
de detergente?
32) Transforme em litros:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
37 m3
6 m3
7,5 m3
0,086 m3
0,2 m3
0,005 m3
80
33) Uma torneira despeja 250 mL de água
por minuto em um vasilhame. Quanto
tempo ela levará para despejar 4 L de
água?
34) Transforme em m3:
a) 1200 L
b) 68,4 L
c) 195800 mL
35) Durante um treino para a corrida de
São Silvestre, Paulo percorreu 48 km
e Renato 60000m, em um mesmo
intervalo de tempo. Qual é a razão
entre as distâncias percorridas por
Paulo e Renato nesse tempo?
36) Um vasilhame tem capacidade de
15,6 L de um líquido, e outro de 1300
mL. Qual é a razão entre a
capacidade do primeiro vasilhame e a
do segundo?
Gabarito aula 11:
1)
2)
3)
4)
2,5 m
a) 1 km; b) 1 dam; c) 1m; d) 1m
10,40 m
a) 52 mm; b) 0,009 m; c) 3 km; d)
180 cm; e) 2300 m; f) 0,3m
5) 2139 km
6) Não, pois irá sobrar 70 cm de tecido e
70 cm < 80 cm
7) 5,4 cm
8) a) 75m; b) 30 rolos
9) a) 20m; b) R$ 132,00
10) a) 21 kg; b) 4 kg
11) 13,85 kg
12) 16,25 kg
13) a, b e d
14) 4 viagens, 6 caixas
15) a) 8 caixas; b) 40 kg; c) sim, a carga
toda pesa 978 kg, o que não excede 1
tonelada
16) a) 250 g; b) 750 g
17) 1250 g
18) 56,5 kg; 3,400 kg; 0,345 kg
19) 43 pães
20) a) 3500 mg; b) 5000 g; c) 0,0012 kg
d) 0,08 g; e) 100000 mg; f) 18 g
21) a) 3000000 m2; b) 0,0050 m2; c)
30000 m2; d) 1,3568 m2
22) a) 11 lenços; b) sim; c) 100 cm2
23) 1,982 km2 e 1982000 m2
24) 40000mm2
25) a) 0,05; b) 3210000; c) 18200; d)
0,000584
26) 64000 cm3
27) a) 1; b) 1; c) 1000000; d) 0,001; e)
0,000001
28) 20 L
29) a) 3500 mL; b) 190 mL; c) 72 mL
30) 2250 mL
31) 2000 frascos
32) a) 37000 L; b) 6000 L; c) 7500 L; d)
86 L; e) 200 L; f) 5 L
33) 16 minutos
34) a) 1,2 m3; b) 0,0684 m3; c) 0,1958 m3
35) 48/60 ou 4/5
36) 12
Links videoaulas – aula 11
Não possui.
Bibliografia
- MORI, Iracema;ONAGA, Dulce Satiko.
Mtemática: Idéias e Desafios. 6º, 7º, 8º e 9º
ano. 17ª Edição. Ed. Saraiva, 2012.
- Site: http://www.prof-edigleyalexandre.com
/2012/09/visualizando-propriedades-algebric
as.html Acesso em 25.08.2013
81