PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE.
FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS - APENAS FORMAS DIFERENTES DE
NOMEAR E DE GRAFAR OS NÚMEROS?
NAIR DOS SANTOS LEÃO
ASSIS CHATEAUBRIAND
2009
NAIR DOS SANTOS LEÃO
FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS - APENAS FORMAS DIFERENTES DE
NOMEAR E DE GRAFAR OS NÚMEROS?
Trabalho referente à Pesquisa e
Implementação na Escola, como parte
dos requisitos para conclusão do
Programa
de
Desenvolvimento
Educacional – PDE.
Professora Orientadora: Izolete Maria Nieradka
Professora Orientadora: Kelly Roberta Mazzutti Lubeck
ASSIS CHATEAUBRIAND
2009
FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS – APENAS FORMAS DIFERENTES DE
NOMEAR E DE GRAFAR OS NÚMEROS?
Profa. Nair dos Santos Leão1
Profa. Izolete Maria Nieradka2
Profa. Dra. Kelly Roberta Mazzutti Lubeck3
RESUMO: O corrente texto tem como objetivo fomentar uma reflexão sobre um trabalho
proposto e iniciado por um diagnóstico centrado nas dificuldades apresentadas pelos alunos
no que diz respeito ao entendimento, ao uso e à aplicação dos números fracionários e
decimais na escola, tendo em vista que, no cotidiano, esses números estão presentes na
maioria das situações. A pesquisa e o trabalho de implementação foram executados com os
alunos das séries finais do ensino fundamental da Escola Estadual Guimarães Rosa – Ensino
Fundamental, de Assis Chateaubriand, ano 2009. Os resultados coletados com a pesquisa
revelaram a necessidade da realização de um trabalho de base intenso, que os conceitos e os
significados dos números fracionários e decimais deveriam ser construídos de forma
elementar, o que havia sido previsto na proposta, que, ao identificar as dificuldades, seria
iniciado um trabalho diferenciado, na 5ª série, com material didático selecionado e elaborado
para esse fim. O trabalho foi realizado com uma metodologia que proporcionou maior
articulação dos conteúdos, além de parceria, colaboração e interação entre os alunos na
realização de trabalhos em grupos, utilizando materiais concretos e semiconcretos, com
intuito de trazer elementos significativos para a compreensão dos conceitos desses números.
Palavras-chave: Número. Comparação de Frações. Cotidiano.
ABSTRACT: The current text has as objective foments a reflection about a proposed work,
that initiated by a diagnosis centered in the difficulties presented by the students, relatives at
understanding, use and application of the fractional and decimal numbers, in the school, tends
in view that, in the daily, they are present in most of the situations. The research and the
implementation work were executed with the students of the fundamental level’s final part,
from State School Guimarães Rosa - Fundamental Level, of Assis Chateaubriand, in 2009.
The results collected with the research revealed the need of an intense base work, and that the
concepts and meanings of the fractional and decimal numbers should be built in an
elementary way. This had been foreseen in the proposal, which established that when it was
identified the difficulties, it would begun a differentiated work, in the 5th class, with selected
didactic material elaborated for this objective. The work was realized with a methodology that
provided larger articulation of the contents, partnership, collaboration and interaction among
the students in the realization of works in groups, using concretes and almost-concretes
materials, with intention of bringing significant elements for the understanding of those
number’s concepts.
Keywords: Number. Fractions Comparison. Daily.
1
2
3
Professora da Rede Pública Estadual / Núcleo Regional de Assis Chateaubriand - PR. E-mail:
[email protected].
Professora Orientadora do PDE e Docente do Curso de Matemática da Universidade Estadual do Oeste do
Paraná (UNIOESTE) – Campus de Foz do Iguaçu. E-mail: [email protected].
Professora Orientadora do PDE e Docente do Curso de Matemática da Universidade Estadual do Oeste do
Paraná (UNIOESTE) – Campus de Foz do Iguaçu. E-mail: [email protected].
INTRODUÇÃO
Os números fracionários e decimais por muito tempo foram apresentados, na maioria
das obras literárias, como conteúdos do “final do livro”, principalmente em se tratando de
livros de 2ª a 5ª séries do Ensino Fundamental, razão pela qual, no planejamento da maioria
dos professores, esses conteúdos também eram trabalhados no final do ano. Sendo assim, as
oportunidades de uma exploração mais elaborada, com maior detalhamento e experimentos
implicaria, automaticamente, a questão “tempo”.
Alguns livros de 5ª série atualmente não são diferentes, pois as frações e os números
decimais são trabalhados, também, no final do livro, e a situação anterior muitas vezes se
repete.
Por “falta de tempo” e em virtude da organização do sistema escolar, o ano sofre uma
divisão bimestral e cada bimestre exige, pelo menos, duas metas a serem cumpridas pelo
professor: a primeira consiste em vencer os conteúdos programados e a segunda é que cada
aluno obtenha pelo menos uma aprendizagem mínima para uma média de aprovação. Assim,
dificilmente esse professor tem oportunidade de parar para organizar ou para fazer
articulações para que conteúdos tão importantes não sejam trabalhados só no final do período
letivo, sem maiores atropelos.
Kátia Cristina Stocco Smole – doutora em educação – apud Raquel Ribeiro, em um
texto destinado à Revista Nova Escola, número de setembro de 2004, relata:
Entender bem a divisão e seus significados, como se divide em Matemática, qual é o
papel do resto e por que realizamos uma divisão em partes iguais são aspectos que
ajudarão a criança a se familiarizar melhor com os números fracionários. (REVISTA
NOVA ESCOLA, 2004, p. 37).
Embora as atividades propostas para a operação divisão, nas séries iniciais, preparem
o aluno para o futuro entendimento das frações, mais tarde, no tempo oportuno, eles
apresentam muitas dificuldades de fazer tais relações. A problematização que pode ser
realizada a respeito desta questão é que as crianças vivem cercadas por números de todos os
lados. Cada vez que têm necessidade de comprarem o pão e o leite, quando elas dividem o
bolo e o suco, ao cronometrarem o tempo até chegar à escola e, em quase todas as atividades
diárias, os números estão presentes. Na maioria das situações esses números são “quebrados”,
fracionários ou decimais.
No desenvolvimento do currículo na 5ª série observa-se que os alunos apresentam
dificuldades com esse conjunto de números e, na 8ª série, embora eles tenham mais
experiência, ainda assim continuam apresentando dificuldades dessa natureza.
Considerando que, no cotidiano, os alunos lidam com números fracionários e
decimais, por que, na escola, eles apresentam tantas dificuldades de compreensão e de
operação com esses números?
O questionamento “Para que servem as frações e os decimais?” é feito há muito
tempo. A tentativa é responder de várias formas, com os mais variados exemplos do cotidiano.
O que, porém, ainda é intrigante é a falta de intimidade que os alunos insistem em apresentar
em relação a esses números. É efetivamente intrigante a dificuldade de abstração que
demonstram ter quando se trata de frações e de números decimais.
Nilson José Machado diz, em sua obra “Matemática e Língua Materna”:
Na verdade, no processo da elaboração do conhecimento, as abstrações são
mediações indispensáveis. Situam-se sempre no meio do processo, constituindo
condição de possibilidade do conhecimento em qualquer área, em vez de ponto de
partida ou ponto de chegada. (MACHADO,1993, p. 51).
Nessa perspectiva, a preocupação é que possa de fato haver uma reflexão sobre esse
processo, que possa haver a realização de um trabalho intenso em busca de meios para que os
alunos façam abstrações e relações significativas e necessárias com frações e com números
decimais, já que “a matemática foi inventada e vem sendo desenvolvida pelo homem em
função de necessidades sociais, conforme o entendimento de Rosa Neto (1994, p. 7).
Pressupõe-se que, na maioria das atividades realizadas com alunos, quando são
atividades referentes à matemática, um dos principais entraves são frações e números
decimais. O livro “Na Vida Dez e na Escola Zero”, sobre experiências realizadas em Recife,
relata: “A maior dificuldade dos estudantes, no entanto, foi a de encontrar o significado dos
resultados de seus cálculos, especialmente quando apareciam decimais” (CARRAHER;
SCHLIEMANN; CARRAHER, 1991, p. 119).
O documento “Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do
Paraná” expõe que:
Ler os números, compará-los e ordená-los é indispensável para compreender o
significado da notação numérica. Ao se deparar com números em diferentes
contextos, o aluno é desafiado a desenvolver o pensamento e a produzir
conhecimentos respectivos. (SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO, 2006,
p. 26).
Muitas pessoas, ao calcularem uma porcentagem, questionam o valor encontrado.
Por exemplo: 2% de um mil reais são dois reais, vinte reais ou duzentos reais? Esse é o
espírito questionador que é preciso desenvolver nos alunos. Fazer com que se perguntem
sempre: Essa resposta tem lógica? Não está muito além do que deveria ser? É o que diz Polya
(1994, p. 102), em seu livro “A Arte de Resolver Problemas”: “O leitor inteligente de um livro
de matemática deseja duas coisas: Primeiro, verificar se o presente passo do argumento está
correto; Segundo, compreender o objetivo desse passo”.
Nos livros “Aventura Decimal” e “Frações sem Mistérios”, da coleção “A
Descoberta da Matemática”, a autora Luzia Faraco Ramos tenta, através de histórias,
desvendar os mistérios das frações e dos números decimais. No livro “Frações e Decimais”,
da coleção “Pra que serve a Matemática?”, Imenes, Jakubo e Lellis (1993, p. 3) perguntam e
tentam responder: “Para que servem as frações e os números decimais?”.
Com a realização da pesquisa proposta, a intenção é responder, na prática, às
questões apresentadas anteriormente e a outras que, com certeza, surgiram durante todo o
processo de realização do trabalho.
Embora seja uma missão difícil, que exige esforço e dedicação, conhecer os alunos,
suas dificuldades e o que se quer que eles aprendam, isso se configura como passo importante
para nortear o processo e, assim, atender a expectativas em relação ao ensino-aprendizagem.
É o que afirma Meirieu em seu relato:
É preciso que o questionamento sobre os conhecimentos seja ao mesmo tempo
alimentado e limitado por aquilo que se sabe sobre o sujeito, da mesma forma, é
preciso que nossa preocupação com o sujeito seja estimulada e informada por aquilo
que sabemos sobre os conhecimentos a fazê-lo adquirir. (PHILIPPE MEIRIEU,
1998, p. 42).
Com essa preocupação, foi realizada uma pesquisa, no intuito de identificar, através
de uma avaliação diagnóstica, elementos que contribuíssem para o rumo do deste trabalho. A
sondagem foi realizada com 138 alunos de 5ª série (6 turmas), 32 alunos de 6ª série (1 turma),
41 alunos de 7ª série (2 turmas) e 56 alunos de 8ª série (2 turmas). Atingiu, portanto, 11
turmas e um total de 267 alunos.
RESULTADOS DA INVESTIGAÇÃO – QUESTÕES E RESPOSTAS DADAS PELOS
ALUNOS – ANÁLISE DAS RESPOSTAS.
Questão 1. Você utiliza a matemática em seu dia a dia? Em que situações? Para
quê?
Três alunos deixaram a questão em branco – dois de 5ª série e um de 7ª série. Seis
alunos responderam que não utilizam a matemática – um de 5ª série, quatro de 7ª série e um
de 8ª série. As respostas dos demais alunos giraram em torno da utilização para compras e
vendas, cálculos, medir distâncias e tempo, comparar preços, observar validade de produtos,
controle do consumo alimentar e de objetos de trabalho e para se obter melhor emprego no
futuro.
Analisando as respostas dadas pela maioria dos alunos nessa primeira questão,
percebe-se que um grande número pensou na matemática aplicada, na matemática prática, na
matemática como instrumento para resolver questões do cotidiano.
Partindo dessa análise, é possível entrar em concordância com os autores do livro
“Na Vida Dez e na Escola Zero”, que diz:
No entanto, os estudos descritos aqui devem provocar cada professor a buscar
maneiras de usar em sala de aula o conhecimento matemático cotidiano de seus
alunos; esse desafio, se aceito de fato, pode revolucionar e principalmente, tornar
muito mais fascinante a aprendizagem da matemática. (SCHLIEMANN,
CARRAHER, CARRAHER, 2001, p. 22).
Questão 2. Para que servem as frações? Você as utiliza? Quando?
Nove alunos de 5ª, três alunos de 7ª e três alunos de 8ª série deixaram a questão em
branco. Treze alunos de 5ª, seis de 6ª, doze de 7ª e cinco de 8ª série responderam que não
utilizam as frações. Cinco alunos de 5ª e quinze alunos de 7ª série disseram não se lembrar.
Um aluno de 5ª série disse não ter entendido a questão. Quatro alunos de 7ª e dez alunos de 8ª
série não sabiam a resposta. Os demais alunos responderam o seguinte: (Em vários casos
respostas com mesmo sentido não foram citadas duplamente).
“Utilizei na escola para dividir”. “Para contar”. “Serve para repartir bolo,
chocolate, eu utilizei domingo quando reparti um bolo em 1/2”. “Para fazer
compras e fazer contas para aprender mais”. “As frações servem para quebrar
números exemplo 1,99. Para dividir números com vírgula e ímpares. Já utilizei na
hora de pagar uma conta ou receber troco”. “Para você saber dividir, em várias
situações, como no trabalho, em casa, etc.” “Para contar as partes, pedaços, para
viajar, quando sobra bolo, quando faz festa para contar os salgadinhos”. “As
pessoas utilizam frações para escrever uma receita. Ex: 1/2 xícara de mel, 1/2
xícara de açúcar, etc.” “Para simplificar as coisas, por exemplo: quando tem 5
pedaços de pizza, como 3 ficaram 2/3”. “Para dividir pizza, maçã, etc.” “As frações
servem nas pizzarias para saberem os meios ou quartos das pizzas”. “As frações o
número de baixo é dividido e o de cima é vezes”. “Para fazer tererê”. “Elas servem
para ter resultados exatos”. “Em divisões e multiplicações”. “Em tudo”.
”Qualquer hora”. “Para medir 1/2, 1/3, 2/5, para tomar água ou alguma coisa, em
receita de pastéis, bolos, etc.”. “Horas, calendário”. “Sim porque tudo que tem
vírgula é um número decimal, exemplo 10,50”. “Para representar número”. “Para
medir, utilizo só na escola”. “Para fracionar contas e eu uso para coisas
importantes”. “Eu não gosto de fração”. “Para ajudar”. “Para facilitar nossa vida
lá na frente”. “Utilizo nas aulas de matemática e em casa, mas é raro”. “Para
cortar pão, servir alguma bebida, cortar pizza,...”. “Para grãos, rações”. “Para
dividir os números inteiros, em compras, por exemplo: Por favor, quero 1/2 kg de
mortadela”. “Para distinguir o peso de alimentos, fazer um desenho e marcar sua
metade”. “São para fracionar os litros, gramas, etc. Pode ser muito utilizado nos
kilos de arroz, etc.”. “Para distinguir o peso de carne e outros alimentos”. “Não
sei para que servem as frações e eu só utilizo nas tarefas da escola e nas receitas de
bolos, etc.”. “Para a gente ter um peso de arroz”. “Um exemplo é a quantidade de
alguma coisa, é um número sobre a população (10/25)”. “Eu as utilizo muito pouco,
mas uso para decifrar quantidades”. “Para denominar parte de algo. Utilizo
quando faço contas e converso com meus amigos”. “Eu utilizo principalmente na
cozinha para fazer sobremesa. Por exemplo: 1/3 de farinha, 1/2 de açúcar, etc.”.
“Para fazer o seu dia a dia ser mais fácil. “São os números”.
Um número significativo de alunos atribuiu às frações ideia de divisão, o que é
positivo. O repartir do seu dia a dia foi a ideia focada pela maioria deles nas respostas dadas a
essa segunda questão. Repartir o chocolate, o bolo, medir. Essas opiniões vêm reforçar a
importância em trazer para a sala de aula os conhecimentos e as experiências vivenciados por
eles, porém sem deixar de observar que situações importantes não foram citadas, como não
fazer referência, à fração do salário mínimo que se destina a pagamentos (de água, de luz, de
telefone, de alimentação, de lazer e de saúde), à fração do tempo que se precisa dormir para
ter uma vida saudável, etc. Quando o estudo se faz sobre aquilo que é do interesse da vida de
todos, isso faz com que a aprendizagem se torne significativa, mas é possível fazer uma
ponte, ou seja, a partir do interessante avançar para o estudo do necessário.
Questão 3. E os números decimais, estão presentes em sua vida? Onde?
Dez alunos de 5ª, dois de 7ª e seis de 8ª série deixaram a questão em branco. Dez
alunos de 5ª, sete de 6ª, oito de 7ª e cinco de 8ª série disseram não utilizar esses números.
Quinze alunos de 5ª, quatro alunos de 6ª, sete alunos de 7ª e cinco alunos de 8ª série
responderam que só usam esses números na escola. Cinco alunos de 5ª, quatro alunos de 7ª e
seis alunos de 8ª série disseram não saber a resposta. As respostas dos demais, em vários
casos com mesmo sentido e não citadas duplamente, foram as seguintes:
“Eu uso sim, em todos os lugares que a gente vai”. “Vejo na TV escrito, por
exemplo, 7,5%, ou em enquetes no computador, etc.”. “Na escola, nos mercados, nos
preços”. “Quando compro alguma coisa ou vendo”. “Quando meu pai fala das
contas do mês”. “Quando vamos pagar alguma coisa sempre tem centavos, por isso
a conta tem uma vírgula, para separar o real dos centavos”. “Em tudo”. “Na
régua, relógio, nos preços, na calculadora, etc.”. “Estamos sempre fazendo
atividades com números decimais”. “Na decomposição dos números, nas contas de
dinheiro”. “Não em minha vida, em empresas”. “Na cabeça e no coração”. “De
onde a gente aprende”. “Em receitas”. “Nos quilos do meu peso, na minha casa, na
comida”. “Nas horas, calendário”. “Na escola, TV, em livros, placas na rua, etc.”.
“Na medida de tecidos, na tapeçaria do meu tio”. “Na escola e no trabalho”. “No
meu cérebro, na minha cabeça”. “Às vezes, não uso muito”. “Quando vou no
mercado eu peço 1,5 kg de carne moída e quando eu vou em um restaurante que a
comida é por peso”. “Nas compras. Por exemplo: me dá 1,5 kg de bife e 4,5 kg de
bisteca”. “Nas frações, quando você as divide dão números decimais. Também
utilizamos o dinheiro para quase tudo”. “Nos cálculos, números, preços, etc.”. “Ao
comprar algo como 1,99, 2,37, 10,90, isto sempre está presente em minha vida”.
“Nas vitrines das lojas, nos supermercados”. “Nas expressões que você resolve que
tenha vírgula”. “É quase a mesma coisa das frações”. “Em várias coisas, como no
peso, eu peso 45,3 kg, na idade, exemplo 12,3 anos (12 anos e 3 meses)”.
Os dados obtidos em relação aos números decimais, na sua grande maioria,
demonstram maior compreensão no campo que se refere ao sistema monetário. Foi observada
apenas uma resposta que estabelecesse relação entre eles e as frações. Somente um aluno de
5ª série relacionou os números decimais à porcentagem, ainda assim, com uma porcentagem
onde a vírgula estava presente (7,5%). A relação desses números com as medidas também
apareceu muito timidamente.
Questão 4. Você observa a utilização de números decimais e de frações ao seu redor? De
que forma?
Onze alunos de 5ª, quatro alunos de 7ª e cinco alunos de 8ª série deixaram a questão
em branco. Vinte alunos de 5ª, nove alunos de 6ª, 11 alunos de 7ª e sete alunos de 8ª série
disseram não observar esses números. Oito alunos de 5ª, cinco alunos de 6ª e sete alunos de 8ª
série responderam que só utilizam esses números na matemática. Oito alunos de 5ª, três
alunos de 6ª, oito alunos de 7ª e cinco alunos de 8ª série alegaram não saber a resposta. Dois
alunos de 5ª, dois alunos de 7ª e dois alunos de 8ª série disseram não se lembrar. As demais
respostas referentes a essa quarta questão se assemelharam muito às respostas dadas nas
questões 2 e 3. Focaram o campo financeiro, referindo as lojas, preços de mercadorias dos
supermercados, farmácias e outros.
Questão 5. O que te faz lembrar a fração 1/3, por exemplo?
Vinte e três alunos de 5ª, quatro de 7ª e três de 8ª série deixaram a questão em
branco. Seis alunos de 5ª, cinco alunos de 7ª e seis alunos de 8ª série disseram não lembrar do
conteúdo. Um aluno de 6ª, oito alunos de 7ª e cinco alunos de 8ª série responderam que não
faz lembrar nada. Dez alunos de 5ª, um aluno de 6ª, seis alunos de 7ª e cinco alunos de 8ª
série disseram não saber a resposta. As demais respostas, também não citadas duplamente,
foram as seguintes:
“Na TV”. “Me faz lembrar em terça-feira, terço, o número 13”. “Uma forma de
bolo”. “1,30, 0,13, etc.”. “Faz-me lembrar uma pizza dividida em 3 pedaços”.
“Muita coisa”. “Sorte, porque tirando a barra fica 13, dia do meu aniversário”.
“Uma receita, uma colher de açúcar, de café, de leite”. “Nas contas, nos problemas,
no ano passado na 4ª série”. “Quando divido algo, por exemplo, uma maçã “Faz
lembrar da matemática e da escola”. “Quando vou beber leite, repartir uma barra
de chocolate, quando minha mãe vai pôr açúcar no bolo, etc.”. “Exemplo tem 4
gente e uma pizza (fez o desenho) de 4 pedaços e um não quer a pizza”. “Me faz
lembrar um bolo pequeno dividido em três eu como um, sobra 2”. “Um pedaço de
pizza de três pedaços”. “1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8”. “Eu tenho uma caixinha de leite eu
bebo a metade fica 1/2”. “Quando minha mãe vai fazer compra e vai comprar 1/3 kg
de arroz”. “Quando minha mãe fez pizza e sobrou 3 pedaços, comi mais 2 ficaram
1/3”. “Eu tinha 3 chocolates, comi 2 fiquei com 1”. “Tem uma caixa de leite você
vai dividir em três partes”. “Quase a metade de 2/5”. “Me faz lembrar medidas,
divisões, etc.”. “A metade de um bolo”. “Me faz lembrar as divisões do número da
parte debaixo e o número de cima é de vezes”. “Tem que repartir”. “Quando eu
reparto um chocolate com 3 amigos, também me lembra divisão e multiplicação”.
“Quando vou repartir um bolo e tem 10 pessoas para comer aí eu reparto em 10
pedaços isso se chama fração”. “Me faz lembrar divisão por três e vezes um”. “1/3
de farinha de trigo”. “Numa pizza tem 3 pedaços eu comi 1 e ficou 2”. “Quando
como 1 pedaço e sobra 3 pedaços”. “Faz lembrar a fração 1/4”. “Quando como
pizza, a mãe corta quatro pedaços e eu pego um e um pedaço significa 1/3”. “Ao
redor da minha vida”. “Em todo lugar, na escola, na rua”. “1/3 do planeta Terra é
água doce”. “Tirado 1 parte de 3”. “A divisão de um alimento em três”. “1/3, 1/4,
2/5, 3/7, 5/8, 9/10, 13/13”. “1/3 copo de leite da receita”. “Quando tenho uma coisa
e tenho que repartir para 3”. “Um bolo dividido em 3 partes para 3 pessoas”. “Uma
xícara de café”. “Uma laranja dividida em 4 partes e comeram 1 parte”. “Para
dividir um pudim com meus primos”. “Um sujeito recebeu 1/3 da herança”. “Meio
copo de água, leite, etc.”. “1/3 de maçã”. “Um terço de pão, de pizza”. “Me lembra
1/3 de alguma coisa, exemplo, 1/3 de torta”. “Um objeto partido em 3”. “O número
3”. “Que 1 de 3 pessoas é menor de idade”. “Um rosário”. “Um décimo”. “É a
parte que é dividida em três partes iguais”. “1/3 da minha aprendizagem”. “Ódio”.
“Um pacote de balas que só tem 3 balas e tiramos uma “1/3 de um círculo (fez o
desenho: repartiu o círculo ao meio, e uma das metades dividiu em duas partes)”.
“São 3 círculos com uma parte sem dividi-los”. “Uma conta que não serve para
nada”. “São 3 círculos inteiros”. “Faz me lembrar de um bolo em 1/3 de pedaço”.
“Uma fração em que 1 se divide por 3 ou vice-versa 3 dividido por 1”. “Me lembra
da parte de alguma coisa, por exemplo, uma notícia: Apenas 1/3 da população
conseguiu se salvar”. “É como dividir chocolate um pedaço inteiro e três
pedacinhos de outra barra”. “Um copo de leite cheio um por metade e um por 1/3”.
“É quando alguém usa para dar exemplos como 1/3 de bolo, etc.”. “Ela me lembra
um terço, onde tem 58/60 bolinhas que é usado para rezar 50 ave Maria. “Uma
parte de 3”. “Por exemplo temos um bolo e ele está dividido em três partes e para
representar fazemos a fração”.
Chamou atenção o número de alunos que deixou a questão em branco e os que
disseram não se lembrarem da resposta nessa quinta questão, pois, se forem consideradas
essas respostas como indicativas de falta de compreensão conceitual, encontra-se aí um
número consideravelmente grande (31%) em relação ao total de alunos que participaram da
pesquisa, que desconhecem o significado de fração
Questão 6. Você se lembra de alguma atividade prática que realizou no estudo de frações
ou de decimais? Descreva-a:
Trinta alunos de 5ª, sete alunos de 7ª e nove de 8ª série deixaram a questão em
branco. Trinta e três alunos de 5ª, vinte e dois de 6ª, vinte e oito de 7ª e vinte e dois de 8ª série
disseram não se lembrar. Dezoito alunos de 5ª série responderam que só trabalharam esses
números nas contas. Onze alunos de 5ª e três alunos de 8ª disseram não saber a resposta.
Cinco alunos de 5ª e três alunos de 8ª série disseram ter feito essas atividades somente no
quadro e no caderno. As demais respostas foram as seguintes:
Respostas das 5ª séries.
“Ela só explicou no quadro com algumas figuras “Na 3ª série a nossa professora
cortou um bolo para nós em 32 pedaços para nos explicar depois”. “Nós fizemos um
bolo e ela fez a fração de 1/8”. “Sim 10/4 (dez quartos)”. “Quando a professora me
ensinou eu aprendi rápido”. “Neste dia eu aprendi que tem que acertar a vírgula no
lugar certo”. “Sim 3/4 x 3/4 = 12/12”. “Conferir cupons fiscal que a gente recebe
no mercado ao pagar a compra”. “Fazer bolo”. “Eu fiz isso na minha antiga escola,
quando fizemos um bolo redondo e a professora pediu para dividirmos o bolo em
2/8”. “Bom eu aprendi sobre os números decimais que: na divisão, se preciso for,
aumente uma casa e corte as vírgulas. Na multiplicação, vírgula embaixo de
vírgula”. “Eu lembro que nós tínhamos que desenhar círculos”. “Brincamos de
mercado e fomos comprar com o nosso dinheiro várias coisas”. “Dividi um
chocolate ou uma melancia”. “Quando há pescaria”. “Na pescaria, dividimos as
minhocas e iscas para cada um”. “Dividir uma pizza em 8 pedaços”.
Respostas da 6ª série.
“Em provas”. “Na minha garrafinha estava pela metade”.
Respostas das 7ª séries.
“Na terceira série a professora pediu para a gente levar uma maçã para começar a
trabalhar com fração”. “Lembro de repartir a maçã, o bolo e a pizza”. “Na 3ª série
a professora começou explicar sobre fração”. “Sim 1/4 = 0,25”. Um aluno fez um
exercício usando a fórmula para encontrar uma geratriz.
Respostas das 8ª séries.
“A professora explicou na reta numérica”. “A Professora levou ao mercado,
compramos ingredientes e fizemos um bolo e dividimos em forma de fração”. “A
professora da 5ª série levou umas pizzas fatiadas na sala”. “Na 3ª série eu fiz uma
experiência com uma maçã, nós fomos cortando-a pela metade (1/2) e um pedaço
1/3”. “Sim, como repartir uma pizza em números decimais com 1/3 (fez o desenho
da pizza)”.
O que ocorre nas respostas dadas pelos alunos nessa sexta questão é, novamente,
preocupante. Dos 138 alunos de 5ª série participantes da pesquisa, 97 não tinham nenhuma
situação a descrever, aproximadamente 70% dos alunos. Quanto às descrições feitas pelos
demais alunos se observou pouca compreensão ou pouca sequência lógica das atividades
realizadas.
Dos 32 alunos de 6ª série, além de a maioria responder que não se lembravam, os
demais também não descreveram nenhuma ação.
Dentre os 41 alunos de 7ª série, o número dos que disseram não se lembrarem é
consideravelmente grande – 35 alunos. Os demais também ficaram na partilha, no repartir por
repartir, sem, porém, descrever o processo.
Dos alunos da 8ª série, que somavam 56, destes, 38 não tinham nenhuma atividade a
descrever. Os 18 restantes também não se apresentaram respostas que atendessem à descrição
solicitada.
Diante das respostas dadas pelos alunos nessa sexta questão, e o que se vem
observando, ano a ano, nas reações deles quando o assunto é fração e números decimais, é
que foi proposto este trabalho tentando encontrar respostas para os seguintes
questionamentos: Será que as dificuldades que os alunos apresentam em trabalhar com esses
números estão na fundamentação apresentada nas séries iniciais? Será que essas dificuldades
estão na ruptura do uso do material concreto e das aulas práticas? Ou esses devem ser
conteúdos que deveriam permear, de maneira mais elementar, as aulas nas séries finais do
Ensino Fundamental e deveriam ser trabalhados mais na prática, prevendo que os alunos são
muito imaturos para abstrair esses conceitos nas séries iniciais? De que forma esses conteúdos
podem ser distribuídos e trabalhados para que os alunos aprendam a lidar com esses
números?
Questão 7. O que significa a fração 5/2 litros de leite?
a) ( ) 5,2 l de leite
b) ( ) 2,5 l de leite
c) ( ) 52 l de leite
d) ( ) 25 l de leite
Série
5ª
6ª
7ª
8ª
a
88
17
20
34
Alternativas/Número de alunos que assinalaram as alternativas
B
c
d
Branco
Nulo
19
09
08
13
01
09
03
02
01
12
03
04
02
14
06
01
01
-
É clara a confusão apresentada pela maioria dos alunos na grafia dos números
fracionários e decimais. Quando se trata de 5/2, grande parte deles relacionou esse número
com 5,2, assim não distinguindo a barra (divisão) da vírgula, atribuindo o mesmo significado
às duas notações.
Questão 8. Quando somamos 1/2 kg de arroz com 1/3 kg de arroz, obtemos:
a) ( ) 2/5 kg de arroz
b) ( ) 2/6 kg de arroz
c) ( ) 5/6 kg de arroz
d) ( ) 1/6 kg de arroz
Série
5ª
6ª
7ª
8ª
a
96
22
29
38
Alternativas/Número de alunos que assinalaram as alternativas
b
c
d
Branco
Nulo
11
08
07
15
01
06
01
03
03
05
03
01
05
04
09
-
Ao responder a essa questão, a maioria dos alunos demonstrou desconhecer ou não
lembrar propriedades fundamentais, questões conceituais básicas de que para adicionar as
frações é preciso transformá-las em frações equivalentes. A reação imediata da maioria deles
foi adicionar os numeradores e os denominadores.
Questão 9. Em qual alternativa os números estão colocados em ordem crescente?
a) ( ) 2/5, 1/2, 5/6, 4/3
b) ( ) 4/3, 5/6, 1/2 , 2/5
c) ( ) 1/2, 2/5, 5/6, 4/3
d) ( ) 5/6, 4/3, 2/5, 1/2
Série
5ª
6ª
7ª
8ª
a
09
03
01
03
Alternativas/Número de alunos que assinalaram as alternativas
b
c
d
Branco
Nulo
12
56
38
22
01
02
14
13
05
19
13
02
01
02
24
23
04
-
As dificuldades apresentadas pelos alunos nessa nona questão arremetem-nos ao
questionamento das expectativas em relação à questão anterior, onde a maioria não apresentou
capacidade de construir estratégias sistemáticas mais aprimoradas para chegar ao resultado do
questionamento.
A teoria que alguns alunos proferiram durante a solução dessa questão era: “Não tem
alternativa correta, a que está mais próxima é a letra c, mas as duas últimas estão trocadas”.
Outra vez demonstraram não terem assimilado conhecimentos de relações entre
equivalência e comparação das frações e que, se os numeradores estivessem dispostos em
ordem crescente, automaticamente as frações estariam nesta ordem.
Questão 10. Que fração de um total de 15 círculos, corresponde a 5 círculos? Responda e
represente esta situação com desenho.
a) ( ) 4/3 dos círculos
b) ( ) 5/3 dos círculos
c) ( ) 1/3 dos círculos
d) ( ) 3/5 dos círculos
Série
a
04
03
02
5ª
6ª
7ª
8ª
Alternativas/Número de alunos que assinalaram as alternativas
b
c
d
Branco
Nulo
33
16
44
38
03
11
08
07
03
17
08
11
04
01
22
08
18
06
-
Com relação ao desenho da Questão 10, o resultado foi o seguinte:
5ª séries
52 acertos
6ª série
Nenhum acerto
7ª séries
4 acertos
8ª séries
7 acertos
As observações realizadas nas respostas dessa décima questão vêm, mais uma vez,
enfatizar que nenhum questionamento ou nenhuma confrontação de estratégias foi utilizada
pelos alunos. O que se percebe é que a maioria (os que escolheram as alternativas b e d) fez
uma simples relação entre os dois números apresentados na questão, o número 15 e o número
5, e escolheram um terceiro número, no caso o 3, onde uma operação com os dois primeiros o
resultaria.
Na segunda parte da questão também não foram apresentadas relações,
principalmente pelos alunos de 6ª, 7ª e 8ª, tanto que nem mesmo os tão poucos que acertaram
a primeira fase da questão conseguiram chegar a uma resposta que justificasse suas escolhas
feitas anteriormente.
IMPLEMENTAÇÃO DO PROJETO NA ESCOLA.
Após a realização da investigação através do questionário confirmou-se que as
noções sobre uso e as aplicações das frações eram vagas, superficiais. Para um número
razoável de alunos, o assunto se resume a um simples “repartir pizza”. Muitos declararam não
se lembrarem para que servem as frações. Alguns responderam que só usam na escola. O
mesmo aconteceu quanto aos números decimais.
Nas questões que exigiam cálculos simples, o resultado também não foi animador, ao
tratarmos da soma de frações, o resultado não foi diferente e quando a questão se referia à
ordem crescente, grande parte dos alunos reclamava que não tinha alternativa correta para
assinalar.
Apesar de 52 alunos de 5ª série acertar o desenho da questão dos círculos, não foi o
mesmo número que assinalou a alternativa corretamente . A maioria dos alunos da 6ª, 7ª e 8ª
séries também atribuiu que 5 círculos seria 5/3 de 15 círculos.
A proposta estabelecida neste projeto foi a de realizar um trabalho diferenciado na 5ª
série, fazendo-o a partir dos resultados obtidos na investigação. Nesta perspectiva foi
defendido, como uma das estratégias, o trabalho em grupos, sentindo que esta é uma maneira
agradável para a realização das tarefas escolares, porém, nessa fase, os alunos apresentam
poucas habilidades para o desempenho dessa modalidade e precisam exercitar a ação.
O trabalho se iniciou da seguinte forma: Os alunos da 5ª série foram levados ao
laboratório de informática onde a Produção Didático-Pedagógica UNIDADE DIDÁTICA4 foi
apresentada, de início em arquivo digital, mais tarde em material impresso.
Ficaram curiosos para a visualização geral do trabalho. Foram passando as páginas
rapidamente para ver as figuras. Quando chegaram nos jogos, já queriam saber quando iriam
jogar. Depois de satisfazer essas curiosidades, foram encaminhados para a leitura. Leram,
ficaram admirados com tantas aplicações dos números e com a informação sobre há quanto
tempo foram descobertos.
Foram conduzidos novamente para a sala e o debate foi lançado.
A discussão girou em torno da origem das frações e números decimais, a presença
4 Trabalho que faz parte das Produções exigidas no Programa PDE. É elaborada com as características de um
capítulo de um livro didático, contendo teorias e atividades. Esta produção focou a utilização dos números
fracionários e decimais nos movimentos da terra, dos meios de transporte e atividades de movimentos do
homem.
deles em quase todas as atividades do homem, a necessidade do uso e aplicação desses
números no dia a dia das pessoas.
Foi interessante a observação de um dos alunos que disse: “Professora, a gente devia
estudar muito mais os números quebrados, porque eles são mais que os inteiros. De 1 a 10,
tem só 10 números inteiros, e os quebrados é um monte”.
Ao esgotar o debate, passou-se ao trabalho de base.
Para o trabalho inicial – Noções de Frações –, foram utilizadas forminhas circulares
de docinhos. Os alunos dobraram ao meio, coloriram uma parte, colaram no caderno,
descreveram ao lado da figura o significado de cada parte, fizeram o mesmo para representar
os terços, os quartos, e outras.
Ao trabalhar dobrando e pintando as figuras, as discussões foram amplas. Em se
tratando da fração 1/2, foi discutido o significado dessa metade, que, além de estar
representando parte da figura, poderia representar ainda a metade dos alunos da sala, a metade
dos alunos da escola, a metade do salário da família de cada um dos alunos e da professora, a
metade da população do Município, do Estado ou do País e tudo o mais que poderia ser
explorado. Nessa ordem de desenvolvimento foi possível realizar atividades para explorar o
conceito de fração aplicado a todos os discretos e os contínuos, observando, com cuidado, as
diferenças entre essas aplicações, sem mencionar os termos fração própria, imprópria ou
aparente.
Da mesma forma foram questionadas as outras frações, sempre observando as
relações com as quantidades que elas poderiam representar.
Os alunos foram acionados, individualmente e em grupos, para representar as
frações. Foram divididos em grupos de 5, já que estavam presentes 25 alunos na sala. Cada
um dizia: “Eu sou 1/25 dos alunos da sala”. Em seguida, os cinco alunos do grupo diziam:
“Nós somos 5/25 ou 1/5 dos alunos da sala”. Ficaram surpresos quando confirmaram que 5/25
dos 25 alunos era o mesmo que 1/5.
Os alunos buscam outras situações interessantes para ampliar as discussões. Um
deles observou o seguinte: “Estamos no final da 2ª aula, então já assistimos 2/5 das aulas de
hoje”. Outro disse: “Se sou 1/25 da turma então sou 4% dela”.
Estas atividades favoreceram a ação de leitura das frações, de exploração quanto às
funções dos numeradores e dos denominadores, a associação entre o símbolo e as ações
exercidas sobre o todo, chegando, assim, à definição de números racionais.
ATIVIDADE PRÁTICA
Na tentativa de proporcionar melhor entendimento das frações, foram realizadas as
seguintes atividades:
•
A turma foi colocada com as carteiras em círculo, e dividida em duplas.
•
Foram providenciadas quatro embalagens (frascos de detergente lava louças, e estes
foram preferidos porque foram os de formatos mais uniformes encontrados), água
com corante (com corante para ficar mais interessante), funil e um copo graduado.
•
As embalagens foram colocadas uma em cada canto da mesa que estava no centro da
sala.
•
Cada dupla foi conduzida a analisar uma embalagem. Foi solicitado que eles
discutissem o volume, onde estaria a metade do recipiente, a terça parte, etc.
•
Foi solicitado que as quatro duplas determinassem onde estaria 1/3 do volume da
embalagem.
•
Interessante foi que eles mediam com os dedos. Um dizia “é aqui”. O outro dizia
“não, é um pouco mais”, tentando marcar três partes iguais na embalagem. Logo
perceberam que podiam precisar essa medida usando a régua, mas essa possibilidade
não lhes foi concedida. Em seguida cada dupla colocaria o líquido no recipiente, até
a marca que eles julgaram ser 1/3.
•
Depois que as quatro duplas chegaram à conclusão de que realmente tinham
colocado líquido no volume de 1/3 da embalagem, foram abertas as discussões. Os
questionamentos foram: “Será que os colegas chegaram próximos a 1/3?” Para isso
eles deveriam imaginar a divisão da embalagem em quantas partes? Se a embalagem
comporta um volume de 500 ml, quantos ml deverá conter em 1/3 da embalagem?
•
Os próprios alunos que colocaram o líquido nos frascos eram solicitados a calcular,
no quadro, 1/3 de 500 ml.
•
Realizados os cálculos, voltavam para o experimento e iam despejar o líquido no
copo graduado. Comemoravam muito quando os resultados eram muito próximos.
Muitos alunos acertaram “em cima” as medidas, foi impressionante.
•
Em seguida iam mais quatro duplas fazer a atividade, daí eram solicitados a colocar
outra fração de líquido no recipiente, 1/4, 1/5. 1/2, 3/4, etc.
•
Foi feita eliminatória entre as duplas mais precisas, até sair uma dupla campeã. Os
alunos gostaram muito da atividade. Sendo as primeiras duplas a colocar 1/3 de
líquido no recipiente e as duplas seguintes solicitadas a colocar 1/4, alguns dos
alunos diziam: “um quarto é um pouco mais que 1/3, nós vamos colocar um
pouquinho a mais que eles”. Comprovaram rapidamente que estavam equivocados,
pois puderam verificar que 1/3 é maior que 1/4.
Ao final dessa atividade ficou bem claro, para os alunos, que, para se obter 1/3,
devemos dividir a quantidade referida por 3, para obter 1/4, dividir por 4, e assim
sucessivamente. Juntamente com as frações da embalagem, discutiram-se as frações do
salário mínimo, as frações da população, as frações das meninas e dos meninos da sala, as
frações das horas do dia, dos dias da semana, dos meses do ano, e outras.
ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, EQUIVALÊNCIA E SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES.
Para a continuidade dos trabalhos foi “adotada” a “horta de seu João”. (Discutiu-se a
importância dos legumes e das verduras na alimentação e da produção desses alimentos sem
uso de agrotóxicos). Então a horta foi dividida, inicialmente, da seguinte forma:
QUADRO 1
COUVE
ENOURA
COUVE
COUVE
CENOURA
BETERRABA
ALFACE
TOMATE
ALFACE
TOMATE
SALSA. E CEB.
ABÓBORA.
A partir das discussões a respeito da horta e da produção dela, foi possível trabalhar
questões como: a fração da horta que representa a plantação de couve, de alface, a soma das
frações que representam a plantação de couve e alface juntas, a soma da fração que representa
a plantação de beterraba com a fração da plantação de tomate. Que houve um ataque de
lagartas na horta, elas destruíram um dos canteiros de couve. Seu João teve que revirar toda a
terra desse canteiro. Que a fração da plantação de couve que restou depois do ataque das
lagartas? A representação do que sobrou da plantação de couve com uma subtração de
frações.
A “horta de seu João” foi dividida também em 6 canteiros para que os alunos
visualizassem a adição com denominadores diferentes e automaticamente equivalências e
simplificação de frações.
Com a horta dividida em 6 canteiros, os alunos puderam perceber que a plantação de
cenoura agora corresponderia a 1/6 da horta. Isso significa que 2/12 na primeira divisão da
horta, equivale, ou tem o mesmo valor que 1/6 da segunda divisão. Quer dizer ainda que 1/6 é
a forma mais simples da fração 2/12. Perceberam também que quando se escreve a fração
2/12 = 1/6, está simplificando a fração.
O trabalho com “horta de seu João” continuou e assim foi possível ver outras
equivalências, quando esta foi dividida em 4 partes.
A plantação de couve agora corresponderia a 1/4 da horta, isto é, 3/12 na primeira
divisão da horta, equivale, ou tem o mesmo valor que 1/4 da terceira divisão.
Concluindo: 3/12 = 1/4 (Um quarto é a forma simplificada de 3/12).
Com o trabalho realizado através da “horta de seu João”, foi possível realizar
atividades como:
a) fazer uma tabela com os produtos que seu João cultiva na horta
(Quadro1); b) escrever a fração correspondente a cada produto; c) escrever a forma
simplificada de cada fração (quando possível).
QUADRO 2 – Tabela com os produtos da horta
PRODUTO
FRAÇÃO
FORMA SIMPLIFICADA
COUVE
3/12
1/4
ALFACE
2/12
1/6
...........
Com a tabela em mãos, foi possível trabalhar soma de frações com mesmo
denominador, como a fração que corresponde à plantação de couve somada à fração que
corresponde a plantação de alface 3/12 + 2/12 da segunda coluna e também a soma de frações
com denominadores diferentes como 1/4 + 1/6 na terceira coluna da tabela referida, o que
facilitou, e muito, a possibilidade de os alunos observarem, na própria tabela, que as frações
3/12 e 1/4; 2/12 e 1/6 são frações equivalentes, percebendo, sem dificuldade, que as duas
somas teriam a mesma resposta. Ou seja: 3/12 + 2/12 = 1/4 + 1/6.
Outras situações foram trabalhadas no papel quadriculado. Uma delas foi a seguinte:
Pintar: 2 quadrinhos de amarelo; 2 quadrinhos de verde; 5 quadrinhos de azul; 8
quadrinhos de vermelho. Escrever a fração correspondente a cada parte colorida de: amarelo,
azul, verde e vermelho. Somar as frações correspondentes às partes coloridas de: amarelo e
verde; verde e azul; amarelo e vermelho; azul e vermelho. Simplificar todas as frações das
questões anteriores, se possível.
Outro quadro trabalhado, em papel quadriculado, para resolver a situação problema
onde a adição de frações com denominadores diferentes estava presente, foi o que segue.
Marcos precisa pintar seus azulejos da seguinte forma: um terço dos azulejos na cor
azul, um quarto na cor amarela, três oitavos dos azulejos na cor verde e um vinte e quatro
avos na cor preta.
A parede que ele precisa pintar tem 24 azulejos. Daí:
•
1/3 de 24 = 8 azulejos. Oito dos 24 azulejos serão azuis.
•
1/4 de 24 = 6 azulejos. Seis dos 24 azulejos serão amarelos.
•
3/8 de 24 = 9 azulejos. Nove dos 24 azulejos serão verdes.
•
1/24 de 24 = 1 azulejo. Um dos 24 azulejos será preto.
Observando o quadro acima se percebe que:
1/3 + 1/4 + 3/8 + 1/24
=
8/24 + 6/24 + 9/24 + 1/24 = 1.
Os alunos observaram as equivalências no quadro, facilitando assim a substituição de
cada fração por sua equivalente e, automaticamente, a soma.
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
O trabalho foi iniciado mediante as situações:
Seu João colheu 7 cenouras de sua horta. Ele usou 4 dessas cenouras para fazer um
bolo e 2 cenouras para fazer salada. Que fração do total de cenouras colhidas seu João usou
para fazer o bolo?
As cenouras colhidas foram representadas pelo desenho seguinte, onde cada parte do
desenho representaria uma cenoura.
1
7
1
7
1
7
1
7
--------------------> 4 x 1/ 7 = 4/ 7
4 vezes 1/ 7
Desta forma, os alunos concluíram que seu João usou 4/7 das cenouras para fazer o
bolo.
Através de um desenho semelhante ao anterior, os alunos descobriram a fração das
cenouras que ele usou para fazer a salada e a cenoura restante.
A MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES NO PLANO CARTESIANO
Com a intenção de facilitar a visualização da multiplicação de frações e mostrar que,
assim como com outras multiplicações, poderiam representá-las no Plano Cartesiano, já que a
multiplicação dá ideia de área, o caminho percorrido foi mediante a apresentação do Plano
Cartesiano, seguindo-se a discussão da sua criação, da sua utilidade e da sua localização de
pontos. Em seguida foram trabalhadas algumas construções de quadrilátero a partir de pontos
dados, com medidas inteiras, e suas respectivas áreas. Em seguida se construíram
quadriláteros com medidas fracionárias para visualizar, através de suas áreas, a multiplicação
de frações.
Multiplicando um número inteiro por uma fração:
2 x 1/2 = 2/2 = 1.
Da mesma forma, foi multiplicada uma fração por um número inteiro.
Os alunos trabalharam também a multiplicação de dois números fracionários no
Plano Cartesiano e perceberam que era possível visualizar melhor os resultados.
Determinaram, assim, a multiplicação de 3/5 por 1/2.
Dessa forma ficou fácil para os alunos entenderem os 3/10 que resultariam da
multiplicação, área da figura hachurada, pois estão visíveis, já que esses 3 retângulos são três
dos 10 que foram traçados no plano.
Neste contexto, foi possível observar, como no gráfico da questão anterior, a
multiplicação sendo a área da figura hachurada, em relação ao total de retângulos demarcados
na figura.
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Para iniciar a divisão, e na tentativa de proporcionar maior compreensão sobre a
prática desta operação, partimos das seguintes situações:
Situação 1. A esposa de seu João fez o bolo com as cenouras colhidas por ele, num
domingo à tarde, e repartiu da seguinte forma: Guardou a metade para o café da manhã da
segunda-feira e metade repartiu igualmente entre as quatro pessoas da família, seu João, a
esposa e o casal de filhos. Que fração do bolo cada um comeu no domingo?
João
filha
filho
esposa
A turma foi instigada a discutir a situação no seguinte aspecto: a metade do bolo foi
dividida em quatro partes. Isso quer dizer que, se todo o bolo fosse dividido da mesma forma,
seria dividido em oito partes. Aí seria possível perceber que cada um comeu 1/8 do bolo. Com
isso concluíram que: 1/2 : 4 = 1/8.
Situação 2. Seu João resolveu dividir igualmente o canteiro de salsa e cebolinha de
sua horta em duas partes iguais. Que fração da horta corresponde a cada um dos dois novos
canteiros?
COUVE
COUVE
COUVE
ALFACE
ALFACE
CENOURA
CENOURA
BETERRABA
TOMATE
TOMATE
SAL
CEB.
ABÓBORA.
Para se ter uma melhor visão de a que parte da horta corresponde cada um dos novos
canteiros, os alunos foram conduzidos a imaginar toda a horta dividida da mesma forma.
Após a representação através do desenho da nova horta, puderam perceber que a fração da
horta ocupada por cada um dos dois novos canteiros é igual a 1/24.
Confirmaram também que: 1/12 : 2 = 1/24
Vivenciando as duas situações, os alunos chegaram à conclusão de que, na primeira
situação, para obter 8, deveriam multiplicar 2 por 4, e, na segunda situação, para obter o 24,
deveriam multiplicar o 12 por 2. Assim ficou compreensível a necessidade da inversão da
segunda fração.
Em outra situação puderam perceber também a divisão de um número inteiro por
uma fração.
3 : 1/5 = 15
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
Outras atividades realizadas foram:
Considerando os canteiros da “horta do seu João”, dividir 1/12 por 1/2.
COUVE
COUVE
COUVE
ALFACE
ALFACE
SAL. E CEBOL.
CENOURA
CENOURA
BETERRABA
TOMATE
TOMATE
ABÓBORA.
Perceberam que, ao transportar 1/12 para 1/2 da horta, isso seria o mesmo que dividir
1/12 por 1/2.
Um doze avos da horta dividido pela metade da horta é igual a um sexto desta
metade.
Foram trabalhados outros exemplos como a divisão de 3/8 por 3/4:
3/8
:
3/4
Transportando 3/8 para os 3/4 da figura, obtém-se:
1/ 2
Concluíram, assim, que 3/8 : 3/4 = 1/2.
A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO DE FRAÇÕES NA PRÁTICA
Para essas atividades práticas foram utilizados recipientes (embalagens de
detergente) e líquido (colorido) da primeira experiência, tanto para visualizar a multiplicação
quanto para a divisão de frações.
Para a multiplicação de 2 x 1/2.
Um grupo de três alunos tomou três frascos. Em dois deles colocaram 1/2 do volume.
Após discussões e questionamentos, perceberam que ali tinham 2 x 1/2. Em seguida
colocaram os volumes dos dois recipientes num terceiro frasco e comprovaram, assim,
que
2 x 1/2 = 2/2 = 1.
Para comprovar a multiplicação de 1/2 x 1/2, um segundo grupo tomou dois frascos,
um deles contendo 1/2 do volume e o outro vazio. Foi solicitado aos alunos para que
visualizassem 1/2 do líquido contido no recipiente e, em seguida, que o grupo transportasse
essa quantidade (1/2 de 1/2) visualizada para o segundo frasco, que estava vazio até então.
Feito isso, foram conduzidos a observarem que a quantidade de líquido contida no segundo
recipiente seria meia vez um meio. Os alunos puderam verificar que o conteúdo transportado
era igual a 1/4 do conteúdo total do frasco. Concluíram, então, que 1/2 x 1/2 =1/4.
Na divisão, primeiro foi trabalhada a divisão de uma fração por um número inteiro, o
que não apresentou dificuldade.
Um grupo de alunos tomou um frasco e colocou o líquido até a metade, para mostrar
para a turma a divisão 1/2 de por 2. Em seguida transportou esse líquido em igual quantidade
para dois frascos. Verificaram que cada uma das últimas embalagens tomadas continha 1/4 do
volume total do recipiente, comprovando, assim, que 1/2 : 2 = 1/4. Fizeram uma prática
semelhante para dividir 2 por 1/4.
Para dividir fração por fração, 3/4 por 1/2, um grupo de alunos colocou 3/4 do
líquido em um dos recipientes, cortaram três outros recipientes ao meio e deixaram
reservados. Chamaram essas meias embalagens de “as novas embalagens”. A princípio os
alunos deveriam entender que iam distribuir os três quartos da embalagem em uma das
“novas embalagens”. Logo perceberam que uma só das “novas embalagens” não era
suficiente, pegaram mais uma. Colocaram o líquido e descobriram que encheu uma das
“novas embalagens” e a outra ficou pela metade. Descobriram então que o resultado seria
“uma nova embalagem” inteira e mais meia. Foi sugerido que distribuíssem o líquido da
“nova embalagem” cheia igualmente em duas dessas embalagens, comprovando assim que a
divisão de 3/4 por 1/2 = 3/2. Cuidados especiais foram tomados para que os alunos
percebessem que esses 3/2 não era fração do recipiente inteiro e sim da “nova embalagem”.
NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL
Para iniciar o trabalho com os números decimais foram levados para a sala catálogos
de preços de uma determinada loja. Os alunos perceberam rapidamente que, nos valores de
mais de 70, dos 80 produtos apresentados no catálogo, tinham números quebrados nas
parcelas e na maioria deles as casas decimais eram acima de R$ 0,50. Houve muitos
comentários, principalmente quando as parcelas tinham R$ 0,99 nas casas decimais.
Criticaram as lojas de R$ 1,99, que nunca têm R$ 0,01 para troco e não assumem o valor de
R$ 2,00 para os produtos.
O Material Dourado foi apresentado para os alunos, que se organizaram em grupos
para o manuseio desse material. Imediatamente foram sobrepondo as placas para ver se dez
delas formariam um cubo, bem como conferindo se 10 bastões formariam uma placa. Foi
sugerido que um aluno do grupo tomasse um total de peças e questionasse o grupo sobre a
fração daquelas peças em relação a uma quantidade maior. O cubo do Material Dourado foi
aproveitado para a identificação das faces, das arestas, dos vértices e do volume.
A partir daí passou-se ao estudo e à compreensão, à representação e à leitura dos
números decimais. A forma fracionária já lhes era familiar, não tiveram muitas dúvidas. Para
obter a parte decimal foi sugerido o uso da calculadora para que efetuassem as divisões de 1
por 10. Depois de 1 por 100, em seguida dividiram 1 por 1000.
Foi solicitado ainda que observassem que, quando dividiram por dez, o número
decimal resultante da divisão ficou com uma casa depois da vírgula. Logo, a leitura seria essa
– décimos – que vem da divisão por dez. Observaram também que, quando dividiram por
cem, o número decimal resultante ficou com duas casas após a vírgula. Logo, a leitura seria
centésimos, que vem da divisão por cem. Observaram o mesmo com a divisão por mil e com
outros valores.
Os cálculos foram realizados de forma interativa. Os alunos discutiam cada resultado
com muita animação e motivação não lhes faltava. Com a intenção de que a turma percebesse
que todo número fracionário poderia ser escrito na forma decimal, foi sugerido que, com o
uso da calculadora, realizassem outras divisões como: a divisão de 1 por 2, comprovando
assim que 1/2 = 0,5. Dividiram 3 por 5 e comprovaram que 3/5 = 0,6 e outros números
similares.
Realizando essas atividades, foi possível estabelecer muitas relações entre as frações
e os números decimais, bem como reflexões a respeito das propriedades: de equivalência, do
acrescentar ou do suprimir zeros à direita do último algarismo da parte decimal e das
porcentagens.
A exploração do Material Dourado se deu ainda no aspecto de que, com o Material
Dourado e elásticos coloridos, os alunos foram conduzidos a tomar placa 10 x 10 e separar a
primeira dezena de quadradinhos com um elástico.
Assim:
O passo seguinte consistiu em fazer a mesma análise da atividade anterior, ou seja, os
alunos foram divididos em grupos e a eles foi distribuído o material dourado e os elásticos,
para que eles próprios fizessem as atividades. Mudavam o elástico de lugar, colocavam mais
elásticos para determinarem novas frações. Foi sugerido, ainda, que cada grupo apresentasse
para a turma as novas relações descobertas. Durante essa atividade pôde-se perceber que eles
foram muito criativos. Um grupo colocou o elástico no meio da última “tira” e dizia estar
representando 95/100 ou 95%.
A intenção era levar os alunos a descobrirem números como na seguinte hipótese: Se
colocassem dois elásticos, separando a placa em quatro partes iguais, cada uma das partes
seria igual a 1/4 da placa e também igual a 25 dos 100 quadradinhos. Logo perceberiam que
1/4 = 25/100 ou ainda igual a 25%.
Os alunos puderam comprovar assim que: 1/4 = 25/100 = 25%; 2/4 = 1/2 =
50/100 = 50%; 3/4 = 75/100 = 75%; e, ainda, 4/4 = 100/100 = 100%.
TRABALHO COM O METRO
A partir de um quadrado de 10 cm x 10 cm, os alunos foram conduzidos a
construírem uma fita métrica. Com essa fita, os alunos mediram o palmo, a altura, a cintura, a
circunferência da cabeça. Assim, foi oportuno o momento para falar de circunferência e seus
elementos. Mediram as dimensões da carteira, do quadro, da sala, dos azulejos, do livro, do
caderno, do lápis, etc. Anotaram essas medidas no caderno, fizeram a leitura dessas medidas,
compararam-nas e as escreveram por extenso. Foi sugerido que as destacassem no caderno,
para logo mais serem utilizadas para o trabalho de perímetro e de área.
Todo o trabalho com os números naturais foi feito paralelamente, pois, afinal, é
assim que eles surgem no dia a dia, ora natural, ora inteiro, ora decimal e, em qualquer
circunstância, os problemas precisam ser resolvidos.
CONCLUSÃO
Sendo uma escola definida como devendo ser um local onde se “produz a
aprendizagem”, é sabido que a garantia de formação das crianças e de sua inserção no mundo
letrado adulto, bem como de sua compreensão de sociedade e de sua posterior atuação política
nela, tudo mediante a correta interpretação de informações recebidas continuamente através
dos meios de comunicação, depende da ação dos professores e dos profissionais envolvidos
na tarefa da educação.
Para se envolver num trabalho diferenciado, um trabalho que procura buscar causas
de entraves e estratégias eficientes para contorná-las, é necessário um desprendimento
profissional que inclui muita de força de vontade e, principalmente, de tempo. No caso da
presente pesquisa e atuação com as crianças, isso só foi possível em razão da disponibilidade
de horário que o programa PDE favoreceu. Um professor com 40 horas-aula semanais
dificilmente se propõe a realizar tal experiência (em razão da sobrecarga excessiva de
trabalho semanal).
Então, pôde-se verificar, inicialmente, que o questionário de investigação formulado
para a pesquisa e aplicado realmente proporcionou uma visão geral das dificuldades de
aprendizagem dos estudantes em relação aos números fracionários e aos números decimais.
Mostrou ainda que os obstáculos que impedem o gosto por tais conteúdos se encontram já na
5ª série do Ensino Fundamental. Pelos relatos dos próprios alunos, ficou muito claro, também,
que o uso de materiais manipuláveis foi pouco ou quase nada percebido em suas atividades
até então, tornando difícil para eles encontrarem significados no estudo, ou seja, dificultando
fazer abstrações e construir seus próprios conhecimentos.
Diferentemente da situação encontrada, o trabalho realizado pela pesquisa, com a
utilização das estratégias pontuadas neste texto, proporcionou uma enriquecedora experiência
no que diz respeito às equivalências e às simplificações das frações, operações essas que
foram apresentadas e realizadas dentro de um contexto de visível necessidade de tal ação, ou
seja, o aluno percebe o sentido da simplificação.
A realização deste trabalho foi de grande valia, de muita contribuição para uma
experiência profissional de mais de 30 anos. Utilizando material didático específico e uma
metodologia diferenciada, foi possível mediar, aprofundar e vivenciar muitos desafios e
experimentos relevantes para a construção de teorias e de conceitos relacionados às frações e
aos números decimais. Comprovou-se, mais uma vez, que trabalhar dessa forma não é fácil,
pois exige muita preparação e, principalmente, paciência. De início, tudo parece ir de
encontro ao tumulto, à confusão – situação em sala de aula sempre temida por qualquer
professor. O caminho é longo e só após alguns tropeços as ideias vão se concretizando. É um
processo trabalhoso, cansativo, porém prazeroso, pois tem sua recompensa quando, se
percebe a aquisição dos conceitos trabalhados, e este é um dos principais objetivos do
professor e, ao longo dos corredores, praticamente toda a turma vem ao encontro da gente,
com sorrisos estampados, de olhos no material, perguntando: “Professora, que atividade a
gente vai fazer hoje?”
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